中考数学总复习第五单元四边形第31课时正方形课件

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【答案】2 13
13
【解析】 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∴∠BAE+∠EAD=90°. ∵BF⊥AM,DE⊥AM,∴∠DEA=∠AFB=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°.∴∠BAE=∠EDA. ∴△ABF≌△DAE.∴AE=BF. (2)设 EF=x,则 AE=x+2,BF=AE=x+2. ∵△ABF≌△DAE,∴S 四边形 ABED=S△BEF+S△ABF+S△ADE=S△BEF+2S△ABF=24. 即12x(x+2)+12×2(x+2)×2=24.解得:x1=4,x2=-10(舍去). ∴EF=4,BF=6,∴BE= 42 + 62=2 13.∴sin∠EBF=������������������������=2 413=21313.
(2)当∠EBA=20°时,四边形 BFDE 是正方形.
证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形 BFDE 为平行四边形,∴四边形 BFDE 为菱形, ∵△BAE≌△BCF,∴∠EBA=∠FBC=20°,
∵∠ABC=50°,∴∠EBF=90°,∴四边形 BFDE 是正方形.
C.10
D.12
【答案】D 【解析】∵正方形 ABCD 中,G 为 CD 边中点,∴AB∶DG=2∶1,∵AB∥CD, ∴AB∶DG=AF∶FG,∵FG=2, ∴AF=4.易证△ADG≌△ECG, ∴AD=CE,AD∶BE=1∶2,∵AD∥BE, ∴AF∶FE=AD∶BE,∴EF=8,∴AE=12, 故选 D.
则 AH∥GF,AH=GF.∵GF⊥BE,∴AH⊥BE,∴∠ABE+∠BAH=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=BC,∠ABH=∠BCE=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴∠BAH=∠CBE. ∠������������������ = ∠������������������,
在△ABH 和△BCE 中, ���∠������������������=���������������=������,∠������������������,∴△ABH≌△BCE,∴BE=AH,∴BE=FG.
������������ = ������������, ∵在正方形 ABCD 中,AB=3,DM=1,∴CM=3-1=2,CB=3,∠C=90°, ∴BM= ������������2 + ������������2= 32 + 22= 13,∴FE=BM= 13,故选 C.
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9.[2018·海南] 如图 31-8①,分别沿长方形纸片 ABCD 和 正方形纸片 EFGH 的对角线 AC,EG 剪开,拼成如图②所 示的▱ KLMN,若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方 形,且▱ KLMN 的面积为 50,则正方形 EFGH 的面积为 ( B)
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例 4 [2018·潍坊] 如图 31-14,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE⊥AM 于点 E, BF⊥AM 于点 F,连接 BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为 24,求∠EBF 的正弦值.
图 31-14
线平分一组对角. 4.正方形的对称性:正方形既是轴对称图形也是中心 对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点.
【疑难典析】 正方形既是平行四边形又是矩形还是 菱形,因此,它拥有这三类图形所拥有 的一切性质,它特有的性质之一是正方 形的对角线把正方形分成四个全等的
等腰直角三角形.
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考点三 正方形的判定
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探究一 正方形的性质
例 1 [2018·吉林] 如图 31-9,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分 别在边 BC,CD 上,且 BE=CF. 求证:△ABE≌△BCF.
图 31-9
【解析】
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
在△ABE 和△BCF 中, ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������, ������������ = ������������, ∴△ABE≌△BCF.
图 31-7 D. 15
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【答案】C 【解析】如图,连接 BM,
则由题意可得△ADM≌△AEM≌△ABF,∴∠BAF=∠EAM,BA=AE,AF=AM, ∴∠BAF+∠BAE=∠EAM+∠BAE,即∠EAF=∠BAM,则在△EAF 和△BAM 中,
������������ = ������������, ∵ ∠������������������ = ∠������������������,∴△EAF≌△BAM(SAS),∴FE=BM,又
1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个角是直角的菱形是正方形.
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考点四 中点四边形
定义:顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之
为中点四边形.
【疑难典析】 (1)任意四边形的中点四边形是平行四 边形. (2)对角线相等的四边形的中点四边形 是菱形. (3)对角线互相垂直的四边形的中点四
边形是矩形.
(4)对角线相等且互相垂直的四边形的
中点四边点自评|
题组一 基础关
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B )
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.每条对角线平分一组对角
2.如图 31-1,四边形 ABCD 是正方形,延长 AB 到点 E,使 AE=AC,则∠BCE 的度数是 22.5° .
图 31-12
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【答案】(2) 20°
【解析】
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA.∴∠BAE=∠BCF. ������������ = ������������,
在△BAE 和△BCF 中, ∠������������������ = ∠������������������,∴△BAE≌△BCF. ������������ = ������������,
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8.[2018·桂林] 如图 31-7,在正方形 ABCD 中,AB=3,点 M 在 CD 边上,且 DM=1,△AEM 与△ADM 关于 AM 所在的直线对称,将△ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到△ABF,连接 EF,则线段 EF 的长为( C )
A.3
B.2 3
C. 13
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拓展 [2018·长春] 在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 上一点(点 E 不与点 C,D 重合),连接 BE.
【感知】如图 31-10①,过点 A 作 AF⊥BE 交 BC 于点 F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②,取 BE 的中点 M,过点 M 作 FG⊥BE 交 BC 于点 F,交 AD 于点 G.
图 31-1
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3.如图 31-2,正方形 ABCD 的周长为 28 cm,则矩形 MNGC 的周长是
14 cm
.
图 31-2 4.如图 31-3,直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B,点 A,C 到直线 l 的距离分别为 1 和 3,则正方形 ABCD 的边长 是 ������������ .
A.2
B.3
C.32
图 31-5 D.6
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7.[2018·恩施州] 如图 31-6 所示,在正方形 ABCD 中,G 为 CD 边中点,连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点,对 角线 BD 交 AG 于 F 点,已知 FG=2,则线段 AE 的长度为 ( D)
A.6
B.8
图 31-6
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拓展 如图 31-12,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,分别延长 OA,OC 到点 E,F,使 AE=CF,依次连接 B,F,D,E 各点. (1)求证:△BAE≌△BCF; (2)若∠ABC=50°,当∠EBA 为多少度时,四边形 BFDE 是正方形?请证明你的结论.
第 31 课时 正方形
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| 考点自查 | 考点一 正方形的定义
有一组邻边相等,并且 有一个角是直角 的平行四边
形是正方形.
【疑难典析】 本定义从边和角两个角度在平行四边
形的基础上进行定义.
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考点二 正方形的性质
1.正方形的对边平行,四边相等. 2.正方形的四个角都是直角.
3.正方形的对角线相等,互相 垂直平分 ,每条对角
(1)求证:BE=FG;
(2)连接 CM.若 CM=1,则 FG 的长为
.
【应用】如图③,取 BE 的中点 M,连接 CM.过点 C 作 CG⊥BE 交 AD 于点 G,连接 EG,MG.若 CM=3,则四
边形 GMCE 的面积为
.
图 31-10
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【答案】(2)2 应用：9 【解析】【探究】(1)证明:如图,将 GF 平移到 AH 处,
A.24
图 31-8 B.25 C.26 D.27
【答案】B 【解析】设长方形纸片长、宽分别为 x,y,正方 形纸片边长为 z,∵四边形 OPQR 是正方形, ∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①; ∵▱ KLMN 的面积为 50,∴xy+z2+(z-y)2=50,把 ①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50,∴2zy-y2+ z2+z2-2yz+y2=50,整理,得 2z2=50,∴z2=25, ∴正方形 EFGH 的面积=z2=25,故选择 B.