2019届中考数学复习专项二解答题专项五、简单的几何证明练习.docx

初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。

本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。

证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。

由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。

所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。

2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。

证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。

代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。

开方可得AB = 13cm。

所以，AB = 13cm得证。

3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。

证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。

所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。

由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。

所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。

4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。

初三几何证明题经典题一1、已知：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD＝∠PDA＝15°;求证：△PBC是正三角形．初二3、已知：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题二1、已知：△ABC中,H为垂心各边高线的交点,O为外心,且OM⊥BC于M．1求证：AH＝2OM；2若∠BAC＝600,求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF 的中点,OP⊥BC求证：BC=2OP证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N∵OF=OD,DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题三1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,AE ＝AC,AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．证明：连接BD 交AC 于O;过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30° ∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明：连接BD,过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC,又EG ⊥AC∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG =OD =21BD=21AC=21CE ∴∠GCE=30° ∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP,CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．初二证明：过点F 作FG ⊥CE 于G,FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB4、如图,PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC,BC ＝AD ．初三证明：过点E 作EK ∥BD,分别交AC 、AF 于M 、K,取EF 的中点H, 连接OH 、MH 、EC设AB=x ,BP=y ,CG=zz ：y=x-y+z ：x化简得x-y ·y =x-y ·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15° 在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE=180°-135°-30°=15°∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC,∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO又EK ∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题四1、已知：△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA ＝3,PB ＝4,PC ＝求∠APB 的度数．初二解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°,PQ=PB=3在△PQC 中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．初二∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO∴四边形ABCD 的对角证明：过点P 作AD 的平行线,过点A 作PD 的平行线, 两平行线相交于点E,连接BE ∵PE ∥AD,AE ∥PD ∴ADPE 是平行四边形 ∴PE=AD,又ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC又PE ∥AD,AD ∥BC ∴PE ∥BC∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．初三 证明：在BD 上去一点E,使∠BCE=∠ACD ∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB∴CDACDE AB∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．初二证明：过点D 作DG ⊥AE 于G,作DH ⊥FC 于H,连接DF 、∴S △ADE =错误!AE ·DG,S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =错误!S □ABCD ∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题五1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L ＝PA ＋PB ＋PC,求证：3≤L ＜2． 证明：1将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE,∵BP=BE,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形; ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA 、PE 、EF 在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF 的值最小如图在△ABF 中,∠ABP=120°∴AF=3BGB∴L=PA+PB+PC ≤32过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于D 、G 则△ADG 是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP,AG=DG ∵∠APD ＞∠AGP ∴∠APD ＞∠ADP∴AD ＞PA …………………………① 又BD+PD ＞PB ……………………② CG+PG ＞PC ……………………③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG ＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC ＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L ＜2 由12可知：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值．解：将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得△BEF,连接PE, 则△BPE 是正三角形 ∴PE=PB∴PA ＋PB ＋PC=PA+PE+EF∴要使PA ＋PB ＋PC 最小,则PA 、PE 、EF 应该在一条直线上如图此时AF=PA+PE+EF过点F 作FG ⊥AB 的延长线于G则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30° ∴GF=错误!,BG=23∴AF=22AG GF +=2212321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=32+∴PA ＋PB ＋PC 的最小值是32+3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC ＝3a,求正方形的边长． 证明：将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是等腰直角三角形, ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a∴QP 2+QC 2=22a 2+a 2=9a 2=PC 2∴△PQC 是直角三角形 ∴∠BQC=135°∵BC 2=BQ 2+CQ 2-2BQ ·CQ ·cos ∠BQC=PB 2+PA 2-2PB ·PAcos135°=4a 2+a 2-2×2a ×a ×-22解得BC=a 225+∴正方形的边长为a 225+4、如图,△ABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝80°,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA ＝30°,∠EBA ＝20°,求∠BED 的度数．解：在AB 上取一点F,使∠BCF=60°,CF 交BE 于G,连接EF 、DG ∵∠ABC=80°,∠ABE=20°,∴∠EBC=60°,又∠BCG=60° ∴△BCG 是正三角形∴BG=BC∵∠ACB=80°,∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A,AB=AC ∴△ABE ≌ACF ∴AE=AF ∴∠AFE=∠AEF=错误!180°-∠A=80°又∵∠ABC=80°=∠AFE ∴EF ∥BC ∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG 是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°,∠DCA=30°∴∠BCD=50°∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD 前已证BG=BC ∴BD=BG ∠BGD=∠BDG=错误!180°-∠ABE=80°∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG ∴DF=DG 又EF=EG,DE=DE ∴△EFD ≌△EGD ∴∠BED=∠FED=错误!∠FEG=错误!×60°=30°5、如图,△ABC 内接于⊙O,且AB 为⊙O 的直径,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D,过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P,过点A 作AE ⊥CD 于点E,过点B 作BF ⊥CD 于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD 的长; 解：∵∠ACD=∠BCD ∴错误!=错误!∴AD=BD ∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB=90° ∴△ABD 是等腰直角三角形∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=10∴AD=AB ·cos ∠DAB=10×22=52 又AE ⊥CD,∠ACD=45°∴△ACE 是等腰直角三角形∴CE=AE=AC ·cos ∠CAE=6×22=32 在△ADE 中,DE 2=AD 2-AE 2∴DE 2=32232522=）（）（-∴DE=24 ∴CD=CE+DE=32+24=27∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P ∴△PDA ∽△PCD ∴752725====CD AD PD PA PC PD ∴PC=57PD,PA=75PD ∵PC=PA+AC ∴57PD=75PD+6解得PD=435 1证明：过点G 作GH ⊥AB 于H,连接OE ∵EG ⊥CO,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD COHG GO =∴CDCOFG EO =∵EO=CO ∴CD=GF2证明：作正三角形ADM,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD,MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3证明:连接AC,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN,CG=DG ∴GN ∥AD,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM,AG=CG ∴GM ∥BC,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F1证明：1延长AD 交圆于F,连接BF,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵错误!=错误! ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD 又AD ⊥BC,OM ⊥BC,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM 2连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由1知AH=2OM ∴AH=BO=AO2证明：作点E 关于AG 的对称点F,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF ∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE ∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F、C、A、Q四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP在△AEP和△AFQ中∠AFQ=∠AEPAF=AE∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ。

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.[解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,则AM=BC=2.又tan ∠ADC=2,所以212DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒. 所以3BF k ==所以1sin 33k BFE k ∠==.2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．[解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝21AB ，CF ＝21CD ． ∴AE ＝CF∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形．EBFCDA∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ，∴AE ＝BE ＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．[解析]（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．（2） BM =FN 仍然成立．（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．图13－2图13－3图13－1 A ( E )4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．ECBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321ECBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F E CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H FE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，AB CEF∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB. ……………………………………………2分∴∠CAB＋∠ACE＝90°. ………………………………………………3分∵AD为△ACB的高线，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

1几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．2 EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．3FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F DE CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，ABCE DF4 ∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

题型六几何图形的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N 为线段AM上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF 的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC ＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交CD 于H .(1)若∠EFC ＝∠A ，求证：CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)如图②，若BH 平分∠ABC ，CE ＝CF ，BF ＝3，AE ＝2，求EF 的长； (3)如图③，若CE ≠CF ，∠CEF ＝∠B ，∠ACB ＝60°，CH ＝5，CE ＝4 3 ，求ACBC的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE 交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A作AG⊥AB交BD的延长线于点G.①若CF＝6，求DG的长；②设CF 交BD 于点H ，求HECH的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ；②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．5.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点C恰好在直线l上，过A、B 分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图参考答案类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＋∠ACM＝90°，∵AC⊥BD，∴∠MBE＋∠ACM＝90°，∴∠BAN＝∠CAM＝∠MBE，∵MB＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠ABN＋∠BAN，∠MBN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN＋∠BAN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN ＝∠NBE ，即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ，∴MB ＝MN ＝12BC ， ∵四边形DNBC 为平行四边形，∴BN ＝CD ，BN ∥CD ，∴∠DBN ＝∠BDC ，由(1)知∠ABN ＝∠DBN ，∴∠ABN ＝∠BDC ，∵AB ＝BD ＝1，∴△ABN ≌△BDC ，∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ， 由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°，∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1， 解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC ，∵∠ABF ＝2∠EDC ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴CA ＝CB又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠BAH ＝∠BCM ，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴AC ＝GM ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM，∴△BAH ≌△BCM (SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°，∵CG 平分∠ACB ，∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°，∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE，∴△BCG ≌△CAF (ASA)，∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ，∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ，∴△ACG ≌△BCG (SAS )，∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°，∴∠PCG ＝∠PGC ，∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ，∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ，∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33， 由(2)得：△ACG ≌△BCG ，∴BG ＝AG ＝6，∴ 12×6×EM ＝33， 解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °，∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °，∵∠ACH ＝45°，∴2x ＋x ＝45，解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23，AM ＝（23）2－（3）2＝3，∴M 是AG 的中点，∴AE ＝EG ＝23，第3题解图∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23，在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°，∴CE ＝12BE ＝3＋3， ∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3.4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点，∴CF ＝BF ，∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°，∴∠AMC ＝90°，∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ，∴BC ＝AC ＝2 2 ，∵CE ＝1，∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ，∵点F 是BD 中点，∴CF ＝DF ＝12BD ＝32， 同理：EG ＝12AE ＝32， 如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点，∴FH ＝12CD ＝12， ∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14， 由(2)知，AE ⊥CF ，第4题解图∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14， ∴ME ＝13， ∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76， ∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△OBC 和△ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△BCO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO，∴△BCO ≌△DCO (SAS)，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°.6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC，∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BEC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ，∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点，∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝AN ∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)，∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ，∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°，∴△MCN 是等腰直角三角形，∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC .在△AQP 与△ABC 中，∵∠AQP ＝∠ABC ，∠QAP ＝∠BAC ，∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5.①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴P A AC ＝PQ BC ，即3－PB 5＝BP 4， 解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53； ②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示．∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ .∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6. 2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝12AB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA ，∵∠DAC ＝∠CAB ，∴∠DAC ＝∠ECA .∴AD ∥CE ；(3)解：∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，又∵∠DF A ＝∠EFC ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF， ∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×7＝72， ∵AD ＝5，∴572＝AF CF，∴CFAF＝710，∴AF＋CFAF＝1＋CFAF＝1710，即ACAF＝1710.3. (1)证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△CFD∽△BDE，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE；(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF；②解：∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，由(2)知，∠BED＝∠DEF，∵∠AEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∴∠AEF＝60°，∵AE＝AF，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，又∵∠BED＝∠AEF＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE ，∵AE ＝DE ，∴AE ＝BE ＝12AB ， ∴AE AB ＝12. 4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ，∴△CBD ∽△ABC ，∴ CD AC ＝BC BA，① ∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ，又∵∠ABC ＝∠FBE ，∴△ABC ∽△FBE ，∴ BC BA ＝BE BF，② 由①②可得CD AC ＝BE BF， ∵BE ＝CD ，∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∵PE ∥AC ，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，∴CP ＝CE ，∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ，∴BC ＝DP ，∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，∴BC ＝12CD ，∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点， 又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线，∴FP ＝12AC ， ∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ， ∴FP ＝AB ＝2，∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ，∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点，又∵EF ∥AC ，∴A 为FB 的中点，∴AC 是△BEF 的中位线，∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8，∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，又∵∠EFC ＝∠A ，∠ECF ＝∠ACB ，∴∠CEF ＝∠B ，∵∠ECH ＝∠DCB ，∴△ECH ∽△BCD ，∴EC BC ＝CH CD， ∴CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)解：如解图①，连接AH .∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AH 是∠BAC 的平分线，∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12∠BAC ＝90°＋∠HAE ，∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ，∴∠CHF ＝90°，∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°，∴∠HAE ＝∠BHF ，∵CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴∠AEH ＝∠BFH ，∴△AEH ∽△HFB ，∴ AE HF ＝EH FB， ∴FH ·EH ＝6，∴HE ＝HF ＝6，∴EF ＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，∴HM ＝HN ＝52， CM ＝CN ＝532， ∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ， ∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43， 又∵x 2＝y 2＋(52)2 ， 解得y ＝5314或332， ∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43， 又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314，∴CF ＝2037， ∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ，∴ EC BC ＝CF AC ， ∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°，∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF， ∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32； (2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，又∵l ∥AB ，∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC，∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE，∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°， ∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD，∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；第1题解图(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ，又∵∠ADG ＝∠CDE ，∴△ADG ∽△CDE ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，∴△ADG ≌△CDE ，∴DG ＝DE ＝12GE ， ∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，∴GE ＝BE ＝6，∴DG ＝3；②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ，∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ，∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，∵∠ACF ＝∠CBD ，∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ，∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13.3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ，∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°，∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，∴FM AN ＝EM DN；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ， ∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ， ∴OF ＝255k ，EF ＝455k ， ∴AD EF ＝54， 又∵△FME ∽△AND ，∴AN FM ＝AD EF ＝54， 即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ，∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM＝∠AIN＝90°，又∵AI＝AI，∴△AMI≌△ANI(ASA)，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠BMI＝∠CNI，设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，∴∠NIC＝90°－α－β，∵∠ABC＝180°－2α－2β，∴∠MBI＝90°－α－β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴BMNI＝MINC，∴NI·MI＝BM·CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM·CN；②解：如解图③，过点N作NG∥AD交MA的延长线于G. ∵NG∥AD，∴∠ANG＝∠DAN，∠AGN＝∠BAD，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAN＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝3AN，∵AI∥NG，∴∠MIA＝∠MNG，∠MAI＝∠MGN，∴△AMI∽△GMN，∴AMMG＝AING，∴AMAM＋AN＝43AN，∴AM＋ANAM＝3AN4，∴1AM＋1AN＝34.第4题解图③5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1kAD . 证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC＝k ， ∴DC ＝kBE ，CE ＝1kAD ， ∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1kAD ； (3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵AC ＝4，D 是AC 的中点，∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4，设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ，∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ，∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12， 解得x ＝87， 即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD，∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CF CD， 即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ， ∴(12AB )2＝CE ·CF ，.. ∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ， 由①得AB 2＝4CE ·CF ，∵AB ＝42，CE ＝2CF ，∴CE ＝4，CF ＝2，∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2 ∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，∴∠ECN ＝∠DGN又∵∠ENC ＝∠DNG∴△CEN ∽△GDN ，∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2， 又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ， ∴CG ＝BG ＝2，∴NG ＝13CG ＝23， 在Rt △DGN 中，DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。

题型六几何图形的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP ＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE . (1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； (2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交CD 于H .(1)若∠EFC ＝∠A ，求证：CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)如图②，若BH 平分∠ABC ，CE ＝CF ，BF ＝3，AE ＝2，求EF 的长； (3)如图③，若CE ≠CF ，∠CEF ＝∠B ，∠ACB ＝60°，CH ＝5，CE ＝4 3 ，求ACBC的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP 交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A 作AG ⊥AB 交BD 的延长线于点G . ①若CF ＝6，求DG 的长； ②设CF 交BD 于点H ，求HECH的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ；②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N .①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．第4题图5. 如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，顶点C 恰好在直线l 上，过A 、B 分别作AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E .(1)求证：DE ＝AD ＋BE ；(2)如图②，在△ABC 中，当AC ＝kBC ，其他条件不变，猜想DE 与AD 、BE 的关系，并证明你的结论； (3)如图③，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝12，∠ACB ＝90°，点D 是AC 的中点，点E 在BC 上，过点E 作EF ⊥DE 交AB 于点F ，若恰好EF ＝2DE ，求CE 的长．图①图②图③第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＋∠ACM＝90°，∵AC⊥BD，∴∠MBE＋∠ACM＝90°，∴∠BAN＝∠CAM＝∠MBE，∵MB＝MN，参考答案∵∠MNB ＝∠ABN ＋∠BAN ，∠MBN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＋∠BAN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＝∠NBE ， 即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ， ∴MB ＝MN ＝12BC ，∵四边形DNBC 为平行四边形， ∴BN ＝CD ，BN ∥CD ， ∴∠DBN ＝∠BDC ，由(1)知∠ABN ＝∠DBN ， ∴∠ABN ＝∠BDC ， ∵AB ＝BD ＝1， ∴△ABN ≌△BDC ， ∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ，由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°， ∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1，解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ， ∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ， ∴∠BAD ＝2∠EDC ， ∵∠ABF ＝2∠EDC ， ∴∠BAD ＝∠ABF ，∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ， ∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点， ∴AN ＝12BH ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形， ∠BAC ＝∠BCA ＝60°， ∴∠BAH ＝∠BCM ， ∵GM ＝AB ，AB ＝AC ， ∴AC ＝GM ， ∴CM ＝AG ， ∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM， ∴△BAH ≌△BCM (SAS)， ∴BH ＝BM ， ∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°，∵CG 平分∠ACB ，∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°， ∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE， ∴△BCG ≌△CAF (ASA)， ∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ， ∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ， ∴△ACG ≌△BCG (SAS )， ∴∠CAG ＝∠CBE ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ， ∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ， ∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33，由(2)得：△ACG ≌△BCG ， ∴BG ＝AG ＝6， ∴ 12×6×EM ＝33， 解得EM ＝3， 设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °， ∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °， ∵∠ACH ＝45°， ∴2x ＋x ＝45， 解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°， 在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23， AM ＝（23）2－（3）2＝3， ∴M 是AG 的中点，∴AE ＝EG ＝23，∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23， 在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°， ∴CE ＝12BE ＝3＋3，∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3. 4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD， ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点， ∴CF ＝BF ，∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ， ∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°， ∴∠AMC ＝90°， ∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ， ∴BC ＝AC ＝2 2 ， 第3题解图∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ， ∵点F 是BD 中点， ∴CF ＝DF ＝12BD ＝32 ，同理：EG ＝12AE ＝32，如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点， ∴FH ＝12CD ＝12，∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14，由(2)知，AE ⊥CF ，∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ，∴ 34ME ＝14， ∴ME ＝13，∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76 ，∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78.5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ， 在△OBC 和△ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ， ∴∠CBO ＝∠CDO ， ∵OE ＝OB ， ∴∠CBO ＝∠E ， ∴∠CDO ＝∠E ， ∵∠DFO ＝∠EFC ， ∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ， ∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ， 在△BCO 和△DCO 中，第4题解图⎩⎪CO ＝CO∴△BCO ≌△DCO (SAS)， ∴∠CBO ＝∠CDO ， ∵OE ＝OB ， ∴∠CBO ＝∠E ， ∴∠CDO ＝∠E ， ∵∠DFO ＝∠EFC ， ∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ， 即∠DOE ＝∠DCE ， ∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°. 6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)， ∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ， 即∠BCE ＝∠ACD ， 在△BEC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)， ∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°， ∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ， ∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ， ∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点， ∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎪BC ＝AC∴△BMC ≌△ANC (SAS)，∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ， ∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°， ∴△MCN 是等腰直角三角形， ∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ， ∴∠AQP ＝90°＝∠ABC . 在△AQP 与△ABC 中， ∵∠AQP ＝∠ABC ， ∠QAP ＝∠BAC ， ∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示． ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ， 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴P A AC ＝PQBC ，即3－PB 5＝BP 4， 解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示． ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ， ∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点， ∠ACB ＝90°， ∴CE ＝12AB ＝AE ，∴∠EAC ＝∠ECA ， ∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA . ∴AD ∥CE ；(3)解：∵CE ∥AD ， ∴∠DAF ＝∠ECF ， 又∵∠DF A ＝∠EFC ， ∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD CE ＝AF CF， ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×7＝72，∵AD ＝5， ∴572＝AFCF ， ∴CF AF ＝710， ∴AF ＋CF AF ＝1＋CF AF ＝1710， 即AC AF ＝1710. 3. (1)证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠B ＋∠BDE ＋∠DEB ＝180°，∠BDE ＋∠EDF ＋∠FDC ＝180°，∠EDF ＝∠B ， ∴∠FDC ＝∠DEB ， ∴△CFD ∽△BDE ，∴DE DF ＝BE CD， 即DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)①证明：由(1)证得△BDE ∽△CFD ， ∴BE CD ＝DE DF，∴BD ＝CD ， ∴BE BD ＝DE DF， ∵∠B ＝∠EDF ， ∴△BDE ∽△DFE ， ∴∠BED ＝∠DEF ， ∴ED 平分∠BEF ；②解：∵四边形AEDF 为菱形， ∴∠AEF ＝∠DEF ，由(2)知，∠BED ＝∠DEF ，∵∠AEF ＋∠DEF ＋∠BED ＝180°， ∴∠AEF ＝60°， ∵AE ＝AF ， ∴∠BAC ＝60°. ∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝60°，又∵∠BED ＝∠AEF ＝60°， ∴△BED 是等边三角形， ∴BE ＝DE ， ∵AE ＝DE ， ∴AE ＝BE ＝12AB ，∴AE AB ＝12. 4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ， ∴△CBD ∽△ABC ，∴CD AC ＝BCBA，① ∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ， 又∵∠ABC ＝∠FBE ， ∴△ABC ∽△FBE ， ∴BC BA ＝BEBF，② 由①②可得CD AC ＝BEBF，∵BE ＝CD ， ∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°， ∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ， ∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°， ∴CP ＝CE ， ∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ， ∴BC ＝DP ， ∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°， ∴BC ＝12CD ，∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点，又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线， ∴FP ＝12AC ，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°， ∴AB ＝12AC ，∴FP ＝AB ＝2，∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ， ∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点， 又∵EF ∥AC ，∴A 为FB 的中点，∴AC 是△BEF 的中位线， ∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8， ∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，又∵∠EFC ＝∠A ， ∠ECF ＝∠ACB ， ∴∠CEF ＝∠B ， ∵∠ECH ＝∠DCB ， ∴△ECH ∽△BCD ，∴EC BC ＝CH CD， ∴CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)解：如解图①，连接AH .∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴AH 是∠BAC 的平分线，∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12∠BAC ＝90°＋∠HAE ，∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ， ∴∠CHF ＝90°，∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°， ∴∠HAE ＝∠BHF ，∴∠CFE ＝∠CEF ， ∴∠AEH ＝∠BFH ， ∴△AEH ∽△HFB ， ∴AE HF ＝EH FB， ∴FH ·EH ＝6， ∴HE ＝HF ＝6， ∴EF ＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y . ∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5， ∴HM ＝HN ＝52 ，CM ＝CN ＝532，∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ，∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ， ∴x ∶13＝(y ＋532)∶43， 又∵x 2＝y 2＋(52)2 ，解得y ＝5314或332，∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43，又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314，∴CF ＝2037，∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ， ∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC BC ＝CF AC， ∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°， ∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ， ∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF， ∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32；(2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ， ∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°， 又∵l ∥AB ， ∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°， ∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°， 即∠CDE ＝∠CED ， ∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC， ∴△ACD ≌△ACE (SAS)， ∴AD ＝AE ， 又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形； (3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°， ∵∠ADE ＝60°， ∴∠ADE ＝∠GDC ， ∴∠ADG ＝∠EDC ， 又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°， ∴∠AGD ＝∠DCE ，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE， ∴△ADG ≌△EDC (ASA)， ∴AD ＝DE ， 又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD， ∴△ACF ≌△CBE (ASA)， ∴CF ＝BE ；(2)解：①由(1)得CF ＝BE ， ∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点， ∴CP ⊥AB ， ∵AG ⊥AB ， ∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ， 又∵∠ADG ＝∠CDE ， ∴△ADG ∽△CDE ， ∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1， ∴△ADG ≌△CDE ， ∴DG ＝DE ＝12GE ，∵CE ∥AG 且P 为AB 中点， ∴GE ＝BE ＝6， ∴DG ＝3； ②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ， ∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ， ∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ， ∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°， 第1题解图∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ， ∵∠CEH ＝∠PEB ， ∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°， ∴△CHE 是直角三角形， ∴△CHE ∽△BPE ， ∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13. 3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°， ∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴∠B ＝∠C ， ∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ， ∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ， ∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ， ∴AB ＝AC ， ∵BE ＝CF ， ∴AE ＝AF ， ∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°， ∴∠AEO ＝∠NDA ， ∴△FME ∽△AND ， ∴FM AN ＝EM DN；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ， 由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ，∴OF ＝255k ，EF ＝455k ，∴AD EF ＝54， 又∵△FME ∽△AND ， ∴AN FM ＝AD EF ＝54， 即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ， ∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ， 在△BEI 和△BDI 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2， 在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2， ∴22＋x 2＝(22－x )2 ， ∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI . ∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ， ∵AI ⊥MN ，∴∠AIM ＝∠AIN ＝90°， 又∵AI ＝AI ，∴△AMI ≌△ANI (ASA)， ∴∠AMN ＝∠ANM ， ∴∠BMI ＝∠CNI ，设∠BAI ＝∠CAI ＝α，∠ACI ＝∠BCI ＝β，∵∠ABC ＝180°－2α－2β， ∴∠MBI ＝90°－α－β， ∴∠MBI ＝∠NIC ， ∴△BMI ∽△INC ， ∴BM NI ＝MI NC， ∴NI ·MI ＝BM ·CN ， ∵NI ＝MI ， ∴MI 2＝BM ·CN ；②解：如解图③，过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G . ∵NG ∥AD ，∴∠ANG ＝∠DAN ， ∠AGN ＝∠BAD ， ∵∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAN ＝30°， ∴∠ANG ＝∠AGN ＝30°， ∴AN ＝AG ，NG ＝3AN ， ∵AI ∥NG ，∴∠MIA ＝∠MNG ， ∠MAI ＝∠MGN ， ∴△AMI ∽△GMN ， ∴AM MG ＝AI NG， ∴ AM AM ＋AN ＝43AN，∴AM ＋AN AM ＝3AN4， ∴1AM ＋1AN ＝34.第4题解图③5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°， ∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ， ∴∠DAC ＝∠ECB ， 在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB， ∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ； (2)解：DE ＝kBE ＋1k AD .证明：∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°， ∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°， ∴∠DAC ＝∠ECB ， ∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴△ADC ∽△CEB ， ∴AD CE ＝DC BE ＝ACBC＝k ， ∴DC ＝kBE ，CE ＝1k AD ，∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1kAD ；(3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ， ∵AC ＝4，D 是AC 的中点， ∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4， 设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ， ∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ， ∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ， ∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12， 解得x ＝87，即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°， 在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD，(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°， ∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°， ∴∠F ＝∠CDE ， ∴△CDF ∽△CED ， ∴CD CE ＝CF CD， 即CD 2＝CE ·CF ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ， ∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ，∴(12AB )2＝CE ·CF ， ∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ， 由①得AB 2＝4CE ·CF ， ∵AB ＝42，CE ＝2CF ， ∴CE ＝4，CF ＝2， ∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2∴△DGB 是等腰直角三角形， ∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2， ∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ， ∴DG ∥AC 即DG ∥CE ， ∴∠ECN ＝∠DGN 又∵∠ENC ＝∠DNG ∴△CEN ∽△GDN ， ∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2， 又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ， ∴CG ＝BG ＝2， ∴NG ＝13CG ＝23，在Rt △DGN 中， DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。

2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形， 理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣42．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（﹣a3）2＝﹣a6C．a3•a2＝a6D．a5÷a2＝a33．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )A.3B.4C.5D.64．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝kx的图象过点C．当S△CDE＝32时，k的值是（）A.18B.12C.9D.35．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.6．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则AD的长为（）A ．3B ．4C ．D ．87．某天的同一时刻，甲同学测得1m 的测竿在地面上的影长为0.6m ，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m 。

三、解答题16. （8分）已知x ，y 满足方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩，先将17. （9分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．甲、乙两人射箭成绩统计表（1）a =___________； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；（3）①观察折线图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法， 计算乙成绩的方差，并验证你的判断． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．18. （9分）如图，等边三角形ABC 中，AO 是∠BAC 的平分线，D 为AO 上一点，以CD为一边在CD 下方作等边三角形CDE ，连接BE ． （1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP ，CQ ，使CP =CQ =5．若BC =8，求PQ 的长．乙甲甲、乙两人射箭成绩折线图射箭次序成绩/环108642543210Q E PD OCBA三、解答题16. （8a =-1，请取一个你喜欢的b 的值代入求值．17. （9分）某大学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类）．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图．（4）若此大学约有学生56 800人，试估计该中学喜欢足球的有 多少人？（保留两位有效数字）18. （9分）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE =CF ．（2）将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A′D′E′ 的位置，使点E′ 落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示．试猜想BE′与CF 有怎样的数量关系，并证明你的结论．图2E ′BD A ECFD ′A ′图2图1排球篮球兵乓球足球40%20%5040302010排球篮球兵乓球足球项目人数图图1E ′BD AE CFBD ′A ′FED CA图1DFCE BA三、解答题16. （8分）先化简，其中x 是不等式组30211x x ì+>ïí-<ïî的整数解．17. （9分）图1表示的是某综合商场今年1~5月的商品各月销售总额的情况，图2表示的是商场服装部．．．各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，来自商场财务部的数据报告表明，商场1~5月的商品销售总额一共是410万元，观察图1、图2，解答下列问题：（1）请你根据题中信息将图1中的统计图补充完整． （2）商场服装部．．．5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图2后认为，5月份商场服装部．．．的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由．18. （9分）已知菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．（1）如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF =60°，求 证：BE =DF ；（2）如图2，若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．图2CFDAEB54806590100图1商场各月销售总额统计图1 2 3100806040200销售总额/万元月份三、解答题16. （8分）（1）先化简，再求值：2(3)(2)(2)x x x +++-，其中x =-2；（217. （9分）某中学对本校500名毕业生中考体育加试测试情况进行调查，根据男生1 000米及女生800米测试成绩整理、绘制成如下不完整的统计图（图1、图2）．图1 图2 请根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）该校毕业生中男生有_________人，女生有_________人； （2）扇形统计图中的a =________，b =________，并补全条形 统计图；（3）求图1中“8分a %”所对应的扇形圆心角的度数；（4）若从该校毕业生中随机抽取一名男生，则这名男生1 000米成绩为10分的概率是多少？18. （9分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，分别以AB ，CD 为边向外侧作等边三角形ABE 和等边三角形DCF ，连接AF ，DE ． （1）求证：AF =DE ；（2）若∠BAD =45°，AB =a ，△ABE 和△DCF 的面积之和等于梯形ABCD 的面积，求BC 的长．人数1802060204020女生男生成绩10分9分8分8分1801601401201008060402009分16%8分a %8分以下10%10分 b %人数180********20女生男生成绩10分9分8分8分以下180160140120100806040200FDCBEA三、解答题16. （8分）（1（2）用配方法解方程：2221x x x -=+．17. （9分）九年级（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把评价结果划分成A ，B ，C ，D ，E 五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．（1）求a ，b 的值；（2）根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间； （3）该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由．18. （9分）已知：在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°， 19. 点D 是AB 边的中点，点E 是AB 边上一点．（1）如图1，BF ⊥CE 于点F ，交CD 于点G ，求 证：AE =CG ；（2）如图2，AH ⊥CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，找出图中与BE 相等的线段，并证明．AE DBC 40%图1G F C EDB A图2HM ABD E C三、解答题16. （8分）（1）若方程组ax y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是11x y =⎧⎨=⎩，求2()()()a b a b a b +--+的值．（2）解不等式组：302(1)33≥x x x+>⎧⎨-+⎩，并判断-117. （9分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A ，B ，C ，D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有___________人；（2）扇形统计图中：a =_________，b =________，并把条形统计图补充完整； （3）若居民区有8 000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A ，B ，C ，D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．18. （9分）如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE =CD ，连接BE ，交AD 于点F ，交AC 于点G ． （1）求证：AF =DF ；（2）若BC =2AB ，且DE =1，∠ABC =60°，求FG 的长．18060300240180120600人数类型D C B A a %b% B 10% A CD40%GFEDC BA三、解答题16. （817. （9分）6月5日是世界环境日，为了普及环保知识，增强环保意识，某市第一中学举行了“环保知识竞赛”，参赛人数1 000人，为了了解本次竞赛的成绩情况，学校团委从中抽取部分学生的成绩（满分为100分，得分取整数）进行统计，并绘制出不完整的频率分布表和频数分布直方图如下：（1）表中a =______，b =______，并补全频数分布直方图．（2）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，则这次参赛的学生中成绩为优秀的约有多少人？（3）若这组被抽查的学生成绩的中位数是80分，请直接写出被抽查的学生中得分为80分的至少有多少人．18. （9分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F落在AD 上．（1）求证：△ABF ∽△DFE ； （2）若sin ∠DFE tan ∠EBC 的值．48121624322028049.559.569.579.589.599.5频数成绩/分89.5~99.579.5~89.569.5~79.559.5~69.5频率频数分组49.5~59.5a 2032b0.080.12AF BD CE三、解答题16. （8分）（1x 满足x 2-x -1=0． （217. （9分）在书香校园活动中，某中学举行了“我和春天有个约会”的活动，聘请了10位老师和10位学生担任评委，其中甲班的得分情况如下统计图表所示．（1）在频数分布直方图中，自左向右第四组的频数为______，并补全频数分布直方图； （2）学生评委计分的中位数是_________分；（3）计分办法规定：老师、学生评委的计分各去 掉一个最高分、一个最低分，分别计算平均分， 且按老师、学生各占60%、40%的方法计算各班最 后得分．已知甲班最后得分为94.4分，求统计表 中x 的值．18. （9分）如图，正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF =45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ． （1）求证：EF =FM ；（2）当AE =1时，求EF 的长．MFEDCBA 0123599192939495969798108764分数/分学生评委序号/号学生评委计分折线统计图46781095321969891x 919392969493分数/分评委序号/号老师评委计分统计表06789.591.593.595.597.599.531师生评委计分频数分布直方图频数/个分数/分254三、解答题16.，b 均为正数，先化简：17. （9分）某超市销售多种颜色的运动服装，平均每天销售红、黄、蓝、白四种颜色运动服装的数量如表，由此绘制的不完整的扇形统计图如图：（1）表中m=_______，n=________，a=_______，并将扇形统 计图补充完整．（2）为了吸引更多的顾客，超市将上述扇形统计图制成一个可自由转动的转盘，并规定：顾客在本超市购买商品的金额达到一定数目，就获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针指向红色服装区域、黄色服装区域，可分别获得60元、20元的购物券．求顾客每转动一次转盘获得购物券金额的平均数．18. （9分）如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，BC =CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD ，交AE 于点P ，QC ⊥BC ，交AF 于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．四种颜色服装销量统计表四种颜色服装销量扇形统计图a90°360°m 1.5n 40n 20合计白蓝黄红数量（件）服装颜色所对扇形的圆心角蓝色服装 25%DFECBAQP三、解答题19. （8a =-1，请取一个你喜欢的b 的值代入求值．20. （9分）某大学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类）．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图．（4）若此大学约有学生56 800人，试估计该中学喜欢足球的有 多少人？（保留两位有效数字）21. （9分）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE =CF ．（2）将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A′D′E′ 的位置，使点E′ 落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示．试猜想BE′与CF 有怎样的数量关系，并证明你的结论．图2E ′B D A ECFD ′A ′图2图1排球篮球兵乓球足球40%20%5040302010排球篮球兵乓球足球项目人数图图1E ′BD AE CF BD′A′FE D CA中考数学计算、统计和证明专项训练（一）参考答案16．（1，方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩，∴原式=-1． 17．（1）4，6；（2）补全图形略；（3）①乙，验证略；②乙将被选中，理由略．18．（1）证明略；（2）6．中考数学计算、统计和证明专项训练（二）参考答案16．（1b =0，原式=-1（答案不唯一）． 17．（1）100名；（2）36°；（3）统计图略；（4）1.7×104人．18．（1）证明略；（2）BE′=CF ，证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（三）参考答案16，不等式组的解集为31x -<<，取x =0，当x =0时，原式=-1． 17．（1）4月份商场销售总额为75万元，统计图略；（2）12.8万元；（3）不同意，理由：4月份服装部的销售额为75×17％=12.75（万元）∵12.75<12.8，∴不同意他的看法．18．证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（四）参考答案16．（1）原式=6x +13，当x =-2时，原式=1；（2）2x >．17．（1）300，200；（2）12，62，统计图略；（3）43.2°；（418．（1）证明略；（2 中考数学计算、统计和证明专项训练（五）参考答案16．（1（217．（1）a=20，b=15；（2）1.68小时；（3）符合实际，理由：设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m<2，因为小明帮父母做家务的时间大于中位数，所以他帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多．18．（1）证明略；（2）CM，证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（六）参考答案16．（1）2；（2）不等式组的解集为-3<x≤1，-1组的解．17．（1）600；（2）30，20，统计图略；（3）3 200人；（418．（1）证明略；（2中考数学计算、统计和证明专项训练（七）参考答案x-，当x x2-4的值均为2 009，16．原式=24∴小明虽然把x值抄错，但他的计算结果也是正确的．17．（1）12，0.28，频数分布直方图略；（2）600人；（3）至少有11人．18．（1）证明略；（2）tan∠中考数学计算、统计和证明专项训练（八）参考答案16．（1x2-x-1=0，∴原式=1．（217．（1）5，频数分布直方图略；（2）95；（3）x的值为97．18．（1）证明略；（2中考数学计算、统计和证明专项训练（九）参考答案16．（1，且a，b均为正数，17．（1）160，40，90°，统计图略；（2）12.5元． 18．证明略中考数学计算、统计和证明专项训练（十）参考答案16．（1b=0，原式=-1（答案不唯一）．17．（1）100名；（2）36°；（3）统计图略；（4）1.7×104人．18．（1）证明略；（2）BE′=CF，证明略．。

类型一与全等三角形有关的证明及计算图②第1题图，求BD的值．，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CAD =∠CBE ，∵∠ACB =90°，点N 是线段BE 的中点，∴CN =BN ，∴∠CBE =∠NCD ，∴∠NCD =∠CAD ，∵∠NCD +∠NCA =90°，∴∠CAG +∠GCA =90°，∴∠CGA =90°，∴CN ⊥AD ；（3）解：（2）中的结论还成立，如解图，延长CN 至点F 使FN =CN ，连接BF ，在△CEN 与△BFN 中，，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BN EN BNF CNE FN CN ∴△CEN ≌△BNF （SAS ），∴CE =BF ，∠F =∠ECN ，∵∠CBF =180°-∠F -∠BCF ，∠DCA =360°-∠DCE -∠ACB -∠BCE =180°-∠ECF -∠BCF ，∴∠CBF =∠ACD ，第1题解图ABC=∠CEF=90°，AB=上时，求证：BM∥CF；图① 图②图③第2题图（1）证明：如解图①，连接MC ，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠ACB =∠BAC =45°，同理，∠ECF =45°，∴∠ACF =90°.∵M 是AF 的中点，∴AM =MC =MF ，∴∠MCF =∠MFC .在△AMB 和△CMB 中，AM CM MB MBAB BC ===⎧⎪⎨⎪⎩∴△AMB ≌△CMB （SSS ），∴∠AMB =∠BMC .∵∠AMC =∠MFC +∠MCF ，∴2∠AMB =2∠AFC ，∴∠AMB =∠AFC ，∴BM ∥CF ；（2）解：如解图②，延长BM 交CF 于点N ，连接BE 、EN ， 第2题解图①第2题解图②类型二与相似三角形有关的证明及计算3.如图①，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M.（1）求证：DM=DA；（2）如图②，点G在BE上，且∠BDG=∠C.①求证：△DEG∽△ECF；②若点H在CE上，满足∠CFH=∠B，且BG=5，求EH的长.图①图②第3题图（1）证明：∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DE=DA；（2）①证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，4题图①连接BD，当点P为DC的中点时，求证：△PMD是等腰直角三角形；②当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数.图①图②第5题图（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CPMN是正方形，∴BC=DC，CN=CP=PM=MN，∠P=∠N=90°，∴BC+CN=DC+PC，即BN=DP，∴△BNM≌△DPM（SAS），∴MB=MD；（2）①证明：∵P是CD的中点，∴PD=PC，∵四边形CPMN是正方形，∴PM=PC，∠DPM=∠CPM=90°，∴PD=PM，∴△PMD是等腰直角三角形；②解：如解图，设PC与BM交于点E，过点E作EF⊥BD于点F，设CD=a，PC=b，则PD=a-b，∵MP平分∠DME，MP⊥DE，∴PE=PD=a-b,CE=a-2(a-b)=2b-a，∵PM∥BC，第5题解图中，AD=4，M是AD的中点，点的延长线于点F.图②图③第6题图）证明：∵四边形ABCD是矩形，=90°，图①图②题解图。

简单的几何证明满分训练1.（2018·陕西模拟）已知：正方形ABCD及等边三角形EDC按如图位置放置，连接AE，BE。

求证：AE=BE。

2.（2018·陕西模拟）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠C=∠E，DE=BC，AC=AE，求证：DA平分∠BDE。

3.（2019·原创题）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB 的平行线交AE的延长线于点F，连接BF。

求证：CF=AD。

4.（2018·湖北恩施中考）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，A C∥FD，AD交BE于点O。

求证：AD与BE互相平分。

25.（2018·浙江嘉兴中考）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF。

求证：△ABC是等边三角形。

6.（2018·陕西模拟）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG，垂足为E，且DE=DC，求证：BF=AE。

7.（2018·某工大附中模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，垂足为D，BE垂直于CP的延长线，交CP于点E，求证：CD=BE。

8.（2018·某高新一中模拟）如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF。

求证：四边形BEDF是平行四边形。

49.（2018·湖北黄冈中考）如图，在ABCD中，分别以边BC，CD作等腰三角形BCF，等腰三角形CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE。

（1）求证：△ABF≌△EDA。

（2）延长AB与CF交于点G。

若AF⊥AE，求证：BF⊥BC。

10.（2018·山东聊城中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F，连接AF。

几何证明压轴题(中考)1、如图，在梯形ABCD 中，AB // CD，/ BCD=90 °，且AB=1 , BC=2 , tan/ ADC=2.⑴求证：DC=BC;(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且/ EDC= / FBC，DE=BF，试判断厶ECF的形状，并证明你的结论;(3) 在(2)的条件下，当BE: CE=1 : 2, / BEC=135。

时，求sin/ BFE 的值.2、已知：如图，在口ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG // DB交CB的延长线于G.(1)求证：△ ADE CBF;(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.AEl3、如图13- 1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起. 现正方形ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0 (点0也是BD 中点)按顺时针方向旋转.(1) 如图13-2,当EF 与AB 相交于点M , GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量 BM , FN 的长度， 猜想BM , FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时，线段 FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M ，线段4、如图，已知O 0的直径AB 垂直于弦 CD 于E ,连结 AD 、BD 、OC 、0D ，且0D = 5。

3(1)若 sin Z BAD ，求 CD 的长；5(2)若Z ADO : Z EDO = 4: 1，求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留)。

DBD 的延长线与GF 的延长线相交于点 N ,此时, (1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立, 请说明理由.图 13-15、如图，已知：C是以AB为直径的半圆0上一点，CH丄AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.(1 )求证：点F是BD中点；(2) 求证：CG是O 0的切线；(3) 若FB=FE=2，求O 0的半径.6、如图，已知0为原点，点A的坐标为(4, 3), O A的半径为2 .过A作直线I平行于X轴，点P在直线I上运动.(1)当点P在O 0上时，请你直接写出它的坐标；(2)设点P的横坐标为12,试判断直线0P与O A的位置关系，并说明理由7、如图，延长。

上海市2019年中考二模数学汇编：23题几何证明 闵行 23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ． 求证：（1）△ACG ≌△DOA ；（2）2DF BD DE AG ⋅=⋅．宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果PA=PC ，联结BP ，求证：△APB ≅△EPC ．ABCDOE GF（第23题图）A B CDOE H F第23题图23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=． 奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ． 金山22. 已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.ABCDOE F图7ABCD FGE 图823．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2． 杨浦23. 已知：在ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC. 求证：（1）四边形FBGH 是菱形；（2）四边形ABCH 是正方形.长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）图10A BCD E如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =． 黄浦嘉定23.静安图5AB CDE FO松江徐汇答案 闵行23．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴ CD OD DF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）宝山23.（1）证明：由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∴BQ=EQ ………………1分 ∵E 为AB 的中点， ∴AE =EB ， ………………1分 ∴EQ 为△ABP 的中位线，∴AF ∥EC ， ………………2分 ∵AE ∥FC ， ∴四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∵AF ∥EC ，∴∠A PB =∠EQB =90° ………………1分由翻折性质∠E PC =∠EBC =90°，∠PEC =∠BEC ………………1分 ∵E 为直角△APB 斜边AB 的中点，且AP =EP ，∴△AEP 为等边三角形 , ∠BAP =∠AEP =60°， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分 在△ABP 和△EPC 中， ∠BAP =∠CEP ，∠APB=∠E PC ，AP =EP ∴△ABP ≌△EPC （AAS ）， ………………1分 崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 证明(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分）∴AO BOOF OD=………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC=……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ，∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB // ∴AF BE AD AC BC BC==…………………………………………………………（1分） ∵BC AD //∴BODFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB=…………………………………………………………………（1分） 奉贤22．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC． ············· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ·········································· （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ···························································· （2分） ∴AFB BGC ∠=∠． ····························································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ··········································· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ································································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =．·························· （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．·························································· （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ···················································································· （1分）金山23.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2; （2分） ∴ 180=∠+∠ABC DAB ; （1分） ∵DBC CAD ∠=∠;∴ABC BAD ∠=∠, （1分） ∴ 1802=∠BAD ; ∴ 90=∠BAD ; （1分） ∴四边形ABCD 是正方形. （1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形；∴BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=； （1分） ∴ 90=∠=∠DOC COB ，DO CO =； （1分） ∵CE DH ⊥，垂足为H ；∴ 90=∠DHE ， 90=∠+∠DEH EDH ； （1分） 又∵ 90=∠+∠DEH ECO ； ∴EDH ECO ∠=∠； （1分）∴ECO ∆≌FDO ∆； （1分） ∴OF OE =. （1分）普陀 23．证明：（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ······················································ （1分）∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ······································································· （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ····························································· （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ································································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ············································································································· （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ··························································································· （1分）（2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC =． ∵EC AB EA AC=，∴AB DC =．·············································································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ··············································································· （1分） ∴B DCB ∠=∠．··································································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠． ∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ····················································· （1分） ∴ED DCAB BC=． ········································································································ （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ····························································································· （1分） 杨浦23.（1）证明略 （2）证明略 长宁 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆（3分）∴ABBEAF BF =∴ACAEAF BF =（1分）∵AC AF =∴AE BF = （1分） 黄浦嘉定静安松江徐汇。

初三证明几何练习题和答案在初三的数学学习中，证明几何是一个重要的内容。

通过证明几何的练习，不仅可以提高学生的逻辑思维和推理能力，还能加深对几何概念的理解。

本文将提供一些初三常见的证明几何练习题和答案，以供学生参考。

1. 设AO和BO是直线段垂直平分线，点C在直线AB上。

证明：∠ACO = ∠BCO。

解答：首先，根据直线段垂直平分线的定义，AO和BO互相垂直且平分直线段AB。

设∠ACO的度数为x，∠BCO的度数为y。

则根据垂直平分线的性质可知∠COA = ∠COB = 90°。

再根据直线上的角平分线性质可知∠COA = ∠AOC = x/2，∠COB= ∠BOC = y/2。

又由于∠COA = 90°，则x/2 + y/2 = 90°，即x + y = 180°。

因此，根据等量关系可得∠ACO = ∠BCO，证明完成。

2. 在△ABC中，垂直平分线BD交边AC于点E，证明：AE = EC。

解答：根据垂直平分线的定义，BD是边AC的垂直平分线，即BD垂直于AC且平分边AC。

设AE的长度为x，EC的长度为y。

根据垂直平分线的性质可知∠BDE = ∠BDE = 90°，∠BED =∠CED。

由于△BDE和△BEC中∠BDE = ∠BEC = 90°，则两个三角形中的另外两个角也相等，即∠BDE = ∠BEC。

又由于∠BDE = ∠BEC，三角形内角和为180°，则∠BED + ∠BDE + ∠BEC = 180°。

代入角度的数值可得∠BED + 90° + ∠BED = 180°，即∠BED = 45°。

进一步，根据角平分线的性质可知∠AEB = ∠BEC，即∠AEB = 45°。

因为∠AEB为三角形△AEB的内角，所以△AEB的另外两个角之和也为180°。

因此，180° = 45° + x + 45°，化简得180° = x + 90°，即x = 90°，即AE的长度为90°。

几何图形的相关证明及计算1.已知，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD.（1）如图①，若点E在AB中点处，连接DE，若AD=1，求点D到AC的距离；（2）如图②，点E在AB上，点F在AC上，连接DE、DF，若DE⊥DF，连接EF，求证：BE2+CF2=EF2.第1题图（1）解：∵在Rt△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠B=45°，△ABD为等腰直角三角形，AD=BD=1，∴AB==,∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，DE=AB=，∵AD为∠BAC的角平分线，∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即DE的长为；（2）证明：如解图，延长ED至点M，使DM=DE,连接FM、CM.第1题解图∵∠A=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.∵点D是BC的中点，∴BD=DC.在△BDE和△CDM中，,∴△BDE≌△CDM，∴MC = BE，∠B =∠MCD =∠ACB =45°，∴∠FCM=90°，∴FM 2=CM 2+CF 2=BE 2+CF 2.∵DE⊥DF，DE=DM，∴EF=FM,∴BE2+CF2=EF2.2.已知，在 ABCD中，连接对角线AC，∠CAD的平分线AF交CD于点F，∠ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.(1)如图①，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求 ABCD的面积；(2)如图②，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求证：EC =AG.第2题图(1)解：∵△ACD为等边三角形，∴∠CAD＝∠ACD＝60°.∵AF、CG分别平分∠CAD、∠ACD，∴∠CAF＝∠CAD＝×60°＝30°，∠ACG＝∠DCG＝×60°＝30°，且AF⊥CD，CD＝2CF，∴∠CAO＝∠ACO＝30°，∴AO＝CO＝2.在Rt△OCF中，∵∠DCG＝30°，∴OF＝OC＝×2＝1，∴CF＝＝＝，∴AF＝AO＋OF＝2＋1＝3，CD＝2×＝2，∴S＝CD·AF＝2×3＝6；ABCD(2)证明：如解图，延长OF到点H，使FH＝OF，连接HD，∴OH＝OF＋FH＝2OF.第2题解图∵△ACD为等腰直角三角形，AF平分∠CAD，∴CF＝DF，AF⊥CD，又∵∠CFO＝∠DFH，∴△CFO≌△DFH，∴∠OCF＝∠HDF，∴CG∥HD，∴∠AOG＝∠H，∠AGO＝∠ADH.在Rt△OCF中，∠OCF＋∠COF＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＋∠AGC＝90°，∵CG平分∠ACD，∴∠ACG＝∠FCG，∴∠COF＝∠AGC，∴∠AOG＝∠AGC，∴AO＝AG，∠H＝∠ADH，∴AH＝AD，∴AH－AO＝AD－AG，即OH＝GD，∴2OF＝GD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠ACD.∵∠BAE＝∠DCG，∴∠BAC－∠BAE＝∠ACD－∠DCG，即∠EAC＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AECG为平行四边形，∴EC＝AG.3.如图在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD＝AO，点E为OA中点．（1）若DE⊥CD，CD＝6，AD＝2，求DE的长；（2）证明：CD＝2DE．第3题图（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵点E为OA中点，AD＝AO，AD＝2，∴OE＝，OC＝2，∴CE＝OE+OC＝3，∵DE⊥CD，CD＝6，∴DE＝＝3；（2）证明：如解图，取AD的中点F，连接OF，第3题解图∵AD＝AO，点E为OA中点，∴AE＝AF，在△ADE和△AOF中，，∴△ADE≌△AOF，∴DE＝OF，∵OA＝OC，AF＝DF，∴CD＝2OF，∴CD＝2DE.4.如图，在菱形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE，∠E＝∠B，过点D作DH⊥AE于点H．（1）若AB＝13，DH＝5，求HE的长；（2）求证：AH＝CE+EH．第4题图（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，∵∠E＝∠B，∴AE＝AB＝13，∵DH⊥AE，∴AH＝==12,∴EH＝AE-AH＝13-12＝1；（2）证明：如解图，过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，第4题解图∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵∠B＝∠2，∴∠1＝∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4＝∠F，在△ADH和△CDF中，∴△ADH≌△CDF，∴AH＝CF，DH＝DF，在Rt△DEH和Rt△DEF中，,∴Rt△DEH≌Rt△DEF，∴EH＝EF，∵CF＝CE+EF，∴AH＝CE+EH．5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC =BC，点F是AC边的中点，过点C作BF的垂线，垂足为点H，交AB于点D，CE平分∠ACB，交BF于点E.（1）若AC =8，求CH的长度；（2）求证：BE =2EF.第5题图（1）解：∵AC =8，F是AC的中点，AC =BC，∴CF =AC =4，BC =8，∵∠ACB =90°，∴BF ===4,由三角形面积公式得，S△BCF =BF·CH=CF·BC，∴BF·CH =CF·BC，∴CH ===；（2）证明：如解图，延长CE交AB于点M，连接MF，过点F作FN∥CD，与AB交于点N,第5题解图∵∠ACB =90°，AC =BC,CE平分∠ACB，∴CM ⊥AB，CM =AM =BM，∵点F是AC的中点，FN∥CD，AM =CM，∴FN是△ACD的中位线，∴CD =2FN，∵∠CHE =∠BME =90°，∠CEH =∠BEM，∴∠ECH =∠EBM，∵∠ACM =∠ABC =45°，∴∠ACD =∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD ≌△CBE，∴CD =BE，∵点F是AC的中点，AM =CM，∴∠MFA =90°，MF =AF =CF，∠EMF =∠A =45°，∵CD⊥BF，FN∥CD，∴∠EFN =∠EHD =90°，∴∠MFA -∠MFN=∠EFN -∠MFN，即∠AFN =∠MFE，∴△AFN ≌△MFE，∴FN =FE，又∵CD =2FN，CD =BE，∴BE =2EF.6.已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．（1）如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；（2）如图②，当且CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG．第6题图（1）解：如解图①设AC与DE交于点F，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD＝2，∴BC＝AC，DE＝AD＝2，DF＝DE＝1，AF＝CF，∴AF＝＝，∴AC＝2AF＝2，∴BC＝2；第6题解图（2）证明：如解图②连接CE、GF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝120°，∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠CED＝∠AEC-∠AED＝60°，∵CD⊥BE，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CE，∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，∴FG∥BD，FG＝BD，∴FG∥DE，FG＝DE，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF＝EG．7.如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝AH＋DH.第7题图(1)解：在Rt△EDC中，∵∠ECD＝30°，∴ED＝EC＝×4＝2，∴DC＝EC·cos 30°＝4×＝2，∴AE＝2DC－ED＝4－2，∴S△AEC＝×AE×DC＝(4－2)×2＝12－2；(2)证明：如解图，过A作AM⊥AH，交FG于点M，第7题解图∴∠MAH＝∠MAD＋∠DAH＝90°，又∵∠FAD＝∠MAD＋∠FAM＝90°，∴∠FAM＝∠DAH，∵AF∥CD，∴∠F＝∠EGD，∵DH⊥EG，∴∠DHE＝∠HDG＋∠EGD＝90°，∠EDG＝∠EDH＋∠HDG＝90°，∴∠EGD＝∠EDH，∴∠F＝∠EDH，又∵AF＝2CD，AD＝2CD，∴AF＝AD，∴△AFM≌△ADH，∴AM＝AH，FM＝DH，∴△MAH是等腰直角三角形，∴MH＝AH，∵FH＝MH＋FM，∴FH＝AH＋DH.8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE为线段BD的垂直平分线，垂足为E.连接DC交AE于点F.（1）如图①，连接BF、AD，若∠ABF =15°，AD =2，求DC的长；（2）如图②，取DC的中点M，取AF的中点N，连接MN.求证：MN⊥AF.第8题图（1）解：∵AE为线段BD的垂直平分线，∴△ADF ≌△ABF，∴∠ADF =∠ABF =15°，AB =AD，∴AB =AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC =15°，∴∠FBC =15°+45°=60°，∠BCF =45°-15°=30°，∴∠BFC =90°，∵在Rt△BCF中，BF =BC =2，FC =2.又∵DF =BF =2，∴DC =DF +FC =2+2；（2）证明：如解图，连接BF、AD，则∠ABF =∠ADF，由AD =AB =AC，得∠ADF =∠ACF，∴∠ABF =∠ACF.∴∠BFC =∠BAC =90°，∵DF =BF，∴△BDF为等腰直角三角形，又∵EF垂直平分BD，∴DE =BE =EF.过点C作CH⊥EA，交EA的延长线于点H，连接DN并延长交CH于点I，∵∠HCA +∠CAH =90°，∠BAE +∠CAH =90°，∴∠BAE =∠HCA，∵AB =AC，∠AEB =∠CHA =90°，∴△BEA≌△AHC，∴HC =AE , AH =BE =EF，∵点N为AF的中点，∴FN =AN,EN =NH,∵∠DEN =∠IHN=90°，∠DNE =∠INH，∴△DEN ≌△IHN，∴HI =DE =EF,DN =NI,∴MN为△DIC的中位线，∴MN∥IC，∵IC⊥EN，∴MN⊥EH，即MN⊥AF.第8题解图9.如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM＝BE，∠DCM＝∠DMF．（1）若AB＝13，DE＝10，求CF的长度；（2）求证：CM＝BC．第9题图（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝13，∵F为DE中点，∴DF＝DE＝5，∵CF⊥DE，∴CF＝＝＝12；（2）证明：如解图，连接CE，第9题解图∵∠DCM＝∠DMF，∴∠DMF＝∠CDM+∠DCF＝3∠DCM，∴∠CDM＝2∠DCM，∵AB∥CD，∴∠CDF+∠BEF＝180°，∴∠CDF+∠CEF+∠CEB＝180°，∵CF⊥DE，F为DE中点，∴CD＝CE，∠CDF＝∠CEF，∴2∠CDF+∠CEB＝180°，∵∠CDF＝90°-∠DCM，∴∠CEB＝2∠DCM，∴∠CDM＝∠CEB，在△CDM和△CEB中，，∴△CDM≌△CEB，∴CM＝BC．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．（1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的长；（2）若BD＝DE，求证：BF＝CF.第10题图（1）解：∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，∴∠BDE＝90°，∵BD＝DE＝，∴BE＝＝，∵BC⊥CE，∴∠BCE＝90°，∴BC＝＝＝2；（2）证明：如解图，连接AF，第10题解图∵CD⊥BD，DF⊥CD，∴∠BDE＝∠CDF＝90°，∴∠BDF＝∠CDE，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DBC＝∠CED，在△BDF和△EDC中，∵，∴△BDF≌△EDC，∴DF＝CD，∴∠CFD＝∠DCF＝45°，∵∠ADB＝∠CDF，∴∠ADB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，∴∠ADF＝∠BDC，在△ADF和△BDC中，∵，∴△ADF≌△BDC，∴∠AFD＝∠BCD，∴∠AFD＝45°，∴∠AFC＝∠AFD+∠CFD＝90°，∴AF⊥BC，∴AB＝AC，∴BF＝CF．。