2020年春冀教版八年级数学下册各阶段试题22.4 第2课时 矩形的判定3

冀教版初中数学八年级下册第二十二章一元一次不等式和一元不等式组22.4《矩形》【教学设计说明】本节课通过演示平行四边形模型，结合实际，在学生原有知识的基础上，自然得出矩形的定义，又在学生动手实践的基础上产生对矩形的性质与判定方法的疑惑，从而激发学生的学习兴趣．在掌握知识的同时，使学生逐步养成其动手、动脑、动口的习惯，自主探究，进行“探究式学习”．【教材分析】矩形作为特殊的平行四边形是几何中的基本图形，也是人们日常生活和生产中应用很广泛的一种几何图形，它与生活实际密切联系．矩形的性质与判定是以四边形和平行四边形以及全等三角形等有关知识为研究基础的，从这个意义上说，矩形的性质与判定又是四边形和平行四边形应用的深化和扩充．矩形是特殊的平行四边形，它的性质和判定又是研究探索其它特殊的的平行四边形的基础，所以在这里起着承上启下的作用．另外，本节的内容还渗透着转化、对比的数学思想，重在培养学生的逻辑思维能力和分析、推理、归纳的能力，因此，这节课无论从知识性还是从思想性来讲，都占有重要的地位．【学情分析】矩形是人们日常生活和生产中常见的和应用很广泛的一种几何图形，与生活实际密切联系，它就是学生小学已经学过的很熟悉的长方形．所以，从四边形和平行四边形出发，在矩形的定义的基础上，从边、角和对角线三方面探究矩形的性质与判定方法，学生应该能够理解接受．但对于性质和判别的推理与证明，学生可能会产生一定的困难，所以教学中要想方设法突破．一、【教学目标】1．掌握矩形的概念、性质和判定方法，发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解矩形与平行四边形的区别与联系，并会利用这些知识进行简单的推理与计算．2．在经历探索矩形的性质和判定方法的过程，发展学生合情推理能力，掌握几何思维说理的方法．3．通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，让学生增强学习信心，体验探索与创造的快乐并培养严谨的推理能力．二、【教学重点】矩形性质和判定方法的探索．【教学难点】矩形的本质属性，矩形性质和判定方法的的证明和应用．【课时安排】两课时【教具准备】平行四边形活动框架、多媒体课件．【教学策略】本节课主要通过创设问题情境，引导学生动手实践、自主探究、合作交流，采用边启发、边分析、边推理，层层设疑，讲练结合的方法．三、【教学过程】（一）创设情景，导入课题1．教师演示：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程）(意图：复习旧知识）2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．(意图：产生认知冲突）3．教师展示一些矩形图片，学生举例生活中的矩形．（意图：学生在小学已经对矩形有了了解，回答起来应该不难，要激起学生的学习热情，并培养学生观察生活的能力，知道数学就在我们身边）教室里有没有矩形？（国旗、黑板、门、窗户、书……..）平时生活中有没有矩形？（桌子、砖…….）4．思考：矩形是平行四边形吗？什么样的四边形是矩形?5．小结：有一个角是直角的平行四边形是矩形．注意：矩形是特殊的平行四边形．【设计意图】通过学生观察思考、分析、交流引出矩形的定义，把平行四边形的演变过程迁移到矩形的定义上来，明确矩形是特殊的平行四边形，引入课题．并通过让学生举出生活中的实例，让学生感受数学与生活的联系．（二）课堂探究，分组讨论，归纳新知1．【探究一】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①当∠ɑ是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？②随着∠ɑ的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？它的两条对角线的长度有什么关系？生：猜想结论2．矩形的性质： (1)矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的对角线相等．3．命题的证明：如上图，已知□ABCD是矩形，求证：（1）∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=900；（2）AC=BD．生：先独立思考，后交流讨论．【设计意图】在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=90°又∵矩形ABCD是平行四边形∴∠BAD=∠BCD，∠ABC = ∠ADC，∠BAD +∠ABC= 180°∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=900，即矩形的四个角都是直角．（2）∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB =900又∵矩形ABCD是平行四边形∴AB = DC ， BC = CB∴△ABC≌△DCB(SAS)∴AC = BD，即矩形的对角线相等．4．提问：你能说说矩形与平行四边形的性质相同和不同之处吗？5．思考：在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=2AC=21BD，遮掉Rt△ACD后的Rt△ABC，你能得出什么结论？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【设计意图】让学生感受矩形与直角三角形有密切的关系，引导学生归纳总结直角三角形的性质,有助于生形成系统化的知识，培养良好的学习习惯．例1 .已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ ABC= 90° ,AC=BD=2AO=2BO=2CO=2DO．又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，即AB=AO=4cm．∴AC＝2AB=8cm，即对角线的长为8cm【设计意图】学生学了矩形性质，关键利用性质来进行线段、角度的计算．6．【探究二】由定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．如何判断一个四边形是矩形呢？(1)教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证□再证一个直角→矩形．(2)教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：矩形的判定方法二：对角线相等的平行四边形是矩形．【设计意图】经历知识探究的过程，培养自主探究的能力．7．命题的证明：生：分析题意，画出图形，符号表示已知：在平行四边形ABCD中，AC＝BD，求证：平行四边形ABCD是矩形．生：先独立思考，后交流讨论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AB∥CD且 AB=CD，BC=BC又∵AC=BD∴△ABC≌△DCB(SSS) ∴∠ABC＝∠DCB又∵AB∥CD∴∠ABC＋∠DCB=180°∴∠ABC＝∠DCB＝900∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）8．【探究三】按照画“边――直角、边――直角、边――直角、边”这样四步（如下图）画出一个四边形．你能判断它是一个矩形吗？说明理由．(1)命题：有三个角是直角的四边形是矩形．证明：因为四边形内角和为360°，所以第四个角也是直角．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．所以这个四边形是平行四边形．又因为它有一个直角，根据定义可以判断它是矩形．(2) 矩形的判定方法三：有三个角是直角的四边形是矩形．【设计意图】经历画图、猜想、验证、归纳的过程，培养自主探究的能力．9．例2．已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．生：先独立思考，后交流讨论．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2AO，BD=2BO又∵△AOB是等边三角形即AO=BO∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．则∠ABC=900又∵在Rt△ABC中，AB=4cm，AC=2AO=8cm，由勾股定理知BC2＝AC2－AB2∴BC=∴这个平行四边形的面积为AB ·BC=4×2 【设计意图】巩固所学知识，培养应用意识 （三）应用巩固，深化提高1．如下图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且CE =BF ．求证：BE =CF答案：证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AO =BO =CO =DO 即△OBC 是等腰三角形 ∴∠EBC =∠FCB又∵CE =BF ，BC=CB ∴△EBC ≌△FCB （SAS ） ∴BE =CF2．变式练习1：若已知AB ＝4，∠AOB ＝600，E 、F 分别是OB 、OC 的中点，求EF 的长． 答案：解：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AO =BO =CO =DO ，∠ABC ＝900 又∵∠AOB ＝600∴△AOB 是等边三角形，则AC =2AO =2AB =8又∵ 在Rt △ABC 中，AB =4cm ，AC =2AO =8cm ，由勾股定理知BC 2＝AC 2 －AB 2 ∴BC =又∵ E 、F 分别是OB 、OC 的中点 ∴E 、F 是△OBC 的中位线∴EF =12BC =3．如下图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．答案：（1）解：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形 ∴∠BAC =∠DAE =600又∵点D是BC边的中点∴AD平分∠BAC（三线合一）∴∠DAC=300∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC=600－300＝300（2）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形∴AB＝AC＝BC，AD＝AE又∵∠BAD＝∠CAE＝300∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE又∵F是AB边的中点∴AF＝BF＝BD＝CE，CF⊥AB又∵在△ABD和△CBF中，BD=BF，∠B=∠B，AB=CB∴△ABD≌△CBF（SAS）∴AD=CF又∵AD=AE∴CF=AE∴四边形AFCE是平行四边形（有两组对边相等的四边形是平行四边形）又∵CF⊥AB即∠AFC＝900∴四边形AFCE是矩形．4．变式练习2：连接EF，试判断四边形BCEF的形状．四边形BCEF 是平行四边形证明：∵四边形AFCE是矩形∴AF∥CE且AF=CE又∵F是AB边的中点即AF=BF∴BF∥CE且BF=CE∴四边形BCEF 是平行四边形【设计意图】当堂训练，加深对矩形性质和判定的理解．通过变式训练，全面认识矩形的性质和判定方法，进一步培养学生的推理和应用能力．5．数学生活：若要检查我们的教室的门框是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？【设计意图】数学源于生活又用于生活，培养学生爱数学、学数学的热情．答案：可以先用绳子量一量两组对边是否相等，再量一量两条对角线是否相等即可．(四)课堂小结，自主评价请你谈谈这节课学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你对本节课的表现满意吗？有什么感受？【设计意图】把课堂还给学生，让学生自我反馈，自主评价，培养学生的自主学习、归纳、语言表达能力．(五) 课后作业必做题：1.如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1＝∠2，OB＝6cm．(1)求∠BOC的度数；(2)求△DOC的周长．2.已知：如图2，□ ABCD中，M为AD中点，且BM=CM，试判别四边形ABCD是否为矩形，为什么？3.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（2）如果AB AC选做题：如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．【设计意图】针对学生的差异性，实施分层布置作业，以便更好的巩固所学知识．答案：解：1．（1）∵四边形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO=6cm又∵AE⊥BD ∴∠1＋∠ABO＝∠2＋∠AOB＝900又∵∠1＝∠2 ∴∠ABO＝∠AOB ∴AO=AB∴△ABO是等边三角形即∠AOB＝900又∵∠AOB＋∠BOC＝1800∴∠BOC＝1200（2）∵△ABO是等边三角形，而AB＝CD∴△DOC也是等边三角形∴CO=DO=CD=6cm即△DOC的周长是18cm．2．四边形ABCD是矩形理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD且AB∥CD又∵M是AD中点∴AM=DM又∵BM=CM ∴△ABM≌△DCM（SSS）∴∠A＝∠D又∵AB∥CD则∠A＋∠D＝900∴∠A＝∠D＝900∴四边形ABCD是矩形．3．（1）证明：在△AEF和△DEB中，∵AF∥BC∴∠AFE=∠DBE又∵E是AD的中点∴AE=DE又∵∠AEF=∠DEB∴△ADF≌△CDE（AAS）∴AF=DB又∵AF=DC∴DB=DC即D是BC的中点（2）解：若AB=AC则四边形ADCF是矩形证明：由（1）知：AF=DC，AF∥DC∴四边形ADCF是平行四边形又∵AB=AC，D是BC的中点∴AD⊥BC即∠ADC＝900（三线合一）∴四边形ADCF是矩形．4．（1）证明：连接AC∵∠ABC＝90°∴AB2＋BC2＝AC2∵CD⊥AD∴AD2＋CD2＝AC2又∵AD2＋CD2＝2AB2∴AB2＋BC2＝2AB2∴AB＝BC（2）证明：过C作CF⊥BE于F∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形∴CD＝EF∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°∴∠BAE＝∠CBF又∵AB＝BC∴△BAE≌△CBF（AAS）∴AE＝BF∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD【板书设计】四、教学总结本节课的主要内容是矩形的定义、性质和判定．矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角，通过演示平行四边变成矩形的过程，学生对平行四边形和矩形之间的联系和区别有了比较深的印象．由于矩形比平行四边形多了有一个是直角的条件，它就增加了一些特殊的性质和判定方法，当平行四边形变成矩形后，可以观察它的四个角变成了直角，两条对角线相等．通过演示教具得到矩形的定义、性质和判定方法是本节课的一个亮点．总之，这堂课按创设情景、合作交流、探索问题、应用新知，体验成功、小结与反思这种安排进行，井然有序，环环相扣，讲练结合，教学效果不错．合作交流、探索问题这一环节的教学提问时间安排有点仓促，合情推理的能力有待于慢慢的熟练，这需要我不断加强和引导学生的课后辅导，以巩固新知，提升学生能力．。

章节测试题1.【答题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=______度．【答案】22.5【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°．故答案为22.5．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．2.【答题】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．若AB=3，则C′D的长为______．【答案】3【分析】根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，CD=AB，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，∴C′D=CD，∴C′D=AB，∵AB=3，∴C′D=3．故答案为3．【点评】本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．3.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是______．【答案】4【分析】根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，推出OA=OC=OB=OD，根据等腰三角形的判定得出即可．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，∴OA=OC=OB=OD，∴等腰三角形有△OAB，△OAD，△OBC，△OCD，共4个．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，有两边相等的三角形是等腰三角形．4.【答题】如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则∠ABC=______°．【答案】90【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°．故答案为：∠ABC=90°．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．5.【答题】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD=______．【答案】3【分析】根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=6，OD= BD=3．故答案是：3．【点评】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键．6.【答题】如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，当∠B=______°时，四边形ABCD为矩形．【答案】90【分析】根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．【解答】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B=90°．故答案为∠B=90°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．7.【答题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=______cm．【答案】9【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB 2 +BC 2 =10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= 2.5cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= 2.5cm，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．8.【答题】如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为______度时，两条对角线长度相等．【答案】90【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【解答】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°．故答案是：90°．【点评】本题考查了矩形的判定方法，理解矩形的定义是关键．9.【答题】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，则∠A=______°．【答案】90【分析】根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．【解答】添加的条件是∠A=90°，理由是：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A=90°．【点评】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目．10.【答题】在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是______．（写出一种即可）【答案】对角线相等（答案不唯一）【分析】已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．【解答】若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．【点评】此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是要得到四个内角相等即直角．11.【答题】如图，若希望平行四边形ABCD是矩形，则∠ABC=______°．【答案】90【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故：∠ABC=90°．故答案为：∠ABC=90°．【点评】此题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．12.【答题】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使▱ABCD变为矩形，需添加的条件是______（写出一个即可）．【答案】任意写出一个正确答案即可（如AC=BD或∠ABC=90°）【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【解答】若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC=90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．13.【答题】如图，四边形ABCD是平行四边形，当它为矩形时，∠BAD=______°．【答案】90【分析】根据矩形的判定定理解答，常用的有三种：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，要判断平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，故：∠BAD=90°．【点评】此题是一道几何结论开放题，全面地考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．14.【答题】在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是______．【答案】AC=BD或者有个内角等于90度【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于90度．故答案为：AC=BD或者有个内角等于90度．【点评】此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．15.【题文】如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．【答案】见解答.【分析】（1）根据角平分线的性质，及∠BAC+∠BAF=180°可求出∠DAE=90°，即DA⊥AE；（2）要证AB=DE，需证四边形AEBD是矩形，由AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，可知AD⊥BC，又因为DA⊥AE，BE⊥AE故，所以∠AEB=90°，∠DAE=90°即证四边形AEBD是矩形．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD= ∠BAC，又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE= ∠BAF，∵∠BAC+∠BAF=180°，∴∠BAD+∠BAE= （∠BAC+∠BAF）= ×180°=90°，即∠DAE=90°，故DA⊥AE．（2）解：AB=DE．理由是：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB=90°∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°，∠DAE=90°，故四边形AEBD是矩形．∴AB=DE．【点评】本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理．有一定的综合性．。

课时作业(三十一)第2课时矩形的判定]一、选择题1．如图K－31－1，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD2．数学课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是()图K－31－1A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是不是直角3．如图K－31－2，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是()图K－31－2A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AB＝DC4．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.图K－31－3①②是甲、乙两位同学的作业：图K－31－3对于两人的作业，下列说法正确的是()A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对二、填空题5．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形．图K－31－46．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，延长BA到点D，延长CA到点E，使AD＝AB，AC＝AE.连接BE，CD，则四边形BCDE是________，判断依据是__________________．7．用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，以下方法可行的有________(只要填序号即可)．①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等；②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等；③量出一组邻边的长a，b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2；④量出两条对角线的长，看是否相等．8．如图K－31－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为________.听课例3归纳总结图K －31－5三、解答题9．如图K －31－6，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，AE 分别是∠BAC ，△ABC 的外角∠BAF 的平分线，BE ⊥AE.试判断AB 与DE 是否相等，并证明你的结论.听课例2、例3归纳总结图K －31－610．如图K －31－7，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．图K －31－711．如图K－31－8，E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．图K－31－812．如图K－31－9，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．图K－31－9方程思想、动点问题2017·某某栾城期中如图K－31－10，在▱ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上的两个动点，分别从点A，C以1 cm/s的速度向点C，A运动，运动时间为t s.(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？试说明理由．图K－31－10详解详析[课堂达标]1．D[解析] 对角线互相平分的四边形是平行四边形．要想使其成为矩形，只需满足对角线相等或有一个角是直角即可．2．D3．C[解析] 依题意，得四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)，故当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，四边形EFGH为矩形．故选C.4．A[解析] 由甲同学的作业可知，CD＝AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴甲同学的作业正确；由乙同学的作业可知，CM＝AM，MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴乙同学的作业正确．故选A.5．60[解析] 如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC.又因为AC＝AB，所以△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°.6．矩形对角线相等的平行四边形是矩形[解析] 如图所示，∵AC＝AE，AB＝AD，∴四边形BCDE为平行四边形．∵AB＝AC，∴BD＝EC，∴四边形BCDE为矩形．依据是对角线相等的平行四边形是矩形．故答案为：矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．7．①②[解析] ①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据对角线相等判定四边形是矩形，故此选项正确；②根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，可判定四边形是矩形，故选项正确；③根据勾股定理可以判断是不是直角，但不能判断是不是矩形，故此选项不正确；④量出两条对角线的长，看是否相等，不能判断其是不是矩形，必须两条对角线相等且互相平分才是矩形，故此选项错误．综上所述，用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，可行的方法有①②.8．[解析] 连接CP ，根据矩形的性质可知DE ＝CP ，当DE 最小时，CP 最小．根据垂线段最短可知当CP ⊥AB 时，CP 最小．根据三角形的面积为定值即可求出CP 的长．9．解：AB ＝DE.证明：∵AD ，AE 分别是∠BAC ，∠BAF 的平分线， ∴∠DAB ＝12∠CAB ，∠BAE ＝12∠BAF ，∴∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAE ＝12(∠CAB ＋∠BAF)＝12×180°＝90°.∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝90°. ∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°， ∴四边形BDAE 是矩形，∴AB ＝DE. 10．解：(1)证明：∵DF ∥BE ， ∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO. ∵O 为AC 的中点，AE ＝CF ， ∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF. 在△BOE 和△DOF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EBO ＝∠FDO ，∠BEO ＝∠DFO ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△DOF(AAS )． (2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明：由(1)知△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD. ∵O 是AC 的中点，OD ＝12AC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，即BD ＝AC ， ∴四边形ABCD 是矩形．11．[解析] (1)由四边形ABCD 为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB 与DC 平行．根据两直线平行内错角相等得到一对角相等．由E 为BC 的中点，得到两条线段相等，再由对顶角相等，利用ASA 可得出△ABE 与△FCE 全等；(2)由△ABE 与△FCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE ＝EF ，再由∠AEC 为△ABE 的外角，利用外角的性质得到∠AEC ＝∠EAB ＋∠ABC ，再由∠AEC ＝2∠ABC ，得到∠ABE ＝∠EAB ，利用等角对等边可得出AE ＝BE ，进而得出AF ＝BC.利用对角线相等的平行四边形为矩形，可得出四边形ABFC 为矩形．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠FCE. 又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC （对顶角相等）， ∴△ABE ≌△FCE(ASA )．(2)由(1)知△ABE ≌△FCE ，∴AE ＝EF.又∵∠AEC ＝2∠ABC ，且∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠EAB ， ∴∠ABC ＝∠EAB ，∴AE ＝BE ， ∴AE ＝EF ＝EB ＝EC ，∴AE ＋EF ＝BE ＋EC ，即AF ＝BC ，∴由对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知四边形ABFC 为矩形． 12．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC. ∵PF ∥AB ，∴PF ∥CD ， ∴∠CPF ＝∠PCH. ∵PH ∥AD ，∴PH ∥BC ， ∴∠PCF ＝∠CPH.在△PHC 和△CFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PCH ＝∠CPF ，PC ＝CP ，∠CPH ＝∠PCF ，∴△PHC≌△CFP(ASA)．(2)证明：∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH与四边形PFBG是平行四边形．∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠B＝90°.∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．由(1)知△PHC≌△CFP，∴S△PHC＝S△CFP.同理可得△AEP≌△PGA，∴S△AEP＝S△PGA.∵S△ADC＝S△CBA，∴S△ADC－S△PHC－S△AEP＝S△CBA－S△CFP－S△PGA，∴S矩形PEDH＝S矩形PFBG. [素养提升]解：(1)四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵点E，F分别从点A，C以1 cm/s的速度向点O运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．(2)∵四边形DEBF可以为矩形．理由：∵四边形DEBF是平行四边形，∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．∵BD＝12 cm，∴EF＝12 cm，∴OE＝OF＝6 cm.∵AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm，∴AE＝2 cm或AE＝14 cm.∵动点的速度都是1 cm/s，∴t＝2 s或t＝14 s.故当运动时间t＝2 s或t＝14 s时，四边形DEBF是矩形．。

22.4 第2课时矩形的判定教案教学目标1.理解并掌握矩形的判定定理。

2.能运用矩形的定义及判定解决简单的实际问题。

3.通过猜想，操作验证，逻辑推理，体现数学研究和发现的过程，学会数学思考的方法。

教学重难点【教学重点】矩形的判定方法.【教学难点】探究并证明矩形的判定定理，并灵活运用.教学过程一、新课导入一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给小华,在里面摆放她们三个人的相片,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法知道拿的就是矩形相框呢?师生活动：学生观察并思考，教师展示引出新课．设计意图：通过生活实例，引出本节课的内容．二、新知讲解1.定义法一起探究问题1 怎样判定一个四边形是矩形呢？师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，发言交流.得出结论：有一个角是直角的平行四边形是矩形.设计意图：通过问题引导学生从定义的角度判定矩形，让学生学会从知识的源头考虑问题.知识归纳矩形的判定方法（定义法）有一个角是直角的平行四边形是矩形.师生活动：让学生自己小组讨论，概括总结,教师引导并展示.设计意图：归纳总结得到用定义判定矩形，培养学生的抽象概括的能力.2.从角的角度一起探究问题2 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？师生活动：学生独立思考，交流发言.教师提出问题，并引导学生得出猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.设计意图：通过合作交流，探索得出猜想，培养学生的合作意识及动手操作的能力.推理与证明已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.师生活动：学生独立思考，并试着证明，教师提示引导，最终展示证明过程.设计意图：证明得出的猜想，培养学生推理与证明的能力.知识归纳矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.师生活动：学生自主概况，教师总结.设计意图：总结归纳矩形的判定定理.练一练：如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，AG⊥DE，CH⊥BF，求证：四边形EHFG 是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF．∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥EC，∴∠FGE+∠GEH=180°.又∵AG⊥DE，CH⊥BF，∴∠FGE=∠EHF=90°，∴∠GEH=90°∴四边形EHFG是矩形．师生活动：学生动笔做一做，要求有过程，教师巡视检查．设计意图：加深对判定定理的理解．3.从对角线的角度一起探究问题3我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？师生活动：教师提问，学生思考并回答，最后得出猜想：对角线相等的平行四边形是矩形设计意图：通过设问及生活实例，体会当平行四边形的对角线相等时是矩形，培养学生的逻辑思维能力.推理与证明已知：如图,在□ABCD中,AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.在△ABD和△BAC中,∵AD=BC,AB=BA,AC=BD.∴△ABD≌△BAC.∴∠DAB=∠CBA.又∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.∴▱ABCD是矩形.师生活动：学生独立思考，并试着证明，教师提示引导，最终展示证明过程. 设计意图：证明得出的猜想，培养学生推理与证明的能力.知识归纳矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形几何语言：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.师生活动：学生自主概括，教师总结.设计意图：总结归纳矩形的判定定理.4.例题讲解例已知:如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,且OA=OC,OB=OD.∴OA=OC=OB=OD.又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴OE=OG=OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF.∴四边形EFGH是矩形.师生活动：学生解答，教师展示给出解答示范．总结归纳：判定一个四边形是矩形的方法与思路是:设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．三、课堂练习1.下列命题中，真命题有( )(1)对角线互相平分的四边形是矩形(2)三个角的度数之比为1：3 ：4的三角形是直角三角形(3)对角互补的平行四边形是矩形(4)三边之比为1：√3：2的三角形是直角三角形A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C2.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC答案：C3.如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件______________________，使四边形DBCE是矩形．答案：EB＝DC(答案不唯一)4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB 交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．证明：证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE BD.又∵BD＝DC，∴AE DC，∴四边形ADCE是平行四边形.又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．师生活动：学生解答，教师展示过程，给出解释．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．四、课堂小结这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？设计意图：通过小结，将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。

309教育网
309教育资源库 课时作业(三十一)
[22.4 第2课时 矩形的判定
]
一、选择题
1．如图K －31－1，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A ．A
B ＝CD B ．AD ＝BC
C ．AB ＝BC
D ．AC ＝BD
2．数学课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(
)
图K －31－1
A ．测量对角线是否互相平分
B ．测量两组对边是否分别相等
C ．测量一组对角是否都为直角
D ．测量三个角是不是直角
3．如图K －31－2，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是(
)
图K －31－2
A ．A
B ∥D
C B ．AC ＝BD
C ．AC ⊥B
D D ．AB ＝DC
4．已知：线段AB ，BC ，∠ABC ＝90°.求作：矩形ABCD.图K －31－3①②是甲、乙两位同学的作业：
图K －31－3
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A ．两人都对
B ．两人都不对
C ．甲对，乙不对
D ．甲不对，乙对
二、填空题
5．如图K －31－4，在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 绕点C 旋转180°得到△FEC ，连接。

课时作业(三十一)[22.4 第2课时矩形的判定]一、选择题1．如图K－31－1，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD2．数学课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( )图K－31－1A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是不是直角3．如图K－31－2，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )图K－31－2A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AB＝DC4．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.图K－31－3①②是甲、乙两位同学的作业：图K－31－3对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对二、填空题5．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形．图K－31－46．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，延长BA到点D，延长CA到点E，使AD＝AB，AC＝AE.连接BE，CD，则四边形BCDE是________，判断依据是__________________．7．用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，以下方法可行的有________(只要填序号即可)．①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等；②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等；③量出一组邻边的长a，b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2＋b2＝c2；④量出两条对角线的长，看是否相等．8．如图K－31－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为________.链接听课例3归纳总结图K－31－5三、解答题9．如图K－31－6，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC，△ABC的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE.试判断AB与DE是否相等，并证明你的结论.链接听课例2、例3归纳总结图K－31－610．如图K －31－7，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．图K －31－711．如图K －31－8，E 是▱ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F.(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)连接AC ，BF ，若∠AEC ＝2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形．图K －31－812．如图K－31－9，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．图K－31－9方程思想、动点问题xx·石家庄栾城期中如图K－31－10，在▱ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上的两个动点，分别从点A，C以1 cm/s的速度向点C，A运动，运动时间为t s.(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？试说明理由．图K－31－10详解详析[课堂达标]1．D[解析] 对角线互相平分的四边形是平行四边形．要想使其成为矩形，只需满足对角线相等或有一个角是直角即可．2．D3．C[解析] 依题意，得四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)，故当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，四边形EFGH为矩形．故选C.4．A[解析] 由甲同学的作业可知，CD＝AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴甲同学的作业正确；由乙同学的作业可知，CM＝AM，MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形．∴乙同学的作业正确．故选A.5．60 [解析] 如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC.又因为AC＝AB，所以△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°.6．矩形对角线相等的平行四边形是矩形[解析] 如图所示，∵AC＝AE，AB＝AD，∴四边形BCDE为平行四边形．∵AB＝AC，∴BD＝EC，∴四边形BCDE为矩形．依据是对角线相等的平行四边形是矩形．故答案为：矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．7．①②[解析] ①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据对角线相等判定四边形是矩形，故此选项正确；②根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，可判定四边形是矩形，故选项正确；③根据勾股定理可以判断是不是直角，但不能判断是不是矩形，故此选项不正确；④量出两条对角线的长，看是否相等，不能判断其是不是矩形，必须两条对角线相等且互相平分才是矩形，故此选项错误．综上所述，用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，可行的方法有①②.8．4.8 [解析] 连接CP，根据矩形的性质可知DE＝CP，当DE最小时，CP最小．根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，CP最小．根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．9．解：AB＝DE.证明：∵AD，AE分别是∠BAC，∠BAF的平分线，∴∠DAB ＝12∠CAB ，∠BAE ＝12∠BAF ，∴∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAE ＝12(∠CAB ＋∠BAF)＝12×180°＝90°.∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝90°.∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴四边形BDAE 是矩形，∴AB ＝DE. 10．解：(1)证明：∵DF ∥BE ， ∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO. ∵O 为AC 的中点，AE ＝CF ， ∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF. 在△BOE 和△DOF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EBO ＝∠FDO ，∠BEO ＝∠DFO ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△DOF(AAS )． (2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明：由(1)知△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD. ∵O 是AC 的中点，OD ＝12AC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，即BD ＝AC ， ∴四边形ABCD 是矩形．11．[解析] (1)由四边形ABCD 为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB 与DC 平行．根据两直线平行内错角相等得到一对角相等．由E 为BC 的中点，得到两条线段相等，再由对顶角相等，利用ASA 可得出△ABE 与△FCE 全等；(2)由△ABE 与△FCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE ＝EF ，再由∠AEC 为△ABE 的外角，利用外角的性质得到∠AEC ＝∠EAB ＋∠ABC ，再由∠AEC ＝2∠ABC ，得到∠ABE ＝∠EAB ，利用等角对等边可得出AE ＝BE ，进而得出AF ＝BC.利用对角线相等的平行四边形为矩形，可得出四边形ABFC 为矩形．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠FCE. 又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC （对顶角相等），∴△ABE ≌△FCE(ASA )．(2)由(1)知△ABE ≌△FCE ，∴AE ＝EF.又∵∠AEC ＝2∠ABC ，且∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠EAB ， ∴∠ABC ＝∠EAB ，∴AE ＝BE ， ∴AE ＝EF ＝EB ＝EC ，∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC，∴由对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知四边形ABFC为矩形．12．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC. ∵PF ∥AB ，∴PF ∥CD ， ∴∠CPF ＝∠PCH.∵PH ∥AD ，∴PH ∥BC ， ∴∠PCF ＝∠CPH.在△PHC 和△CFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PCH ＝∠CPF ，PC ＝CP ，∠CPH ＝∠PCF ，∴△PHC ≌△CFP(ASA )．(2)证明：∵EF ∥AB ∥CD ，GH ∥AD ∥BC ，∴四边形PEDH 与四边形PFBG 是平行四边形． ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°. ∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形． 由(1)知△PHC ≌△CFP ，∴S △PHC ＝S △CFP . 同理可得△AEP ≌△PGA ，∴S △AEP ＝S △PGA . ∵S △ADC ＝S △CBA ，∴S △ADC －S △PHC －S △AEP ＝S △CBA －S △CFP －S △PGA ，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PFBG . [素养提升]解：(1)四边形DEBF 是平行四边形． 理由：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵点E ，F 分别从点A ，C 以1 cm /s 的速度向点O 运动， ∴AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．(2)∵四边形DEBF 可以为矩形．理由： ∵四边形DEBF 是平行四边形，∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝12 cm ，∴EF ＝12 cm ， ∴OE ＝OF ＝6 cm .∵AC ＝16 cm ，∴OA ＝OC ＝8 cm ， ∴AE ＝2 cm 或AE ＝14 cm .∵动点的速度都是1 cm /s ，∴t ＝2 s 或t ＝14 s .故当运动时间t ＝2 s 或t ＝14 s 时，四边形DEBF 是矩形．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

矩形的判定【学习目标】1.矩形的性质及矩形的判定．2.矩形的性质及矩形的判定的综合应用．【重点】矩形的性质及矩形的判定．【难点】矩形的性质及矩形的判定的综合应用．【自学指导】自主学习阅读课本P137-138，探索交流讨论得出矩形的另两个判定方法.形判定方法2： 平行四边形是矩形． 矩形判定方法3： 四边形是矩形． 例1.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ）（4）对角线相等的四边形是矩形； （ ）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ）（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）（7）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )例2.如图,在△ABC 中,点D 在AB 上,且AD=CD=BD,DE 、DF 分别是∠BDC 、∠ADC的平分线.四边形FDEC 是矩形吗？为什么？例3.已知：如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：F E D C BA四边形EFGH是矩形．【课堂练习】1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是( )A．对边相等B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分2.具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是( )A．三个角都是直角B．四个角都相等C．对角线相等的平行四边形D．对角线垂直且相等3.如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是( )A．60 B．100 C．150 D．2004.在平行四边行ABCD 中，增加下列条件中的一个，就能断定它是矩形的是()A．∠A＋∠C＝180°B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝2AB【拓展延伸】5.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别交于点B、D.(1)猜想AC和BD的位置关系是.(2)证明你的猜想.【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有：原因：。

冀教版八年级数学下册《22.4.2矩形的判定》同步练习（含答案）1．在▱ABCD中，∵∠ABC＝________°，∴▱ABCD是矩形．2．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：图15甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图15)．图16乙：1.连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD 即为所求(如图16)．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3．如图17，在△ABC中，D是BC边上的点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：BD＝CD；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．图174．在四边形ABCD中，∵∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝________°，∴四边形ABCD是矩形．5．如图18所示，已知在▱ABCD中，各个内角的平分线相交于点E，F，G，H.(1)猜想EG与FH之间的数量关系；(2)试证明你猜想的正确性．图186．如图19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )图19A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC7．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是( )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＋∠BCD＝180°，AC⊥BDD．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD7．如图20，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形.图209．如图21，E，F分别为△ABC的边BC，AB的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DB，AE.(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AB＝AC，试说明四边形AEBD是矩形．图2110．如图22，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A．AD＝BC B．AB＝CDC．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB图22 图2311．如图23，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为________．12．如图24，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.求证：四边形EFNM是矩形．图2413．如图25所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以1 cm/s的速度同时向点C，A运动．(1)四边形DEBF是平行四边形吗？请判断并说明理由；(2)若BD＝12 cm，AC＝16 cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？图2514．如图26，矩形ABCD 的面积为20 cm 2，对角线AC ，BD 相交于点O ；以AB ，AO 为邻边作▱AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB ，AO 1为邻边作▱AO 1C 2B 对角线交于点O 2；…；依此类推，则▱AO 4C 5B 的面积为( )图26A.54 cm 2B.58 cm 2C.516 cm 2D.532cm 2 15．如图27，在△ABC 中，点O 在AB 边上，过点O 作BC 的平行线交∠ABC 的平分线于点D ，过点B 作BE ⊥BD 交直线OD 于点E ，连接AE ，AD .(1)求证：OE ＝OD ；(2)当点O 在AB 的什么位置时，四边形BDAE 是矩形？请说明理由．图271．902. A [解析] 由甲同学的作业可知，CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠ABC ＝90°，∴▱ABCD 是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM ＝AM ，MD ＝MB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC ＝90°，∴▱ABCD 是矩形．所以乙的作业正确．3．解：(1)证明：由题意，得AF ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD . (2)四边形AFBD 是矩形．理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. ∵AF ＝BD ，AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形．又∵∠ADB ＝90°，∴四边形AFBD 是矩形． 4．905．解：(1)EG ＝FH .(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°.又∵AF ，BH 分别平分∠BAD ，∠ABC ，∴∠DAE ＝∠BAE ＝12∠DAB ，∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∴∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝90°. 同理可证∠EFG ＝90°，∠EHG ＝90°， ∴四边形EFGH 为矩形， ∴EG ＝FH . 6．B8．C [解析] 如图，∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形，∴A 选项正确；∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠BAD ＝90°，∴▱ABCD 是矩形，∴B 选项正确；∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥DC .∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，而AC ⊥BD 不能判定▱ABCD 是矩形，∴C 选项不正确；∵∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°，∴AD ∥BC .在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠BAD ＝90°，∴▱ABCD 是矩形，∴D 选项正确．故选C.8．答案不唯一，如EB ＝DC [解析] 添加EB ＝DC .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴DE ∥BC .又∵DE ＝AD ，∴DE ＝BC ，∴四边形DBCE 为平行四边形．又∵EB ＝DC ，∴▱DBCE 是矩形．故答案可以是EB ＝DC .9．解：(1)证明：∵E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AB 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .∵DF ＝EF ，∴EF ＝12DE ，∴AC ＝DE .又∵EF ∥AC ， ∴四边形ACED 是平行四边形． (2)∵DF ＝EF ，AF ＝BF ， ∴四边形AEBD 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AC ＝DE ，∴AB ＝DE ， ∴四边形AEBD 是矩形．9．B [解析] A 项，当AD ＝BC ，AD ∥BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC ＝BD ，可得四边形ABCD 是矩形；B 项，当AB ＝CD ，AD ∥BC 时，四边形ABCD 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C 项，当∠DAB ＝∠ABC ，AD ∥BC 时，∠DAB ＝ ∠CBA ＝90°，再根据AC ＝BD ，可得Rt △ABD ≌Rt △BAC ，进而得到AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠DAB ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；D 项，当∠DAB ＝∠DCB ，AD ∥BC 时，∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC ＝BD ，可得四边形ABCD 是矩形．11．2.4 [解析] 连接AP .∵∠BAC ＝90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠AEP ＝ ∠AFP ＝90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF ＝AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可．当AP ⊥BC 时，AP 最小．在Rt △BAC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝4，AB ＝3，由勾股定理得BC ＝5，由三角形面积公式得12×4×3＝12×5×AP ，∴AP ＝2.4，即EF ＝2.4.12．证明：如图，过点E ，F 分别作AD ，BC 的垂线，垂足分别是G ，H .∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG ⊥AD ，EM ⊥CD ，EM ′⊥AB ， ∴EG ＝ME ，EG ＝EM ′， ∴EG ＝ME ＝EM ′＝12MM ′.同理可证FH ＝NF ＝N ′F ＝12NN ′.∵CD ∥AB ，MM ′⊥CD ，NN ′⊥CD ， ∴MM ′＝NN ′， ∴ME ＝NF .又∵MM ′∥NN ′，MM ′⊥CD ， ∴四边形EFNM 是矩形．13．解：(1)是．理由：在▱ABCD 中，有OD ＝OB ，OA ＝OC .∵E ，F 两点移动的速度相同，且同时开始运动，即AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．(2)∵四边形DEBF 是平行四边形，∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形．∵BD ＝12 cm ，∴EF ＝12 cm ，∴OE ＝OF ＝6 cm.∵在▱ABCD 中，AC ＝16 cm ，∴OA ＝OC ＝8 cm ， ∴AE ＝2 cm 或AE ＝14 cm.∵动点的速度是1 cm/s ，∴t ＝2 s 或t ＝14 s.故当运动时间t 为2 s 或14 s 时，四边形DEBF 是矩形．14．B [解析] 设矩形ABCD 的面积为S .∵O 为矩形ABCD 的对角线的交点，∴▱AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的一半，∴▱AOC 1B 的面积＝12S . ∵▱AOC 1B 的对角线交于点O 1，∴▱AO 1C 2B 的边AB 上的高等于▱AOC 1B 底边AB 上的高的一半，∴▱AO 1C 2B 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×S ＝S 22，…， 依此类推，▱AO 4C 5B 的面积为S25＝2025＝58(cm 2)．故选B. 15．解：(1)证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC .∵ED ∥BC ，∴∠ODB ＝∠DBC ＝∠ABD ，∴OB＝OD.在Rt△EBD中，∵∠ABE＋∠ABD＝∠ODB＋∠BED＝90°，∴∠ABE＝∠BED，∴OB＝OE，∴OE＝OD.(2)当O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．理由：∵O为AB的中点，∴OA＝OB.由(1)知OE＝OD，∴四边形BDAE为平行四边形．∵BE⊥BD，∴∠EBD＝90°，∴四边形BDAE是矩形．。

冀教新版八年级下学期《22.4 矩形》同步练习卷一．选择题（共26小题）1．矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列结论不成立的是（）A．AC＝BD B．OA＝OB C．OC＝CD D．∠BCD＝90°2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．邻边相等3．矩形具有下列性质（）A．对角线相互垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（）A．B．C．2D．15．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行且相等B．两组对角分别相等C．相邻两角互补D．对角线相等6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（）A．6B．8C．10D．127．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOD＝120°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC 的长是（）A．6B．8C．6D．49．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝20°，则∠DAE＝（）A．10°B．20°C．30°D．45°10．如图，小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A、C放在长方形纸片DEFG 的对边上，若AC平分∠BAE，则∠DAB的度数是（）A．100°B．150°C．130°D．120°11．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是4cm，则矩形的面积是（）A．32cm2B．32cm2C．16cm2D．8cm212．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．513．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）14．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．1816．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1B．C．D．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝40°，则∠E的值是（）A．18°B．19°C．20°D．40°18．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE 的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°19．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形20．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角21．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC＝∠ACB B．∠BAC＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．∠BAC＝∠ABD 22．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°D．AB＝CD，AC＝BD23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO＝OC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC 24．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂C．对角线相等D．对角线平分一组对角25．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角，是否都是直角26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC二．解答题（共14小题）27．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．28．如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD＝10，OD＝6，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长．（2）求四边形OBEC的面积．29．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF＝CD．31．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：CE与DF相等且互相平分．32．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点．（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；（2）随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．33．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD 的面积．34．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的平分线，CE⊥AE．求证：AB＝DE．36．如图：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．求证：四边形EFPH为矩形．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE＝AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF＝CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．38．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．39．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC＝6，∠DOC＝60°，求四边形ADCE的面积．40．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE的度数是多少？冀教新版八年级下学期《22.4 矩形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列结论不成立的是（）A．AC＝BD B．OA＝OB C．OC＝CD D．∠BCD＝90°【分析】根据矩形的性质可以直接判断．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，∠BCD＝90°∴选项A，B，D成立，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．邻边相等【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案．【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：B．【点评】此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题．3．矩形具有下列性质（）A．对角线相互垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半【分析】根据矩形的性质即可判断；【解答】解：根据矩形的对角线相等，可知选项B正确，故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、解题的关键是记住矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（）A．B．C．2D．1【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE＝CE，设CE ＝x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∵EO是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝22+（4﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为，DE＝4﹣＝，所以△DCE的面积＝××2＝，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．5．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行且相等B．两组对角分别相等C．相邻两角互补D．对角线相等【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．【解答】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形和矩形的性质，正确区分它们的性质是解题关键．6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（）A．6B．8C．10D．12【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝3，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝3，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为＝4OC＝4×3＝12．故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOD＝120°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝3，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝3＝CD，则可得一共有6条线段长度为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝3，AB＝CD∵∠BOC＝120°，OA＝OB∴∠OAB＝∠OBA＝60°∴△AOB是等边三角形∴AB＝AO＝3∴CD＝3∴一共6条线段长度为3．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC 的长是（）A．6B．8C．6D．4【分析】根据题意可求AB，AC的长度．根据勾股定理可求BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝4，∠ABC＝90°∴AC＝8∵∠BOC＝120°，AO＝BO∴∠OAB＝∠OBA＝60°∴△AOB为等边三角形∴AB＝BO＝4在Rt△ABC中，BC＝＝4故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键．9．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝20°，则∠DAE＝（）A．10°B．20°C．30°D．45°【分析】由题意可得∠EAG＝∠DAB＝90°，即可得∠BAG＝∠DAE＝20°．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形∴∠EAG＝∠DAB＝90°∴∠EAG﹣∠DAG＝∠DAB﹣∠DAG∴∠DAE＝∠BAG＝20°故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．10．如图，小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A、C放在长方形纸片DEFG 的对边上，若AC平分∠BAE，则∠DAB的度数是（）A．100°B．150°C．130°D．120°【分析】根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝30°，然后又平角的定义即可得到结论．【解答】解：∵AC平分∠BAE，∴∠CAE＝∠BAC＝30°，∴∠DAB＝180°﹣∠BAC﹣∠CAE＝120°，故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，三角板的知识，平角的定义，熟记角平分线的定义是解题的关键．11．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是4cm，则矩形的面积是（）A．32cm2B．32cm2C．16cm2D．8cm2【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝90°，AC＝BD＝4，由勾股定理求出BC，矩形的面积＝AB×AD，即可得出结果．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AB＝4cm，BD＝AC＝4cm，∴AD＝＝4∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理，矩形面积的计算，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，12．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．5【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．13．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．【解答】解：如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN ⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，∴∠EAO＝∠COM，又∵∠AEO＝∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴＝＝，∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，在△ABN和△OCM中，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN＝CM，∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，∴BN＝，∴CM＝，∴MO＝3，∴点C的坐标是：（3，）．故选：D．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出CM的长是解题关键．14．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】作BF∥a，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCD＝90°，根据平行线的性质计算．【解答】解：作BF∥a，∴∠3＝∠1＝50°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠4＝40°，∵BF∥a，a∥b，∴BF∥b，∴∠5＝∠4＝40°，∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是90°是解题的关键．15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．18【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．16．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1B．C．D．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠P AH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵CG＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×＝，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝40°，则∠E的值是（）A．18°B．19°C．20°D．40°【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质以及三角形外角性质解答即可．【解答】解：∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝40°，∴∠E＝20°，故选：C．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．18．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE 的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．【解答】解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．19．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．20．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D．【点评】本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．21．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC＝∠ACB B．∠BAC＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．∠BAC＝∠ABD 【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC＝∠ACB，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC＝∠ACD，不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．22．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°D．AB＝CD，AC＝BD【分析】根据矩形的判定判断即可．【解答】解：A、AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，可以得出门框是矩形，不合题意；B、AC＝BD，∠B＝∠C＝90°，可以得出门框是矩形，不合题意；C、AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，可以得出门框是矩形，不合题意；D、AB＝CD，AC＝BD，不能得出门框是矩形，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定的应用，注意：矩形的判定定理有①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③有三个角是直角的四边形是矩形．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO＝OC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．24．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂C．对角线相等D．对角线平分一组对角【分析】根据矩形、平行四边形的性质即可判断；【解答】解：矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分，∴矩形具备而平行四边形不一定具备的是矩形的对角线相等，故选：C．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等是常考内容．25．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角，是否都是直角【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形，可求得答案．【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的方法是：一个角是直角的平行四边形是矩形．∵一个角是直角的平行四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其用重锤线检查竖门框是否与地面垂直∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，∴测量两条对角线是否相等可用．而测量两条对角线是否互相平分不能判定是否是矩形，故选：C．【点评】此题考查了矩形的判定．注意熟记定理是解此题的关键，注意排除法在解选择题中的应用．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC【分析】添加AD＝BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF是平行四边形，再根据∠ACB＝90°，得出四边形DECF成为矩形．【解答】解：添加AD＝BD，∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD＝BD，∴ED∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．二．解答题（共14小题）27．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．28．如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD＝10，OD＝6，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长．（2）求四边形OBEC的面积．【分析】（1）根据四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质，得∠DOC＝90°，根据勾股定义即可求得OC的长，（2）根据四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质，得到∠BOC＝90°，OB＝OD＝6，再根据CE∥DB，BE∥AC，利用矩形的判定，得到四边形OBEC为矩形，根据矩形的面积＝长×宽，即可得到答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴∠DOC＝90°，∴OC＝＝＝8，即OC的长为8，（2）∵四边形ABCD为菱形，∴∠BOC＝90°，OB＝OD＝6，又∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为矩形，S四边形OBEC＝OC•OB＝8×6＝48，即四边形OBEC的面积为48．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，正确掌握矩形和菱形的性质与判定定理是解题的关键．29．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH ＝AB•sin45°＝7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠F．∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°．∴∠DAB＝90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°．∴AD＝DE＝8．∴BC＝8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝7．∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°，∴sin∠AEB＝．【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．注意：本题中辅助线的作法，通过构建直角三角形，通过勾股定理求得有关线段的长度，然后通过解直角三角形来求锐角三角函数值．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF＝CD．【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，可证得四边形DECF是平行四边形，又由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，可证得四边形DECF是矩形，根据矩形的对角线相等，即可得EF＝CD．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD．【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．31．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：CE与DF相等且互相平分．【分析】连接DE、EF，根据D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，可得出DE、EF为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC、EF∥AC，再根据∠ACB＝90°即可得出平行四边形CDEF为矩形，此题得证．【解答】证明：连接DE、EF，如图所示．∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，∴DE、EF为△ABC的中位线，∴DE∥BC，EF∥AC，∴四边形CDEF为平行四边形．∵∠ACB＝90°，∴平行四边形CDEF为矩形，∴CE与DF相等且互相平分．【点评】本题考查了矩形的判定与性质以及三角形中位线定理，解题的关键是找出四边形CDEF为矩形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据矩形的判定定理找出四边形为矩形是关键．32．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点．（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；（2）随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【分析】（1）首先根据勾股定理的逆定理判断三角形ABC是直角三角形，然后根据三个角都是直角的四边形是矩形即可得解；（2）CM的长度会改变．连接PC，证得四边形PECF是矩形，得到EF＝PC，求出PC的范围，即可得到得到EF的范围，即可得到CM的范围．【解答】（1）证明：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵AC2+BC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠ACB＝∠CFP＝90°，∴四边形PECF是矩形；（2）解：CM的长度会改变，理由是：连接PC，。

章节测试题1.【题文】如图所示，为矩形的对角线的交点，，．试判断四边形的形状，并说明理由；若，，求四边形的面积．【答案】四边形是菱形，理由见解析；（2）60.【分析】（1）由条件可先证得四边形为平行四边形，结合矩形的性质可得，可证得结论；（2）连接，可证明四边形为平行四边形，可求得的长，结合条件可求得菱形的面积.【解答】四边形是菱形，理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，又∵在矩形中，，∴四边形是菱形；连接，由菱形得，又∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．2.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长.【答案】【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可．【解答】∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA="OC=OB=OD，"∴AC=BD=12，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，由勾股定理得：BC=3.【题文】如图，矩形中，与交于点，，，垂足分别为，．求证：．若，，求矩形的面积．【答案】(1)见解析;(2)．【分析】(1)由矩形ABCD可得OB=OC，再由垂直可得两直角相等，再由“角角边”定理可证的△BEO≌△CFO，根据全等三角形的性质即可得BE=CF.(2)结合四边形ABCD是矩形，∠AOB=60°，△AOB是等边三角形，再根据勾股定理即可求解.【解答】证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴；解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，由勾股定理得：，∴矩形的面积是．4.【题文】如图，在矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点．求证：；四边形是什么样的特殊四边形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形时菱形，理由见解析【分析】（1）连接MN，证明四边形AMNB是矩形，得出∠MNB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；（2）先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由（1）即可得出结论．【解答】证明：连接，如图所示：∵四边形是矩形，∴，，，∵、分别是、的中点，∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形，∴，∵是的中点，∴；四边形是菱形；理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，又∵、分别是、的中点，∴，∴四边形是平行四边形，由得，∴四边形时菱形．5.【题文】已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．【答案】证明见解析.【分析】通过证明△AMD≌△CMN得到对应边AD=CN；结合已知条件“CN∥AB”判定四边形ADCN是平行四边形；再根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【解答】证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN．又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN是矩形6.【题文】如图，在平行四边形外，，，求证：为矩形．【答案】证明见解析【分析】连接AC、BD交于点O，连接EO，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EO=AC=BD，从而得到AC=BD，利用矩形的判定定理判定即可．【解答】连接AC、BD交于点O，连接EO．∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴EO=AC=BD，∴AC=BD．∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．7.【题文】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．【答案】(1)见解析 (2)平行四边形 (3)DF∥AB，DF＝AB【分析】（1）根据三线合一可得∠ADC＝90°，由外角的性质和角平分线的定义得AN∥BC,从而∠DAE＝90°，由CE⊥AN得∠AEC＝90°，从而四边形ADCE为矩形．（2）由四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE，结合已知可得AB＝DE，AE＝BD，从而四边形ABDE是平行四边形；（3）由四边形ADCE为矩形可得F是AC中点，由四边形ABDE是平行四边形可得DF∥AB，从而DF是△ABC的中位线.【解答】解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∴∠ADC＝90°.∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN.∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB,∵∠MAN+∠CAN=∠ABC+∠ACB,∴∠MAN=∠ABC,∴AN∥BC,∴∠DAE＝90°.∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°.∴四边形ADCE为矩形．(2)四边形ABDE是平行四边形．证明：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE.又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)∵四边形ADCE为矩形∴F是AC中点，∵四边形ABDE是平行四边形∴DF∥AB，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，DF＝AB.8.【题文】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【答案】（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．理由见解析.【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△DEO和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF．（2）结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．9.【题文】如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，结合ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形；（2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，∠AEC=90°，由此在Rt△BCE中，可得CE=，这样在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∴四边形BECD是平行四边形．∵AD=BC，AD =DE，∴BC=DE．∴平行四边形BECD是矩形．（2）如下图，连接AC，∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，∴AB=BE=CD=2,BC=AD=4，∠AEC=90°，∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE=，∴在Rt△ACE中，AC=.10.【答题】如图，矩形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，AE=9cm，连接EC，将矩形ABCD沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则BC=______cm.【答案】17【分析】如图，首先证明∠CEB=∠EBC，得到BC=EC=λ，此为解决该题的关键性结论；在直角△CDE中，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题.【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=15，AD=BC（设为λ），∠D=90°，AD∥BC；∴∠AEB=∠EBC；由题意得：∠AEB=∠A′EB，∴∠CEB=∠EBC，∴BC=EC=λ；而DE=λ﹣9，由勾股定理得：λ2 =15 2 +（λ﹣9）2，解得：λ=17（cm）.故答案为17.11.【答题】如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E在BC上，连接AE，AE=5 ，EC=7，∠C=2∠DAE，则BD=______.【答案】13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，∵∠C=2∠DAE，∴∠DAE=45°，∴AB=BE，∵AE=5 ，∴AB=BE=5，∵EC=7，∴AD=BC=12，∴BD= =13.故答案为：13.12.【答题】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为______cm.【答案】3【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长.【解答】解：由题意设CN=x cm，则EN=（8﹣x）cm，又∵CE= DC=4cm，∴在Rt△ECN中，EN 2 =EC 2 +CN 2，即（8﹣x）2 =4 2 +x 2，解得：x=3，即CN=3cm.故答案为：3cm.【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.13.【答题】矩形ABCD对角线相交点O，DE∥AC，CE∥BD，若AD=4，CD=3，则四边形ODEC的面积为______.【答案】6【分析】根据S △ODC = S 矩形ABCD以及四边形OCED的面积=2S △ODC即可解决问题.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，矩形ABCD的面积=4×3=12，∴△OCD的面积= 矩形ABCD的面积=3，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∴四边形ODEC的面积=2△OCD的面积=2×3=6；故答案为：6.14.【答题】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB=50°，则∠BAE的度数是______°.【答案】25【分析】易证∠BAE=∠ADE，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得∠OAB=∠OBA，在Rt△ABD中，已知∠OBA即可求得∠BAE的大小.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE⊥BD，∴∠BAE+∠ABD=90°，∠ADE+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADE，∵矩形对角线相等且互相平分，∴OA=OD，∴∠OAB=∠OBA= =65°，∴∠BAE=∠ADE=90°﹣65°=25°，故答案为：25°.15.【答题】矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为______.【答案】22【分析】根据折叠的性质得到CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，根据勾股定理求出FC，根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解：由折叠的性质可得：CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，则△CFG为直角三角形，在Rt△CFG中，FC 2 =CG 2 +FG 2，即FC 2 =4 2 +（8﹣FC）2，解得：FC=5，∴△CEF的面积= ×FC×BC=10，△BCE的面积=△CGF的面积= ×FG×GC=6，则着色部分的面积为：10+6+6=22，故答案为：22.16.【答题】已知矩形ABCD的一边长为5cm，对角线长为13cm，则它的面积为______cm 2．【答案】60【分析】先运用勾股定理求出另一条边，再运用矩形面积公式求出它的面积．【解答】解∵对角线长为13cm，一边长为5cm∴另一条边长= =12cm∴S 矩形ABCD =12×5=60cm 2故答案为：60．【点评】考查了矩形的性质，本题关键是运用勾股定理求出另一条边．17.【答题】在矩形ABCD中，AB=3cm，对角线AC=5cm，则矩形ABCD的面积是______cm 2．【答案】12【分析】根据矩形性质得出∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，根据矩形面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= =4（cm），∴矩形ABCD的面积是AB×BC=3×4=12（cm 2），故答案为：12．【点评】本题考查了矩形性质和勾股定理，注意：矩形的四个角都是直角．18.【答题】矩形的一边长为6，一条对角线长为10，则这个矩形的周长为______．【答案】28【分析】根据勾股定理求出矩形的另一边长，即可求出矩形的周长．【解答】解：∵矩形的一边长为6，一条对角线长为10，∴矩形的另一边长为=8，∴矩形的周长为：2（6+8）=28；故答案为：28．【点评】本题考查了矩形的性质和勾股定理的运用；运用勾股定理求出矩形的另一边长是解决问题的关键．19.【答题】已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=______．【答案】2【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵对角线AC与BD相交于点O，AO=1，∴AO=CO=BO=DO=1，∴BD=2．故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．20.【答题】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．【答案】15【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．。

第2课时矩形的判定1、下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？4、如图，□ABCD各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：•四边形EFGH 是矩形．5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（ ）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7、在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，且AB ＝CD ，四边形ABCD 是矩形吗？为什么？8、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 为AB 上的两点，且△DAF ≌△CBE. 求证：四边形ABCD 是矩形.9、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线MN ∥BC ，且MN 交∠ACB的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点. 求证：四边形AECF 是矩形.10、如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？D A CF P E B11、【提高题】如图，在△AB C 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，P •为BC 上的任意一点，过P 点分别作PE ⊥AB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？矩形的判定 答案1、【答案】 C2、【答案】 C3、【答案】是矩形，【提示】OE＝OF＝OG＝OH4、【答案】用判定定理“三个角都是直角的四边形是矩形”来证明。

矩形的判定【设计理念】根据新课程标准要求学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。

学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。

结合八年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几面：1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。

2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题。

使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。

4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．【教材分析】1．在教材中的地位与作用生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。

矩形第二课时的一节也是后续几何知识学习的基础。

学生探索得出矩形判定的方法，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。

2．对教材的处理本节课主要是探索矩形判定的条件，应用矩形的判定定理解决相关问题。

利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。

转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展。

在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深, 由易到难的练习题。

教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。

3．教学目标知识与技能：通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。

通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。

过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。

情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

4.教学重点与难点重点：探索矩形判定定理的过程及应用难点：矩形判定定理的应用【教学方法与教学手段】1．教学方法探究发现、合作学习的方法2．教学手段采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率。

矩形的判定各位老师大家好：今天我说课的内容是冀教版义务教育新课程标准八年级数学下册第22章第4节中的《矩形的判定》.下面我从六个方面对本课的设计进行说明。

（幻灯片）一、设计理念二、教材分析与处理三、教学方法与教学手段四、教学程序五、课堂教学评价六、补充说明一、设计理念：（幻灯片）现阶段的课程标准要求学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。

学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。

结合我校学生的实际情况，本节课教学过程的设计充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。

根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题二、教材分析与处理1. 教材的地位和作用; （幻灯片）矩形的判定定理是学生在已经掌握了平行四边形，矩形的有关性质的基础上进行学习的，是几何中最重要的定理之一，在实际生活中用途很大。

它不仅是本章的重点，也是以后学习正方形和圆等知识的基础，通过观察试验，归纳证明，培养学生的推理能力和演绎能力，为后面的学习奠定基础。

教材注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、动力手操作等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解矩形的判定定理，以利于正确的进行运用。

根据教学大纲对本节内容的要求及本课内容的特点，运用新课程理念,结合学生实际情况，我把本节课的教学目标确定为：（幻灯片）2. 教学目标:(1)知识技能：会根据矩形的定义和判定定理判定一个四边形是矩形，并能进行有关论证和计算。

（2）数学思考：经历探究矩形判定条件的过程，通过观察—猜想—证明—归纳—总结，发展学生的合情推理能力，培养主动探究的习惯。

（3）解决问题：探索并掌握矩形的判定方法。

利用矩形的判定解决问题。

（4）情感态度和价值观“让学生在探索过程中加深对矩形的理解，激发他们的求知欲望。

进一步体会矩形的结构美和应用美。

3.本节课的重点、难点是：（1）重点：探索矩形判定定理的过程及应用（2）难点：合理应用矩形的判定定理解决问题。

矩形1.如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 的中点四边形，如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为( A )A ．20B ．40C ．36D ．10解析：由中位线性质定理可知A 1D 1綊12BD ，B 1C 1綊12BD ，∴A 1D 1綊B 1C 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形． 又∵AC ⊥BD ，∴▱A 1B 1C 1D 1为矩形． 又由题意知C 1D 1＝12AC ，∴S 矩形A 1B 1C 1D 1＝A 1D 1·C 1D 1＝BD 2·AC2＝20.故选A.2．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE ＝13∠CDE ，那么∠BDC 等于( D )A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°解析：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝90°，OA ＝OD ， ∴∠ADB ＝∠DAC ，∵DE ⊥AC ，∠ADE ＝13∠CDE ，∴∠ADE ＝22.5°，∠CDE ＝67.5°，∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠CDE＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠CDE，∴∠ADB＝∠DAC＝∠CDE＝67.5°，∴∠BDC＝90°－67.5°＝22.5°，故选D.3．如图，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC.能说明▱ABCD是矩形的有①④(填写序号)．解析：①AC＝BD，由对角线相等的平行四边形是矩形可得；④AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，由定义可知．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD.连接AE，BE.求证：四边形AEBD是矩形．证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵点O为AB的中点，OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．5．如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE.题图答图证明：如图所示，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCF ＝∠D ，∠BFC ＝∠CED ＝90°，BC ＝CD ，∴△BCF ≌△CDE (AAS)，∴BF ＝CE . ∵∠A ＝90°，CE ⊥AD ，BF ⊥CE ，∴四边形AEFB 是矩形，∴AE ＝BF ，∴AE ＝CE .6．如图，在△ABC 中，O 是边AC 上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：OE ＝OF ；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ (1)证明：∵MN ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠BCE ＝∠ACE ＝∠OEC ，∠OCF ＝∠FCD ＝∠OFC ， ∴OE ＝OC ，OC ＝OF ，∴OE ＝OF .(2)解：如图，当O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形， ∵AO ＝CO ，OE ＝OF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠BCE ＝∠ACE ，∠OCF ＝∠FCD ， ∴∠ECA ＋∠ACF ＝12∠BCD ，∴∠ECF ＝90°.∴平行四边形AECF 是矩形．期末复习测试(十四)(第16、17、20章)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共30分) 1．若分式x －32x ＋3的值为0，则x 的值为DA ．－3B ．－2C ．2D ．32．(2018·扬州)已知点A(x 1，3)、B(x 2，6)都在反比例函数y ＝－3x 的图象上，则下列关系式一定正确的是AA ．x 1＜x 2＜0B ．x 1＜0＜x 2C ．x 2＜x 1＜0D ．x 2＜0＜x 13．(2018·德阳)受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七(2)班近期准备组织一次朗诵活动．语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示：则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是B A ．2小时，1小时 B ．1小时，1.5小时 C ．1小时，2小时 D ．1小时，1小时4．若一次函数y ＝(m －2)x ＋m －1的图象如图所示，则m 的取值范围是B A ．m ＜2 B ．1＜m ＜2 C ．m ＜1 D ．m ＞2,第4题图) ,第6题图)5．(2018·怀化)一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行100 km 所用时间与以最大航速逆流航行80 km 所用时间相等，设江水的流速为v km/h ，则可列方程为CA.100v ＋30＝80v －30B.10030－v ＝8030＋v C.10030＋v ＝8030－v D.100v －30＝80v ＋306．(2018·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)、y ＝kx (x ＜0)的图象于B 、C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 的值为AA ．－1B ．1C ．－12 D.12二、填空题(每小题5分，共25分)7．若点A(m ，n)和点B(5，－7)关于x 轴对称，则m ＋n 的值为12. 8．若x 2＋2x －5＝0，则x ＋22x 2－4x ÷(x－2－8x 2－x )的值为110.9．若关于x 的分式方程2x －1＝ax －1x （x －1）－2有增根，则a ＝3.10．如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为16.11．(2018·绍兴)过双曲线y ＝kx (k ＞0)上的动点A 作AB⊥x 轴于点B ，P 是直线AB 上的点，且满足AP ＝2AB ，过点P 作x 轴的平行线交此双曲线于点C.如果△APC 的面积为8，则k 的值是12或4.三、解答题(共45分)12．(8分)(2018·广安)先化简，再求值：a a ＋1÷(a－1－2a －1a ＋1)，并从－1，0，1，2四个数中选一个合适的数代入求值．解：原式＝a a ＋1÷(a 2－1a ＋1－2a －1a ＋1)＝a a ＋1÷a 2－2a a ＋1＝a a ＋1·a ＋1a （a －2）＝1a －2，∵a ≠－1，且a≠0，a ≠2，∴a ＝1，∴原式＝11－2＝－1.13．(12分)(2018·连云港)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x的图象交于A(4，－2)、B(－2，n)两点，与x 轴交于点C.(1)求k 2、n 的值；(2)请直接写出不等式k 1x ＋b ＜k 2x的解集；(3)将x 轴下方的图象沿x 轴翻折，点A 落在点A′处，连结A′B、A′C，求△A′BC 的面积．解：(1)将A(4，－2)代入y ＝k 2x，得k 2＝－8，∴y ＝－8x .将(－2，n)代入y ＝－8x，得n ＝4.∴k 2＝－8，n ＝4.(2)－2＜x ＜0或x ＞4.(3)将A(4，－2)、B(－2，4)代入y ＝k 1x ＋b ，易得k 1＝－1，b ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋2，易得其与x 轴交于点C(2，0)．又∵图象沿x 轴翻折后点A 落在点A′处，∴A′(4，2)，∴S △A ′BC ＝(4＋2)×4×12－12×4×2＝8.14．(12分)八年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题．(1)分别求一班和二班选手进球的平均数、众数、中位数；(2)如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得团体总进球第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？解：(1)一班选手进球的平均数、众数、中位数分别为7个，7个，7个；二班选手进球的平均数、众数、中位数分别为7个，7个，7个．(2)∵一班的方差s 21＝2.6，二班的方差s 22＝1.4，∴二班选手发挥更稳定，争取夺得团体总进球第一名应该选择二班；∵一班前三名选手的成绩更突出，∴争取个人进球数进入学校前三名应该选择一班．15．(13分)(2018·梧州)我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A 、B 两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B 型电动自行车比每辆A 型电动自行车多500元．用5万元购进的A 型电动自行车与用6万元购进的B 型电动自行车数量一样．(1)求A 、B 两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A 型电动自行车每辆售价为2 800元，B 型电动自行车每辆售价为3 500元，设该商店计划购进A 型电动自行车m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y 元．该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？解：(1)设A 、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元、(x ＋500)元，由题意，得50 000x ＝60 000x ＋500，解得x ＝2 500.经检验，x ＝2 500是所列分式方程的解，∴A 、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为2 500元、3 000元．(2)由题意，得y ＝300m ＋500(30－m)＝－200m ＋15 000，由题意，得 2 500m ＋3 000·(30－m)≤80 000，解得m≥20.∴当m ＝20时，y 有最大值，最大值为11 000.故购进A 型电动自行车20辆，B 型电动自行车10辆时，该商店才能获得最大利润，此时最大利润是11 000元．18.1 平行四边形的性质课题18.1平行四边形的性质（3课时）备课人授课时间年月日周星期教学目标1．认识平行四边形是中心对称图形。