2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（文数）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A. 3 B. 4C. 7D. 8【答案】D 【解析】分析：先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数． 详解：由题意可知，集合B={z|z=x+y，x，A，y，A}={0，1，2}， 则B 的子集个数为：23=8个， 故选D，点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个.2. 若223x m >-是14x -<<的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A. [－3,3] B. (][),33,-∞-+∞C. (][),11,-∞-+∞D. [－1,1]【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，可知当14x -<<时，223x m >-恒成立，解一元二次不等式即可． 【详解】依题意可知，当14x -<<时，223x m >-恒成立，所以2231m -≤-，解得11m -≤≤，故选D ．【点睛】本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法． 3. 命题“[2,)x ∀∈-+∞ ，31x +≥ ”的否定为( ) A. 0[2,)x ∃∈-+∞031x +<， B. 0[2,)x ∃∈-+∞031x +≥ C. 31x +≥ ，31x +<D. (,-2]x ∀∈-∞，31x +≥【解析】分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可． 详解：，全称命题的否定是特称命题，，命题“∀x ∈[，2，+∞，，x+3≥1”的否定是∃x 0∈[，2，+∞，，x 0+3，1， 故选A，点睛：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别．命题的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.4. 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D 【解析】 【分析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ，又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.5. 已知函数()5xf x =，()2g x ax x =-，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则a =( )A. 1B. 2C. 3D. 1-【答案】A 【解析】分析：先求出g，1，=a，1，再代入f[g，1，]=1，得到|a，1|=0，问题得以解决． 详解：，f，x，=5|x|，g，x，=ax 2，x，a ∈R，，f[g，1，]=1， ，g，1，=a，1，，f[g，1，]=f，a，1，=5|a，1|=1=50， ，|a，1|=0， ，a=1，点睛：本题主要考查了指数的性质，和函数值的求出，属于基础题． 6. 已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( )A. []1,1-B. (]1,2C. []0,4D. []1,3【答案】B 【解析】分析：当x≤2时，检验满足f，x，≥4．当x，2时，分类讨论a 的范围，依据函数的单调性，求得a 的范围，综合可得结论．详解：由于函数f，x，=6,2,3log ,2a x x x x -+≤⎧⎨+>⎩，a，0且a≠1）的值域是[4，+∞，， 故当x≤2时，满足f，x，=6，x≥4，，若a，1，f，x，=3+log a x 在它的定义域上单调递增，当x，2时，由f，x，=3+log a x≥4，，log a x≥1，，log a 2≥1，，1，a≤2， ，若0，a，1，f，x，=3+log a x 在它的定义域上单调递减， f，x，=3+log a x，3+log a 2，3，不满足f，x ）的值域是[4，+∞，， 综上可得，1，a≤2， 故答案为B点睛：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.7. 若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为( )A. ( ,1∞--)B. ( 10-，)C. (0,1)D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由f （x ）为奇函数，根据奇函数的定义可求a ，代入即可求解不等式．【详解】，f，x，=212x x a+-是奇函数，，f，，x，=，f，x，即212122x x x xa a --++=-- 整理可得，1212122x xx xa a ++=-⋅- ，1，a•2x =a，2x ，a=1，，f，x，=2121x x +-，f，x，，=2121x x +-，3，2121x x +-，3=42221x x-⋅-，0， 整理可得，22021x x --＜，，1，2x ，2 解可得，0，x，1 故选C ．【点睛】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题． 8. 若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A. log a c ＜log b c B. log c a ＜log c bC. a c ＜b cD. c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a ba b c c==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9. 已知函数()21x mf x -=-为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f = ，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为 ( ) A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a <<【答案】C 【解析】试题分析：因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，21210x mx mx m x m m ---∴-=-∴--=-∴=()()21xf x f x ∴=-∴在[)0,+∞上单调递增，并且()()()()0.522log 3log 3,log 5,0a f f b f c f ====，因为220log 3log 5<<，c a b ∴<<，故选C ．考点：函数的单调性【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数m 的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．10. 已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. []4,5 B. []2,4C. (,1][1,)-∞-+∞D. (],4-∞【答案】D 【解析】分析：求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可．详解：函数()32114332f x x mx x =-+-， 可得f′，x，=x 2，mx+4，函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[1，2]上是增函数，可得x 2，mx+4≥0，在区间[1，2]上恒成立，可得m≤x+4x ，x+4x x x=4，当且仅当x=2，时取等号、 可得m≤4， 故选D，点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.11. 已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a +--=⎡⎤⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A. ()2,1- B. []2,4C. ()2,1--D. (],4-∞【答案】C 【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f，x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．详解：函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图：关于f 2，x，+，a，1，f，x，，a=0有7个不等的实数根，即[f，x，+a][f，x，，1]=0有7个不等的实数根，f，x，=1有3个不等的实数根， ，f，x，=，a 必须有4个不相等的实数根，由函数f，x ）图象 可知﹣a ∈，1，2，，，a ∈，，2，，1，， 故选C，点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．12. 已知函数()31f x x a =-++，1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A. 30,4e ⎡⎤-⎣⎦B. 310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C. 3312,4e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D. 34,e ⎡⎤-+∞⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程313ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，构造函数()33ln g x x x =-，利用导数分析()g x 的最大最小值，可得()g x 的值域，进而分析方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有3113a e ≤+≤-，解之可得实数a 的取值范围.【详解】根据题意，若函数()31f x x a =-++，1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与24p x x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程313ln x a x -++=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解化简313ln x a x -++=-可得313ln a x x +=-设()33ln g x x x =-，对其求导()()323133x g x x x x-'=-= 又由1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0g x '=在1x =有唯一的极值点分析可得：当11x e≤<时，()0g x '<，()g x 为减函数， 当1x e ≤≤时，()0g x '>，()g x 为增函数， 故函数()33ln g x x x =-有最小值()3113ln11g =-=又由3113g e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()33g e e =-比较可得，()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 故函数()33ln g x x x =-有最大值()33g e e =-故函数()33ln g x x x =-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为331,e -⎡⎤⎣⎦ 若方程313ln a x x +=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，必有3113a e ≤+≤-，则有304a e ≤≤-则实数a 的取值范围是304a e ≤≤- 故选：A【点睛】本题考查在函数与方程思想下利用导数求最值进而表示参数取值范围问题，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数()()1ln 1f x x =++的定义域为 ．【答案】()(]1002-⋃，， 【解析】试题分析：要使函数()f x 有意义，必须：240{1011x x x -≥+>+≠，所以1002]x ∈-⋃（，）（，；所以函数的定义域为：1002]-⋃（，）（，．【思路点睛】首先，根据函数的性质，可知要使函数()f x 有意义，必须：240{1011x x x -≥+>+≠，然后再解不等式，即可求出x 的取值范围；然后再写成区间或者集合，即可. 考点：函数的定义域. 14. 设23a b m ==，且112a b+=，则m =________.【解析】分析：根据已知条件可利用对数的性质分别求得1a 和1b 关于m 的表达式，进而根据112a b+=求得m 的值． 详解：，2a =3b =m，m，0 ，2a =m 3b =m ，1a =log m 2，1b =log m 3 11a b+=log m 2+log m 3=log m 6=2.点睛：本题主要考查了指数函数和对数函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，计算能力．另一方面也考到了，处理二元问题的方法：二元化一元，减少变量的个数.15. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x ≤成立，则实数m 的最小值是______，【答案】2- 【解析】试题分析：，二次函数f （x ）=x 2+mx -1的图象开口向上， 对于任意x，[m ，m+1]，都有f （x ）＜0成立，，()()()()22210{11110f m m f m m m m =-<+=+++-<，即(){22230m m m -<<+<，解得0m <<考点：二次函数性质16. 设()'f x 是奇函数()f x 的导函数，()20f -=，当0x >时，()()'0xf x f x ->，则使()0f x >成立的x 的取值范围是________. 【答案】()()2,02,-+∞【解析】 设()()f x g x x =,则g (x )的导数为：()()()2xf x f x g x x'-'=， ∵当x >0时,xf ′(x )−f (x )>0， 即当x >0时,g ′(x )恒大于0， ∴当x >0时,函数g (x )为增函数，，f (x )为奇函数∴函数g (x )为定义域上的偶函数 又∵()()111f g --=- =0，，f (x )>0，∴当x >0时,()0f x x>,当x <0时,()0f x x<， ∴当x >0时,g (x )>0=g (1),当x <0时,g (x )<0=g (−1)， ，x >1或−1<x <0故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(−1,0)，(1,+∞)， 故答案(−1,0)，(1,+∞)，点睛：构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段．构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性．在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标．三、解答题17. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c且222a b c +=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,b -的取值范围. 【答案】（1）6π；（2）(. 【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助 试题解析：（1）由222a b c +=+，得222a b c +-=，所以2cos ab C =，则cos C =，由(0,)C π∈，6C π=．（2）由（1）得56A B π+=，即56B A π=-， 的又ABC ∆为锐角三角形，故50,62{0,2A A πππ<-<<<从而32A ππ<<．由，所以所以,所以因为所以即考点：余弦定理的变形及化归思想18. 商丘市大型购物中心——万达广场将于2018年7月6日全面开业，目前正处于试营业阶段，某按摩椅经销商为调查顾客体验按摩椅的时间，随机调查了50名顾客，体验时间（单位：分钟）落在各个小组的频数分布如下表：（1）求这50名顾客体验时间样本平均数x ，中位数m ，众数n ；（2）已知体验时间为[15.5,18.5)的顾客中有2名男性，体验时间为[27.5,30.5)的顾客中有3名男性，为进一步了解顾客对按摩椅的评价，现随机从体验时间为[15.5,18.5)和[27.5,30.5)的顾客中各抽一人进行采访，求恰抽到一名男性的概率． 【答案】（1）见解析（2）1120【解析】分析：（1）根据平均数的定义和中位数，众数的定义求得对应的数值；（2）根据古典概型的计算公式，计算得到所有的事件个数总和为40个，满足条件的由22个，两数作比即可. 详解：（1）样本平均数中位数521.5322.7512m =+⨯=； 众数23n =（2）记体验时间为[)15.5,18.5的8名顾客为12345678,,,,,,,y y a a a a a a a a ，其中为12,y y a a 男性；体验时间为[)27.5,30.5的5名顾客为12345,,,,y y y b b b b b ，其中123,,y y y b b b 为男性； 记“恰抽到一名男性”为事件A 所有可能抽取结果列举如下：共40个；事件A 包含的所有可能结果有：共22个；所以()22114020P A == 点睛：这个题目考查了平均数，众数，中位数的计算，和古典概型的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC CB =，1AB AA =，0160BAA ∠=（1）证明：1AB A C ⊥；，2）若平面ABC ⊥ 平面11AA B B ，2AB CB ==，求点A 到平面11BB C C 的距离，【答案】（1）见解析（2）h = 【解析】 试题分析：(1)利用题意首先证得1AB OA C ⊥平面，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦. 试题解析：，1）证明：如图所示，取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B .因为=CA CB ，所以OC AB ⊥.由于1AB AA =，160BAA ∠=︒， 故1AA B 为等边三角形，所以1OA AB ⊥. 因为1OC OA O ⋂=，所以1AB OA C ⊥平面.又11AC OAC ⊆平面，故1AB AC ⊥，2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥，又11ABC AA B B 平面平面⊥，交线为AB ， 所以11OC AA B B ⊥平面，故1,,OA OA OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA 为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知()()(()11,0,0,,,1,0,0A A C B -，则(=1,0BC，()11BB AA ==-，(103,AC =-，.设(),,n x y z =是平面11BB C C 的法向量，则10,0,n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,0.x z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩可取)1,n =-故11110,n A C cosn A C n A C⋅==-所以1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值为520. 已知三点()2,1A -，()2,1B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点(),M x y 满足·()2MA MB OM OA OB +=++．求C 的方程；已知点()0,1P -，动点()00,Q x y ()022x -<<在曲线C 上，曲线C 在Q 处的切线l 与直线PA,PB 都相交，交点分别为D,E ，求ABQ ∆与PDE ∆的面积的比值． 【答案】（1）24x y =（2）2 【解析】分析：，1）先求出MA ，MA MB +的坐标，由此求得|MA MB +|和()·2OM OA OB ++的值，由题意可得MA MB +=4，2y ，化简可得所求；，2）根据直线PA，PB 的方程以及曲线C 在点Q，x 0，y 0，，，2，x 0，2）处的切线方程，求出F 点的坐标，D，E 两点的横坐标，可得S ，PDE 和S ，QAB 的值，从而求得，QAB 与，PDE 的面积之比．.详解： （1）依题意可得，，由已知得，化简得曲线C 的方程：（2）直线的方程是1y x =--，直线的方程是1y x =-，曲线C 在点Q 处的切线l 的方程为:，它与y 轴的交点为200,4x N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于，因此，20104x -<-≤将切线l 与直线的方程分别联立得方程组，解得的横坐标分别是022D x x -=，022E x x +=，则2E D x x -=， 又2014x PN =-+，所以201124PDEE D x S PN x x ∆=⨯-=-，2014124QAB x S ∆⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭所以2QAB PDES S ∆∆=．点睛：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F 点的坐标，D 、E 两点的横坐标，是解题的关键，属于中档题．利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）求函数()y f x x =-的单调区间与极值；（2）求证：在函数()f x 和()g x 的公共定义域内，()()2g x f x ->恒成立． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】分析：（1）构造函数()y f x x =-，对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；（2）构造函数()()()()m x n x g x f x +=-,对函数()m x 和()n x 求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可. 详解:(1)函数的定义域为,,故当时,,当时,,故函数的单调增区间为,单调减区间为;函数的极大值为()11ln111f -=-=-，无极小值． (2)证明:函数和的公共定义域为,,设,则在上单调递增,故;设,当时有极大值点,;故; 故函数和在公共定义域内,.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为1{x cos y sin αα＝＋，＝(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【答案】（1，20x y +-=；（2）相交. 【解析】 【分析】【详解】(，)由点)4A π在直线cos()4πρθ-=a 上,可得a =所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=(，)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<,所以直线与圆相交 23. 已知函数()21f x x a x =-+-，a R ∈．()1若不等式()21f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围；(2)当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【答案】（Ⅰ）[0,4]（Ⅱ）4a =-． 【解析】分析：（1）由绝对值的几何意义知|x 11|22a a x -+-≥-，由不等式f，x，≤2，|x，1|有解，可得|1|12a-≤，即可求实数a 的取值范围；（2）当a，2时，画出函数的图像，利用函数f，x ）的最小值为3，求实数a 的值． 详解： （1）由题，即为． 而由绝对值的几何意义知， 由不等式有解，∴，即．实数的取值范围．（2）函数的零点为和，当时知.如图可知在单调递减，在单调递增， ，得（合题意），即．点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.。
