变力做功的求解途径

变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。

下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。

方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。

例题1：如图所示。

质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。

解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。

此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。

理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。

例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。

假设机车受到的阻力为恒力。

求机车在运动中受到的阻力大小。

解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。

所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。

在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。

由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。

方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。

例题3：如图所示。

轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。

求变力做功的8种思路张家港市塘桥高级中学施 坚功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程．物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功． αcos Fs W =，式中F 应是恒力．但实际问题中经常遇到变力，那变力做功如何求解呢？下面结合典型问题，指明求变力做功的八种思路．思路1、微元法：若参与做功的变力，其仅力的大小不变，而方向改变，且力与位移的夹角确定不变，则可通过微分累积W N W ∆⋅=求解．【例1】 在一粗糙的水平面上，动摩擦因素为μ，一小滑块质量为m 在某小孩手的水平拉力的作用下做匀速圆周运动，则一小滑块转动一周的过程中，水平拉力、摩擦力分别做功多少？[解析]：手的水平拉力始终在圆周的切线方向上，故可以把圆周均匀分割成N 段（N 足够大），每段位移为s ∆，则每一小段s ∆上都可以认为水平拉力（滑动摩擦力）方向不变且与位移s ∆方向一致（相反），且mg f F μ==．每一小段上拉力做功s F W∆⋅=∆，所以，Rmg R F s N F W N W W f F πμπ22⋅=⋅=∆⋅⋅=∆⋅==，即：水平拉力、摩擦力分别做功：R mg πμ2，R mg πμ2－．点评：手的拉力和摩擦力是变力，但经微分后将变力转化为恒力，再用公式求解．思路2、均值法：若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式θscos F W =求解．【例2】 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ．问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）[解析]：此题可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代．铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，kx f F =-=，可用平均阻力来代替． 如图1-1，第一次击入深度为1x ，平均阻力1121kx F =，做功为2111121kx x F W ==．第二次击入深度为1x 到2x ，平均阻力)(21212x x k F +=，位移为12x x -，做功为)(21)(21221222x x k x x F W -=-=．两次做功相等：21W W =．得：cm x x 41.1212==，即：cm x x x 41.012=-=∆．点评：对于线形变化的变力，可以取其平均值，将变力转化为恒力，进而求该力的功． 思路3、图象法（示功图求解）：若参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象．如图1-2，那么所示的阴影面积，即为变力做的功．【例3】图所示，做直线运动的物体所受的合外力与物体运动距离的对应关系．已知物体的质量为kg 4.10．开始处于静止状态，求s 12末物体的速度多大？[解析]：物体所受的合外力是变力．根据s F -图中曲线下所围的“面积”表示力的功的物理意义，可求得）（）（）（总J W 52612426622=-⨯+-⨯+⨯=，再由动能定理求得102==mW v 总)/(s m点评：根据示功图中曲线所围的“面积”表示功的物理意义，直接求变力的功．例2也可以利用图象法，类似匀变速直线运动的t v -图象而作出x F -图象．[解析]：因为阻力kx F =，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出x F -图象（图1-4），曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有：21S S =（面积），即：))((2121121221x x x x k kx -+=，即：cm x x x 41.012=-=∆．思路4、t P Pt W==公式法：已知恒定功率或平均功率的条件下，机车等的变力做功转化为功率求解，化难为易．【例4】 质量为M 的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为1v 时，立即以不变的功率行驶，经过距离s ，速度达到最大值2v ．设汽车行驶过程中受到的阻力f 始终不变．求汽车的速度由1v 增至2v 的过程中所经历的时间及牵引力做的功．[解析]：汽车以恒定功率运动，此过程中的牵引力是变力．当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值．由于汽车的功率恒定，故变力（牵引力）的功可用Pt W=计算．对汽车加速过程中由动能定理有22122Mv Mv fs Pt -=-又2P f = 联立得：221222)(v s P v v M t +-=22122)(v Ps v v M Pt W +-==点评：运用Pt W =，将恒定功率作用下的机械做功转化为易确定的因素，另辟蹊径． 思路5、动能定理法：若参与做功的变力，方向与大小都变化，导致无法直接由αcos Fs W =求变力F 做的功．这时可利用动能定理：αscos F W 合总合=∆==k E W ；但此法只能求合力做的功．【例5】 如图所示，质量为m 的物体被细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，O 为一光滑孔，当拉力为F 时，转动半径为R ；当拉力为8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为2R ，在此过程中，外力对物体做的功为： A ．27FRB 、47FR C 、23FR D 、FR 4 解析：该题显然是一个变力问题，但通常有学生利用平均力法求解，即θscos F W =．此题中绳上拉力需提供向心力，方向时刻改变，不能利用平均力法求解．则可以从功能关系入手，而且绳上拉力是合外力，则动能定理：20212121mv mv W -=合，又圆周运动：Rv mF 02=；2821R v m F =，结合以上三式，得：FR FR FR mv mv W 2321221212021=-=-=合．故选C ．点评：对于物体的始末状态的动能是已知的，则在这种情境下的变力做功用动能定理显得方便简捷．思路6、功能关系法：能是物体做功的本领，功是能量转化的量度．因此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解．【例6】 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点，如图所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ，则拉力F 所做的功为：A ．θcos mgLB ．()θcos 1-mgLC ．θsin FLD ．[解析]：解物理题必须注意把握题中的关键词，比如此题中“很缓慢”三字，表明拉力F 所做的功并未增加物体的动能，根据题意恰恰是提高了势能，即：)cos 1(θ-=∆=mgl E W P F （或理解成据功能原理：F 的功增加了小球的机械能），B 正确．C 选项则是利用了恒力做功公式W=Fscos θ，但事实上F 不是恒力．如图，三球受T mg F 、、，且θmgtg F =，则在上拉过程中，↑↑F ,θ．C 选项不正确．故选B ．点评：如果系统所受的外力和内力（除重力、弹力外）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，且这些力中有变力做功，机械能的增量易求，用功能关系（或功能原理）求解简便． 思路7、等效替代法：等效思想是物理教学中一种重要思维方法．当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功．【例7】 如图所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角为α，经一段时间后，绳与水平面间的夹角为β，已知图中的高度为h ，求绳的拉力T 对物体做的功．（绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计）[解析]：物体由初态运动到终点，所受的绳子拉力是变力（变方向），但在题设条件下，人的拉力F 对绳的端点做的功就等于绳的拉力T 对物体做的功．故可用恒力F 的功替代变力T 的功．绳端的位移大小为)sin 1sin 1(21βα-=-=∆h s s s 则：)sin 1sin 1(βα-=∆⋅==Fh s F W W F T点评：当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功． 思路8、借助守恒定律求解：能量守恒定律、机械能守恒定律是物理学中极为重要的规律，为求功提供了另一条重要思路，尤其是变力做功问题．【例8】 如图所示，一根轻的刚性杆长为l 2，中点和右端各固定一个质量为m 的小球，左端O 为水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动，求从开始释放到摆到竖直位置的过程中，杆对B 球做了多少功？[解析]：如果没有A 球，杆上只有B 球，摆到最低点B 球的速度为1v ，根据机械能守恒定律有.21212mv l mg =所以gl v 21= 现在杆上有A 、B 两球，设摆到最低点时B 球速度为2v ，则A 球速度为22v ，系统仍满足机械能守恒的条件，有22.22)2(21212v m mv mgl l mg +=+ 解出gl v 5242=B 球两次末动能之差就是轻杆对B 球做的功，即mgl mv mv W B 5221212122=-=杆对 点评：系统内只有重力和弹力做功，当弹力是变力时，求这个变力功可借助能量守恒定律（尤其是机械能守恒定律）．小结：变力做功的求解对学生的思维鉴别力、跳跃性提出了较高的要求，采用平均力法、图象法、动能定理还是功能关系，必须对物理情景分析透彻，而后决定取舍．当然．有时方法不是单一的，如例2，而且适当地一题多解可以提高学生的思维深度和开阔性．图8。

求变力做功的方法以求变力做功的方法为标题，我们来探讨一下。

第一种方法是应用直接施力。

当我们需要对物体施加力量时，可以直接使用肌肉力量来推动或拉动物体，这样就能够对物体做功。

比如，我们可以用手推动一辆停在原地的自行车，或者拉动一个重物。

第二种方法是应用杠杆原理。

杠杆是一种简单机械装置，可以将施加的力放大。

通过调整杠杆的长度或角度，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用杠杆原理来举起一个重物，或者将一个重物推离地面。

第三种方法是应用滑轮系统。

滑轮系统是一种机械装置，可以改变力的方向和大小。

通过使用滑轮组合，我们可以改变施加在物体上的力的方向和大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用滑轮系统来举起一个重物，或者将一个重物推离地面。

第四种方法是应用斜面原理。

斜面是一种简单机械装置，可以减小施加在物体上的力的大小。

通过调整斜面的角度，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用斜面来推动一个重物上斜面，或者将一个重物从斜面上滑下来。

第五种方法是应用弹簧原理。

弹簧是一种弹性体，可以储存和释放能量。

通过压缩或拉伸弹簧，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以用弹簧来推动一个重物，或者将一个重物弹射出去。

第六种方法是应用气压原理。

气压是气体分子对容器壁面的压力。

通过调节气压，我们可以改变施加在物体上的力的大小，从而实现对物体做功。

比如，我们可以利用气压来推动汽车或自行车的轮胎，从而使其前进。

第七种方法是应用电力原理。

电力是电流通过导体时所产生的能量。

通过控制电流的大小和方向，我们可以改变施加在物体上的力的大小和方向，从而实现对物体做功。

比如，我们可以利用电力来推动电动机，从而使机器工作。

以上所提到的方法只是其中的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以实现对物体做功。

无论采用哪种方法，我们都要根据具体情况选择合适的方法，并合理应用力量，以实现对物体的目标操作和做功。

变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。

下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。

1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。

2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。

3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。

通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。

4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。

功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。

5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。

根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。

6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。

万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。

通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。

这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。

高考物理：变力做功的求解方法！一、变力做功的计算方法1、用动能定理动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△E k是物体动能的增量。

如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理表达式就可以求出这个变力所做的功。

2、用功能原理系统内除重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于该系统机械能的增量。

若在只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。

3、利用W＝Pt求变力做功这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。

4、转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可将变力做功转换成恒力做功，继而可以用求解。

5、用平均值当力的方向不变，而大小随位移做线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。

6、微元法对于变力做功，我们不能直接用公式进行计算，但是可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，其具有普遍的适用性。

在高中阶段主要用这种方法来解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功的问题。

二、摩擦力做功的特点1、静摩擦力做功的特点：A、静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

B、在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。

C、相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总是等于零。

2、滑动摩擦力做功的特点：如图所示，顶端粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为s，则滑动摩擦力F对木块做的功为W木=－F（d+s）①由动能定理得木块的动能增量为ΔE k木=－F（d+s）②滑动摩擦力对小车做的功为W车=Fs ③同理，小车动能增量为ΔE k车=Fs ④②④两式相加得ΔE k木+ΔE k车=－Fd ⑤⑤式表明木块和小车所组成系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车位移的乘积，这部分能量转化为内能。

求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。

那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。

解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。

小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。

二。

微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。

解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

五种方法搞定变力做功一.微元法思想。

当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

求此过程中摩擦力所做的功。

思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。

如：弹簧的弹力做功问题。

例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。

功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。

例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。

七种变力功的求解方法高中阶段求变力的功是机械能中的难点，本人根据多年的教学总结，归纳出求变力功的七种方法。

一、某段时间内（或某段位移内）为恒力，全程为变力则：W ＝F 1S 1+F 2S 2+…二、力的大小不变，方向始终与运动方向在一条直线上：W=FS 路程例1一半径为R 圆盘水平放置，力F 作用于盘边缘，大小不变，方向始终沿盘的边缘，则圆盘运动一周的过程中F 做的功为多少？解：圆盘运动一周通过的路程为：S=2πR 故F 做的功为 W=F2πR例2小球以某一速度竖直上抛，上升的最大高度为H ，小球在运动中受到的阻力大小恒为f ，则小球从开始抛出到回到抛出点的过程中克服空气阻力所做的功为多少？解： W=2fs三、化变力为恒力：例：如图所示，一物体（可视为质点）在通过滑轮的绳子作用下沿水平面从A 处运动到B 处过程中绳对物体做的功为多少？已知：绳的自由端施加的力恒为F ，在A 处绳与水平面夹角为α，在B 处绳与水平面的夹角为β，滑轮与地面间距离为H 。

解：由于绳对物体的拉力在水平方向为变力，故不能用W=FS 求解，但绳的自由端拉力所做的功等于绳对物体做的功，物体从A 移到B 时绳的自由端下降的位移为：S=αsin H -βsin H 绳对物体做的功为：W=FS=F （αsin H -βsin H）四、力与位移为一次函数关系，则可用：W=221F F +S 求解。

例1如图，在水平面上用一根轻质弹簧栓住一物体，弹簧处于原长，物体在外力作用下缓缓向左移动Sm 后释放，则弹簧从此时到恢复原长的过程中弹簧弹力所做的功为多少？已知：弹簧的劲度为K 。

解：W=2)(21F F +S=20KS+S=21KS 2例2一边长为a 的正方体木块浮在液体中，静止时有一半体积浸没在水中，现用一向下的力将木块缓慢地将其压入水中，则从如图所示的位置到木块刚好没入水中的过程中，木块克服水的浮力所做的功为多少？已知：水的密度为ρ。

求变力做功的六种方法方法一 动能定理法动能定理是求变力做功的首选思路，基本方法是：由动能的变化求合力功，再求某个力的功．例1 (2015·海南)如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g ，质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( C ) A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR方法二 图像法在F －x 图像中，图线和x 轴所围的面积表示F 做的功．在x 轴上方的“面积”表示正功，x 轴下方的“面积”表示负功．例2 一质量为2 kg 的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g ＝10 m/s 2，由此可知(ABC )A ．物体与水平面间的动摩擦因数约为0.35B ．减速过程中拉力对物体所做的功约为13 JC ．匀速运动时的速度约为6 m/sD ．减速运动的时间约为1.7 s方法三 平均力法若F －x 按线性规律变化，当F 由F 1变化到F 2的过程中，力的平均值为F ＝F 1＋F 22，再利用功的定义式W ＝Flcos α来求功．例3 如图所示，长为L ，质量为m 的矩形板，以速度v 沿光滑水平面运动，滑上长度为l 的粗糙水平面(l ＜L)，在板的前端刚到达粗糙水平面的末端时，这一过程中克服摩擦力做的功为多大？已知动摩擦因数为μ.【答案】 μmgl 22L【解析】 矩形板滑上粗糙水平面过程中，所受摩擦力与位移成正比，摩擦力的平均值为f －＝μmgl 2L， 克服摩擦力做功为W ＝f －·l ＝μmgl 22L. 方法四 等效转换法若所求变力的功和某一恒力的功效果相同，可将变力做功转化为恒力做功，在“滑轮拉物体”的问题中，注意应用这种方法．例4 人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m ＝50 kg 的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°.当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动l ＝2 m 而到达B 点时，绳与水平方向成30°角．则人对绳的拉力做了多少功？【解析】 人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F ＝mg.而重物上升的高度h 等于右侧绳子的伸长量Δl ，由几何关系，得h(cot30°－cot60°)＝lΔl ＝h sin30°－h sin60°，解得Δl ＝1.46 m 人对绳的拉力做的功W ＝mg Δl ＝500×1.46 J ＝730 J方法五 微元法在曲线运动或往返运动中，摩擦力(空气阻力)的方向沿运动切线改变，可将曲线分成无限小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和．通过微元法可知：摩擦力(空气阻力)做的功，其大小等于力和路程的乘积．例5 (多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．小球从A 摆到O 点正下方的B 点，设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( ABD )A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－12F 阻πL方法六 功率计算法机车以恒定功率运动时，牵引力变化，此时牵引力所做的功不能用W ＝Fx来计算，但因功率恒定，可以用W ＝Pt 计算．例6 汽车的质量为m ，输出功率恒为P ，沿平直公路前进距离s 的过程中，其速度由v 1增至最大速度v 2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s 所用的时间．【答案】 m （v 22－v 12）2P ＋s v 2【解析】 当F ＝F f 时，汽车的速度达到最大速度v 2，由P ＝Fv 可得F f ＝P v 2对汽车，根据动能定理，有Pt －F f s ＝12mv 22－12mv 12 联立以上两式解得t ＝m （v 22－v 12）2P ＋s v 2. 强化训练1.如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为( D )A ．FLcos θB ．FLsin θC ．FL(1－cos θ)D ．mgL(1－cos θ)2.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，图中AB ＝BC ，则( A )A ．W 1＞W 2B ．W 1＜W 2C ．W 1＝W 2D ．无法确定W 1和W 2的大小关系3.如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m的物体，物体与转台间用长L 的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则(ABD )A ．由于惯性和摩擦力，物体将以O 为圆心、L 为半径做变速圆周运动，直到停止B ．若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为μmg2πLC ．若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功D ．物体在转台上运动Lω24μg π圈后，停止运动4．地面上物体在变力F 作用下由静止开始竖直向上运动，力F 随高度x 的变化关系如图所示，物体能上升的最大高度为h ，h<H.当物体加速度最大时其高度为多少？加速度的最大值为多少？答案 0或h gh 2H －h解析 根据题意，从图可以看出力F 是均匀减小的，可以得出力F 随高度x 的变化关系：F ＝F 0－kx ，而k ＝F 0H， 可以计算出物体到达h 处时力F ＝F 0－F 0Hh ； 物体从地面到h 处的过程中，力F 做正功，重力G 做负功，由动能定理可得：Fh ＝mgh ，而F ＝F 0＋F 2＝F 0－F 02Hh ， 可以计算出：F 0＝2mgH 2H －h， 则物体在初位置加速度为：F 0－mg ＝ma ，计算得：a ＝gh 2H －h； 当物体运动到h 处时，加速度为：mg －F ＝ma ，而F ＝2mgH 2H －h －2mgh 2H －h， 计算处理得：a ＝gh 2H －h， 即加速度最大的位置是0或h 处．。

高中物理：变力做功怎么求？功的求法是高中物理教学的重点和难点之一，教材上的公式：，只适用于恒力做功的情况，对于某些变力做功的问题，在高中阶段也要求学生掌握，而学生遇到变力做功的问题时，常常感到无处着手。

下面，对变力做功求解方法的问题进行总结：方法一：微元累积法将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。

此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。

例1、如图1所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

解析：将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图2所示，元功，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即方法二：力的平均值法当某个力的方向不变，但其大小随位移均匀变化时，可以用力的初始值F1和末状态值F2的平均值来计算变力所做的功。

例2、如图3所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。

解析：弹簧的弹力为变力，与弹簧的形变量成正比，在题设条件下，弹力的初始值为，终值为，故弹力的平均值为，则弹力所做的功。

方法三：图像法在题设情况下，如果能找出力F与位移s的函数关系，则在F－s 的平面直角坐标系中，作出F随s变化的图像，那么，图像与横坐标轴所围成的图形的面积即是F对物体在某一段位移上所做功的数值。

例3、用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起质量为20kg 的重物，在这个过程中至少要做多少功（取g＝10m/s2）解析：在吊起重物的过程中，作用在重物和铁索上的力至少应等于重物和铁索的重力，但在吊起过程中铁索的长度逐渐缩短，故拉力也逐渐减少，即拉力是一个随距离变化的变力，拉力随深度s的变化关系为所以力随距离是均匀变化，作出拉力的F－s图线，则拉力所做的功可以用图4中梯形的面积来表示显然，此题亦可以用方法二求解。

第26点求解变力做功的“五法”1．变力的功＝力×路程当力的大小不变而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力所做的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力等做的功．2．变力的功＝平均力×x cos α当力的方向不变，大小随位移线性变化时，可先求出力的平均值F＝F1＋F22，再由W＝F x cos α计算．3．变力的功＝功率×时间当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功．4．变力的功＝“面积”作出变力F随位移x变化的图像，图像与横轴所夹的“面积”即为变力做的功，如图1中阴影部分所示．图15．变力的功＝动能变化－其他恒力所做的功当物体受到变力(也可只受变力)及其他恒力作用引起物体的动能发生变化时，根据动能定理知，变力的功等于动能变化减去其他恒力所做的功．对点例题如图2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨．假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图2解题指导因力F的大小恒定，且始终与运动方向相同，故F的功等于力乘以路程，即W＝F·2πL＝2πFL答案2πFL一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图3中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g＝10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有()图3A．物体与水平面间的动摩擦因数B．合外力对物体所做的功C．物体匀速运动时的速度D．物体运动的时间答案ABC解析物体做匀速运动时，受力平衡，则f＝F＝7 N；再由滑动摩擦力公式可求得物体与水平面间的动摩擦因数；故A正确；4 m后物体做减速运动，图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功，则由图像中减速过程包括的方格数可知拉力所做的功；再由摩擦力与位移的乘积求出摩擦力的功；则可求得总功；故B正确；已求出物体合外力所做的功；则由动能定理可求得物体开始时做匀速运动时的速度；故C正确；由于不知道具体的运动情况，无法求出减速运动的时间，故D错误．。

变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。

一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。

分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。

因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。

【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。

这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。

二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。

例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。

而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。

本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。

一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。

通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。

二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。

这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。

三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。

通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。

四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。

通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。

五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。

这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。

六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。

虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。

七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。

通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。

八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。

通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。

综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。

在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。

求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。

下面将介绍十种常见的变力做功的方法。

1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。

通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。

这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。

当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。

推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。

3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。

例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。

弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。

通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。

因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。

5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。

抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。

重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。

6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。

通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。

磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。

例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。

引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。

例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。

中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。

9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。

求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。

如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。

但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。

一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。

例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。

分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。

但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。

因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。

由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。

则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。

例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。

物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。

物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。

一、知识讲解功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况,对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，当F为变力时，用动能定理W=ΔE k或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。

这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程,功是能的转化的量度。

如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。

下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。

例1、如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β.求滑块由A点运动到B点过程中,绳的拉力对滑块所做的功。

2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化,可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和.例2、如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为:A、 0JB、20πJC 、10J D、20J3、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

例3、一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动，其阻力为车重的0。

05倍.其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力.当车前进100m时，牵引力做的功是多少？4、用动能定理求变力做功例4、如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0。

8m,BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

求变力做功的六种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。

本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。

一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。

由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。

用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。

例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）? ＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功图1-2【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为 1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。