三年高考(2016-2018)数学(文)试题分项版解析——专题15 不等式性质,线性规划与基本不等式(解析版)

专题08 导数与不等式、函数零点相结合2018年高考全景展示1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。

2．【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.2017年高考全景展示1.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】试题分析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x eg x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3l n (1)l n a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

专题04 函数性质与应用考纲解读明方向1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定义或导数判断或证明函数的单调性等.2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的重视.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．2．【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3.【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.2017年高考全景展示1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2.【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭写成分段函数的形式：()())132,021112,0222112,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且：)01111,201,12142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，据此x 的取值范围是：1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【考点】 分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 3.【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110xx x g x ex e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．4.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞ 【解析】试题分析：[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论： ①．当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②．当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③．当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式，由[][]41,4,4,5x x x∈+∈，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论． 5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤, 则实数a 的取值范围是 . 【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内2016年高考全景展示1.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.11x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C考点： 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.3. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5.【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x =0处有意义，常用f (x )=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.6.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化。

2018-2016三年高考专题文科数学专题分类汇编：参数方程和极坐标与不等式（解析附后）考纲解读明方向法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018C为参数)与该圆相交于A ，B ___________.2．【2018a =__________．3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l C 的方程为l 被曲线C 截得的弦长．4．【2018年文新课标I（1（25．【2018（1（26．【2018年文数全国卷II.（1（27．【2018年江苏卷】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=68．【2018年文新课标I（1（29．【2018（1（210．【2018年文数全国卷II（1（22017年高考全景展示1.【2017天津，文11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.2.【2017北京，文11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.3. 【2016年高考北京文数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.4.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a.5.【2017课标1，文】已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.6. 【2017课标II ，文22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

考纲解读明方向分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a ，B. 对任意实数a ，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

专题08 导数与不等式、函数零点相结合2018年高考全景展示1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。

2．【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[，1）．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f （θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=时，f （θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.2017年高考全景展示1.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】试题分析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3l n (1)l na a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

专题28 选修部分 文考纲解读明方向 考纲解读分析解读 1.本章主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年文数天津卷】已知圆的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处文直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．2．【2018年文北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.详解：因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.4．【2018年文新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）综上，所求的方程为．【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.【2018年全国卷Ⅲ文】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点5．且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。

专题01 集合考纲解读明方向分析解读1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年理北京卷】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．【2018年理新课标I卷】已知集合，则A. B.C. D.【答案】B点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．【2018年全国卷Ⅲ理】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合A得,所以，故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。

4．【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】.，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.5．【2018年理数天津卷】设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】 由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．【2018年江苏卷】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：. 点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 【答案】C【考点】 交集运算，元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性.3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【考点】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B =（ ）（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3} （C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3} 【答案】A【解析】利用数轴可知{}21A B x x =-<<-，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-． 【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，， ,选B【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 7.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2016年高考全景展示1.【2016课标1,理1】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.2.【2016新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．3.【2016新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 4. 【2016山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则AB =∞（-1，+），选C. 考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面. 5.【2016浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=-R R Q x x P Q 痧．故选B ．考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．6.【2016年北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}- 【答案】C【解析】由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C. 考点：集合交集.【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．7.【2016年四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}AZ =--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.8．【2016天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}【答案】D 【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D. 考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.9.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ____________. 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}AB x x =--<<=-考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解。

专题32 选修部分考纲解读明方向等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 2．【2018年理北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a =__________．【答案】点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.详解：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.4．【2018年理新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）综上，所求的方程为．【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点5．且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。

专题32 选修部分考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.含绝对值不等式的解法理解绝对值的几何意义,会证明和求解绝对值不等式掌握2017课标全国Ⅰ,23;2016课标全国Ⅰ,24解答题★★★2.不等式的证明了解证明不等式的基本方法掌握2017课标全国Ⅱ,23;2016课标全国Ⅱ,24解答题★★☆分析解读 1.本章主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.2．【2018年理北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．4．【2018年理新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．5．【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．6．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．7．【2018年江苏卷】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．8．【2018年理新课标I卷】已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．9．【2018年全国卷Ⅲ理】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．10．【2018年理数全国卷II】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．2017年高考全景展示1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.2.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0）， 则|AP |的最小值为___________.3. 【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.4.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a.5.【2017课标1，理】已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.6. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

专题28 选修部分 文考纲解读明方向 考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型 预测热度 1.含绝对值不等 式的解法文解绝对值的几何意义,会证明和求解绝对值不等式掌握2017课标全国Ⅰ,23;2016课标全国Ⅰ,24 解答题★★★2.不等式的证明 了解证明不等式的基本方法掌握2017课标全国Ⅱ,23;2016课标全国Ⅱ,24解答题★★☆分析解读　1.本章主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.2.绝对值不等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.2018年高考全景展示1．【2018年文数天津卷】已知圆的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处文直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．2．【2018年文北京卷】在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．【答案】【解析】分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.详解：因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.4．【2018年文新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）综上，所求的方程为．【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.5．【2018年全国卷Ⅲ文】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。

专题01 集合文考纲解读明方向分析解读1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年新课标I卷文】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.2．【2018年全国卷Ⅲ文】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。

详解：由集合A得,所以，故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.4．【2018年北京卷文】已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：，，，故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.5.【2018年天津卷文】设集合，，，则A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.6．【2018年浙江卷】已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】试题分析：分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 7．【2018年江苏卷】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：. 点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2017年高考全景展示1.【2017课表1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【考点】集合运算．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2.【2017课标II ，文1】设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==则AB =A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =，故选A.【考点】集合运算【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 3.【2017课标3，文1】已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得：{}2,4AB = ，A B 中元素的个数为2，所以选B.【考点】集合运算【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4.【2017天津，文1】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得：{}(){}1,2,4,6,1,2,4A B A B C =∴=.本题选择B 选项.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5.【2017北京，文1】已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ð （A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ 【答案】C【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.6.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ， }20{<<=x Q ，则=Q PA ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A 【解析】试题分析：利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-． 【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 7.【2017山东，文1】设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =A.()1,1-B. ()1,2-C. ()0,2D. ()1,2 【答案】C【考点】 不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图．8.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2016年高考全景展示1. 【2016高考新课标1文数】设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =剟,则A B =（ ）（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B【解析】试题分析：集合A 与集合B 公共元素有3,5,}5,3{=B A ,故选B. 考点：集合的交集运算2.【2016高考新课标2文数】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ） （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，，（D ）{12}， 【答案】D 【解析】试题分析：由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D.考点： 一元二次不等式的解法，集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝（ ） （A ）{48}, （B ）{026}，,（C ）{02610}，，,（D ）{0246810}，，，，,【答案】C考点：集合的补集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．4. 【2016高考天津文数】已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =（ ）（A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{（D ）}3,2,1{【答案】A【解析】{1,3,5},{1,3}B A B ==,选A.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.5.【2016高考四川文科】设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，{1,2,3,4,5}AZ =，故其中的元素个数为5，选B.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.6. 【2016高考浙江文数】已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）ð=（ ） A.{1} B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}【答案】C考点：补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．7.【2016高考北京文数】已知集合={|24}A x x <<，{|3B x x =<或5}x >，则A B =（ ）A.{|25}x x <<B.{|4x x <或5}x >C.{|23}x x <<D.{|2x x <或5}x >【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点： 集合交集【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合)}(|{x f y x =，)}(|{x f y y =，)}(|),{(x f y y x =三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．8. 【2016高考山东文数】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ð=（ ）（A ）{2,6} （B ）{3,6}（C ）{1,3,4,5}（D ）{1,2,4,6}【答案】A考点：集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.9.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ____________. 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}AB x x =--<<=-考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解。

专题08 导数与不等式、函数零点相结合 文考纲解读明方向2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】已知函数f (x )=−ln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x 1，x 2关系，再化简f (x 1)+f (x 2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.2.【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程。

（2）当时，,令，只需证明即可。

详解：（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，,令，将问题转化为证明很关键，本题难度较大。

专题30 推理与证明考纲解读明方向考纲解读分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.2017年高考全景展示1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。

看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。

根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。

数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。

而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。

2.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案①Q1②p23.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.4.(2017北京,20,13分)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.解析本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k-na k)=(b k+1-b k)-n(a k+1-a k)=2-n<0,所以b k-na k关于k∈N*单调递减.所以c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,c n=1-n,于是c n+1-c n=-1,所以{c n}是等差数列.(2)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,则b k-na k=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以c n=①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此c n=b1-a1n.此时,c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,c n=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,c n,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1<d2.所以==n(-d1)+d1-a1+d2+≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.对任意正数M,取正整数m>max,故当n≥m时,>M.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【答案】1和3考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.。

考点1集合的概念与运算1．(E ，全国新课标，5 分)已知集合 A = {x | -1 < x < 2}, B = {x | 0 < x < 3}, 则 A B =( )A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)2．(D ，全国新课标，5 分)已知集合 M = {x | -1 < x < 3}, N = {x | -2 < x < 1}, 则 MN =A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)3．(E ，广东，5 分)若集合 M = {-1,1}, N = {-2,1, 0}, 则 MN =A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}4．(E ，福建，5 分)若集合 M = {x | -2 ≤ x < 2}, N = {0,1,2}, 则 MA.{0}B.{1}C.{0,1,2}D.{0,1}N 等于 ()5．(E ，安徽，5 分)设全集U = {1,2,3,4,5,6}, A = {1, 2}, B = {2,3,4}, 则 AA.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}(C ⋃ B) =A .{1,4}B .{2,3}C.{9,16}D.{1,2}6．(C ，全国新课标，5 分)已知集合 A = {1,2,3,4}, B ={x | x = n 2, n ∈ A}, 则A B =( )A .{0}B .{-1,0}C .{0,1}D .{-1,0,1}7．(C ，北京，5 分)已知集合 A = {-1,0,1}, B = {x | -1 ≤ x < 1}, 则 A B =( )8．(E ，北京，5 分)若集合 A = {x | -5 < x < 2}, B = {x | -3 < x < 3}, 则 AB = ()A.{x | -3 < x < 2}B.{x | -5 < x < 2} c {x | -3 < x < 3} D.{x | -5 < x < 3}9．(C ，山东，5 分)已知集合 A ，B 均为全集U = {1,2, 3,4} 的子集，且￠ ( AB) = {4}, B = {1,2}, 则UA CB = ()UA.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅10．(C ，江西，5 分)集合 A = {2,3}, B = {1,2,3}, 从 A,B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是( )12．(B ，浙江，5 分)设全集U = {1,2,3,4,5,6}, 集合 P = {1,2,3,4}, Q = {3,4,5}, 则 P(C2 1 1 1 A.B.c. D.32 3 611．(B,辽宁，5 分)已知全集U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9}, 集合 A = {0,1,3,5,8}, 集合 B = {2,4,5,6,8}, 则(C A) (C B) = ()U UA.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}U Q) = (A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2})13. (B ，湖南，5 分)设集合 M = {-1,0,1}, N = {x | x 2 = x}, 则 MN =A.{-1,0,1}B .{0,1}c .{1}D .{0}14．(B ，陕西，5 分)集合 M = {x | kx > 0}, N = {x | x 2 ≤ 4}, 则 M N = A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2]A.{-1,0}B.{0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}15. (D ，四川，5 分)已知集合 A = {x | ( x +1)( x - 2) ≤ 0},集合 B 为整数集，则 AB = ()N=(16.(D，广东，5分)已知集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M)A.{0,2}B.{2,3} c.{3,4} D.{3,5}B=()17.(E，山东，5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0},则AA.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)18．(B，广东，5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则C M=()UAU1h.{1,2,4h c.{1,3,5} D.{2,4,6}B=R,则a 19．(C，上海，5分)设常数a∈R,集合A={x|(x-1).(x-a)≥0},B={x x≥a-1}.若A的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.L2,+∞)Q等于()20.(D，福建，5分)若集合p={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P.A.{x | 3 ≤ x < 4}B.{x | 3 < x < 4}C.{x | 2 ≤ x < 3}D.{x | 2 ≤ x ≤ 3}21. (E ，浙江，5 分)已知集合 p = {x {x 2 - 2 x ≥ 3}, Q = {x | 2 - 4}, 则 PQ =A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2) D(-1,3]22. (E ，天津，5 分)已知全集U = {1,2,3,4,5,6}, 集合 A = {2,3,5 }集合 B = {1,3,4,6}, 则集合 A C B =UA.{3}B.{2,5}C.(1,4,6)D.{2,3,5}23．(A ，福建，5 分)若集合 M = {-1,0,1}, N = {0,1, 2}, 则 MN 等于A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}24．(E ，四川，5 分)设集合 A = {x | -1 < x < 2}, 集合 B = {x |1 < x < 3}, AB =A.{x | -1 < x < 3}B.{x | -1 < x < 1}C.{x | 1 < x < 2}D.{x | 2 < x < 3}25．(C,辽宁，5 分)已知集合 A = {0,1,2,3,4}, B = {x || x |< 2}, 则 AB =A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}26．(A ，湖北，5 分)已知U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {1,3,5,7}, B = {2,4,5}, 则 C ( AB) =UA.{6,8}B.{5,7} c.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8}27．(A ，全国新课标，5 分)已知集合 M = {0,1,2,3, 4}, N = {1,3,5}, P = MN , 则 P 的子集共有(A2 个 B. 4 个 C ．6 个 D ．8 个)28．（A ，安徽,5 分）集合U = {1,2,3,4,5,6}, s = {1,4,5}, T = {2,3,4}1 则 S(CUT ) 等于 ( )A.{1,4,5,611B.{1.5} c.{4} D.{1,2,3.4,5}29. (A ，江西，5 分)若全集U = {1,2,3,4,5,6}, M = {2,3}, N = {1,4}, 则集合{5，6}等于()A.M NB.M NC.(C M ) (C N )D.(C M ) (C N )UULJU30．(A,浙江，5 分)若 p = {x | x < 1},∈ -{x | x > -1}, 则A.P ⊆ QBQ ⊆ PC.C P ⊆ QD.Q ⊆ C PRR31．(E ，重庆，5 分)已知集合 A = {1,2,3}, B = {1,3}, 则 AB =A.{2}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2.3}, B = x x < 1 ,32．(E ，陕西，5 分)设集合 M = {x | x = x}, N = {x | lg x ≤ 0}, 则 MN = ()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]33.（D ，湖北，5 分）已知全集 U={l ，2，3，4，5，6，7），集合 A={1，3，5，6）， C A =UA.{1,3,5,6}B.{2,3.7}C.{2,4,7}D.{2.5.7}34．(E,湖北，5 分)已知集合 A = {( x , y) | x 2 + y ≤ 1, x, y ∈ z}, B = {( x , y) x ≤ 2, y ≤ 2, x, y ∈ z},定义集合 A ⊕ B = {( x + x , y + y ) | ( x , y ) ∈ A, ( x , y ) ∈ B}, 则 A ⊕ B 中元素的个数为( )1 2121122A. 77B.49C.45D.3035．(E,江苏，5 分)．已知集合 A = {1,2,3 }B = {2,4,5},则，则集合 AB 中元素的个数为36．(B ，上海，4 分)若集合 A = {x 2x - 1 > 0}{ }则A B =________37. (C ，江苏，5 分)集合{-1，O ，1}共有____个子集38. (A ，上海，4 分)若全集 U=R ，集合 A = {x x ≥ 1} ，则 C A =U39．(E,湖南，5 分)已知集合U = {1,2,3,4}, A = {1,3}B = {1,3,4}, 则 A40．(D ，江苏，5 分)已知集合 A = {-2, -1,3,4}, B = {-1,2,3 }则 AB =(C B) =U_______L41．(D,重庆，5 分)已知集合 A = {3,4,5,12,13} , B = {2,3,5,8,13}, 则 A B =________42．(E ，上海，4 分)设全集U = R. 若集合 A = {1,2,3,4}, B = x 2 ≤ x ≤ 3}, 则 A C B =U答案5 b c考点 2 逻辑联结词和四种命题l- (E ，湖北，5 分)命题 " ∃x ∈ (0, +∞),ln x = x - 1" 的否定是()0 0A.∃x ∈ (0, +∞), l nx =/ x - 1B.∃x ∉ (0,+∞), ln x = x - 10 0C.∀x ∈ (0,+∞), ln x =/ x - 1D.∀x ∉ (0,+∞), ln x = x - 12．(D ，安徽，5 分)命题 "∀x ∈ R,| x | + x 2 ≥ 0" 的否定是()A.∀x ∈ R,| x | + x 2 < 0B.∀x ∈ R,| x | + x 2 ≤ 0C.∃x ∈ R,| x | + x 2 < 0D.∃x ∈ R,| x | + x 2 ≥ 00 03．(D ，辽宁， 分)设 a ， ， 是非零向量.已知命题 p:若 a ⋅ b = 0, b ⋅ c = 0, 则 a * C = 0; 命题 q: a // b , b // c,则 a // c. 则下列 命题中真命题是（）A.P ∨ qB.P ∧ qC.(⌝p ) ∧ (⌝q )D. p ∨ (⌝q )4．(D ，天津，5 分)已知命题 P : ∀x > 0, 总有 ( x + 1)e x > 1, 则 B.P ∧ q 为（）A.∃x ≤ 0, 使得 ( x + 1)e x 0 ≤ 1B.∃x > 0, 使得 ; ( x + 1)e x 0 ≤ 10 0C.∀x > 0, 总有 ( x + 1)e x ≤ 1D.∀ ≤ 0, 总有 ( x + 1)e x ≤ 15．(D ，重庆，5 分)已知命题p ：对任意 x ∈ R, 总有 | x |≥ 0;q : x = 1是方程 x + 2 = 0 的根．则下列命题为真命题的是( )A. p ∧ ⌝qB.⌝p ∧ qC.⌝p ∧ ⌝qD. p ∧ q6．(D ，湖南，5 分)设命题 P : ∀x ∈ R, x 2 + 1 > 0, 则 ⌝p 为A.∃x ∈ R, x 2 + 1 > 0B.∃x ∈ R, x 2 + 1 ≤ 0C.∃xo ∈ R, x 2 + 1 < 0D.∀x ∈ R, x 2 + 1 ≤ 07．（E,山东，5 分）设 m ∈ R, 命题“若 m > 0, ，则方程 x 2 + x - m = 0 有实根”的逆否命题是()2 ; 命题 q ：函数 y = cos x 的图象关于直线2对称，则下列判断正确的是(A.若方程 x 2 + x - m = 0 有实根，则 | m > 0B.若方程 x 2 + x - m = 0 有实根，则 m ≤ 0C ．若方程 x 2 + x - m = 0 没有实根，则 m > 0D 若方程 x 2 + x - m = 0 没有实根，则 m ≤ 08.(C ，全国新课标，5 分）已知命题 P : ∀x ∈ R,2 x < 3 x ; 命题 q : ∃x ∈ R, x 3 = 1 - x 2 , 则下列命题中为真命题的是（ ）A.P ∧ qB.⌝P ∧ qC. p ∧ ⌝qD.⌝P ∧ ⌝q9．(C ，湖北，5 分)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )A.(⌝P) ∨ (⌝q )B. p ∨ (⌝q )C.(⌝P) ∧ (⌝q )D. p ∨ q1O. (B ，湖北，5 分)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ()A 任意一个有理数，它的平方是有理数B 任意一个无理数，它的平方不是有理数C 存在一个有理数，它的平方是有理数D 存在一个无理数，它的平方不是有理数 11. (B ，山东，5 分)设命题 p ：函数 y = sin 2 x 的最小正周期为πx =π)A.p 为真B.q 为假C. p ∧ q 为假D. p ∨ q 为真12．(A ，山东，5 分)已知 a, b , c ∈ R, 命题“若 a + b + c = 3. 则 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3,, 的否命题是()A.若 a + b + c =/ 3⋅, 则 a 2 + b 2 + c 2 < 3B.若 a + b + c = 3, 则 a 2 + b 2 + c 2 < 3C ．若 a + b + c =/ 3, 则 a 2 + b 2 + C 2 ≥ 3D ．若 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3, 则 a + b + c = 313．(A ，辽宁，5 分)已知命题 P : ∃n ∈ N ,2 n > 1000, 则 ⌝P 为()A.∀n ∈ N ,2 n ≤ 1000B.∀n ∈ N ,2 n > 1000C.∃n ∈ N ,2 n ≤ 10ωD.∃n ∈ N ,2 n < 100014.(C，广东，5分)设a是已知的平面向量且a=/0,关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c;②给定向量b和c，总存在实数λ和μ,使a=λb+∝;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μe;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μr.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.415．(D，福建，5分)命题∀x∈[0,+∞),x s+x≥0,,的否定是()A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0()c.∃x∈[0,+∞),x3+x<0000D.∃x∈[0,+∞),x3+x≥0000答案8．(B ，天津，5 分)设 x ∈ R, 则“x > ”是“2 x 2 + x - 1 > 0”的( )考点 3 充要条件1．(E ，浙江，5 分)设 a ，b 是实数，则“a + b > 0”是 ab > 0,, 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(D ，北京，5 分)设 a ，b 是实数，则“a > b ”是“a 2 > b 2”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(E ，湖南，5 分)设 x ∈ R, 则“x>l”是“x 3 > 1”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(D ，广东，5 分△)在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，则“a ≤ b ”是“≤ sin A ≤ sin B ”的 ()A 充分必要条件B 充分非必要条件C 必要非充分条件D ．非充分非必要条件5．(C ，浙江，5 分)若 α ∈ R, 则“α = 0”是“sin α < cos α”的( )A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C 充分必要条件D.既不充分也不必要条件6． (B ，陕西，5 分)设 a, b ∈ R, i 是虚数单位，则“ab = 0”是“复数 a + b i为纯虚数”的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(B ，浙江，5 分)设 a ∈ R, 则“a = 1”是“直线 l : ax + 2 y - 1 = 0 与直线 l : x + 2 y + 4 = 0 1 2平行”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件1 2A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．(E ，安徽，5 分)设 P : x < 3, q : -1 < x < 3, 则 p 是 q 成立的（）A 充分必要条件B 充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10. (A ，天津，5 分)设集合 A = {x ∈ R | x - 2 > 0}, B = {x ∈ R | x < 0}, C = {x ∈ R | x ( x - 2) > 0 则“x ∈A B ”是“x ∈ c ”的 （ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件11. (A ，浙江，5 分)设 a ，b 为实数，则“0 < ab < 1”是“b < ”的（）| 5bC 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1aA 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．(E ，天津，5 分)设 x ∈ R, 则“1 < x < 2”是“ x - 2 |< 1”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D ．既不充分也不必要条件13．(E,湖北，5 分) l , l 表示空间中的两条直线，若 P : l , l 是异面直线； q : l , l 不相交，则 ( )1 21212A.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B.P 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C.p 是 Q 的充分必要条件D.p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件14. (D ，江西，5 分)下列叙述中正确的是 ( )A.若 a, b , c ∈ R, 则 " a x 2 + bx + c ≥ 0" 的充分条件是 b 2 - 4ac ≤ 0,,B.若 a, b , c ∈ R, 则 ab 2 > cb 2 , , 的充要条件是 " a > c "C ．命题“对任意 x ∈ R, 有 x 2 ≥ 0,, 的否定是“存在 x ∈ R, 有 x 2 ≥ 0,,D ．L 是一条直线，α , β 是两个不同的平面，若 l ⊥ α , l ⊥ β , 则 α // β15．(C ，天津，5 分)设 a, b ∈ R, 则 (a - b ) ⋅ a 2 < 0,, 是 a < b ,, 的()A 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件16．(B ，湖北，5 分)设 a, b , c ∈ R +, 则 abc = 1, , 是1 a + 1 b + 1c ≤ a + b + c,, 的()A.充分不必要条件 B 必要不充分条件C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17. (C ，山东，5 分)给定两个命题 P , q ⋅ 若 ⌝P 是 q 的必要不充分条件，则 p 是 ⌝q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．(E,陕西，5 分) sin α = cos α , , x cos 2α = 0, , 的()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19．(A ，湖北， 分)若实数 a ， 满足 a ≥ 0, b ≥ 0, 且 ab = 0, 则称 a 与 b 互补．记 ϕ (a, b ) = a + b 2 - a - b ,那么 ϕ (a, b ) = 0 是 a 与 b 互补的( )2),k sin x cos x<x,,是"k<1"的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件20.(E，福建，5分)“对任意x∈(0,πA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件21．(D，浙江，5分)设四边形ABCD的两条对角线AC，BD.则“四边形ABCD为菱形”是"AC⊥BD"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件22．(D，全国新课标，5分)函数f(x)在x=x处导数存在，若P:f/(x)=0;q:x=x是f(x)的极值点，000则()A.p是q的充分必要条件B.p是g的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件23．(E，上海，4分)设z,z∈C,则"z,z均为实数”是z-z是实数”的121212A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D．既非充分又非必要条件24．(A，陕西，5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_________答案⎩ - log ( x + 1), x > 1, 4B. - 3．(B ，江西，5 分)设函数 f ( x) = ⎨ 2 则 f ( f (3)) = ( )⎩ x , x > 1,5 B.3 ⎩ 2 x , x < 0, 则 f ( f (-2)) = (⎧ 4 C.. f ( x ) = ⎨1T 若 f ( f ( )) = 4, 则 b = ( )⎩ 8c. 6．(B ，福建，5 分)设 f ( x ) = ⎨0, x = 0, g ( x ) = ⎧1, xweiyoulishu, ⎪- 1, x < 0, ⎩ 0, xweiwulishu,考点 4 函数及函数的表示方法1．(D ，全国新课标，5 分)若函数 f ( x ) = kx - ln x 在区间 (1,+∞) 上单调递增，则 k 的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(- ∝, -1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)⎧ 2x -1 - 2,x ≤ 1,2．（E ，全国新课标，5 分）已知函数 f ( x ) = ⎨且 f (a) = -3, 则 f (6 - a) = ()2A. - 75 4 c. - 3 14 D. - 4⎧x 2 + 1, x ≤ 1, ⎪ ⎪ A. 1 C.2 133 D. 94．(E ，陕西，5 分)设 f ( x ) = ⎨1 -x , x ≥ 0,)A. - 1 .B. 1 1 32 D.25．(E ，山东，5 分)设函数⎧3x - b ,x < 1,⎪5 ⎪ 2 x , x ≥ 1. 6A.1B. 73 4 D. 12⎧1, x > 0,⎪⎩⎨ 则 f ( g (π )) 的值为 ( )A.1B.0C. - 1D.π7 ． (D, 四 川 ， 5 分 ) 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x ∈ [-1,1) 时 ， f ( x ) =⎧- 4 x 2 + 2, - 1 ≤ x < 0, ⎨⎩x, 0 ≤ x < 1, 3则 f ( ) = 2 _________⎪ 9．(C ，福建，4 分)已知函数 f ( x ) = ⎨⎪ - tan x,0 ≤ x < ,11. (B ，陕西，5 分)设函数 f ( x) = ⎨ 1则 f ( f (-4)) = ________ ⎪( ) x , x < 0, 12．(B,江苏，5 分)设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[-1，1]上， f ( x ) = ⎨ h x + 2其中 a, b ∈ R, 若 f ( ) = f ( ), 则 a + 3b 的值为_________1⎧ x 2, x ≤ 1,613.（E ，浙江，6 分）已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎪⎩⎧e x -1 , x < 1,8．（D ，全国新课标，5 分）设函数 f ( x ) = ⎨1⎪⎩ x 3 ,x ≥ 1,则使得 f ( x ) ≤ 2 成立的 x 的取值范围是_____⎧2 x 3, x < 0,⎪π ⎩ 2π 则 f ( f ( )) =4 _________10. (E ，全国新课标，5 分)已知函数 f ( x) = ax 3 - 2 x 的图象过点(-1，4)，则 a = _______⎧ x , x ≥ 0, ⎪ ⎩ 2⎧ax + 1,-1 - 0, ⎪⎪⎩ x + 1 , L1,⋅32 2⎪x + - 6, x > 1, x则 f ( f (-2)) = ______ f ( x) 的最小值是___14．(A,湖南，5 分)给定 k ∈ N *, 设函数 f : N * → N * 满足：对于任意大于 k 的正整数 n, f (n) = n - k.(1)设 k = 1, 则其中一个函数 f 在 n = 1处的函数值为_________(2)设 k = 4, 且当 n ≤ 4 时， 2 ≤ f (n) ≤ 3, 则不同的函数 f 的个数为________答案log x - 1 的定义域为(3-17.(成，北京，5 分）函数f ( x ) = ⎨ 的值域为_________考点 5 函数的定义域与值域1．(D ，山东，5 分)函数 f ( x ) =12A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞))2．(C ，山东，5 分)函数 f ( x ) = 1 - 2 x+1x + 3 的定义域为A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3) (-3,0]D.(-∞,-3) (-3,1]3．(E ，重庆，5 分)函数 f ( x ) = log ( x 2 + 2 x - 3) 的定义域是()2A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]u[1,+∞)D.(-∞,-3) (1,+∞)4．(A ，江西，5 分)若 f ( x ) =1, 则 f ( x ) 的定义域为 (log (2 x + 1)1)21111A.(- ,0)B.(- ,+∞)C ⋅ (- ,0)u (0,+∞)D ⋅ (- ,2)22 22x 2 - 5x + 65．（E ，湖北，5 分）函数 f ( x ) =4 - x + lg的定义域为()x - 3A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3) (3,4]D.(-1,3) (3,6]26.（D,上海，4 分） f ( x ) = x - x 2 , 则满足 f ( x ) < 0 的 x 的取值范周是________⎧log x, x ≥ 1,⎪1 2⎪⎩2x , x < 18．(B ，江苏，5 分）函数 f ( x ) = 1 - 2log x 的定义域为_________69.（B,广东，5 分）函数 y =x x + 1的定义域为________10．(A ，上海，4 分)设 g ( x ) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函数，若 f ( x ) = x + g ( x ) 在[O ，1]上的值域为[-2，5]，则 f ( x ) 在区间[0，3]上的值域为________答案A. y = cos 2 x , x ∈ RB. y = log | x |, x ∈ Rqiex =/ 0C. y = , x ∈ RD ⋅ y = x 3 + 1, x ∈ RA.B.C.D.1考点 6 函数的奇偶性与单调性1．(E ，福建，5 分)下列函数为奇函数的是( )A. y = xB ⋅ y = e xC ⋅ y = cos xD ⋅ y = e x - e - x2．(D ，全国新课标，5 分)设函数 f ( x ), g ( x ) 的定义域都为 R ，且 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A. f ( x ) g ( x ) 是偶函数B.| f ( x ) g( x ) 是奇函数rC. f ( x ) g( x ) | 是奇函数D. | f ( x ) g ( x ) | 是奇函数3．(E ，安徽，5 分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A. y = ln xB. y = x 2 + 1C ⋅ y = sin xD ⋅ y = cos x4．(C ，北京，5 分)下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,+∞ ) 上单调递减的是()A. y =1xB ⋅ y = e- xC ⋅ y = - x 2 + 1D ⋅ y = lg | x |5．(B ，天津，5 分)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为()2e x - e - x26．(A ，全国新课标，5 分)下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞ ) 上单调递增的函数是()A. y = x 3B. y =| x | +1 C ⋅ y = - x 2 + 1 D ⋅ y = 2- | x7．(C ，湖南，5 分)已知 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数，且 f (-1) + g (1) = 2, f (1) + g (-1) = 4, 则g (1) 等于( )A.4B.3 c.2 D.18．(A ，辽宁，5 分)若函数 f ( x ) =x(2 x + 1)( x - a)为奇函数，则 a = ( )1 2 3 23 49．(B ，广东，5 分)下列函数为偶函数的是()A. y = ln x 2 + 1B. y = x 3C ⋅ y = e xD ⋅ y = sin x10．(E ，湖南，5 分)设函数 f ( x ) = ln(1 + x) - ln < 1 - x), 则 f ( x ) 是()A 奇函数，且在(O ，1)上是增函数 B.奇函数，且在(O ，1)上是减函数5C 偶函数，且在(O ，1)上是增函数D ．偶函数，且在(O ，1)上是减函数11．(D ，湖北， 分)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 - 3x, 则函数 g ( x ) = f ( x ) -x + 3 的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3} c.{2 - 7 ,1,3} D.{-2 - 7 ,1,3}12. (E ，山东，5 分)若函数 f ( x ) = 2 x + 1 2 x - a是奇函数，则使 f ( x ) > 3 成立的 x 的取值范围为( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)13. (C ，天津，5 分)已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0,+∞) 上单调递增．若实数 n 满足 f (log a) + f (log - La) ≤ 2 f (1), 则 a 的取值范围是()2211A.[1,2]B.(0, )C.[ ,2]D.(0,2]2214．(D ，全国新课标，5 分)偶函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3, 则 f (-1) = (15．(D ，安徽，5 分)若函数 f ( x )( x ∈ R) 是周期为 4 的奇函数，且在[O ，2]上的解析式为 f ( x ) =)⎧ x (1- x),0 ≤ x ≤ 1, 29 41⎨则 f ( ) + f ( ) = ⎩sin π x,1 < x ≤ 2,4 16___________⎧ | x 2 - 4 |, x ≤ 0,16．(D ，天津，5 分)已知函数 f ( x ) = ⎨ 若函数 y = f ( x ) - a | x | 恰有 4 个零点，则实数 a⎩2 | x - 2 |, x > 0.的取值范围为__________17. (D ，湖南，5 分)若 f ( x) = ln(e 3x + 1) + ax 是偶函数，则 a = ________18．(E ，福建，4 分)若函数 f ( x ) = 2|x -a| (a ∈ R) 满足 f (1 + x) = f (1 - x), 且 f ( x ) 在 [m ,+∞ ) 上单调递增，则实数 m 的最小值等于__________( x + 1) 2 + sin x19．(B ，全国新课标，5 分)设函数 f ( x ) =的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m =____x 2 + 120．(B ，安徽，5 分)若函数 f ( x) =| 2 x + a | 的单调递增区间是[3,+∞ ), 则 a = _________21．(B ，上海，4 分)已知 y = f ( x) 是奇函数．若 g ( x) = f ( x) + 2 且 g (1) = 1, 则 g (-1) = _________22．(D ，上海，14 分)设常数 a ≥ 0, 函数 f ( x ) =2 x + a 2 x - a⋅(I)若 a = 4, 求函数 y = f ( x ) 的反函数 y = f-1( x );24．(E ，福建，14 分)已知函数 f ( x ) = ln x - ⋅(Ⅱ)根据 a 的不同取值，讨论函数 y = f ( x ) 的奇偶性，并说明理由．23．(B,上海，14 分)已知 f ( x ) = lg( x + 1).(I)若 0 < f (1 - 2 x ) - f ( x ) < 1, 求 x 的取值范围；(Ⅱ)若 g ( x ) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0 ≤ x ≤ 时，有 g ( x ) = f ( x ), 求函数 y = g ( x )( x ∈ [1,2])的反函数．( x - 1) 22(I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间；(Ⅱ)证明：当 x > 1时， f ( x ) < x - 1;(Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x > l ，当 x ∈ (1, x ) 时，恒有 f ( x ) > k ( x - 1).0 0答案(I)当 b = + 1时，求函数 f ( x ) 在[-1，1]上的最小值 g (a) 的表达式；考点 7 二次函数1．(C ，浙江，5 分)已知 a, b , c ∈ R, 函数 f ( x ) = ax 2 + bx + ⋅c. 若 f (0) = f (4) > f (1), 则()A.a > 0,4a + b = 0B.a < 0,4a + b = 0C.a > 0,2a + b = 0D.a x 0,2a + b = 0⎧ x 2 + 2x + 2, x ≤ 0,2．(D ，浙江，4 分)设函数 f ( x) = ⎨ 若 f ( f (a)) = 2, 则 a = ________⎩ - x 2 ,x > 0.3．（E ，广东，5 分）不等式 - x 2 - 3x + 4 > 0 的解集为________（用区间表示）．4．(D ，江苏，5 分)已知函数 f ( x ) = x 2 + mx - 1, 若对于任意 x ∈ [m , m + 1], 都有 f ( x ) < 0 成立，则实数m 的取值范围是________5．(E ，浙江，15 分)设函数 ⋅ f ( x ) = x 2 + ax + b (a , b ∈ R).a 24(Ⅱ)已知函数 f ( x ) 在[-1，1]上存在零点， 0 ≤ b - 2a ≤ 1. 求 b 的取值范围．6．(B ，福建，12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销， 得到如下数据：单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.89I 销量y （件） 9084 83 80 7568（工）求回归直线方程 y = bx + a, 其中 b = -20.a = y - bx;(Ⅱ)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(I)中的关系，且该产品的成本是 4 元／件，为使工厂 获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入一成本）答案, b = log 2 , c = log 112 π , c = π -2 , 则( )4B. 2C.2x - 1 的定义域是(A.( , b )B.(10a,1 - b )C.(102考点 8 根式、指数式、对数式与幂函数、指数函数、对数函数1.（D ，安徽,5 分）设 a = log 7, b = 21.1 , c = 0.83.1 , 则 ()3A.b < a < CB.c < a < bC.c < b < aD.a < c < b2．(D ，，辽宁，5 分)已知 a = 2- 1 313 23 , 则()A.a > b > cB.a > c > bC.c > b > aD.c > a > b3．(D ，天津，5 分)设 a = log 2π , b = log 1A.a > b > cB.b > a > cC.a > c > bD.c > b > a4．（B ，安徽,5 分） (log 9) ⋅ (log 4) =23( )A. 11D.45．(C ，广东，5 分)函数 f ( x ) = lg( x + 1))A.(-1,+∞ )B.[-1,+∞ )C.(-1,1) (1,+∞)D.[-1,1) (1,+∞)6．(A ，安徽，5 分)若点（a ，b ）在 y = lg x 图象上， a =/ 1, 则下列点也在此图象上的是()1 a a , b + 1)D.(a 2 ,2b )7．(C ，陕西，5 分)设 a ，b ，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是()A.log b ⋅ log b = log aB.log b ⋅ log a = log ba ccaccC.log (bc ) = log b ⋅ log cD.log (b + c) = log b + log caa aaxa8．(E ，山东，5 分)设 a = 0.6 0.6 , b = 0.61.5 , c = 1.50.6 , 则 a ，b ，c 的大小关系是( )A.a < b < cB.a < c < bC.b < a < cD.b < c < a 19．(B ，天津，5 分)已知 a = 21.2 , b = ( ) -α8 , c = 2 log 2, 则 a ，b ，c 的大小关系为5 A.c < b < a 13.c < a < b C.b < a < c D.b < c < a1lO ．(C ，辽宁，5 分)已知函数 f ( x ) = ln( 1 + 9 x 2 - 3x) + 1, 则 f (lg 2) + f (lg ) = ()2A. - 1B.0C.1D.211．(A ，天津，5 分)已知 a = log 3.6, b = log 3.2, c = log 3.6, 则244A.a > b > cB.a > c > bC.b > a > cD.c > a > b12．(C ，全国新课标，5 分)设 a = log 2, b = log 2, c = log 3, 则352A.a > c > bB.b > c > aC.c > b > aD.c > a > b⎧ 18. (A ，湖北，5 分)里氏震级 M 的计算公式为： M = lg A - lg A其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大13．(B ，浙江，5 分)设 a > 0, b > 0, e 是自然对数的底数()A 若 e a + 2a = e b + 3b , 则 a > bB.若 e a + 2a = e b + 3b , 则 a < bC.若 e a - 2a = e b - 3b , 则 a > bD ．若 e a - 2a = e b - 3b , 则 a < b14．(E ，安徽，5 分) lg 5 1+ 2 lg 2 - ( ) -1 = 2 2___________15.（E ，浙江，6 分）计算： log2 2 2 =_________2log 23+log 43 = ________⎧ x 2 - 2, x ≤ 0,16.（D ，福建，4 分）函数 f ( x ) = ⎨ 的零点个数是________⎩2x - 6 + ln x, x > 017．(A ，陕西，5 分)设 f ( x ) = ⎨lg x, x > 0,⎩10 x , x ≤ 0,则 f ( f (-2)) =________0,振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为____级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的____倍．答案考点9函数的图象1.(D，浙江，5分)在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log x的图象可能是()a2．(D，北京，5分)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系P=at2+bt+c（a，b，c是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D．4.25分钟3．(D，福建，5分)若函数y=log x(a>0,且a=/1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是()a4．(C，湖南，5分)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.315．(A，陕西，5分)函数y=x3的图象是()6．(A，安徽，5分)函数f(x)=ax n(1-x)2在区间[O，1]上的图象如图所示，则n可能是()7．(E，浙江，5分)函数f(x)=(x-)cos x(-π≤x≤πqiex=/0)的图象可能为．A.y=1A.1B.2C.3D.41x8．(C，湖北，5分)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（)9．(D，江西，5分)在同一直角坐标系中，函数y=ax2-x+象不可能的是()a2与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图10.(D，陕西，5分)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()111111 x3-x2-x B.y=x3+x2-3x c⋅y=x3-x D⋅y=x3+x2-2x222244211.(C，福建，5分)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()12．(C，浙江，5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()⎧13．(B ，山东，5 分)函数 y =∝2 x - 2 - x的图象大致为( )14．(E,安徽，5 分)函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a > 0, b < 0, c > 0, d > 0B.a > 0, b < 0, c < 0.d > 0C.a < 0, b < 0, c > 0, d > 0D.a > 0, b > 0, c > 0, d < 015. (B ，湖北，5 分)已知定义在区间[O ，2]上的函数， y = f ( x ) 的图象如下右图所示，则 y = - f (2 - x)的图象为 ()16．(E ，全国新课标，5 分)如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2, BC = 1, O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD与 DA 运动，记∠BOP = x. 将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x ), 则 y = f ( x ) 的图象大致为 ()17．(A ，天津，5 分)对实数 a 和 b ，定义运算 ⊗,: a ⊗ b = ⎨a, a - b ≤ 1, ⎩b , a - b > 1.设函数 f ( x ) = ( x 2 - 2) ⊗ ( x - 1),x ∈ R. 若函数 y = f ( x ) - c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )A.(1,1](2,)B.(2,1](1,2]C.(,2)(1,2]D.[2,1]18．(A，江西，5分)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点0处，一顶点及中心M在y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为()19．(C，江西，5分)如图，已知l1l,圆心在l上、半径为1m的圆0在t=O时与l相切于点A,圆0 212沿l以l m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l所截上方圆弧长记为x，令y co.x,则y与时间t(0K 12l，单位：s)的函数y f(t)的图象大致为()20.(B，陕西，5分)下图是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____米．。

导数与不等式、函数零点相结合2018年高考全景展示1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。

2．【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[，1）．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f （θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=时，f （θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.2017年高考全景展示1.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】试题分析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee --+=+，则()()211111111x x x x x x e g x e e e e e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3l n (1)l na a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。