丰台区初三数学试卷及答案

2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19 3．（2分）如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．60B．72C．120D．1444．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+35．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0 6．（2分）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列说法错误的是（ ）A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，﹣2）D．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣28．（2分）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点BC．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2＝1的解是 ．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为 ．11．（2分）请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 ．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC＝ ．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．16．（2分）我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正数解的步骤为：（1）将方程变形为x（x+2）＝35；（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是 （只填序号）．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）18．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．19．（5分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．21．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接BE交AD于点F，连接CF．若AB＝4，求CF的长．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．25．（6分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范围．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，连接PQ，BP，作直线BQ交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示线段EP，EQ，EB之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P 顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；（3）若点P（3，﹣3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标y B的取值范围．2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期中数学试卷（参考答案）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：选项B中的图形是中心对称图形．故选：B．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化为（ ）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝13C．（x﹣4）2＝19D．（x+4）2＝19【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，∴x2﹣8x＝﹣3，则x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，故选：A．3．（2分）如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（ ）A．60B．72C．120D．144【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，∴旋转的度数至少为72°，故选：C．4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为（ ）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3【解答】解：由题意，根据二次函数图象的几何变换规律，∵抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，∴所得抛物线为y＝2（x+2）2﹣3．故选：C．5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0【解答】解：由图象可知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下，故a＜0，又∵y＝ax2+bx+c（a≠0）交y轴于正半轴，∴c＞0，故答案选：C．6．（2分）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点N．故选：B．7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列说法错误的是（ ）A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，﹣2）D．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣2【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，∴选项B正确；又由表格可以发现在对称轴左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，故选项A正确；又当x＝0时，y＝﹣2，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣2），故选项C正确；用排除法，可得选项D错误，故选：D．8．（2分）两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点BC．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'【解答】解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，∴AC＝A′C，BC＝B′C，A：当α＝30°时，∠A′CB＝60°，∴A′C与AB的交点与点B、C构成等边三角形，∴A′C与AB的交点为AB的中点，故A正确；B：当α＝60°时，∠B′CB＝60°，∴A′B′恰好经过B，故B正确；C在旋转过程中，∠ACA′＝∠BCB′＝α，∴△AA′C∽△BB′C，∴＝，∴AA′≠BB′，故C错误；D：∵∠CAA′＝∠CBB′＝（180°﹣α），∴AA′与BB′的夹角为360°﹣（180°﹣α）×2﹣（90°+α）＝90°，∴在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，故D正确；故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2＝1的解是　±1　．【解答】解：∵x2＝1∴x＝±1．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为　（﹣1，3）　．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．（2分）请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式　y＝3x2+2（答案不唯一）．　．【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，且与y轴的交点为（0，2）．故答案为：y＝3x2+2（答案不唯一）．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC＝　65°　．【解答】解：由题意得：△ABC≌△DEF，∠ACD＝∠BCE＝35°，∴∠D＝∠A＝30°，∴∠EFC＝∠AFD＝∠D+∠ACD＝65°，故答案为：65°．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x﹣1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m　＜　n（填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝2（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，开口向上，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大．∵2＜3，∴m＜n．故答案为：＜．14．（2分）二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为　9　．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0，解得c＝9．故答案为：9．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为　26　寸．【解答】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，故答案为：26．16．（2分）我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正数解的步骤为：（1）将方程变形为x（x+2）＝35；（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是（x+x+2）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+2），中间的小正方形面积为22；（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，则方程的正数解为x＝5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是　②　（只填序号）．【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0可变形为x（x+3）＝10，构造的大正方形，其面积是（x+x+3）2，其中四个全等的矩形面积分别为x（x+3），中间的小正方形面积为32；大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×10+32＝49；由此可得方程：（x+x+3）2＝49，则方程的正数解为x＝2，∴能够得到方程x2+3x﹣10＝0的正数解的构图是②，故答案为：②．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，x＝＝，所以x1＝1，x2＝﹣3．18．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．19．（5分）已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×2m＞0，解得：m＜2，∴m的取值范围为m＜2；（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x2+4x+2＝0，即（x+2）2＝2，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，∴当m为正整数时，此时方程的根为﹣2+和﹣2﹣．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此二次函数图象的顶点为（﹣1，4），列表：x..．﹣3﹣2﹣101..．y..．03430..．描点，连线得函数图象如下：（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜1．21．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）求点B旋转到点B1的路径长（结果保留π）．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵B（4，2），∴OB＝＝2，点B旋转到点B1的路径长＝＝π．22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．【解答】解：设空白区域的宽度为xdm，根据题意可得：25×8﹣5x×8﹣2x×（25﹣5x）＝120，解得x1＝8（舍去）或x2＝1，即空白区域的宽度应是1dm．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接BE交AD于点F，连接CF．若AB＝4，求CF的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，且AE＝DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵等边△ABC中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，DB＝DC＝2，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵AE＝DC，∴AE＝DB，由（1）可知，四边形ADCE是矩形，∴∠EAF＝90°，在△BDF和△EAF中，，∴△BDF≌△EAF（AAS），∴DF＝AF＝AD＝，∴CF＝＝＝．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．25．（6分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系．（1）求抛物线表示的二次函数解析式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动　1　米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（3）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．故答案为：1．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，若m＝n，∴对称轴是直线x＝＝3＝t．即t＝3．（2）由题意，若mn＜0，又抛物线开口向上，∴抛物线与x轴必有一交点在2和4之间．又令y＝ax2+bx＝0，∴x＝0或x＝﹣．∴2＜﹣＜4．又∵t＝﹣，∴﹣＝2t．∴2＜2t＜4．∴1＜t＜2．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点P是线段AC延长线上一动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，连接PQ，BP，作直线BQ交AC于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示线段EP，EQ，EB之间的数量关系，并证明．【解答】（1）解：如图所示，即为补全的图形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵CP＝CP，∴△PCB≌△PCD（SAS），∴PB＝PD，∴线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DQ，∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°，∴△PDQ是等边三角形，∴PQ＝PD，∴PQ＝PB，∴∠PBQ＝∠PQB；（3）解：EQ﹣EP＝EB，理由如下：如图，在EQ上截取QG＝BE，连接PG，∵∠PBQ＝∠PQB，PB＝PQ，∴△PBE≌△PQG（SAS），∴PE＝PG，∠BPE＝∠QPG，∴∠BPE＝∠DPE＝∠QPG，∵∠QPD＝60°，∴∠QPG+∠DPG＝60°，∴∠DPE+∠DPG＝60°，∴∠EPG＝60°，∵PE＝PG，∴△PEG是等边三角形，∴EG＝EP，∴EQ﹣EG＝QG，∴EQ﹣EP＝EB．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P 顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．已知点A（0，1）．（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；（3）若点P（3，﹣3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标y B的取值范围．【解答】解：（1）如图1，过点A′作A′D⊥x轴于点D，∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，∴∠APO＝∠PA′D，∴△AOP≌△PDA′（AAS），∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，∴A′（4，3），∴点A关于点P的“二次变换图形”的坐标A′′（2，3）；（2）分析可知点P在x轴的下方，如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F ⊥x轴交EP于点F，设点P的纵坐标为m，同（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，∴A′（4﹣m，3+m），由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，∴4﹣m＝6，3+m＝1，解得m＝﹣2，∴P（3，﹣2）；（3）同（2）知A′（4﹣m，3+m），∴A′′（m+2，3+m），若点A′′在⊙O上，则（m+2）2+（3+m）2＝1，解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；∴P（3，﹣3），如图3，∵线段AB＝1，∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，若AB其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，连接OB''，∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，∴△OA′′B′′是等边三角形，过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，∴B′′（﹣，﹣），∴B′（，﹣），∴B（，），由对称性可知，另外一点的坐标为（﹣，），∴y B的取值范围为：0≤y B≤．。

一、选择题1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √3B. πC. 0.1010010001…D. 1/2答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数。

选项D可以表示为1除以2，是有理数。

2. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x+1)B. y = x^2C. y = 1/xD. y = |x|答案：B解析：函数的定义域是指函数中自变量x可以取的所有值的集合。

选项B中的函数y = x^2，对于任何实数x，都可以找到一个对应的y值，因此定义域为全体实数。

3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)答案：B解析：点A关于y轴的对称点，其横坐标取相反数，纵坐标保持不变。

因此，点A(2,3)关于y轴的对称点是(-2,3)。

4. 下列方程中，解集为空集的是（）A. x^2 - 4 = 0B. x^2 + 1 = 0C. 2x + 3 = 5D. x - 2 = 0答案：B解析：方程的解集是指方程的解所在的集合。

选项B中的方程x^2 + 1 = 0，因为x^2总是非负的，所以方程没有实数解，解集为空集。

5. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形答案：A解析：在所有四边形中，正方形的面积最大，因为正方形的四边相等，且内角都是直角，所以它的面积是所有四边形中最大的。

二、填空题1. 若a^2 = 4，则a = ±（）答案：2解析：平方根的定义是，一个数的平方根是指能够使该数平方的数。

因为2^2 = 4，所以a可以是2或者-2。

2. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = （）答案：75°解析：三角形的内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，是负数的是（）A. -3B. 3C. 0D. -2.52. 下列代数式中，正确的是（）A. 3a - 2a = 5aB. 2x + 3x = 5xC. 4a - 2a = 2aD. 3x - 2x = 1x3. 已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的面积是（）A. 40cm²B. 32cm²C. 48cm²D. 64cm²4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = 2x²D. y = 3x - 25. 下列方程中，正确的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 2 = 6D. 5x - 3 = 76. 已知平行四边形的对角线互相平分，则该平行四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 等腰梯形D. 梯形7. 下列命题中，正确的是（）A. 对顶角相等B. 对边平行C. 对角线互相平分D. 相邻角互补8. 已知一个等边三角形的边长为a，则其面积为（）A. (a²√3)/4B. (a²√3)/2C. (a²√3)/3D. a²√39. 下列数列中，第n项是常数列的是（）A. 1, 2, 3, 4, ...B. 1, 4, 9, 16, ...C. 1, 3, 6, 10, ...D. 1, 1, 1, 1, ...10. 已知一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式△ = b² - 4ac，则下列说法正确的是（）A. 当△ > 0时，方程有两个不相等的实数根B. 当△ = 0时，方程有两个相等的实数根C. 当△ < 0时，方程没有实数根D. 当△ > 0时，方程没有实数根二、填空题（每题5分，共25分）11. 下列各数中，绝对值最大的是（）A. -5B. -3C. 2D. 112. 若 a + b = 5，a - b = 1，则a² + b² = （）13. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长是（）14. 下列函数中，y = kx + b（k ≠ 0）是正比例函数的是（）15. 已知一元二次方程2x² - 3x - 1 = 0，则该方程的解为（）三、解答题（每题20分，共80分）16. （20分）已知二次函数y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，且顶点坐标为（1，-2），求该函数的解析式。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(3)的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4答案：A2. 若等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 31答案：C3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°答案：C4. 若|a| = 5，|b| = 3，则|a + b|的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 12答案：C5. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的符号分别为（）A. a > 0，b < 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0答案：A6. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则第5项an的值为（）A. 162B. 153C. 144D. 135答案：A7. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C8. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 2]上的最大值为1，则函数g(x) =x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 1]上的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 已知函数y = kx^2 - 4x + 1的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)，则k的值为（）A. -1B. 1C. 2D. -2答案：B10. 若函数y = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0, 1]上单调递增，则函数g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 0]上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11. 若等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则第n项an的通项公式为______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -2.5B. 0.333…C. √4D. 0.1010010001…2. 下列各数中，是偶数的是（）A. -3B. 5C. 8D. -103. 若a，b，c是等差数列，且a+b+c=0，则ac+b²=（）A. 0B. 1C. -1D. 24. 已知一元二次方程x²-4x+4=0的解为x₁，x₂，则x₁x₂的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x²B. y=|x|C. y=x³D. y=√x7. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，3）和（2，5），则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项为（）A. a₁q^(n-1)B. a₁q^nC. a₁q^(n+1)D. a₁q^(n-2)9. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+2ab+b²B. (a-b)²=a²-2ab+b²C. (a+b)²=a²-2ab+b²D. (a-b)²=a²+2ab-b²10. 在△ABC中，若a²+b²=5，c²=8，则△ABC的面积S为（）A. 2√3B. 4√3C. 2√5D. 4√5二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

12. 求函数y=x²-4x+3的零点。

13. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=6，求AC的长度。

2024年北京丰台中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A ．34B ．12C ．13D ．146．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

北京市丰台区第二中学2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列多项式能分解因式的是（）A ．22x y +B ．22x y xy -C ．22x xy y ++D ．244x x +-2、（4分）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（）．A ．a =2，b =3，c =4B ．a =4，b =4，c =5C ．a =5，b =6，c =7D ．a =5，b =12，c =133、（4分）若a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=--有正整数解。

且函数y=ax 2−2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．44、（4分）设直线y ＝kx +6和直线y ＝（k +1）x +6（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为S k （k ＝1，2，3，…，8），则S 1+S 2+S 3+…+S 8的值是（）A ．49B ．634C ．16D ．145、（4分）如图，直线y =-x +2与x 轴交于点A ，则点A 的坐标是（）A ．（2,0）B ．（0,2）C ．（1,1）D ．（2,2）6、（4分）点()15,A y -和()22,B y -都在直线32y x =-+上，则1y 与2y 的关系是()A ．12y y ≤B ．12y y =C ．12y y <D ．12y y >7、（4分）在平面直角坐标系的第一象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（）A ．（3，-4）．B ．（4，-3）．C ．（3，4）．D ．（4，3）．8、（4分）一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（）A ．m=1．n=7B ．m=﹣1，n=7C ．m=﹣1，n=1D ．m=1，n=﹣7二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：24s =甲，2 4.5s =乙，则射击成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）.10、（4分）如图在中，，，，是边上的两点，且满足，若，，，的长是__________．11、（4分）如图,//AD BC ，、BG AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠，GH AB ⊥，4HG =，则AD 与BC 之间的距离是__________．12、（4分）已知一次函数3y mx =+的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的m 值__________.13、（4分）在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第象限．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图1，将边长为1的正方形ABCD 压扁为边长为1的菱形ABCD ．在菱形ABCD中，∠A 的大小为α，面积记为S ．（1）请补全下表：（2）填空：由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A 大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S 记为S(α)．例如：当α＝30°时，1(30)2S S =︒=；当α＝135°时，(135)2S S ο==．由上表可以得到(60)S S ︒=(______°)；(150)S S ︒=(______°)，…，由此可以归纳出(180)()S S α︒-=．（3）两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD ，∠AOB ＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．15、（8分）如图，等边三角形ABC 的边长是6，点D 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且BD＝CF ，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接BF 、EF ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）连接DF ，当BD 的长为何值时，△CDF 为直角三角形？（3）设BD ＝x ，请用含x 的式子表示等边三角形ADE 的面积．16、（8分）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形．（1）求证：▱ABCD 为矩形；（2）若AB ＝4，求▱ABCD 的面积．17、（10分）在倡导“社会主义核心价值观”演讲比赛中，某校根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，对这些同学的决赛成绩进行整理分析，绘制成如下团体成绩统计表和选手成绩折线统计图：七年级八年级平均数85.7_______众数______________方差37.427.8根据上述图表提供的信息，解答下列问题：（1）请你把上面的表格填写完整；（2）考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好？（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出2个参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？请说明理由．18、（10分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）A B第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是反比例函数y＝3x（x＞0）图象上两点，若y1＞y2，则x1，x2的大小关系是_____．20、（4分）将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．21、（4分）点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是_____．22、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝cm，BD＝cm，则菱形ABCD的面积是_____．23、（4分）若b 为常数，且214x ﹣bx +1是完全平方式，那么b ＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图(甲)，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．(1)求证:CE CF =；(2)在如图(甲)中，若G 在AD 上，且45GCE ∠=︒，则GE BE GD =+成立吗？证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题:如图(乙)四边形ABCD 中，AD ∥BC (BC ＞AD )，90B ∠=︒，6AB BC ==,点E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，2BE =，求DE 的长．25、（10分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC 的顶点均在格点上．（不写作法）（1）以原点O 为对称中心，画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1，并写出B 1的坐标；（2）再把△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，得到△A 2B 2C 1，请你画出△A 2B 2C 1，并写出B 2的坐标．26、（12分）随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元?（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为500张.五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变，结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低2元，售出总票数就比五一当天增加4张.经统计，5月5日售出的总票数中有60%的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为17680元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元?参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】直接利用分解因式的基本方法分别分析得出答案．【详解】解：A 、x 2+y 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2y-xy 2=xy （x-y ），故此选项正确；C 、x 2+xy+y 2，无法分解因式，故此选项错误；D 、x 2+4x-4，无法分解因式，故此选项错误；故选：B ．本题考查对分解因式的方法的理解和运用，分解因式的步骤是：第一步，先看看能否提公因式；第二步，再运用公式法，①平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；②a 2±2ab+b 2=（a±b ）2，第三步：再考虑用其它方法，如分组分解法等．2、D 【解析】本题只有22251213+=，故选D 3、D 【解析】先解分式方程，求得a 的值，再由函数图象有交点求得a 的取值范围，则可求得a 的值，可求得答案．【详解】解分式方程21224a x x -=--可得x=4−2a，∵a 使得关于x 的分式方程21224ax x -=--有正整数解，∴a 的值为0、2、4、6，联立y=ax 2−2x−3与y=2x−1，消去y,整理可得ax 2−4x−2=0，由函数图象有交点,可知方程ax 2−4x−2=0有实数根，当a=0时，方程有实数解，满足条件，当a≠0时，则有△⩾0，即16+8a ⩾0，解得a ⩾−2且a≠0，∴满足条件的a 的值为0、2、4、6，共4个，故选D.此题考查分式方程的解，二次函数的性质，一次函数的性质，解题关键在于求得a 的值.4、C 【解析】联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出两直线与x 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得出S k =12×6×6(1k -11k +)，将其代入S 1+S 2+S 3+…+S 8中即可求出结论．【详解】解：联立两直线解析式成方程组，得：6(1)6y kx y k x =+⎧⎨=++⎩，解得：06x y =⎧⎨=⎩，∴两直线的交点(0，6)，∵直线y=kx+6与x 轴的交点为(6k -，0)，直线y=(k+1)x+6与x 轴的交点为(61k -+，0)，∴S k =12×6×|6k -﹣(61k -+)|=18(1k -11k +)，∴S 1+S 2+S 3+…+S 8=18×(1-12+12-13+13-14+…+18-19)=18×(1-19)，=18×89=1．故选C ．本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及规律型中数字的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式找出S k =12×6×6(1k -11k +)是解题的关键．5、A【解析】一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线．令y=0，即可得到图象与x 轴的交点．【详解】解：直线2y x =-+中，令0y =．则02x =-+．解得2x =．∴(2,0)A ．故选：A ．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，且k ，b 为常数）与x 轴的交点坐标是（−b k ，0），与y 轴的交点坐标是（0，b ）．6、D 【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点()15,A y -和()22,B y -分别代入直线方程32y x =-+，分别求得1y 和2y 的值，然后进行比较.【详解】根据题意得：()135217y =-⨯-+=，即117y =；()23228y =-⨯-+=，即28y =；817<，∴12y y >.故选：D .本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点满足该函数的解析式.7、D【解析】根据第一象限内点的坐标特征，可得答案．【详解】解：由题意，得x=4，y=3，即M 点的坐标是（4，3），故选：D ．本题考查点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题关键．8、B 【解析】先把（x+m ）1=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x 1-4x-3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．【详解】解：∵（x+m ）1=n 可化为：x 1+1mx+m 1-n=0，∴2243m m n =-⎧⎨-=-⎩，解得：27m n =-⎧⎨=⎩故选：B ．此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、甲【解析】根据方差的性质即可求解.【详解】∵2s 甲＜2s 乙，∴成绩较稳定的是甲此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.10、【解析】以点B 为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),如下图,利用等腰直角三角形的性质得,利用旋转的性质得,，则,在中利用勾股定理可计算出,然后再根据证明三角形即可得到.【详解】以点B 为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),如图按顺时针方向旋转得到在中,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),,即在和中∴.本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理.11、1【解析】过点G 作GF ⊥BC 于F ，交AD 于E ，根据角平分线的性质得到GF=GH=5，GE=GH=5，计算即可．【详解】解：过点G 作GF ⊥BC 于F ，交AD 于E ，∵AD ∥BC ，GF ⊥BC ，∴GE ⊥AD ，∵AG 是∠BAD 的平分线，GE ⊥AD ，GH ⊥AB ，∴GE=GH=4，∵BG 是∠ABC 的平分线，FG ⊥BC ，GH ⊥AB ，∴GF=GE=4，∴EF=GF+GE=1，故答案为：1．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12、答案不唯一【解析】一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x 的系数小于1，常数项大于1，据此写出一次函数．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴函数x 的系数小于1，常数项大于1．又∵常数项是3，∴这个函数可以是y=-x+3等．故答案为：-1本题考查了一次函数的系数与图象的关系，涉及到的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x 的系数小于1，常数项大于1．13、四．【解析】一次函数y=kx+b 的图象有两种情况：①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．由题意得，函数y=kx+2的y 的值随x 的值增大而增大，因此，k 0>．由k 0>，b 0>，知它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）2；32；32；12；（2）120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等，证明见解析.【解析】分析：（1）过D 作DE ⊥AB 于点E ，当α=45°时，可求得DE ，从而可求得菱形的面积S ，同理可求当α=60°时S 的值，当α=120°时，过D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则可求得DF ，可求得S 的值，同理当α=135°时S 的值；（2）根据表中所计算出的S 的值，可得出答案；（3）将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AEBO ，将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCFD ．利用（2）中的结论，可求得△AOB 和△COD 的面积，从而可求得结论．详解：（1）当α=45°时，如图1，过D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE=22AD=22，∴S=AB•DE=2，同理当α=60°时S=2，当α=120°时，如图2，过D 作DF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，则∠DAE=60°，∴DF=32AD=32，∴S=AB•DF=2，同理当α=150°时，可求得S=12，故表中依次填写：2；2；2；12；（2）由（1）可知S （60°）=S （120°），S （150°）=S （30°），∴S （180°-α）=S （α）故答案为：120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等．证明：如图3将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AMBO ，将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCND ．∵∠AOD=∠COB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∴S △AOB =12S 菱形AMBO =12S （α）S △CDO =12S 菱形OCND =12S （180°-α）由（2）中结论S （α）=S （180°-α）∴S △AOB =S △CDO ．点睛：本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．15、（1）见解析；（2）BD ＝2或4；（3）S △ADE ＝4（x ﹣3）2+4（0≤x ≤6）【解析】(1)：要证明四边形BDEF 是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF ，只要有△ABD 全等△ACE ，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD ，再利用∠CFE ＝60°＝∠ACB ，就能平行，故第一问的证；2CD=CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，当∠CFD=90°时，可以知道CD=2CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故当BD=2或4时，△CFD为直角三角形；(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四边形ADCE减去△CDE即可，又因为△ABD≌△ACE，所以四边形ADCE的面积等于△ABD的面积，所以只需要求出△ABC的面积与△CDE即可,从而即可求面积.【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，∵BD＝CF，∴△ABD≌△BCF（SAS），∴BD＝CF，如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，∴CF＝CE，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，∴EF∥BC，∵BD＝EF，∴四边形BDEF是平行四边形；（2）∵△CDF为直角三角形，∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CD ＝2CF ，由（1）知，CF ＝BD ，∴CD ＝2BD ，即：BC ＝3BD ＝6，∴BD ＝2，∴x ＝2，当∠CDF ＝90°时，∵∠ACB ＝60°，∴∠CFD ＝30°，∴CF ＝2CD ，∵CF ＝BD ，∴BD ＝2CD ，∴BC ＝3CD ＝6，∴CD ＝2，∴x ＝BD ＝4，即：BD ＝2或4时，△CDF 为直角三角形；（3）如图，连接CE ，由（1）△ABD ≌△ACE ，∴S △ABD ＝S △ACE ，BD ＝CE ，∵BD ＝CF ，∴△CEF 是等边三角形，∴EM ＝2CE ＝2x ，∴S △CDE ＝12CD×EM ＝12（6﹣x ）×2x ＝4x （6﹣x ）∴BH ＝CH ＝12BC ＝3，∴AH ＝∴S △ABC ＝12BC•AH ＝∴S △ADE ＝S 四边形ADCE ﹣S △CDE ＝S △ACD +S △ACE ﹣S △CDE ＝S △ACD +S △ABD ﹣S △CDE ＝S △ABC ﹣S △CDE ＝﹣4x （6﹣x ）＝4（x ﹣3）2+4（0≤x≤6）第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功第二问，主要考查推理能力，把△CFD 为直角三角形当做条件，来求BD 的长，但是需要注意的是，写过需要先给出BD 的长，来证明△CFD 为直角三角形，第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积16、（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据题意可求OA ＝OB ＝DO ，∠AOB ＝60°，可得∠BAD ＝90°，即结论可得;（2）根据勾股定理可求AD 的长，即可求▱ABCD 的面积．【详解】解（1）∵△AOB 为等边三角形∴∠BAO ＝60°＝∠AOB ，OA ＝OB ∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD ，∴OA ＝OD ∴∠OAD ＝30°，∴∠BAD ＝30°+60°＝90°∴平行四边形ABCD 为矩形；（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，∴AB ＝4，BC AB ＝∴▱ABCD 的面积＝＝本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．17、（1）八年级成绩的平均数1.7，七年级成绩的众数为80，八年级成绩的众数为1；（2）八年级团体成绩更好些；（3）七年级实力更强些．【解析】（1）通过读图即可，即可得知众数，再根据图中数据即可列出求平均数的算式，列式计算即可．（2）根据方差的意义分析即可．（3）分别计算两个年级前两名的总分，得分较高的一个班级实力更强一些．【详解】解：（1）由折线统计图可知：七年级10名选手的成绩分别为：80，87，89，80，88，99，80，77，91，86；八年级10名选手的成绩分别为：1，97，1，87，1，88，77，87，78，88；八年级平均成绩=110（1+97+1+87+1+88+77+87+78+88）=1.7(分)，七年级成绩中80分出现的次数最多，所以七年级成绩的众数为80；八年级成绩中1分出现的次数最多，所以八年级成绩的众数为1．（2）由于七、八年级比赛成绩的平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小，则其稳定性越强，所以应该是八年级团体成绩更好些；（3）七年级前两名总分为：99+91=190(分)，八年级前两名总分为：97+88=11(分)，因为190分>11分，所以七年级实力更强些．本题考查了折线统计图，此题要求同学们不但要看懂折线统计图，而且还要掌握方差、平均数、众数的运用．18、（1）A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元；（2）购进A 种商品800件、B 种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．【解析】（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据两次进货情况表，可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品（1000-m ）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w 与m 之间的函数关系式，由A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据题意得：3040380040303200x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解得：2080x y ⎧⎨⎩＝＝．答：A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元．（2）设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品（1000-m ）件，根据题意得：w=（30-20）（1000-m ）+（100-80）m=10m+1．∵A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，∴1000-m≥4m ，解得：m≤2．∵在w=10m+1中，k=10＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．此题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、x1＜x1．【解析】根据题目中的函数解析式可以判断函数图象在第几象限和y随x的变化趋势，从而可以解答本题．【详解】∵反比例函数y＝3x（x＞0），∴该函数图象在第一象限，y随x的增大而减小，∵点P（x1，y1），Q（x1，y1）是反比例函数y＝3x（x＞0）图象上两点，y1＞y1，∴x1＜x1，故答案为：x1＜x1．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．20、y=3x-1【解析】∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．故答案为y=3x﹣1．21、（-1，3）【解析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点P（1，-3）关于原点的对称点的坐标．【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴点P （1，-3）关于原点的对称点的坐标为（-1，3）．故答案为：（-1，3）．本题考查了关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，难度较小．22、11cm 1【解析】利用菱形的面积公式可求解．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，∵AC ＝，BD ＝cm ，则菱形ABCD 的面积是1122⨯=cm 1．故答案为11cm 1．此题主要考查菱形的面积计算，关键是掌握菱形的面积计算方法．23、±1【解析】根据完全平方式的一般式，计算一次项系数即可.【详解】解：∵b 为常数，且14x 2﹣bx +1是完全平方式，∴b ＝±1，故答案为±1．本题主要考查完全平方公式的系数关系，关键在于一次项系数的计算.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（1）成立，理由见解析；（3）5【解析】分析：（1）因为ABCD 为正方形，所以CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE ，则△BCE ≌△DCF ，即可求证CE=CF ；（1）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE ≌△DCF ，所以∠ECG=∠FCG ，CE=CF ，CG=CG ，则△ECG ≌△FCG ，故GE=BE+GD 成立；（3）①过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于点G ，利用勾股定理求得DE 的长.详解：（1）在正方形ABCD 中CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE 和△DCF 中，CB CD B CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BCE ≌△DCF （SAS ）．∴CE=CF ．（1）GE=BE+GD 成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE ≌△DCF （已证），∴∠BCE=∠DCF ．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG 和△FCG 中，CE CF ECG FCG CG CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．∴GE=FG ．∵FG=GD+DF ，∴GE=BE+GD ．（3）①如图1，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，由（1）和题设知：DE=DG+BE ，设DG=x ，则AD=6-x ，DE=x+3，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 1+AE 1=DE 1，∴（6-x ）1+31=（x+3）1，解得x=1．∴DE=1+3=5.点睛：此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．25、（1）B 1的坐标（﹣5，4）；（2）B 2的坐标（﹣1，2）．【解析】(1)作出各点关于原点的对称点，再顺次连接，并写出B1的坐标即可；(2)根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并写出B2的坐标即可．【详解】(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求，由图可知B 1的坐标（﹣5，4）；(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求，由图可知B 2的坐标（﹣1，2）．考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．26、（1）网上购票价格30元，现场购票价格50元；（2）5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元，见解析.【解析】（1）首先设网上每张电影票价格为x 元，现场每张电影票价格为y 元，然后根据题意，列出关系式，即可得解；（2）首先设现场购票每张电影票的价格下降x 元，然后根据题意列出关系式，即可得解.【详解】（1）设网上每张电影票价格为x 元，现场每张电影票价格为y 元.32105200x y x y -=-⎧⎨+=⎩解得：3050x y =⎧⎨=⎩答：网上购票价格30元，现场购票价格50元.（2）设现场购票每张电影票的价格下降x 元()()500460%305004160%501768022x x x ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯⨯++⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得1165x =-（舍去），210x =501040-=答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元.此题主要考查二元一次方程组、一元一次方程的实际应用，关键是根据题意列出关系式，即可解题.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°3. 下列各组数中，能构成等差数列的是（）A. 2, 4, 8, 16B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 2, 4, 8, 164. 已知一次函数y = kx + b，若该函数图象过点（2, 5），且k < 0，则b的取值范围是（）A. b > 5B. b < 5C. b = 5D. b的取值无法确定5. 若等比数列{an}的公比q > 1，且a1 = 1，那么数列{an}的第10项an10的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 5B. -5C. 6D. -67. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点的对称点为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 3)8. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 梯形D. 圆9. 若a, b, c成等差数列，且a + b + c = 15，则b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1110. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4二、填空题（每题5分，共50分）1. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，则an = _______。

2. 若等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，第n项为bn，则bn = _______。

3. 已知方程x^2 - 2x - 3 = 0，则x^2 - 2x的值为 _______。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3.14D. -3/42. 下列代数式中，同类项是（）A. 2a^2bB. 3ab^2C. 4a^2D. 5b^33. 若a=2，b=-1，则代数式2a^2 - 3ab + 4b^2的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 104. 下列方程中，解为整数的是（）A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 4x + 4 = 05. 若一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 22cmD. 28cm二、填空题（每题4分，共20分）6. （1）若|a| = 5，则a的值为__________。

（2）若m - n = 3，且m^2 - n^2 = 21，则m的值为__________。

（3）一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个实数根为__________。

（4）圆的半径为r，则其周长为__________。

7. （1）若a = 3，b = -2，则2a^2 - 3ab + 4b^2的值为__________。

（2）若x^2 - 2x - 3 = 0，则x^2 - 2x的值为__________。

（3）一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积为__________。

（4）若sinθ = 1/2，则θ的度数为__________。

三、解答题（每题10分，共30分）8. （1）计算：-3a^2 + 4ab - 2b^2，其中a = -2，b = 3。

（2）解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0。

9. （1）已知三角形ABC中，AB = 5cm，AC = 6cm，BC = 7cm，求三角形ABC的面积。

（2）已知等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，底边BC = 10cm，求三角形ABC的高。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知a > b，下列选项中正确的是（）A. a^2 > b^2B. a^3 > b^3C. a^2 < b^2D. a^3 < b^3答案：B2. 如果a + b = 0，那么下列选项中正确的是（）A. a = 0B. b = 0C. a = -bD. b = -a答案：C3. 一个等差数列的前三项分别为1，3，5，那么它的第四项是（）A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A4. 下列图形中，具有对称性的是（）A. 矩形B. 正方形C. 三角形答案：D5. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A6. 下列等式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - b^2C. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2答案：C7. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第三项是（）A. 6B. 9C. 18D. 27答案：B8. 下列图形中，内角和为360°的是（）A. 三角形B. 四边形D. 六边形答案：B9. 已知一次函数y = kx + b，当x = 1时，y = 3；当x = 2时，y = 5，那么k 和b的值分别是（）A. k = 2，b = 1B. k = 2，b = 3C. k = 3，b = 2D. k = 3，b = 1答案：B10. 下列选项中，不是方程的是（）A. 2x + 3 = 7B. x^2 - 4 = 0C. 3x = 9D. 5 + 2 = 7答案：D二、填空题（每题5分，共25分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______和______。

答案：5，-512. 一个等差数列的前三项分别为3，5，7，那么它的第10项是______。

2022-2023学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷1. 下列图形是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )A. B.C. D.3. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是( )A. B. C. D.4. 如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为( )A. B.C. D.5. 下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是( )A. 144B. 120C. 72D. 607. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是( )A.， B. ，C. ，D. ，8. 下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB. 当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x9. 一元二次方程的实数根为__________.10. 如图，AB是的弦，于点C，若，，则半径的长为__________.11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________.12. 若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为，则这个扇形的面积是__________13. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式__________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为__________.15. 十八世纪法国的博物学家布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：试验次数15002000250030003500400045005000相交频数4956237999541123126914341590相交频率可以估计出针与直线相交的概率为__________精确到，由此估计的近似值为__________精确到16. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系小明进行了两次掷实心球训练．第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离123456竖直高度根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是____ m ；第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则____填“>”，“=”或“<”17. 解方程：18. 已知二次函数在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象；当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．19. 已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个实数根；如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．20. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，及外一点求作：过点P的的切线．作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交于点A、点B；③作直线PA，所以直线PA，PB就是所求作的的切线．根据小东设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接是的直径，________填推理的依据又为的半径，直线PA是的切线____填推理的依据同理可证，直线PB也是的切线．21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．22. 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：中，所对的圆周角为，圆心角为求证：证明：情况一如图：点O 在的一边上．，，即情况二如图：点O 在的内部．情况三如图：点O 在的外部．23. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A ，B 之间电流能够通过的概率．24. 如图，AB 是的直径，AC ，BC 是弦，过点O 作交AC 于点D ，过点A作的切线与OD 的延长线交于点P ，连接求证：PC 是的切线；如果，，求PC 的长．25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省底面边长不超过3dm，且不考虑接缝某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：设长方体包装盒的底面边长为xdm，表面积为可以用含x的代数式表示长方体的高为根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积+侧面积．得到y与x的关系式：____；列出y与x的几组对应值：…………a说明：表格中相关数值精确到十分位则____；在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为____ dm时，需要的材料最省．26. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．当时，①求抛物线的对称轴；②若点，在抛物线上，且，直接写出t的取值范围；若，求b的取值范围．27. 已知等边，点D、点B位于直线AC异侧，如图1，当点D在BC的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：；，其中正确的是____填“Ⅰ”或“Ⅱ”；如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．28. 对于平面直角坐标系xOy内的点P 和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M 关于原点O的“伴随点”．已知点，，①在点，，中，点____是线段AB关于原点O的“伴随点”；②如果点是关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，故选：3.【答案】A【解析】【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是，故选：4.【答案】C【解析】【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求解即可．【解答】解：四边形ABCD是的内接四边形，，，，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；③明天太阳从东边升起，是必然事件；故其中是随机事件的有1个．故选：6.【答案】C【解析】【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，旋转的度数至少为，故选：7.【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：，根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是，关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，故选：8.【答案】D【解析】【分析】根据每个选项的意义，找出它们之间的函数关系，逐一判断．【解答】解：汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y是行驶时间x的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意；当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻x成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意；圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径x成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意；用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x成二次函数关系，开口向下，故D符合题意.故选：9.【答案】，【解析】【解答】解：，，解得，故答案为：，10.【答案】5【解析】【分析】根据垂径定理得出AC，根据勾股定理解答即可．【解答】解：连接OA，，为AB的中点，在中，，，的半径5，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，解方程可求得k的值．【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得故答案为13.【答案】答案不唯一【解析】【分析】根据二次函数的性质得到，由于二次函数图象经过点，则当a取1，b取0时可得到满足条件的一个二次函数解析式．【解答】解：设二次函数解析式为，二次函数的图象开口向上，二次函数图象经过点，，当a取1，b取0时，二次函数解析式为故答案为：答案不唯一14.【答案】【解析】【分析】利用外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质，找出点P的位置，利用网格图确定点P的坐标．【解答】解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图，则，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据频率和概率的关系判断即可．【解答】解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为，由此估计的近似值为：故答案为：；16.【答案】解：：【解析】【分析】先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，实心球竖直高度的最大值是故答案为：把代入得：，解得，当时，负值舍去，在中，令得：，解得负值舍去，，，，故答案为：17.【答案】解：，或，所以，【解析】【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．18.【答案】解：，则抛物线的顶点坐标为，函数图象如图所示：观察图象得：当时，；当时，，当时，y的取值范围为【解析】【分析】先把解析式配成顶点式为，则抛物线的顶点坐标为，再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；先计算，时，y的值，然后利用图象写出对应的y的范围．19.【答案】证明：，方程总有两个实数根．，解得，，方程只有一个根是正数，，【解析】【分析】先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到m的范围．20.【答案】解：如图，PA、PB为所作；，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形；连接OA，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线PA为切线，同理可证，直线PB也是的切线．21.【答案】解：设该科技园总收入的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，不符合题意，舍去答：该科技园总收入的月平均增长率为【解析】【分析】设该科技园总收入的月平均增长率为x，利用2022年9月份该科技园的总收入年7月份该科技园的总收入该科技园总收入的月平均增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．22.【答案】证明：情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，，，同理可得：，，；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点，，，，同理可得：，，【解析】【分析】情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，利用等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得：，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点E，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．23.【答案】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，、B之间电流能够正常通过的概率为【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可．24.【答案】证明：如图1，连接OC，是的切线，，是的直径，，，，，，，，≌，，点C在上，是的切线，解：由得：≌，，，，，，，，，，，，，，，，，【解析】【分析】连接OC，可证明OD是AC的垂直平分线，从而得出，进而证明≌，进而得出，进一步得出结果；可证明，进而得出，在中求出AP，进而得出结果．25.【答案】解：函数图像如图所示：【解析】【分析】根据长方体的表面积公式求解即可；求出时，y的值即可；利用描点法画出函数图象即可；利用图象法判断即可．26.【答案】解：①，把代入，得，，抛物线的对称轴为直线：②在上，，，它的对称点为，，或把点和点代入，得，，当，有两种情况，①，得，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组无解．②，则，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组的解集为，综上所述，b的取值范围是：【解析】【分析】①把代入，得，求出解析式，进而求出顶点坐标；②把代入，求出，再求出它的对称点，根据，求出t的取值范围；当，有两种情况，①，得，②，则，求出不等式组的解．27.【答案】解：①图形如图所示．②是等边三角形，，，，，故Ⅰ错误．，，，，，故Ⅱ正确．故答案为：结论：理由：如图2中，以AD为边向下作等边，连接为等边三角形，，为等边三角形，，，，，≌，，，，为直角三角形，，【解析】【分析】①根据要求作出图形即可；②证明，，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；结论：如图2中，以AD为边向下作等边，连接证明≌，推出，，推出，可得结论．28.【答案】解：①，②过点D作轴交于点P，过点作轴交于点Q，，，，，，≌，，，，，，在第一象限，，设直线AC的解析式为，，解得，，当在AC上时，，当在AB上时，，时，点是关于原点O的“伴随点”．在直线上，圆E的半径为1，将圆E绕点O逆时针旋转得到圆，圆E关于原点的“伴随点”在圆的内部及其边界上，，在直线上，直线上存在关于原点O的“伴随点”，当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，与直线平行，，，，令，解得，，，解得，时，直线上存在关于原点O的“伴随点”．【解析】【分析】①，，轴，顺时针旋转后，得到点，不是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”，是线段AB关于原点O的“伴随点”；故答案为：，②由三角形全等可知，当在AC上时，，当在AB上时，，则时，点是关于原点O的“伴随点”；圆E上的点顺时针旋转后的对应点在以，半径为1的圆上，由直线上存在关于原点O的“伴随点”，可知当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，由，可知，求出，则，解得。

2024北京丰台初三一模数 学2024.04考生须知1．本试卷共8页，共28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功．一架C919飞机最大储油量超过19000千克．将数据19000用科学记数法表示为（ ）A ．50.1910⨯B ．41.910⨯C ．31.910⨯D ．31910⨯2．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，直线a b ∥，直线l 与直线a ，b 分别交于点A ，B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132∠=︒，则2∠的大小为（ ）A ．32︒B ．58︒C ．74︒D ．106︒4．已知实数a ，b 满足1a b >-，则下列结论正确的是（ ）A ．a b>B ．a b<C ．21a b +>+D ．21a b +<+5．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角1∠的大小为（ ）A ．22.5︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒6．若关于x 的方程230ax x c -+=有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a ，c 的值可以是（ ）A ．0a =，1c =B ．1a =，3c =C ．2a =-，4c =-D ．1a =-，3c =7．不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．168．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 边上的点，AE AF =，且0AE ED <<，过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点F 作FG CD ⊥于点G ，EH ，FG 交于点O ，连接OB ，OD ，BD ．设AE a =，ED b =，BD c =，给出下面三个结论：①a b +>；②c >；③a b +>．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式3xx -有意义，则实数x 的取值范围是______．10．分解因式：224ax ay -=______．11．方程3102x x-=+的解为______．12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点(),6A m 和()3,4B -，则m 的值为______．13．如图，DE 是ABC △的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =，连接EF 并延长，与CB 的延长线交于点M ．若8BC =，则线段CM 的长为______．14．2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”．某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），次日兑换奖品．为了更好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ≤<，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：根据以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为______．第14题图15．如图，A ，B ，C 是O 上的点，OA BC ⊥，点D 在优弧 BC上，连接BD ，AD ．若30ADB ∠=︒，BC =，则O 的半径为______．第15题图16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号A B C D E 修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21题6分，第22—23题，每题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17．计算：1132cos303-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18．解不等式组：2335,2623x x x x ->-⎧⎪+⎨<-⎪⎩．19．已知320x y --=，求代数式22264693x y x xy y x y-+-+-的值．20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至D ，使得BD CB =，过点A ，D 分别作AE BD ∥，DE BA ∥，AE 与DE 交于点E ，连接BE ．（1）求证：四边形ACBE 是矩形；（2）连接AD，若AD =，2tan 3BAC ∠=，求AC 的长．21．小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14 km/h ，从宜昌到荆州的速度约为10 km/h ．从奉节到荆州的水上距离约为350 km ．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h ．根据小刚的假设，回答下列问题：（1）奉节到宜昌的水上距离是多少km ？（2）李白能在一日（24h ）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．（1）求该函数解析式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．23．为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下：a ．10名学生立定跳远成绩：244，243，241，240，240，238，238，238，237，236b ．10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数239.5mn（1）写出表中m ，n 的值；（2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进人决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：i ．平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；ii ．成绩最稳定．①若甲学生前4次复活赛测试成绩为236，238，240，237，要满足条件i ，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）；②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲236238240237237乙237239240244235丙237242237239240则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”）．24．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是直径，C 是 BD的中点，过点C 作O 的切线CE 交AD 的延长线于点E ．（1）求证：CE AE ⊥；（2）连接BD ，若6BC =，8AC =，求BD 的长．25．一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t 天（120t ≤≤），当日每千克水果出售价格为1y 元，每千克水果保鲜存储成本为2y 元．t12581012141618201y 4.0 6.310.812.512.712.412.211.812.013.02y 2.42.84.05.26.06.87.68.49.210.0（1）根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元；（2）通过分析表格中的数据，发现1y ，2y 都可近似看作t 的函数，在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()1,t y ，并用平滑曲线连接这些点；（3）结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元．26．在平面直角坐标系xOy 中，()12,M y ，()25,N y 是抛物线22y x ax =-上的两点．（1）直接写出一个a 的值，使得12y y <成立；（2）()33,P x y 是抛物线22y x ax =-上不同于M ，N 的点，若对于301x <≤，都有132y y y <<，求a的取值范围．27．在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．图1图228．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和O 外一点C ，给出如下定义：若直线CA ，CB 都是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）已知点()1,0A -．①如图1，若O 的弦AB =(1C -，()21,1C -，(31,C -中，弦AB 的“关联点”是______；②如图2，若点1,2B ⎛-⎝，点C 是O 的弦AB 的“关联点”，直接写出OC 长；图1图2（2）已知点()3,0D ，线段EF 是以点D 为圆心，以1为半径的D 的直径，对于线段EF 上任意一点S ，存在O 的弦AB ，使得点S 是弦AB 的“关联点”．当点S 在线段EF 上运动时，将其对应的弦AB 长度的最大值与最小值的差记为t ，直接写出t 的取值范围．备用图参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案BDCCBDBA二、填空题（共16分，每题2分）9．3x ≠10．()()22a x y x y +-11．1x =12．2-13．1014．20015．216．①，1010三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21题6分，第22—23题，每题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17．解：原式32333=+--=+--=．18．解：解不等式①，得2x <，解不等式②，得0x <，∴不等式组的解集为0x <．19．解：原式()()223424633333x y x y x y x y x yx y -=+=+=-----．∵320x y --=．∴32x y -=，∴原式632==．20．证明：（1）∵AE BD ∥，DE BA ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴AE BD =．∵BD CB =，∴AE CB =．∵AE BD ∥，∴四边形ACBE 是平行四边形．∵90C ∠=︒，∴四边形ACBE 是矩形．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2tan 3BC BAC AC ∠==，∴设2BC x =，3AC x =．∴2BD BC x ==．∴4DC x =．在Rt ADC △中，90C ∠=︒，AD =，∵222AC DC AD +=，∴()()(22234x x +=．解得，x =．∴3AC x ==．21．解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是x km ．根据题意得：35011410x x--=，解得210x =．答：奉节到宜昌的水上距离为210km ．（2）∵210350210151429241410-+=+=>，∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．22．解：（1）∵函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -，∴211k b b +=⎧⎨=-⎩．解得：11k b =⎧⎨=-⎩．∴该函数解析式为1y x =-．（2）32n -≤≤-．23．解：（1）239m =，238n =．（2）①240．②丙．24．（1）证明：连接OC ，∵CE 为O 的切线，∴OC CE ⊥．∴90OCE ∠=︒．∵C 是 BD的中点，∴ CB CD =．∴EAC CAO ∠=∠．∵OA OC =，∴CAO ACO =∠．∴EAC ACO ∠=∠．∴OC AE ∥，∴180E OCE ∠+∠=︒，∴90E ∠=︒，∴CE AE ⊥．（2）解：∵AB 为直径，∴90ACB ADB ∠=∠=︒．∵6BC =，8AC =，∴10AB =．∵EAC CAO ∠=∠，E ACB ∠=∠，∴ACE ABC ∽△△．∴CE ACBC AB=．∴ 4.8CE =．∵90E BDE ECO ∠=∠=∠=︒，∴四边形EDFC 是矩形．∴ 4.8DF EC ==，OC BD ⊥．∴29.6BD DF ==．25．解：（1）7.3；（2）（3）3，14．26．解：（1）答案不唯一，例如：3a =．（2）∵二次函数解析式为22y x ax =-，∴函数图像开口向上，对称轴为x a =．①当3a x ≤时，∴点P ，M ，N 均在对称轴右侧．∴由二次函数性质，必有312y y y <<，不符题意舍去．②当32x a ≤<时，∵点P 在对称轴左侧，设P 点关于x a =的对称点为P '，则点P '的坐标为()312,a x y -．∵点P '，M ，N 在对称轴右侧，且132y y y <<，∴322a x <-．∴322a <<．③当25a ≤≤时，∵点P 和M 在对称轴左侧，由函数性质，有13y y <，∵点P '，N 在对称轴右侧，且32y y <，∴325a x -<．∴522a ≤≤．④当5a >时，∴点P ，M ，N 均在对称轴左侧．∴由二次函数性质，必有312y y y >>，不符题意舍去．由①②③④可知，3522a <≤．27．（1）证明：∵AB AC =，点D 是BC 中点，∴1122DAC BAC α∠=∠=．∵DAF α∠=，∴12CAF DAC α∠=∠=．试题11∵AE AF =，∴点G 是EF 的中点．（2）依题意补全图形．解：90AMD ∠=︒．证明：连接FC ，截取KC BE =，连接FK 交AC 于N ．∵BAC EAF α∠=∠=，∴BAE CAF ∠=∠．∵AE AF =，AB AC =，∴BAE CAF ≌△△．∴BE CF =，B ACF ∠=∠．∵B ACB ∠=∠，∴ACB ACF ∠=∠．∵KC BE =，∴KC CF =．∴KF AC ⊥于N ．∵点D 是BC 中点，∴BD CD =．∴DE DK =．∵点H 是EF 的中点，∴DH KF ∥．∴90AMD ANK ∠=∠=︒．28．解：（1）①1C ，3C ；②OC．（2t ≤≤．。

2024北京丰台初三二模数 学2024.05第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．榫卯（s ǔn m ǎo ）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是2．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度 为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为 A ．B ．C ．D ．3．如图，l 1∥l 2，点O 在直线l 2上，将三角板的直角顶点放在点O 处，三角板的两条直角边与l 1交于A ，B 两点，若∠1=46°，则∠2的大小为 A ．34°B ．44°C ．46° D ．54°4．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 A. B ． C ． D ．5．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =45°，BC =，则的长为A ．B ．π CD ．601410.−⨯71410−⨯81410.−⨯91410.−⨯||||a b <a b −>−11a b>22a b <BC π22π6．在平面直角坐标系xOy 中，点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是A． B ． C．D ．7．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃C ．掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4D ．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球8．如图，在平面直角坐标系xOy 中 ，已知y 关于x 的函数图象与x 轴有且只有三个公共点，坐标分别为（-3，0），（-1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下： ①当y >0时，-3<x <-1； ②当x >-3时，y 有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后 得到的函数图象经过原点；④点P （m ，-m -1）是该函数图象上一点，则符合 要求的点P 只有两个． 其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：ab 2﹣4ab +4a ＝ ． 11．方程的解为 ．12．如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为 ．13．如图，在□ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE ∶EC =1∶2，则BF ∶BE = ．11（，）A x y 22（，）B x y 2y x=120x x <<120y y +<120y y +>120y y −<120y y −>4x −23x x =第13题图第14题图14．“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．若该校共有3000名学生，结合图中的信息，估计全校“非常了解”交通法规的有 人． 15．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AD 平分∠BA C 交BC 于D ，分别以点A ，C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点M 和点N ，作直线MN交AD 于点P ，则DP 的长为 ．16．在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换． （1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A 经过一次“跳马”变换可以到达的格点为（填“B ” “C ”或“D ”）；（2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M 经过三次“跳马变换到达格点N ，则共有 中不同的跳法．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23 -26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组： 19．已知22360a a −−=，求代数式(12)(12)3(12)a a a a +−−−的值．20．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D 是BC 的中点，过点A 作AE ∥BC ，且AE = BD ，连接BE ．（1）求证：四边形ADBE 是菱形；（2）连接CE ，若AB =2，∠AEB =60°，求CE 的长．125118|3|2sin 452（）°−+−−−22345，．x x x x +⎧<⎪⎨⎪−<+⎩图1图221．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知购买每台甲型充电桩比乙型充电桩少0.3万元，且用18万元购买甲型充电桩的数量与用24万元购买乙型充电桩的数量相等．求甲、乙两种型号每台充电桩的价格．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求该一次函数的解析式；（2）当x ＞-1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx +2（m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．23．某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm ），数据整理如下： a .甲班23名学生的身高：163，163，164，165，165，166，166，166，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180 b .两班学生身高的平均数、中位数、众数如下表所示：（2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的学生人数为p 1，在乙班的23名学生中，高于平均身高的学生人数为p 2，则p 1 p 2（填“>” “<”或“=”）；（3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为________ cm ．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠CAB ＝2∠EAB ，点F 在线段AB 的延长线上，且∠AFE ＝∠ABC ． （1）求证：EF 与⊙O 相切； （2）若BF ＝1，，求BC 的长．4sin 5AFE =25．某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定 量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗 所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： 设营养素用量为x 毫克（0≤x ≤1.0），10℃温度下幼苗生长速度为y 1毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为y 2毫米/天．（2）根据表中数据，发现y 1，y 2都可近似看作x 的函数．在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y 2），并用平滑曲线连接这些点；（3）结合函数图象，回答下列问题：①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快（结果保留小数点后两位）；②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x 的取值范围为________（结果保留小数点后两位）．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知，，是抛物线上的三个点．（1）求该抛物线的对称轴；11（，）A x y 22（，）B x y 33（，）C x y 2220（）y ax ax a =−−>（2）若对于，，都有，求证：320a −=；（3）若对于，，都有，求的取值范围．27．如图，等边△ABC 中，过点A 在AB 的右侧作射线AP ，设∠BAP =α（60°<α<90°）．点B 与点E 关于直线AP 对称，连接AE ，BE ，CE ，且BE ，CE 分别交射线AP 于点D ，F ． （1）依题意补全图形；（2）求∠AFE 的大小；（3）用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，对于点A 和⊙O 的弦BC ，给出如下定义：若∠BAC =90°，则称弦BC 是点A 的“关联弦”．（1）如图1，已知点（1，0）A ，点12（，0）B，11（C ，22（-，0）B，21（，C ， 32（0，）B，31（-，C ，在弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，点A 的“关联弦”是 ； （2）如图2，已知点B （-1），C，-1）在⊙O 上，弦BC 是点A 的“关联弦”，直接写出OA 长度的最大值；（3）如图3，已知点M （0，-2），N （，0），对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦BC ，使得弦BC 是点S 的“关联弦”，若对于每一个点S ，将其对应的“关联弦”BC 长度的最大值记为d ，则当点S 在线段MN 上运动时，直接写出d 的取值范围．121x −<<−223x <<120y y <223x <<31m x m <<+32y y >m参考答案一、选择题（共16分，每题2分）17．解：原式=22+3-2-2×22， ···························································· 4分 =22+3-2-2，=2+1． ··············································································· 5分18．解：解不等式①，得2<x ， ··················································· 2分解不等式②，得21−>x ， ·························································· 4分∴不等式组的解集为221<<−x ． ·············································· 5分 19．解：原式=221436a a a −−+=2123a a +−． ························································ 3分∵22360a a −−=，∴2236a a −=． ···························································· 4分∴原式=16+，=7． ··················································································· 5分20．证明：（1）∵AE ∥BC 且AE ＝BD ，∴四边形ADBE 是平行四边形． ∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°， D 是BC 的中点， ∴AD =BD =DC =12BC ． ∴四边形ADBE 是菱形． ······································ 2分 （2）过点E 作EF ⊥CB 交CB 的延长线于点F ，∵四边形ADBE 是菱形，∴AE =BE ．∵∠AEB =60°，∴ △AEB 为等边三角形． ∵ AB =2， ∴BE =AB =2． ∴BD =DC =BE =2． ∵AE ∥BC ，∴∠EBF =∠AEB =60°．在Rt △BEF 中，∠F ＝90°，∠EBF=60°，BE =2． ∴BF =1，EF =3． ∴CF =5．在Rt △CEF 中，∠F ＝90°，CF =5，EF =3，∴CE =72． ····················································· 5分21．解：（1）设甲种型号充电桩每台x 万元，则乙种型号充电桩每台（x +0.3）万元． ······················ 1分 根据题意得：18240.3x x =+， ····································· 3分 解得：0.9x =． ···················································· 4分 经检验，0.9x =是所列方程的解，且符合实际问题的意义． 当0.9x =时，x +0.3=1.2．答：甲种型号充电桩每台0.9万元，乙种型号充电桩每台1.2万元． ··························· 5分22．解：（1）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数y ＝2x 的图象平移得到，∴k ＝2． ∴y ＝2x +b ．∵y ＝2x +b 的图象经过点（1，1）， ∴2+b ＝1． ∴b ＝－1．∴一次函数解析式为21y x =−． ····································· 3分（2）25≤≤m ． ························································· 5分23．解：（1）m =168，n =166． ······················································ 2分（2）p 1<p 2． ································································· 4分 （3）163，164，180． ···················································· 6分24．（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠CAB+∠ABC=90°．∵BE所对的圆心角为∠BOE，圆周角为∠EAB，∴∠BOE=2∠EAB．∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠BOE＝∠CAB．∵∠AFE＝∠ABC，∴∠BOE+∠AFE=90°．∴OE⊥EF．∴EF与⊙O相切． ··············································3分（2）解：设⊙O的半径为x，∴OE=OB=x．∵BF=1，∴OF=x+1．∵在Rt△OEF中，4 sin5AFE=∠，∴4 sin5OEAFE=OF∠=．∴415xx=+．∴x=4．∴AB=8．∵∠AFE＝∠ABC，∴4 sin sin5ABC=AFE∠∠=．∵在Rt△ACB中，AB=8，∴4 sin5ACABC=AB∠=．∴AC=325．∴BC=245． ··············································6分25．解：（1）1.00；····································································1分（2）·················································································· 3分（3）①0.28； ······························································· 4分②0.17≤x ≤0.60． ··················································· 6分26．解：（1）∵二次函数解析式为y =ax 2-2ax -2（a ＞0）， ∴抛物线的对称轴212a x a−=−=． ······························ 1分 （2）证明：设点22（，）B x y 关于对称轴的对称点为22B x y ''（，），∵抛物线的对称轴1，223x <<，∴210x '−<<．∵点A ，B′在对称轴左侧，a ＞0，且12210x x '−<<−<<，根据二次函数性质，x <1时，y 随x 的增大而减小，∴12y y >．∵120y y <，∴10y >，20y <．∴当x =-1时，y =0．把（-1，0）代入函数解析式得3a -2=0． ···················· 3分（3）∵抛物线的对称轴1x =，223x <<，∴点22（，）B x y 在对称轴右侧．(ⅰ)当点C 在对称轴右侧时，∵31m x m <<+时，32y y >，根据二次函数性质，x >1时，y 随x 的增大而增大，∴m ≥3．(ⅱ)当点C 在对称轴左侧时，设点C 关于对称轴的对称点为33C'x y '（，），∵31m x m <<+，∵-1=1-m ，-1=1-（m+1），∴312m x 'm −+<<−+．根据二次函数性质，x >1时，y 随x 的增大而增大，∴-m +1≥3，则m ≤-2．由(ⅰ)(ⅱ)可知，m ≤-2或m ≥3．····························· 6分 27．（1）依题意补全图形． ·························································· 1分（2）解：∵点B 与点E 关于直线AP 对称，∴∠BAD =∠EAD=α，AB =AE ．∵∠CAE=∠BAD ＋∠EAD －∠BAC=2α－60°，∵AB=AC ，∴AC=AE ．∴∠AEC =∠ACE =120°－α．∴∠AFE =180°－∠AEC －∠EAD = 60°． ··························· 3分（3）猜想：AF =2DF －CF ． ··················································· 4分证明：连接BF ，在AP 上截取FG =FC ，连接CG ．由（2）可知∠AFE = 60°．∵CF =FG ，∴△CFG 是等边三角形．∴CF =CG ，∠FCG=60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB=60°．∴∠BCF =∠ACG ．∴△BCF ≌△ACG ．∴BF =AG ．∵点B 与点E 关于直线AP 对称，∴BF =EF ，AF ⊥BE ．∵∠DEF =90°－∠DFE =30°，∴EF =2DF ．∴BF =AG =2DF ．∵AF =AG －FG ，∴AF =2DF －CF ． ··························································· 7分 28．解：（1）B 1C 1，B 2C 2； ·························································· 2分 3x '3x '（2）1+ ····································································· 4分（3）4≤d ． ····················································· 7分其它解法请参照评分标准酌情给分．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 0C. 2D. -22. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x，则方程 4x + 6 = 10 的解为（）A. xB. 2xC. 3xD. 5x3. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为（）A. 20B. 24C. 26D. 284. 下列函数中，在其定义域内为增函数的是（）A. y = -x^2B. y = 2xC. y = x^2D. y = -2x5. 若 a, b 是方程 x^2 - 4x + 3 = 0 的两个根，则 a + b 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 在直角坐标系中，点 A（-2，3）关于原点的对称点为（）A.（2，3）B.（-2，-3）C.（2，-3）D.（-2，3）7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 矩形8. 若 a, b 是方程 x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根，则 a^2 + b^2 的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 109. 已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点（1，2），则该函数的斜率 k 和截距b 的值分别为（）A. k = 1，b = 2B. k = 2，b = 1C. k = 1，b = 1D. k = 2，b = 210. 在直角坐标系中，点 P（2，-3）到直线 y = x 的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题3分，共30分）11. 若 |a| = 5，则 a 的值为________。

12. 若 sin x = 0.6，则 cos x 的值为________。

13. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C 的度数为________。

14. 已知等腰三角形底边长为10，腰长为14，则该三角形的周长为________。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，是整数的是（）A. √25B. -2/3C. √-4D. 3.142. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 5B. -6C. 2D. 33. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于x轴的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)4. 若sinα = 1/2，则α的取值范围是（）A. 0° < α < 90°B. 90° < α < 180°C. 180° < α < 270°D. 270° < α < 360°5. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2 + 2D. y = 3x^2 - 26. 若等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为（）A. 20B. 22C. 24D. 267. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. 3/2D. 2√38. 若函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点A(1, 2)，则k的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -29. 在等边三角形ABC中，若AB = AC = BC = 6，则∠A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10. 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA = 4，OC = 3，则OB 的长度为（）A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a^2 - 3a + 2 = 0，则a的值为______。

12. 在直角坐标系中，点P(-2, 3)关于原点的对称点坐标为______。

13. 若sinα = 3/5，则cosα的值为______。

2023-2024学年北京市丰台区九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是( )A.B.C. D.2.用配方法解一元二次方程x2−8x+3=0，此方程可化为( )A. (x−4)2=13B. (x+4)2=13C. (x−4)2=19D. (x+4)2=193.图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n∘后，能与自身重合，则n的值至少是( )A. 144B. 120C. 72D. 604.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线为( )A. y=2(x−2)2+3B. y=2(x−2)2−3C. y=2(x+2)2−3D. y=2(x+2)2+35.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是( )A. a>0，c>0B. a>0，c<0C. a<0，c>0D. a<0，c<06.雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”.现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为．( )A. M点B. N点C. P点D. Q点7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…−3−2−1012…y…40−2−204…下列说法错误的是( )A. 抛物线G的开口向上B. 抛物线G的对称轴是x=−12C. 抛物线G与y轴的交点坐标为(0,−2)D. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值为−28.两块完全相同的含30∘角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕直角顶点C按逆时针方向旋转α(0∘<α⩽90∘)，如图所示．以下结论错误的是( )A. 当α=30∘时，A′C与AB的交点恰好为AB中点．B. 当α=60∘时，A′B′恰好经过点B．C. 在旋转过程中，存在某一时刻，使得A A′=B B′．D. 在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.方程x2=1的解是．10.在平面直角坐标系中，点(1,−3)关于原点对称的点的坐标为．11.写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,2)的抛物线的解析式．12.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35∘得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30∘，则∠EFC=．13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2(x−1)2+k经过点A(2,m)，B(3,n).则m n(填“>”，“=”或“<”)．14.若函数y=x2−6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=．15.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．16.我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程x2+2x−35=0的正数解的步骤为：(1)将方程变形为x(x+2)=35；(2)构造如图1所示的大正方形，其面积是(x+x+2)2，其中四个全等的矩形面积分别为x(x+2)，中间的小正方形面积为22；(3)大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即4×35+22=144；(4)由此可得方程：(x+x+2)2=144，则方程的正数解为x=5．根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)①②③中，能够得到方程x2+3x−10=0的正数解的构图是(只填序号)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：x2+2x−3=0(公式法)四、解答题（本大题共11小题，共65.0分。

2022-2023学年北京丰台区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．【详解】解：A ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；C ．图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；D ．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．2. 如图，四边形ABCD 内接于，若，则的度数为（ ）O 130C ∠=︒BOD ∠A. 50°B. 100°C. 130°D. 150° 【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，=2∠A=100°，BOD ∠故选：B ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）()21y x =--A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y 轴D. 顶点在x 轴上【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质判断即可．2()y a x h =-【详解】在二次函数中，()21y x =--∵，10a =-<∴图像开口向下，故A 错误；令，则，0x =2(01)10y =--=-≠∴图像不经过原点，故B 错误；二次函数的对称轴为直线，故C 错误；()21y x =--1x =二次函数的顶点坐标为，()21y x =--(1,0)∴顶点在x 轴上，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．2()y a x h =-4. 若关于x 的一元二次方程有一个根是，则a 的值为()2210a x a x a -+-=1x =（ ）A.B. 0C. 1D. 或1 1-1-【答案】A【解析】【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 1x =()2210a x a x a -+-=【详解】∵关于x 的一元二次方程有一个根是 ()2210a x a x a -+-=1x =∴210a a a -+-=解得1a =±∵一元二次方程 ()2210a x a x a -+-=∴10a -≠∴1a ≠∴1a =-故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．5. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )A. πB. π 258254C. π D.π 25162532【答案】B【解析】【详解】∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6=10，∴S 阴影部分=．故选B ． 2905253604ππ⨯=6. 某口袋放有编号1~6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是（ ） A. B. C. D. 1361181612【答案】C【解析】【分析】此题需要两步完成，可采用列表法，列举出所有情况，看两次摸到的球相同的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：列表得：(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(2,1)(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)两次摸到的球相同的情况数占总情况数的概率 61366==故答案为：C【点睛】此题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题需要注意是放回实验还是不放回实验，列举出所有情况是解题关键．7. 如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300 m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A. A ，B ，C 都不在B. 只有BC. 只有A ，CD. A ，B ，C【答案】D【解析】 【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角ABC ∆形斜边上的中线性质即可得．【详解】解：如图所示：连接BD ，∵，，，300AB =400BC =500AC =∴，222AC AB BC =+∴为直角三角形，ABC ∆∵D 为AC 中点，∴，250AD CD BD ===∵覆盖半径为300 ，∴A、B 、C 三个点都被覆盖，故选：D ．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B 于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经0ac <0a b c -+>90m a +=过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是(),C t n 4t +2ax bx c n ++=（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④(),C t n ()4,-C t n 进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是B ，则线段AB 的长为______．()3,2A -【答案】【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点B 的坐标，再根据平面上两点间的距离公式得出答案．【详解】关于原点对称的点是()3,2A - ()3,2B -,AB ∴==故答案为：【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质及平面上两点间的距离公式，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键. 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.10. 将抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表22y x =达式为______．【答案】22y x =【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，22y x =得到的抛物线的函数表达式为：，222112y x x =+-=故答案为：．22y x =【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．11. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．【答案】1【解析】【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：， 12222ππ⨯⨯=∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r ，则： ，22r ππ=解得：，1r =故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．12. 点，在抛物线上，则，的大小关系为：__________()11,A y -()22,B y 22y x =1y 2y 1y（填“>”，“=”或“<”）．2y 【答案】<【解析】【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大，从而求解．【详解】解：由可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴，22y x =∵，1020--<-∴点A 离y 轴的距离小于B 离y 轴的距离,∴，12y y <故答案为：<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法．13. 如图，分别切于点A ，B ，Q 是优弧上一点，若，则的PA PB ，O AB 40P ∠=︒Q ∠度数是________．【答案】70°##70度【解析】【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角OA OB 、90OAP OBP ∠=∠=︒和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可．AOB ∠【详解】解：如图所示，连接，OA OB 、∵分别切于点A ，B ，PA PB ，O ∴，90OAP OBP ∠=∠=︒又∵，40P ∠=︒∴，360909040140AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒∴， 7201Q AOB ∠=∠=︒故答案为：70°．【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．14. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.【答案】1：2：3.【解析】【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．【详解】解：如图：在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，∴R=2r，AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值．15. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．【答案】0.2【解析】【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，故答案为：0.2．【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．16. 某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，O 转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱18P 到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m ．A B C D【答案】 ①. C ②. 78【解析】【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈，即可确定出座舱到达了哪个23位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈 23∴乘坐的座舱到达图2中的点C 处如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC 于点E由图2可知圆的半径为44m ， 120BOC ∠=︒即44OB OC OQ ===∵OQ⊥BC∴ 111206022EOC BOC ∠=∠=⨯︒=︒∴ 1cos 6044222OE OC =︒=⨯= ∴442222QE OQ OE =-=-=∴点C 距地面的高度为 m1002278-=故答案为C,78【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.三、解答题（共68分，本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 解方程：．229100x x -+=【答案】或 152x =22x =【解析】【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．【详解】，229100x x -+=， (25)(2)0x x --=∴或，250x -=20x -=解得：或． 152x =22x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．18. 已知：如图，A 为上的一点．O求作：过点A 且与相切的一条直线．O 作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与的一个交点为B ，作射线OB ；O ③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）；④作直线PA ．直线PA 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA ．由作法可知．BO BA BP ==∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴（ ）（填推理的依据）．90OAP ∠=︒∵OA 是的半径，O ∴直线PA 与相切（ ）（填推理的依据）．O 【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【解析】【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP 即为所求作；（2）证明：连接BA ，由作法可知，BO BA BP ==∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴（直径所对的圆周角是直角），90OAP ∠=︒∵OA 是的半径，O ∴直线PA 与相切（切线的判定定理），O 故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．19. 已知关于的一元二次方程．x 2(2)10x m x m +-+-=（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．0m <m 【答案】（1）见解析；（2）3m =-【解析】【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；（2）用m 表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．【详解】（1）证明：∵一元二次方程，2(2)10x m x m +-+-=∴()()2241m m ∆=---==．24444m m m -+-+2m ∵，20m ≥∴．0∆≥∴ 该方程总有两个实数根． （2）解：∵一元二次方程，2(2)10x m x m +-+-=解方程，得，．11x =-21x m =-∵ ，0m <∴ ．11m ->-∵该方程的两个实数根的差为3，∴ ．1(1)3m ---=∴．3m =-【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． xOy ()231y a x =--()2,1（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．（3）当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．04x ≤≤【答案】（1）()=--2y 2x 31（2）1（3）117y -≤≤【解析】【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式．()2,1a （2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．（3）利用函数的顶点和函数图象轴的交点，以及代入特殊点作二次函数的图象即可求得y y 的取值范围【小问1详解】∵ 抛物线经过点， ()231y a x =--()2,1∴ ，11a -=解得：，2a =∴ 该抛物线的表达式为．()=--2y 2x 31【小问2详解】由（1）知抛物线的表达式为()=--2y 2x 31∴抛物线的顶点坐标为，()3,1-∵抛物线与轴只有一个公共点， x∴只需向上平移个单位，顶点变为，此时满足题意，1()3,0∴将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点，1故答案为：1．【小问3详解】函数图象如下图所示： ()=--2y 2x 31通过图象可知当时，；0x =17y =当时，；3x =1y =-当时，；4x =1y =∴当时，04x ≤≤117y -≤≤【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式、函数图象的平移和二次函数图象，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图象整体平移的情况，会画二次函数的图象是解决该题的关键．21. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；1P 活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．2P 请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的1P 2P 猜想．【答案】，验证过程见解析12P P <【解析】【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】活动1：红球1 红球2 白球 红球1 （红1，红2） （红1，白） 红球2（红2，红1） （红2，白） 白球 （白，红1） （白，红2）∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为 12163P ==活动2：红球1 红球2 白球 红球1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红球2（红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白球 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为 249P =∴12P P <【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重点需要注意球放回与不放回的区别．22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？【答案】每件衬衫应降价20元【解析】【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出x (40)x -2x 件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．(202)x +(40)(202)x x -+【详解】解：设每件衬衫应降价元，x 根据题意得，(40)(202)1200x x -+=整理得22604000x x -+=解得：，．120x =210x =因为要扩大销售，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．23. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的图象y x 如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；A 当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把x=0()()233.30y a x a =-+≠代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3），B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：，()()23 3.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得， B ()233.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．24. 如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE∥OA，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）连接OD ，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS ），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO ，由切线长定理得到AD=AC ，再根据勾股定理，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD ，如图：∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD.在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD≌△AOC，∴ ∠ADO=∠ACO.∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO=∠ACO=90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE=6，∴OE=OD=OC=3.在Rt△ODB 中，BD=4，OD=3，∴，222BD OD BO +=∴BO=5，∴BC=BO+OC=8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD=AC.在Rt△ACB 中，，222AC BC AB +=即：，2228(4)AC AC +=+解得：AC=6；【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．25. 阅读理解：某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探221y x x =-++究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表： x … 3- 52- 2- 1- 0 1 2 52 3…y … 2- 14- m 2 1 2 1 14- 2-… 其中______；m =（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画xOy 出该函数的图象；（3）根据函数图象，回答下列问题：①当时，则y 的取值范围为______．11x -≤<②直线经过点，若关于x 的方程有4个互不相等的实数y kx b =+()1,2221x x kx b -++=+根，则b 的取值范围是______．【答案】（1）1（2）见解析 （3）①；②12y ≤≤12b <<【解析】【分析】（1）把代入函数解析式即可得的值；2x =-m （2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数的图象关于y 轴对称；当221y x x =-++时，根据函数图象可得到；11x -≤<12y ≤≤②根据函数的图象即可得到b 的取值范围是．12b <<【小问1详解】将代入函数得： 2x =-221y x x =-++．()222214411m =--+⨯-+=-++=故答案为：1【小问2详解】根据表格：x … 3- 52- 2- 1- 0 1 2 52 3… y … 2- 14- 1 2 1 2 1 14- 2-… 描点法作出函数的图象如下图所示：221y x x =-++【小问3详解】①根据函数图象可知：当时，y 的取值范围是；1<1x ≤-12y ≤≤故答案为：；12y ≤≤②由函数图象知：∵关于x 的方程有个互不相等的实数根， 221x x kx b -++=+4∴b 的取值范围是．12b <<故答案为：；．12y ≤≤12b <<【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线． xOy ()21y ax a x =-+（1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴；()2,0（2）若，为抛物线上两个不同的点．()11,M x y ()22,N x y ①当时，，求a 的值；124x x +=-12y y =②若对于，都有，求a 的取值范围．122x x >≥-12y y <【答案】（1）抛物线的对称轴1x =（2）①② 15a =-105a -≤<【解析】【分析】（1）抛物线经过点，可得，解得，()21y ax a x =-+()2,0042(1)a a =-+1a =则抛物线为，利用抛物线的对称轴公式即可求解；22y x x =-（2）①由，为抛物线上两个不同的点，时，可()11,M x y ()22,N x y 124x x +=-12y y =得二次函数图像的对称轴为直线，利用抛物线对称轴公式可得的2x =-(1)22a a -+-=-a 值；②对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当2x ≥-y x 0a >a<0a 时不能满足对于，都有，当时可以满足对于，0a >122x x >≥-12y y <a<0122x x >≥-都有的条件，使得即可，从而可得a 的取值范围． 12y y <(1)22a a-+-≤-【小问1详解】解：函数图像经过点， ()2,0，042(1)a a ∴=-+，1a ∴=，22y x x ∴=-， 2122b a -∴-=-=抛物线的对称轴是；∴1x =【小问2详解】解：①时，124x x +=- 12y y =二次函数图像的对称轴为直线，∴2x =-， (1)22a a-+∴-=-； 15a ∴=-②由题意可得，对于任意的，随的增大而减小，2x ≥-y x 当时，抛物线开口向上，对称轴为， 0a >(1)110222a x a a-+=-=+>在对称轴左侧，在直线的右侧可满足题意，而在对称轴右侧则有都有2x =-122x x >≥-，故不可能；12y y >0a >当时，，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线a<0()11,M x y ()22,N x y 12y y <左侧，即抛物线对称轴，， 2x =-(1)112222a x a a -+=-=+≤-整理得：， 15a ≥-． ∴105a -≤<【点睛】此题考查了抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线解析式和对称轴公式是解题关键．27. 在正方形中，点E 在射线上（不与点B 、C 重合），连接，，将ABCD BC DB DE DE 绕点E 逆时针旋转得到，连接．90︒EF BF（1）如图1，点E 在边上．BC ①依题意补全图1；②若，，求的长；6AB =2EC =BF （2）如图2，点E 在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，BC BD BE BF 并证明．【答案】（1）①见解析；②BF =（2），证明见解析 BF BD +=【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②过点F 作，交的延长线于H ，证明得到，FH CB ⊥CB DEC EFH △≌△2EC FH ==，则，在中，利用勾股定理即可求解；6CD BC EH ===2HB EC ==Rt FHB △（2）过点F 作，交的延长线于H ，证明得到，FH CB ⊥CB DEC EFH △≌△EC FH =，则，和都是等腰直角三角形，由此利用CD BC EH ==HB EC HF ==DCB △BHF 勾股定理求解即可．【小问1详解】①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F 作，交的延长线于H ，FH CB ⊥CB∵四边形是正方形，ABCD ∴，，6CD AB ==90C ∠=︒∵，90DEF C ∠=∠=︒∴，，90DEC FEH ∠+∠=︒90DEC EDC ∠+∠=︒∴，FEH EDC ∠=∠在和中，DEC EFH △，90H C FEH EDC EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，DEC EFH △≌△∴，，2EC FH ==6CD BC EH ===∴，2HB EC ==∴在中，Rt FHB △BF ===【小问2详解】结论：，理由如下：BF BD +=过点F 作，交的延长线于H ，FH CB ⊥CB∵四边形是正方形，ABCD ∴，，CD AB =90DCE ∠=︒∵，90DEF DCE ∠=∠=︒∴，，90DEC FEH ∠+∠=︒90DEC EDC ∠+∠=︒∴，FEH EDC ∠=∠在和中，DEC EFH △，90FHE DCE FEH EDC EF DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，DEC EFH △≌△∴，，EC FH =CD BC EH ==∴，HB EC HF ==∴和都是等腰直角三角形，DCB △BHF ∴，，BD ===BF ==∵，EH BH BE +=∴．BF BD +=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．28. 如图1，对于的顶点P 及其对边上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PMN MN 为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点Q 为关于点P 的内联PQ MN MN PMN 点．在平面直角坐标系中：xOy （1）如图2，已知点，点B 在直线上． ()70A ，1y x =+①若点，点，则在点O ，C ，A 中，点______是关于点B 的内联点； ()3,4B ()30C ，AOB ②若关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；AOB （2）已知点，点，将点D 绕原点O 旋转得到点F ，若关于点E 的()2,0D ()4,2E EOF 内联点存在，直接写出线段EF 长度的取值范围．【答案】（1）①O，C②18n ≤≤（2）EF ≤≤【解析】【分析】（1）①分别以B 为圆心，、、为半径作圆，观察图像根据线段与BO BC BA OA 圆的交点位置，可得结论；②如图，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点O 是()10B ,OB OA 关于点B 的内联点；当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此AOB (7,8)'B AB 'OA 时点A 是关于点B 的内联点；AOB （2）如下图，过点E 作轴于H ，过点F 作轴于N ，利用相似三角形的性质EH x ⊥FN y ⊥求出点F 的坐标，再根据对称性求出的坐标，当时，设交于P ，再F 'OF EF ''''⊥OH F E ''求出的坐标，结合图像可得出结论．F ''【小问1详解】①如下图中，根据点Q 为关于点P 的内联点的定义，观察图象可知，点O ，点C 是PMN AOB 关于点B 的内联点故答案为：O ，C ；②如下图中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点O ()10B ,OB OA 是关于点B 的内联点，AOB 当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点A 是关于点B 的(7,8)'B AB 'OA AOB 内联点，观察图像可知，满足条件的n 的值为；18n ≤≤【小问2详解】如下图，过点E 作轴于H ，过点F 作轴于N ，EH x ⊥FN y ⊥∵(4,2)E ∴，，4OH =2EH =∴OE ==当时，点O 是关于点E 的内联点，OF OE ⊥OEF ∵，90EOF NOH ∠=∠=︒∴EOF EOH ∠=∠∵90FNO OHE ∠=∠=︒∴，FNO EHO ∴， OF FN ON OE EH OH ==， 24FN ON ==∴， FN =ON =∴， (F∴此时EF =观察图象可知当时，满足条件；4EF ≤≤作点F 关于点O 的对称点， F '此时EF '=当时，设交于P ，OF EF ''''⊥OH F E ''∵，，，90EF O EHO ''∠=∠=︒OE EO =EH OF ''=∴，OHE EF O ''≅ ∴，EOH OEF ''∠=∠∴，设，PE OP =PE OP t ==在中，则有，Rt PEH 2222(4)t t =+-解得， 52t =∴，， 52OP =32PH PF ''==可得，86(,55F ''-此时EF ''=观察图象可知，当EF ≤≤综上所述，满足条件的的取值范围为EF EF ≤≤【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

丰台区2023年九年级学业水平考试综合练习（一）数学试卷2023.04考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中，主视图是圆的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.习近平在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中指出：十年来，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总产量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二.将一百一十四万亿，即114000000000000用科学记数法表示为（A ）1211410⨯（B ）121.1410⨯（C ）141.1410⨯（D ）150.11410⨯3.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）4.下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（A ）15°（B ）75°（C ）105°（D ）115°5.若关于x 的方程20x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（A ）14（B ）14-（C ）4（D ）-46.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（A ）a b-<（B ）a b>（C ）+0a b >（D ）0ab >7.小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是（A ）61（B ）31（C ）21（D ）18.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是①圆的周长C 是半径r 的函数；②表达式x y =中，y 是x 的函数；③下表中，n 是m 的函数；④下图中，曲线表示y 是x 的函数（A ）①③（B ）②④（C ）①②③（D ）①②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若12x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是.10.分解因式：22xy xy x -+=.11.方程211x x=-的解是.m -3-2-1123n-2-3-6632-3-2-1123yxO -1-2-1121243北京市2023年3月每日最高气温统计图12.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，E ，连接EA ，EB ，则图中存在的相等关系有（写出两组即可）.13.在平面直角坐标系xOy 中，点A （-2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数xky =（k ≠0）的图象上，若y 1＞y 2，则k0（填“＞”或“＜”）.14.如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线BF 交AC 于点D .若点D 到BC 的距离为1，则AC =.15.为了解北京市2023年3月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成右面的统计图.若记该月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为21s ，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为22s ，下旬（21日至31日）的最高气温的方差为23s ，则21s ，22s ，23s 的大小关系为（用“＜”号连接）.16.临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A ，B 两种套装销售.A 套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B 套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个.（1）设购进的小枣粽x 袋，豆沙粽y 袋，则购进的肉粽的个数．．为（用含x ，y 的代数式表示）；（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的25，则豆沙粽最多购进袋.三、解答题（共68分，第17-20，22，25题，每题5分，第21，23-24，26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：()032cos30123π.-+︒-+-18.解不等式组：()32221.23x x x x ⎧-+⎪⎨-⎪⎩＜，≥19.已知2220x x --=，求代数式()()()22111x x x -+-+的值.20.在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示.你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C .求证：AB =AC .甲的方法：证明：作∠BAC 的平分线交BC 于点D .乙的方法：证明：作AE ⊥BC 于点E .丙的方法：证明：取BC 中点F ，连接AF .21.如图，在Y ABCD 中，∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，连接AE 交CD 于点F .（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF ，若∠ABC =60°，CE =2，求BF 的长.22.在平面直角坐标系xOy 中，函数0y kx b k =+≠（）的图象经过点（2，0），（0，1-）.（1）求这个函数的表达式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数0y kx b n k =++≠（）的值大于0，直接写出n 的取值范围.23.“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立.小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析.下面是部分信息.a.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ＜100）：b.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在60≤x ＜70这一组的是：6365656565666768686869696969c.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数71.2m65，69根据以上信息，回答下列问题：（1）截止到第十六届共有人获得“华罗庚数学奖”；（2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；（3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄（填“小”或“大”），理由是；（4）根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况.24.如图，AB 是⊙O 的直径，AD ，BC 是⊙O 的两条弦，∠ABC =2∠A ，过点D 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E .（1）求证：CE ⊥DE ；（2）若tan A =31，BE =1，求CB 的长.“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图“华罗庚数学奖”得主获奖年龄扇形统计图90≤x <10080≤x <9050≤x <6010%60≤x <7070≤x <8025.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，桥拱上的点到水面的竖直高度y （单位：m ）与到点O 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2001309y .x （）=--+．据调查，龙舟最高处距离水面2m ，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m.图1图2（1）水面的宽度OA =m ；（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m ，求最多可设计龙舟赛道的数量.26.在平面直角坐标系xOy 中，点A （-3，y 1），B （a +1，y 2）在抛物线221y x ax =-+上.（1）当2=a 时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y 1和y 2的大小关系；（2）抛物线经过点C （m ，y 3）.①当4=m 时，若y 1=y 3，则a 的值为________；②若对于任意的4≤m ≤6都满足y 1＞y 3＞y 2，求a 的取值范围.27.在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，点E 在对角线AC 上，连接EB ，点F 在直线AD 上（点F 与点D 不重合），且EF=EB.（1）如图1，当点E 在线段AO 上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE =∠ABE ；②用等式表示线段AB ，AE ，AF 的数量关系并证明；（2）如图2，当点E 在线段OC 上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB ，AE ，AF 的数量关系.图1图228.对于点P 和图形G ，若在图形G 上存在不重合的点M 和点N ，使得点P 关于线段MN 中点的对称点在图形G 上，则称点P 是图形G 的“中称点”.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，0），B （1，1），C （0，1）.（1）在点P 1（12，0），P 2（12，12），P 3（1，2-），P 4（1-，2）中，是正方形OABC 的“中称点”；（2）⊙T 的圆心在x 轴上，半径为1.①当圆心T 与原点O 重合时，若直线y =x +m 上存在⊙T 的“中称点”，求m 的取值范围；②若正方形OABC 的“中称点”都是⊙T 的“中称点”，直接写出圆心T 的横坐标t 的取值范围.3m龙舟示意图y /m x /m拱桥2m水面丰台区2023年九年级学业水平考试综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案D C C D A B A C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.x ≠210.21）（-y x 11.1x =-12.AC=BC ；∠EAB=∠EBA （答案不唯一）13.＜14.12+15.222231s s s <<16.40022x y --；40.三、解答题（共68分，第17-20题，22，25，每题5分，第21，23-24，26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式=3+3-32+1.……4分=4-3.……5分18.()322,21.23x x x x ⎧-+⎪⎨-⎪⎩＜①≥②解：解不等式①，得x ＞1.……2分解不等式②，得x ≤2.……4分∴原不等式组的解集为1＜x ≤2.….5分19.解：原式=()()222121x x x --++=223x x --.……3分∵2220x x --=，∴222x x -=.∴原式=2-3=-1.……5分20.解：选择甲的方法；证明：作∠BAC 的平分线交BC 于点D .∴∠BAD=∠CAD .在△ABD 与△ACD 中,⎪⎧C B=∠∠21.（1）证明：∵DE ⊥BC 于点E ,∴∠DEC =90°.∵∠ACB =90°,∴∠DEC =∠ACB .∴AC ∥DE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BE .∴四边形ACED 是平行四边形.∵∠DEC =90°，∴☐ACED 是矩形.……3分（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC .∵四边形ACED 是矩形，∴AD =CE ，AF =EF .……4分∴BC =CE =2.∵∠ACB =90°，∴AC 垂直平分BE .∴AB=AE .∵∠ABC=60°，∴△ABE 是等边三角形.6090∴BF =BE •sin ∠BEF=23.……6分22.解：（1）∵函数图象经过点（2,0），（0,-1），∴201，k b b ì+=ïïíï=-ïî解得121k ,b .ìïï=ïíïï=-ïî∴函数表达式为112y x =-.……3分（2）2≥n .……5分23.解：（1）30；……1分（2）正确补全频数分布直方图；……2分（3）小；他的获奖年龄比中位数69岁小……4分（4）获奖年龄在60≤x <70范围内的人数最多，在90≤x <100范围内的人数最少.（答案不唯一）……6分24.（1）证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE=90°……1分∵AO =DO ，∴∠ODA =∠A ，180°-∠90∴C E ⊥DE .……3分（2）解：连接BD ,CD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°.∴∠A+∠ABD=90°.∵OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD .∵∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，∴∠BDE =∠A .……4分∴tan ∠BDE=tan A=31.∵BE=1，∠E=90°，∴DE=3.∵∠C =∠A ，∴tan C=tan A=31.∴CE=9.……5分∴CB=CE -BE=8.……6分25.解：（1）60m.……2分（2）令y =5，得()20013095.x --+=，解得110x =，250x =.……3分∴可设计赛道的宽度为50-10=40m.∴最多可设计赛道4条.……5分26.解：（1）当a =2时，()223y x =--，顶点坐标为（2,-3）；……1分12y y >.……2分（2）①12；……3分②∵对于任意的4≤m ≤6都满足132情况1，如示意图，当31a m -<+<时，可知32ma -+<，∴312m a m -+<<-，解得332a <<.情况2，如示意图，当31m a -<<+时可知12m a a ++<，∴11a m a m ì>-ïïíï>+ïî，∴1a m >+，解得7a >.综上所述，332a <<或7a >.……6分27.（1）①证明：连接DE .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAD =90°.∵点E 在对角线AC 上，∴∠BAC =∠DAC =45°.∵AE =AE ，∴△ABE ≌△ADE .∴BE =DE ,∠ABE =∠ADE .∵EF =BE ,∴DE =EF .∴∠F =∠ADE .∴∠F =∠ABE .……2分290∵∠BAE =45°，∴∠AGE =∠BAE =45°.∴AG =2AE ,∠EGB =135°.∵∠FAE =∠FAB +∠BAE =135°,∴∠EGB =∠FAE .∵∠F =∠ABE ,EF=EB ,∴△AEF ≌△GEB .∴BG=AF .∴AB=BG+GA=AF +2AE .……5分（2）正确补全图形；AB+AF=2AE .……7分28.解：（1）1P ，2P ；……2分（2）①由题意得：⊙T 的“中称点”在以O 为圆心，3为半径的圆内，当直线y =x +m 与此圆相切于点D 时，直线与y 轴交于点E （0,32）；相切于点F 时，直线与y 轴交于点G （0,32-）.∵直线y =x +m 上存在⊙T 的“中称点”，∴3232m -<<.……5分2551--。

2023北京丰台初三二模数 学2023. 05考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题. 满分100分. 考试时间120分钟.2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号.3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4. 选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 右图是某几何体的展开图，该几何体是（A ）圆柱（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）球2. 如图，AB ∥CD ，点E 为CD 上一点，AE ⊥BE ，若∠B =55°，则∠1的度数为（A ）35°（B ）45°（C ）55°（D ）65°3. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）a ＞c（B ）b ＞1（C ） b ＜c（D ）ac ＞04. 以下图形绕点O 旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（A ）（B ）（C ）（D ）5. 已知3.52=12.25，3.62=12.96，3.72=13.69，3.82=14.44精确到0.1的近似值是（A ）3.5（B ）3.6（C ）3.7（D ）3.86. 掷一枚质地均匀的硬币m 次，正面向上n 次，则nm的值 1DE ABC（A）一定是12（B）一定不是12（C）随着m的增大，越来越接近12（D）随着m的增大，在12附近摆动，呈现一定的稳定性7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何？（1托为5尺）其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索和竿各长几尺？设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是（A）5152x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，（B）5152x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，（C）525y xx y-=⎧⎨-=⎩，（D）525x yy x-=⎧⎨-=⎩，8. 下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x图1 图2 图3其中，变量y与x之间的函数关系大致符合右图的是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．隧道ABCO10. 分解因式：2233=x y -________.11. 正十边形的外角和为________°.12. 如图所示，正方形网格中，三个正方形A ，B ，C 的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积S A ，S B ，S C 之间的关系________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数11y x =（x ＞0）和2ky x=（x ＞0）的图象如图所示，k 的值可以是________（写出一个即可）.14. 若b a -=2，则代数式222+a b aba b a b---的值为________.15. 右图是某书店2022年7月至12月教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图. 小华认为，8月份教育类图书销售额比7月份减少了. 他的结论 （填“正确”或“错误”），理由是 .16.甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地. 每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表.物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为元.三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：3112sin 30(1)().2-+- 18. 解方程：1111x x x +=-+.y 1教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图19. 下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法. 请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明.20. 已知关于x 的一元二次方程04222=-+-m mx x . （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．21. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，点D 为AC 的中点，连接DB ，过点C 作CE ∥DB ，且CE =DB ，连接BE ，DE ．（1）求证：四边形BECD 是菱形；（2）连接AE ，当∠ACB =30°，AB =2时，求AE 的长．22. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A ，B 两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息.a . 两种花生仁的长轴长度统计表：花生仁长轴长度（mm ）12131415161718192021A 品种花生仁粒数51067200000B 品种花生仁粒数23645442b . 两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：平均数中位数众数方差A 品种花生仁a 13.5c 1.4B 品种花生仁17.5b163.9根据以上信息，回答下列问题：（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）；①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；（2）写出a ，b ，c 的值；（3）学校食堂准备从A ，B 两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A ”或“B ”）品种花生仁，理由是 ．23. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点（2，0），（3，1）．（1）求这个一次函数的表达式；A BCDE（2）当x m >时，对于x 的每一个值，正比例函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是BC 的中点，点E 是AB 的延长线上的一点，∠BCE =∠BOD ，OD 的延长线交CE 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若sin E ＝23，AC ＝5，求DF 的长．25. 学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形ABCD 构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌EFGH ，要求矩形EFGH 的顶点E ，H 在抛物线上，顶点F ，G 在矩形ABCD 的边AD 上．为了设计面积最大的矩形EFGH ，兴趣小组对矩形EFGH 的面积与它的一边FG 的长之间的关系进行研究．图1 图2具体研究过程如下，请补充完整. （1）建立模型：以FG 的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，通过研究发现，抛物线满足函数关系211224y x x (≤≤）=-+-. 设矩形EFGH 的 面积为S 2m ，FG 的长为a m ，则另一边HG 的长为________m （用含a 的代数式表示），得到S 与a 的关系式为：___________（0＜a ＜4）；HGFE DCBAED BC AOF（2）探究函数：列出S 与a 的几组对应值：a / m…0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5…S /2m …0.490.941.291.501.521.310.82…在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；（3）解决问题：结合函数图象得到，FG 的长约为_________m 时，矩形面积最大．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点（4，3）在抛物线23y ax bx =++（a ≠0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点（x 1，5），（x 2，-3）在抛物线上，求a 的取值范围；（3）若点（m ，y 1），（m +1，y 2）在抛物线上，对于任意的m ≥3，都有21y y -≥3，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD=CE ， EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）延长EF 至点G ，使FG=AF ，连接CG交AD 于点H . 依题意补全图形， 猜想线段CH 与GH 的数量关系，并证明．CEDBAF28. 对于⊙W和⊙W的弦PQ，以PQ为边的正方形为PQ关于⊙W的“关联正方形”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点T（m，0），点M（m，-1），以点T为圆心，TM的长为半径作⊙T，点N为⊙T上的任意一点（不与点M重合）．（1）当m=0时，若直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，求t的取值范围；（2）若点A在MN关于⊙T的“关联正方形”上，点B（-m+2，3）与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案CACDBDAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≥510. 3（x +y ）（x -y ）11. 36012. S A +S B =S C （答案不唯一，其他形式相应给分） 13. 2（答案不唯一，k ＞1即可） 14. 215. 错误；理由合理即可16. 9，2，9；11680.三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式=1-1-+2. ……4分=2-. ……5分18.解：去分母，得x （x +1）+（x -1）=（x +1）（x -1）.去括号，得x 2+x +x -1=x 2-1. 移项，得2x =0.系数化为1，得x =0. ……4分检验:当x =0时，（x +1）（x -1）≠0. ∴原分式方程的解为x =0. ……5分19.解：选择作法一：正确补全图形； ……2分证明：∵AB = AP ，CB = CQ ，∴PQ ∥l (三角形的中位线定理). 5分2222l选择作法二：正确补全图形； ……2分证明：∵AP = BQ ，AB = PQ ，∴四边形APQB 是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）.∴PQ ∥l (平行四边形的对边平行). ……5分20.（1）证明：∵=b 2-4ac=4m 2-4（m 2-4）=16＞0.∴该方程总有两个不相等的实数根. …3分（2）取m=0,原方程可化为 解得x 1=2，x 2=-2. ……5分（答案不唯一，取符合题意的m 值相应给分） 21.（1）证明：∵CE ∥DB ,且CE =DB , ∴四边形BECD 是平行四边形.……1分∵∠ABC =90°,点D 是AC 边中点， ∴BD=AC=CD . ∴四边形BECD 是菱形. ……2分 （2）证明：∵四边形BECD 是菱形， ∴AC ∥BE ,CD=BE .∵点D 是AC 中点， ∴AD =CD =BE .∵AD ∥BE ,AD =BE . ∴四边形ABED 是平行四边形. ∵∠ACB =30°,∠ABC =90°，∴AB =AC =AD .l∆042=-x 2121EABCDFABCD EO∴四边形ABED 是菱形.∴AE ⊥BD ，AE =2AO .∴∠AOB=90°.∵∠ACB =30°,∴∠CAB =60°.∴∠EAB=∠CAB =30°.∴AO=AB =.∴AE =2AO =. ……5分22.解：（1）②； ……1分（2）a =13.7，b =17.5，c =13； ……4分（3）A ，A 品种花生仁长轴长度方差小，说明该品种花生仁大小更均匀. 6分23.解：（1）∵一次函数的图象经过点（2，0），（3，1），∴解得∴一次函数表达式为. …3分（2） ……5分24.（1）证明：连接OC .∵D 是BC 的中点，∴OD ⊥BC . ……1分∵OC =OB ，∴∠OBC=∠OCB .∵∠BOD=∠BCF ，∴∠BOD+∠OBC=∠BCF+∠OCB .∴∠BCF+∠OCB =90°. ……2分即∠OCE =90°. ∴OC ⊥CE .∵OC ⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线. ……3分2123332y kx b =+2031,k b k b ì+=ïïíï+=ïî12k ,b .ì=ïïíï=-ïî2y x =-1≥m .ED B CA O F（2）解：∵∠OCE =90°，sin E=，∴.设OC=2k ，OE=3k ，则BE=OE -OB=k .∴AE=AB+BE=5k .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°∴∠ACB =∠ODB ，∴AC ∥OF .∴△EOF ∽△EAC . ……4分∴.∵AC =5,∴OF=3. ……5分∵CD=BD ,AO=BO ,∴OD=AC=.∴DF=OF -OD=. ……6分25.解：（1）()，； 2分（2）正确画出该函数的图象； …4分（3）2.3 . ……6分26.解：（1）由题意得抛物线经过点（0，3）和点（4，3），∴抛物线的对称轴. …1分（2）∵抛物线的对称轴，∴.∴抛物线顶点坐标为.3232=OE OC 53==AE OE AC OF1225122116a -+316a S a =-+0422x +==22bx a =-=4b a =-()234,a -∵点，在抛物线上，∴当a ＞0时，，解得；当a ＜0时，，解得.综上所述，或. ……4分（3）或. ……6分27.（1）解：∵等边△ABC ，∴AB =BC ,∠ACB=∠ABC=60°.∴∠ABD=∠BCE=120°.∵CE =BD ，∴△ABD ≌△BCE . ……1分∴∠D=∠E .∵∠DBF=∠CBE ，∴∠D+∠DBF=∠E+∠CBE .即∠AFE=∠ACB=60°. ……2分（2）正确补全图形；……3分CH=GH ； ……4分证明：在EF 上截取FM=FA,连接AM ，CM .∵∠AFE=60°，∴ △AFM 是等边三角形.∴∠FAM=∠AFM=60°，AM=AF=MF .∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC .∴∠BAC -∠MAB=∠FAM -∠MAB .即∠CAM=∠BAF .∴△ACM ≌△ABF . ……5分1(,5)x 2(,3)x 343a ≤--32a ≥345≥a -12≤-a 32a ≥12≤-a 1a ≥1a ≤-M GFAB D CH∴∠AMC=∠AFE=60°.∴∠CMF=∠AMC+∠AMB=120°.∴∠CMF+∠AFE=180°.∴CM ∥HF . ……6分∴.∵FM=AF ，AF=GF ，∴FM=GF .∴CH=GH . ……7分28.解：（1）如图，MN 关于⊙T 的“关联正方形”上的所有点在以C （-1，0）和D （1，0径，以E （-1，-1），F （1，-1）和O （0，0）为圆心，1为半径的五个圆上及圆内.由直线y=x +t 上存在点在MN 关于⊙T的“关联正方形”上，可知：当直线与⊙C 相切时，设切点为G ，交x 轴于点H ，交y 轴于点I ，由CG =，得CH =2，∴OH =OI =3，此时t =3；当直线与⊙F 相切时，设切点为J ，交y 轴于点K ，由OJ =OK ，∴此时t =.综上所述，. ……3分（2）m =1；d . ……7分MF GFCH GH21+2-23≤≤t -1。

丰台区2022—2023学年第一学期期末练习初三数学评分标准及参考答案一、二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 21=x ，22-=x 10. 5 11. 41 12. 3π2 13. 答案不唯，如：一12+=x y14. （2，1） 15. 0.318；3.14 16. 3.6；＜三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24，25题，每小题6分，第26-28题，每小题7分）17. 解： (2)(4)0x x --=.得20x -=或 40x -=. ……3分∴ 12x =，42=x . ……5分 18. 解：（1）正确画出函数图象；分（240y -≤≤ 19.（1）证明：∵ ……2分 ∴方程总有两个实数根. …3分（2）解：∵∴ 11-=x ，m x -=12. (4)分∵方程有一个根为正数，∴m -1＞0.∴1＜m . ……5分20.2分 （2）证明：连接．∵OP 是⊙T 的直径，∴∠OAP = 90 ° ……3分(直径所对的圆周角是直角)．4分 ∴OA ⊥AP ．又∵OA 为⊙O 的半径， ∴直线PA 是⊙O 的切线． ( 经过半径外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线)． ……5分同理可证,直线PB 也是⊙O 的切线． 21. 解：设该科技园总收入的月平均增长率为.x依题意，得()72015002=+x . …2分 解方程，得2.01=x ，2.22-=x （舍）. ∴ %20=x 是方程的解且符合实际意义.答：该科技园总收入的月平均增长率为%.20……5分()()222414420m m m m m ∆=--=-+=-≥，().22242-±-=-±-=m m aac b b x∴PA PC =.又∵OA OC =，PO PO =， ∴△PCO ≌△P AO .∴∠PCO=∠P AO . ∵PA 切⊙O 于点A ，∴BA ⊥P A . ∴∠P AO=90°. …2分 ∴∠PCO=90°. ∴OC ⊥PC . ∴PC 是⊙O 的切线. ……3分（2）∵OD BC ∥，∴∠POA=∠B . ∴∠POC=∠B . ……4分 ∵∠B=2∠CPO ，∴∠POC=2∠CPO . ∵∠PCO=90，∴∠POC=60°，∠CPO=30°. ∵OD ⊥AC ，∴∠OCD=90°-∠POC=30°. …5分 在Rt △CDO 中，∵OD=1， ∴OC=2OD=2.在Rt △PCO 中，∵∠CPO=30°, ∴OP=4. ∴PC=. ……6分 25. 解：（1）xx y 4022+=； ……2分 （2）28.0； ……3分（3）正确画出函数图象； ……5分（4）2.2. ……6分y/26. 解： （1）①∵m =0，∴点（1，0）在抛物线2+y x bx =上，又∵点（0，0）在抛物线2+y x bx =上，∴对称轴为直线 ……2分② t ＞2或t ＜1-； ……4分 （2）∵点（1，m ）和点（3，n ）在抛物线2+y x bx =上， ∴b m +=1，b n 39+=.∵0mn ＜，① 当0m ＞，0n ＜时，无解. ② 当0m ＜，0n ＞时，解得13--＜＜b . 综上所述13--＜＜b . ……7分 27.解：（1）①正确补全图形； ……1分②Ⅱ； ……3分（2）成立； ……4分证明：将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连接BE ，DE . ∴AD=AE ，∠DAE =60°， ∴△ADE 是等边三角形.∴∠AED =∠EAD =60°，AD=DE . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =60°，AB=AC . ∵∠BAC =∠EAD =60°， ∴∠BAC -∠2=∠EAD -∠2. 即∠1=∠3. ∴△ABE ≌△ACD .∴∠4=∠ADC =30°，BE=CD . ∴∠BED =∠4+∠AED =90°. 在Rt △BDE 中，DE 2+BE 2=BD 2. ∴AD 2+CD 2=BD 2. ……7分28.解：（1）2P ，3P ； ……2分（2）∵点D （m ，2）是ABC △关于原点O 的“伴随点”，∴ 点'D （2，m -）落在ABC △上或ABC △的内部.∴231≤-≤m . ∴123-≤≤-m . ……5分 （3）321321+≤≤-n . ……7分1.2x =4312EBCADDAC B。