高中数学北师大版选修2-2教师用书第2章 §5 简单复合函数的求导法则 Word版含答案

2019-2020年高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5[答案] B[解析] y ′x ＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5. 2．已知f (x )＝12sin2x ＋sin x ，那么f ′(x )( )A ．是仅有最小值的奇函数B ．是既有最大值又有最小值的偶函数C ．是仅有最大值的偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B[解析] f ′(x )＝(12sin2x ＋sin x )′＝(12sin2x )′＋(sin x )′＝12cos2x ·(2x )′＋cos x ＝cos2x ＋cos x .因为f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，又－1≤cos x ≤1，所以函数f ′(x )既有最大值又有最小值．因为f ′(－x )＝cos(－2x )＋cos(－x )＝cos2x ＋cos x ＝f (x )，所以f ′(x )是偶函数．故选B. 3．(xx·全国大纲理，7)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y 求导得y ＝e x －1＋x e x－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．4．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．33C ．－6 3D ．63[答案] B[解析] f ′(x )＝－6sin(2x ＋π3)，∴f ′(π2)＝－6sin(π＋π3)＝6sin π3＝3 3.5．函数y ＝cos2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin2x ＋cos x 2xB ．2sin2x ＋cos x2xC ．－2sin2x ＋sin x2xD ．2sin2x －cos x2x[答案] A[解析] y ′x ＝(cos2x ＋sin x )′＝(cos2x )′＋(sin x )′＝－sin2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin2x ＋cos x 2x. 二、填空题6.(xx·三亚市一中月考)曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案] 22－1 [解析] y ′|x ＝1＝－12x －12|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.7．曲线y ＝sin3x 在点P (π3，0)处的切线方程为____．[答案] 3x ＋y ＝π[解析] y ′x ＝cos3x ·(3x )′＝cos3x ·3＝3cos3x .∴曲线y ＝sin3x 在点P (π3，0)处的切线斜率为3cos(3×π3)＝－3，∴切线方程为y ＝－3·(x －π3)，即3x ＋y ＝π.8．(xx·西安模拟)曲线y ＝e 2x 在点(0,1)处的切线方程为________． [答案] 2x －y ＋1＝0[解析] y ′＝(e 2x )′＝2e 2x ，k ＝y ′|x ＝0＝2·e 2×0＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝e 3x ；(2)y ＝cos 42x －sin 42x .[解析] (1)引入中间变量u ＝φ(x )＝3x ，则函数y ＝e 3x 是由函数f (u )＝e u 与u ＝φ(x )＝3x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝e u ，φ′(x )＝3. 根据复合函数求导法则可得 (e 3x )′＝f ′(u )φ′(x )＝e u ·3＝3e 3x .(2)y ＝cos 42x －sin 42x ＝(cos 22x ＋sin 22x )(cos 22x －sin 22x )＝cos4x .引入中间变量u ＝φ(x )＝4x ，则函数y ＝cos4x 是由函数f (u )＝cos u 与u ＝φ(x )＝4x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝－sin u ，φ′(x )＝4. 根据复合函数求导法则可得(cos 42x －sin 42x )′＝(cos4x )′＝f ′(u )φ′(x )＝－sin u ·4＝－4sin4x .10．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点(－12，ln2)处切线的倾斜角．[分析] 函数y ＝ln(2x ＋3)可以看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，根据复合函数的求导法则来求．[解析] 令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3， 则y ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在点(－12，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.一、选择题1．y ＝log 3cos 2x 的导数是( ) A ．－2log 3e·tan x B ．2log 3e·cot x C ．－2log 3cos x D ．log 3e cos 2x[答案] A[解析] y ′＝1cos 2x log 3e·(cos 2x )′＝1cos 2x log 3e·2cos x ·(cos x )′ ＝1cos 2x log 3e·2cos x (－sin x )＝－2log 3e·tan x . 2．已知f (x )＝x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13·x ，则f ′⎝⎛⎭⎫－13＝( )A ．23B ．－23C ．0D ．无法确定[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13·x ， ∴f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝2×⎝⎛⎭⎫－13＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝－2×⎝⎛⎭⎫－13＝23，即f ′⎝⎛⎭⎫－13＝23. 3．函数f (x )＝cos x (x ∈R )的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的值可以为( )A ．π2B ．πC ．－πD ．－π2[答案] A[解析] 考查三角函数的图象按向量平移常见三角函数的导数，f (x )＝cos x 的图象按向量(m,0)平移后得到cos(x －m )＝－f ′(x )＝sin x 的图象，故选A ．二、填空题4．f (x )＝ax －1，且f ′(1)＝1，则a 的值为________． [答案] 2 [解析] ∵f ′(x )＝12ax －1·(ax －1)′＝a2ax －1，∴f ′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝25．(xx·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．[答案] －3[解析] 曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，则4a ＋b2＝－5①又y ′＝2ax －b x 2，所以4a －b 4＝－72②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.所以a ＋b ＝－3.函数在某点处的导数值即为经过该点的切线的斜率． 三、解答题6．求f (x )＝x 2·e 2x 的导数．[分析] 先用两个函数相乘的求导法则，再由复合函数求导法则求解． [解析] f ′(x )＝(x 2)′e 2x ＋x 2·(e 2x )′ ＝2x e 2x ＋x 2·(e 2x )·2＝e 2x (2x ＋2x 2)＝2x (1＋x )e 2x .7．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin(π12t ＋5π6)(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．[解析] 函数y ＝s (t )＝3sin(π12t ＋56π)是由函数f (x )＝3sin x 和函数x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6复合而成的其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝3cos x ，φ′(t )＝π12. 再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos(π12t ＋5π6)．将t ＝18时代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18时，潮水的高度上升的速度为π8 m/h.8．求下列函数的导数：(1)y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝ln sin2xx ；(4)y ＝e 2x ＋e －2x e x ＋e－x .[解析] (1)方法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u log 2e·(4x ＋3)＝log 2e2x 2＋3x ＋1·(4x ＋3)＝4x ＋3log 2e 2x 2＋3x ＋1.方法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′ ＝log 2e 2x 2＋3x ＋1(2x 2＋3x ＋1)′＝4x ＋3log 2e 2x 2＋3x ＋1. (2)方法一：设y ＝ln u ，u ＝v ，v ＝x 2＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝1u ·12v －12·2x＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝xx 2＋1.方法二：y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝x x 2＋1.方法三：y ＝ln x 2＋1＝12ln(x 2＋1)，所以y ′＝12[ln(x 2＋1)]′＝12·1x 2＋1·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln sin2x x ′ ＝x sin2x ⎝⎛⎭⎫sin2x x ′＝x sin2x ·2cos2x ·x －sin2x x 2 ＝2tan2x －1x. (4)y ＝e 2x ＋e －2xe x ＋e－x ＝e x ＋e －x 2－2e x ＋e －x＝e x＋e －x－2e x ＋e －x ＝e x＋e －x －2e x e 2x ＋1，所以y ′＝(e x)′＋(e －x)′－⎝⎛⎭⎫2exe 2x ＋1′＝e x－e －x－2e xe 2x ＋1－2e x ·2e 2xe 2x ＋12＝e x－e －x－2e x1－e 2xe 2x ＋12.[点评] 应用指数、对数函数的求导公式，结合导数的四则运算法则及复合函数的求导法则进行解题．求导过程中，可先适当进行变形化简，当然变形化简时要注意等价性．.。

§5 简单复合函数的求导法则
前面我们学习了简单函数的求导和导数的四则运算,但如果我们遇到层次关系较多的函数，这样的函数我们怎样求它的导数呢？ 高手支招1细品教材
一、复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=φ（x ），如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数。

如:y=2
x e ，y=lntanx 都是复合函数. 状元笔记 复合函数y=f （φ（x)）对自变量x 的导数等于函数y=f （u)关于中间变量u 的导数与中间变量u 关于自变量x 的导数的乘积。

二、复合函数的求导法则
如果函数u=φ(x)在点x 可导，而函数y=f(u)在对应点u=φ(x）可导，则复合函数y=f （φ(x ）)在点x 可导,且其导数为:y′=（f （u ））′=f′(u）·φ′（x).
三、利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤
1。

分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;
2。

求每一层基本初等函数的导数，注意是对哪一个变量求导;
3。

每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数；
4.对于层数比较多的复合函数,可由外向里逐层求导.
【示例】求y=655-
x 的导数. 解：y′=[（5x 65-21)]′=21·(5x 65-21)-·5=65
525-x .
高手支招2基础整理
本节的主要内容是复合函数的概念,复合函数的求导法则及其应用。

本节的知识结构如下:。

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章§5 简单复合函数的求导法则[对应学生用书P23]已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2如何复合的．提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，则y ＝u 2，u ＝3x ＋2，y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2. 问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系． 提示：y ′＝[f (g (x ))]′＝f ′(u )·g ′(x )．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作y ＝f (φ(x ))，其中u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (φ(x ))的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )．利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤： (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．[对应学生用书P24][例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝sin 3x ；(2)y ＝11－2x 2； (3)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)； (4)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [思路点拨] 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·(3x )′＝cos u ·3＝3cos 3x . (2)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －12)′·(1－2x 2)′＝－12u －32·(－4x )＝－12(1－2x 2) (－4x )＝2x (1－2x 2) .(3)设y ＝lg u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(lg u )′·(2x 2＋3x ＋1)′ ＝1u ln 10·(4x ＋3)＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (4)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3.则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝2sin v ·cos v ·2＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. [一点通] 求复合函数导数的步骤：①确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )；②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f ′(u )，再求g ′(x )．③计算f ′(u )·g ′(x )，并把中间变量转化为自变量的函数．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．1．函数y＝1(3x－1)2的导数是()A.6(3x－1)3B.6 (3x－1)2C．－6(3x－1)3D.－6(3x－1)2解析：∵y＝1(3x－1)2＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－6(3x－1)3答案：C2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.答案：103．求下列函数的导数．(1)y＝3－x；(2)y＝sin3x＋sin x3；(3)y＝1(1－3x)4. 解：(1)设y＝u，u＝3－x，则y′x＝y′u·u′x＝12u ·(－1)＝－123－x.(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′＝3sin2x cos x＋cos x3·3x2＝3sin2x cos x＋3x2·cos x3.(3)设y＝u－4，u＝1－3x，∴y′＝(u－4)′(1－3x)′＝(－4u－5)·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5.[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．[精解详析] 设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6.由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos ⎝⎛⎭⎫π12t ＋5π6. 将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.[一点通] 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D.3解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 答案：D5．f (x )＝ax －1，且f ′(1)＝1，则a 的值为________． 解析：∵f ′(x )＝12ax －1·(ax －1)′＝a2ax －1，∴f ′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝2. 答案：26．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ′＝a ·e ax ，且y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，∴k ＝2＝f ′(0)＝a ，即a ＝2.答案：27．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x (单位：℃)随时间t (单位：h)的变化满足关系：x ＝4＋16e－2t.(1)求汽水温度x 在t ＝1处的导数；(2)已知摄氏温度x 与华氏温度y 之间具有如下函数关系x ＝59y －32.写出y 关于t 的函数解析式，并求y 关于t 的函数的导数．解：x ′＝－32e －2t . (1)当t ＝1时，x ′＝－32e 2.(2)y ＝95(x ＋32)＝95(16e －2t ＋36)，y ′＝9×165e －2t ×(－2)＝－2885e －2t .求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．[对应课时跟踪训练(九)]1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD.y ＝(2x ＋3)4解析：A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.答案：A2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 2的导数为( ) A ．2⎝⎛⎭⎫2－1x B ．2⎝⎛⎭⎫2－1x 2C ．2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2 D.2⎝⎛⎭⎫1x －2·1x 2解析：y ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2. 答案：C3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .答案：B4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14mm/min 解析：f ′(t )＝1210t ·10＝510t ，∴f ′(40)＝5400＝14. 答案：D5．若f (x )＝e x ＋e －x2，则f ′(0)＝________.解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0.答案：06．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )， 所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )． ① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1. ②②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：27．设f (x )＝a e x ＋b ln x 2，且f ′(1)＝e ＋1，f ′(－1)＝1e －1，求实数a ，b 的值．解：f ′(x )＝a e x ＋2bx，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋2b ＝e ＋1，a e －2b ＝1e －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12. 8．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2－x ＋1)4； (2)y ＝11－2x 2； (3)y ＝x ln(1－x )．解：(1)y ′＝4(2x 2－x ＋1)3(2x 2－x ＋1)′ ＝4(2x 2－x ＋1)3·(4x －1)． (2)法一：设y ＝u ，u ＝1－2x 2，则 y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝ (－4x ) ＝－12(1－2x 2) (－4x )＝2x (1－2x 2) ＝2x(1－2x 2)1－2x 2.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x 2′＝[(1－2x 2) ]′ ＝－12(1－2x 2) ·(1－2x 2)′＝2x (1－2x 2) ＝2x(1－2x 2)1－2x 2.(3)y ′＝x ′ln(1－x )＋x [ln(1－x )]′ ＝ln(1－x )＋x ·－11－x＝ln(1－x)－x.1－x。

§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。

泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。

油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。

油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。

∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。

又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。

5 简单复合函数的求导法则授课提示：对应学生用书第21页[自主梳理]一、复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b .给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作________，其中________为中间变量．二、复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (φ(x ))的导数为： y ′(x )＝[f (φ(x ))]′＝________.[双基自测]1．函数y ＝(3x －4)2的导数是( ) A ．4(3x －2) B ．6x C ．6x (3x －4)D ．6(3x －4)2．函数y ＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．e x －y －2e ＋1＝0D ．e x ＋y ＋2e －1＝03．已知函数f (x )＝(2x －1)2的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x 的导数为________． 5．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________． [自主梳理]一、y ＝f (φ(x )) u 二、f ′(u )φ′(x ) [双基自测]1．D y ′＝[(3x －4)2]′＝2(3x －4)·3＝6(3x －4)． 2．A y ′＝(e 2x －4)′＝e 2x －4·(2x －4)′＝2e 2x －4， 所以k ＝2e 2×2－4＝2.把x ＝2代入y ＝e 2x －4，得y ＝1， 所以切点为(2,1)． 所以函数y ＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为y －1＝2(x －2)，所以2x －y －3＝0.3．D f ′(x )＝2(2x －1)×2＝8x －4，则f ′(1)＝8×1－4＝4.4．3sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x y ′＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ′＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ·(－3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x . 5．10 f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4，∴f ′(0)＝10.授课提示：对应学生用书第22页探究一 复合函数的导数运算[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝2x －1； (5)y ＝sin(3x －π4)；(6)y ＝cos 2x .[解析] (1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2) ＝18x －12.(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1. (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos(3x －π4)·(3x －π4)′＝3cos(3x －π4)．(6)设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ·(－sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x .复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．1．求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4；(2)y ＝sin x 2； (3)y ＝sin 2(2x ＋π3)；(4)y ＝1＋x 2.解析：(1)令u ＝1－3x ，则y ＝u －4，y ′＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5·(1－3x )′＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝sin u ，所以y ′＝cos u ·u ′＝cos x 2·2x ＝2x cos x 2. (3)令y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝2sin(2x ＋π3)·cos(2x ＋π3)·2＝2sin(4x ＋2π3)．(4)令u ＝1＋x 2，则y ＝u ＝u 12，∴y ′＝12u －12·(1＋x 2)′＝x1＋x 2.探究二 复合函数导数的综合问题[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．[解析] 设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6.由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos ⎝⎛⎭⎫π12t ＋5π6. 将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝() A．5太贝克B．75ln 2太贝克C．150ln 2太贝克D．150太贝克解析：∵M′(t)＝－130M02－t30·ln 2，∴M′(30)＝－130×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D对复合函数求导因层次不清而致误[例3]函数y＝sin n x cos nx的导数为________．[解析]y′＝(sin n x)′cos nx＋sin n x(cos nx)′＝n sin n－1x(sin x)′cos nx＋sin n x(－sin nx)·(nx)′＝n sin n－1x cos x·cos nx－sin n x sin nx·n＝n sin n－1x(cos x cos nx－sin x sin nx)＝n sin n－1x cos[(n＋1)x]．[答案]n sin n－1x cos[(n＋1)x][错因与防范]本题解答过程中对cos nx求导时，易漏掉对nx求导而导致求导错误．对较复杂函数求异时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。