2012高考真题——理科数学(北京卷)解析版

A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值； （Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ． 【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件． 【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ． 【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷 第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可． 【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可． 【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ． 【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案． 【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ． 【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值 【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△． 【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．． 【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1． 【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷 第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， （ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立． 综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求 【考点】指数函数的性质，二次函数的性质． 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ． 解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ． 【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷 第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ． （Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．． 【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨， 故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率． （Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =． 【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-； 当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷 第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值． 【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--， 由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证． 【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭， 从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++． 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+． 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++． 下面证明212t t ++是最大值． 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+． 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中． 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，． 另外，由对称数学试卷 第34页（共36页）数学试卷 第35页（共36页） 数学试卷 第36页（共36页） 性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）． 因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可． 【考点】合情推理．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。

数学（理） （北京卷） 第 1 页（共 5 页）2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学 (理) (北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2kk=k+1k=0, S=1k <3是否输出S结束开始数学（理） （北京卷） 第 2 页（共 5 页）（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的 年平均产量最高，m 的值为第二部分（非选择题 共110分）（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=（A ）24 （B ）18（C ）12（D ）6（A ）2865+（B ）3065+（C ）56125+（D ）60125+（A ）5（B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图4324S nn4321567891011OADBEC数学（理） （北京卷） 第 3 页（共 5 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为 ．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ． （11）在ABC ∆中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = ． （12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为 ．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅uuu r uu r的值为 ．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．数学（理） （北京卷） 第 4 页（共 5 页）（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小； （Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （注：222121[()()s x x x x n=-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）图1图2ADECB A 1MDECB数学（理） （北京卷） 第 5 页（共 5 页）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-- ∞上的最大值．（19）（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ． 求证：,,A G N 三点共线．（20）（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所数学（理） （北京卷） 第 6 页（共 5 页）有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；1 1 0.8- 0.10.3- 1-（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如1 1 C ab 1-求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．2012高考北京数学真题答案及简析一、选择题数学（理） （北京卷） 第 7 页（共 5 页）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A B B C二、填空题 题号 9 10 11 12 13 14答案21；24n n +431；1()42--，三、解答题 15．解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x--===-{}πsin 21cos 22sin 21|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ， 又 1A C ⊂平面1A CD ， ∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDE（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()0023A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴()10323A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴()123n =- ，，又∵()103M -，， ∴()103CM =- ，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，zy xA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M数学（理） （北京卷） 第 8 页（共 5 页）则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =． 18．解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．数学（理） （北京卷） 第 9 页（共 5 页）19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D3．设a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。

【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

个人收集整理仅供参考学习2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理) (北京卷 )本试卷共 5 页， 150 分 .考试时长120 分钟 .考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.b5E2RGbCAP第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出地四个选项中，选出符合题目要求地一项．（1）已知集合A{ x R 3x 20}， B{ x R (x 1)( x 3) 0}，则AIB（A）(,1)（B）(1,2)（C）(2,3)（D）(3,)33（2）设不等式组0x2,D ．在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐0y表示地平面区域为2标原点地距离大于 2 地概率是（ A）（ B ）2（ C）4 2（D ）464（3）设a，b R ．“a0 ”是“复数 a bi 是纯虚数”地（ A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示地程序框图，输出地S 值为开始（A）2k= 0, S=1（B）4k=k+ 1（C）8（D）16S=S?2kk<3是否输出 S结束（5）如图，ACB 90 ， CD AB 于点D，以 BD 为直径地圆与交BC于点E．则个人收集整理仅供参考学习（A）CE CB AD DB（B）CE CB AD AB（C）AD AB CD 2（D）CE EB CD 2（ 6）从0, 2中选一个数字，从1,3, 5 中选两个数字，组成无重复数字地三位数，其中奇数地个数为（ A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥地三视图如图所示，该三棱锥地表面积是4（A）2865234（B）3065正（主）视图侧（左）视图（C）56 12 5（D）6012 5俯视图（8）某棵果树前n年地总产量S n与n之间地关系S n如图所示．从目前记录地结果看，前m 年地年平均产量最高，m 地值为（A）5（B）7第二部分（非选择题共110 分）（C）9（D）11O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 二、填空题共6小题，每小题 5分，共 30 分．个人收集整理仅供参考学习x 2 t 为参数 ) 与曲线x 3cos 为参数 ) 地交点个数为．（9）直线1 (t y 3sin (yt（10）已知 { a } 为等差数列， S为其前项和．若 a 1 a ，则 a．n ， S21 2（11）在 ABC 中，若 a2 ， b c7 ， cos B，则 b ．4（12）在直角坐标系xoy 中，直线 l 过抛物线 y 24x 地焦点 F ，且与该抛物线相交于A 、 B两点，其中， A 点在 x 轴上方．若直线 l 地倾斜角为 60 ，则 OAF 地面积为．ABCD 地边长为 1，点 E 是 AB 边上地动点，则 uuur uur（13）已知正方形 DE CB 地值为．（14）已知 f ( x)m( x2m)( x m 3) ，xg x) 22 ．若同时满足条件：(① x R ， f ( x) 0 或 g( x) 0 ；② x (, 4) ， f ( x) g( x) 0 ．则 m 地取值范围是．三、解答题共 6 小题 ，共 80 分 ． 解答应写出文字说明 ，演算步骤或证明过程 ．（15）（本小题共 13 分）已知函数 f ( x)(sin x cos x)sin 2x．sin x（Ⅰ）求 f ( x) 地定义域及最小正周期；（Ⅱ）求 f ( x) 地单调递增区间．（16）（本小题共 14 分）如图 1，在 Rt ABC 中，C 90 ， BC 3， AC 6 ，D 、E 分别为 AC 、 AB 上地点，且 DE //BC ，DE 2 ，将 ADE沿 DE 折起到 A DE 地位置，使 AC CD ，如图2．11（Ⅰ）求证：AC1平面BCDE；（Ⅱ）若 M 是 A1D 地中点，求 CM 与平面A1BE所成角地大小；（Ⅲ）线段 BC 上是否存在点P，使平面A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共 13 分）近年来，某市为了促进生活垃圾地分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应地垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确地概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误地概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱地投放量分别为a, b, c，其中 a0 ， a b c 600a, b, c地方差s2 最大时，写出a, b, c ．当数据地值（结论不要求证明），并求此时 s2地值．（注： s21[( x1 x)2(x2x) 2( x n x ) 2 ] ，其中 x 为数据 x1, x2 ,, x n地平均数）n（18）（本小题共 13 分）已知函数 f ( x) ax21( a0) ， g( x) x3bx ．（Ⅰ）若曲线 yf ( x) 与曲线 y g( x) 在它们地交点 (1, c) 处具有公共切线，求 a, b 地值；（Ⅱ）当 a 24b 时，求函数 f ( x) g( x) 地单调区间，并求其在区间--1 上地最大值．（19）（本小题共 14 分）已知曲线 C ： (5m) x 2 (m 2) y 2 8 ( m R ) ．（Ⅰ）若曲线 C 是焦点在 x 轴点上地椭圆，求m 地取值范围；（Ⅱ） 设 m 4 ，曲线 C 与 y 轴地交点为A 、B （点 A 位于点 B 地上方），直线 ykx 4与曲线 C 交于不同地两点M 、 N ，直线 y 1与直线 BM 交于点 G ．求证： A, G, N 三点共线．（20）（本小题共 13 分）设 A是由 m n 个实数组成地 m 行 n 列地数表，满足：每个数地绝对值不大于1，且所有数地和为零．记 S( m, n) 为所有这样地数表构成地集合． p1EanqFDPw对于 A S(m, n) ，记 r i ( A) 为 A 地第 i 行各数之和 (1≤ i ≤ m) ， c j ( A) 为 A 地第 j 列各数之和 (1 ≤ j ≤ n) ．记 k (A) 为| r1( A) |，| r2( A) |，，| r m( A) |，| c1( A) |，| c2( A) |，，| c n( A) |中地最小值．（Ⅰ）对如下数表 A ，求k( A)地值；110.80.10.31（Ⅱ）设数表A S(2, 3) 形如11Ca b1求 k ( A) 地最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有地 A S(2, 2t1) ，求 k ( A) 地最大值．2012高考北京数学真题答案及简析一、选择题题号12345678答案D D B C A B B C二、填空题题号91011121314答案21； n2n431； 1 4 ， 24三、解答题15．解：(sin x cos x)sin 2x(sin x cos x)2sin xcos x2(sin x cos x)cos xf ( x)sin x sin xsin 2x1cos2 x 2 sin 2 x π1， x | x kπ，k Z 4（1）原函数地定义域为x | x kπ，k Z ，最小正周期为．π（2）原函数地单调递增区间为π，k Z，3πkπk Z，8816．解：（1）CD DE ， A1E DEDE平面 A1CD ，又 A1C平面 ACD1，A1 C DE又 A1C CD，A1 C 平面 BCDE（ 2 ）如图建系 C xyz ，则 D 2 ，0 ，0 ，A 0，0，2 3 ，B 0，3，0 ， E2，2，0zA1(0,0,2 3)∴ A1B 0，3， 2 3 , A1E2， 1，0设平面 A1 BE 法向量为n x ，y ，z则A1B n0∴3y 2 3z 0z 3 y∴2A1E n 02 x y0x y2ME (-2,2,0)D (-2,0,0)C (0,0,0)yxB (0,3,0)∴n1，2， 3又∵M 1，0， 3 ∴CM1，0， 3∴ cosCM n1342 |CM | | n |143 13 2222∴ CM 与平面A1BE所成角地大小45（3）设线段 BC 上存在点P，设P点坐标为0 ，a ，0，则 a0 ，3则 A1P0，a ， 2 3 ，DP 2 ，a ，0设平面 A1 DP 法向量为n1x1，y1，z1ay1 2 3z1 0z13ay1则∴62 x1ay1 0x11ay1 2∴ n13a ，6 ， 3a假设平面1与平面1垂直A DP A BE则 n 1 n 0 ，∴ 3a 12 3a 0 ， 6 a 12 ， a 2 ∵ 0 a 3∴不存在线段 BC 上存在点 P ，使平面 A 1 DP 与平面 A 1BE 垂直17．（ ）由题意可知： 4002= 3600（ ）由题意可知：200+60+4031000=10（ ）由题意可知： s 21 (a2 b 2 c 2 120000) ，因此有当 a 600， b 0 ， c0 时，有s2380000 ．18．解：（ ）由 1，c为公共切点可得：f ( x) ax 2 1(a 0) ，则 f ( x)2ax ， k 12a ，g( x) x 3bx ，则 f ( x)=3 x 2 b ， k 23 b ，2a 3 b又 f (1) a 1 ， g(1) 1 b ，a 1 1b ，即 ab ，代入①式可得：a 3 ．b 3（2） a24b ， 设 h( x) f ( x) g( x) x 3ax21a 2 x 114a， x 2a ；则 h ( x) 3x 22axa 2，令 h ( x)0 ，解得： x 14 26a 0 ，a a ，26原函数在，a单调递增， 在a ， a 单调递减， 在a ， 上单调递增22 6 6①若 1≤ a ，即 a ≤2 时，最大值为 h(1) a 2a ；2 4②若 a 1 a ，即2 a 6 时，最大值为 ha 122 6③若 a a ．1 时，即 a ≥6 时，最大值为 h 126综上所述：当 a0 ，2 时，最大值为h(1)aa 2 ；当 a 2 ,时，最大值为 ha4 1 ．219．（ 1）原曲线方程可化简得：x2y 218 85 m m 2885 m m 2 由题意可得：8 0 ，解得：7m 55 m28m2（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k 21)x 2 16kx24 0 ，=32(2 k 23) ，解得： k 232由韦达定理得： x Mx N16k ①， x M x N 24 ，②12k 22k 2 1设 N( x N , k x N 4) ， M (x M , kx M 4) ， G( x G ，1)MB 方程为： ykx M 63x M ，1 ，x2，则 G6x Mkx MAG3x M ，1，ANx N ，x N k 2 ，x M k6欲证 A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ， AN 共线即 3x M( x N k 2) x N 成立，化简得： (3k k) x M x N6( x M x N )x M k 6将①②代入易知等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证 .20． 解：（1）由题意可知 r 1 A1.2 ， r 2 A 1.2 ， c 1 A 1.1， c 2 A 0.7 ， c 3 A1.8∴ k A 0.7（ 2）先用反证法证明 k A ≤1：若 k A 1 则 | c 1 A | | a1| a 1 1 ，∴ a同理可知 b 0 ，∴ a b 0 由题目所有数和为 0即 a b c 1 ∴ c 1 a b 1与题目条件矛盾 ∴ k A ≤1．易知当 ab0 时， k A 1 存在∴ k A 地最大值为 1（3） k A 地最大值为2t1 .t2首先构造满足 k( A)2t 1地 A { a i , j }( i 1,2, j 1,2,..., 2t 1) ：t 2a1,1a1,2...a1,t1,a1,t 1a1,t2...a1,2 t 1t 1 ，t 2aa... at 2t 1, a2,t 1a... a1 .2,12,22,t t (t 2) 2,t 22,2 t 1经计算知， A 中每个元素地绝对值都小于1，所有元素之和为0，且| r 1 ( A) | | r 2 ( A) |2t 1，t 2| c 1( A) | | c 2 ( A) | ... |c t ( A) | 1 t 2 t 1 1t 12t 1 ，t (t 2) t 2t 2| c t 1 ( A) | | c t 2(A)| ... | c 2 t 1 (A)| 1t 1 2t1t2. 下 面 证 明2t1是最大值.t 2若不然，则存在一个数表 AS(2, 2t 1) ， 使 得t 2 2t 1 .k ( A) x2t由 k (A) 地定义知 A 地每一列两个数之和地绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过 1地数地和，其绝对值不超过，故 A 地每一列两个数之和地绝对值都在区间 [ x,2] 中.由于2x 1 ，故 A 地每一列两个数符号均与列和地符号相同，且绝对值均不小于x 1.DXDiTa9E3d设 A 中 有 g 列 地 列 和 为 正 ， 有 h 列 地 列 和 为 负 ， 由 对 称 性 不 妨 设 g h ， 则g t, h t 1. 另外，由对称性不妨设 A 地第一行行和为正，第二行行和为负.RTCrpUDGiT考虑 A 地第一行， 由前面结论知 A 地第一行有不超过 t 个正数和不少于 t1个负数，每个正数地绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1），每个负数地绝对值不小于x 1 （即每个负数均不超过 1x ） . 因此 5PCzVD7HxA| r 1 ( A) | r 1( A) t 1 (t 1)(1x) 2t1 (t 1)x x 2t 1 (t 2) x x ，故 A 地第一行行和地绝对值小于x ，与假设矛盾 . 因此 k A 地最大值为2t 1.t2版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This articleincludes some parts, including text, pictures,and design. Copyright is personal ownership.jLBHrnAILg用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏，以及其个人收集整理仅供参考学习他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利. 除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬 . xHAQX74J0XUsers may use the contents or services of this articlefor personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time,they shall abide by the provisions of copyright law and otherrelevant laws, and shall not infringe upon the legitimaterights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevantobligee.LDAYtRyKfE转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任. Zzz6ZB2LtkReproduction or quotation of the content of this articlemust be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. 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绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224cPF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（ ）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A .π4B .π22-C . π6D . 4π4-3. 设,a b ∈R .“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 （ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A . 2B . 4C . 8D . 165. 如图,90ACB ∠=,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则（ ）A . CE CB AD DB = B . CE CB AD AB =C . 2 AD AB CD =D . 2 CE EB CD =6. 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ）A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11第Ⅱ卷（选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置上.9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________； n S =________.11. 在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =________.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60,则OAF △的面积为________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件：①x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜；②(,4)x ∃∈-∞-,()()0f x g x ＜. 则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.E BDAC34正（主）视图侧（左）视图俯视图姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？请说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值 （结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值； （Ⅱ）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R .（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方）,直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证：A ,G ,N 三点共线.20.（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1)j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ,对于所有的(2,21)A S t ∈+,求()k A 的最大值.ACDEBA 1MCBE D图1图22012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|AB x x =A B ．2CE CB CD =90,CD ⊥AD DB ，所以CE CB AD DB =．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为603=1⎛【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，恒成立3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，，又A ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则,23)，(0B ∴1(0,3,2A B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩2⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222CM n CM n θ====++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =设平面A DP 法向量为(,n x y =∴1(,,n x y =垂直，则10n n =， DE ，即证明DE ⊥平面1A CD 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-A DP 法向量为(3n a =-垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）a a∴3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线3(6Mxx k+成立，化简得：从而可得3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．1(1)(1t t++数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2012年北京市高考数学试卷（理科）及解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数的虚部为（A）3 （B）（C）4 （D）2. 若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（A）充要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分又不必要条件b，则x的值是⊥3. 设向量a=(4，x),b=(2,-1),且a8 （C）2 （D）-2 -（A）8 （B）（A）（B）（C）（D）5. 下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A）（B）（C）（D）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）24 （B）20+4（C）28 （D）24+ 47.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）8. 已知偶函数f(x)（x∈R），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）. 关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下：①当a=2，m=0时，直线与图象G恰有3个公共点；②当a=3,m= 时，直线与图象G恰有6个公共点；③，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 过点且与直线平行的直线方程为 .10. 已知变量具有线性相关关系，测得的一组数据如下：，其回归方程为，则的值等于 .11. 等差数列{an}中，a3=5,a5=3,则该数列的前10项和S10的值是_______.12. 若，则的值是 .13. 若函数在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m，则m的值是＿＿＿＿.14. 已知直线x=2,x=4与函数的图象交于A,B两点，与函数的图象交于C,D两点，则直线AB,CD的交点坐标是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 本小题13分）已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm）的统计数据用茎叶图表示（如图）.（Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；（Ⅱ）从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率.17. （本小题13分）如图，多面体EDABC中，AC，BC，CE两两垂直，AD//CE，，，M为BE中点.（Ⅰ）求证：DM//平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE 平面BCD.18. （本小题13分）已知函数 .（Ⅰ）若直线与曲线相切，切点是P(2,0)，求直线的方程；（Ⅱ）讨论的单调性.19.（本小题14分）已知椭圆C：，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m, ) 满足，且 .（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；（Ⅲ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关.20. （本小题14分）已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列中， .记集合，，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前50项和；（Ⅲ）把集合中的元素从小到大依次排列构成数列，写出数列的通项公式，并说明理由.一、选择题选择题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C A C D B D D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2x-y+2=0；10.0.9；11.25；12. ；13. 或；14. (0,0).三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 本小题13分）已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.解: （Ⅰ）, ……………………….2分, ……………………….4分°. …………………….6分（Ⅱ）在中, ,或(舍),………….10分. …………………….13分16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm）的统计数据用茎叶图表示（如图）.（Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；（Ⅱ）从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率.解: （Ⅰ）………………………….3分;………………………….6分答: 第一组学生身高的平均值为173cm,方差为23.6 。