2018届高考数学黄金考点精析精训考点03简单的逻辑联结词全称题词与存在题词理

课内练习与训练
1、给出下列三个命题
①若 ,则
②若正整数m和n满足 ,则
③设 为圆 上任一点，圆O2以 为圆心且半径为1.当 时,圆O1与圆O2相切
其中假命题的个数为.
2、已知命题p：集合 只有3个真子集， ：集合{y|y＝ }与集合{ }相等．则下列新命题：①p或 ；②p且 ；③非p；④非 .其中真命题序号为________．
【示例】►已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在 上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
【试一试】设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．
课题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
学情分析
学生刚学过这块内容，对其掌握还不是很牢固，需要及时加强巩固。
教学目标与
考点分析
1、理清相关相似概念间的异同点；
2、准确把握逻辑联结词的含义和用法；
3、熟练掌握对含有量词命题的否定的方法。
教学重点
对含有量词命题的否定是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
【例1】►已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬ p1)∨p2和q4：p1∧(¬ p2)中，真命题是()．
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0．给出下列结论，其中正确的是()．

高考达标检测（三）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．有下列四个命题，其中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n1解析：选B对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－12加以验证，均不正确，故选B.2．给出以下四个命题：命题p1：存在x∈R，x－2>lg x成立；命题p2：不存在x∈(0,1)，使不等式log2x<log3x成立；命题p3：对任意的x∈(0,1)，不等式log2x<log3x成立；1 命题p4：对任意的x∈(0，＋∞)，不等式log2x< 成立．x其中的真命题有()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4解析：选A p1中取x＝10，则有10－2>lg 10，故命题p1为真命题；由对数函数的性质知，p2为假命题，p3为真命题；p4中取x＝4不等式不成立，故选A.3．(2016·石家庄一模)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或q B．p且qC．q D．綈pπ5π解析：选B取x＝，y＝，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q3 6是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．4．(2017·唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x30<x20；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真解析：选A由x30<x20，得x20(x0－1)<0，解得x0<0或0<x0<1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝log a1＝0，∴命题q为真命题．15．(2017·开封模拟)已知命题 p 1：∀x ∈(0，＋∞) ，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝ 3，则在命题 q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈 p 1)∨p 2和 q 4：p 1∧(綈 p 2)中，真命题是( ) 2A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 433解析：选 C 因为 y ＝(2 )x在 R上是增函数，即 y ＝(2 )x >1在(0，＋∞)上恒成立，π所以命题 p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ 4)≤ 2，所以命题 p2是假命题，綈 p 2是真命题，所以命题 q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈 p 2)是真命题，选 C.1a 1 6．(2017·河北联考)命题 p ：∃a ∈(－∞，－4)，使得函数 f (x )＝|x ＋x ＋1|在[，3 ]上单21调递增；命题 q ：函数 g (x )＝x ＋log 2x 在区间(，＋∞)上无零点．则下列命题中是真命题的2 是( )A ．綈 pB ．p ∧qC ．(綈 p )∨qD ．p ∧(綈 q )a1解析：选 D 设 h (x )＝x ＋ .当 a ＝－ 时，函数 h (x )在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上 x ＋1 211 1 1为增函数，且 h(2 )＝6>0，则函数 f (x )在[，3 ]上必单调递增，即 p 是真命题；∵g (2 )＝211－2<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在(，＋∞)上有零点，即 q 是假命题，故选 D.24 17．(2017·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋ ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈，∃x 2∈[2,3]，x[，1 ]2使得 f (x 1)≥g (x 2)，则实数 a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞) 1解析：选 A 由题意知 f (x )min (x ∈[，1 ])≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为 f (x )min ＝5，2g (x )min ＝4＋a ，所以 5≥4＋a ，即 a ≤1，故选 A.8．(2017·贵阳期末)下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”B ．命题“已知 x ，y ∈R ，若 x ＋y ≠3，则 x ≠2 或 y ≠1”的逆否命题是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在 x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在 x ∈[1,2]上恒成立”D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题解析：选B A：命题的否定是“∃x0∈R，e x0≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y2∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．二、填空题9．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是________．答案：∃x0∈R，cos x0>110．给出下列命题：①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x0∈Z，x30<1；④∃x0∈Q，x20＝3；⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥∃x0∈R，x20＋1＝0.其中所有真命题的序号是________．解析：①显然是真命题；②中，当x＝0时，x2<1，故②是假命题；③中，当x＝0时，x3<1，故③是真命题；④中，对于任意的x∈Q，x2＝3都不成立，故④是假命题；⑤中，只有当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．综上可知，所有真命题的序号是①③.答案：①③11．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]12．(2017·昆明模拟)由命题“存在x0∈R，使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．解析：∵命题“存在x0∈R，使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝22－4m<0，即m>1，故a＝1.答案：1三、解答题13．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．－4 2 2解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0<a≤1.2a a a若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．3∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，1 3∴<a< .2 2∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，1∴Error!∴<a≤1.21故实数a的取值范围为(，1 ].214．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足Error!(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a，由Error!得Error!即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.(1)a＝1时，p：1<x<3.由p∧q为真，知p，q均为真命题，则Error!得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知q是p的充分不必要条件，所以B A，有Error!∴1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．4。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，A级要求；2.全称量词与存在量词的意义，A级要求；3.对含有一个量词的命题否定，A级要求．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)简单逻辑联结词有或(符号为∨)、且(符号为∧)、非(符号为⌝)．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q P或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)存在性命题：含有存在量词的命题．存在性命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，⌝p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，⌝p(x)诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题．()(2)命题⌝(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．( ) (4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，⌝p (x )的真假性相反．( )2．已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题⌝p ，⌝q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________．3．(2015·全国Ⅰ卷改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则⌝p 为________． 4．命题“对于函数f (x )＝x 2＋a x (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题(填“真”或“假”)．5．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】 设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题： ①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④p ∧(⌝q )． 其中真命题是________(填序号)．规律方法 (1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“⌝p ”形式命题的真假． (2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．【训练1】 (2017·南通调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)．在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④⌝q 中，真命题有________(填序号)．考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)(2016·扬州中学质检)已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则⌝p 是________________．(2)(2014·全国Ⅰ卷改编)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1. 其中真命题是________．规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论． (2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考改编)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(⌝p )∨(⌝q )，p ∧q ，(⌝p )∧q ，p ∨(⌝q )中，正确命题的个数为________．考点三 由命题的真假求参数的取值范围 【例3】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；②求出每个命题是真命题时参数的取值范围；③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(2)全称命题可转化为恒成立问题．【训练3】(2017·衡水中学月考)设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若⌝q是⌝p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与⌝p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“⌝p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真． 2．几点注意：(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．基础巩固题组(建议用时：20分钟)1．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则⌝p 为________．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列结论：①p 为真；②⌝p 为假；③p ∧q 为假；④p ∧q 为真． 其中结论正确的有________(填序号)．3．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．4．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．5．2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________．6．(2017·泰州调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题：①p ∧(⌝q )；②(⌝p )∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④p ∧q . 其中真命题有________(填序号)． 7．下列命题： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0； ②∀x ∈R,2x >x 2；③a＋b＝0的充要条件是ab＝－1；④“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件．其中真命题有________(填序号)．8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若⌝p是真命题，则实数a的取值范围是________．9．(2017·衡阳模拟改编)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论：①p∧q是真命题；②p∧q是假命题；③⌝p是真命题；④⌝q是真命题．其中正确的结论是________(填序号)．10．(2017·苏北四市联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x ∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．11．(2017·南通、扬州、泰州调研)给出下列四个命题：①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；③命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则⌝p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0；④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．其中为真命题的是________(填序号)．12．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．能力提升题组(建议用时：10分钟)13．(2016·浙江卷改编)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是____________________．14．(2017·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题：①(⌝p)∧q；②p∧(⌝q)；③(⌝p)∧(⌝q)；④p∧q，其中真命题是________(填序号)．15．(2016·苏、锡、常、镇四市调研)给出下列三个结论：①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题；②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1>0”；③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题．其中正确的结论为________(填序号)．16．已知命题p：∃x∈R，e x－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(⌝q)为假命题，则实数m的取值范围是________．。

与真假的判断.
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第一章
集合与常用逻辑用语
互动探究 1.把例1中的要求改为“写出下列各组命 题构成的(¬ p)∨(¬ q),(¬ p)∧(¬ q)形式的
复合命题,并判断真假”.
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第一章
集合与常用逻辑用语
解：(1)¬ p：有些平行四边形的对角线 不相等,真命题.
¬ q：有些平行四边形的对角线不互相垂
第一章
集合与常用逻辑用语
【思路分析】
(1)利用“或”、“且
”、“非”把两个命题联结成新命题;
(2)根据命题p和命题q的真假判断复合 命题的真假.
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第一章
集合与常用逻辑用语
【名师点评】
正确理解逻辑联结词“
或”、“且”、“非”的含义是解题的 关键,应根据组成各个复合命题的语句
中所出现的逻辑联结词,进行命题结构
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第一章
集合与常用逻辑用语
【解】
2
(1)¬ p：存在一个实数 m0,使方程
x ＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m2＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. 0 (2)¬ p：所有的三角形的三条边不全相等. 显然¬p 为假命题.
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第一章
集合与常用逻辑用语
(3)¬ p：有的菱形的对角线不垂直. 显然¬p 为假命题. (4)¬ p：∀x∈N,x2－2x＋1>0. 显然当 x＝1 时,x2－2x＋1>0 不成立,故¬p 是假命题.
a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2 ＋2ax
＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命
题，则实数a的取值范围是________． 【思路分析】 先判断p与q的真假，再 各自求出a的范围，p且q是真命题，因 而p、q皆真，可取a的范围的交集，即