平行线练习题

平行线及其判定1、基础知识(1）在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b 平行，则记作______．（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．(3）平行公理是：.（4)平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则______．(5）两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：①两条直线被第三条直线所截，如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为：______，两直线平行．②两条直线被第三条直线所截，如果__ _，那么，这个判定方法2可简述为： ______，______．③两条直线被第三条直线所截，如果_ _____那么______，这个判定方法3可简述为：2、已知：如图,请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么_____.(_______，_______)(2)如果∠2＝∠5，那么________。

(______，________）（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么_____。

（________，______）(4）如果∠5＝∠3，那么_______。

（_______，________）(5）如果∠4＋∠6＝180°，那么______.(_______,_____）(6）如果∠6＝∠3，那么________。

(________，_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．（1)∵∠B＝∠3（已知),∴______∥______。

（______，______)（2)∵∠1＝∠D(已知），∴______∥______.（______，______）（3)∵∠2＝∠A（已知)，∴______∥______.（______，______）(4）∵∠B＋∠BCE＝180°(已知),∴______∥______。

平行线的判定练习题(有答案)平行线的判定专项练习60题（有答案)1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．平行线的判定--- 第 1 页共 1 页7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．平行线的判定---第 2 页共 2 页13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？平行线的判定---第 3 页共 3 页19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．平行线的判定---第 4 页共 4 页26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．平行线的判定---第 5 页共 5 页平行线测姓名：一、选择题1．下列命题中，不正确的是____ [ ]A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ]（2题）（5题）（3题）(7题) （8题）A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180°D．∠ACB=∠BAD3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2(2)∠3=∠6(3)∠4+∠7=180° (4)∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是_________[ ]A．(1)(3) B．(2)(4)C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ]A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ]A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°8．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°二、填空题 9．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，．(2)∠A=∠3，．(3)∠ABC+∠C=180°．10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．11．同垂直于一条直线的两条直线_______．同一平面内，不重合的两直线的位置关系是。

平行线判定大题1. 什么是平行线？平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。

如果两条直线在平面上没有任何交点，那么它们就是平行线。

2. 平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，下面介绍常用的几种方法：2.1 利用角度关系判定如果两条直线的斜率相等，并且它们不重合，则这两条直线是平行的。

步骤：1.计算两条直线的斜率。

2.如果斜率相等，则这两条直线是平行的；否则，它们不是平行的。

2.2 利用向量关系判定如果两条直线上的向量方向相同，则这两条直线是平行的。

步骤：1.将两条直线表示为一般式方程。

2.提取出方程中的系数作为向量。

3.如果两个向量方向相同或反向，则这两条直线是平行的；否则，它们不是平行的。

2.3 利用距离关系判定如果一条直线与另一条直线上任意一点之间的距离都相等，则这两条直线是平行的。

步骤：1.计算两条直线上任意一点到另一条直线的距离。

2.如果距离相等，则这两条直线是平行的；否则，它们不是平行的。

3. 平行线判定大题练习下面是30道平行线判定大题，供你练习和巩固所学知识。

1.判断直线y = 2x + 3和y = -3x + 5是否平行。

2.判断直线3x - 4y = 6和6x - 8y = 12是否平行。

3.判断直线2x + y - 3 = 0和4x + 2y - 6 = 0是否平行。

4.判断直线2x - y + 1 = 0和4x - 2y + 2 = 0是否平行。

5.判断直线y = x + 1和y = x - 1是否平行。

6.判断直线2x + y + 5 = 0和4x + y + k = 0是否平行，k为常数。

7.判断直线3x - ky - k^2 = k和6x - ky - k^2 = k是否平行，k为常数。

8.判断过点A(1,2)且斜率为-3的直线和过点B(5,8)且斜率为-3的直线是否平行。

9.判断过点A(2,3)且斜率为2的直线和过点B(4,7)且斜率为-0.5的直线是否平行。

平行线的判定专项练习题有答案Last revised by LE LE in 20211．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗为什么14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行为什么19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗为什么22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF 平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．32．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．33．如图，D E⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．34．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP．35．如图，已知DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1=∠2．求证（1）DF∥AC；（2）DE∥AF．36．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1=∠2，试说明DE与AB的位置关系．37．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠A，∠BDC的平分线交BC于点E．求证：DE∥AC．38．如图，AB与CD相交于点O，并且∠A=∠1，试问∠2与∠B满足什么关系时，AC∥BD说明理由．39．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗如果平行，请说明理由．40．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠4=180°，求证：AB∥CD．41．如图所示，已知：∠1=∠2，∠E=∠F．试说明AB∥CD．42．如图，已知EF⊥CD于F，∠GEF=25°，∠1=65°，则AB与CD平行吗请说明理由．43．如图，已知∠1=∠2=90°，∠3=30°，∠4=60°，图中有几对平行线说说你的理由．44．直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB 和CD平行吗为什么45．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．46．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，∠2=∠E，试说明AD∥CE．47．直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN 平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN．48．如图所示，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC 和∠BCD，请你说出BE与CF的位置关系，并说出你的理由．49．如图，若∠1=∠2，请判断DB与EC的位置关系，并说明理由．50．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC 上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗为什么（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗为什么51．如图，已知：HG平分∠AHM，MN平分∠DMH，且∠AHM=∠DMH．问：GH与MN有怎样的位置关系，请说明理由．（请注明每一步的理由）52．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．53．如图，直线AB，CD被EF所截，∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥FG．求证：AB∥CD．54．已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1=130°，∠A=50°，求证：AB∥CD．55．如图，已知∠1=∠2，∠DAB=∠DCA，且DE⊥AC，BF⊥AC，问：（1）AD∥BC吗（2）AB∥CD吗为什么56．如图，四边形ABCD，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则AD与BC一定平行吗AB与CD呢若平行请说明理由，反之则不用说明理由．57．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．58．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．59．已知：如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：AB∥CE．60．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行。

[ 一 ] 、平行线的性质一、填空1．如图 1，已知∠ 1 = 100 °， AB ∥CD ，则∠ 2 =，∠3 =，∠4 =．2．如图 2，直线 AB 、 CD 被 EF 所截，若∠ 1 = ∠2，则∠ AEF +∠CFE =．2C1E 5 FE 1AAE E B4B4AD13232CD1 2CFDFBDABC图 1图 2图 3图 43．如图 3 所示（ 1）若 EF ∥AC ，则∠ A +∠= 180°，∠ F + ∠= 180°（）．（2）若∠ 2 =∠ ，则 AE ∥BF ．（ 3）若∠ A +∠= 180 °，则 AE ∥BF ．4．如图 4，AB ∥CD ，∠ 2 = 2 ∠1，则∠ 2 =．5．如图 5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于 G ，∠ 1 = 50 °，则∠ E =．EE Al 1DCAHBABD 2EFFGBC1 F DC D1l 21C ABG图 5图 6图 7图6．如图 6，直线 l 1∥l，AB ⊥l 于 O ， BC 与 l 2 交于 E ，∠1 = 43 °，则∠ 2 =．217．如图 7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠ CAB 互余的角有 ． 8．如图 8，AB ∥EF ∥C D ，EG ∥BD ，则图中与∠1 相等的角（不包含∠ 1）共有个．二、解答以下各题9．已知：如图， BC ∥DE ． BE 均分 ∠ABC ，．求证： ∠1=∠210、如图：已知，AB ∥ ON ∠BOA= ∠BAO ，求证： OP 均分∠MON 。

11、已知，如图 B 、D 、A 在向来线上， DE ∥BC， BC 是∠ABE 的均分线，求证：∠D= ∠E．12、如图，已知AB ∥CD，试说明：．∠AEC= ∠A+ ∠C． 13、如图，已知，DB ∥EC． AC∥ DF ，那么∠C=∠D 吗？试说明你的原因．14．如图， DE∥BC，∠ D∶∠ DBC = 2∶1，∠ 1 = ∠2，求∠ DEB的度数．D E21B C图 1011．如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠ 1 = ∠2建立．（要求给出两个以上答案，并选择此中一个加以证明）A 1 BEF2C D图 11]12．如图 12，∠ ABD和∠ BDC的均分线交于E，BE交 CD于点 F，∠ 1 + ∠2 = 90 °．求证：（ 1）AB∥CD；（2）∠ 2 +∠3 = 90°．BA123C F D[ 二 ] 、平行线的判断一、填空1．如图１，若若+D21A B图１A= 3，则∥；= 180 °，则∥．E 15a23 4 31bC图２若2= E，则∥；c dAa2514 23 b B 3 C图３图４2．若 a⊥c，b⊥c，则 a b ．3．如图２，写出一个能判断直线l ∥l的条件：1 24．在四边形 ABCD中，∠ A +∠B = 180 °，则5．如图３，若∠ 1 + ∠2 = 180 °，则∥。

平行线模型练习题1．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，∠1＝80°，则∠2的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：如图，过点A作AD∥l1，∵l1∥l2，∴AD∥l2，∴∠FNA+∠NAD＝180°，∵AD∥l1，∴∠EMA+∠MAD＝180°，∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，即∠2＝130°，故选：C．2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE ＝40°，那么∠BAF的大小为（）A．25°B．20°C．15°D．10°【答案】D【解答】解：由题意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．∵∠CDE＝40°，∴∠CED＝50°．∵DE∥AF，∴∠F AE＝∠CED＝50°．∴∠BAF＝∠CAB﹣F AE＝60°﹣50°＝10°．故选：D．3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（）A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，∴α+β﹣γ＝90°．故选：C．4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（）A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°【答案】B【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：B．5．如图，AB与HN交于点E，点在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④C．①②④D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．6．如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（）A．55°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故选：B．7．为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是30°．【答案】30°【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30°．8．如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN ＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度数为60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，设∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值为2．9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【解答】解：（1）55°如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠F AE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠F AE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠F AE+∠FCE），∴∠F AE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．10．问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC的数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．11．已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为45°．【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABE+∠CBE＝90°．∴∠A+180°﹣∠C＝90°．∴∠C﹣∠A＝90°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．12．已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是（直接写答案）．【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：过点M作MK∥CD，则∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GF是∠BGM的平分线，∴∠FGM＝∠BGM＝（180°−∠AGM）＝90°−α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝∠N+∠FGN．。

平行线的练习题一、选择题1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 如果直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a与直线c的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 相交D. 不确定3. 根据平行线的性质，下列说法错误的是：A. 平行线之间的距离处处相等B. 平行线永远不会相交C. 平行线可以是曲线D. 平行线具有相同的斜率二、填空题4. 如果直线l1与直线l2平行，那么它们的斜率k1和k2的关系是______。

5. 在平面直角坐标系中，若直线l1的方程为y=2x+3，直线l2的方程为y=2x+b，那么直线l1与直线l2的关系是______。

6. 两条平行线之间的距离是指它们之间的最短距离，这个距离是______。

三、判断题7. 平行线之间的夹角总是90度。

（）8. 在平面几何中，两条平行线可以确定一个平面。

（）9. 如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线一定是平行的。

（）四、简答题10. 请简述平行线的性质有哪些。

11. 请解释为什么在平面直角坐标系中，两条直线的斜率相等是它们平行的必要条件。

五、计算题12. 在平面直角坐标系中，已知直线l1的方程为y=3x-1，直线l2的方程为y=3x+c。

求直线l1与直线l2平行时，c的值。

13. 若直线l1与直线l2平行，且直线l1经过点A(2,5)和点B(4,11)，求直线l2的方程，它经过点C(-1,2)。

六、证明题14. 已知三角形ABC中，AB平行于CD，证明AC与BD的交点E是三角形ABC的中心。

15. 已知直线l1和直线l2平行，且直线l1与x轴交于点P，直线l2与x轴交于点Q，证明PQ的长度等于l1和l2之间的距离。

七、应用题16. 一个长方形的长是10米，宽是5米，求这个长方形的对角线的长度。

17. 在一个平面直角坐标系中，有两条平行线l1和l2，它们之间的距离是4厘米。

如果直线l1的方程是y=2x+6，求直线l2的方程，它与直线l1的距离保持不变。

平行线练习题及答案平行线练习题及答案在数学中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。

平行线在几何学和代数学中有着重要的应用，因此对于学生来说，掌握平行线的性质和判断方法是至关重要的。

本文将为大家提供一些平行线的练习题及答案，帮助大家加深对平行线的理解和运用。

练习题一：判断下列直线是否平行。

1. 直线AB：y = 2x + 3直线CD：y = 2x - 12. 直线EF：2x - 3y = 6直线GH：4x - 6y = 123. 直线IJ：3x + 4y = 8直线KL：6x + 8y = 16答案一：1. 直线AB和直线CD的斜率都为2，且截距不相等，因此直线AB和直线CD不平行。

2. 直线EF和直线GH的斜率都为2，且截距相等，因此直线EF和直线GH平行。

3. 直线IJ和直线KL的斜率都为2，且截距相等，因此直线IJ和直线KL平行。

练习题二：已知直线AB和直线CD平行，点E、F、G分别位于直线AB上，且AE = EF = FG。

若AE = 4，求FG的值。

答案二：由于直线AB和直线CD平行，因此直线AB和直线CD的斜率相等。

设直线AB的斜率为k，点E的坐标为(x1, y1)，点F的坐标为(x2, y2)，点G的坐标为(x3, y3)。

根据题意可得：y1 = kx1y2 = kx2y3 = kx3又因为AE = EF = FG，所以有：EF = FGy2 - y1 = y3 - y2kx2 - kx1 = kx3 - kx22kx2 = k(x1 + x3)x2 = (x1 + x3) / 2由于AE = 4，可得：y1 = kx1 = 4将x2 = (x1 + x3) / 2和y1 = 4代入直线AB的方程中，可得：4 = k(x1 + x3) / 28 = k(x1 + x3)8 = 4kx2x2 = 2将x2 = 2代入直线AB的方程中，可得：y2 = kx2 = 2k由于EF = FG，可得：y2 - y1 = y3 - y22k - 4 = y3 - 2k4k = y3 + 4y3 = 4k - 4将y3 = 4k - 4代入直线AB的方程中，可得：y3 = kx3 = 4k - 4综上所述，当AE = 4时，FG的值为4k - 4。

平行线的性质专项练习60题（有答案）1．如图，AB∥CD，证明：∠A=∠C+∠P．2．如图，已知AB∥ED，∠1=35°，∠2=80°，求∠ACD的度数．3．已知：如图所示，直线AD∥BC，AD平分∠CAE，求证：∠B=∠C．4．已知∠E=∠F，AD∥EF，问：AD是∠BAC平分线吗？为什么？5．如图所示，AB∥CD，∠3：∠2=3：2，求∠1的度数．6．如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，求证：EG⊥FG．7．如图所示，AB∥DF，DE∥BC，∠1=65°，求∠2，∠3的度数，并说明理由．8．已知AB∥CD，FE⊥AB交AB于G点，∠GEH=138°，求∠EHD的度数．9．如图，AD∥BC，∠B=25°，∠C=30°，求∠EAC的度数．10．如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，求∠BCD度数．11．如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，说明AE⊥CE．12．如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=55°，∠CEF=150°，求∠BCE的度数．13．如图，DE∥BC，∠D：∠DBC=2：1，∠1=∠2，求∠DEB的度数．14．已知：如图AB∥CD，EF⊥AB于E，FH交CD于H，∠CHG=130度．求∠EFH度数．15．已知：如图，AC∥BD，∠A=∠D，求证：∠E=∠F．16．已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF=90°．17．如图，已知AB⊥AC，垂足为A，AD∥BC，且∠1=30°，试求∠2与∠B的度数．18．如图所示，AB∥CD，若∠B=45°，∠D=20°，求∠1的度数．19．如图，△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长=10，求BC的长．20．如图，若AB∥CD，∠C=60°，求∠A+∠E的度数．21．如图所示，已知AB∥CD，BC∥DE，若∠B=55°，求∠D的度数．22．如图所示，已知∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF经过点O且平行于BC，求∠BOC的度数．23．已知：如图所示，AB∥CD，∠B=120°，CA平分∠BCD．求证：∠1=30°．24．如图，AB∥CD，∠A=40°，∠C=65°，求∠E的度数．25．如图所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．26．如图，点A在直线MN上，且MN∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．27．已知：如图，OP平分∠AOB，MN∥OB．求证：∠1=∠3．28．如图所示，AB∥CD，∠1=55°，∠D=∠C，求出∠D，∠C，∠B的度数．29．已知，如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠A=120°，且BD⊥CD，求∠C的度数．30．如图，已知直线AB∥CD，直线m与AB、CD相交于点E、F，EG平分∠FEB，∠EFG=50°，求∠FEG的度数．31．如图，已知CD∥AB，OE平分∠BOD，∠D=52°，求∠BOE的度数．32．如图所示，直线l1∥l2，∠A=90°，∠ABF=25°，求∠ACE的度数．33．如图，AB∥CD，∠1=45°，∠D=∠C，求∠D、∠C、∠B的度数．34．如图，CD∥AB，CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E的度数．35．如图：a∥b，∠1=122°，∠3=50°，求∠2和∠4的度数．36．如图，已知AB∥CD，∠1=50°，BD平分∠ADC，求∠A的度数．37．已知，如图所示，DE∥BC，BE平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∠AED=72°，求∠CEB的度数．38．如图，若AB∥EF，∠C=90°，求x+y﹣z度数．39．如图，已知AB∥DE，∠B=70°，CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为C，求∠NCE的度数．40．如图，DE∥AB，∠1=∠2，那么∠A=∠3吗？说明理由．41．如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．42．已知：如图AB∥CD，∠1=∠A，∠2=∠C，B、E、D在一条直线上．求∠AEC的度数．43．已知：如图，直线l1∥l2，AB⊥l1垂足为O，BC与l2相交于点D，∠1=43°，求∠2的度数．44．如图，直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G，求∠CGD的度数．45．如图所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．46．如图AE∥BD，∠CBD=57°，∠AEF=125°，求∠C的度数，并说明理由．47．已知：如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，CE是∠DCB的角平分线，且CE∥AB．求证：∠A=∠B．48．如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于F，∠1+∠2=90°，试问：直线AB、CD在位置上有什么关系？∠2与∠3在数量上有什么关系？49．如图，已知直线AB∥CD，直线GH分别与直线AB、CD交于点E、G，直线CF交直线GH于点F，已知∠CFG=30°，∠HEB=50°，求∠FCG的度数．50．如图，AB∥CD，BC∥ED，求：∠B+∠D的度数．51．如图，已知AB∥CD，∠B=∠DCE，求证：CD平分∠BCE．52．如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．53．如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明AE=BE．54．如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，求∠BED的度数．55．如图，CD⊥AB，DE∥AC，EF⊥AB，EF平分∠BED，求证：CD平分∠ACB．56．如图，△ABC中，EB平分∠ABC，EC平分△ABC的外角∠ACG，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，求证：DB﹣CF=DF．57．已知：如图所示，AB∥CD，EF平分∠GFD，GF交AB于M，∠GMA=52°，求∠BEF的度数．58．如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．59．如图，已知DE∥AB，DF∥AC，∠EDF=85°，∠BDF=63°．（1）∠A的度数；（2）∠A+∠B+∠C的度数．60．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠EFD=56°，求∠EGD的度数．11 / 17第11页共17 页平行线的性质60题参考答案：1．∵AB∥CD，∴∠A=∠PED，（两直线平行，同位角相等）又∠PED为△PCE的外角，∴∠P+∠C=∠PED，∴∠P+∠C=∠A．2．解法一：过C点作CF∥AB，则∠1=∠ACF=35°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥ED，CF∥AB（已知），∴CF∥ED（平行于同一直线的两直线平行）∴∠FCD=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°（两直线平行，同旁内角内角互补）∴∠ACD=∠ACF+∠FCD=35°+100°=135°；解法二：延长DC交AB于F∵AB∥ED（已知），∴∠BFC=∠2=80°（两直线平行，内错角相等），∵∠ACF=∠BFC﹣∠1=80°﹣35°=45°（三角形一个外角等于它不相邻的两个内角的和）∴∠ACD=180°﹣∠ACF=180°﹣45°=135°（1平角=180°）．解法三：延长AC、ED交于F∵AB∥ED，∴∠DFC=∠1=35°∵∠CDF=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°∴∠ACD=∠CDF+∠DFC=100°+35°=135°．3．∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD，∠B=∠DAE，又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，即∠C=∠B．4．∵AD∥EF（已知）∴∠BAD=∠E（两直线平行，同位角相等）∠DAC=∠F（两直线平行，内错角相等）∵∠E=∠F（已知）∴∠BAD=∠DAC（等量代换）∴AD是∠BAC的平分线．5．设∠3=3x，∠2=2x，由∠3+∠2=180°，可得3x+2x=180°，∴x=36°，∴∠2=2x=72°；∵AB∥CD，∴∠1=∠2=72°6．∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠1=∠BEF，∠2=∠EFD，∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD）=×180°=90°，在△EFG中，∠G=180°﹣∠1﹣∠2=90°，∴EG⊥FG．7．∵DE∥BC，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=65°，∴∠2=115°；∵AB∥DF，∴∠3=∠2=115°．8．如图，过点E作EP∥AB，而AB∥CD，则EP∥CD，∴∠FEP=∠FGB，∵EF⊥AB，∴∠FGB=90°，∵∠GEH=138°，∴∠PEH=138°﹣90°=48°∵EP∥CD，∴∠EHD=180°﹣∠PEH=132°9．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=25°，∠DAC=∠C=30°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=25°+30°=55°．10．∵AB∥CD，∴∠ACD=180°﹣65°=115°，∵AC⊥BC，∴∠BCD=115°﹣90°=25°．11．过点E作EF∥AB，∴∠AEF=∠BAE=45°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠DCE=45°，∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°，∴AE⊥CE．12．∵AB∥CD，∠ABC=55°，∴∠BCD=∠ABC=55°，∵EF∥CD，∴∠ECD+∠CEF=180°，∵∠CEF=150°，∴∠ECD=180°﹣∠CEF=180°﹣150°=30°，∴∠BCE=∠BCD﹣∠ECD=55°﹣30°=25°，∴∠BCE的度数为25°．13．设∠1为x，∵∠1=∠2，∴∠2=x，∴∠DBC=∠1+∠2=2x，∵∠D：∠DBC=2：1，∴∠D=2×2x=4x，∵DE∥BC，∴∠D+∠DBC=180°，即2x+4x=180°，解得x=30°，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠1=30°．14．∵EF⊥AB于E，MN∥AB∴EF⊥MN即∠EFM=90°．∵MN∥CD∴∠NFH=∠GHD=180°﹣130°=50°∴∠EFH=∠EFM+∠NFH=90°+50°=140°．15．∵AC∥BD，∴∠1=∠2．又∵∠A=∠D，∠A+∠1+∠E=180°，∠D+∠2+∠F=180°，∴∠E=∠F．16．∵HG∥AB（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），又∵HG∥CD（已知），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵EG平分∠BEF（已知），∴∠1=∠BEF（角平分线的定义），又∵FG平分∠EFD（已知），∴∠2=∠EFD（角平分线的定义），∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD），∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=90°（等量代换）即∠EGF=90°17．∵AD∥BC，∴∠2=∠1=30°，∵AB⊥AC，∴∠B=90°﹣∠2=60°．18．过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠BEF=45°，∠DEF=∠D=20°，∴∠1=∠BEF+∠DEF=45°+20°=65°．19．∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∵OE∥AB，OF∥AC，13 / 17第13页共17 页∴∠1=∠3，∠4=∠6，∴BE=OE，OF=FC，∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF，∵△OEF的周长=10，∴BC=10．20．∵AB∥CD，∠C=60°，∴∠EFB=∠C=60°；∵∠EFB=∠A+∠E，∴∠A+∠E=60°．21．∵AB∥CD，∴∠C=∠B．∵∠B=55°，∴∠C=55°．∵BC∥DE，∴∠C+∠D=180°，即∠D=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°．22．∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×60°=30°．∴∠EOB=25°，∠FOC=30°．又∵∠EOB+∠BOC+∠FOC=180°，∴∠BOC=180°﹣∠EOB﹣∠FOC=180°﹣25°﹣30°=125°23．∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=120°，∴∠BCD=60°；又∵CA平分∠BCD，∴∠2=30°，∵AB∥CD，∴∠1=∠2=30°24．∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C=65°，∵∠EFB=∠A+∠E，∴∠E=∠EFB﹣∠A=65°﹣40°=25°．25．∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∴∠DCB=∠ACD=20°，又DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB=20°，在△BCD中，∵∠B=70°，∴∠BDC=90°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为20°、90°26．∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC，∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°27．∵OP平分∠AOB，（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵MN∥OB（已知）∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠1=∠3（等量代换）．28．∵AB∥CD，∴∠D=∠1=55°，∵∠C=∠D，∴∠C=55°；∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°．29．∵AD∥BC，∴∠ABC=180°﹣∠A=60°，∠ADB=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB=∠2=30°，∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∠C=180°﹣（30°+90°）=60°，故∠C的度数为60°．30．∵AB∥CD（已知）∴∠EFG+∠FEB=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EFG=50°（已知）∴∠FEB=130°（等式的性质）∵EG平分∠FEB（已知）∴∠FEG=∠FEB=65°（角平分线的定义）．31．∵CD∥AB，∴∠BOD=∠D=52°；∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=26°32．如答图所示，∵L1∥L2，∴∠ECB+∠CBF=180°．∴∠ECA+∠ACB+∠CBA+∠ABF=180°．∵∠A=90°，∴∠ACB+∠CBA=90°．又∠ABF=25°，∴∠ECA=180°﹣90°﹣25°=65°33．∠D=∠C=45°，∠B=135°．理由：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=45°（两直线平行，同位角相等）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠D=∠C=45°，∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣45°=135°．34．∵CD∥AB，∴∠A+∠ACD=180°，又∵CD∥EF，∴∠E=∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=75°﹣51°=24°．35．∵a∥b，∠1=122°，∴∠2=∠5=180°﹣∠1=180°﹣122°=58°；∵a∥b，∠3=50°，∴∠3=∠6=50°；又∵∠6=∠4，∴∠4=50°．36．∵BD平分∠ADC，∴∠CDB=∠1=50°，∠ADC=100°，又AB∥CD，∴∠ADC+∠A=180°，∴∠A=80°．37．∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=72°，∵BE平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EBC=∠ABC=×72°=36°，在△BEC中，∠CEB=180°﹣72°﹣36°=72°38．如图，过点C、D分别作CM、DN平行于AB、EF，则x=∠5，4=∠3，1=∠z，又∠1+∠3=y，∠4+5=90°，即x+∠4=90°，又∠4=∠3=y﹣∠1=y﹣z，∴x+y﹣z=90°39．∵AB∥DE，∠B=70°，∴∠DCB=180°﹣∠B=180°﹣70°=110°，∠BCE=∠B=70°，∵CM平分∠DCB，∴∠BCM=∠DCB=×110°=55°，∵CM⊥CN，垂足为C，∴∠BCN=90°﹣∠BCM=90°﹣55°=35°，∴∠NCE=∠BCE﹣∠BCN=70°﹣35°=35°．40．∠A=∠3．理由如下：∵DE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠A=∠341．∵DB∥FG∥EC，∴∠BAG=∠ABD=84°，∠GAC=∠ACE=60°；∴∠BAC=∠BAG+∠GAC=144°，∵AP是∠BAC的平分线，∴∠PAC=∠BAC=72°，∴∠PAG=∠PAC﹣∠GAC=72°﹣60°=12°42．过E作EF平行于AB，则EF∥CD，∵AB∥EF，∴∠A=∠AEF=∠1，∵CD∥EF，∴∠C=∠FEC=∠2，∵∠BED=180°，∴∠1+∠AEF+∠FEC+∠2=180°，即∠AEF+∠CEF=°=90°．43．解法一：延长AB交l2于点E．∵AB⊥l1，l1∥l2，∴AB⊥l2．∵∠2是△BED的外角，∴∠2=90°+∠1=90°+43°=133°．解法二：过点B作BF∥l1，利用平行线的性质求出∠2的度数．∵l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠ABF=180°﹣90°=90°，∠FBC=∠1=43°，∴∠2=∠ABF+∠FBC=90°+43°=133°．15 / 17第15页共17 页44．∵AB∥MN（已知）∴∠BCD+∠CDN=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵CG、DG是角平分线∴∠1=∠BCD，∠2=∠CDN（角平分线定义）∴∠1+∠2=90°∵∠1+∠2+∠CGD=180°（三角形内角和等于180°）∴∠CGD=90°45．由题意得：∠BEC=80°，∠BED=100°，∠BEF=∠BEC=40°，∴∠BEG=90°﹣∠BEF=50°，∠DEG=∠BED﹣50°=50°．∴∠BEG和∠DEG都为50°46．∵∠AEF=125，∴∠CEA=55°∵AE∥BD，∠CDB=∠CEA=55°，在△BCD中，∵∠CBD=57°，∴∠C=68°．47．∵CE是∠DCB的角平分线，∴∠1=∠2．∵CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，∴∠A=∠B．48．AB∥CD，∠2+∠3=90°．理由如下：∵BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB，∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2．∵∠2+∠1=90°，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴AB∥CD．∴∠3=∠ABF．∵∠1=∠ABF，∠2+∠1=90°．∴∠2+∠3=90°．49．由题意可知，AB∥CD，∠HEB=50°，∴∠FGD=50°，又∵∠CFG=30°，∴∠FCG=20°50．∵AB∥CD，BC∥ED，∴∠B=∠C，∠C+∠D=180°，∴∠B+∠D=180°．51．∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠BCD（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠DCE（已知），∴∠BCD=∠DCE（等量代换）即CD平分∠BCE．52．∵AB∥CD，∠B=40°，∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°，∵CN是∠BCE的平分线，∴∠BCN=∠BCE=×140°=70°，∵CM⊥CN，∴∠BCM=20°53．∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，∴AE=BE．54．如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB，∴∠5=∠ABE，∠3=∠1；又∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=55°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×55°=110°．55．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BCD=∠BEF，∠DEF=∠CDE；∵DE∥AC，∴∠ACD=∠CDE，∴∠ACD=∠DEF；∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BEF，∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB56．∵EB平分∠ABC，EC平分∠ACG，∴∠DBE=∠CBE，∠FCE=∠GCE，∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠FEC=∠GCE，∴∠DEB=∠DBE，∠FEC=∠FCE，∴DB=DE，FE=FC，∵DE﹣EF=DF，∴DB﹣CF=DF57．∵AB∥CD，（已知）∴∠GFC=∠GMA．（两直线平行，同位角相等）∵∠GMA=52°，（已知）∴∠GFC=52°．（等量代换）∵CD是直线，（已知）∴∠GFC+∠GFD=180°．（邻补角定义）∴∠GFD=180°﹣52°=128°．（等式性质）∵EF平分∠GFD，（已知）∴∠EFD=∠GFD=64°．（角平分线定义）∵AB∥CD，（已知）∴∠BEF+∠EFD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠BEF=180°﹣64°=116°．（等式性质）答：∠BEF=116°58．∵∠BAP+∠APD=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2（已知），∴∠FPA=∠EAP，∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）．∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．59．（1）∵DF∥AC，∴∠EDF=∠DEC=85°．∵DE∥AB，∴∠A=∠DEC=85°．（2）∵DF∥AC，DE∥AB，∴∠EDC=∠B，∠BDF=∠C，又∠A=∠EDF，∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠EDC+∠BDF=180°．60．∵AB∥CD，∠EFD=56°，∴∠BEF=180°﹣∠EFD=124°；∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEF=62°；∵∠EGD=∠1+∠EFD，∴∠EGD=118°17 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平行线与垂直线的练习题练习题一：1. 画出下面两条线段，使它们互相平行。

AB = 5cmCD = 5cm2. 给定直线l和点P，在直线l上找出与点P不重合的一点Q，使直线PQ与l平行。

直线l：y = 2x + 3点P(-1, 4)练习题二：1. 画出下面两条线段，使它们互相垂直。

EF = 4cmGH = 4cm2. 给定直线m和点R，在直线m上找出与点R不重合的一点S，使直线RS与m垂直。

直线m：y = -0.5x + 2点R(3, 1)练习题三：1. 画出下面两条线段，使一条线段平行于x轴，另一条线段平行于y轴。

IJ = 6cmKL = 6cm2. 给定直线n和点T，在直线n上找出与点T不重合的一点U，使直线UT平行于y轴。

直线n：y = 3x - 1点T(-2, 2)解答及示意图见下一页。

（以下为题目的解答及示意图，为方便呈现，采用文字形式展示）练习题一：1. 线段AB和线段CD的示意图如下所示：(请参考示意图1）2. 线段PQ与直线l平行，示意图如下所示：(请参考示意图2）练习题二：1. 线段EF和线段GH的示意图如下所示：(请参考示意图3）2. 线段RS与直线m垂直，示意图如下所示：(请参考示意图4）练习题三：1. 线段IJ和线段KL的示意图如下所示：(请参考示意图5）2. 线段UT与直线n平行于y轴，示意图如下所示：(请参考示意图6）注意：示意图中的线段和箭头仅用于表示相对方向，并非按照实际比例进行绘制。

感谢阅读以上练习题的答案。

希望这些练习题能够帮助您更好地理解平行线和垂直线的概念和特性。

如有任何疑问，请随时向我提问。

七年级数学下册《平行线》练习题及答案(浙教版)一、选择题1.如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是( )2.如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )A.∠1和∠2B.∠1和∠3C.∠2和∠4D.∠2和∠53.如图，已知AB⊥BD，BC⊥CD，AD=a，CD=b，则BD的长的取值范围为（）A.大于bB.小于aC.大于b且小于aD.无法确定4.如图，下列说法正确的是( )A.∠1和∠B是同旁内角B.∠1和∠C是内错角C.∠2和∠B是同位角D.∠3和∠C同旁内角5.如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是( )A.∠DAC=∠BCAB.∠DCB+∠ABC=180°C.∠ABD=∠BDCD.∠BAC=∠ACD6.同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为( )A.互相垂直B.互相平行C.相交D.没有确定关系7.长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有( )A.9对B.16对C.18对D.以上答案都不对8.如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC=30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30° C．40° D．50°9.如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于( )A.∠1＋∠2B.∠2﹣∠1C.180°﹣∠2＋∠1D.180°﹣∠1＋∠210.如图，OA⊥OC，OB⊥OD，4位同学观察图形后分别说了自己的观点：甲：∠AOB＝∠COD；乙：∠BOC＋∠AOD＝180°；丙：∠AOB＋∠COD＝90°；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE＋∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C.其中正确的有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④12.学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④二、填空题13.如图,把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C平移的距离CC ′＝.14.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=90°，则AB与CD的位置关系是；若已知AB⊥CD，则∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD= .15.如图所示，内错角共有____对．16.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是.17.将如图1的长方形ABCD纸片沿EF折叠得到图2，折叠后DE与BF相交于点P.如果∠EPF＝70°，则∠PEF的度数为_________ .18.如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝_________．三、解答题19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．（1）求△ABC向右平移的距离AD的长．（2）求四边形AEFC的周长．20.如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF；若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数.21.如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？22.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点D为垂足，点E，F分别在AC．AB边上且∠AEF=∠B．求证：EF∥CD．23.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，DG平分∠CDF，且∠1＋∠2＝90°，试说明BE∥DG.24.如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．分析：通过画平行线，将∠A 、∠B 、∠C 作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法1：如图1，延长BC 到D ，过C 画CE ∥BA ．∵BA ∥CE （作图2所知）∴∠B=∠1，∠A=∠2（两直线平行，同位角、内错角相等）．又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．如图3，过BC 上任一点F ，画FH ∥AC ，FG ∥AB ，这种添加辅助线的方法能证明∠A+∠B+∠C=180°吗？请你试一试．25.已知AB ∥CD,∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F.(1)如图1,若∠E ＝80°,求∠BFD 的度数.(2)如图2,若∠ABM ＝13∠ABF,∠CDM ＝13∠CDF,试写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论. (3)若∠ABM ＝1n ∠ABF,∠CDM ＝1n∠CDF,∠E ＝m °,请直接用含有n,m °的代数式表示出∠M.参考答案1.B2.A.3.C4.D5.A6.B7.C8.C9.C.10.C.11.D12.C13.答案为：5.14.答案为：垂直；90°.15.答案为：8.16.答案为：同位角相等，两直线平行.17.答案为：55°18.答案为：140°19.解：（1）3； (2)8+3+4+3=18.20.解：∵OA⊥OB(已知)∴∠AOB＝90°(垂直的定义)∵∠AOE＝40°(已知)∴∠BOE＝∠AOB-∠AOE＝90°-40°＝50°∵OC平分∠AOF(已知)∴∠BOD＝20°21.答案为：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．22.证明：∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=∠ACD∵∠AEF=∠B∴∠AEF=∠ACD∴EF∥CD．23.证明：∵∠1＋∠2＝90°(已知)∴△BDE中，∠E＝180°-(∠1＋∠2)＝90°∵ DE平分∠BDC，DG平分∠CDF(已知)∴∠EDG＝∠EDC＋∠CDG＝∴∠E＝∠EDG(等量代换)∴ BE∥DG (内错角相等，两直线平行)24.证明：如图3∵HF∥AC∴∠1=∠C∵GF∥AB∴∠B=∠3∵HF∥AC∴∠2+∠AGF=180°∵GF∥AH∴∠A+∠AGF=180°∴∠2=∠A∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）．25.解：（1）如图，作EG∥AB，FH∥AB∵AB∥CD∴EG∥AB∥FH∥CD∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°∵∠BED＝∠BEG＋∠DEG＝70°∴∠ABE＋∠CDE＝290°∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E∴∠ABF ＋∠CDF ＝145°∴∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝145°；（2）∵∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ∴∠ABF ＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM∵∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ∴∠ABE ＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM∴6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°∵∠M ＝∠ABM ＋∠CDM∴6∠M ＋∠E ＝360°．(3)由(2)结论可得2n ∠ABN ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM 解得：∠M ＝n2m 360︒-︒． 故答案为：∠M ＝n 2m 360︒-︒.。

平行线和垂直线练习题1. 问题描述：小明在数学课上研究了平行线和垂直线的概念，现在老师给了他一些练题，请帮忙解答以下问题。

2. 练题：a. 画出下列平行线组：(1) AB // CD(2) EF // GH(3) PQ // RSb. 画出下列垂直线组：(1) AB ⊥ CD(2) EF ⊥ GH(3) PQ ⊥ RSc. 判断下列线段是否平行：(1) AB // CD(2) AB // EF(3) AB // PQd. 判断下列线段是否垂直：(1) AB ⊥ CD(2) AB ⊥ EF(3) AB ⊥ PQ3. 解答：a. 平行线组的画法如下：(1) 以点A为起点，画一条与CD同样方向的直线，标记为AB；(2) 以点E为起点，画一条与GH同样方向的直线，标记为EF；(3) 以点P为起点，画一条与RS同样方向的直线，标记为PQ。

b. 垂直线组的画法如下：(1) 以点A为起点，画一条与CD垂直的直线，标记为AB；(2) 以点E为起点，画一条与GH垂直的直线，标记为EF；(3) 以点P为起点，画一条与RS垂直的直线，标记为PQ。

c. 判断线段是否平行的规则：若两条线段有且仅有一个公共点，并且两条线段的斜率相等，则这两条线段平行。

根据上述规则，判断如下：(1) AB和CD线段平行；(2) AB和EF线段不平行；(3) AB和PQ线段不平行。

d. 判断线段是否垂直的规则：若两条线段的斜率之积为-1，则这两条线段垂直。

根据上述规则，判断如下：(1) AB和CD线段垂直；(2) AB和EF线段不垂直；(3) AB和PQ线段不垂直。

4. 注意事项：在画线段时，需保证线段间的距离相等，以保证平行或垂直关系的正确性。

以上是对平行线和垂直线的练习题的解答，请核对答案并进行相应纠正。

如有疑问，请及时向老师请教。

平行线性质练习题1. 已知直线AB和CD平行，若BE平分∠ABC，求证：BE也平分∠ECD。

2. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：同旁内角互补。

3. 若直线a ∥ b，直线b ∥ c，求证：直线a ∥ c。

4. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠BEF = 120°，求∠EFD的度数。

5. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，BC = DA，求证：四边形ABCD是平行四边形。

6. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ垂直于l1，求证：PQ也垂直于l2。

7. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：内错角相等。

8. 若直线a ∥ b，直线c与a、b都相交，且∠1 = ∠2，求证：直线c ∥ b。

9. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠AEF = 30°，求∠CFD的度数。

10. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，AD = BC，求证：四边形ABCD是矩形。

11. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ = QR，PR = QR，求证：∠PQR = 90°。

12. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：同位角相等。

13. 若直线a ∥ b，直线c与a、b都相交，且∠1 + ∠2 = 180°，求证：直线c ∥ a。

14. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠BEF = 135°，求∠EFD的度数。

15. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，AC= BD，求证：四边形ABCD是菱形。

16. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ垂直于l1，且PQ = QR，求证：PR垂直于l2。

1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC 于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE 分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD ．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．32．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．33．如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．34．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP．35．如图，已知DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1=∠2．求证（1）DF∥AC；（2）DE∥AF．36．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1=∠2，试说明DE与AB的位置关系．37．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠A，∠BDC的平分线交BC于点E．求证：DE∥AC．38．如图，AB与CD相交于点O，并且∠A=∠1，试问∠2与∠B满足什么关系时，AC∥BD？说明理由．39．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗？如果平行，请说明理由．40．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠4=180°，求证：AB∥CD．41．如图所示，已知：∠1=∠2，∠E=∠F．试说明AB∥CD．42．如图，已知EF⊥CD于F，∠GEF=25°，∠1=65°，则AB与CD平行吗？请说明理由．43．如图，已知∠1=∠2=90°，∠3=30°，∠4=60°，图中有几对平行线？说说你的理由．44．直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB 和CD平行吗？为什么？45．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．46．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，∠2=∠E，试说明AD∥CE．47．直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN．48．如图所示，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC 和∠BCD，请你说出BE与CF的位置关系，并说出你的理由．49．如图，若∠1=∠2，请判断DB与EC的位置关系，并说明理由．50．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗？为什么？51．如图，已知：HG平分∠AHM，MN平分∠DMH，且∠AHM=∠DMH．问：GH与MN有怎样的位置关系，请说明理由．（请注明每一步的理由）52．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．53．如图，直线AB，CD被EF所截，∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥FG．求证：AB∥CD．54．已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1=130°，∠A=50°，求证：AB∥CD．55．如图，已知∠1=∠2，∠DAB=∠DCA，且DE⊥AC，BF⊥AC，问：（1）AD∥BC吗？（2）AB∥CD吗？为什么？56．如图，四边形ABCD，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则AD与BC一定平行吗？AB与CD呢？若平行请说明理由，反之则不用说明理由．57．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．58．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．59．已知：如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：AB∥CE．60．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行？。

七年级数学-平行线练习含解析一. 选择题（共10小题)1．①两点之间线段最短；②同旁内角互补；，则点C是线段AB的中点；④经过一点有且只有一条直线与这条直线平③若AC BC行，其中正确的说法有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】根据“两点之间，线段最短”，可知①正确；根据“两直线平行，同旁内角互补” ，可知②错误；当点C在线段AB的垂直平分线上时，满足条件AC=BC，此时点C不一定是线段AB的中点，故③错误；根据“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，可知④错误.所以正确的说法只有1个.故选A.2．下列说法正确的是（）A．有公共顶点且相等的两个角是对顶角B．已知线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【详解】A.有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角，故本选项错误；B.已知线段AB=BC，A、B、C三点不一定共线，所以，点B不一定是线段AC的中点，故本选项错误．C.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；D.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；故选D.3．下列说法中正确的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是3cm，则点A到直线c的距离是3cmD．过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】C【详解】A选项中，因为“在同一平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以A中说法错误；B选项中，因为“直线外一点到直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离”，所以B中说法错误；C选项中，说法“直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长度是3cm，则点A到直线c的距离是3cm”是正确的；D选项中，因为“当点在直线上时，过这点无法作已知直线的平行线”，所以D中说法错误. 故选C.4．下列说法正确的是（）A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两个相等的角是对顶角C．互补的两个角一定是邻补角D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】D【详解】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．故选：D．5．下列说法错误的是（）.A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点之间的所有连线中，线段最短D．如果，，那么【答案】A【详解】A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A选项错误，符合题意；B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故不符合题意；C. 两点之间的所有连线中，线段最短，正确，故不符合题意；D. 如果，，那么，正确，故不符合题意，故选A.6．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（）A．平行和相交 B．平行和垂直 C．平行、垂直和相交 D．垂直和相交【答案】A【解析】平面内的直线有平行和相交两种位置关系．故选A．7．在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A．若a∥b，b∥c 则 a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a⊥c【答案】A【解析】解：A.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c正确，故本选项正确；B.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c，故本选项错误；C.在同一平面内,若a∥b，b⊥c，则a⊥c，故本选项错误；D.在同一平面内,若若a∥b,b∥c,则a∥c，故本选项错误.故选A.8．下列说法中错误．．的个数是（）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行.（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.（3）不相交的两条直线叫做平行线.（4）相等的角是对顶角A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】∵（1）“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”的说法是错误的；（2）“在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种”的说法是正确的；（3）“不相交的两条直线叫做平行线”的说法是错误的；（4）“相等的两个角是对顶角”的说法是错误的；∴上述说法中错误的有3个.故选C.9．下列说法错误的是（）A．内错角相等，两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．相等的角是对顶角D．等角的补角相等【答案】C【详解】A、内错角相等，两直线平行，是平行线的判定方法之一，正确；B、两直线平行，同旁内角互补，是平行线的判定方法之一，正确；C、对顶角既有大小关系，又有位置关系，相等的角是对顶角的说法错误；D、根据数量关系，等角的补角一定相等，正确,故答案选C.10．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 ( )A．平行B．相交C．相交或平行D．垂直【答案】C【解析】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，故选C．二. 填空题（共5小题)11．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为______．【答案】7cm或1cm．【详解】①如图1，当b在a、c之间时，a与c之间距离为3+4＝7（cm）；②如图2，c在b、a之间时，a与c之间距离为4﹣3＝1（cm）；故答案是：7cm或1cm．12．四条直线a、b、c、d互不重合，如果a∥b、b∥c、c∥d，那么直线a、d的位置关系为__________。

平行线的判定练习题一、选择题(每小题3分，共36分)1.下面四个图中，∠1=∠2一定成立的是( C )2.如图，已知点O 是直线AB 上一点，∠1=65°，则∠2的度数是( D )A.25°B.65°C.105°D.115°3.下列说法正确的是( A )A.a ，b ，c 是直线，且a ∥b，b∥c，则a∥cB.a ，b ，c 是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC.a ，b ，c 是直线，且a ∥b，b⊥c，则a∥cD.a ，b ，c 是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c4.如图，下列各语句中，错误的语句是( B )A .∠ADE 与∠B 是同位角 B.∠BDE 与∠C 是同旁内角C.∠BDE 与∠AED 是内错角D.∠BDE 与∠DEC 是同旁内角5.如图，点O 在直线AB 上，且OC⊥OD.若∠COA=36°，则∠DOB 大小为( B )A.36°B.54°C.64°D.72°6.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( C )A.平行线间的距离相等B.两点之间，线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线7.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB ，垂足为D ，则下面的结论中，不正确的是( A )A.点B 到AC 的垂线段是线段CAB.CD 与AB 互相垂直C.AC 与BC 互相垂直D.线段AC 的长度是点A 到BC 的距离8.如图，直线AB ，CD 相交于点0，E0⊥CD.下列说法错误的是( C )A.∠AOD =∠BOCB.∠AOE＋∠B 0D=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD＋∠BOD=180°9.如图，直线AB ，CD 相交于点0，0E 平分∠AOD.若∠CO E =140°，则∠BOC=( D )A.50°B.60°C.70°D.80°10.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b 的是( D )（第4题）（第5题）（第2题）（第7题） （第8题）A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1＋∠4=180°11.如图，90,ACD CE AB ︒∠=⊥，垂足为E ，则下面的结论中，不正确的是（A ）A.点C 到AB 的垂线段是线段CDB.CD 与AC 互相垂直C.AB 与CE 互相垂直D.线段CD 的长度是点D 到AC 的距离12.如图，已知1234∠=∠=∠=∠，则图中的平行线有（ C ）A.2组B.3组C.4组D.5组二、填空题(每小题3分，共15分)13.已知∠α=35°40’，则∠α的余角为______，补角为______.14.如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B 到AC 的距离为______.15.如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC=27°，则∠BOD 的度数是______.16.如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O ，则OA 与OB 重合的理由是______.17.如图，AB⊥EF 于点G ，CD⊥EF 于点H ，GP 平分∠EGB，HQ 平分∠CHF，则图中互相平行的直线有__________________.三、解答题(共49分)18.(5分)一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.19.(共9分,每空1分)如图，完成下列推理过程.(1)已知∠1=108°，∠2=72°，由∠1＋∠2=108°＋72°=180°，可得______∥______，根据是________；(2)已知∠1=108°，∠3=108°，由∠l=108°=∠3，可得______∥______，根据是___________；(3)已知∠2=72°，∠4=72°，由∠2=72°=∠4，可得______∥______，根据是_________.20. (5分)如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，将直角三角形ABC 向下翻折，使点A 与点C 重合，折痕为DE ，试说明：DE ∥BC.21. (5分)如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线l1∥l2吗？为什么？22. (5分)如图，直线AB，CD相交于点0，OA平分∠EOC.(1)若∠E0C=72°，求∠BOD的度数；(2)若∠D0E=2∠AOC，判断射线0E，0D的位置关系并说明理由.23．(5分)如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．24．(5分)如图，四边形ABCD，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则AD与BC一定平行吗？AB与CD呢？若平行请说明理由，反之则不用说明理由．25．(5分)已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1=130°，∠A=50°，求证：AB∥CD．26．(5分)如图，若∠1=∠2，请判断DB与EC的位置关系，并说明理由．参考答案1.C2.D3.B4.B5.A6.C7.A8.C9.D 10.D13.54°20’ 144°20’ 14.4 15.153° 16.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 17.AB∥CD，GP∥HQ18.解：这个角的度数为50°19.(1)AB CD 同旁内角互补，两直线平行 (2)AB CD 同位角相等，两直线平行(3)AE DF 内错角相等，两直线平行20.解：因为将直角三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，所以∠AED=∠CED=90°.又因为∠ACB=90°，所以∠AED=∠ACB=90°.所以DE∥BC.21.解l1∥l2.理由：因为∠1＋∠3=90°，∠2＋(90°－∠3)=180°，所以∠3=90°－∠l，∠2＋90°－90°＋∠1=180°.所以∠2＋∠1=180°.所以l1∥l2.22.解：(l)∠BOD=36°.(2)0E⊥0D.理由如下：因为∠D OE=2∠AOC，OA平分∠EOC，所以∠DO E=∠EOC.又因为∠DOE＋∠EOC=180°，所以∠DOE=∠EOC=90°.所以OE⊥OD.23.解：AD∥BC．理由如下：因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD ＝2∠2.因为∠1＋∠2＝90°，所以∠ADC＋∠BCD＝2(∠1＋∠2)＝180°，所以AD∥BC．24．（1）AD与BC一定平行．理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=30°，∠B=60°，∴∠1+∠BAC+∠B=180°，即∠BAD+∠B=180°，∴AD∥BC．（2）AB与CD不一定平行．25．：∵∠1+∠2=180°，∠1=130°，∴∠2=50°，∵∠A=50°，∴∠A=∠2，∴AB∥CD．26．DB与EC的位置关系是平行，理由：∵∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴BD∥EC．。

七年级数学平行线的性质专项练习题【例1】如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DDDD∥BBBB，∠1＝∠2．(1)求证：DDBB∥EEEE；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【变式1-1】已知：如图，AAEE⊥BBBB,EEDD⊥BBBB，∠BBEEAA=∠EEDDBB，∠DD=∠AABBBB+50°，∠BBBBDD= 70°．(1)求证：AABB∥BBDD；(2)求∠BB的度数．【变式1-2】如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E 在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BBDDAA+∠BBEEDD=180°．(1)求证：AADD∥EEEE；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AADD⊥BBBB，EEEE⊥BBBB，∠1=∠2．(1)求证：EEEE∥AADD；(2)求证：∠BBAABB+∠AADDDD=180°．【例2】如图，∠1=∠2，∠AA=∠DD．求证：∠BB=∠BB．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AAEE∥EEDD（_____________）∴∠AA=∠_____（______________）∵∠AA=∠DD（已知）∴∠DD=∠BBEEDD（等量代换）∴_____∥BBDD（__________________）∴∠BB=∠BB（____________）【变式2-1】阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AABB∥EEEE，∠1=∠2，BBEE、BBEE分别平分∠AABBBB和∠BBBBDD，求证：BBEE⊥BBEE．证明：∵BBEE、BBEE分别平分∠AABBBB和∠BBBBDD．∴∠AABBEE=∠EEBBBB=12∠AABBBB∠2=________=12∠BBBBDD（角平分线定义）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠EEBBDD（）∴EEEE∥BBDD（）又∵AABB∥EEEE（已知）∴________________（）∴∠AABBBB+∠BBBBDD=180°（）∴∠AABBEE+∠2=12(∠AABBBB+∠BBBBDD)=90°，又∵AABB∥EEEE，∴∠AABBEE=∠BBEEEE（）∴∠BBEEEE+∠1=90°，∴∠BBEEBB=90°，∴BBEE⊥BBEE（）【变式2-2】完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BBAABB与∠AABBDD互补，∠1=∠2．求证：∠EE=∠EE．证明：∵∠BBAABB与∠AABBDD互补（已知），即∠BBAABB+∠AABBDD=180°，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠BBAABB=∠AABBBB（_____________________）．又∵∠1=∠2，∴∠BBAABB-∠1=∠AABBBB-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠EE=∠EE（_____________________）．【变式2-3】推理填空：完成下面的证明过程.如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∥BC证明：∵∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）∴∠1+∠3=180°∴______∥______（_____________________________）∴∠B=______（________________________________）∵∠B=∠DEF（已知）∴∠DEF=_______ （_______________________）∴DE∥BC（）【例3】如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点EE、EE放在一个长方形的对边上，点EE为直角顶点，∠EEEEDD=30°，延长EEDD交BBDD于点BB，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（）A．100°B．105°C．115°D．120°【变式3-1】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】将一块直角三角板AABBBB∠AABBBB=30°，AA，BB两点分别落在直线mm、nn上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线mm∥nn（）A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°【变式3-3】小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DDEE∥BBBB，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95° B．115° C．105° D．125°【例4】如图，aa∥bb，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54′，则∠2的度数为（）A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′【变式4-1】用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1= 50°，则∠2的度数为（）A．25° B．22.5° C．20° D．15°【变式4-2】如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【变式4-3】如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【例5】如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB 的度数．（直接写出答案）【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠DD=∠BBCCDD．(1)求证：AADD∥NNDD；(2)若∠AA+∠DDDDDD=180°，试探索：∠AANNBB，∠NNBBDD，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠AANNBB:∠BBNNDD=2:1，∠1=100°，∠NNBBDD=130°，求∠AA的度数．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；(2)若点F是直线AE上一动点(点F与点A不重合)，请写出∠P与∠AFB之间的数量关系并证明．【例6】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝°，∠3＝°．(2)请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【变式6-1】如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线AABB,BBDD上，H为直线BBDD下方一点．(1)如图1，CCDD和NNDD相交于点H，求证：∠CCDDNN=∠AACCDD−∠BBNNDD．（温馨提示：可过点H作AABB的平行线）(2)延长DDNN至点G，∠BBCCDD的平分线CCEE和∠DDNNDD的平分线NNEE相交于点E，DDCC与BBDD相交于点F．①如图2，若∠BBCCEE=50°,∠EENNDD=30°，求∠CCDDNN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BBCCEE的度数为xx°，∠EENNDD的度数为yy°，且xx+yy的值是一个定值，请问∠CCDDNN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠CCDDNN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠CCDDNN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出．．．．∠CCDDNN的度数；若变化，请说明理由．【变式6-2】如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE 平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE⊥ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【变式6-3】直线CCNN与直线AABB、BBDD分别相交于点EE、EE，∠CCEEBB与∠BBEECC互补(1)如图1，试判断直线AABB与直线BBDD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BBEEEE与∠EEEEDD的平分线交于点BB，EEBB的延长线与BBDD交于点DD，DD是CCNN上一点，且DDDD⊥EEDD，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接BBDD，KK是DDDD上一点，使∠BBDDKK=∠DDBBKK，作BBPP平分∠EEBBKK，求证：∠DDBBPP的大小是定值．【例7】如图，已知AABB//BBDD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠nn等于（）A．nn•1800B．2nn•1800C．(nn−1)•1800D．(nn−1)2•1800【变式7-1】如图，已知直线AAEE，BBEE被直线AABB所截，且AAEE//BBEE，AABB1，BBBB1分别平分∠EEAABB，∠EEBBAA；AABB2，BBBB2分别平分∠BBAABB1和∠AABBBB1；AABB3，BBBB3分别平分∠BBAABB2，∠AABBBB2…依次规律，得点BB nn，则∠BB nn的度数为（）A．90−902nn B．180−902nn−1C．902nn−1D．1802nn【变式7-2】如图（1）（2）（3）中，都满足AB∥CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为【变式7-3】阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AABB∥BBDD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AABB∥BBDD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为 .（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AABB∥BBDD，则共剪出个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为 .（4）如图④，直线AABB∥BBDD，∠EF=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°|2xx+yy−102|+�xx+yy−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【例8】综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH中，AABB∥DDDD,AADD∥BBDD，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝70°，则∠CDE＝；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．【变式8-1】如图，已知四边形纸片AABBBBDD，∠BB=∠DD=90°，点EE在AADD边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点DD落在BBBB边上的点EE处，折痕为BBEE．（1）试判定AABB与EEEE的位置关系，并说明理由；（2）如果∠AA=100°，求∠DDEEBB的度数．【变式8-2】学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中AADD//BBBB，先按如图2所示的方法折叠，折痕为CCNN；（CCBB′与AADD相交于点BB）然后按如图3的方法折叠，折痕为BBPP（AA′BB与BB′CC落在一条直线上）．（1）在图2的折叠过程中，若∠1=130°，求∠2的度数（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕CCNN与BBPP平行，请把小明的思考步骤补充完整．由折叠可知，∠BB′CCNN=∠BBCCNN=12∠BBCCBB′；∠AA′BBPP=∠AABBPP=12∠AABBAA′；∵AABB//BBBB∴∠AABBAA′=∠BBCCBB′；（①）∴② ＝③ （等量代换）∴BBPP//CCNN．（内错角相等，两直线平行）【变式8-3】（2022·广东佛山·七年级期末）某公司技术人员用“沿直线AB折叠检验塑胶带两条边缘线a、b是否互相平行”．（1）如图1，测得∠1=∠2，可判定a∥b吗？请说明理由；（2）如图2，测得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b吗？请说明理由；（3）如图3，若要使a∥b，则∠1与∠2应该满足什么关系式？请说明理由．【例9】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向相反的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（）A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°【变式9-1】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°【变式9-2】如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是∠AA=130°，第二次拐的角是∠BB=160°，第三次拐的角是∠BB，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则∠BB度数为______．【变式9-3】如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠AA=110°，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角∠BB=__________时，道路BBEE才能恰好与AADD平行．【例10】结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯AA射线从AACC开始顺时针旋转至AANN便立即回转，灯BB射线从BBBB开始顺时针旋转至BBPP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯AA转动的速度是每秒2度，灯BB转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即BBPP//CCNN∠BBAACC:∠BBAANN=2:1．（1）填空：∠AABBBB=______°；（2）若灯BB射线先转动60秒，灯AA射线才开始转动，在灯BB射线到达BBPP之前，AA灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯AA射线到达AANN之前，若射出的光束交于点BB，过BB作∠AABBDD 交BBPP于点DD，且∠AABBDD=120°，则在转动过程中，请探究∠BBAABB与∠BBBBDD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【变式10-1】（1）如图1，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点C、D、A、F在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为CCNN、BBPP，∠BBAABB=30°，∠DDEEEE=45°．AABB与DDEE相交于点O，则∠BBBBEE的度数是__________；（2）将图1中的三角板AABBBB和三角板DDEEEE分别绕点B、F按各自的方向旋转至如图2所示位置，其中BBAA平分∠CCBBBB，求∠BBEEAA的度数；（3）将如图1位置的三角板AABBBB绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒10°，在此过程中，经过_________秒边AABB与边DDEE互相平行．【变式10-2】嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究发现（1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF=°；（2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED=°；拓展（3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系，此时∠AED=°；探究（4）如图5，图6∥DF图5中此时∠AED=°，图6中此时∠AED=°．【变式10-3】如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．（1）直接写出∠PPBBAA的大小为_______；（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD=120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．。