2016-2017学年高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业)：第1章单元测试一 Word版含解析

第一章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为() A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为() A．1：2：3 B．2：3：4C．3：2：4 D．3：1：2答案：D5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()A．48π，32 3πB．48π，4 3πC．12π，4 3πD．12π，32 3π答案：C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m β，且α⊥β，则m ⊥αD ．若m ⊥β，且α∥β，则m ⊥α 答案：D解析：A 中可能n α；B 中m ，n 还可能相交或异面；C 中m ，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D 正确．8．四面体S －ABC 中，各个面都是边长为2的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案：C9．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 答案：A10．直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是( )A ．[4 2－52，4 2＋52]B ．[2 2－2,2 2＋2]C ．[3－2 22，3＋2 22]D ．[3 2－2,3 2＋2] 答案：B 解析：由题意，直线BC 与动点O 的空间关系： 点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)＋半径＝2 2＋2. 最小距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)－半径＝2 2－2.∴点O 到直线AD 的距离的取值范围是：[2 2－2,2 2＋2]． 二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．答案： 212．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．答案：1313．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1和CD 的中点，则直线AM 和D 1N 所成的角为________.答案：90° 14．如图，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的四边形ABCD 的用斜二测画法画出的直观图．若A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝O ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积为________．答案：5 解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D ′＝1，OC ＝O ′C ′＝2.过点D 作y 轴的平行线，并在平行线上截取DA ＝2D ′A ′＝2.过点A 作x 轴的平行线，并在平行线上截取AB ＝A ′B ′＝2.连接BC ，即得到了四边形ABCD .可知四边形ABCD 是直角梯形，上、下底边分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2，所以四边形ABCD 的面积S ＝2＋32×2＝5.15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①直线D 1C ∥平面A 1ABB 1； ②直线A 1D 1与平面BCD 1相交； ③直线AD ⊥平面D 1DB ； ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1.其中正确结论的序号为________． 答案：①④解析：因为平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1，D 1C平面D 1DCC 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，①正确；直线A 1D 1在平面BCD 1内，②不正确；显然AD 不垂直于BD ，所以AD 不垂直于平面D 1DB ，③不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，④正确．三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：x cm,3x cm. 延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝ 2O 1O ＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm,21 cm.17．(12分)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．(1)求证：SA ∥平面PCD ； (2)求圆锥SO 的表面积． 解：(1)连接PO ，∵P ，O 分别为SB ，AB 的中点，∴PO ∥SA .又PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，∴SA ∥平面PCD .(2)设母线长为l ，底面圆半径为r ，则r ＝2，l ＝SB ＝22， ∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝πrl ＝42π， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝4(2＋1)π.18．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分PC ，且分别交AC ，PC 于D ，E 两点，PB ＝BC ，P A ＝AB .(1)求证：PC ⊥平面BDE ；(2)试确定线段P A 上点Q 的位置，使得PC ∥平面BDQ . 解：(1)∵PB ＝BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE . ∵DE 垂直平分PC ，∴PC ⊥DE .又BE 平面BDE ，DE 平面BDE ，且BE ∩DE ＝E ，∴PC ⊥平面BDE .(2)不妨令P A ＝AB ＝1，则有PB ＝BC ＝2，计算得AD ＝33＝13AC . ∴点Q 在线段P A 上靠近点A 的三等分点处，即AQ ＝13AP 时，PC ∥QD ，从而PC ∥平面BDQ .19．(13分)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝AD ＝DF ＝a ，AD ⊥DF ，M ，G 分别是AB ，DF 的中点．(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a ＝12a 3，表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点，AB 綊CD ，∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .∵MH 平面FMC ，GA 平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC 垂直于平面α，BC α，AB ＝BC ＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B ，C 处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．(1)图②中的PC (PC <PB )的长为多少时，CP ⊥平面ABP ？并说明理由． (2)在(1)的情形下，求三棱锥B －APC 的高． 解：(1)当CP ＝3时，CP ⊥平面ABP .证明如下：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5， 所以三角形BPC 为直角三角形，且CP ⊥PB . 又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α，于是CP ⊥AB .又PB 平面ABP ，AB 平面ABP ，PB ∩AB ＝B ， 所以CP ⊥平面ABP .(2)解法一：如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D ，由(1)，知CP ⊥平面ABP ，则CP ⊥BD .又AP 平面APC ，CP 平面APC ，AP ∩CP ＝P ， 所以BD ⊥平面APC ，即BD 为三棱锥B －APC 的高． 由于PB ＝4，AB ＝5，AB ⊥平面α，所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，由AP ·BD ＝AB ·PB ，得BD ＝4×541＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.解法二：由(1)，知CP ⊥平面ABP ，所以CP ⊥AP . 又CP ＝3，BP ＝4，AB ＝5，AB ⊥BP ， 所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，所以S △APC ＝12·CP ·AP ＝3412.设三棱锥B －APC 的高为h ，则V B －APC ＝13·S △APC ·h ＝412h .又V A －PBC ＝13·S △PBC ·AB ＝13×12×CP ×BP ×AB ＝10，而V B －APC ＝V A －PBC ，得412h ＝10，所以h ＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.21．(13分)已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且AM ＝FN ＝x ，设AB ＝a(1)求证：MN ∥平面CBE ； (2)求证： MN ⊥AB ；(3)当x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值．证明：(1)在平面ABC 中，作MG ∥AB ，在平面BFE 中，作NH ∥EF ，连接GH ，∵AM ＝FN ，∴MC ＝NB ，∵MG AB ＝MC NC ＝NBEF∴MG ∥NH ，∴MNHG 为平行四边形，∴MN ∥GH又∵GH ⊆面BEC ，MN 面BEC ，∴MN ∥面BEC (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，∴AB ⊥面BEC ，∵GH ⊆面GEC ，∴AB ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ⊥AB (3)∵面ABCD ⊥面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD ，∴BE ⊥BC∵BG ＝x2，BH ＝2a －x 2∴MN ＝GH ＝BG 2＋BH 2＝x 2＋x 2－22ax ＋2a 22＝x 2－2ax ＋a 2(0<a <2a )＝⎝⎛⎭⎫x －22a 2＋a 22≤22a当且仅当x ＝22a 时，等号成立；∴当x ＝22a 时，MN 取最小值22a .。

6．2 垂直关系的性质时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知△ABC 和两条不同的直线l ，m ，l ⊥AB ，l ⊥AC ，m ⊥AC ，m ⊥BC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．垂直答案：A解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .2．PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝5，P A ＝PB ＝PC ＝10，则PO 的长等于( )A ．5B ．5 2C ．5 3D ．20答案：C解析：∵P A ＝PB ＝PC ，∴P 在面ABC 上的射影O 为△ABC 的外心．又△ABC 为直角三角形，∴O 为斜边BA 的中点．在△ABC 中，BC ＝5，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴PO ＝ PC 2－(AB 2)2＝5 3. 3．已知平面α⊥β，直线l α，直线m β，若l ⊥m ，则l 与β的位置关系是( )A ．l ⊥βB ．l ∥βC ．l βD ．以上都有可能答案：D解析：若l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β；若l 平行两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则l ∥β；若l 就是两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则l β.故这三种情况都有可能．4．如图，BC 是Rt △BAC 的斜边，P A ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于点D ，则图中直角三角形的个数是( )A ．3B ．5C ．6D ．8答案：D解析：由P A⊥平面ABC，知△P AC，△P AD，△P AB均为直角三角形，又PD⊥BC，P A ⊥BC，P A∩PD＝D，∴BC⊥平面P AD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB 均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.5．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，aγ，bγ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则lα，lβ.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案：A解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是__________．答案：菱形解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面P AC，又AC⊂平面P AC，所以AC⊥BD.8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD ＝2a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．答案：5解析：由勾股定理逆定理得P A⊥AD，P A⊥AB，∴P A⊥面ABCD，P A⊥CD，P A⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面PBC，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面PCD.9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.答案：①②④解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，P A⊥平面ABCD，E 为PD的中点，P A＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.证明：∵P A＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴P A＝CA.又F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.又AF⊥PC，AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.11．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.证明：(1)取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，又DM平面BCD，AE平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD，所以DE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因为CD平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.12.如图所示，已知在△BCD中，∠＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ，(0<λ<1)．求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.。

单元测试三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分，考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．过两直线：－＋＝和：＋＋＝的交点和原点的直线的方程为( )．－＝．＋＝．－＝．＋＝答案：解析：解方程组(\\(－＋＝，＋＋＝，))得(\\(＝－()，＝().))∴＝－.又过原点，∴直线方程为＋＝.．已知点(＋)，(－)，直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，则直线的斜率为( )．．不存在答案：解析：＝，∴直线的倾斜角为°.∴的倾斜角为°，＝°＝.．已知点()(>)到直线：－＋＝的距离为，则＝( )．－－＋答案：解析：由＝得＝－，＝－－(舍去)．．三条直线：－＝，：＋－＝，：－－＝构成一个三角形，则的范围是( )．∈．∈且≠±，≠．∈且≠±，≠－．∈且≠±，≠答案：．若点()和点(，)关于直线－－＝对称，则( )．＝，＝－．＝，＝－．＝，＝．＝，＝答案：解析：由题意，知(\\((－－)＝－,(＋)－(＋)－＝))，解得(\\(＝＝))，故选.．和直线－＋＝关于轴对称的直线方程是( )．＋－＝．＋＋＝．－＋－＝．－－＝答案：解析：设对称直线上任一点坐标为(，)它关于轴对称的点的坐标为(，－)．(，－)在直线－＋＝上∴有－(－)＋＝即＋＋＝即所求直线方程为＋＋＝.．直线过原点()，且不过第三象限，那么的倾斜角α的取值范围是( )．[°，°] ．[°，°]．[°，°)或α＝°．[°，°]答案：解析：画图知的倾斜角应是钝角或坐标轴上的角，中含锐角不正确，中°不在其倾斜角的范围内应被排除，中含的角不全面．．设直线与轴的交点为，且倾斜角为α，若将其绕点按逆时针方向旋转°，得到直线的倾斜角为α＋°，则( )．°≤α<°．°≤α<°．°<α≤°．°<α<°答案：解析：解答本题应紧扣直线的倾斜角的取值范围，还要注意到与轴相交的直线的倾斜角不为°.从而有(\\(°<α<°，°≤α＋°<°))，所以°<α<°，故选.．直线过点()，且与点(－)的距离最远，则的方程为( )．－－＝．－＋＝．＋＋＝．＋－＝答案：解析：当⊥时符合要求，∵＝＝，∴的斜率为－.∴的方程为－＝－(－)，即＋－＝.．一条直线被两条直线＋＋＝和－－＝截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是( )．＋＝．－＝．＋＝．－＝答案：解析：设与＋＋＝交于(，－－)，与直线－－＝，交于点(，)，由()为的中点，故可得(－，)，由，两点确定.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．已知直线：(＋)＋－－＝(∈)在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的值为．答案：－或解析：当直线：(＋)＋－－＝(∈)过原点，即－－＝时，解得＝－，此时该直线在两坐标轴上的截距都为，所以在轴上的截距是在轴上的截距的倍，即＝－符合题意；当直线：(＋)＋－－＝(∈)不过原点，即－－≠，即≠－时，易知≠－，该直线在轴上的截距是＋，在轴上的截距是，所以由直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，得×＝＋，解得＝.综上所述，的值为－或.．直线经过()，(，)(∈)两点，则直线的倾斜角的取值范围为．答案：[°，°]∪(°，°)解析：直线的斜率＝＝－≤.若直线的倾斜角为α，则α≠°，且α≤.又°＝，且°≤α<°，∴°≤α≤°或°<α<°.．已知直线：(＋)＋(－)＝与：(－)＋(＋)＋＝互相垂直，则的值为．答案：－或解析：①若的斜率不存在，此时＝，的方程为＝，的方程为＝－，显然⊥，符合条件；若的斜率不存在，此时＝－，易知与不垂直．②当，的斜率都存在时，直线的斜率＝－，直线的斜率＝－，∵⊥，∴·＝－，即·＝－，所以＝－.综上可知＝－或＝.．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点(，)在直线＋＋＝上，则＋的最小值为．答案：解析：求＋的最小值就是在直线＋＋＝上求一点，使这点到原点的距离的平方最小，因而其最小值为原点到直线＋＋＝的距离．由题意得到＋≥＝＝＝，∴＋的最小值为.．已知直线过点()，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．答案：。

7．3 球的表面积和体积时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案：C解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．已知两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．．．．答案：A解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2，∵r 1∶r 2＝1∶3，∴S 1∶S 2＝4πr 21∶4πr 22＝r 21∶r 22＝1∶9.故选A.3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )A ．V 正方体＝V 圆柱＝V 球B ．V 正方体<V 圆柱<V 球C ．V 正方体>V 圆柱>V 球D ．V 圆柱>V 正方体>V 球 答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a ，R ，r ，则S 正方体＝6a 2，S 球＝4πR 2，S 圆柱＝6πr 2，由题意，知S 正方体＝S 球＝S 圆柱，所以a ＝πr ，R ＝32r ，所以V 正方体＝a 3＝ππr 3，V 球＝43πR 3＝6πr 3，V 圆柱＝2πr 3，显然可知V 正方体<V 圆柱<V 球．4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.499πB.73πC.283πD.289π答案：C解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r ，则r ＝⎝⎛⎭⎫23×32＋12＝73，所以该球的表面积为4πr 2＝283π. 5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( ) A ．1：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．4：3 答案：C解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r ，则圆柱的底面圆半径为r ，圆柱的高为2r ，于是圆柱的全面积为S 1＝2πr 2＋2πr ·2r ＝6πr 2，球的表面积为S 2＝4πr 2.∵S 1S 2＝6πr 24πr 2＝32. 6．球O 的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3 D ．4 3π 答案：C解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．答案：100π解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.8．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案：6解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫623＋43π×⎝⎛⎭⎫823＋43π×⎝⎛⎭⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为__________．答案：9π解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V 1和V 2之比．解：△ABO 旋转成圆锥，扇形ABO 旋转成半球，设OB ＝R .V半球＝23πR 3，V 锥＝π3·R ·R 2＝π3R 3， ∴(V 半球－V 锥V 锥＝ 11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．解：设圆锥的底面半径为r ，高为h .∵2πr ＝25π·10，∴r ＝2.h ＝102－22＝4 6.∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π·1025＋2π·22＝28π(cm 2)．体积V ＝1 3π·22×4 6＋23π·23＝163(6＋1)π(cm 3)．12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2， 因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r ＝1242＋42＋22＝3，因此外接球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2直观图时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．水平放置的梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形答案：A解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.2．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④答案：A解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案：A解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是()A．16 B．64C．16或64 D．以上都不对答案：C解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x ′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y ′轴，则正方形的边长为8，面积是64.5．若用斜二测画法把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则该圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且长度为10 cmB ．平行于z ′轴且长度为5 cmC ．与z ′轴成45°且长度为10 cmD ．与z ′轴成45°且长度为5 cm 答案：A解析：平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.6．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是( )A.2＋22B.1＋22C ．2＋ 2D ．1＋ 2 答案：C解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为2＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为2＋1，高为2，所以其面积为2＋ 2.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．一条边在x 轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．答案： 2解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为22，故面积为 2.8．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为________．答案：4＋22解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为22＋1，高为2，故面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋22＋1×2＝2＋22.9．给出下列各命题：(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形； (3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形； (4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同； (6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形． 其中正确的命题序号为____________．答案：(1)(2)(5)三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解：11．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB 的直观图．解：(1)在已知图中，以O 为坐标原点，以OB 所在的直线及垂直于OB 的直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，过点A 作AM 垂直x 轴于点M ，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O ′，画出相应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上取点B ′，M ′，使O ′B ′＝OB ，O ′M ′＝OM ，过点M ′作M ′A ′∥y ′轴，取M ′A ′＝12MA .连接O ′A ′，B ′A ′，如图2.(3)擦去辅助线，则△O ′A ′B ′为水平放置的△OAB 的直观图． 12．画正六棱柱的直观图． 解：画法如下：(1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°； (2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF (O ′为正六边形的中心)；(3)画侧棱：过A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝EE ′＝FF ′；(4)连线成图：连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，F ′A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图所示．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

4．1空间图形基本关系的认识时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法错误的是()A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案：C2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()A．l⊂αB．l∉αC．l∩α＝A D．l∩α＝B答案：A解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案：D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.4．下面空间图形画法错误的是()A BC D答案：D解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案：C解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面答案：D解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．答案：A∈l AB⊂βα∩β＝l8．设平面α与平面β相交于直线l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．答案：M∈l解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案：②解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．解：11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．12.如图，已知P∉平面ABC，P A≠PN⊥AB与N，求证：CM和PN是异面直线．解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴P A＝PB，与题设P A≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P∉平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM⊂平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵P A≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N∉CM.又∵P∉平面ABC，∴CM和PN是异面直线．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

第一章章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案：B2．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案： D3．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为PA，PB，PC两两垂直且________．为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为解析：由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2.是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：，那么α⊥β.图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为2.所以此几何体的体积V＝S30 cm，由其侧面积等于两底面面积的和可得如图，在三棱锥BC＝8，DF＝5.求该直三棱柱的体积与表面积；，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a 2＝(3＋2)a 2.在折叠的过程中，直线AB 与CD 能否垂直？若能，求出相应能够垂直．CD＝D，ABCD所成角的大小；－C的大小．解析：根据三视图可知：PA垂直平面ABCD，点E，F分别为AC和GE，则FG∥PA，GE为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，所以∠FEG＝45°.(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又因为∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的大小为45°.。

第一章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是（）A .24 cm B .22 cm C .24 cm πD .21 cm 2.已知5 tan 12a π=，3cos 5b π=，17 cos 4c π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A .b a c＞＞B .a b c＞＞C .b c a＞＞D .a c b＞＞3.要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数 cos 2y x =的图象（）A .向左平移3π个单位长度B .向左平移6π个单位长度C .向右平移6π个单位长度D .向右平移3π个单位长度4.已知3sin 35x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭等于（）A .35B .45C .35-D .45-5.函数()f x xsinx =的图象大致是（）6.函数()tan 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数()sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期相同，则ω=（）A .1±B .1C .2±D .27.已知函数()2sin 2(0)4f x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[]1,1-上的单调增区间为（）A .13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B .13,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦-8.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（）A .75米B .85米C .()5025+米D .()6025+米二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有（）A .tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .sin |2|y x =D .sin y x=10.已知函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A .函数()f x 的最小正周期为πB .函数()f x 在[]0,π上有三个零点C .当8x π=时，函数()f x 取得最大值D .为了得到函数()f x 的图象，只要把函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）11.若函数()14sin f x x t =+-在区间，,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个零点，则t 的可能取值为（）A .2-B .0C .3D .412.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+=（）A .sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C .cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.tan 15︒=________.14.函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为________.15.如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________.16.已知函数()2sin 36f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且2 39fπ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间为________________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知 sin()2cos(4)αβπαπ-=-，求sin()5cos(2)sin()32sin 2παπααπα-+---⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.已知函数()3tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域；（2）比较2f π⎛⎫⎪⎝⎭与8f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小.19.已知函数()sin(),0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ＞＞＜的部分图象如图所示.（1）试确定()f x 的解析式；（2）若122f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 32πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.某地昆虫种群数量在七月份113～日的变化如图所示，且满足 sin()(00)y A t b ωϕωϕ=++＞,＜.（1）根据图中数据求函数解析式；（2）从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？21.已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最值，并求出取最值时x 的值；（3）求不等式()2f x ≥的解集.22.已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()2sin()002f x x πωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞，＜图象上的任意两点，角ϕ的终边经过点(1,P ，且当()()124f x f x -=时，12 x x -的最小值为3π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2mf x m f x + 恒成立，求实数m 的取值范围.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】设半径为R ，由弧长公式得42R =，即 2 cm R =，则()2124 4 cm 2S =⨯⨯=，故选A .2.【答案】D 【解析】5tan 112a π=，317cos 0,1cos cos 0544b c πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，a c b ∴＞＞.3.【答案】B【解析】cos 2cos 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度.4.【答案】C【解析】73 cos cos sin sin 662635x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.5.【答案】A【解析】因为函数()sin f x x x =满足()()sin()sin f x x x x x f x -=--==，定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数，故排除B 、C ，又因为(,2)x ππ∈时，sin 0x ＜，此时()0f x ＜，所以排除D ，故选A .6.【答案】A 【解析】由题意可知2|||2|ππω=-，解得||1ω=，即1ω=±，故选A .7.【答案】C 【解析】由已知得2 22πω=，解得2πω=，所以()2sin 4f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22242k x k ππππππ-+-+ ，k ∈Z ，解得132244k x k -++≤≤，k ∈Z ，又[11]x ∈-，，所以1344x -≤，所以函数()f x 在[11]-，上的单调递增区间为1344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.8.【答案】B【解析】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设t 时刻的坐标为()x y ，，转过的角度为221t π，根据三角函数的定义有2250sin 50cos 21221y t t πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，地面与坐标系交线方程为60y =-，则第7分钟时他距离地面的高度大约为26050cos 853π-=，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A. tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数周期为π，非奇非偶函数，排除；B.sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数周期为π，偶函数，满足；C.sin |2|y x =是偶函数，不是周期函数，排除；D.|sin |y x =，函数周期为π，偶函数，满足；故选BD .10.【答案】AC【解析】()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，选项A 正确；()0f x =，2()4x k k ππ+=∈Z ，当[0,]x π∈时，37,88x ππ=，选项B 不正确；当8x π=时，()f x 取得最大值，选项C 正确；只要把函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到()f x ，选项D 不正确，故选A 、C .11.【答案】ABD【解析】令()0f x =，可得1sin 4t x -=，可知两个函数在区间，,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，作出函数sin y x =与14t y -=在区间，,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，如图所示：则11124t -＜＜或1104t --＜，解得35t ＜＜或31t -＜＜，故选ABD .12.【答案】BC【解析】由题图可知，函数的最小正周期2236T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2||ππω∴=，2ω=±；当2ω=时，sin(2)y x ϕ=+，将点,06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦代入得，sin 206πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，226k πϕππ∴⨯+=+，k ∈Z ，即223k πϕπ=+，k ∈Z ，故2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.由于22sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 正确；sin 2cos 2cos 23236y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 正确；对于选项A ，当6x π=时，sin 1063ππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，错误；对于选项D ，当2563212x πππ+==时，55cos 211612ππ⎛⎫-⨯=≠- ⎪⎝⎭，错误.当2ω=-时，sin(2)y x ϕ=-+，将,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得sin 206πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，结合函数图象，知22,6k k πϕππ-⨯+=+∈Z ，得4 2,3k k πϕπ=+∈Z ，4sin 23y x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，但当0x =时，4sin 203y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，与图象不符合，舍去，综上，选BC .三、13.【答案】2-【解析】()11tan 30tan15tan 453021tan 3033--=-=︒︒︒==+︒-︒14.【答案】[1,2]-【解析】,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，22,663x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 262x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-.15.【答案】8【解析】由图象可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 538y =+=.16.【答案】1222,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】①239f π⎛⎫=⎪⎝⎭，222sin 33996f a πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =；②将a 代入，得()2sin 316f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由232,262k x k k πππππ--+∈Z ，得222,3939k k x k ππππ-+∈Z ，故函数() f x 的增区间为222,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .四、17.【答案】sin(3)2cos(4)απαπ-=- ，sin(3)2cos(4)παπα∴--=-，sin()2cos()παα∴--=-，sin 2cos αα∴=-，由此可知 cos 0α≠，∴原式sin 5cos 2cos 5cos 3cos 32cos sin 2cos 2cos 4cos 4αααααααααα+-+====--+---.18.【答案】（1）由已知得2()32x k k πππ-≠+∈Z ，15()212x k k ππ≠+∈Z ，所以()f x 的定义域为15,212x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，（2）因为 3tan 3tan 0233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7753tan 3tan 3tan 3tan 0843121212f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 28f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜.19.【答案】（1）由图可知2A =，且5116324T-==，2T ∴=，又22T πω==，ωπ∴=；将5,06⎛⎫⎪⎝⎭代入()2sin()f x x πϕ=+，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，56k πϕπ∴+=，解得5,6k k ϕππ=-∈Z ；又||2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin ()6f x x x ππ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭R ；（2）122f απ⎛⎫=⎪⎝⎭ ，1sin 264απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，21cos cos sin 32226264παπαπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.【答案】（1）由图象可知max 900y =，min 700y =，且max A b y +=，min A b y -+=，max min 90070010022y y A --∴===，max min 8002y y b +==，且212T πω==，6πω∴=将()7,900看作函数的第二个特殊点应有762ππϕ⨯+=，23πϕ∴=-，因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又12622T ==，∴从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个低谷或一个高峰.21.【答案】（1）由222232k x k πππππ-+++≤，k ∈Z ，解得51212k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-+≤≤，故1 sin 2123x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤，所以()03f x ≤≤.当且仅当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取最大值3；当且仅当236x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 取最小值0.（3）由()2f x ≥得，1sin 232x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，所以5 222()636k x k k πππππ+++∈Z ≤解得()124k x k k ππππ-+∈Z ≤即不等式()2f x ≥的解集为,()124k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z .22.【解析】（1） 角ϕ的终边经过点P （1，，tan ϕ∴=，02πϕ- ＜，3πϕ∴=-，由当()()124f x f x -=时，12 x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω=，()2sin 33f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.（2）由232232k x k πππππ-+-+≤≤，k ∈Z ，得252183183k k x ππππ-++≤≤，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为252,183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤，于是2()0f x +＞，则()2()mf x m f x +≥，等价于()212()2()f x m f x f x =-++≥，由()1f x ≤，得()2()f x f x +的最大值为13，故实数m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

5．1平行关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故3个．2．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行答案：D解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能答案：D解析：若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，所以选D.5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，则在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条 答案：D解析：在AA 1上取一点G ，使得AG ＝14AA 1，连接EG ，DG ，可证得EG ∥D 1F ，所以E ，G ，D 1，F 四点共面，所以在平面ADD 1A 1内，平行于D 1G 的直线均平行于平面D 1EF ，这样的直线有无数条．6．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE EB ＝AF FD ＝，H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案：B解析：由题意，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD ，HG ∥BD ，且HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ≠HG ，∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，EH 与平面ADC 不平行，故选B.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．如果直线a ，b 相交，直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________． 答案：相交或平行解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b 与平面α的位置关系是相交或平行． 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1________．答案：平面A 1C 1B 和平面A 1C 1D 解析：如图所示截面一定过A 1，C 1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A 1C 1B 和平面A 1C 1D .9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．答案：12 解析：如图，取B 1C 1的中点M ，BC 的中点N ，AC 的中点H ，连接GM ，MN ，HN ，GH ，则GM ∥HN ∥AB ，MN ∥GH ∥AA 1，所以有GM ∥平面ABB 1A 1，MN ∥平面ABB 1A 1.又GM ∩MN ＝M ，所以平面GMNH ∥平面ABB 1A 1，即平面GMNH 为过点G 且与平面ABB 1A 1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：MN ∥平面OCD .证明：如图，取OD 的中点E ，连接ME ，CE .∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME 綊12AD 綊NC ，∴四边形MNCE 为平行四边形，∴MN ∥EC .又MN 平面OCD ，EC 平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .11．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，E ，F ，H 分别为AB ，CD ，PD 的中点．求证：平面AFH ∥平面PCE .证明：因为F ，H 分别为CD ，PD 的中点，所以FH ∥PC .又FH平面PCE，PC平面PCE，所以FH∥平面PCE.又E为AB的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.又AF平面PCE，CE平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D1是线段A1C1上的一点，当A1D1D1C1为何值时，BC1∥平面AB1D1?解：当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.证明如下：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步4.2 空间图形的公理课时作业北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步4.2 空间图形的公理课时作业北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步4.2 空间图形的公理课时作业北师大版必修2的全部内容。

4．2 空间图形的公理时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法正确的个数为（）①有三个公共点的两平面必重合；②平面α和平面β只有一个公共点;③三点确定一个平面．A．1 B．2C．3 D．0答案：D解析：①当这三个公共点共线时，两平面可以相交，但不重合，故①错误；②由公理3，知两个平面若有一个公共点，则必有无数个公共点，故②错误；③不在同一直线上的三点才能确定一个平面,③错误．故选D.2．已知α，β表示两个不同的平面，l表示直线，A，B表示两个不同的点．给出下列命题：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lα；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l⃘α，A∈l，则A∉α。

其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：C解析：由公理2可知①正确；由公理3可知②正确；当点A为直线l与平面α的交点时,③错误．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA，O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( ）A．OB∥O1B1，且射线OB，O1B1的方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案:D解析：如图，在图1中OB∥O1B1，在图2中,OB与O1B1不平行．4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足（）A．0°〈α<90° B．0°〈α≤90°C．0°≤α≤90° D．0°〈α〈180°答案：B解析:异面直线所成的角为锐角或直角，故选B。

5．2平行关系的性质时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面答案：A解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.2．设平面α∥β，直线aα，直线bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a与b 为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有()A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE EA＝BF FC，且DH HA＝DG GCD．AE EB＝AH HD，且BF FC＝DG GC答案：D解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC ＝DG∶GC.4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案：A解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面答案：D解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.则CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．6．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()A．16和12 B．15和13C．17和11 D．18和10答案：B解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND ＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．答案：20解析：截面四边形为平行四边形，则l ＝2×(4＋6)＝20.8．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 四边上的点，且它们共面，AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 为菱形时，AE EB ＝________.答案：m ∶n 解析：因为AC ∥平面EFGH ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，AC 平面ABC ，所以EF∥AC ，所以EB BA ＝EF AC ①.同理可证AE BA ＝EHBD ②.又四边形EFGH 是菱形，所以EF ＝EH ，由①②，得AE EB ＝AC BD .又AC ＝m ，BD ＝n ，所以AE EB ＝mn.9．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH解析：如图，连接FH ，HN ，FN ，由平面HNF ∥平面B 1BDD 1，知当点M 在线段FH 上时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10.如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EF .求证：BB 1∥EF .证明：∵CC1∥BB1，CC1平面BEFB1，BB1平面BEFB1，∴CC1∥平面BEFB1.又CC1平面CC1D1D，平面CC1D1D∩BEFB1＝EF，∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.11．如图，多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)证明：四边形ABED是正方形；(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．解：(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，平面ABED∩平面DEFG＝DE，由面面平行的性质定理，得AB∥DE.同理AD∥BE.所以四边形ABED为平行四边形．又AB⊥AD，AB＝AD，所以四边形ABED是正方形．(2)如图，取DG的中点P，连接P A，PF.在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE.又AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP.所以四边形ABFP为平行四边形，所以AP∥BF.在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.故B，C，F，G四点共面．12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解：能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝ 5，MN ＝2 2， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×2 2× 3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！ 高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

第二章 解析几何初步1 直线与直线的方程1．1 直线的倾斜角和斜率时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知直线过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在答案：B解析：由题意可得AB 的斜率为k ＝2－41－0＝－2. 2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,1)与(－4，－1)B ．(0,1)与(1,0)C ．(1,4)与(－1,4)D ．(－4,1)与(－4，－1)答案：D解析：选项A ，B ，C ，D 中，只有D 选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．3．经过原点O (0,0)与点P (1,1)的直线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°答案：B解析：设过点O 与点P 的直线的倾斜角为α.因为直线OP 的斜率k ＝1－01－0＝1，又0°≤α<180°，所以α＝45°.4．若直线经过点A (m 2,0)，B (2，3m )，且倾斜角为60°，则实数m ＝( )A ．1或－1B ．2或－2C ．1或－2D ．－1或2答案：C解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又直线经过点A (m 2,0)，B (2，3m )，所以3m －02－m2＝3，即m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或－2. 5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案：D解析：设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别是α1、α2、α3，则90°＜α1＜180°，0°＜α3＜α2＜90°，∴tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0.∴k 1＜k 3＜k 2.6．已知直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的斜率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．不存在答案：D解析：设直线l 1的倾斜角为α.因为直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，所以直线l 1的斜率为1－(－1)1－(－1)＝1.又0°≤α<180°，所以α＝45°，则直线l 2的倾斜角为90°，所以直线l 2的斜率不存在．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．答案：[0°，30°)解析：当0≤k <33时，因为tan0°＝0，tan30°＝33，所以0°≤α<30°. 8．已知A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________． 答案：12解析：因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12.9．若经过A (2,1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是________． 答案：m ＜1解析：由l 的倾斜角为锐角，可知K AB ＝m －11－2＞0，即m ＜1. 三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10．如图，直线l 2的倾斜角α2＝120°，直线l 1的倾斜角为α1，直线l 1⊥l 2，求直线l 1的斜率．解：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，所以直线l 1的斜率为k ＝tan30°＝33. 11．已知点A (1,0)，P 为抛物线y ＝x 2＋2x －3上一点，若直线P A 的倾斜角为45°，求点P 的坐标．解：设点P (x 1，y 1)(x 1≠1)，则y 1＝x 21＋2x 1－3.因为A (1,0)，所以k P A ＝y 1－0x 1－1＝x 21＋2x 1－3x 1－1＝x 1＋3.又直线P A 的倾斜角为45°，所以k P A ＝1，所以x 1＋3＝1，即x 1＝－2.当x 1＝－2时，y 1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3.所以点P 的坐标为(－2，－3)．12．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t 的取值范围．解：因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t ＝2t ，得t ＝1；当α＝90°时，1－t ＝3，得t ＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，即2t －(1＋t )3－(1－t )<0，得t －1t ＋2<0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ t －1>0t ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧t －1<0t ＋2>0，解得－2<t <1. 综上所述，实数t 的取值范围为[－2,1]．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

单元测试二　点、线、面之间的位置关系班级____　姓名____　考号____　分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为( )A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α答案：B2．下列说法正确的是( )A．经过空间三点有且只有一个平面B．经过圆心和圆上两点有且只有一个平面C．若三条直线两两相交，则这三条直线共面D．经过两条平行直线有且只有一个平面答案：D3．a、b是异面直线，则( )A．存在α⊥a，α⊥bB．一定存在a⊂α且b⊥αC．一定存在a⊂α且α∥bD．一定存在α∥a且α⊥b答案：C解析：A与线面垂直性质定理矛盾；B当a与b不垂直时不成立；D不一定成立．4．若平面α外有一条直线l与α内的两条平行线都垂直，则( )A．l⊥αB．l∥αC．l与α斜交D．以上都有可能答案：D解析：因为平面外的直线与α内的两条平行线垂直，所以不能确定l与α的具体位置关系，它们可能垂直，也可能斜交或平行．5．下列说法不正确的是( )A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥dC．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是CC1的中点，则直线AE，D1F异面D．梯形一定是平面图形答案：C6．直线l不垂直于α，则α内与l垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线答案：C解析：不管l与平面α关系如何，过l一定可找到一平面β，在β内可做一直线l′⊥l，然后将l′平行平移到α内，再在α内作l′的平行线，由空间两直线垂直的定义可知，在α内有无数条直线与l垂直．故选C.7．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β答案：C解析：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．8．如右图所示，A ∈α，B ∈l ，C ∈l ，D ∈β，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2，P 是棱l 上的一个动点，则AP ＋PD 的最小值为( )A .B ．252C ．3D .10答案：D解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE ∥BC ，延长DC 交AE 于E ，则AE ＝BC ＝1，EC ＝1，∴在Rt △AED 中有AD ＝＝.32＋12109．已知三平面α、β、γ互相平行，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，若AB ＝10，＝，则AC 等于( )DE DF 12A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：D解析：连接AF 交β于G ，连接AD ，BG ，GE ，CF ，在△ACF 中，由β∥γ得BG ∥CF ，∴＝，在△AFD 中，由α∥β得AD ∥GE ，∴＝，∴＝＝，AB AC AG AF AG AF DE DF AB AC DE DF 12又AB ＝10，∴AC ＝20.10．在下列四个正方体中(如图所示)，能得出AB ⊥CD 的是( )答案：A解析：由线面垂直可判定异面直线是否垂直．二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．在棱长都相等的三棱锥P －ABC 中，相互垂直的棱的对数为__________．答案：312．已知∠ABC ＝120°，∠ABC 与∠A 1B 1C 1的两边分别平行，则∠A 1B 1C 1＝________.答案：60°或120°13．已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的________．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)答案：垂心解析：如图所示，∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴BC ⊥PA.又∵BC ⊥PH∴BC ⊥平面PAH ，AH ⊂平面PAH∴AH ⊥BC ，同理BH ⊥AC ，CH ⊥AB.∴H 是△ABC 的垂心．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．如图所示，已知三角形ABC 中∠ACB ＝90°，SA ⊥面ABC ，AD ⊥SC ，求证：AD ⊥面SBC.证明：∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC.又SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC.∴BC ⊥面SAC ，∴BC ⊥AD.又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ，∴AD ⊥面SBC.15．在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN.求证：MN ∥平面BB 1C 1C.证明：如图所示作NE ∥AB 交BC 于E ，作MF ∥AB 交B 1B 于F ，连结EF ，则NE ∥MF.∵NE ∥AB ，∴＝NE AB CN CA又MF ∥AB ∥A 1B 1，∴＝MF A1B1BM BA1∵CA ＝BA 1，AN ＝A 1M ，∴CN ＝BM.∴＝.NE AB MF A1B1又AB ＝A 1B 1，∴NE ＝MF.∴四边形MNEF 是平行四边形，∴MN 綊EF.又MN ⊄平面B 1BCC 1，EF ⊂平面B 1BCC 1，∴MN ∥平面B 1BCC 1.16.如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝，CE ＝2，G 、F 分别为BE 、BC 的中点．求证：2(1)AB ⊥平面ACED ；(2)平面BDE ⊥平面BCE.解：(1)∵AD ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ACED ，∴平面ABC ⊥平面ACED ，∵BC 2＝AC 2＋AB 2，∴AB ⊥AC ，∵平面ABC ∩平面ACED ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥平面ACED.(2)∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC.∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥AF ，又∵BC ∩CE ＝C ，∴AF ⊥平面BCE ，又GF 是△BCE 的中位线，∴GF 綊CE.12∵AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AD ＝1，CE ＝2，∴AD 綊CE ，12∴AD 綊GF ，∴四边形GFAD 为平行四边形，∴AF ∥GD ，∴GD ⊥平面BCE ，又GD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCE.17.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．(1)求证：CD ∥平面A 1EB ；(2)求证：AB 1⊥平面A 1EB.解：(1)设AB 1和A 1B 的交点为O ，连结EO 、OD ，∵O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点，∴OD ∥BB 1，且OD ＝BB 1.12又E 是CC 1中点，∴EC ∥BB 1，且EC ＝BB 1，∴EC ∥OD 且EC ＝OD.12∴四边形ECDO 为平行四边形，∴EO ∥CD.又CD ⊄平面A 1BE ，EO ⊂平面A 1BE ，则CD ∥平面A 1BE.(2)∵三棱柱各侧面都是正方形，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC.∴BB 1⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC，∴BB1⊥CD.由已知得AB＝BC＝AC，∴CD⊥AB，∴CD⊥平面A1ABB1.由(1)可知EO∥CD，∴EO⊥平面A1ABB1，∴EO⊥AB1.∵侧面是正方形，所以AB1⊥A1B.又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，∴AB1⊥平面A1BE.18．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)证明：直线BD⊥平面PEG.解：(1)该安全标识墩左视图，如图所示．(2)证明：由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH，设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.。

目录第一章立体几何初步 (01)§1简单几何体 (2)§2直观图 (4)§3三视图 (6)§4空间图形的基本关系与公理 (8)§5.1平行关系的判定（一） (10)§5.1平行关系的判定（二） (13)§5.2平行关系的性质（一） (15)§5.2平行关系的性质（二） (17)§6.1垂直关系的判定 (19)§6.2垂直关系的性质（一） (20)§6.2垂直关系的性质（二） (23)§7.1简单几何体的侧面积 (23)§7.2柱、锥、台体的体积 (27)§7.3球的表面积与体积 (29)第二章解析几何初步 (31)§1.1直线的倾斜角和斜率 (31)§1.2直线的方程(一) (33)§1.2直线的方程(二) (35)§1.2直线的方程(三) (37)§1.3两条直线的位置关系 (39)§1.4 1. 5两条直线的交点和坐标系中的距离公式 (40)§2.1 2.2圆和圆的方程 (43)§2.3直线与圆的位置关系 (45)§2.3直线与圆的方程 (47)§2.3圆与圆的位置关系 (49)§3.2空间直角坐标系中点的坐标 (50)§3.3空间两点间的距离公式 (53)本章小结 (55)§1 简单几何体1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2.下列说法中正确的是（）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3.下列说法错误的是（）.A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4.用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（）.A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形5.下列说法正确的是（）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6.下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台7.把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（）.A. 圆锥B.圆柱C. 圆台D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体l，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大8.设圆锥母线长为l，高为2值为.9.若长方体的三个面的面积分别为62cm，则此长方体的对角线长cm,22cm,32为.10.三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R ，则这个三棱柱的底面边长为 .11.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.12．如图所示，长方体1111ABCD A B C D .（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.错误反思题号 错题分析正确解法§2 直观图一、选择题1.下列说法正确的是（）.A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形2.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）.A. 2倍B. 倍C. 倍D.3.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）.A. 3B. 6C.D.24.已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（）.A. 16B. 16或64C. 64D. 以上都不对二、填空题5．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是. 6．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是.三、解答题7．（1）画棱长为2cm的正方体的直观图；（2）画水平放置的直径为3cm的圆的直观图.8．如图，正方形O’A’B’C’的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.错误反思题号错题分析正确解法§3 三视图一、选择题1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()3．如图，依次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为谁的组合体() A．圆柱和圆锥B．立方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．立方体和球4．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．55．找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号二、填空题6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是________．7．如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是 (填写视图名称)．8．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于 ．9．右图是某个圆锥的三视图，请根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为 .10．用若干个正方体搭成一个几何体，使它的主视图与左视图都是如右图的同一个 图. 通过实际操作，并讨论解决下列问题：（1）所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？（2）画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图.20 30 俯视图 主视图 左视图30§4空间图形的基本关系与公理1.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，得到四边形EFGH.(1)四边形EFGH 是 ;(2)当对角线AC=BD 时,四边形EFGH 是 ; (3)当对角线满足条件 时,四边形EFGH 是矩形;(4)当对角线AC,BD 满足条件 时,四边形EFGH 是正方形. 2.画出满足下列条件的图形. (1)l αβ=,,,A;a b a b αβ⊆⊆= (2) l αβ=,b β⊆,.3.分别和两条异面直线AB,CD 同时相交的两条直线AC,BD 一定是异面直线,为什么?4.已知直线,,,a b c 且a ∥b ,A, B.c a c b ==求证: ,,a b c 在同一平面内.5.如图,已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P,Q,R 三点.求证:P,Q,R 三点共线.l RQPC BA α6.如图,在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是棱D 1C 1, B 1C 1的中点.求证:EF ∥BD,且EF=12BD.E D 11B 1A 1F D CB A7.如图,O 是平面ABC 外一点, A 1,B 1,C 1分别在线段OA,OB,OC 上,且满足11,OA OB OA OB =11.OA OC OA OC=求证: △ABC ∽△A 1B 1C 1.OC 1B 1A 1CBA§5. 1平行关系的判定（一）一、选择题1．下列说法正确的是（）A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥αD.若直线a∥b，直线b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线2．在以下的四个命题中，其中正确的是（）①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行②直线上有两点到平面的距离相等（距离不为零），则直线与平面平行③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行A.①②B.①③C.①②③D.①②③④3．ｂ是平面α外的一条直线，下列条件中可得出ｂ∥α的是( )A.ｂ与α内的一条直线不相交B.ｂ与α内的两条直线不相交C.ｂ与α内的无数条直线不相交D.ｂ与α内的所有直线不相交二、填空题4. 已知：E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是_____ __.5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，和平面A1DB平行的侧面对角线有三、解答题6．在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的理由.7．已知：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB BC、CD的中点. 求证：AC//平面EFG, BD//平面EFG.8．平面α与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面αBCE DαA题号错题分析正确解法§5.1平行关系的判定（二）一、选择题1．下列命题中，正确的是（）A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行B．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．如果一个平面内有两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行D．如果一个平面内的一个四边形两边分别和另一个平面内的一个四边形平行，那么这两个平面平行2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可以判定α∥β的是（）A．α，β都垂直于平面γB．α内不共线的三点到β的距离相等C．,l m是α内的直线，且l∥β，m∥βD．,l m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（）A．平行 B.相交C. 重合D.平行或相交二、填空题4．若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，a//b，平面α与β的位置关系为_ .A B C D中，5．在长方体ABCD–1111（1）与直线AB平行的平面是；A B平行的平面是；（2）与平面1（3）与平面AC平行的平面是；三、解答题6．证明：如果夹在两个平面内的三条线段（不都在同一个平面内）平行且相等，那么这两个平面平行.的重心.（1）求证：平面MNG ∥平面ACD ； （2）求S:SMNG ACDCAPH MNGF DB§5.2平行关系的性质（一）一、选择题1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是 （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面2．下面给出四个命题，其中正确命题的个数是 （ ）①若a ∥α、b ∥α，则a ∥b ②若a ∥α，b ⊂α,则a ∥b ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ④若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α A.0 B.1 C.2 D.43．直线a ，b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（ ）A. b ⊂αB. b ∥αC. b 与α相交D. 以上都有可能 二、填空题4.（1）若直线a ，b 均平行与平面α，那么a 与b 的位置关系是 ; （2）若直线a ∥b ,且a ∥平面β,则b 与β的位置关系是 ;5.（1）若直线a ，b 是异面直线,且a ∥平面β,则b 与β的关系是 ; （2）如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α，则直线m 、n 的位置关系是 ； 三、解答题6. 如图,在空间四边形ABCD 中,E,F,G ,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点,且EH ∥FG .求证:EH ∥BD.BCD FG HE A7. 求证:如果一直线分别平行于两个相交平面,则这条直线与他们的交线平行.8. 经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E. 求证：E 1E ∥B 1B错误反思1§5.2平行关系的性质（二）一、选择题1. 平面α∥平面β，,,a b αβ⊆⊆则,a b 一定是 （ ） A ．两条平行直线 B.异面直线C.相交直线D.无公共点的两条直线2.,,a b c 为三条不重合的直线,,,αβγ为三个不重合的平面,以下六个命题, ①若a ∥c 且b ∥c 则a ∥b ； ②若a ∥γ且b ∥γ则a ∥b ； ③若α∥c 且β∥c 则α∥β； ④若α∥γ且β∥γ则α∥β； ⑤若c ∥α且a ∥c 则a ∥α； ⑥若a ∥γ且α∥γ则a ∥α； 其中正确的命题是 （ ） A ．①②③ B.①④⑤ C.①④ D. ①④⑤⑥ 二、填空题3. 三个不同平面,,αβγ满足α∥β,l βγ⋂=,则α与γ的位置关系是 ； 若三个平面满足α∥β，β∥γ，则α与γ的位置关系是 ；4.如果夹在两个平行平面α、β间的线段AB=8，AB 和α成45°角，则α、β之间的距离为 __________________；三、解答题5.如图,两条异面直线AB,CD 与三个平行平面,,αβγ分别相交于A,E,B 及C,F,D,又AD,BC 与平面β的交点为H,G .求证:EHFG 为平行四边形.HG FE DCBAγβα6. 如图，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线PAB 分别交α、β 于A ，B 两点，PA=6，AB=2，引直线PCD 分别交α、β 于C ，D 两点.已知BD=12,求线段AC 的长.PDCBA βα7. 如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,面对角线AB 1,BC 1上分别有两点E,F,且B 1E=C 1F.求证:EF ∥平面AC.1错误反思§6.1垂直关系的判定1．判断题：（1）一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内任何直线平行; ( ) （2）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平垂直（ ） （3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边; ( )（4）过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内; ( ) （5）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( )2．若两直线a 与b 异面，则 过a 且与b 垂直的平面 （ ）A ．有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在3．如图，已知直线PG ⊥平面α与G ，直线EF 在平面α内，且PE ⊥EF 与E ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系 是 . 4．将一张矩形纸对折后略为展开，竖立在桌面上，折痕和桌面的位置关系是 .5．如图，在空间四边形ABCD 中，已知，BC=AC ，AD=BD ，作BE ⊥CD ，E 为垂足，AH ⊥BE 与H,求证：AH ⊥平面BCD.αGFEP6．如图，PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是异于A，B的O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.7.如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点。