平行线分线段成比例定理基础练11习

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中， 如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

2、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.3、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.4、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEE DC B AEDCBAFE DCBAFEDCBAECA5、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

6、（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

7、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.28、如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.9、如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.10、如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中， 如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

2、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.3、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.4、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEE DC B AEDCBAFE DCBAFEDCBAFE DCBA5、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

6、（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

7、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.28、如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.9、如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.10、如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

平行线分线段成比率专题训练知识梳理平行线分线段成比率定理及其推论1. 平行线分线段成比率定理以下列图，假如 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，则BCEF，ABDE， AB AC .AC DFACDFDEDFADl 1BEl 2CFl 32. 平行线分线段成比率定理的推论：如图，在三角形中，假如 DE ∥ BC ，则AD AE DE ABACBCAEDDEA3. 平行的判断定理：如上图，假如有AD AE DE，那么 DE ∥ BC 。

AB ACBCBC BC专题解说专题一、平行线分线段成比率定理及其推论基本应用【例 1】如图， DE ∥ BC ，且 DB AE ,若 AB 5 ，AC 10 ，求 AE 的A长。

DEBC【例 2】如图，已知 AB / /EF / /CD ，若 ABa ， CDb ， EFc ，求证：1 1 1 .CcabAEBFD【稳固】如图， ABBD ，CD BD ，垂足分别为 B 、D ， AC 和BD 订交于点 E ， EFBD ，垂足为 F .证明：11 1 . CABCDEFAEBFD【例 3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB12 ，CD 9，过对角线交点 O 作EF∥CD 交 AD，BC于 E，F ，求EF的长。

D CE FOA B【稳固】（上海市数学比赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，AF交BE于P， CE 交DF于 Q ，求PQ 的长。

AED P QBFC专题二、定理及推论与中点相关的问题【例 4】（2007 年北师大附中期末试题）（1）如图（ 1），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE 1AB ，4连结 EM 并延伸，交BC的延伸线于 D ，则BC_______.2）如图（2），已知ABC中，AE : EB CD2:1 ，AD与CE 订交于F，（1:3 ，BD : DC则 EF AF的值为（）FC FDA 5A.32AEC.2E MFB DB CD C(1)(2)（ 2001 年河北省中考试题）如图，在 ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为 AC 边上的随意一点， BE 交 AD 于点 O .（1）当AE1时，求AO的值；AC 2 AD（ 2）当AE 1 1 时，求AO的值；AA C3 、 AD4（3）试猜想AE1 时AO的值，并证明你的猜想 .EA C n1ADOB D C【例 5】（2010 年湖北恩施中考题） 如图， AD 是 ABC 的中线，点 E 在 AD 上， F是 BE 延伸线与 AC 的交点 .（1）假如 E 是 AD 的中点，求证：AF1 ；FC2（2）由（1）知，当 E 是 AD 中点时，AF1AE建立，若 E 是 AD 上随意一点FC2 ED（ E 与 A 、 D 不重合），上述结论能否仍旧建立， 若建立请写出证明， 若不建立，请说明原因 .AFEBDC【稳固】 如图，已知 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD上的一点，且 BEAC ，延伸 BE 交 AC 于 F 。

平行线分线段成比例的一些学习技巧平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。

而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。

下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。

例1（1）已知，则=（2）如果，那么的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10分析本考题主要考查比与代数式比的互换.第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：，整理后再转化成比的形式，便有对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.例2、已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .分析这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从可求出，便有比例式或，从，又能求出，也得到比例式等等.例3如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.分析应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.解过D作DG∥CA交BF于G，则中点，DG∥AF，例 4如下图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：分析待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与化归为同一直线AB上的线段比而证得.证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.例5、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求的值.解设则三式相加，得当时，有时，则，这时原式=例6如下图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.证明DE∥AC，∥，..BF∥AE.。

23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得()()＝()()，解得EF ＝________．图23－1－32．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．6图23－1－43．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．图23－1－54．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．图23－1－65．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？图23－1－8知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则AD BD ＝（ ）（ ）＝________．图23－1－98．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 35图23－1－109．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是( )A.ABAD＝ACAEB.ABAC＝ADAEC.ADBD＝AEECD.ABDE＝ACEC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED ＝________．图23－1－1211．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．图23－1－1312．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．图23－1－1413．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．图23－1－1716．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．图23－1－1817．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC ，所以FC ＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163 cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)． 故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE BD 于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作∥，交于点G ， 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BDDC.又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BD DC＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ， ∴CF ＝2AF ，∴CF AF＝2. 15．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163. 16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ， ∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E, 则 BD DC ＝ADDE.又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.。

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 会识别相似三角形掌握相似三角形的概念、判定和性质，会用相似三角形的性质和判定解决简单问题会运用相似三角形的性质和判定解决有关问题一、比例1、比例的基本性质：1),a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理);4)a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5)a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6)a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7)(0)a c m a c m a b d n bd n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).2、比例中项：若::a b b c =,则b 叫做,a c 的比例中项. 3、如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF=.此定理 称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.知识点睛中考要求第一讲相似三角形l 3l 2l 1FE D CB A二、平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容，能够利用平行线分线段成比例定理解决相应的题目难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用 关键：掌握好与相似的过渡重、难点板块一、比例的基本性质【例1】 已知：a cb d=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项。

中考数学每日一练：平行线分线段成比例练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_图形的相似_平行线分线段成比例练习题~~第1题~~(2020宁波.中考模拟) 已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n）是抛物线上的一个动点．（1）如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，请通过测量或计算，比较PA 与PB 的大小关系：PAPB （直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；（2） 请利用（1）的结论解决下列问题：①如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，简单说明理由；②如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．考点： 两点间的距离;垂线段最短;平行线分线段成比例;~~第2题~~(2020青浦.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上一点，AE 与BD 交于点F， DE ∶EC=2∶3．（1）求BF ∶DF 的值；（2） 如果 ， ，试用 、 表示向量 ．考点： 平面向量;平行线分线段成比例;~~第3题~~(2020青浦.中考模拟) 已知：如图，在△ABC中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ， BE 与AD 、AC 分别相交于点F、G ，．（1） 求证：△CAD ∽△CBG ；（2） 联结DG ，求证： ．考点： 平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;~~第4题~~(2020松江.中考模拟) 已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ， .答案答案（1） 求证：EF ∥BD ；（2） 如果，求证：.考点： 平行线的性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;~~第5题~~(2020长宁.中考模拟)如图，在梯形ABCD 中，点E， F 分别在边AB ， CD 上，AD ∥EF ∥BC ， EF与BD 交于点G ，AD ＝5，BC ＝10，＝．（1）求EF 的长；（2） 设 ＝ ， ＝，那么 ＝， ＝．（用向量 、 表示）考点： 平面向量;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学：图形的变换_图形的相似_平行线分线段成比例练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

专题11平行线分线段成比例（2个知识点2种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）【方法二】实例探索法题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明【方法三】仿真实战法考法.平行线分线段成比例【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论。

2.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。

数学表达式：如图：,,.a b c AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AB DE∴=== ，简单记为：.===上上上上下下，，下下全全上上平行线分线段成比例速记口诀！！！平行线分线段，成比例是关键。

先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。

【例1】如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别截直线l 4于点A 、B 、C ，截直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3．（1）如果AB ＝4，BC ＝8，EF ＝12，求DE 的长．（2）如果DE ：EF ＝2：3，AB ＝6，求AC的长．【变式】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12 B.2 C.25 D.35知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的对应线段成比例。

数学表达式：如上图1,,.DE BC AD AE AD AE DB EC AB AC DB EC AB AC∴=== ，【例2】如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，23AE EC =∶∶，DE BC =∶．【变式】如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，AC ＝6，求EC ．【例3】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC的值．【变式】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．A DC B EF【方法二】实例探索法题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值1.如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长．AB CD EF2.如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1、l 2、l 3所截．若AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，EF ＝4cm ．（1）求DE 、DF 的长；（2）如果AD ＝40cm ，CF ＝80cm ，求BE的长．题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明3.如图，DE ∥BC ，EF ∥CG ，AD ：AB ＝1：3，AE ＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．4.如图，P为ABCDY对角线BD上任意一点．求证：PQ PI PR PS⋅=⋅．5.如图，ABCDY中，过D的直线交AC，AB及CB的延长线于E，F，G．求证：2=⋅．DE EF EG6.如图：△ABC中，MD AB，MN AE．求证：CDCB＝CN CE．7.在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．8.如图，在ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，点H为AD中点，延长BH交AC边于点E，求证：AE BD CE BC=．9.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：12OG CF =．【方法三】仿真实战法考法.平行线分线段成比例1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A．B．C．D．3．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4B．6C．7D．124．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．5．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，且AB ＝BC ＝CD ．为使其更稳固，在A ，D 1间加绑一条安全绳（线段AD 1）量得AE ＝0.4m ，则AD 1＝m ．6．（2022•襄阳）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，△ABC 的角平分线AE 交BD 于点F ，若BF ：FD ＝3：1，AB +BE ＝3，则△ABC 的周长为．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，D 在AC 边上，:1:2AD DC ==，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，若1BE =，则EC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．42．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BE 上的点，若:1:3BF FD =，12AD =，则EC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．93．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在ABC 中，DE AB ∥，且23CD BD =，则CE CA 的值为（）A ．25B ．23C ．45D ．324．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，DE BC ∥交AC 边于点E ，若:2:3AD BD =，10AC =，则线段CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．35．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（）A ．BD DF AD AC =B ．BF AE FC EC =C ．BF DF FC AC =D ．BF CE FC AE=6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在ABC 中，D 、E 分别为AB AC 、边的中点，连接DE ，点F 为BC 边上一点，2BF FC =，连接AF 交DE 于点N ，则下列结论中错误的是（）A ．12AN AF =B ．23DN DE =C ．12AD AC =D ．12NE FC =7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB CD EF ∥∥，:1:2BD DF =，那么下列结论中，正确的是（）A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB EF =8．（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）已知123l l l ∥∥，35AB BC =，9DE =，则DF =（）A ．12B ．18C ．24D ．269．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线PQ 是矩形ABCD 的一条对称轴，点E 在AB 边上，将ADE V 沿DE 折叠，点A 恰好落在CE 与PQ 的交点F 处，若43DEC S =△，则AD 的长为（）A ．4B ．2C ．43D ．2310．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =．点F 是AB 中点，连接CF ，把线段CF 沿射线BC 方向平移到DE ，点D 在AC 上．则线段CF 在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是()A ．16，6B ．18，18C ．16.12D ．12，16二、填空题11．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，AB CD EF ∥∥，如果2AD =，1DF =，5BE =，那么CE =．12．（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，在ABC 中，10,8,AB AC BC D ===是BC 的中点，G 是AD 的中点，则AE 的长为．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM AB ∥交AD 于点M ，若3OM =，4OB =，则BC 的长为．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，且13DC BC =，DE AC ∥，交AB 于点E ．若3DE =，则BE 的长是．15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）如图，AB CD ，AC 、BD 相交于点E ，1AE =，2EC =，3DE =，则BD 的长．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，CG 平分ACB ∠，过点A 作AH CG ⊥交BC 于点H ，且H 是BC 的中点．若4AH =，6CG =，则AB 的长为．17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D E ，分别在边AB AC ，上，且23DB AD AE EC ==，，连接BE CD ，，相交于点O ，则ABO 面积最大值为．18．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE BE AC 、、，AE BE =，BE 交AC 于点F ，若2180CFE ACB ∠+∠=︒，3EF =，则BC 边长为．三、解答题19．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P 为ABCD Y 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS ⋅=⋅．20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．21．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图，已知直线1l 、2l 、3l 分别截直线4l 于点A 、B 、C ，截直线5l 于点D 、E 、F ，且123l l l ∥∥．如果:2:3DE EF =，6AB =，求AC 的长．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．23．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE AD ⊥于点,E CF AD ⊥于点F ．(1)求证：BE CF =．(2)若90,2BAC AD DE ︒∠==，求BAE ∠的度数．24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN CP ∥．若6cm AB =，求PN 的长．25．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在ABC 中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ AB ∥，当PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．26．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD CE =，EB 的延长线交AD 于点F ．(1)求AFE ∠的度数；(2)延长EF 至点G ，使FG AF =，连接CG 交AD 于点H ，依题意补全图形，猜想线段CH 与GH 的数量关系，并证明．。

1．2平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段____________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则__________________．预习导学1．成比例ABBC＝DEEF2．成比例ADAB＝AEAC►一层练习1．如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则B1C1的长为()A．6 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm1．D2．如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶12.D3．如图所示，△ACE的中，点B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCEB．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDED．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE3.D4．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是()A.ADDC＝AF DEB.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC 4.D5．如图，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝________．5.52 ►二层练习6．如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于点G ，交BC 于点F ，下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.C7．如图所示，已知有▱ABCD ，点N 是AB 延长线上一点，DN 交BC 于点M ，则BC BM －ABBN 为( )A.12 B ．1 C.32 D.23 7.B8．(2015·汕头市高三质量监测，文)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4，则BF ＝____．8.439．如下图(左)所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，且AB ＝2，AD ＝2，则AF ＝________．9.110．如上图(右)，E ，F 是梯形ABCD 的腰AD ，BC 上的点，其中CD ＝2AB ，EF ∥AB ，若EF AB ＝CD EF ，则AEED＝________． 10．解析：过A 作AH ∥BC ，交EF 、CD 于G 、H .设AB ＝a ，CD ＝2a ，则EF AB ＝CDEF .有EF ＝2a .由EF ∥AB ∥CD 得AE AD ＝EG DH ＝EF －ABCD －AB ＝2a －a 2a －a ＝2－1.又AD ＝AE ＋ED ， 故AE AE ＋ED＝2－1，得AE ED ＝22.答案：2211．如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．11．解析：过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则BG GF ＝BD DC ＝53.∵E 为AD 的中点，DG ∥AF ， ∴△DGE ≌△AFE ，EG ＝EF . ∴BG EF ＝BG 12GF ＝2BG GF ＝2×53＝103.故BE EF ＝BG ＋EF EF ＝BG EF ＋1＝103＋1＝133. ►三层练习12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．12.7513．在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝13BD ，延长AE交BC 于点F ，则BFFC的值为________．13．解析：如图，过D 作DG ∥AF ，交BC 于G . 在△BDG 中，DG ∥AF 且BE ＝13BD ，则BF ＝12FG ，同理，CG ＝12FC .即CG ＝FG .∴BF ＝14FC .即BF FC ＝14.答案：1414．已知：如图所示，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .14．证明：在正方形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE .∴CFAB ＝FGAD.∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG . 15．如图所示，在▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .(1)求证：DG 2＝GE ·GF ； (2)求证：CF CB ＝AB AE.15．证明：(1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG ，∴DG GE ＝GFDG，即DG 2＝GE ·GF .(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE ，∴CF CB ＝ABAE.点评：利用定理或其推论解决问题时，要注意寻找图形中的基本图形“A ”型或“X ”型． 16．如图所示，AC ∥BD ，AD 、BC 相交于点E ，EF ∥BD ，求证：1AC ＋1BD ＝1EF.16．证明：∵AC ∥EF ∥BD ，∴EF AC ＝BF AB ，EF BD ＝AF AB. 两式相加得：EF AC ＋EF BD ＝BF ＋AF AB ＝AB AB ＝1， 即1AC ＋1BD ＝1EF.1．定理应用注意事项．(1)定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截，平行线的条数还可以更多．(2)定理比例的变式：对于3条平行线截两条直线的图形，需要注意以下变化：如果已知a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，可以归纳为上下＝上下，上全＝上全，左右＝左右等，便于记忆． 2．解题思路．(1)利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助线的方法．(2)“平行线”在解决比例问题时有很重要的作用，如题目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系，需构造一组平行线，利用平行关系，找出对应的比例关系．【习题1.2】 1． 解析：如图所示，由题意知△OCD ∽△OAB ，∴△OCD 与△OAB 的三边对应成比例．∴AB CD ＝OB OD .∵CD ＝6，AB ＝8，BD ＝15，∴86＝OB 15－OB ，解得OB ＝607，∴OD ＝15－607＝457. 2． 证明：(1)如图所示，由题意知DE ∥BC ，∴DF BG ＝AF AG ，FE GC ＝AF AG，∴DF BG ＝FE GC ，∴BG GC ＝DF FE. (2)由题意知DE ∥BC ，∴FE BG ＝DF OG ，DF GC ＝OF OG ，∴FE BG ＝DF GC ，即BG GC ＝FE DF .又由(1)知BG GC ＝DF FE ，∴BG GC ＝GCBG，即BG 2＝GC 2，∴BG ＝GC . 3．解析：方案1：如图(1)所示，在AB 的一侧选择一点C ，连接AC ，BC (保证AC 的长度能够测量)，测量出AC 的长．在AC 上选一点D ，过点D 作DE ∥AB (即∠1＝∠2)交CB 于点E (保证DE 的长度能够测量)，再测量出CD ，DE 的长．此时，△CDE 与△CAB 的三边对应成比例，所以CD AC ＝DEAB，由此可以计算出AB 的长度．方案2：如图(2)所示，在AB 的一侧选择一点C ，使AC ⊥AB 于A (保证BC 的长度能够测量)，测出AC ，BC 的长度，由勾股定理即可算出AB 的长．说明：此题是一个开放性问题，测量AB 的长度的方案还有许多(如取∠ACB 为特殊角等)，因此，可以去积极探索不同方案．4．(1)证明：如图所示，连接AC ，与EF 交于G ，∵EF ∥AD ∥BC ，∴EG BC ＝AE AB， 即EG ＝AE AB ·BC ，GF AD ＝CFCD ，即GF ＝CFCD·AD . ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝13， 而AE AB ＝DF CD ，∴DF CD ＝13，∴CF CD ＝23， ∴EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝13BC ＋23AD ，∴3EF ＝BC ＋2AD .(2)证明：如果AE EB ＝23，那么AE AB ＝25.同理可推得CF CD ＝35.由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝25BC ＋35AD ，∴5EF ＝2BC ＋3AD .(3)解析：如果AE BE ＝m n ，那么AE AB ＝mm ＋n.同理可推得CF CP ＝n m ＋n .由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝m m ＋n BC ＋nm ＋n AD ，∴(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。