2014届高三北师大版数学(理)一轮复习小题专项集训(6)三角函数的概念、图象和性质]

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0).余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图像定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1] [－1,1] R单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； 在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 在(－π2＋k π，π2＋k π)(k∈Z )上递增最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0)(k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数.( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数.( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1.(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A.在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B.在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C.在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D.在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2.函数y ＝tan2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 3.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C.2 D.3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数.由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3， ∴ω＝32.4.(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A.f (2)<f (－2)<f (0) B.f (0)<f (2)<f (－2) C.f (－2)<f (0)<f (2) D.f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)， 又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6).于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.－1 B.－22C.22D.0答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，5π6B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z )(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 (3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为______________________________.答案 (1)B (2)B (3)1－22解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z ).故选B.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域.(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________.(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_____________________________________. 答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. (2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________.(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)D 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( ) A.关于直线x ＝π12对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称(2)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________. 答案 (1)B (2)－π6解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图像向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误.(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)图像的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案 B解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N ＋，∴ωmin ＝2，故选B.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义.②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________.(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A.－ 3B.－33C. 2D.22答案 (1)2或－2 (2)B 解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴.∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图像的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.4.三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin2x ＋cos2x D.y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为( ) A.－1 B.3 C.－1或3D.－3思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图像先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可.解析 (1)选项A 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意. (2)由图像知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)A (2)D (3)C温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想；(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与对称轴的交点是最值点.[方法与技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质.4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解. [失误与防范]1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数.3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A.f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 B.f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 C.f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 D.f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cosπx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B.2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值. ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13B.1C.53D.2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4.关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图像的一个对称中心 D.最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误； 在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误； 最小正周期为π2，D 错误.∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图像的一个对称中心，故选C. 5.函数y ＝cos2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A.[0,1]B.[12，1]C.[－1,2]D.[0,2]答案 A 解析y ＝cos2x ＋sin 2x ＝cos2x ＋1－cos2x2＝1＋cos2x 2.∵cos2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1].6.函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为____________________.答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得，2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z ).所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ).7.已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1 (A >0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为3，f (x )的图像与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝________. 答案 4030解析 f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知T 2＝2，得T ＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3得A ＝2.又f (x )的图像过点(0,2)，∴cos2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2 (k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2. ∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2，又f (x )的周期为4,2015＝4×503＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝503×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4030.8.设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________. 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.9.已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10.(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像.若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.[－π8，3π8]B.[π8，9π8] C.[－3π8，π8]D.[π8，5π8] 答案 C解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2， 所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________. 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图像过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15.已知a >0，函数f (x )＝－2a ·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]. ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

小题专项集训(六）三角函数的概念、图象与性质(时间：40分钟满分：75分）一、选择题（每小题5分，共50分)1．sin 600°的值为（)．A.错误!B．－错误!C．－错误! D.错误!解析sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－错误!。

答案B2．若角α的终边经过点P(1，－2）,则tan 2α的值为（)．A．－错误!B。

错误!C。

错误!D．－错误!解析tan α＝错误!＝－2，tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!。

答案B3．(2013·福州质检）已知cos错误!＝错误!，则sin错误!的值等于( ）．A。

错误!B．－错误! C.错误!D．±错误!解析sin错误!＝sin错误!＝cos错误!＝错误!.答案A4．(2012·洛阳统考）函数y＝2cos x（sin x＋cos x)的最大值和最小正周期分别是（)．A．2，π B。

错误!＋1，πC．2，2π D.错误!＋1,2π解析y＝2cos x sin x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝错误!sin错误!＋1,所以当2x＋错误!＝2kπ＋错误!(k∈Z）,即x＝kπ＋错误!(k∈Z）时取得最大值错误!＋1，最小正周期T＝错误!＝π。

答案B5．(2012·北京东城区综合练习)将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平移错误!个单位长度，所得图象的函数解析式是( )．A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝sin错误!D．y＝sin错误!解析将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），得到y＝sin 错误!x,再把所得各点向右平移错误!个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝sin 12错误!＝sin错误!.6.（2012·孝感统考）已知f(x)＝2sin（ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为( ）．A．f(x)＝2sin错误!B．f（x）＝2sin错误!C．f（x）＝2sin错误!D．f(x)＝2sin错误!解析由函数的部分图象可知错误!T＝错误!－错误!,则T＝错误!，结合选项知ω〉0，故ω＝错误!＝错误!，排除选项C，D；又因为函数图象过点错误!，代入验证可知只有选项B满足条件．答案B7．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝错误!对称,则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( ）．A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝sin错误!D．y＝sin｜x|解析注意到函数y＝sin错误!的最小正周期T＝错误!＝π,当x＝错误!时，y＝sin错误!＝1，因此该函数同时具有性质①②。

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的图象与性质一、选择题 1 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+【答案】A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A ．2 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）A ．π8B ．π4 C ．π2D ．π【答案】B ．3 ．（2013届北京大兴区一模理科）函数21cos ()xf x -=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增【答案】D4 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】 C ．5 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）函数231sin 232y x x =+的最小正周期等于 （ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π【答案】A 【解析】11cos 23=sin 2322x y x ++13=sin 22sin(2)23x x x π=+,所以函数的周期222T πππω===,选A ． 6 ．（2013北京高考数学（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的” （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案. 7 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+ D ．72sin()216x y π=+【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

第5讲 三角函数的图象与性质1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2 B ．πC ．2πD ．4π 解析：选B.最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，故选B 2．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1， 则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 即φ＝k π＋π6(k ∈Z )， 因此|φ|的最小值是π6. 3．(2016·忻州一模)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－3 解析：选A.因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3.4．若x ＝π6是f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx 的图像的一条对称轴，则ω的值可以是( ) A ．4B ．6C ．2D ．1解析：选C.因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，所以其对称轴方程为ωx＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，而x ＝π6是一条对称轴，所以π6ω＋π6＝k π＋π2⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，令k ＝0，得ω＝2，故选C.5．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 解析：选B.因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，所以A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，所以B 正确，D 错误． 6．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －14，2k ＋34(k ∈Z ) 解析：选 C.因为T ＝2π2ω＝πω，f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34， k ∈Z 时，f (x )单调递增，故f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 7．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的减区间为________． 解析：如图，观察图像可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，32π上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.。

小题专项集训(二) 函数的概念、图象和性质(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．函数y ＝16－4x 的值域是( )．A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16，∴16－4x ∈[0,4)． 答案 C2．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( )．A ．f (x )f (－x )是奇函数 B.f (x )f (－x )是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数解析 F (x )＝f (x )＋f (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (－x )． 答案 D3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝ ( )． A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值为( )．A ．－1B. 2 C ．－1或12D ．－1或 2解析 若a >0，有log 2a ＝12，a ＝2；若a ≤0，有2a ＝12，a ＝－1. 答案 D5．函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析 由题意得m 2＋1>－m ＋1，即m 2＋m >0，故m <－1或m >0. 答案 D6．奇函数f (x )在[3,6]上是增函数，且在[3,6]上的最大值为2，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )．A ．5B ．－5C ．3D ．－3解析 由题意⎩⎨⎧f (6)＝2，f (3)＝1，又∵f (x )是奇函数，∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－4＋1＝－3. 答案 D7.图中的图象所表示的函数解析式为( )．A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)解析 函数经过(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，只有B 选项满足．答案 B8．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b 2(a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k ＝( )．A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2解析 根据运算有1·k ＋1＋k 2＝3，k 为正实数，所以k ＝1. 答案 B9．设函数f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )．A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析 xf (x )<0⇔⎩⎨⎧ x >0，f (x )<0或⎩⎨⎧ x <0，f (x )>0，所以⎩⎨⎧ x >0，x >2或⎩⎨⎧x <0，x <－2，所以x >2或x <－2. 答案 C10．对任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的最大的一个，则f (x )的最小值是( )．A ．2B ．3C ．8D ．－1解析 画出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x ＋3在同一坐标系中的图象，则函数f (x )的图象为图中实线部分(如图)．当x ＝1时，f (x )取最小值2.答案 A二、填空题(每小题5分，共25分) 11．函数f (x )＝log 12(x －1)的定义域是________．解析 由log 12(x －1)≥0⇒0<x －1≤1⇒1<x ≤2，所以函数f (x )＝log 12(x －1)的定义域是(1,2]． 答案 (1,2]12．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 解析 记g (x )＝x 3cos x ，则g (x )为奇函数．故g (－a )＝－g (a )＝－[f (a )－1]＝－10. 故f (－a )＝g (－a )＋1＝－9. 答案 －913．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －100，x >2 000，则f (f (2 013))＝________.解析 f (2 013)＝2 013－100＝1 913， ∴f (f (2 013))＝f (1 913)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1 913＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋2π3＝1.答案 114．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．解析 由于f (x )是偶函数，故f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2315．下列命题中：①若f (x )是定义域为R 的奇函数，对于任意的x ∈R ，都有f (x )＋f (2－x )＝0，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且周期为4；②已知x 1，x 2是函数f (x )定义域内的两个值，且x 1<x 2，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )是减函数；③若f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)也为奇函数，则f (x )是以4为周期的周期函数．其中真命题的序号是________．解析 对于①，由f (x )＋f (2－x )＝0知，其图象关于点(1,0)对称．又因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (2－x )＝－f (x )＝f (－x )，故该函数周期为2，①错误；对于②，不符合减函数的定义，②错误；对于③，由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)＝f (x －2)，故周期为4，③正确．所以真命题的序号为③.答案③。