衡水中学2019届高三高考押题(三)理数试题

2019届河北省衡中同卷高三终极押题第三次考试数学(理)试题 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x <<2.若32z i =-，则2iz =-A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +3．函数21010)(x x f x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是A.()1,3-B.(-C.()0,3D.( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 A.17π B.18π C.20π D.28π7.在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=4，则V 的最大值是A.4πB.92πC.6πD.323π8.在ABC ∆中，030=A ，2=AC ，且ABC ∆的面积为3，则=BCA. 2B.3C.2D. 1 9.7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有A. 35种B.50种C.60种D. 70种10.双曲线22221x y E a b-=：(00a b >>，）F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM ∆的面积是1，则双曲线E 的实轴长是A ．B ． ．211.ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=-R λ∈（），则AP 的最大值是A 12.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数12sin )(+=x x g 与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑A.mB.2mC.3mD.4m第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设()ln(f x x =+，若()f a =()f a -= ． 14.已知离散型随机变量ξ服从正态分布~(21)N ，，且(3)0.968P ξ<=，则(13)P ξ<<= ．15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的正弦值为815，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．16.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12212n n n n n a a b a a ++++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=（b ˆ精确到0.1），若某天的气温为15oC ，预测这天热奶茶的销售杯数；（Ⅱ）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.参考数据：125027191242222=+++，6602942710419130121324=⨯+⨯+⨯+⨯.参考公式：2121ˆ∑-∑-===ni i ni i i xn x yx n y x b，x b y aˆˆ-=19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，︒=∠=60,2ADC CD AD ．（Ⅰ）若AC AA =1，求证：1AC ⊥平面CD B A 11； （Ⅱ）若12,CD AA AC λ==，二面角11C A D C --11C ACD -的体积．20.（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H点，4OH =，Q 为椭圆E 上的动点，12F F Q ∆的面积的最大值为1. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)S 作两条直线与椭圆E 分别交于A B C D 、、、，且使AD x ⊥轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()()ln 1+ln 1f x x x =--.（Ⅰ）讨论函数()()()0F x f x ax a =+≠的单调性；（Ⅱ）若()3(3)f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分。

河北省衡水金卷2019届高三第一次押题考试数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合M={}，集合N={}，(e为自然对数的底数)则=（）A. {}B. {}C. {}D.【答案】C【解析】试题分析：，，故＝．考点：集合的运算．2.已知复数，则复数的模为（）A. 2B.C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，然后再求出即可．【详解】由题意得，∴．故选C．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题．3.若命题p为：为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.。

河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学试卷（理）第Ⅰ卷 选择题（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1|,1|<=<=xe x B x x A ，则( )A. {}1|<=x x B AB. {}e x x B A <=|C. R B C A R =)(D.{}10|)(<<=x x B A C R2. 已知i 为虚数单位，若1i(,)1+ia b a b =+∈R ，则b a = （ ） A. 1 B.2 C.22D.2 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.24.函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（ ） A. 51 B. 1 C. 53 D. 565.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 （ ）A ． 932B ．516C ．38D ． 7166.已知0>a ，)6(log )(ax x f a -=，则“31<<a ”“是)(x f 在)2,1(上单调递减”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.一给定函数)(x f y =的图象在下列四个选项中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列{}n a 满足n n a a <+1.则该函数的图象可能是( )A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线的左、右焦点分别为， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B.C. D.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 122F F c =2F x A 3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭22F Q F A >P C 11232PF PQ F F +>2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭71,6⎛⎫⎪⎝⎭7,62⎛ ⎝⎭1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10.已知实数、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x y x y x ，若1)1(-+≥x k y 恒成立，那么k 的取值范围是( )A ．]3,21[ B ．]34,(-∞ C ．),3[+∞ D ．]21,(-∞11.已知三棱锥中，， 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A. B.π6 C. π9 D. π512.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 则函数1)()(-=x xf x g 在),7[+∞-上的所有零点之和为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为__________．14.522)1)(111(x xx +++展开式中2x 的系数为 15.过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B ，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N ，若△MON的面积为，则|AF |=________.16..已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=C B ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，227=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，13,111+==+n n S b b .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；A BCD -2,2AB AC BD CD BC AD =====AD BCD π8（Ⅱ）若数列{}n c 满足*+∈=+++N n a b c b c b c n nn ,12211 ,求201721c c c +++ 的值18．(本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中2,3,300===∠AB AD A ，沿BD 将ABD ∆翻折到BD A '∆的位置，使平面⊥BC A '平面BD A '.（1）求证：⊥D A '平面BCD ；（2）在线段C A '上有一点M 满足C A M A ''λ=，且二面角C BD M --的大小060，求λ的值.19． (本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知定点)0,1(F ，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0=∙，=+．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 第一象限上一点),(00y x R （其中10>x ）作切线交直线1-=x 于点1S ，连结RF 并延长交直线1-=x 于点2S ，求当21S RS ∆面积取最小值时切点R 的横坐标．21.(本小题满分12分）已知函数)(ln 1)(22R a ax x a x x f ∈-+-=. （1）若0>a ，求函数)(x f 的单调性；（2）若0=a 且)1,0(∈x ，求证：11)(2<-+xx e x f x 请考生在22、23、两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选4－4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离．23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()f x x a a=--+，()2124g x x x =-++．（1）解不等式()6g x <；（2）若对任意的1x ∈R，存在2x ∈R，使得()()12g x f x -=成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】1-12.CBDDC,AAABD,AB13. 14. 15 15. 2 16. 1017．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．依题意得解得，，所以. 当时，，当时，，，以上两式相减得，则，又，所以，.所以为首项为1，公比为4的等比数列，所以．（Ⅱ）因为，当时，，以上两式相减得，所以，.当时，，所以，不符合上式，所以.18．解：（1）中，由余弦定理，可得.∴，∴，∴.作于点，∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴. 又∵，，∴平面.又∵平面，∴.又，，∴平面.（2）由（1）知两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，.设，则由.设平面的一个法向量为，则由,取.平面的一个法向量可取，∴.∵，∴.19．解：（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.（2）的所有取值有1，2，3.，，，故.由题意可知，故.而，所以.20．解：（1）设，，.因为，，所以，，，所以.（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，.21.解：解法一：（1）函数的定义域为，，若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増；（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增.所以.设函数，则.设函数，则.当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，，当时，P (x 0)·P （1）<-2<0,故存在，使得，即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时， .故函数在上单调递增.所以.设函数，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则222211121'()20x x x g x x x x x x---=--=<<， 则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立.22．解：（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=，曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=；（2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π, 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为123．解：（1）由21246x x -++<①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<，即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上，不等式()6g x <解集是93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得()()12g x f x -=成立， 即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+，知()(],f x a ∈-∞， 由()2124g x x x =-++≥()()21245x x --+=，且等号能成立， 所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞.。

2018-2019学年高三年级第三次质检考试数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分，满分分，考试时间分钟。

1501202．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）1．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。

1.已知集合，则( ){}{}1|,1|<=<=xe x B x x A A. B. C. D.{}1|<=x x B A {}e x x B A <=| R B C A R =)( {}10|)(<<=x x B A C R 2. 已知为虚数单位，若，则 （ ）i 1i(,)1+ia b a b =+∈R b a =A. 1B.C.D.22223.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）A. ,,a b c λ+a b c λ=2-B. C. D.1-124.函数的最大值为（ ）A. B. 1 C. D. )6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 515356 5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ． 932516387166.已知，，则“”“是在上单调递减”的（ ）A 充分不必0>a )6(log )(ax x f a -=31<<a )(x f )2,1(要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7.一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数)(x f y =)1,0(1∈a )(1n n a f a =+列满足.则该函数的图象可能是( ){}n a n n a a <+1 A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫+∞⎪⎪⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝D. ⎛ ⎝10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x yx y x 1)1(-+≥x k y k B ． C ． D ．]3,21[]34,(-∞),3[+∞21,(-∞11.已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ）A. π8 B. C. D. π6π9π512.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，则函数在⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 1)()(-=x xf x g 上的所有零点之和为( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10),7[+∞-第Ⅱ卷 非选择题（共90分）2．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。

2019届河北省衡水中学高考押题卷
数学（理）试卷（二）
★祝考试顺利★
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可得：，则集合=.
本题选择B选项.
2.设复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得： .
3.若，，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵，∴∈（，），
又因为，∴
故sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin
== ,
故选A.
4.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，，为左、右焦点，
在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：
，
整理可得，
据此有：，
题中事件的概率 .
本题选择A选项.
5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可得：，
设双曲线的渐近线与轴的夹角为，
双曲线的渐近线为，则，
结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.。

河北省衡水中学2019届高三原创模拟押题试卷（三）理科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|30}A x x x =-≤， (){|lg 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A. {|02}x x ≤<B. {|13}x x ≤<C. {|23}x x <≤D. {|02}x x <≤ 2．计算()212i i i++-等于 （ ） A ．45i - B ．34i - C ．54i - D ．43i -3．已知命题:p R x ∀∈，cos 1x >，则p ⌝是 （ ） A ．R x ∃∈，cos 1x < B ．R x ∀∈，cos 1x < C ．R x ∀∈，cos 1x ≤ D ．R x ∃∈，cos 1x ≤4.已知函数()(1)()为偶函数，且在（0，+）单调递减，则(3)0的解集为（ ）f x x ax b f x =-+∞-<A ．（2 ，4） B ．(,2)(4,)-∞+∞ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是（ ）A .B ．C ．D ．6．已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）A. 可由函数()cos2g x x =的图像向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图像向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图像向左平移6π个单位而得 D. 可由函数()cos2g x x =的图像向右平移6π个单位而得 7．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为A ．1603 B ．160 C ．2563 D ．648.已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则(|)P B A =（ ） A ．14π-B ．4π C ．21π-D ．2π9．已知非零向量AB 与AC 满足 ()AB AC BC ABAC0+=，且AB AC AB AC12=，则ABC 为( ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )A ．13n －1B ．)1(2+n nC ．)2)(1(6++n n D ．5－2n 311．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，A 是椭圆上的点，212F A F A c ⋅=（c 为椭圆的半焦距），则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．0⎛ ⎝B． C． D．1⎫⎪⎪⎭12．已知定义在R 上的函数() y f x =对任意的x 都满足() 2() f x f x +=，当11x -≤＜时，()sin2f x x π=，若函数()() log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．[)10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．(x x )2521+-的展开式中，x 3的系数为_________．14．变量x 、y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22)2(y x +-的最小值为_________．15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．16.已知函数()ln x f x e m x =+(m∈R,e 为自然对数的底数),若对任意正数,x x 12当x 1>x 2时都有f(x 1)-f(x 2)>x 1-x 2成立,则实数m 的取值范围是 . 三解答题17.（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c o s s i n a B b A c +=．（1）求角A 的大小； （2）若a =ABC ∆，求b c +的值． 18.（12分） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 7＝－9，S 9＝－992.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞－34.19.（12分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a ，从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ，从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a ，b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择根据方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望值； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？20.（12分）已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD .将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB ⊥平面BEC .(1)求证：平面ABE ⊥平面ADE ； (2)求二面角A ­DE ­B 的余弦值． 21（12分）已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1） 求动点P 的轨迹C 的方程； （2） 过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．22.（12分）若函数()ln f x x ax =-恰有两个不同零点12,x x（1）求实数a 的取值范围； （2）求证12112ln ln x x +>.高三理科数学参考答案1A 2A 3D 4B 5D 6D 7A 8C 9D 10B 11B 12A13．40 14．5 15． 16 [0,+∞)17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2) 11sin 2242ABCSbc A bc ===∴=又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-所以，2()4, 2.b c b c +=+=．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝－99a 1＋36d ＝－992，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－32，d ＝－1.(4分)于是可求得a n ＝－2n ＋12.(6分)(2)证明：由(1)知，S n ＝-(2)2n n +，故b n ＝－1(2)n n +＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，(8分)故T n ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，(10分)又因为32－1n ＋1－1n ＋2＜32，所以T n ＞－34.(12分)19．解：(1)由题意知顾客A 只选择根据方案a 进行抽奖，此时可抽奖3次，且选择方案a 抽奖1次，获得奖金30元的概率为C C 2225＝0.1.(1分)设顾客A 所获奖金为随机变量X ，则X 的所有可能取值为0,30,60,90，则P(X ＝0)＝0.729，P(X ＝30)＝0.243，P(X ＝60)＝0.027，P(X ＝90)＝0.001，∴E(X)＝0×0.729＋30×0.243＋60×0.027＋90×0.001＝9.(2)由题意得选择根据方案b 抽奖1次，获得奖金15元的概率为2325C C ＝0.3.设顾客A 只选择根据方案b 抽奖，此时可抽奖2次，所获奖金为随机变量Y ，则Y 的所有可能取值为0,15,30，则P(Y ＝0)＝0.49，P(Y ＝15)＝0.42，P(Y ＝30)＝0.09，∴E(Y)＝0×0.49＋15×0.42＋30×0.09＝9.设顾客A 选择根据方案a 抽奖2次、方案b 抽奖1次时所获奖金为随机变量Z ，则Z 的所有可能取值为0,15,30,45,60,75，则P(Z ＝0)＝0.567，P(Z ＝15)＝0.243，P(Z ＝30)＝0.126，P(Z ＝45)=0.054，P(Z ＝60)＝0.007，P(Z ＝75)＝0.003，∴E(Z)＝0×0.567＋15×0.243＋30×0.126＋45×0.054＋60×0.007＋75×0.003＝10.5.∴E(Z)＞E(X)＝E(Y)，顾客A 应选择根据方案a 抽奖2次、方案b 抽奖1次，可使所获奖金的期望值最大．20．解：(1)证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF=12AB.∵DC=12AB ，∴CD=GF ，∴四边形CFGD 为平行四边形，∴CF ∥DG.∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF.∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面ABE.∵CF ∥DG.∴DG ⊥平面ABE.∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE.(2)解：过E 作EO ⊥BC 于O.∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥EO.∵AB ∩BC ＝B ，∴EO ⊥平面ABCD 以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A(0，－2,4)，B(0，－2,0)，D(0,2,2)，E(23，0,0)，∴ED →＝(－23，2,2)，EA →＝(－23，－2,4)，EB →＝(－23，－2,0)．设平面EAD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎨⎧－3x 1＋y 1＋z 1＝0，－3x 1－y 1＋2z 1＝0.取z 1＝2得x 1＝3，y 1＝1，则n ＝(3，1,2)， 设平面BDE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧－3x 2＋y 2＋z 2＝0，3x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，得y 2＝－3，z 2＝23，则m ＝(1，－3，23)．∴cos 〈n ，m 〉＝64. 又由图可知，二面角A ­DE ­B 的平面角为锐角，∴其余弦值为64. 21.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+， 由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=． 22（1）1()f x a x'=-解法1： 0,()0(0,)a f x '≤>+∞当时在上恒成立()(0,),f x +∞在上单增不合题意110,()00()0a f x x f x x a a''>>⇒<<<⇒>当时由；由11()(0,),(,)f x a a∴+∞在上单增在上单减0,();,()x f x x f x →→-∞→+∞→-∞当时时111()ln 100f a a a e∴=-><<只需即ln (,ln )y ax y x P t t ==解法2：设直线与曲线切于点11,ln a t e a t e t at ⎧=⎪⇒==⎨⎪=⎩则10a e<<结合图象得： （2）11121222ln ln ln ()ln x ax x x a x x x ax =⎧⇒-=-⎨=⎩1212121221212121212ln ln ()11ln ln ln ln ln ln x x a x x x x x x x x x x a x x x x x x ++-++===⋅- 1212121()ln x x x x x x =- 1122,0,(0,1)x t x x t x =<<∈令不妨假设则 1211112,()2ln ln ln t x x t t∴+>->要证即证 12ln t t t -<即证1()2ln ,()0(0,1)h t t t h t t=+->令即证在上恒成立222221(1)()0(0,1)t t t h t t t -+---'==<在上恒成立()(0,1),()(1)0h t h t h >=在上单减故12112ln ln x x +>即成立。

河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

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★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

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Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n nn S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-② 由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+. 20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =， 因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+， 所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。

2019届河北省衡水中学高考押题试卷（三）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则A.B.C.D.2. 若，则的值为（）A. B.C. D.3.＝是恒成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若，则的大小关系为（）A.B.C.D.5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为＝，例如＝．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（）A. B.C. D.6. 已知展开式中的系数为，则正实数A.B.C.D.7. 已知数列的前项和，若，则A.B.C.D.8. 如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A. B.C. D.9. 已知抛物线:的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则A. B.C. D.10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B.C. D.11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B.C. D.12. 设函数满足，则时，的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线与直线________＝________所围成的图形的面积是________．14. 已知双曲线的实轴长为，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________15. 要从甲、乙等人中选人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种（用数字作答）．16. 已知数列与满足，且，则________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知的内切圆面积为，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积．18. 如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面，，点是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故盈利元，若该销售商一次购进辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值．20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为．不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，，，且，，成等比数列．（1）求的值；（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数的最大值为．（1）若关于的方程的两个实数根为，，求证：；（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数＝．（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若集合＝，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2019届河北省衡水中学高考押题试卷（三）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出集合，，从而求出，由此能求出．【解答】∵集合，，∴，∴．2.【答案】D【考点】复数的模【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】由，得，则的值为．3.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由，即可判断出结论．【解答】∵，恒成立．∴＝是恒成立的充分不必要条件．4.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵，取，，得：，，，∴的大小关系为：．5.【答案】C【考点】程序框图【解析】该程序框图的作用是求被和除后的余数为的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】该程序框图的作用是求被除后的余数为，被除后的余数为的数，在所给的选项中，满足被除后的余数为，被除后的余数为的数只有，6.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】分别写出的展开式中含，的项，再由多项式乘多项式列式求解．【解答】∵的展开式中含，的项分别为，，∴展开式中的系数为，解得：．7.【答案】B【考点】数列递推式【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．【解答】数列的前项和，，当时，则：，两式相减得：，所以：，即：（常数），故：，当时，首项不符合通项，故：．所以：，8.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据正四面体的性质可知，异面直线的定义可判断：①与平行显然错误；②与为异面直线；③由三角形为等边三角形，可判断，④过垂直于，显然可证垂直于平面，可得与垂直，进而得出与垂直．【解答】根据正四面体的性质可知：①与平行显然错误；②与为异面直线，由异面直线的定义可判断正确；③由三角形为等边三角形，故与成角，故正确；④过垂直于，显然可证垂直于平面，可得与垂直，进而得出与垂直，故正确．9.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段的长．【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，设，，，到准线的距离分别为，，由抛物线的定义可知，，于是．∵，∴直线的斜率为，∵，∴直线的方程为，将，代入方程，得，化简得，∴，于是.故选.10.【答案】由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（ωx ﹣）又f（x）的图象向左平移π个单位之后为g（x）=2sin[ω（x+π）﹣]=2sin （ωx+ωπ﹣），由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z 又﹣≤=，∴ω≤，∴ω=2∴f（x）=2sin（2x ﹣），其图象的对称轴为x=+，k∈Z当x，x ∈（﹣，﹣），其对称轴为x=﹣3×+=﹣，∴x+x=2×（﹣）=﹣，∴f（x+x）=f （﹣）=2sin[2×（﹣）﹣]=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1应选：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．【解答】由函数的图象过点，∴，解得，又，∴，∴；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，∴，；又，∴，∴；∴，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，∴，∴．应选：．11.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，从而求得该四棱锥的外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．【解答】根据三视图可得此棱锥是正方体的一部分，正方体的棱长为，可得，，，，外接球的球心在平面外心的中垂线与的外心的中垂线的交点，三角形的边长：，，，外接圆的半径为：，外接球的半径为．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意可知：，且当＝时，，构造辅助函数，求导，由在恒成立，则在＝处取最小值，即可求得在单调递增，即可求得的最小值．【解答】由＝，当时，故此等式可化为：，且当＝时，，，令＝，＝，求导＝＝，当时，，则在上单调递增，的最小值为＝，则恒成立，∴的最小值，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】,,【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出交点，然后利用定积分表示曲边梯形的面积，计算求面积．【解答】曲线和直线＝交点为：，所以围成的图形面积为；14.【答案】【考点】双曲线的性质【解析】求得双曲线一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得，进而得到双曲线的离心率．【解答】设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由，可得，∵，∴∴∴，∴，∴15.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分步进行分析：①，在住甲乙之外的人中选出人，安排在甲乙人之间，安排好之后，将人看成一个整体；②，在剩下的人选出人，将这个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分步进行分析：①，在住甲乙之外的人中选出人，安排在甲乙人之间，有种情况，安排好之后，将人看成一个整体；②，在剩下的人选出人，将这个整体全排列，有种情况，则不同的发言顺序共有种；16.【答案】【考点】数列递推式【解析】数列与满足，可得，．由，可得，解得．又，即．同理可得：．可得．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】数列与满足，∴，．∵，∴，解得．又，即．．即．∴．∴…………．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【答案】由正弦定理得，∴，∵，∴，∴；由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为，如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为，此时三角形的面积．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出的值．（2）利用余弦定理，向量的数量积，基本不等式和三角形的面积公式求出结果．【解答】由正弦定理得，∴，∵，∴，∴；由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为，如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为，此时三角形的面积．18.【答案】证明：在梯形中，∵，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，即．∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）通过证明．，转化证明平面，然后推出平面；（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】证明：在梯形中，∵，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，即．∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴．19.【答案】由题意可知的可能取值为，，，，，，由统计数据可知：，所以的分布列为①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，．所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）由题意可知的可能取值为，，，，，，由统计数据即可得出概率及其分布列．（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，利用相互独立事件概率计算公式可得：三辆车中至少有辆事故车的概率．②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，．即可得出分布列与数学期望． 【解答】由题意可知的可能取值为，，，，，，由统计数据可知：，所以的分布列为①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，．所以的分布列为：所以，所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．20.【答案】 由已知得，则，，故椭圆的方程为；设直线的方程为，，，由，得，，则，由已知， 则，即，所以；假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，，代入椭圆方程得：， 即，则，即，则， 所以，化简得：，而，则，此时，点，中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处）， 与，，成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】 （1）由已知得，求出，，得到椭圆的方程，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可． （2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，，代入椭圆方程，推出，而，则，推出，，成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在． 【解答】 由已知得，则，，故椭圆的方程为；设直线的方程为，，，由，得，，则，由已知，则，即，所以；假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，，代入椭圆方程得：，即，则，即，则，所以，化简得：，而，则，此时，点，中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与，，成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在．21.【答案】，由，得；由，得．∴的增区间为，减区间为，∴，不妨设，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，∴在上单调递增，，则，∵，∴，∴；（1）由（2）可知，在区间单调递增，又时，，知在递增，∴，∴，且时，；时，，∴当时，，于是时，，∴若能证明，便能证明，记，则，∵，∴，∴在内单调递增，∴，∵，∴在内单调递减，∴，于是时，．∴在上单调递减，当时，相应的．∴在上递增，∴函数在函数的最小零点处取得极小值．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）由导数求出原函数的单调区间，得到最大值，不妨设，可得，整理得到，设，则，可得在上单调递增，，则，由此可得，即；（2）由（1）可知，在区间单调递增，得到在递增，可得，得到，且时，；时，，由此可得当时的分段解析式，然后利用导数证明函数在函数的最小零点处取得极小值．【解答】，由，得；由，得．∴的增区间为，减区间为，∴，不妨设，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，∴在上单调递增，，则，∵，∴，∴；（1）由（2）可知，在区间单调递增，又时，，知在递增，∴，∴，且时，；时，，∴当时，，于是时，，∴若能证明，便能证明，记，则，∵，∴，∴在内单调递增，∴，∵，∴在内单调递减，∴，于是时，．∴在上单调递减，当时，相应的．∴在上递增，∴函数在函数的最小零点处取得极小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵圆的参数方程为（为参数）∴圆的普通方程为；化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴．【考点】简单曲线的极坐标方程参数方程化成普通方程【解析】（1）圆的参数方程消去参数，能求出圆的普通方程．（2）圆的普通方程化为极坐标方程得，设，由，解得，设，由，解得，由此能求出．【解答】∵圆的参数方程为（为参数）∴圆的普通方程为；化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】时，＝，∴＝，当直线＝过点，时，＝，∴＝，故当集合＝，函数恒成立，即的图象恒位于直线＝的上方，数形结合可得要求的的范围为,（1）．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法【解析】（1）利用绝对值三角不等式，求得的最小值及取得最小值时的取值范围．（2）当集合＝，函数恒成立，即的图象恒位于直线＝的上方，数形结合求得的范围．【解答】∵函数＝＝，故函数＝的最小值为，此时，．函数＝，而函数＝表示过点，斜率为的一条直线，。