1-(6)连续函数

极小值的判定条件在数学中，一个函数的极小值通常指的是这个函数在某一个局部最小值点处的函数值。

对于任何连续函数，其局部最小值点都满足一定的条件，因此我们可以利用这些条件来判断一个函数是否有极小值，以及如何找到这个最小值。

一、必要条件我们首先来考虑一个函数有没有极小值，也就是说，这个函数是否存在某一个局部最小值点。

如果一个函数在某个点处有极小值，那么我们可以通过求导数来判断这个极小值是局部最小值还是局部最大值。

具体来说，如果这个函数在极小值点处的导数为零，那么这个极小值就是一个局部最小值点。

如果这个导数变号，那么这个极小值就不是一个局部最小值点。

因此，我们可以得出一个必要条件：如果一个函数在某个点处有极小值，那么这个点处的导数为零。

这个条件是必要的，因为如果导数不为零，那么函数在这个点处可能是单调递增或单调递减的，因此就无法存在极小值了。

二、充分条件我们已经得到了一个必要条件，但是仅仅满足这个条件是不能判断一个函数是否一定有极小值的。

例如，函数$f(x)=x$在整个定义域上都没有局部最小值点。

因此，我们需要找到更准确的判定条件。

实际上，一个函数的极小值并不只有导数为零这一个条件，还有一个更广泛的条件：在极小值点的左右两侧，导数的符号不同。

具体来说，如果一个函数在某个点处的导数为零，并且在这个点的左侧的导数是负数，则这个极小值是一个局部最小值点。

同样地，如果这个点的右侧导数是正数，那么这个极小值也是一个局部最小值点。

这个条件是充分的，因为通过导数的符号可以得知函数在某个点处是单调递增还是单调递减，从而判断极小值是局部最小值点还是局部最大值点。

三、极小值点的判定现在我们已经找到了一个更准确的判定条件，接下来就是如何找到函数的极小值点。

方法很简单，只需要找到所有使得导数为零的点，并依次判断这些点是否是局部最小值点即可。

例如，考虑函数$f(x)=x^3-3x$。

首先，我们要求出导数$f'(x)=3x^2-3$，然后令其为零，得到$x=\pm1$。

数字序列中的连续最大值在数字序列中寻找连续最大值是一个常见的任务，它在许多领域都有应用，如数据分析、信号处理和统计学。

连续最大值是指在一系列数字中连续出现的最大数字。

例如，在序列 [2, 3, 4, 7, 1, 2, 6, 9, 1] 中，连续最大值是 [7, 1, 6, 9]，这些值分别是序列中的第4、5、8和9个数字。

寻找连续最大值的方法有很多，其中一种简单的方法是使用两个指针。

开始时，两个指针都指向序列的第一个元素。

然后，将两个指针都向右移动，比较两个指针所指向的元素。

如果右边的元素大于左边的元素，则继续移动两个指针。

如果右边的元素小于或等于左边的元素，则左边的指针停止移动，开始记录连续最大值。

以下是一个Python函数的示例，该函数使用这种方法来寻找序列中的连续最大值：pythondef find_consecutive_maxima(nums):left = 0maxima = []for right in range(1, len(nums)):if nums[right] > nums[right - 1]:right += 1else:maxima.append(nums[right - 1])while nums[right] <= nums[right - 1]:right += 1left = rightreturn maxima在这个函数中，nums是要搜索的数字序列。

函数返回一个列表，其中包含序列中的所有连续最大值。

需要注意的是，这个函数假设序列中的数字不会重复。

如果序列中可能包含重复的数字，那么在比较相邻元素时需要做一些额外的处理，以确保不会将重复的数字误认为是连续最大值。

函数的连续性与函数的导数函数的连续性是函数的重要性质。

常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。

连续函数具有下面两条重要性质：1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。

（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。

2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)<y<f(b)（或f(b)<y<f(a)），则在（a ，b ）中存在c ，满足f(c)=y 。

函数的导数也是函数的一种性质，它在求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性，凹凸性求曲线的切线等方面有着直接的应用，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，给竞赛试题解法带来新的启示。

例1 在曲线y=，x ≥0上求一点P ，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0，b>0）。

解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b+=,图形面积为22002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。

设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。

此时y 0。

故所求点为P 时，所围面积最小。

评注：题中所给曲线实际上是椭圆22221x y a b+=在第一象限的部分。

求圆锥曲线的切线的传统方法是利用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。

这种方法计算量较大而且不能推广到其它曲线的切线的求法。

而利用导数求切线斜率是通法。

如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。

例2（Ⅰ）已知0<x<1，试求函数f(x)=(1+x 2)(2-x)的最小值； （Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，满足a+b+c=1，求证：2221112710111a b c ++≤+++。

§1.8 函数的连续性与间断点教学内容：一．函数连续的概念定义 增量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量，记为∆u ，即21∆=-u u u .定义 在某一点处的连续性：（1）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 有增量x ∆时，函数相应的有增量y ∆， 若0lim 0x y ∆→∆=，则称函数()y f x =在点0x 处连续，0x 为()f x 的连续点.（2）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称()y f x =在点0x 处连续.（3）设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<，则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义 函数在区间上的连续性：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续；如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，且在左端点x a =处右连续，在右端点x b =处左连续，则称()f x 在闭区间a b [,]上连续，并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理：函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二．函数的间断点定义函数间断点：如果函数()f x 在点0x 处不连续，则称函数()f x 在点0x 处间断，点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点 称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。

第二章第二章 极限与连续极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点，第二类间断点. .2.基本公式 (1) 1sin lim0=®口口口，(2) e )11(lim 0=+®口口口(口代表同一变量代表同一变量).). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求¥¥形式的极限；形式的极限；⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. .4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. .二、要点解析问题1 如果如果如果 A x f x x =®)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义处是否一定有定义? ?解析 A x f x x =®)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=®xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=®x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义处有定义..所以，)(lim 0x f x x ®存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义点有定义. .问题2 若若A x f x g x x =×®)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x ®和)(lim 0x f x x ®是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®？解析 )(lim 0x g x x x x ®·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x x x ®与)(lim 0x f x xx x ®均存在均存在..例如0lim 1lim 020==®®x x x x x ，而x x 1lim 0®不存在不存在..又因为只有在)(lim 0x g x x ®与)(lim 0x f x x ®均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®,所以)(lim 0x g x x ®·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®．问题3 +¥=®xx 1e lim 是否正确，为什么是否正确，为什么? ?解析 不正确不正确..尽管+¥=+®xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---®-®®xx xx xx .这说明这说明,,0®x 时，x1e 不是无穷大不是无穷大. .三、例题精解 例1 求下列极限求下列极限求下列极限: :(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++®；(2) 1)1232(lim +¥®++x x x x ；(3) 3111limxxx --®；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++®； (5) )2sin(lim x x x -++¥®；(6) xx x x1sin53lim 2-¥®. 解 (1)(1)由于讨论函数由于讨论函数xx x x x f tan222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++®4πtan222)4π(cos )4π(sin )4π(++=222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +®¥++1212lim()21x x x x +®¥++=+ 12lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim +¥®）11221lim(1)12x x x ++®¥=++2121)2111(lim )2111(lim ++×++=¥®+¥®x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=¥®+¥®+x x x x x211e ×=e =．(3) 311lim 1x xx®-- （这是（这是00型未定式）23323331(1)(1)1()lim (1)1()(1)x x x x x x x x x ®éù-+++ëû=éù-+++ëû2331(1)1()lim (1)(1)x x x x x x ®éù-++ëû=-+ （分子、分母均含非零因子1-x ） 23311()lim 1x x x x®++=+ 32=． (4))1s i ns i n(l i m 0x x x x x ++®x x x x x x 1sin lim sin lim 00++®®+= 01+=1=．需要注意，01sin lim 0=+®x x x 是由于x 为+®0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1si n 为有界函数，所以x x1sin为+®0x 时的无穷小时的无穷小.. (5)lim sin(2)x x x ®+¥+-sin lim (2)x x x ®+¥=+- ( (函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换)) (2)(2)sin lim2x x x x x x x®¥+-++=++（分子有理化）2sin lim2x x x®+¥=++0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x®¥-(35)lim11(sin )x x xx x ®¥-= （适当变形） lim (35)11lim (sin )x x x x x x®¥®¥-= （利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x ®¥®-= （利用重要极限1sin lim 0=®口口口）3=例2 设ïîïíì<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x ®存在，并求此极限值存在，并求此极限值. . 解解 对于分段函数，对于分段函数，讨论分段点处的极限讨论分段点处的极限..由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限一般先求它的左、右极限. .01sin lim )(lim 200==++®®xx x f x x ，a x a x f x x =+=--®®)(lim )(lim 20．为使为使)(lim 0x f x ®存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+®®=0=a . 因此，因此，0=a 时，)(lim0x f x ®存在且0)(lim 0=®x f x ． 例3 设ïïîïïíì<--³+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? ? 是什么间断点是什么间断点是什么间断点? ?解0lim ()lim x x a a xf x x--®®--=0()()lim ()x a a x a a x x a a x -®--+-=+- 0lim ()x x x a a x -®=+-01limx a a x -®=+-12a=，212cos lim )(lim 0=+=++®®x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0¹¹-+®®，即，亦即1¹a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+¹f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点的跳跃间断点. .例 4 已知已知 011lim 2=÷÷øöççèæ--++¥®b ax x x x ，求b a ,的值的值. . 解 因为因为 )11(lim 2b ax x x x --++¥®2(1)()1lim1x a x a b x bx ®¥--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,0,即即îíì=+=-01b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续处连续. ( . ( . ( ×× ) 解析 函数在一点连续，函数在一点连续，函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．如函数如函数îíì=¹=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==®®x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=¹=®f x f x ，所以函数îíì=¹=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续．处不连续． ⑵分段函数必有间断点⑵分段函数必有间断点. ( . ( . ( ×× )解析 分段函数不一定有间断点．如函数îíì<-³=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 0=-=--®®x x f x x ，0lim )(lim 0==++®®x x f x x ，所以0)(lim 0=®x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =®，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小时的等价无穷小. ( . ( . ( √√ ) 解析 13cos 1lim3sin 3tan lim 00==®®xxx x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小．的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量⑷无界函数不一定是无穷大量. ( . ( . ( √√ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当¥®x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，¥®x （¥®n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量．，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是⑴下列极限存在的是( B ) ( B )(A) xx 4lim ¥®; (B) 131lim 33-+¥®x x x ; (C)x x ln lim 0+®; (D) 11sin lim 1-®x x . 解析 (A)04lim =-¥®x x ，+¥=+¥®x x 4lim ， 所以所以xx 4lim ¥®不存在；不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+¥®¥®x x x x x x ，极限存在；，极限存在；(C)-¥=+®x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+®不存在；不存在； (D)1®x 时，01®-x ，¥®-11x ，所以，所以11sinlim 1-®x x 不存在．不存在． ⑵已知615lim =-+¥®x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1(A) 1；； (B) 5 (B) 5 ；； (C) 6 (C) 6 ；； (D) -1.解析611515lim ==-+=-+¥®a xx a x ax x ，所以，所以6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) (A) 有定义；有定义；有定义； (B) (B) 极限存在；极限存在；极限存在； (C) (C) 左极限存在；左极限存在；左极限存在； (D) (D) 右极限存在右极限存在右极限存在. . 解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，处无定义，02lim )(lim 1==--®®xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，处左极限存在，+¥==++®®x x x x f 102lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在．处的极限不存在． ⑷当⑷当+¥<<x 0时，xx f 1)(=( D ).(A) (A)有最大值与最小值有最大值与最小值有最大值与最小值; ; (B)(B)有最大值无最小值有最大值无最小值有最大值无最小值; ;(C)(C)无最大值有最小值无最大值有最小值无最大值有最小值; ; (D)(D)无最大值无最小值无最大值无最小值无最大值无最小值. . 解析 xx f 1)(=在()+¥,0上是连续函数，图形如下：上是连续函数，图形如下：所以当+¥<<x 0时，xx f 1)(=无最大值与最小值．无最大值与最小值． 3.填空题Oyxx1(1) (1)已知已知b a ,为常数，3122lim2=-++¥®x bx ax x ，则=a 0 0 ，，=b 6 6 ；； 解 ¥®x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++¥®¥®¥®b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ．(2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ；解 由0232³+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)¥+¥-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ．(3)0=x 是xx x f sin )(=的 可去可去可去 间断点间断点间断点; ;解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim0=®xxx ，极限存在，所以0=x 是xx x f sin )(=的可去间断点．的可去间断点．(4)(4)若若a x x =¥®)(lim j (a 为常数为常数))，则=j ¥®)(elim x x ae．解 由复合函数求极限的方法，ax x x x e eelim )(lim )(==j j ¥®¥®．4.解答题⑴ qq q q sin cos 1lim 0-®； 解一 qq q q sin cos 1lim 0-®2cos2sin 22sin 2lim 2q q q qq ®=2cos2122sinlim 0qqqq ×=®2cos 21lim 10q q ®×=21=．解二 无穷小量的等价代换，由于无穷小量的等价代换，由于0®q 时，2~cos 1,~sin 2q q q q -，所以所以 q q q q sin cos1lim 0-®q q q q ×=®2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求，求 1)(lim1-®x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1®x 即01®-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以所以 111lim 1ln lim 1)(lim 111=--=-=-®®®x x x x x x f x x x ．⑶ x xx sin e lim -+¥®；解 +¥®x 时，x-e 是无穷小量，x sin 是有界变量．是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin e lim =-+¥®x xx ．⑷ 设îíì>-£=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--®®x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++®®x x f x x ，所以1)(lim 1=®x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =®，所以函数)(x f 在1=x 处连续．处连续．又因为当1£x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，也连续，所以函数所以函数)(x f 的连续区间为()¥+¥-,．⑸ 设ïïîïïíì>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(xx x x x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-®®,并问)(x f 在0=x 处是否连续；处是否连续；e 1xe 1e 11=--xxe 1e 1e 1111=-=---++xx xxe 1e 11+-=xx 的跳跃间断点．的跳跃间断点． xx 2sin )1ln(lim0+；212lim 2sin )1ln(lim00=+x x x x ．。

第6章 Hilbert 变换科研人员利用各种测量仪器和设备在研究过程中获得的信号都是以实数形式存在的，而以复数形式表示的解析信号可以包含更多的信息。

如果能够得到实值信号的解析形式，在进行理论推导和信号分析的时候就会大有帮助，本章介绍的Hilbert 变换就用来实现这种功能。

Hilbert 变换是信号处理领域中一个非常重要的数学工具，已经被广泛应用到信号调制、滤波器的设计等方面。

笔者在本章中将对Hilbert 变换的定义、性质和算法实现进行介绍。

1. 定义与性质1.1 定义在进行理论推导和信号分析的时候，如果能够将形如ft π2cos 的信号转化为形如ftj e π2或ftj eπ2-的解析形式，不但可以把非线性的三角运算转化为线性的指数运算，还可以得到信号的包络线和瞬时相位等信息。

一般来讲，需要通过Hilbert 变换来实现这种信号转换。

时域中实值函数)(t x 的Hilbert 变换为)(*t x H ，它的定义为)(t x 与tπ1的卷积： ⎰+∞∞--=τττπd t x t x H)(1)(* (6-1)逆向Hilbert 变换的定义是)(*t x H 与t π1-的卷积： ⎰∞+∞---=τττπd t x t x H )(1)(* (6-2)那么，与实值函数)(t x 相对应的解析函数)(t z 可以写成如下形式，由实值函数)(t x 的Hilbert 变换)(*t x H 构成了)(t z 的虚部：)()()()()(*t x j t x d t x jt x t z H ⋅+=-⋅+=⎰+∞∞-τττπ(6-3)公式(6-1)、公式(6-2)和公式(6-3)中的定义域都为时域，因为tπ1的Fourier 变换为⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=⋅-0 ,0 ,00 ,)sgn(f j f f j f j ，实值函数Hilbert 变换的计算也可以在频域实现。

如果)(t z 和)(t x 的Fourier 变换分别是)(f Z 和)(f X ，那么可以推导出)(f Z 与)(f X 之间的关系为：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0 ,00 ),(0 ),(2)(f f f X f f X f Z (6-4)从公式(6-4)可以看出，解析信号的频谱不存在负的频率成份，从而可以使其比实值信号更加具备应用价值。

第六节 函数的连续与间断所谓“连续函数”，在几何上表现为图像是坐标平面上一条连绵不断的曲线，而如果曲线在某些点处“断开”了，那么就是“不连续函数”。

我们不能满足于这种直观的几何认识，因为几何图形虽然能够帮助我们更形象地理解概念，但不能揭示概念的本质属性。

前几节我们学习了“变量在某一变化过程中的终极状态——极限”这一工具，现在我们就利用极限这一工具严格定义“函数的连续与间断”！ 一. 函数的连续：观察如下几种函数图形是否“连绵不断”，只需考察()()?00,()()x f x x f x −−→：1. 函数)(x f y =在一定点0x 的连续、左连续、右连续：设函数f 在点0x 的某一邻域0()U x 内有定义，如果极限0lim ()x x f x →存在且等于0()f x ，那么就称函数()f x 在点0x 连续。

求证：0x R ∀∈，那么指数函数(0,1)xa a a >≠在点0x 连续。

几何意义：“函数f 的图像在点0x 是连绵不断的”。

记自变量x 在点0x 的增量0x x x -=∆，函数()y f x =在点0x 的增量00()()f x f x y y y -=-=∆，那么：函数()f x 在点0x 连续⇔00lim ()()x x f x f x →=⇔[]000lim ()()lim 0x x x f x f x y →∆→-=∆=。

几何意义：“当自变量变化很微小时，因变量的变化也很微小”求证：0x R ∀∈，那么sin x 、cos x 在点0x 都连续。

f 在点0x 的某一左邻域0()U x -内有定义，如果左极限0lim ()x x f x →-存在且等于0()f x ，那么就称函数()f x 在点0x 左连续。

f 在点0x 的某一右邻域0()U x +内有定义，如果右极限0lim ()x x f x →+存在且等于0()f x ，那么就称函数()f x 在点0x 右连续。

第一讲函数、极限和连续一、考点1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式和函数值，尤其注意分段函数，还应会做出简单的分段函数的图像2、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类型3、了解原函数和其反函数之间的关系，会求简单的函数的反函数，注意理解两个函数之间的自变量和因变量之间的关系4、理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程5、掌握基本初等函数的简单性质和图像6、理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限和右极限，了解函数在一点处极限存在的充要条件7、了解函数的有关性质，掌握极限的四则运算8、理解无穷大量、无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量和无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶、等阶）会运用等阶无穷小量代换求极限9、熟练掌握两个重要的极限，最重要的是要明白它们的标准形式，利用它们来简化求极限10、掌握洛必达法则，会用洛必达法则求00、∞∞、∞ - ∞，0⋅∞，00，1∞，∞0型未定式的极限11、理解函数在一点处连续和间断的概念，掌握判断简单函数在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系，会求函数的间断点及确定其类型12、掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单的命题13、理解初等函数在其定义域上连续，会用连续求极限二、例题类型一、求函数的定义域或连续区间及其表达式例 1、求下列函数y=sin x + 1-x2的定义域。

例 2、 f (x ) = 1 -1x (x ≠ 0, x ≠ 1) ，求 f [ f (x )]例 3、设 f (x ) = ⎧1 + x , x < 0 ，求 f [ f (x )]⎨⎩1, x ≥ 01类型二、求函数的值域例 4、求下列函数的值域x +1（1） y = 3 - x 2 - 4x + 9 ；（2） y =； x + 2类型三、函数的性质（奇偶性、有界性、单调性和周期性） 例 5、（1）设函数 f (x ) = [x ] - x , - ∞ < x < +∞ ，则此函数是（ ）A 、有界函数B 、奇函数C 、偶函数D 、无界函数⎧ 3, x ∈[-3, 0]⎪x是（ ）(2) 函数 f (x ) = ⎨⎪-x 3, x ∈ (0, 2]⎩A. 有界函数B. 奇函数C. 偶函数D. 周期函数（3）函数 f (x ) =x sin xe cos x, 在(-∞,+∞)上是 （）A 、有界函数B 、偶函数C 、单调函数D 、周期函数类型四、极限的定义、求简单极限值、极限性质（局部有界性、唯一性、保号性、收敛性）例 6、(1)、 lim(-n n +1 n - 2) = ________.n →∞（2）若 lim( a + x ) = 3，则 a = _______x →11 - x 2x -12(3)若 lim ( x 2+1 + ax + b ) = 2, 则 a = ____, b = _____x →+∞ x +1（4）已知 f (x ) = lim ln(e n + x n) (x > 0) ，求 f (x ) （12 年）n n →∞（5）已知 f (x ) = lim x 2n-1 ，求 f (x ) （16 年）n →∞x 2n+1类型五、无穷大与无穷小例 7、(1) 设当时 x → 0 ， f (x ) 与 g (x ) 均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是（ ） A. f (x ) + g (x ) 一定是 x 的高阶无穷小 B. f (x ) - g (x ) 一定是 x 的高阶无穷小 C. f (x )g (x ) 一定是 x 的高阶无穷小D. f (x ) (g (x ) ≠ 0) 一定是 x 的高阶无穷小g (x) 2(2) 设当 x → 0 时，函数 f (x ) = x - sin x 与 g (x ) = ax n 是等价无穷小，则常数 a ，n 的值为（ ） A. a = 1， n = 3 B. a = 1 ， n = 3 C. a = 1 ， n = 4 D. a = 1 ， n = 43 612 63sin x + x 2 cos 1(3) 极限 limx= （）(1 + cos x ) ⋅ln(1 + x )x→0Ａ. 3Ｂ. 3 Ｃ. 0 Ｄ. 不存在2（4） lim cot x ( 1 - 1) =________.sin xx →0 x类型六、抓大头准则、夹逼准则、单调有界准则、两个重要的极限例 8、（1） lim(cos x ⋅tan 1 + 2x 2+ x +1x x 2-1 ) = ________.x →∞（2） lim(1 +2 + + n ) = ________.n 2+ n + 1 n 2 + n + 2 n 2 + n + nn →∞(3) lim[1 +1 + +1 ]n=________2 ⋅3 n (n +1)n →∞1⋅ 2(4) 设 lim(1 + 2)kx = e -6 ，则 k = ________x →∞ x(5) 极限 lim 2n sinx =_________2nn →∞1(6)极限 lim(cos x ) x =_______x →0(7) 求 lim⎰0x2(1 + t )e tdt = （ ）x 2 e x 2x →0A. 1B. -1C. 0D. 不存在（8）求极限 lim ln(sin 2x + e x) - x = _____ln( x 2 + e 2 x) - 2xx→0类型七、洛必达法则（ 00 、 ∞∞ 、 ∞ - ∞ ， 0 ⋅∞ ， 00 ，1∞ ， ∞0型）例 9、求下列函数的极限π - arctan x 1 -1 1（1） lim 2 ； （2） lim cos x（3） lim( -) ； 1 x tan x x →+∞x →0+x (1 - cos x ) x →0x311（4） lim( x + 1 + x 2) x ； （5） lim(1 - sin 3x ) ；tan x x →∞x →01（6） lim(cos x ) ln(1+ x 2 ) 。