[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编12.doc

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编20(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，=1，则( )．SSS_SINGLE_SELAf(0)是f(x)的极大值Bf(0)是f(x)的极小值C(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点Df(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点2.[2016年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y′的图形如图1．2．5．4所示，则( )．SSS_SINGLE_SELA函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点3.[2015年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其二阶导数f″(x)的图形如图1．2．5．5所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为( )．SSS_SINGLE_SELAB1C2D34.[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若Δx＞0，则( )．SSS_SINGLE_SELA0＜dy＜ΔyB0＜Δy＜dyCΔy＜dy＜0Ddy＜Δy＜05.[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣，则( )．SSS_SINGLE_SELAx=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点Bx=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点Cx=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点Dx=0不是f(x)的极值点，点(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点6.[2014年] 下列曲线有渐近线的是( )．SSS_SINGLE_SELAy=x+sinxBy=x2+sinxCy=x+sin(1／x)Dy=x2+sin(1／x)7.[2012年] 曲线y=的渐近线条数为( )．SSS_SINGLE_SELAB1C2D38.[2007年] 曲线y=1／x+ln(1+e x)渐近线的条数为( )．SSS_SINGLE_SELAB1C2D39.[2011年] 函数f(x)=ln∣(x一1)(x一2)(x一3)∣的驻点个数为( )．SSS_SINGLE_SELAB1C2D310.[2008年] 设f(x)=x2(x一1)(x一2)．则f′(x)的零点个数为( )．SSS_SINGLE_SELAB1C2D3填空题11.[2008年] 曲线y=(x一5)x3的拐点坐标为________．SSS_FILL12.[2004年] 设函数y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为__________．SSS_FILL13.[2009年] 函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．SSS_FILL14.[2006年] 曲线y=的水平渐近线方程为_________．SSS_FILL15.[2005年] 曲线y=(1+x)3/2／√x的斜渐近线方程为__________．SSS_FILL16.[2010年] 曲线y=2x3／(x2+1)的渐近线方程为__________．SSS_FILL17.[2016年] 曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为__________．SSS_FILL18.[20l7年] 曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_________．SSS_FILL解答题19.[2017年] 已知函数y(x)由方程x3+y3一3x+3y一2=0确定，求y(x)的极值．SSS_TEXT_QUSTI20.设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1．求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．SSS_TEXT_QUSTI21.[2011年] 设函数y=y(x)由参数方程确定．求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点．SSS_TEXT_QUSTI已知函数y=x3／(x一1)2，求：SSS_TEXT_QUSTI22.函数的增减区间及极值；SSS_TEXT_QUSTI23.函数图形的凹凸区间及拐点；SSS_TEXT_QUSTI24.函数图形的渐近线．[2012年] 已知函数f(x)满足方程f″(x)+f′(x)一2f(x)=0及f″(x)+f(x)=2e x．SSS_TEXT_QUSTI25.求f(x)的表达式；SSS_TEXT_QUSTIx f(一t2)dt的拐点．26.求曲线y=f(x2)∫x+π+2∣sint∣dt．求f(x)的值域．27.[2004年] 设f(x)=∫xSSS_TEXT_QUSTI28.[2003年] 讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数．SSS_TEXT_QUSTI1。

[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编15一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (12年)设I k=∫0kπsinxdx(k=1．2，3)，则有（A）I1＜I2＜I3（B）I3＜I2＜I1（C）I2＜I3＜I1（D）I2＜I1＜I32 (13年)设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则（A）x=π是函数F(x)的跳跃间断点．（B）x=π是函数F(x)的可去间断点．（C）F(x)在x=π处连续但不可导．（D）F(x)在x=π处可导．3 (13年)设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则（A）α＜一2．（B）α＞2．（C）-2＜α＜0．（D）0＜α＜2．4 (15年)下列反常积分中收敛的是5 (16年)已知函数f(x)=，则f(x)的一个原函数是6 (16年)反常积分的敛散性为（A）①收敛，②收敛．（B）①收敛，②发散．（C）①发散，②收敛．（D）①发散，②发散．7 (17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则（A）∫-11f(x)dx＞0．（B）∫-11f(x)dx＜0．（C）∫-10(f(x)dx＞∫01f(x)dx．（D）∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx．8 (17年)甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处．图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m，／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3．计时开始后追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则（A）t0=10．（B）15＜t0＜20．（C）t0=25．（D）t0＞25．9 (18年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则（A）当f'(x)＜0时，（B）当f"(x)＜0时，（C）当f'(x)＞0时，（D）当f"(x)＞0时，10 (18年)设则（A）M＞N＞K．（B）M＞K＞N．（C）K＞M＞N．（D）K＞N＞M．二、填空题11 (12年)12 (13年)设函数f(x)=则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数13 (13年)设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ．则L所围平面图形的面积是________．14 (14年)15 (14年)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1．则该细棒的质心坐标=______．16 (15年)设函数f(x)连续．φ(x)=。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编19(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2002年] 设函数f(u)可导，y=f(x2)．当自变量x在x=一1处取得增量Δx=一0．1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0．1，则f＇(1)=( )．A. 一1B. 0．1C. 1D. 0．52. 2.[2002年] 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．A. 当f(x)=0时，必有f′(x)=0B. 当f′(x)存在时，必有f′(x)=0C. 当f(x)=0时，必有f′(x)=0D. 当f′(x)存在时，必有f′(x)=03. 3.[2013年] 设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则( )．A. x=π是函数F(x)的跳跃间断点B. x=π是函数F(x)的可去间断点C. F(x)在x=π处连续但不可导D. F(x)在x=π处可导4. 4.[2003年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1．2．5．1所示，则f(x)有( )．A. 一个极小值点和两个极大值点B. 两个极小值点和一个极大值点C. 两个极小值点和两个极大值点D. 三个极小值点和一个极大值点5. 5.[2009年] 若f″(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2．则函数f(x)在区间(1，2)内( )．A. 有极值点，无零点B. 无极值点，有零点C. 有极值点，有零点D. 无极值点，无零点填空题6. 6.[2007年] 设函数y=1／(2x+3)，则y(n)(0)=________．7. 7.[2010年] 函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=_________．8. 8.[2015年] 函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．9. 9.[2016年] 已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．10. 10.[2014年] 设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=__________.11. 11.[2005年] 设y=(1+sinx)x，则dy∣x=π=_________．12. 12.[2001年] 已知f(x)在(一∞，+∞)内可导，f′(x)=e，[f(x)一f(x一1)]，则c=_________．13. 13.[2003年] 在y=2x的麦克劳林公式中含xn项的系数是_________．解答题14. 14.[2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)．(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=A，则f′+(0)存在，且f′+(0)=A．15. 15.[2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)使得f″(ξ)=g″(ξ)．[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：16. 16.存在ξ∈(0，1)，使得f′(∈)=1；17. 17.存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．[2005年] 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：18. 18.存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；19. 19.存在两个不同的点η∈(0，1)，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1．20. 20.[20l0年] 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3．证明：存在ξ∈(0，1／2),η∈(1／2，1)，使得f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2．[2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限存在，证明：21. 21.在(a，b)内f(x)＞0；22. 22.在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2).23. 23.在(a，b)内存在与(2)中手相异的点η，使f′(η)(b2一a2)=f(x)dx．24. 24.[2008年] (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)d x=f(η)(b一a)．(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ″(ξ)＜0．25. 25.[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值．26. 26.[2014年] 已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1一y′，且y(2)=0．求y=y(x)的极大值与极小值．。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)有二阶连续导数，且f′(0)=0，=1，则( )．A．f(0)是f(x)的极大值B．f(0)是f(x)的极小值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B解析：利用极限性质即命题1．2．5．2判别，也可用泰勒公式分析讨论(因函数二阶可导)．此外，还可利用一阶导数符号判别．解一f″(0)==0．由=1的保号性知，在x=0的某去心邻域内，有f″(x)／∣x∣＞0，从而f″(x)＞0．曲线为凹，说明(0，f(0))不是拐点，排除(C)．又由f′(0)=0及泰勒公式f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(ξ)x2／2，得到f(x)一f(0)=f″(ξ)x2／2＞0，再由极小值的定义知，f(0)为极小值．仅(B)入选．解二由极限的保号性知，在x=0的空心邻域内有f″(x)／∣x∣＞0．因而在x=0的空心邻域内f″(x)＞0，于是f′(x)单调增．又f′(0)=0，则当x＜0时，f′(x)＜f′(0)=0；当x＞0时，f′(x)＞f′(0)=0．由极值的一阶导数判别法知，f(0)是f(x)的极小值．仅(B)入选．知识模块：一元函数微分学2．[2016年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y′的图形如图1．2．5．4所示，则( )．A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点正确答案：B解析：可利用定理1．2．5．1(函数取得极值的第一充分条件)判别函数f(x)有多少个极值点．可利用命题1．2．5．3(1)判别点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．由导函数的图形1．2．5．4易看出，导数为0的点有x=a，b，c，d．它们是可导函数取极值的候选点．由图易看出：当x＜a时，f′(x)＞0；当x ＞a时，f′(x)＜0．由定理1．2．5．1(1)可判别x=a为f(x)的极大值点；当x＜c时，f′(x)＜0；当x＞c时，f′(x)＞0．由定理1．2．5．1(2)可判别x=c 为f(x)的极小值点．但当x＜b时，f′(x)＜0；当x＞b时，f′(x)＜0．由定理1．2．5．1(3)知，x=b不是极值点．同理，当x＜d和x＞d时，f′(x)＞0，故x=d也不是极值点．当x＜b时，f′(x)单调下降，故f″(x)＜0．当b＜x＜e时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．由命题1．2．5．3(1)知，点(6，f(b))为拐点．当c＜x＜e时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．又当e＜x＜d时，f′(x)单调下降，f″(x)＜0．由命题1．2．5．3(1)知，点(e，f(e))为拐点．当e ＜x＜d时，f′(x)单调下降，f″(x)＜0．当x＞d时，f′(x)单调上升，故f″(x)＞0．由命题1．2．5．3(1)知，点(d，f(d))为曲线的拐点．综上知，曲线y=f(x)有2个极值点和3个拐点．仅(B)入选．知识模块：一元函数微分学3．[2015年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其二阶导数f″(x)的图形如图1．2．5．5所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：利用拐点的定义判别之．设f″(x)=0左边的零点为a，右边的零点为b，f″(x)在x=0处没有定义．因在x=a处的左右两侧由图1．2．5．5可看出，f″(x)都大于零．由拐点定义知，(0．f(0))不是曲线f″(x)的拐点．因在x=b处的左右两侧，由图1．2．5．5可看出f″(x)异号：在x=b处的左侧，f″(x)＜0；在,x=b处的右侧．f″(x)＞0，故(b,f(b))为曲线f(x)的拐点．在x=0处显然f″(x)没有定义，但在x=0处的左右两侧，f″(x)异号，故(0．f(0))为曲线f(x)的拐点．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学4．[2006年] 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，Δx 为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则( )．A．0＜dy＜ΔyB．0＜Δy＜dyC．Δy＜dy＜0D．dy＜Δy＜0正确答案：A解析：题设条件有明显的几何意义可用图示法求解．解一仅(A)入选．由f′(x)＞0，f″(x)＞0知，函数f(x)单调增加，曲线y=f(x)是凹向．作函数y=f(x)的图形，如图1．2．5．6所示．由图中易看出，当Δx＞0时，有Δy ＞dy=f′(x0)dx=f′(x0)Δx＞0．解二因Δy=f(x0+Δx)一f(x0)为函数差的形式，这警示我们可用拉格朗日中值定理Δy=f(x0+Δx)一f(x0)=f′(ξ)Δx，x0＜ξ＜x0+Δx求之．因f″(x)＞0，故f′(x)单调增加，有f′(ξ)＞f′(x0)．又Δx＞0，则Δy=f′(ξ)Δx＞f′(x0)Δx=dy＞0，即0＜dy＜Δy．知识模块：一元函数微分学5．[2004年] 设f(x)=∣x(1一x)∣，则( )．A．x=0是f(x)的极值点，但点(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B．x=0不是f(x)的极值点，但点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C．x=0是f(x)的极值点，且点(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，点(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：判别分段函数的极值点与拐点，只需讨论x=0的两侧f′(x)，f″(x)的符号．解一由f(x)=，知f(x)在x=0处不可导．但x＜0时，f′(x)=(一x+x2)′=一l+2x，f″(x)=2；x＞0时，f′(x)=(x一x2)′=l－2x，f″(x)=一2．因而f′(x)及f″(x)在x=0的左、右两侧改变符号，故x=0既是f(x)的极值点，点(0，0)也是曲线f(x)的拐点．仅(C)入选．解二先作出y=x(1一x)=一x2+x=一(x一1／2)2+1／4(0≤x≤1)的图形，再对x＜0及x＞1分别作出y=x(1－x)=一(x一1／2)+1／4取正值的图形，如图1．2．5．7所示．在x=0附近，函数f(x)左减右增，则f(0)为极小值，且在x=1附近函数f(x)也是左减右增，因而f(1)也为极小值．又在x=0的左侧，曲线y=f(x)为凹，右侧为凸，故点(0，0)为拐点，且在,x=1的左侧曲线y=f(x)为凸，右侧为凹，故点(1，f(1)=0)也为曲线y=f(x)的拐点．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学6．[2014年] 下列曲线有渐近线的是( )．A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1／x)D．y=x2+sin(1／x)正确答案：C解析：直接利用渐近线的定义判别之．(1)若(x)=b，则y=b(b为有限实数)为曲线y=f(x)的水平渐近线，因(A)，(B)，(C)，(D)中均不存在，故它们均无水平渐近线．(2)若(x)=∞或f(x)=∞，则x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线．取x0=0，则在(A)、(B)中，在(C)、(D)中均不存在，故(A)，(B)，(C)，(D)中曲线均无铅直渐近线．(3)若a=≠0，b=[f(x)一ax]，则y=ax+b为曲线y的斜渐近线．对于(B)，(D)，不存在，对于(A)，即=1，但不存在，故(A)，(B)，(D)中曲线均无斜渐近线．对于(C)：a==1+0(有界变量与无穷小量之乘积的极限等于0)=1，b==0，故y=1·x+0=x 是(C)中曲线的斜渐近线．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学7．[2012年] 曲线y=的渐近线条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：y有无定义的点为x=±l，因而可能有铅直渐近线，需由渐近线方程的计算公式进一步判定．因分子、分母为同阶无穷大(x→∞)，因而y不是与z 同阶的无穷大量，故y没有斜渐近线，但显然有水平渐近线．因=+∞，故x=1为铅直渐近线．又=1，故y=l为其水平渐近线．因无斜渐近线，故渐近线的条数为2．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学8．[2007年] 曲线y=1／x+ln(1+ex)渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：利用曲线渐近线的求解公式分别考察三种渐近线是否存在．仅(D)入选．只有间断点x=0．由于[1／x+ln(1+ex)]=∞，故x=0为铅直渐近线．又[1／x+ln(1+ex)]=0+lnl=0，则x→一∞时有水平渐近线y=0．再由得x→+∞时有斜渐近线y=x．因而沿同一方向(x→+∞)必然没有水平渐近线．事实上，=∞．因此有3条渐近线．知识模块：一元函数微分学9．[2011年] 函数f(x)=ln∣(x一1)(x一2)(x一3)∣的驻点个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：先求f′(x)，再求f′(x)=0的根的个数．f(x)=ln∣(x一1)(x一2)(x 一3)∣=ln∣x一1∣+ln∣x一2∣+ln∣x一3∣，于是得f′(x)=令f′(x)=0，得3x2一12x+11—0，其判别式Δ=122一4×3×11—12＞0，故3x2一12x+11=0有两个不同实根，所以f(x)有2个驻点．仅(C)入选．知识模块：一元函数微分学10．[2008年] 设f(x)=x2(x一1)(x一2)．则f′(x)的零点个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：直接求出f′(x)=0的根或由命题1．2．5．7求之．解一令f′(x)=2x(x 一1)(x一2)+x2(x一1)+x2(x一2)=x(4x2一9x+4)=0．①可得f′(x)的零点个数为3．仅(D)入选．解二因f(0)=f(1)=f(2)=0，即f(x)有3个不同的实根．由命题1．2．5．7知f′(x)在(0，2)内有2个实根．事实上，对f(x)分别在区间[0，1]，[1，2]上使用罗尔定理得到f′(x)在(0，1)和(1，2)内各至少有一个根．又x=0为f(x)=0的二重根，且由同一命题知x=0为f′(x)=0的根．因而f′(x)=0有3个根，即f′(x)的零点个数为3．仅(D)入选．知识模块：一元函数微分学填空题11．[2008年] 曲线y=(x一5)x3的拐点坐标为________．正确答案：利用二阶导数y″的符号判别．为此求出y″(x)=0的实根或二阶导数不存在的点，检查f″(x)在这些点上左、右两侧的符号．当两侧符号相反时，该点为拐点；当两侧符号相同时，该点不是拐点．解一y=处处连续，又y′=(x≠0)，y″=(1+x) (x≠0)．①由于在x=－1两侧y″异号，故点(一1，一6)是曲线y的拐点．而x=0时为y的导数不存在的点，但在其左、右两侧不改变符号，故(0，0)不是曲线y的拐点．因此所求拐点坐标为(一1，一6)．解二y=x5/3一5x2/3处处连续．根据解一中的式①，将x与y″的关系列成下表判别．由上表易看出拐点为(一1，－6)，而二阶导数不存在的点(0，0)不是拐点．涉及知识点：一元函数微分学12．[2004年] 设函数y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为__________．正确答案：先由曲线y(x)的参数方程求出二阶导数，再由＜0确定x的取值范围．由＜0得到t＜0．又x=t3+3t+1单调增加，当t＜0时，x∈(一∞，1)．所以当x∈(－∞，1]时，曲线向上凸．涉及知识点：一元函数微分学13．[2009年] 函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．正确答案：利用命题1．2．5．4或命题1．2．5．5求之．解一y=e2xlnx，故y′=e2xlnx(21nx+2)=x2x(21nx+2)，令y′=0得驻点为x1=l／e．此时y1=e-2/e．而y(1)=1，y(0+0)==e2.0=1．由命题1．2．5．6知，y=x2x在区间(0，1]上的最小值为m=min{y(0)，y(x1)，y(1))=min{1，e-2/e，1)=e-2/e．解二函数y=x2x在区间(0，1)上连续，在(0，1)区间内只有一个驻点x1=1／e，又y″=x2x(2lnx+2)2+x2x(2／x)，得y″(1／e)=＞0．故x1=1／e为y=x2x 的极小值点，该极小值为y1=e-2/e．由命题1．2．5．5知，该极小值即为函数y在区间(0，1]上的最小值．涉及知识点：一元函数微分学14．[2006年] 曲线y=的水平渐近线方程为_________．正确答案：按水平渐近线方程的计算公式求之．求极限时，要利用无穷小量与有界变量之乘积为无穷小量的性质求之．因，故水平渐近线方程为y= 涉及知识点：一元函数微分学15．[2005年] 曲线y=(1+x)3/2／√x的斜渐近线方程为__________．正确答案：直接用斜渐近线方程公式计算，其极限不要算错．可用两种方法求之．解一因函数y含√x，只有当x＞0时才有定义，故仅考虑x→∞．因而下述极限可利用m，n为正分数时的命题1．1．6．1的结论求之：a==l(分子、分母中x的最高次幂为x3/2，其系数均为l，其比值也为1)，=(利用等价无穷小代换：)因此，所求的斜渐近线方程为y=ax+b=x+3／2．解二因此，所求的斜渐近线方程为y=ax+b=x+3／2．涉及知识点：一元函数微分学16．[2010年] 曲线y=2x3／(x2+1)的渐近线方程为__________．正确答案：y的定义域为全体实数，无铅直渐近线．由命题I．I．6．I可看出y=∞，故也没有水平渐近线．y是与x的同阶无穷大可能有斜渐近线．由命题1．1．6．I即得a==2，b==0．故所求渐近线方程为y=ax+b=2x．涉及知识点：一元函数微分学17．[2016年] 曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为__________．正确答案：因y是与x同阶的无穷大，可能有斜渐近线，可按求斜渐近线的公式求之．故所求的斜渐近线方程为y=x+．涉及知识点：一元函数微分学18．[20l7年] 曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_________．正确答案：按求斜渐近线的公式求之．故曲线的斜渐近线方程为y=x+2．涉及知识点：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．记S1＝∫ab(x)dx，S2＝f(b)(b－a)，S3＝，则A．S1＜S2＜S3．B．S2＜S3＜S1．C．S3＜S1＜S2．D．S2＜S1＜S3．正确答案：D解析：[分析] 根据f(x)及其导函数的符号，可知曲线的单凋性与凹凸性，再利用其几何意义即可推导出相关的不等式．[详解] 由f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0知，曲线y＝f(x)在[a，6]上单调减少且是凹曲线弧，于是有f(x)＞f(b)，f(x)＜f(a)＋，a＜x＜b。

从而S1＝∫af(x)dx＞f(b)(b－a)＝S2，s1＝∫af(x)dx。

即S2＜S1＜S3，故应选(D)．[评注] 本题也可直接根据几何直观引出结论：S1，S2，S3分别为如图1—3—1所示的面积，显然有S2＜S1＜S3。

知识模块：一元函数积分学2．设，则A．I1＞I2＞I．B．I＞I1＞I2．C．I2＞I1＞I．D．I＞I2＞I1．正确答案：B解析：[分析] 直接计算I1，I2是困难的，可应用不等式tan＞x，x＞0．[详解] 因为当x＞0时，有tanx＞x于是，从而有，可见有I1＞I2且，可排除(A)，(C)，(D)，故应选(B)．知识模块：一元函数积分学3．设，则I，J，K的大小关系是A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：[分析]用定积分比较大小的性质．[详解]在上，sinx≤cosx≤cotx．且lnx是增函数，则在上，lnsinx≤lncosx≤lncotx，且它们不恒等．由定积分的保号性。

故应选(B)．知识模块：一元函数积分学4．设Ik＝∫0kπex2sinxdx(k＝1，2，3)，则有A．I1＜I2＜I3．B．I3＜I2＜I1．C．I2＜I3＜I1．D．I2＜I1＜I3．正确答案：D解析：[分析] 此题考查定积分的基本性质和换元积分．[详解] 由Ik＝∫0kπex2sinxdx有：I2－I1＝∫π2πex2sinxdx＜0，即I2＜I1；I3－I2＝∫π3πex2sinxdx>0，即I3＞I2；I3－I1＝∫π3πex2sinxdx＝∫π2πex2sinxdx＋∫2π3πex2sinxdx ＝∫π2πex2sinxdx＋∫π2πex2sin(y＋π)d(y＋π) ＝∫π2πex2sinxdx－∫π2πex2sinydy ＝∫π2π(e2πx＋π2)ex2sinxdx＞0，即I1＜I3 由上知，I2＜I1＜I3．故应选(D)．知识模块：一元函数积分学5．设，则极限等于A．B．C．D．正确答案：B解析：[分析] 先用换元法计算积分，再求极限．[详解] 因为，可见。

[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (2010年试题，3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．（A）4e（B）3e（C）2e（D）e2 (2005年试题，二)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．（A）（B）（C）一8ln2+3（D）81n2+33 (2006年试题，二)设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)等于( )．（A）ln3—1（B）一ln3—1（C）一ln2—1（D）ln2—14 (1999年试题，二)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导5 (2006年试题，二)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0,f'(x)>0，△x为自变量x 在点x o处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x o处对应的增量与微分，若△x>0，则( )．（A）0<dy<△y（B）0<△y<dy（C）△y<dy<0（D）dy<△y<06 (2002年试题，二)设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△)，的线性主部为0．1，则f'(1)=( )．（A）一1（B）0．1（C）1（D）0.57 (2004年试题，二)设函数f(x)连续，且f'(0)>0，则存在δ>0，使得( )．（A）f(x)在(0，δ)内单调增加（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少（C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)>f(0)（D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)>f(0)8 (2003年试题，二)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如右图1—2—3所示，则f(x)有( )．（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点9 (2001年试题，二)已知函数y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图1—2—4所示，则其导函数y=f'(x)的图形如图1一2—5所示：( )．（A）（B）（C）（D）10 (2000年试题，二)设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f'(x)g(x)一f(x)g'(x) （A）f(x)g(b)>f(b)g(x)（B）f(x)g(a)>f(a)g(x)（C）f(x)g(x)>f(b)g(b)（D）f(x)g(x)>f(a)g(a)11 (1998年试题，二)设函数f(x)在x=a的某个领域内连续，且f(x)为其极大值，则存在δ>0，当x∈(a一δ，a+δ)时，必有( )．（A）(x一a)[f(x)-f(a)]≥0．（B）(x一a)[f(x)一f(a)]≤0．（C）（D）12 (1997年试题，二)已知函数y=f(x)对一切x满足xf''(x)+3x[f'(x)]2=1一e-x，若f'(x0)=0(x0≠0)，则( )．（A）f(x0)是f(x)的极大值（B）f(x0)是f(x)的极小值（C）(x0,f(x2))是曲线y=f(x)的拐点（D）f(x0)不是f(x)的极值，(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点二、填空题13 (2012年试题，二)曲线y=x2+x(x的点的坐标是__________．14 (2010年试题，13)已知一个长方形的长l以2cm／s的速率增加，宽W以3cm ／s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加速率为_______．15 (2009年试题，二)曲线在(0，0)处的切线方程为________.16 (2008年试题，二)曲线sin(xy)+ln(y一x)=x在点(0，1)处的切线方程为________．17 (2007年试题，二)曲线上对应于的点处的法线斜率为________．18 (2003年试题，一)设函数y=f(x)由方程xy+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是__________.19 (2001年试题，一)设函数y=f(x)由方程e2x+y—cos(xy)=e—1所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_________．20 (1999年试题，一)曲线，在点(0，1)处的法线方程为__________.21 (2010年试题，11)函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．22 (2009年试题，二)设y=y(x)是由方程xy+e y=x+1确定的隐函数，则____________________.23 (2007年试题，二)设函数则Y(n)(0)=______．24 (2006年试题，一)设函数Y=y(x)由方程Y=1一xe y确定，则=__________.25 (1997年试题，三(2))设y=y(x)由所确定，求26 (1997年试题，一)设=__________.27 (2005年试题，一)设y=(1+sinx)x，则dy｜x=π=__________．28 (2000年试题，一)设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy｜x=0__________.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编2(总分64, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.(1987年)设f(χ)在χ＝a处可导，则等于【】SSS_SINGLE_SELA f′(a)B 2f′(a)C 0D f′(2a)分值: 2答案:B解析：＝f′(a)＋f′(a)＝2f′(a)2.(1988年)f(χ)＝χ＋6χ＋1的图形在点(0，1)处切线与z轴交点坐标是【】SSS_SINGLE_SELA (，0)B (－1，0)C (，0)D (1，0)分值: 2答案:A解析：f′(χ)＝χ 2＋χ＋6，f′(0)＝6，(0，1)点切线方程为y－1＝6χ，令y＝0得χ＝－．即此切线与χ轴的交点坐标为(－，0)3.)＝，则当△χ→0时，该函数(1988年)若函数y＝f(χ)，有f′(χ在χ＝χ处的微分dy 【】SSS_SINGLE_SELA 与△χ等价无穷小．B 与△χ同阶无穷小．C 比△χ低阶的无穷小．D 比△χ高阶的无穷小．分值: 2答案:B解析：dy＝f′(χ)△χ＝△χ，，则当△χ→0时，dy与△χ同阶无穷小．4.(1988年)设函数y＝f(χ)是微分方程y〞－2y′＋4y＝0的一个解，且f(χ0 )＞0，f′(χ)＝0，则f(χ)在χ处【】SSS_SINGLE_SELA 有极大值．B 有极小值．C 某邻域内单调增加．D 某邻域内单调减少．分值: 2答案:A解析：由题设知f〞(χ)－2f′(χ)＋4f(χ)≡0，令χ＝χ0得f〞(χ)一2f′(χ0 )＋4f(χ)＝0，即f〞(χ)＋4f(χ)＝0 又f(χ)＞0，则f〞(χ0 )＜0．故f(χ)在χ处取得极大值．5.(1989年)当χ＞0时，曲线y＝χsin【】SSS_SINGLE_SELA 有且仅有水平渐近线．B 有且仅有铅直渐近线．C 既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D 既无水平渐近线，也无铅直渐近线．分值: 2答案:A解析：由于又＝0则原曲线有且仅有水平渐近线y＝16.(1989年)若3a 2－5b＜0，则方程χ 5＋2aχ 3＋3bχ＋4c＝0 【】SSS_SINGLE_SELA 无实根．B 有唯一实根．C 有三个不同实根．D 有五个不同实根．分值: 2答案:B解析：由于χ 5＋2aχ 3＋3bχ＋4c＝0为5次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根)．令f(χ)＝χ 5＋2aχ 3＋3bχ＋4c，f′(χ)＝5χ 4＋6aχ 2＋3b 而△＝(6a) 2＝60b－12(3a 2－5b)＜0，则f′(χ)≠0 因此，原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根．7.(1989年)设两函数f(χ)和g(χ)都在χ＝a处取得极大值，则函数F(χ)＝f(χ)g(χ)在χ＝a处【】SSS_SINGLE_SELA 必取极大值．B 必取极小值．C 不可能取极值．D 是否取极值不能确定．分值: 2答案:D解析：本题的关键在于由题设可知在χ＝a的某邻域内有f(a)≥f(χ)，g(a)≥g(χ)，由此能否得到g(a).f(a)≥g(χ)f(χ)或g(a)f(a)≤g(χ)f(χ)，这在一般情况下是得不到此结论的．若取f(χ)＝－(χ－a) 2，g(χ)＝－(χ－a) 2，显然f(χ)和g(χ)在χ－a处取极大值0，但f(χ)g(χ)＝(χ－a) 4在χ＝a处取极小值．则A、C都不正确：若取f(χ)＝1－(χ－a) 2，g(χ)＝1－(χ－a) 2，则f(χ)和g(χ)都有极大值1，而f(χ)g(χ)＝[1－(χ－a) 2 ] 2在χ－a仍有极大值1，则B也不正确，从而只有D对．8.(1989年)设f(χ)在χ＝a的某个邻域内有定义，则f(χ)在χ＝a处可导的一个充分条件是【】SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:D解析：由于h→∞时→0 +，则存在只能得出f(χ)在a点的右导数存在，不能得出a点导数存在，B、C明显不对，因为f(χ)在a点如果没定义，B、C中的两个极限都可能存在，但函数若在a点无定义，则在该点肯定不可导．又则应选D．9.(1990年)已知函数f(χ)具有任意阶导数，且f′(χ)＝[f(χ)] 2，则当n为大于2的正整数时，f(χ)的n阶导数f (n)(χ)是【】SSS_SINGLE_SELAn![f(χ)] n+1Bn[f(χ)] n+1C[f(χ)] 2nDn![f(χ)] 2n分值: 2答案:A解析：等式f′(χ)＝[f(χ)] 2两边对χ求导得 f〞(χ)＝2f(χ)f′(χ)＝2[f(χ)] 3f′〞(χ)＝2×3[f(χ)] 2f′(χ)＝2×3[f(χ)] 4… f (n)(χ)＝[f(χ)] n+1 n!10.(1990年)设F(χ)＝，其中f(χ)在χ＝0处可导，f′(0)≠0，f(0)＝0，则χ＝0是F(χ)的【】SSS_SINGLE_SELA 连续点．B 第一类间断点．C 第二类间断点．D 连续点或间断点不能由此确定．分值: 2答案:B解析：由于f(0)＝0，f(χ)在χ＝0处可导，则而F(0)＝f(0)＝0，则极限F(χ)存在但不等于F(0)，故χ＝0为F(χ)的第一类间断点．11.(1991年)若曲线y＝χ 2＋aχ＋b和2y＝－1＋χy 3在点(1，－1)处相切，其中a，b是常数．则【】SSS_SINGLE_SELA a＝0，b＝－2B a＝1，b＝－3C a＝－3，b＝1D a＝－1，b＝－1分值: 2答案:D解析：由于曲线y＝χ 2＋aχ＋b和2y＝－1＋χy 3在点(1，－1)处相切，则在点(1，－1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1，－1)．y′＝2χ＋a．y′｜χ＝1＝2＋a 2y′＝y 3＋3χy 2y′，y′｜χ＝1＝1 则2＋a＝1，a＝－1 又－1＝1＋a＋b＝1－1＋b＝b，b＝－1 所以应选D．12.(1991年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)内有定义，χ≠0是函数f(χ)的极大点，则【】SSS_SINGLE_SELAχ必是f(χ)的驻点．B－χ必是－f(－χ)的极小点．C－χ必是－f(χ)的极小点．D对一切χ都有f(χ)≤f(χ)．分值: 2答案:B解析：排除法．f(χ)＝－｜χ－χ0｜，显然f(χ)在χ取极大值，但f′(χ0 )不存在，则χ不是f(χ)的驻点，从而A项不对．又－f(χ)＝｜χ－χ0｜，显然－f(χ)只有唯一极小值点χ＝χ，又χ≠0则χ≠－χ0，从而－χ不是－f(χ)的极小值，则C项也不对．D项是明显不对，由于极值是一个局部性质，不能保证对一切χ有f(χ)≤f(χ)，而只能保证在χ0某邻域内有f(χ)≤f(χ)，所以应选B．2. 填空题1.(1987年)设y＝In(1＋aχ)，则y′＝________，y〞＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：由y＝ln(1＋aχ)知，y′＝2.(1987年)曲线y＝arctanχ在横坐标为1的点处的切线方程是_______；法线方程是_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：，则χ＝1处切线方程为y＝(χ－1)，法线方程为y－＝－2(χ－1)．3.(1988年)设f(t)＝，则f′(t)＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：(1＋2t)e 2t．解析：f(t)＝＝te 2t则f′(t)＝e 2t＋2te 2t＝(1＋2t)e 2t4.(1988年)＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：1．解析：5.(1989年)设f(χ)＝χ(χ＋1)(χ＋2)…(χ＋n)，则f′(0)＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：n!．解析：∵f′(χ)＝(χ＋1)(χ＋2)…(χ＋n)＋χ(χ＋2)(χ＋3)…(χ＋n)＋…＋χ(χ＋1)(χ＋2)…(χ＋n－1) ∴f′(0)＝n!6.(1989年)设tany＝χ＋y，则dy＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：等式tany＝χ＋y两边求微分得sec 2 ydy＝dχ＋dy 则dy＝7.(1990年)曲线上对应于t＝处的法线方程是_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：则t＝处法线方程为8.(1990年)设y＝，则y′＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：由复合函数求导法知y′＝9.(1991年)设y＝ln(1＋3 -χ )，则dy＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：10.(1991年)曲线y＝的上凸区间是＝_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：解析：令y〞＝0得χ＝±，且当χ∈时，y〞＜0，则曲线y＝上凸．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f(x)＝(x2－x－2)｜x3－x｜不可导点的个数是A．3．B．2C．1D．0正确答案：B解析：[分析] 本题可按定义逐点讨论绝对值符号内为零的点是否均为不可导点，但计算量会很大．注意到｜x—x0｜在x＝x0处不可导，但(x－x0)｜x－x0｜在x＝x0处可导，则可方便地找到答案．[详解] 因为f(x)＝(x2－x－2)｜x2－x｜＝(x－2)(x＋1)｜x(x－1)(x＋1)｜，可见f(x)在x＝0，1处不可导，而在x＝－1处可导，故f(x)的不可导点的个数为2．[评注] 一般地，若F(x)＝｜f(x)｜ψ(x)，其中f(x0)＝0，f’(x0)存在且不为零，ψ(x)在x＝x0处连续，则F(x)在x＝x0处可导的充要条件是ψ(x0)＝0．知识模块：一元函数微分学2．设函数，则f(x)在(－∞，＋∞)内A．处处可导．B．恰有一个不可导点．C．恰有两个不可导点．D．至少有三个不可导点．正确答案：C解析：[分析] 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形．[详解] 当｜x｜＜1时，f(x)＝；当｜x｜＝1时，f(x)＝；当｜x｜＞1时，f(x)＝。

即f(x)＝可见f(x)仅在x＝±1时不可导，故应选(C)．[评注] 本题综合考查了数列极限与分段函数在分段点的导数问题．将两个或三个知识点综合起来命题是考题的一种典型表现形式．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x＝0处连续，下列命题错误的是A．若存在，则f(0)＝0．B．若存在，则f(0)0．C．若存在，则f(0)存在．D．若存在，则f’(0)存在．正确答案：D解析：[分析] 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论．[详解](A)，(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)＝0．若存在，则f(0)＝0，f’(0)＝，可见(C)也正确．故应选(D)．事实上，可举反例：f(x)＝｜x｜在x＝0处连续，且存在，但f(x)＝｜x｜在x＝0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)在x＝0处可导，且f(0)＝0，则A．－2f’(0)．B．－f’(0)．C．f’(0)．D．0正确答案：B解析：[分析]利用导数的定义，属基本题型．[详解]故应选(B)．[评注]导数的定义一直是历年考试的重点内容．知识模块：一元函数微分学5．设函数y＝f(x)由方程cos(xy)＋lny－x＝1确定，则A．2．B．1C．-1D．-2正确答案：A解析：[分析]利用隐函数求导方法与导数定义．[详解]存方程cos(xy)＋lny －x＝1中，令x＝0，得y＝1，等式两端对x求导得将x＝0，y＝1代入上式，得y’(0)＝1．于是．选(A)．知识模块：一元函数微分学6．设函数y＝y(x)由参数方程确定，则曲线y＝y(x)在x＝3处的法线与x 轴交点的横坐标是A．B．C．－8ln2＋3．D．8ln2＋3．正确答案：A解析：[分析] 先由x＝3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所求的横坐标．[详解] 当x＝3时，有t2＋2t＝3，得t＝1，t ＝－3(舍去，此时y无意义)，于是可见过点x＝3(此时y＝ln2)的法线方程为：y—ln2＝－8(x－3)，令y＝0，得其与x轴交点的横坐标为：，故应选(A)．[评注] 注意本题法线的斜率应为－8．此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意就可能出错．知识模块：一元函数微分学7．曲线y＝x2与曲线y＝aln x(a≠0)相切，则a＝A．4e．B．3e．C．2e．D．e．正确答案：C解析：[分析] 利用导数的几何意义(切点处斜率相等)及两条曲线都经过切点．[详解] 因y＝x2与y＝aln x(a≠0)相切，故在y＝x2上，；在y＝alnx(a≠0)上，y＝因此，即a＝2e．所以选(C)．知识模块：一元函数微分学8．设函数g(x)可微，h(x)＝e1＋g(x)，h’(x)＝1，g’(1)＝2，则g(1)等于A．ln3—1．B．－ln3－1．C．－ln2—1．D．ln2－1．正确答案：C解析：[详解] 由h(x)＝e1＋g(x)得h’(x)＝e1＋g(x).g’(x)．将x＝1代入，并由题设条件知1＝e1＋g(x).2 1＋g(1)＝－ln2，于是g(1)＝－ln2－1．故应选(C)．知识模块：一元函数微分学9．设函数f(x)＝(ex一1)(e2x－2).….(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)＝A．(－1)n－1(n－1)!．B．(－1)n(n－1)!．C．(－1)n－1n!．D．(－1)nn!．正确答案：A解析：[详解] 方法一用一点处导数定义求．故应选(A)．方法二用导数运算法则先求导函数，再求f’(0)．因f’(x)＝ex.(e2x－2)(e3x－3).….(enx－n)＋(ex－1).2e2x.(e3x－3). ….(enx－n)＋…＋(ex－1)(e2x－2).….[e(n－1)x－n＋1].nenx，故f’(0)＝e0.(e0－2)(e0－3).….(e0－n)＝(－1)n－1(n－1)!，故应选(A)．知识模块：一元函数微分学10．设f(x)＝______。

题型一导数的定义
（2015 年数二3 题／4 分）
（2018年数一1题数二2题数三1题 /4分）
（2020年数一 2题/4分）
题型二切线、法线（几何及物理应用）
（2018年数二10题数三 9题 /4分）
题型三导数的计算（复合，参数，反函数，隐函数，高阶导数的计算）
（2012 年数三10 题／4 分）
(2017年数一9题/4分)
(2017年数二 10题/4分)
（2019年数二 10 题/4分）
（2020年数一 10题数二9题/4分）
（2020年数一 4题/4分）
也可解为
题型四单调性、极值和最值
(2017年数一 2题/4分)
(2017年数二 2题/4分)
(2017年数三 3题/4分)
(2017年数一 17题/10分)
(2017年数二 18题/10分)
（2019年数一 2题 4/分）
(2019年数二 15题数三 15题/10分)
题型五凹凸性与拐点
（2011 年数二16 题／11 分）
（2019年数二 2题数三10 题 4/分）
题型六函数的渐近线
（2020年数二 15题/10分）
题型七不等式的证明
（2020年数一 19题数三19题/10分）
题型八方程根的问题
(2017年数一 18题/11分)
(2017年数二 19题/11分)
(2019年数三 2题/4分)
题型九微分中值定理
（2019年数二 21题/11分）
（2020年数二 20题/11分）
题型十曲率与弧长（数学一、数学二）
（2018 数二 12题 4分）
（2019年数二 12 题/4分）可不选取该题
题型十一利用导数研究函数性态。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编18(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2018年] 下列函数中，在x=0处不可导的是( )．A. f(x)=∣x∣sin∣x∣B. f(x)=∣x∣sinC. f(x)=cos∣x∣D. f(x)=cos2. 2.[2007年] 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题中错误的是( )．A. 若存在，则f(0)=0B. 若存在，则f(0)=0C. 若存在，则f＇(0)存在D. 若存在，则f＇(0)存在3. 3.[2015年] 设函数f(x)=(a＞0，β＞0)，若f＇(x)在x=0处连续，则( )．A. α—β＞1B. 0＜α—β≤1C. α—β＞2D. 0＜α—β≤24. 4.[2011年] 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( )．A. 一2f＇(0)B. 一f＇(0)C. f＇(0)D. 05. 5.[2013年] 设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=l确定，则=( )．A. 2B. 1C. 一1D. 一26. 6.[2012年] 设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f＇(0)=( )．A. (一1)n-1(n一1)!B. (一1)n(n—1)!C. (－1)n-1n!D. (一1)nn!7. 7.[2004年] 设函数f(x)连续，且f＇(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )．A. f(x)在(0，δ)内单调增加B. f(x)在(一δ，0)内单调减少C. 对任意x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)D. 对任意x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)8. 8.[2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f＂(x)＞0，则( )A. ∫1-1f(x)dx＞0B. ∫1-1f(x)dx＜0C. ∫0-1f(x)dx＞∫10f(x)dxD. ∫0-1f(x)dx＜∫10f(x)dx9. 9.[2000年] 设f(x)在点x=a处可导，则函数∣f(x)∣在点x=a处不可导的充分条件是( )．A. f(a)=0且f＇(a)=0B. f(a)=0且f＇(a)≠0C. f(a)＞0且f＇(a)＞0D. f(a)＜0且f(a)＜010. 10.函数f(x)=(x2一x—2)∣x3－x∣不可导点的个数是( )．A. 3B. 2C. 1D. 011. 11.[2005年] 设函数f(x)=，则f(x)在(一∞，+∞)内( )．A. 处处可导B. 恰有一个不可导点C. 恰有两个不可导点D. 至少有三个不可导点12. 12.[2006年] 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h＇(1)=1，g＇(1)=2，则g(1)=( )．A. ln3一lB. 一ln3—1C. 一ln2—1D. ln2—1填空题13. 13.[2009年] 设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则=_________.14. 14.[2006年] 设函数y=y(x)由方程y=1一xey确定，则=__________.15. 15.[2012年] 设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则=_________.16. 16.[2013年] 设函数f(x)=dt，则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数=________.17. 17.[2017年] 设函数y=y(x)由参数方程确定，则=________.18. 18.[2015年] 设则=_________.解答题[2004年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上f(x)=x(x2一4)，若对任意x 都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．19. 19.写出f(x)在[一2，0)上的表达式；20. 20.问k为何值时，f(x)在x=0处可导．21. 21.[2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．22. 22.[2007年] 已知函数f(u)具有二阶导数，且f＇(0)=l，函数y=y(x)由方程y一xey-1=1所确定．设z=f(lny—sinx)，求.23. 23.[2003年] 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y＇≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．试将x=x(y)所满足的微分方程+(y+sinx)=0变换为y=y(x)满足的微分方程．24. 24.[2008年] 设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求25. 25.设函数y=y(x)由参数方程(t＞1)所确定，求。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编2(总分60,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. (1991年)如图2．8，χ轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为【】A.B.C.D.2. (1992年)设f(χ)连续，F(χ)＝f(t2)dt，则F′(χ)等于【】A. f(χ4)B. χ2f(χ4)C. 2χf(χ4)D. 2χf(χ2)3. (1992年)若f(χ)的导函数是sinχ，则f(χ)有一个原函数为【】A. 1＋sinχB. 1－sinχC. 1＋cosχD. 1－cosχ4. (1993年)已知，设F(χ)＝∫1χf(t)dt(0≤χ≤2)则F(χ)为【】A.B.C.D.5. (1994年)设M＝cos4χdχ，N＝(sin3χ＋cos4χ)dχ，P＝(χ2sin3χ－cos4χ)dχ，则有【】A. N＜P＜MB. M＜P＜NC. N＜M＜PD. P＜M＜N6. (1995年)曲线y＝χ(χ－1)(2－χ)与χ轴所围图形面积可表示为【】A. －∫02χ(χ－1)(2－χ)dχB. ∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ－∫12χ(χ－1)(2－χ)dχC. －∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ＋∫12χ(χ－1)(2－χ)dχD. ∫02χ(χ－1)(2－χ)dχ7. (1996年)设f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且g(χ)＜f(χ)＜m，(m为常数)，由曲线y＝g(χ)，y＝f(χ)，χ＝a及χ＝b所围平面图形绕直线y＝m旋转而成的旋转体体积为【】A. ∫abπ[2m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχB. ∫abπ[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχC. ∫abπ[m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχD. ∫abπ[m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ2. 填空题1. (1991年)＝________．2. (1991年)质点以tsin(t2)米／秒作直线运动，则从时刻t1＝秒到t2＝秒内质点所经过的路程等于_______米．3. (1992年)＝_______．4. (1992年)由曲线y＝χeχ与直线y＝eχ所围成图形的面积S＝______．5. (1993年)设F(χ)＝∫1χ(2－)dt(χ＞0)，则函数F(χ)的单调减少区间是_______．6. (1993年)＝_______．7. (1993年)已知曲线y＝f(χ)过点(0，－)，且其上任一点(χ，y)处的切线斜率为χln(1＋χ2)，则f(χ)＝_______．8. (1994年)＝________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(87年)设f(x)在x=a处可导，则等于A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：知识模块：一元函数微分学2．(88年)f(x)=+6x+1的图形在点(0，1)处切线与x轴交点坐标是A．B．(一1，0)C．D．(1，0)正确答案：A解析：f’(x)=x2+x+6，f’(0)=6，(0，1)点切线方程为y—1=6x，令y=0得x=即此切线与x轴的交点坐标为知识模块：一元函数微分学3．(88年)若函数y=f(x)，有f’(x0)=则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是A．与△x等价无穷小．B．与△x同阶无穷小．C．比△x低阶的无穷小．D．比△x高阶的无穷小．正确答案：B解析：dy=f’(x0)△x=则当△x→0时，dy与△x是同阶无穷小．知识模块：一元函数微分学4．(88年)设函数y=f(x)是微分方程y”一2y’+4y=0的一个解，且f(x0)＞0，f’(x0)=0，则f(x)在x0处A．有极大值．B．有极小值．C．某邻域内单调增加．D．某邻域内单调减少．正确答案：A解析：由题设知f”(x)一2f’(x)+4f(x)≡0，令x=x0得f”(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=0，即f”(x0)+4f(x0)=0又f(x0)＞0，则f”(x0)＜0．故f(x)在x0处取得极大值．知识模块：一元函数微分学5．(89年)当x＞0时，曲线A．有且仅有水平渐近线．B．有且仅有铅直渐近线。

C．既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线．正确答案：A解析：由于又则原曲线有且仅有水平渐近线y=1 知识模块：一元函数微分学6．(89年)若3a2一5b＜0．则方程x3+2ax3+3bx+4c=0A．无实根．B．有唯一实根．C．有三个不同实根．D．有五个不同实根．正确答案：B解析：由于x5+2ax3+3bx+4c=0为5次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根)．令f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f’(x)=5x4+6ax2+3b而△=(6a)2一60b=12(3a2一5b)＜0，则f’(x)≠0因此,原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根．知识模块：一元函数微分学7．(89年)设两函数f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处A．必取极大值．B．必取极小值．C．不可能取极值．D．是否取极值不能确定．正确答案：D解析：本题的关键在于由题设可知在x=a的某邻域内有f(a)≥f(x)，g(a)≥g(x)，由此能否得到g(a).f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x)，这在一般情况下是得不到此结论的．若取f(x)=一(x一a)2，g(x)=-(x—a)2，显然f(x)和g(x)在x=a处取极大值0，但f(x)g(x)=(x一a)4在x=a处取极小值．则(A)(C)都不正确：若取f(x)=1一(x—a)2，g(x)=1一(x一a)2，则f(x)和g(x)都有极大值1，而f(x)g(x)=[1一(x—a)2]2在x=a仍有极大值1，则(B)也不正确，从而只有(D)对．知识模块：一元函数微分学8．(89年)设d(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于h→+∞时存在只能得出f(x)在a点的右导数存在，不能得出a点导数存在，(B)(C)明显不对，因为f(x)在a点如果没定义，(B)(C)中的两个极限都可能存在，但函数若在a点无定义，则在该点肯定不可导．则应选(D)．知识模块：一元函数微分学9．(90年)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2．则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是A．n![f(x)]n+1B．n[f(x)]n+1C．[f(x)]2nD．n![f(x)]2n正确答案：A解析：等式f’(x)=[f(x)]2两边对x求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2[f(x)]2 f”‘(x)=2×3[f(x)]2f’(x)=2×3[f(x)]4…f(n)(x)=[f(x)]n-1n! 知识模块：一元函数微分学10．(90年)设F(x)=其中f(x)在x=0处可导,f’(0)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的A．连续点．B．第一类间断点．C．第二类间断点．D．连续点或间断点不能由此确定．正确答案：B解析：由于f(0)=0，f(x)在x=0处可导，则而F(0)=f(0)=0，则极限存在但不等于F(0)，故x=0为F(x)的第一类间断点．知识模块：一元函数微分学11．(91年)若曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，-1)处相切．其中a，b是常数．则A．a=0，b=一2B．a=1，b=一3C．a=-3，b=1D．a=-1，b=一1正确答案：D解析：由于曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，一1)处相切，则在点(1．一1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1．一1)．y’=2x+a．y’|c=1=2+a2y’=y3+3xy2y’，y’|x=1=1则2+a=1，a=一1又一1=1+a+b=1一1+b=b，b=一1所以应选(D)．知识模块：一元函数微分学12．(91年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内有定义．x0≠0是函数f(x)的极大点，则A．x0必是f(x)的驻点．B．一x0必是一f(一x)的极小点．C．一x0必是-f(x)的极小点．D．对一切x都有f(x)≤f(x0)．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题13．(87年)设yln(1+ax)，则y’=______，y”=______．正确答案：解析：由y=ln(1+ax)知，知识模块：一元函数微分学14．(87年)曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是_______；法线方程是_______．正确答案：解析：则x=1处切线方程为，法线方程为=一2(x一1)．知识模块：一元函数微分学15．(88年)设f(t)=则f’(t)=______．正确答案：(1+2t)e2t．解析：则f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t 知识模块：一元函数微分学16．(88年)正确答案：1解析：知识模块：一元函数微分学17．(89年)设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)．则f’(0)=______．正确答案：n!．解析：∵f’(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)+x(x+2)(x+3)…(x+n) +…+x(x+1)(x+2)…(x+n-1)∴f’(0)=n! 知识模块：一元函数微分学18．(89年)设tany=x+y．则dy=_____。

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编10(总分92, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设函数f(x)在(－∞，＋∞)内连续，其导函数的图形如图1—2—4所示，则f(x)有SSS_SINGLE_SELA 一个极小值点和两个极大值点．B 两个极小值点和一个极大值点．C 两个极小值点和两个极火值点．D 一个极小值点和一个极大值点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[分析] 答案与极值点的个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． [详解] 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x＝0则是导数不存在的点，三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x＝0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x＝0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，故应选(C)． [评注] 本题也可利用f"(x)的严格单调性用第二充分条件判定极值，用加强条件法：假设f(x)二阶连续可导，则在y轴右侧，由f"(x)严格单调增加，知f"(x)＞0，可见y轴右侧的一阶导数为零的点必为极小值点，同理可判定y轴左侧有一个极大值点和一个极小值点，而x＝0则只能用第一允分条件进行判定．2.设函数f(x)连续，且f"(0)＞0，则存在δ＞0，使得SSS_SINGLE_SELA f(x)在(0，δ)内单调增加．B f(x)在(－δ，0)内单调减少．C 对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．D 对任意的x∈(－δ，0)，有f(x)＞(0)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[分析] 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A)，(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析． [详解] 由导数的定义，知根据保号性，知存在δ＞0，当x∈(－δ，0)∪(0，δ)时，有即当x∈(－δ，0)时，f(x)＜f(0)；而当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)．故应选(C)． [评注] 若f"(a)＞0，且加强条件设f"(x)在x＝a连续，则可以证明存在δ＞0，使得f(x)在(a－δ，a＋δ)内单调上升．3.设函数f(x)满足关系式f"(x)＋[f"(x)] 2＝x且f"(0)＝0，则SSS_SINGLE_SELA f(0)是f(x)的极大值．B f(0)是f(x)的极小值．C 点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．D f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y一＝f(x)的拐点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[分析] 由题设f"(0)＝0，是否为极值点可通过f"(0)的符号来定，但易知f"(0)＝0，因此可进一步通过f"(0)的符号确定是否为拐点．若还有f"(0)＝0，则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐点． [详解] 因为f"(0)＝0，由原关系式f"(x)＋[f"(x)] 2＝x知，f"(0)＝0，因此点(0，f(0))可能为拐点．由f"(x)＝－[f(x)] 2＋x知f(x)的三阶导数存在，且f"""(x)＝－2f"(x)f"(x)＋1，可见f"""(0)＝1．因此在x＝0的左侧，f"(x)＜0，对应曲线弧是下凹(上凸)的；而在x＝0的右侧，f"(x)＞0，对应曲线弧是上凹(下凸)的，故点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点． [评注] 一般地，若f(x)在点x0处满足：f"(x)＝0，…，f (k－1) (x)＝0，f k (x)≠0，则当k(k＞2)为偶数时，x是函数．f(x)的极值点；当k为奇数时，点(x0，f(x))是曲线y＝f(x)的拐点．4.曲线y＝(x—1) 2 (x－3) 2的拐点个数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1C 2D 3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[分析] 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点)的符号进行判断即可． [详解1] 因为 y"＝4(x－1)(x －2)(x－3)， y"＝4(3x 2－12x＋11)， y"""＝24(x－2)．显然y"＝0有两个零点，且在此两点处三阶导数y"""≠0，因此曲线有两个拐点．故应选(C)． [详解2] 由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数．首先，y是4次多项式，其曲线最多拐3个“弯儿”，因此拐点最多有2个．其次，x＝1，x＝3是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为x0．又，y的大致图形如图1—2—5所示．于是在(1，x)和(x，3)内各有一个拐点．故应选(C)．[评注] 本题从一阶导函数有三个零点即知y"有两个零点，且显然不为2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点．一般地，若f"(x0 )＝0，y"""(x)≠0，则点(x，f(x))一定是曲线y＝f(x)的拐点，事实上，由，知f"""(x0 )在x＝x的左、右两侧变号，即曲线的凹向改变，因此点(x0，f(x))为拐点．5.设f(x)＝｜x(1－x)｜，则SSS_SINGLE_SELA x＝0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(x)的拐点．B x＝0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点．C x＝0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点．D x＝0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(x)的拐点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[分析] 求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论x＝0两边，f"(x)，f"(x)的符号． [详解1] 从而，当－1＜x＜0时，f(x)向上凹；当0＜x＜1时，f(x)向上凸，于是(0，0)为拐点．又f(0)＝0，x≠0，1时，f(x)＞0，从而x＝0为极小值点．所以，x＝0是极值点，(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点，故应选(C)． [详解2] (用图解法)令f(x)＝｜x(1－x)｜＝0，得曲线与x轴的交点：x1＝0，x2＝1，则图形如图1－2－6所示，由图可以看出(C)正确．6.曲线渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1C 2D 3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：[分析] 先找出无定义点，确定其是否为对应铅直渐近线；再考虑水平或斜渐近线． [详解] 因为所以x＝0为铅直渐近线；又，所以y＝0为水平渐近线；进一步，于足有斜渐近线y＝x，故应选(D)． [评注]一般来说，有水平渐近线就不再考虑斜渐近线．但当不存在时，就要分别讨论x→－∞和x→＋∞两种情况，即左、右两侧的渐近线．本题在x＜0的一侧有水平渐近线，而在x＞0的一侧有斜渐近线．关键应注意指数函数e x当x→－∞时极限不存在，必须分x→－∞和x→－∞进行讨论．7.曲线渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1C 2．D 3．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[详解] 由，知x＝1为铅直渐近线；由，知y＝1为水平渐近线；显然，没有斜渐近线．故应选(C)． [评注] 若求渐近线的上述极限不存在，则需要考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线，在曲线的同侧若有水平渐近线，则一定没有斜渐近线．8.若f"(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x 2＋y 2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内SSS_SINGLE_SELA 有极值点，无零点．B 无极值点，有零点．C 有极值点，有零点．D 无极值点，无零点．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：[详解]由题意可知，f(x)是一个凸函数，即f"(x)＜0，且在点(1，1)处的曲率而f"(1)＝－1，由此可得，f"(1)＝－2，在[1，2]上，f"(x)≤f"(1)＝－1＜0，即f(x)单调减少，没有极值点．南拉格朗日中值定理f(2)－f(1)＝f"(ε)＜－1，ε∈(1，2)．所以f(2)＜0，而f(1)＝1＞0，由零点定理知，在(1，2)内f(x)有零点，故应选(B)． [评注]此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握．9.设函数f(x)＝x 2 (x－1)(x－2)，则f"(x)的零点个数为SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 2D 3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：[详解] 因为f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，因此f"(x)在区间(0，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然f"(0)＝0，因此f"(x)的零点个数为3，故应选(D)． [评注] 若直接计算f"(x)有 f"(x)＝x(4x 2－9x＋4) 也可推导出f"(x)的零点个数为3．10.函数f(x)＝ln｜(x－1)(x－2)(x－3)｜的驻点个数为SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 2D 3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：[分析]解方程f"(x)＝0，考察根的个数． [详解]由导数公式得。

数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2012年试题，一)设(k=1，2，3)，则有( )．A．l1先比较l1，l2，由于l2-l1=因此l2＜l1．再比较l2，l3，l3一l2=ξ2＞0，ξ2∈(2π，3π)．因此l3＞l2最后比较l1，l3．l2一l1=令t=x一2π，则l3一l1因此l3＞l1，综上有l3＞l1＞l2，选D．知识模块：一元函数积分学2．(2003年试题，二)设则极限等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，所以由于所以选B．[评注]考查定积分的计算和求数列极限．知识模块：一元函数积分学3．(2002年试题，二)设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，逐一分析4个选项，设f1(x)=则,因此f(x)为奇函数．设f2(x)=则由于f(x)的奇偶性未给定，所以f2(x)的奇偶性不确定，设f3(x)=，则因此f(x)为奇函数．设f4(x)=则,因此f4(x)为偶函数，综上，选D．[评注]的奇偶性与f(x)奇偶性的关系是：若f(x)为奇函数，则为偶函数；若f(x)为偶函数，则为奇函数．知识模块：一元函数积分学4．(1999年试题，二)设则当x→0时，α(x)是β(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：由题设，因此当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但不等价无穷小，选C．[评注]考查无穷小量的比较及极限的计算．知识模块：一元函数积分学5．(1997年试题，二)设则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：由题设，被积函数f(x)=esinx.sinx具有周期2π，所以[评注]判定F(x)是否为常数，看F’(x)是否恒为0即可，然后再取特殊值即可判定F(x)是正常数，还是负常数或恒为0等．知识模块：一元函数积分学6．(2010年试题，4)设m，n是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n有关C．与mn取值都有关D．与m，n取值都无关正确答案：D解析：无界函数的反常积分有两个瑕点x=0和x=1，同理，x→0+时，In2(1一x)一x2，设q为一个常数，则又因为m，n是正整数，所以则必然存在q∈(0，1)，使得极限存在．同理，因x→1-时，对于任意小的δ∈(0，1)，有所以，根据无界函数的反常积分的审敛法2可知，该反常积分始终是收敛的，即它的敛散性与m，n均无关，故正确答案为D．知识模块：一元函数积分学7．(2009年试题，一)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1—3—4所示，则函数的图形为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由定积分的性质可知y=f(x)的图像与x轴、y轴及x=x所围图形面积的代数和为所求函数F(x)，观察图形可得出如下结论：(I)当x∈[一1，0]时，F(x)≤0，为线性函数，且单调递增，从而排除A,C选项；(Ⅱ)当x∈[0，1]时，F(x)≤0且单调递减；(Ⅲ)当x∈[1，2]时，F(x)单调递增；(Ⅳ)当x∈[23]时，F(x)为常数函数，且连续，从而排除B选项．综上可知，正确选项为D. 知识模块：一元函数积分学8．(2008年试题，一)如图1—3—5所示，设图中曲线方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分表示( )．A．曲边梯形ABOD的面积B．梯形ABOD的面积C．曲边三角形ACD的面积D．三角形ACD的面积正确答案：C解析：定积分因为af(a)是矩形ABOG的面积是曲边梯形ABOD的面积，二者之差就是曲边三角形ACD的面积．故应选C．知识模块：一元函数积分学9．(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：的大小跟曲线y=f(x)与x轴所围面积大小有关．因为F(3)故应选C．[评注]应用定积分的几何意义做本题较为简便，若直接去计算定积分，则十分复杂．知识模块：一元函数积分学填空题10．(2001年试题，一)_________.正确答案：解析：已知f(x)为连续函数，若f(x)为奇函数，则若f(x)为偶函数，则知识模块：一元函数积分学11．(1999年试题，一)函数在区间上的平均值为__________.正确答案：由平均值的定义知解析：理解平均值的概念，像曲率、弧长等概念也值得注意．知识模块：一元函数积分学12．(2009年试题，二)已知，则k=_________．正确答案：因为，所以极限存在．故k从而k=一2．涉及知识点：一元函数积分学13．(2010年试题，12)当0≤0≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________.正确答案：题设曲线的弧长涉及知识点：一元函数积分学14．(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为p=eπθ(a>0)，则该曲线上相应于θ，从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________．正确答案：由已知p=eπθ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为解析：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为参数方程定义的曲线面积微元为dS=y(θ)x’(θ)dθ．知识模块：一元函数积分学15．(2002年试题，一)位于曲线y=xe-x(0≤x解析：无界图形的面积可由广义积分计算．知识模块：一元函数积分学16．(1998年试题，一)曲线y=一x3+x2+2x与x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S=__________．正确答案：先由已知y=一x3+x2+2x可得其与戈轴的三个交点，x1=一1，x2=0，x3=2，作出草图(见图1——11)可有助于用定积分表示面积S，因此涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。