数学必修模块测试样题：数学2(人教B版)

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第二册 全册综合测试卷二（附答案）第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（ ） A .[1,1]-B .1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[1,2]D .2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A .1-B .0C .1D .2 3.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（ ） A .(1,3)-B .(,3)-∞C .(,1)-∞D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()2a f =，121log 4b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2log c f ⎛= ⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b ＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨⎩＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,(1,)m n ∈+∞，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（ ）ABCD7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。

其中正确命题的个数是（ ） A .1B .2C .3D .48.设函数()2ln 1y x x =-+，则下列命题中不正确的是（ ） A .函数的定义域为RB .函数是增函数C .函数的图像关于直线12x =对称D .函数的值域是3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温()y ℃与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度()y ℃与时间(min)t 近似满足函数关系式101802t ay b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）.通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）A .35minB .30minC .25minD .20min10.已知函数22log ,02,()43,2,x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩＜≤＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A .[2,3]B .(2,3)C .[2,3)D .(2,3]二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A .函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B .已知函数log (2)a y ax =-（0a ＞且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)C .在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称D .已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞内有1 010个零点，则函数()f x 的零点个数为2 02112.定义“正对数”：0,01,ln ln , 1.x x x x +⎧=⎨⎩＜＜≥若0a ＞，0b ＞，则下列结论中正确的是（ ）A .()ln ln b a b a ++=B .ln ()ln ln ab a b +++=+C .ln ()ln ln a b a b +++++≥D .ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x ＞时，()e 1x f x =+，则(ln2)f -的值为________.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.72≈，lg70.85≈）15.已知函数()log (1)a f x x =-+（0a ＞且1a ≠）在[2,0]-上的值域是[1,0]-.若函数()3x m g x a +=-的图像不经过第一象限，则m 的取值范围为________.16.若不等式()21212xxm m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1()231251log 227-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）计算：1324lg 2493-18.（12分）已知幂函数()221()1m f x m m x --=--⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()22x x m g x =+. （1）求实数m 的值，并简要说明函数()g x 的单调性； （2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为(01)x x ＜＜. （1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ； （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）20.（12分）已知函数2()lg 2lg(10)3f x x a x =-+，1,10100x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()y f x =的最小值记为()m a ，求()m a 的最大值.21.（12分）已知函数()log a f x x b =+（其中,a b 均为常数，0a ＞且1a ≠）的图像经过点()2,5与点()8,7.（1）求,a b 的值；（2）设函数2()x x g x b a +=-，若对任意的1[1,4]x ∈，存在[]220,log 5x ∈，使得()()12f x g x m =+成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围； （3）若函数[]1()22()421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，是否存在实数()h x 使得最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.第四章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由[1,1]x ∈-，得13,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ∈.2.【答案】C1()2)2f x x =-+，11()()2)2)2)2)122f x f x x x x x ∴+-=+++=++22lg(144)1lg111x x =+-+=+=，1(lg 2)lg (lg 2)(lg 2)12f f f f ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭.3.【答案】A 【解析】函数2()log f x x =在定义域内单调递增，2(4)log 42f ==，∴不等式(1)2f a +＜等价于014a +＜＜，解得13a -＜＜，故选A .4.【答案】C【解析】2||2||()()e e ()x x f x x x f x --=-+=+=知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，()02(1)a f f ==，121log (2)4b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，211log 22f f f c ⎛⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎭⎝⎝⎭=⎝⎭，所以1(2)(1)2f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞.5.【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -⎧⎪-+⎨⎪⎩＜≥＜＜解得1173a ≤＜，故选B .6.【答案】A【解析】由题意，得26log log 2log 6log 13m m n n n m n m +=+=，令log (1)m t n t =<，则6213t t +=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =21m n=，所以2()mn f x x =的图像即为()f x x =的图像，故选A .7.【答案】C【解析】由e e ()()2x x f x f x -+-==，知e 2e x xy -+=为偶函数，因此①正确；由11e e 221111e e e x x x x x y -+-===-+++知1e e 1x x y -=+在R 上单调递增，因此②正确；当0x ＞时，lg lg y x x ==，它在(0,)+∞上是增函数，因此③错误；由313log log y x x =-=知13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称，因此④正确，故选C .8.【答案】B【解析】A 中命题正确，22131024x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴函数的定义域为R ；B 中命题错误，函数()2ln 1y x x =-+在12x ＞时是增函数，在12x ＜时是减函数；C 中命题正确，函数的图像关于直线12x =对称：D 中命题正确，由221331244x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()23ln 1ln 4y x x =-+≥，∴函数的值域为3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选B .9.【答案】C【解析】由题图知，当05t ≤＜时，函数图像是一条线段，当5t ≥时，因为函数的解析式为101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将(5,100)和(15,60)代入解析式，得5101510110080,216080,2aa b b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得5,20,a b =⎧⎨=⎩故函数的解析式为51018020,52t y t -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥.令40y =，解得25t =，所以最少需要的时间为25min . 10.B 根据已知画出函数()f x 的草图如下。

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第二册 全册综合测试卷二（附答案）第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（ ） A .[1,1]-B .1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[1,2]D .2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A .1-B .0C .1D .2 3.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（ ） A .(1,3)-B .(,3)-∞C .(,1)-∞D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()2a f =，121log 4b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2log c f ⎛= ⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b ＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨⎩＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,(1,)m n ∈+∞，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（ ）ABCD7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。

其中正确命题的个数是（ ） A .1B .2C .3D .48.设函数()2ln 1y x x =-+，则下列命题中不正确的是（ ） A .函数的定义域为RB .函数是增函数C .函数的图像关于直线12x =对称D .函数的值域是3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温()y ℃与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度()y ℃与时间(min)t 近似满足函数关系式101802t ay b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）.通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）A .35minB .30minC .25minD .20min10.已知函数22log ,02,()43,2,x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩＜≤＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A .[2,3]B .(2,3)C .[2,3)D .(2,3]二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A .函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B .已知函数log (2)a y ax =-（0a ＞且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)C .在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称D .已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞内有1 010个零点，则函数()f x 的零点个数为2 02112.定义“正对数”：0,01,ln ln , 1.x x x x +⎧=⎨⎩＜＜≥若0a ＞，0b ＞，则下列结论中正确的是（ ）A .()ln ln b a b a ++=B .ln ()ln ln ab a b +++=+C .ln ()ln ln a b a b +++++≥D .ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x ＞时，()e 1x f x =+，则(ln2)f -的值为________.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.72≈，lg70.85≈）15.已知函数()log (1)a f x x =-+（0a ＞且1a ≠）在[2,0]-上的值域是[1,0]-.若函数()3x m g x a +=-的图像不经过第一象限，则m 的取值范围为________.16.若不等式()21212xxm m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1()231251log 227-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）计算：1324lg 2493-18.（12分）已知幂函数()221()1m f x m m x --=--⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()22x x m g x =+. （1）求实数m 的值，并简要说明函数()g x 的单调性； （2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为(01)x x ＜＜. （1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ； （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）20.（12分）已知函数2()lg 2lg(10)3f x x a x =-+，1,10100x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()y f x =的最小值记为()m a ，求()m a 的最大值.21.（12分）已知函数()log a f x x b =+（其中,a b 均为常数，0a ＞且1a ≠）的图像经过点()2,5与点()8,7.（1）求,a b 的值；（2）设函数2()x x g x b a +=-，若对任意的1[1,4]x ∈，存在[]220,log 5x ∈，使得()()12f x g x m =+成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围； （3）若函数[]1()22()421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，是否存在实数()h x 使得最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.第四章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由[1,1]x ∈-，得13,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ∈.2.【答案】C1()2)2f x x =-+，11()()2)2)2)2)122f x f x x x x x ∴+-=+++=++22lg(144)1lg111x x =+-+=+=，1(lg 2)lg (lg 2)(lg 2)12f f f f ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭.3.【答案】A 【解析】函数2()log f x x =在定义域内单调递增，2(4)log 42f ==，∴不等式(1)2f a +＜等价于014a +＜＜，解得13a -＜＜，故选A .4.【答案】C【解析】2||2||()()e e ()x x f x x x f x --=-+=+=知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，()02(1)a f f ==，121log (2)4b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，211log 22f f f c ⎛⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎭⎝⎝⎭=⎝⎭，所以1(2)(1)2f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞.5.【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -⎧⎪-+⎨⎪⎩＜≥＜＜解得1173a ≤＜，故选B .6.【答案】A【解析】由题意，得26log log 2log 6log 13m m n n n m n m +=+=，令log (1)m t n t =<，则6213t t +=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =21m n=，所以2()mn f x x =的图像即为()f x x =的图像，故选A .7.【答案】C【解析】由e e ()()2x x f x f x -+-==，知e 2e x xy -+=为偶函数，因此①正确；由11e e 221111e e e x x x x x y -+-===-+++知1e e 1x x y -=+在R 上单调递增，因此②正确；当0x ＞时，lg lg y x x ==，它在(0,)+∞上是增函数，因此③错误；由313log log y x x =-=知13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称，因此④正确，故选C .8.【答案】B【解析】A 中命题正确，22131024x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴函数的定义域为R ；B 中命题错误，函数()2ln 1y x x =-+在12x ＞时是增函数，在12x ＜时是减函数；C 中命题正确，函数的图像关于直线12x =对称：D 中命题正确，由221331244x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()23ln 1ln 4y x x =-+≥，∴函数的值域为3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选B .9.【答案】C【解析】由题图知，当05t ≤＜时，函数图像是一条线段，当5t ≥时，因为函数的解析式为101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将(5,100)和(15,60)代入解析式，得5101510110080,216080,2aa b b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得5,20,a b =⎧⎨=⎩故函数的解析式为51018020,52t y t -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥.令40y =，解得25t =，所以最少需要的时间为25min . 10.B 根据已知画出函数()f x 的草图如下。

必修2综合测评(B卷)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A．2 B．2 3C．43D．83解析：多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－43＝83，选D．答案：D2．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°解析：由题得πrl＝2πr2，∴l＝2r，扇形的弧长为2πr＝πl，∴扇形是半圆，圆心角为180°，故选C．答案：C3．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l与l1垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：直线l 的倾斜角为3π4，所以斜率为－1， ∵l 1⊥l ，所以2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又l 1∥l 2，所以－2b ＝1，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，故选B ． 答案：B4．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( ) A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β C ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β D ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 答案：D5．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为( )A ．－79B ．－13C ．－79或－13D ．－79或1解析：若AB ∥l ，则3＋46＋3＝－a ，∴a ＝－79，若l 过AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则32a －12＋1＝0， a ＝－13.故选C ． 答案：C6．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为( ) A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)解析：设点A 关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为A ′(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 02＝0，－2＋y 02＝1，4＋z2＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝4，z 0＝－10.∴A ′(－3,4，－10)．答案：A7．已知圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝5，一束入射光线从点A (－1，1)出发经直线x ＋y ＋2＝0反射后与圆C 相交于点P ，求入射光线从点A 到点P 的最短路程为( )A ． 5B ．2 5C ．3 5D ．4 5解析：A (－1,1)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋1×(－1)＝－1，m －12＋n ＋12＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝－1，∴A ′(－3，－1)，C (3,2)，∴|A ′C |＝(3＋3)2＋(2＋1)2＝3 5.∴入射光线从点A 到点P 的最短路程为|A ′C |－5＝25，故选B ． 答案：B8．若点M 在圆x 2＋y 2－2x －10y ＋25＝0上，点N 在直线y ＝x －2上，则N到点P (3,2)的距离与N 到M 的距离之和的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：圆的方程可化为(x －1)2＋(y －5)2＝1， 圆心为C (1,5)，r ＝1，P (3,2)关于直线y ＝x －2的对称点设为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x －3＝－1，y ＋22＝x ＋32－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，∴Q (4,1)，∴|CQ |＝(4－1)2＋(1－5)2＝5，|NP |＋|NM |＝|NQ |＋|NM |≥|CQ |－r ＝5－1＝4，故选C ． 答案：C9．过三个点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－1)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2B ．3 6C ．4 6D ．5 6解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －E ＋F ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝0，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.令x ＝0，y 2－2y ＝0，∴y ＝0或y ＝2，∴|MN |＝2，故选A ．答案：A10．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析：∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥BE ，故A 正确；EF ∥BD ，∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确；A 到平面BB 1D 1D 的距离为定值，△BEF 的面积为定值，故C 正确，D 不正确，故选D ．答案：D11．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34解析：由y ＝1＋4－x 2，得x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，表示如图所示半圆．直线y ＝k (x －2)＋4恒过点(2,4)，设A (－2,1)，B (2,1)，P (2,4)，直线MP 与半圆相切， 直线MP 的方程为y －4＝k MP (x －2)， 即k MP x －y －2k MP ＋4＝0， 圆心到直线MP 的距离为|3－2k MP |1＋k 2MP＝2，解得k MP ＝512，又k P A ＝4－12－(－2)＝34，∴512＜k ≤34，故选D ． 答案：D12．如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 到C ′位置．折叠后三棱锥C ′－ABD 的俯视图如图2所示，那么其主视图是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．两腰长都为32的等腰三角形 D ．两腰长都为22的等腰三角形解析：由题可知，折起后C ′在底面的射影落在BD 的中点O 上，所以C ′O ＝22，所以主视图如图示，是等腰三角形，高为22，底面边长为1，所以腰为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，故选C ．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1,0)和D(0，a)，若l1∥l2，则a的值为________．解析：l1，l2的斜率分别为2，－a，由l1∥l2，可知a＝－2.答案：－214．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________(填“平行”“相交”或“异面”)．答案：相交15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.解析：因为M(1,1)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5上，所以圆心与切点M(1,1)的连线与切线l垂直，又知l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以圆心与切点M(1,1)的连线与直线ax＋y－1＝0斜率相等，－a＝1－21－(－1)＝－12，所以a＝12.答案：1 216．下图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：该几何体是一个圆柱挖去了半个球组成的，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为3，所以S 表＝π＋2π×3＋2π＝9π.答案：9π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)圆心在直线5x －3y －8＝0上的圆与两坐标轴都相切，求此圆的方程．解：设圆心为(x ，y )与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x ＝y 或x ＝－y ，又圆心在5x －3y －8＝0上若x ＝y ，则x ＝y ＝4；若x ＝－y ，则x ＝1，y ＝－1， 所以圆心是(4,4)或(1，－1)，因为半径就是圆心到切线的距离，即到坐标轴的距离， 所以圆心是(4,4)，则r ＝4；圆心是(1，－1)，则r ＝1，所以所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16和(x －1)2＋(y ＋1)2＝1. 18．(12分)已知圆心为C 的圆经过点A (5，－2)和B (3,2)，且圆心在直线l 1：x －y －2＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)已知过点M (－3，－3)的直线l 2被圆C 所截得的弦长为8，求直线l 2的方程．解：(1)k AB ＝2－(－2)3－5＝－2，AB 的中点为(4,0)， ∴AB 的中垂线的方程为y ＝12(x －4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12(x －4)，y ＝(x －2)，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－2，∴圆心坐标为(0，－2)．又r 2＝AC 2＝(5－0)2＋(－2＋2)2＝25， 故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋2)2＝25.(2)当k不存在时，直线方程为x＝－3，满足题意；当k存在时，设l2：y＋3＝k(x＋3)，圆心(0，－2)到直线l2：y＋3＝k(x＋3)的距离为d＝|3k－1|1＋k2，由d2＋16＝r2，得d2＝9，∴|3k－1|1＋k2＝3，∴k＝－43，所以直线方程为l2：4x＋3y＋21＝0，故所求直线方程为x＝－3或4x＋3y＋21＝0.19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面P AC.证明：(1)连接BD，∵底面ABCD为平行四边形，∴AC与BD交于O点，连接OM，∴OM为△PBD的中位线，故OM∥PB，OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.(2)∵PO⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，∴∠ACD＝45°，∴∠DAC＝90°，∴AD⊥AC，∵AC∩PO＝O，∴AD ⊥平面P AC .20．(12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB 的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，F 为AB 的中点， ∴AF ═∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形， ∴AD ∥CF .又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1. ∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ， ∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.21．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22．(12分)如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面EDC ⊥底面ABCD ，ED ＝EC ＝BC ＝4，CF ⊥平面BDE ，且点F 在EB 上．(1)求证：DE ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥A －BDE 的体积；(3)设点M 在线段DC 上，且满足DM ＝2CM ，试在线段EB 上确定一点N ，使得MN ∥平面ADE .解：(1)证明：∵ABCD 是矩形，∴BC ⊥DC ，∵平面EDC ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥平面EDC .∴DE ⊥BC .∵CF ⊥平面BDE ，∴DE ⊥CF ，∵BC∩CF＝C，BC⊂平面BCE，CF⊂平面BCE. ∴DE⊥平面BCE.(2)过点E作EH⊥DC，H为垂足．∵平面EDC⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，∵ED＝EC＝4，DE⊥CE，∴DC＝42，EH＝22，∴V A－BDE ＝V E－ABD＝13×12×4×42×22＝323.(3)过点M作MG∥DE交CE于G，过G作GN∥BC交EB于N，连接MN，∵GN∥BC，BC∥AD，∴GN∥AD，∵MG∥DE，GN∩MG＝G，AD∩DE＝D，∴平面MGN∥平面ADE.∵MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴线段EB上存在点N，当BN＝13BE时，使得MN∥平面ADE.。

模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．10A 〖lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.〗 2．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →D 〖起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0才对，故选D ．〗3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A ．13B ．14C ．15D ．16A 〖因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.选A ．〗4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1D 〖当x <0时，－x >0，∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1． 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1． 故选D ．〗5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．23B ．－23C ．25D ．13A 〖由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.〗6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15B 〖设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ．〗7．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)C 〖设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v .即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.〗8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1〗B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D 〖当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1．作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D ．〗 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD →与AB →B ．DA →与BC → C ．CA →与DC →D ．OD →与OB →AC 〖平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图： 对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．〗10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．(x 1－x 2)〖f (x 1)－f (x 2)〗＜0D ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2 ACD 〖f (x )＝2－x ，f (x 1＋x 2)＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)f (x 2)＝2－x 1·2－x 2＝2－(x 1＋x 2)，故A 对； f (x 1·x 2)＝2－(x 1＋x 2)≠2－x 1＋2－x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故B 错； ∵f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，所以(x 1－x 2)〖f (x 1)－f (x 2)〗＜0，故C 对；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)2＝2－x 1＋2－x 22，由基本不等式，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，故D 对． 故选ACD ．〗11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( ) A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD 〖设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD ．〗12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g (x )＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)为“同族函数”的是( )A ．f (x )＝2x －1x ，x ∈(1，＋∞)B ．f (x )＝11＋x 2，x ∈RC ．f (x )＝log 2(2|x |＋1)，x ∈RD ．f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1，x ∈RAD 〖函数g (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，定义域是(0，＋∞)，值域是(1，＋∞)．对于A ，f (x )＝2x －1x，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )是单调增函数，且f (x )＞2－1＝1，∴f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”；对于B ，f (x )＝11＋x 2，当x ∈R时，f (x )的值域是(0,1〗，值域不同，∴不是“同族函数”；对于C ，f (x )＝log 2(2|x |＋1)，当x ∈R 时，2|x |≥1，∴log 2(2|x |＋1)≥1，∴f (x )的值域是〖1，＋∞)，值域不同，不是“同族函数”；对于D ，f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x ＋1)2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”．〗三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上． 13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. －7 〖由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.〗14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100 〖成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．〗15．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，且2f (x )－e x －m ≥0在x ∈〖1,2〗上恒成立，则实数m 的取值范围为________．(－∞，e －2〗 〖由f (x )＋g (x )＝e x ，①可得f (－x )＋g (－x )＝e －x ， 即f (x )－g (x )＝e －x ，② 由①②，解得f (x )＝e x ＋e －x2.2f (x )－e x －m ≥0在x ∈〖1,2〗上恒成立， 即m ≤2f (x )－e x ＝e －x 在x ∈〖1,2〗上恒成立． 又函数y ＝e －x 在〖1,2〗上单调递减，所以y min ＝e －2， 所以m ≤e －2，即实数m 的取值范围为(－∞，e －2〗．〗16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|a －b|＝|a ＋b －c|＝1，则|c|的最大值M ＝________，|c|的最小值m ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)3＋13－1 〖因为|a|＝|b|＝|a －b|＝1．所以a ，b ，a －b 可构成等边三角形，且|a＋b|＝3，因为|a ＋b －c|＝1，所以如图所示，c 的终点在以a ＋b 的终点为圆心、半径为1的圆上，故M ＝3＋1，m ＝3－1．〗四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求2a ＋3b ，a －2b ；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值． 〖解〗 (1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴2a ＋3b ＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a －2b ＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)． (2)依题意得k a ＋b ＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k ＋1,4)， a ＋2b ＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行， ∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？ 〖解〗 (1)第4组频率为0.008×(149.5－124.5)＝0.2. (2)设参加这次测试的人数为x ， 则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1， ∴x ＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为〖1－0.004×(74.5－49.5)〗×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围． 〖解〗 (1)由图像知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，因此a ＝3，b ＝－3. (2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线．〖解〗 (1)因为BC ＝4BD ，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)＝14AC →－14AB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14AC →－14AB →＝34AB →＋14AC →.因为AC ＝3CE ，所以AE →＝23AC →，所以BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →.(2)证明：因为AM →＝23AB →＋29AC →，所以BM →＝AM →－AB →＝－13AB →＋29AC →.因为BE →＝23AC →－AB →＝3⎝⎛⎭⎫－13AB →＋29AC →，所以BE →＝3BM →，即BE →与BM →共线． 又因为BE →与BM →有公共点B ， 所以B ，M ，E 三点共线．21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．〖解〗 (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88，∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分， ∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35.22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )在区间〖t ，t ＋1〗上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．〖解〗 (1)由log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1>1，得1x＋1>2，解得{x |0<x <1}．(2)log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝⎛⎭⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解． 当a ＝0时，x ＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或a ＝－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ，log 2⎝⎛⎭⎫1x 1＋a >log 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间〖t ，t ＋1〗上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)． f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝⎛⎭⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎡⎦⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫23，＋∞.。

必修2 模块综合检测(时间：120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线y ＝3x ＋1与直线x ＋By ＋C ＝0垂直，则( ) A ．B ＝－3 B ．B ＝3 C ．B ＝－1 D ．B ＝1 解析：选B.y ＝3x ＋1即3x －y ＋1＝0 ∴3×1＋(－1)×B ＝0，∴B ＝3.2．棱长都为1的三棱锥的表面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3解析：选A.棱长都为1的三棱锥的三个侧面与底面都是全等的正三角形，∴表面积S ＝4×34×12＝ 3.3．空间五点最多可确定的平面个数是( ) A ．1个 B ．5个 C ．10个 D ．20个解析：选C.最多的情况是任意三点不共线，此时任意三点可确定一个平面，故共10个． 4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4解析：选B.由两直线垂直，得2m －20＝0，∴m ＝10.将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，再将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12.∴m －n ＋p ＝10－(－12)＋(－2)＝20.5．表面积为36π的一个球，有一个表面积为Q 的外切多面体，则这个多面体的体积是( )A ．QB ．2Q C.13Q D.43Q 解析：选A.易知球半径为3，将多面体分割成若干个锥体，每个锥体的高为3.∴V ＝13Q ·3＝Q .6．如图所示，在一个封闭的立方体的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F ，现摆成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 的对面的字母分别是( )A ．D 、E 、FB ．F 、D 、EC ．E 、F 、D D ．E 、D 、F 解析：选D.结合3个图可分析得出．7．将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正方向平移1个单位后得到圆C ，若过点(3,0)的直线l 与圆C 相切，则直线l 的斜率为( )A. 3 B ．± 3C.33 D ．±33解析：选D.圆心C (1,0)，设l ：y －0＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，∵l 与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径1，∴|k －3k |k 2＋1＝1，∴k ＝±33.8．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点关于y 轴对称，则k 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．任何实数解析：选B.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y －9＝0， (1＋k 2)x 2＋2kx －9＝0，设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k 1＋k2，由于A 、B 关于y 轴对称，则x 1＋x 2＝0，∴k ＝0.9．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－15<a <1B ．－15≤a <1C ．a >1或a <－15D ．a ≥1或a ≤－15解析：选A.由题意可得交点为P (a,3a )，∴(a －1)2＋(3a －1)2<4.解得－15<a <1.10．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．(－125，－25)B ．(0,2)C ．(－125，－25)∪(0,2)D ．(－125，2)解析：选C.圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m )，r 2＝3.由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m <－25或0<m <2.11．已知Rt △ABO 的三个顶点A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，则其内切圆方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －12)2＋(y －1)2＝1C ．(x －52)2＋(y －52)2＝54D ．(x －3－52)2＋(y －3－52)2＝3－524解析：选D. 设内切圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，如图所示，则有a ＝b ＝r .又∵|OA |＝1，|OB |＝2，|AB |＝5，∴r ＝|OA |＋|OB |－52＝1＋2－52＝3－52，a ＝b ＝3－52.故内切圆的方程为(x －3－52)2＋(y －3－52)2＝3－524.12．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现在用一个竖直的平面去截这个几何体，所得的截面的图形可能是( )A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)解析：选D.这是圆柱和圆锥构成的组合体．当竖直的平面经过圆柱的轴时得到图(1)，当竖直的平面不经过轴时，得到的是图(5)．故选D.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是△ABC的 ________心；(3)若P点到三边AB，BC，CA的距离相等且O在△ABC内，则O是△ABC的________心；(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则O是AB边的______点；(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则O点在________上．解析：结合三角形的外心、内心、垂心的知识判断，外心到各顶点的距离相等，内心到各边的距离相等，垂心是高线的交点．(1)由三角形全等可证得O为△ABC的外心．(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得O是△ABC的垂心．(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得O是△ABC的内心．(4)由三角形全等可证得O是AB边的中点．(5)由(1)知，O在BC边的高线上，或者说在∠BAC的平分线上，或者说在BC边的中线上．答案：(1)外(2)垂(3)内(4)中(5)BC边的高线或∠BAC的平分线或BC边的中线14．如图(1)直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图(2)、(3)所示，则其左视图的面积为________．解析：其左视图是底为32×2＝3，高为2的矩形．所以面积S＝2×3＝2 3.答案：2 315．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为52，圆半径为3 2.由图形可分析出，半径最小的圆的半径是2，圆心为(2,2)，所以圆方程为(x－2)2＋(y －2)2＝2.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2.16．过定点M(1,2)的两直线l1与l2，l1与x轴交于点A，l2与y轴交于点B，且l1⊥l2，则线段AB中点的轨迹方程是____________．答案：2x＋4y－5＝0三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．自点M(1,3)向圆O：x2＋y2＝1引切线，求切线方程及切线的长．解：点M(1,3)在圆O：x2＋y2＝1外，因此过点M向圆引切线有两条．①当直线的斜率不存在时，切线为x＝1；②当直线的斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－1)，根据切线垂直于过切点的半径，得d ＝|k －3|1＋k2＝1，解得k ＝43，直线为4x －3y ＋5＝0. 综上可知，切线方程为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.由于半径、切线段和OM 组成直角三角形，故切线长为d ′＝1－02＋3－02－12＝3.18．正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连接AE 、EF 、AF .以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠这个正方形，使点B 、C 、D 重合于一点P ，得到一个四面体，如图(2)所示．(1)求证：AP ⊥EF ；(2)求证：平面APE ⊥平面APF .证明：(1)∵∠APE ＝∠APF ＝90°， PE ∩PF ＝P ，∴PA ⊥平面PEF .∵EF ⊂平面PEF ， ∴PA ⊥EF .(2)∵∠APE ＝∠EPF ＝90°， AP ∩PF ＝P ， ∴PE ⊥平面APF . 又PE ⊂平面APE .∴平面APE ⊥平面APF .19．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点O ？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：法一：假设存在且令l 为y ＝x ＋m .圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点，即N (－m ＋12，m －12)．以AB 为直径的圆过原点，|AN |＝|ON |.又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2，所以|AN |＝CA 2－CN 2＝9－3＋m 22.又|ON |＝－m ＋122＋m －122，由|AN |＝|ON |，得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法二：假设存在，令y ＝x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消去y ，得2x 2＋(2m ＋2)x ＋m 2＋4m －4＝0.① 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.由方程①，得x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m 2＋4m －42.② y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.把②代入，m 2＋3m －4＝0.解得m ＝1或m ＝－4. 将m ＝1和m ＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0， 所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.20．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD4，H为C 1G 的中点，求：(1)FH 的长；(2)三角形FHB 的周长．解：如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，B (1，1,0)，G (0，34，0)，C 1(0,1，1)．(1)因为F 和H 分别为BD 和C 1G 的中点，所以F (12，12，0)，H (0，78，12)．所以FH ＝ 12－02＋12－782＋0－122＝418. (2)由(1)可知FH ＝418， 又BH ＝1－02＋1－782＋0－122`＝98， BF ＝22， 所以三角形FHB 的周长等于42＋41＋98.21．如图所示几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少．(π＝3.14)解：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm.故正方体的表面积为16×6＝96 cm 2，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28 cm 2，几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68 cm 2.22．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋．如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？解：半球形的冰淇淋的体积与圆锥的体积大小，决定着融化了的冰淇淋是否会溢出杯子． 由图形可知半球形的冰淇淋的半径为4 cm ，圆锥的高为12 cm ，圆锥的底面圆的半径为4 cm ，∴冰淇淋的体积V 1＝23πR 3＝1283π(cm 3)．圆锥的体积V 2＝13πR 2·h ＝1923π(cm 3)．由于V 1<V 2，所以冰淇淋融化后不会溢出杯子．。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面与c可以相交、平行或异面,分别如图中的①,②,③.2已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3B.1或C.3或D.1或2k=3时,l1:-2y+1=0,l2:-2y+3=0,显然平行;当k=2时,l1:-x+1=0,l2:-2x-2y+3=0,显然不平行;当k≠3,且k≠2时,要使l1∥l2,应有⇒k=.综上所述k=3或k=,故选C.3由三视图可知,该几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台,其中有一侧棱垂直于底面,底面为直角梯形.4在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)P(2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点P作直线3x-4y-27=0的垂线方程为4x+3y+m=0.因为点P(2,1)在此垂线上,所以4×2+3×1+m=0.所以m=-11.由联立求解,得所求的点的坐标为(5,-3).5若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.6某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3,其体积为6×4×3+×3×4×3=90 (cm3).7若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为d=.所以当a=2时,d有最小值=3,此时切线长最小,为=4,故选C.8一块石材表示的几何体的三视图如图,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),则可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知主视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可得R==2.9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=4相切于第三象限的直线方程是()A.x+y+2=0B.x+y+2=0C.x+y-2=0D.x+y-2=0y=-x+k(k<0),又圆心(0,0)到直线y=-x+k的距离为2,即=2,∴k=±2,又k<0,∴k=-2.故直线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.10如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段MN在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN的体积是 ()A.12B.10C.6D.不确定R-PQMN的高为d,则d=,S四边形PQMN=×(1+3)×3=6,V R-PQMN=S四边形PQMN·d=×6=6,故选C.11已知点A,B,C,D为同一球面上的四点,且AB=AC=AD=2,AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.12πD.8π,且该正方体的八个顶点都在球面上,即球为正方体的外接球,所以2=2R,R=,S=4πR2=12π,故选C.12已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是()A.3-B.4C.3+D.6x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2=3+,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13正方体不在同一表面上的两个顶点的坐标分别为A(1,3,1),B(5,7,5),则正方体的棱长为.,|AB|为正方体的对角线长.设正方体的棱长为x,则|AB|=x.∵|AB|==4,∴4x,即x=4.14经过点P(2,-3)作圆x2+y2=20的弦AB,且使|AB|=8,则弦AB所在的直线方程为.,因为|AB|=8,所以|OC|==2.当直线AB的斜率存在时,设AB所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,圆心O到AB的距离为=2,解得k=-.此时,AB所在的直线方程为5x+12y+26=0.当直线AB的斜率不存在时,可知AB所在的直线方程为x=2时,符合题意.故所求弦AB所在直线的方程是5x+12y+26=0或x=2.x+12y+26=0或x=215设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是.,所以.又圆柱的侧面积S侧=2πrh,所以S侧1=2πr1h1=S侧2=2πr2h2,则,故.16在三棱锥P-ABC中,底面是边长为2 cm的正三角形,PA=PB=3 cm,转动点P时,三棱锥的最大体积为.P到平面ABC距离最大时体积最大,此时平面PAB⊥平面ABC,如图,易求得PD=2 cm.所以V=×4×2(cm3).cm3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1:4x+3y+1=0与l2:4x+3y+6=0截得的线段长|AB|=,求直线l的方程.l与l1,l2不垂直,则设直线l的方程为y-2=k(x-1).由解得A;由解得B.∵|AB|=,∴,整理,得7k2-48k-7=0,解得k1=7或k2=-.因此,所求直线l的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.18(本小题满分12分)如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;(2)求的最大值.C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,∴BC⊥AC.又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1,又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC.又BC⊂平面BA1C,∴平面A1AC⊥平面BA1C.Rt△ACB中,设AC=x,∴BC=(0<x<2),∴S△ABC·AA1=AC·BC·AA1=(0<x<2).∵0<x<2,∴0<x2<4.∴当x2=2,即x=时,的值最大,且的最大值为.19(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)BE⊥平面PAC.设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.20(本小题满分12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2.k AB=a=-,所以a=.把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).由于∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.21(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.(1)求证:PC∥平面EBD;(2)求三棱锥C-PAD的体积V C-PAD;(3)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.AC,BD相交于点F,连接EF,∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,又∵E为PA的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,∴PC∥平面EBD.底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,又∵PA⊥底面ABCD,∴PA为三棱锥P-ACD的高,∴V C-PAD=V P-ACD=S△ACD·PA=×22×2=.PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为.22(本小题满分12分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。

高中数学 综合模块测试1 新人教B 版必修2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.“{1,1,0},210x x ∀∈-+>”是 ▲ 命题.（填写“真”或“假”）2. 若平面α与平面β相交于直线l ，直线m 与直线l 相交于点P ，则直线m 与平面α的公共点的个数可能为 ▲ .3. 直线1y =+的倾斜角大小为 ▲ .4. 若点B 是(1,3,4)A -关于坐标平面xOz 的对称点，则AB = ▲ .5. 过(0,4),(2,0)-两点的直线的方程的一般式为 ▲ .6. 已知圆C 的圆心坐标为(2,3)-，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则圆C 的标准方程为 ▲ .7. “(0)0f =”是“函数()f x 是R 上的奇函数”的 ▲ 条件.（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）8. 空间三条直线,,a b c .下列正确命题的序号是 ▲ .①若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；②若//,a b //b c ，则//a c ；③过空间一点P 有且只有一条直线与直线a 成60°角；④与两条异面直线,a b 都垂直的直线有无数条.9. 与直线210x y +-=切于点(1,0)A ，且经过点(2,3)B -的圆的方程为 ▲ .10. 下列命题正确．．的序号是 ▲ ．（其中,l m 表示直线，,,αβγ表示平面） ①若,,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⊥则；②若,,,l m l m αβαβ⊥⊂⊂⊥则；③若,//,αγβγαβ⊥⊥则；④若//,,,l m l m αβαβ⊥⊂⊥则.11. 已知点(1,3)A 和点(5,2)B 分别在直线320x y a ++=的两侧，则实数a 的取值范围为 ▲ .12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，若过AC 作平面1//D B α，则截面三角形的面积为▲ .13. 在三棱锥S ABC -中，侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直且长度均为a ，点H 在BC 上，且SH BC ⊥，则sin HAS ∠的值为 ▲ . 14. 若△ABC 的一个顶点(3,1)A -，,B C ∠∠的平分线分别为0,x y x ==，则直线BC 的方程为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.（1）若1l 和2l 相交于点(,1)P m -，求m 、n 的值；（2）若12//l l ，求m 、n 的值；（3）若点(0,1)Q 到直线2l 的距离为1，求m 的值.16.（本题满分14分）如图，已知一个圆锥的底面半径为R ，高为h ，在其中有一个高为x 的内接圆柱（其中,R h均为常数）.（1）当23x h =时，求内接圆柱上方的圆锥的体积V ； （2）当x 为何值时，这个内接圆柱的侧面积最大？并求出其最大值。

必修二高中数学人教B 版模块综合测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R ，则这个几何体的体积是( ) A.31πR 3 B.32πR 3 C.πR 3 D.334R π 解析：由题意,这个几何体是球,故体积为34πR 3. 答案：D2.在空间直角坐标系中，方程x 2-4(y-1)2=0表示的图形是( )A.两个点B.两条直线C.两个平面D.一条直线和一个平面解析：由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0，∴x+2y-2=0或x-2y+2=0.答案：C3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是( )A.20B.14C.12D.6解析：相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有6个平面.又因为每个顶点对应一个符合条件的平面,这样又有8个平面,共有14个平面.答案：B4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解：设(x 0,y 0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x 0+3y 0-6=0.(*) 又由对称性知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+.12,1200y y x x∴⎩⎨⎧--=-=.2,200y y x x 代入(*)式得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. 答案：D5.与圆C:x 2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条解析：原点在圆C 外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为3, ∴32|50|=--a .∴a=-5±6.∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.答案：C6.(2020高考天津卷,文7)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析：本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系.①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.答案：C7.(2020高考全国卷Ⅰ,理7文9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A.16πB.20πC.24πD.32π 解析：本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为62,根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π. 答案：C 8.将若干毫升水倒入底面半径为4 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )A.36B.6C.3184D.398 解：设水面高度为h.由42×8π=31×(33h)2πh ， ∴h=3184.故选C. 答案：C9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ 相交,则a 的取值范围是( )A.a≥34 B.a≤34- C.25-≤a≤0 D.a≤34-或a≥21 解析：直线ax-y+2=0可化为y=ax+2,斜率k=a,恒过定点A(0,2).如图,直线与线段PQ 相交,0≥k≥k A P,即25-≤a≤0.答案：C10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解：圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离为d=5|113433|-⨯+⨯=2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.答案：C11.直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，与圆x 2+y 2-18x+45=0相切，则l 的方程是( )A.4x-3y-6=0B.4x-3y-66=0C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0D.4x-3y-15=0解：由直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，则可设l 的方程是4x-3y+b=0.由圆x 2+y 2-18x+45=0，知圆心O′(9，0)，半径r=6，∴5|0394|b +⨯-⨯=6,|36+b|=30. ∴b=-6或b=-66.故l 的方程为4x-3y-6=0或4x-3y-66=0.答案：C12.直线3x-2y+m=0和直线(m 2-1)x+3y-3m+2=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.相交D.不能确定解析：因为3×3-2(m 2-1)=0，m 无解,可得3×3≠2(m 2-1)，即两直线斜率不相等,所以这两条直线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知A(-1，-2，1)、B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且d(P,A)=d(P,B),则点P 的坐标为___________. 解：∵P 在z 轴上，∴设P 点坐标为(0，0，z).又∵|PA|=|PB|，∴利用距离公式得z=3.答案：(0，0，3)14.若P 在坐标平面xOy 内,A 点坐标为(0,0,4),且d(P,A)=5,则点P 组成的曲线为___________. 解析：考查两点距离公式的应用和探究问题的能力.设P(x,y,0)，则d(P,A)=222)40()0()0(-+-+-y x ，因为|PA|=5,所以x 2+y 2+16=25,即x 2+y 2=9.所以P 点在xOy 坐标面上形成一个以(0,0)为圆心，以3为半径的圆.答案：以(0,0)为圆心，以3为半径的圆15.如图1，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图1解析：可以考虑用一个与原来全等的几何体，倒过来拼接到原几何体上，得到一个底面半径为r ，母线长为(a+b)的圆柱，其体积为πr 2(a+b)，故所求体积为21πr 2(a+b).答案：21πr 2(a+b) 16.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________. 解：圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).设所求直线斜率为k,则k=21-. ∴方程为y+2=21-(x-3),即x+2y+1=0. 答案：x+2y+1=0三、解答题(共74分)17.(本小题12分)如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:图2(1)A 1D ∥平面CB 1D 1;(2)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：(1)∵A 1B 1∥CD 且A 1B 1=CD,∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形,故A 1D ∥B 1C.又B 1C ⊂平面CB 1D 1且A 1D ⊂平面CB 1D 1,∴A 1D ∥平面CB 1D 1.(2)由(1)A 1D ∥平面CB 1D 1,同理可得A 1B ∥平面CB 1D 1,又A 1D∩A 1B=A 1,且A 1D 和A 1B 都在平面A 1BD 内,所以平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.18.(本小题12分)如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1,AB=CC 1=1,BC=2.图3(1)求证：A 1C 1⊥AB ；(2)求点B 1到平面ABC 1的距离.(1)证明：连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1.∴AB 1⊥A 1C 1.又∵A 1C 1⊥BB 1,∴A 1C 1⊥平面ABB 1.∴A 1C 1⊥AB.(2)解：由(1)知AB ⊥AC ，∵AB ⊥AC 1,又∵AB=1,BC=2，∴AC=3,AC 1=2.∴1ABC S ∆=1.设所求距离为d ，∴1111ABB C ABC B V V --=. ∴31S △ABC 1·d=131ABB S ∆·A 1C 1. ∴31·1·d=31·21·3. ∴d=23. 19.(本小题12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.∵圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在x+2y=0上.∴a+2b=0. ① ∵圆被直线截得的弦长为22,∴(2|1|+-b a )2+(2)2=r 2. ② 由点A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r 2. ③联立①②③,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==.244,7,1452,3,622r b a r b a 或∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.20.(本小题12分)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解：(1)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9的圆心为C(1，0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y-2=21-(x-2),即x+2y-6=0. (3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为21，圆的半径为3，弦AB 的长为34. 21.(本小题12分)如图4，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ；图4(1)画出直线l ；(2)设l∩A 1B 1=P,求PB 1的长；(3)求D 到l 的距离.解：(1)连结DM 并延长交D 1A 1的延长线于Q.连结NQ ，则NQ 即为所求的直线l.(2)设QN∩A 1B 1=P,△A 1MQ ≌△MAD,∴A 1Q=AD=A 1D 1,A 1是QD 1的中点.∴A 1P=21D 1N=4a .∴PB 1=43a. (3)作D 1H ⊥l 于H ，连结DH ，可证明l ⊥平面DD 1H ，则DH ⊥l,则DH 的长就是D 到l 的距离.在Rt △QD 1N 中，两直角边D 1N=2a ,D 1Q=2a,斜边QN=a 217,∴D 1H·QN=D 1N·D 1Q,即D 1H=a 17172,DH=a a a 17357)17172(22=+,∴D 1到l 的距离为a 17357. 22.(本小题14分)设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇，设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇.解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3V 千米/小时、V 千米/小时，再设出发x 0小时，在点P 改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇，则P 、Q 两点坐标为(3Vx 0,0)、(0,Vx 0+y 0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx 0)2+(Vx 0+y 0)2=(3Vy 0)2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0＞0，∴5x 0=4y 0. ① 将①代入k PQ =0003x y x +-,得k PQ =43-. 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置. 设直线y=43-x+b 与圆O ：x 2+y 2=9相切，则有2243|4|+b =3， ∴b=415.。

新教材高中数学：模块测试卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R ),则它的值域与单调递增区间分别是( )A.值域[5,+∞),单调递增区间[1,+∞)B.值域[5,+∞),单调递增区间(-∞,1]C.值域(-∞,5],单调递增区间[1,+∞)D.值域(-∞,5],单调递增区间(-∞,1]f (x )=-x 2+2x+4=-(x 2-2x )+4=-(x-1)2+5,则函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R )的值域是(-∞,5],单调递增区间为(-∞,1].故选D .2.(2021江苏扬州邗江高一期中)已知命题p :“∃x>0,x+t-1=0”,若p 为真命题,则实数t 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1]p :“∃x>0,x+t-1=0”,即“∃x>0,x=1-t ”,又p 为真命题,则1-t>0,即t<1.故选B . 3.已知函数f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,则实数a 的取值为( ) A.1 B.0C.-1D.2f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,所以f (x )=f (-x ),即ax+1x 2+2=-ax+1(-x )2+2,解得a=0.故选B . 4.(2021湖南长沙湖南师大附中高一期末)下列说法正确的是( ) A.若a>b ,则1a<1bB.若a<b<0,则|a|>|b|C.若a>b ,则ac 2>bc 2D.若ac>bc ,则a>ba>0>b 时,1a >1b ,故A 不正确;若a<b<0,则-a>-b>0,则|a|=-a>|b|=-b ,故B 正确;当c=0时,ac 2>bc 2不成立,故C 不正确;若ac>bc ,当c<0时,a<b ,故D 不正确.故选B.5.(2021山东济宁高一期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,则三角形的面积S 可由公式S=√p (p -a )(p -b )(p -c )求得,其中p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( ) A.3B.3C.√7D.√11p=12×(3+5)=4,S=√4(4-a )(4-b )(4-c )=√4(4-b )(4-c )=2√(4-b )(4-c )≤8-(b+c )=3,当且仅当4-b=4-c ,即b=c 时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为3.故选B .6.(2021湖北八市高三一模)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则∁R M ∩N=( ) A.⌀ B.MC.ND.R,如图所示,故∁R M ∩N=N.故选C .7.(2021辽宁营口高一期末)奇函数f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,则不等式(x+1)f (x )<0的解集为( )A.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(2,+∞)B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,2)f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,且f (-2)=0.由不等式(x+1)f (x )<0得{x +1>0,f (x )<0或{x +1<0,f (x )>0,即{x >-1,x >2或-2<x <0或{x <-1,0<x <2或x <-2,故x>2或-1<x<0或x<-2.故选A .8.(2021安徽江淮名校高一入学考试)设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y =1,则x+y 的最小值为( ) A.8 B.16 C.9 D.6解析因为x ,y 均为正实数且32+x+32+y=1,所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x )+(2+y )]3x+2+3y+2-4=32+y+2x+2+x+2y+2-4≥32+2√y+2x+2·x+2y+2-4=12-4=8,当且仅当y+2x+2=x+2y+2,即x=y=4时,等号成立.因此x+y的最小值为8.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021山东烟台高一期中)已知集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0},B={y|y=x 2},则( ) A.A ∩B=0,12 B.∁U A ⊆∁U BC.A ∪B=BD.∁B A=12,+∞解析∵集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0}=x 0≤x ≤12,B={y|y=x 2}={y|y ≥0},∴A ∩B=0,12,故A 正确;∁U A=x x<0或x>12,∁U B={y|y<0},∴∁U A ⊇∁U B ,故B 错误;A ∪B=[0,+∞)=B ,故C 正确;∁B A=12,+∞,故D 正确.故选ACD .10.(2021云南昆明高一期末)已知函数f (x )=ax 2+2x+1(a ≠0),若方程f (x )=0有两个不等的实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则( )A.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2}B.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x<x 1或x>x 2}C.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 1>0D.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 2>0a>0时,函数图像开口方向向上,所以不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2},故A 正确,B 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,函数又过定点(0,1),则x 1<0,故C 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,则x 2>0,故D 正确.故选AD .11.(2021湖北黄冈、天门高一期末)下列各说法中,p 是q 的充要条件的有( ) A.p :四边形是正方形;q :四边形的对角线互相垂直且平分 B.p :两个三角形相似;q :两个三角形三边对应成比例 C.p :xy>0;q :x>0,y>0D.p :x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根;q :a+b+c=0(a ≠0),则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形,故p 不是q 的充要条件;两个三角形相似与两个三角形三边对应成比例可以互相推导,故p 是q 的充要条件;当xy>0时,可能x<0,y<0,故p 不是q 的充要条件;x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根,将x=1代入方程可得a+b+c=0,当a+b+c=0时,将c=-a-b 代入方程ax 2+bx+c=0得ax 2+bx-a-b=(ax+a+b )(x-1)=0,解得x=1,故p 是q 的充要条件.故选BD . 12.(2021山东威海高一期末)已知函数f (x )={x 2-2x ,x <0,-2x +3,x ≥0,则( )A.f [f (-1)]=-3B.若f (a )=-1,则a=2C.f (x )在R 上是减函数D.若关于x 的方程f (x )=a 有两解,则a ∈(0,3]f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,所以f[f(-1)]=f(3)=-2×3+3=-3,故A正确;当a<0时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1,不符合题意,舍去,当a≥0时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,符合题意,故B正确;作出f(x)的图像,如图所示,所以f(x)在R上不是减函数,故C错误;方程f(x)=a有两解,则y=f(x)图像与y=a图像有两个公共点,如图所示.所以a∈(0,3],故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021河北石家庄一中高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为.A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},∴A∩B={1,2},共有2个元素, 故集合A∩B的子集个数为22=4个.14.(2021山东威海高一期末)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=2,b=3,则该矩形的面积为.x,∵a=2,b=3,∴AB=a+b=5, 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2, 即(2+x )2+(3+x )2=52,即x 2+5x=6,则该矩形的面积为(2+x )(3+x )=x 2+5x+6=12.15.(2021广东深圳高三一模)已知函数的图像关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= .2+14(答案不唯一)f (x )的图像关于y 轴对称,所以设f (x )=ax 2+c.由{y =ax 2+c ,y =x ,得ax 2-x+c=0, 所以Δ=1-4ac=0,即ac=14. 取a=1,c=14,则f (x )=x 2+14(答案不唯一).16.(2021河北邯郸高一期末)已知函数f (x )={|x +1|,x >0,x 2+1,x ≤0,若f (f (m ))=2,则m= .f (m )=t ,则f (t )=2,①当t>0时,|t+1|=2,则t=1,所以f (m )=1; 当m>0时,|m+1|=1,则m=0(舍去), 当m ≤0时,m 2+1=1,则m=0. ②当t ≤0时,t 2+1=2,则t=-1, 所以f (m )=-1;当m>0时,|m+1|=-1,显然此时方程无实数解,当m ≤0时,m 2+1=-1,显然此时方程无实数解.综上所述,m=0.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西名校协作体高一联考)已知二次函数f (x )的最小值为1,函数y=f (x+1)是偶函数,且f (0)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.因为函数y=f (x+1)是偶函数,所以f (x )的图像关于x=1对称.又最小值为1,所以设f (x )=a (x-1)2+1. 又f (0)=3,解得a=2. ∴f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)要使f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1, ∴0<a<12.故实数a 的取值范围为0,12.18.(12分)(2021安徽安庆高一期末)已知正实数x ,y 满足4x+4y=1. (1)求xy 的最大值;(2)若不等式4x +1y ≥a 2+5a 恒成立,求实数a 的取值范围.x+4y=1,所以14=x+y ≥2√xy ,解得xy ≤164,当且仅当x=y=18时,等号成立,∴xy 的最大值为164. (2)4x+1y =4x+1y(4x+4y )=20+16y x+4x y≥20+2√16y x·4x y=36,当且仅当x=16,y=112时,等号成立, ∴a 2+5a ≤36,解得-9≤a ≤4, 即a 的取值范围是[-9,4].19.(12分)(2021江苏苏州新区吴县中学高一月考)已知f (x )={1,x <0,2,x ≥0,g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2. (1)当1≤x<2时,求g (x );(2)当x ∈R 时,求g (x )的解析式,并画出其图像; (3)求函数h (x )=x f (g (x ))-2g (f (x ))的零点.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,故g (x )=6-12=52.(2)由(1)知,当1≤x<2时,g (x )=52. 当x<1时,x-1<0,x-2<0, 故g (x )=3-12=1. 当x ≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g (x )=6-22=2.所以当x ∈R 时,g (x )的解析式为g (x )={1,x <1,52,1≤x <2,2,x ≥2.其函数图像如下:(3)因为g (x )>0,则f (g (x ))=2,x ∈R , 故g (f (x ))={g (1)=52,x <0,g (2)=2,x ≥0,所以方程x f (g (x ))=2g (f (x ))化简后可得x 2=5(x<0)或x 2=4(x ≥0), 解得x=-√5或x=2.20.(12分)(2021福建三明高一期末)某市居民用电收费方式有以下两种,用户可自由选择其中一种. 方式一:阶梯式递增电价,即把居民用户每月用电量划分为三档,电价实行分档递增,具体电价如下表:方式二:阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价,即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费,然后高峰时段(8:00—22:00)每度加价0.03元,低谷时段(22:00至次日8:00)每度降价0.20元,得出用户的总电费.(1)假设某居民用户月均用电量为x 度,按方式一缴费,月均电价为y 元,求y 关于x 的函数解析式; (2)若该用户某月用电a 度(0<a<420),其中高峰时段用电量占该月总用电量的23,按方式二缴费,电费为143元,求该月用电量.由题意可得当0≤x ≤230时,y=0.5x ,当230<x ≤420时,y=230×0.5+0.6(x-230)=0.6x-23,当x>420时,y=230×0.5+0.6×(420-230)+0.8(x-420),即y=0.8x-107,所以y={0.5x ,0≤x ≤230,0.6x -23,230<x ≤420,0.8x -107,x >420.(2)因为该用户某月用电a 度,高峰时段用电量为23a 度,当0≤x ≤230时,用电费用为0.3×13a+0.53×2a3=143,解得a ≈315.4>230,不合题意,舍去.当230<x ≤420时,用电费用为0.3×13+0.53×23×230+0.4×13+0.63×23(a-230)=143,解得a ≈300, 所以该月用电量约为300度.21.(12分)(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,所以a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R , f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2 =1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.22.(12分)(2021安徽滁州高一期末)设命题p :对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立;命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p ,q 有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立,即(x 2-4x+2)min ≥m 2-3m.x 2-4x+2=(x-2)2-2,当x=2时,x 2-4x+2取到最小值-2,即-2≥m 2-3m ,∴1≤m ≤2. 故p 为真命题时,实数m 的取值范围是[1,2].(2)命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立,故只需x 2-x+m-54max ≥0.而x 2-x+m-54=x-122+m-32, 所以当x=0时,x 2-x+m-54取到最大值m-54, 故m-54≥0,解得m ≥54.即命题q 为真命题时,实数m 的取值范围是54,+∞.依题意命题p ,q 一真一假,若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≥54,,得m>2; 若q 为假命题,p 为真命题,则{1≤m ≤2,m <54,得1≤m<54.综上,实数m 的取值范围为1,54∪(2,+∞).。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( ) 【导学号：60870092】图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝32×2＝3，DE＝1.∵tan∠ADE＝AEDE ＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA 是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k 的值是()A．3 B.21 2C．2 2 D．2【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，∵PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，∴圆心到直线kx＋y＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k2＋1＝5，∵k＞0，∴k＝2，故选D.【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D-ABC的体积为()A.212a3 B.a312C.24a3 D.a36【解析】 取AC 的中点O ，如图， 则BO ＝DO ＝22a ， 又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ， 又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C的轨迹方程是________．【解析】设点C的坐标为(x，y)，则由|AB|＝|AC|得(x－3)2＋(y－20)2＝(3－3)2＋(20－5)2，化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．【答案】(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B 两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________. 【导学号：60870093】【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝5＝1.32＋(－4)2∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x ＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y －4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD ∥AP .又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴MD ⊥PB .又∵MD ∥AP ，∴AP ⊥PB .又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC . ∵BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC . 又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程．【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2，所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E -ABC 的体积. 【导学号：60870094】【解】 (1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |，而|PC |＝|PM |2－|CM |2 ＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PCMD 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在长方体-中，、分别是棱、的中点，若∠＝°，则异面直线和所成角为( ) 【导学号：】图．°．°．°．°【解析】因为⊥，⊥，所以⊥平面.所以⊥.因为∥，所以⊥.【答案】．(·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )图．＋．＋．．＋【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为＋，侧面积为×(＋)＝＋，两底面的面积和为×。

模块综合测试(时间：120分钟 满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，向量a －b 等于( C )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] 由题干图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2．2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( B )A ．54B ．90C ．45D ．126[解析] 依题意有33＋5＋7×n ＝18，由此解得n ＝90，即样本容量为90．3．函数y ＝log 13(x －1)的定义域是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．(1,2][解析] 由log 13(x －1)≥0，得0＜x －1≤1， ∴1＜x ≤2．4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [解析] 由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8； 乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9；所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6．所以x 甲＝x 乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2＜125，所以s 2甲＜s 2乙.故C 正确． 甲的成绩的极差为：8－4＝4， 乙的成绩的极差为：9－5＝4， 故D 不正确．故选C ．5．设a ＝log 0.50.6，b ＝log 1.10.6，c ＝1.10.6，则( C ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b[解析] ∵log 0.51＜log 0.50.6＜log 0.50.5，∴0＜a ＜1， log 1.10.6＜log 1.11＝0，即b ＜0,1.10.6＞1.10＝1，即c ＞1， ∴b ＜a ＜C ．6．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( D )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[解析] ∵a |a |表示与a 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a |＝b|b |．7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )A ．23B ．25C ．35D ．910[解析] 记事件A ：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A 仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A 的概率为P (A )＝110，∴P (A )＝1－P (A )＝910．8．函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－53，1]，则实数a ＝( C )A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32[解析] 当a ＞1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，1a－2＝－53，解得a ＝3； 当0＜a ＜1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎨⎧a －2＝－53，1a －2＝1，解得a ＝13．综上可知a ＝3或13．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．设a 0为单位向量，下列命题是假命题的为( ABC ) A ．若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0 B ．若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0 C ．若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0 D ．若a 为单位向量，则|a |＝|a 0|[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故A 是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，当|a |＝1时，a ＝－a 0，故B ，C 也是假命题；D 为真命题．10．总体由编号为01,02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( AC )50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 23 91 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05 35 99 A ．42 B ．36 C ．22D ．14[解析] 由随机数表可得：从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22，即选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为42,22．11．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论，当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是( BC )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0D ．f (x 1＋x 22)＜f (x 1)＋f (x 2)2[解析] 因为f (x )＝lg x ，且x 1≠x 2， 所以f (x 1＋x 2)＝lg (x 1＋x 2)≠lg x 1·lg x 2． 所以A 不正确．f (x 1·x 2)＝lg (x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝f (x 1)＋f (x 2)． 因此B 正确．因为f (x )＝lg x 是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号． 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.因此C 正确．因为f (x 1＋x 22)＞f (x 1)＋f (x 2)2，因此D 是不正确的，综上，选BC ． 12．下列命题为真命题的是( BD )A ．将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件B ．若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件C ．若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 互为对立事件D ．若事件A 与B 互为对立事件，则事件A ∪B 为必然事件[解析] 对A ，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M 与N 是互斥事件，但不是对立事件，故A 错；对B ，对立事件首先是互斥事件，故B 正确；对C ，互斥事件不一定是对立事件，如A 中两个事件，故C 错；对D ，事件A ，B 为对立事件，则一次试验中A ，B 一定有一个要发生，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为__12__．[解析] 从编号为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有4种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：(1,2,4)，(1,3,4)，共有2种，所以概率为12．14．线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝__－2或6__．[解析] 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )． 由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3.此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1.此时x ＋y ＝6．综上可知，x ＋y ＝－2或6．15．已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝__－3__． [解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，又因为ln 2∈(0,1), f (ln 2)＝8，所以－e－a ln 2＝－8，两边取以e 为底数的对数，得－a ln 2＝3ln 2，所以－a ＝3，即a ＝－3．16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__130__元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__15__．[解析] (1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元． (2)设促销前总价为a 元，a ≥120，李明得到金额l (x )＝(a －x )×80%≥0.7a ,0≤x ≤120，即x ≤a 8恒成立，又a 8最小值为1208＝15，所以x 的最大值为15． 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．[解析] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →．所以2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2． (2)因为AC →＝2AB →，所以(a －1，b －1)＝2(2，－2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.所以点C 的坐标为(5，－3)．18．(本小题满分12分)2019年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f (x )与时刻x (时)的函数关系为：f (x )＝|log 25(x ＋1)－a |＋2a ＋1，x ∈[0,24]，其中a 为空气治理调节参数，且a ∈(0,1)．(1)若a ＝12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)若规定一天中f (x )的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？[解析] (1)若a ＝12，则f (x )＝|log 25(x ＋1)－12|＋2≥2．当f (x )＝2时，log 25(x ＋1)－12＝0，得x ＋1＝2512 ，即x ＝4．所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低． (2)设t ＝log 25(x ＋1)，则当0≤x ≤24时，0≤t ≤1． 设g (t )＝|t －a |＋2a ＋1，t ∈[0,1]，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋1，0≤t ≤a ，t ＋a ＋1，a ＜t ≤1，显然g (t )在[0，a ]上是减函数，在(a ,1]上是增函数， 则f (x )max ＝max {g (0)，g (1)}．因为g (0)＝3a ＋1，g (1)＝a ＋2，由g (0)－g (1)＝2a －1＞0，得a ＞12，所以f (x )max＝⎩⎨⎧a ＋2，0＜a ≤12，3a ＋1，12＜a ＜1.当0＜a ≤12时，2＜a ＋2≤52＜3，符合要求；当12＜a ＜1时，由3a ＋1≤3，得12＜a ≤23．故调节参数a 应控制在(0，23]内．19．(本小题满分12分)近年来，郑州经济快速发展，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4B ．(1)求a ，b 的值；(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；(3)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．[解析] (1)依题意得(a ＋b ＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a ＋b ＝0.03， 又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006．(2)平均数为55×0.08＋65×0.24＋75×0.35＋85×0.27＋95×0.06＝74.9， 中位数为70＋0.5－0.08－0.240.035≈75.14，众数为70＋802＝75．(3)依题意，知从分数在[50,60)的市民中抽取了2人，记为a ，b ，从分数在[60,70)的市民中抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况为(a ，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共28种．其中满足条件的为(a ，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．设“至少有1人的分数在[50,60)”为事件A ，则P (A )＝1328．20．(本小题满分12分)设直线l ：mx ＋y ＋2＝0与线段AB 有公共点P ，其中A (－2,3)，B (3,2)，试用向量的方法求实数m 的取值范围．[解析] (1)P 与A 重合时，m ×(－2)＋3＋2＝0，所以m ＝52.P 与B 重合时，3m ＋2＋2＝0，所以m ＝－43．(2)P 与A ，B 不重合时，设AP →＝λPB →，则λ＞0． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)， PB →＝(3－x ,2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝λ(3－x )，y －3＝λ(2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ－2λ＋1，y ＝2λ＋3λ＋1，把x ，y 代入mx ＋y ＋2＝0可解得λ＝2m －53m ＋4，又因为λ＞0，所以2m －53m ＋4＞0．所以m ＜－43或m ＞52．由(1)(2)知，所求实数m 的取值范围是(－∞，－43]∪[52，＋∞)．21．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．[解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，则P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B2A3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3)＝23×12＋(23)2×(12)2＋(23)3×(12)3＝1327． (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则 P (D )＝P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝(23)2×(12)2＋(23)2×(12)2×13＝427． 22．(本小题满分12分)已知指数函数y ＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g (x )＋n2g (x )＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式； (2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．[解析] (1)g (x )＝2x ． (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋n2x ＋1＋m ．∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即n －12＋m ＝0，∴n ＝1.∴f (x )＝1－2x2x ＋1＋m ．又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1，解得m ＝2．(3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，∴t 2－2t ＞k －2t 2，即3t 2－2t －k ＞0．由判别式Δ＝4＋12k ＜0可得k ＜－13．由Ruize收集整理。

用心 爱心 专心 - 1 - 必修二模块测试02第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.注意：请在机读答题卡中作答，不要答在试题中（1）如果数轴上A 点的坐标是5，B 点的坐标是5-，那么AB 向量的坐标为（A ）10 （B ）10- （C ）10± （D ）0（2）给出以下命题，其中正确的有①在所有的棱锥中，面数最少的是三棱锥；②棱台上、下底面是相似多边形，并且互相平行；③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；④夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）如右下图所示，△A B C '''表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A B ''在x '轴上，B C ''与x '轴垂直，且B C ''=3，则△ABC 的边AB 上的高为（A ）62 （B ）33 （C ）32 （D ）3（4）点M （1，4）关于直线:10l x y -+=对称的点N 的坐标是（A ）（4 ，1） （B ）（2，3） （C ）（3，2） （D ）（1-，6）（5）若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是（A ）α内的所有直线都与直线l 异面 （B ）α内不存在与l 平行的直线（C ）α内的直线与l 都相交 （D ）直线l 与平面α有公共点（6）空间直角坐标系中，点A （3 , 2 ,5-）到x 轴的距离d 等于（A ）2232+ （B ）222(5)+- （C ）223(5)+- （D ）22232(5)++-（7）已知三条相交于一点的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，且A ，B ，C 在同一平面内，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心（8）使方程 0mx ny r ++=与方程 2210mx ny r +++=表示两条直线平行（不重合）的等价条件是（A ）2m n r === （B ）220m n +≠，且1r ≠。