命题与逻辑章末检测

章末质量检测(一)　集合与逻辑考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{－1，0，3}，B＝{0，2}, 那么A∪B等于( )A．{－1，0，2，3} B．{－1，0，2} C．{0，2，3} D．{0，2}2．命题：“∃x∈R，x2－1＞0”的否定为( )A．∃x∈R，x2－1≤0 B．∀x∈R，x2－1≤0C．∃x∈R，x2－1＜0 D．∀x∈R，x2－1＜03．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，则∁U(A∩B)＝( )A． B．∅ C． D．4．“2<x<5”是“3<x<4”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知命题p：∀x<2，x3－8<0，那么¬p是( )A．∀x≤2，x3－8>0 B．∃x≥2，x3－8≥0C．∀x>2，x3－8>0 D．∃x<2，x3－8≥06．已知集合U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}7．已知a，b∈R，则“a>b”是“>1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设A，B是两个非空集合，定义A×B＝且，已知A＝，B＝，则A×B＝( ) A．∅B．∪C． D．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下面四个说法中错误的是( )A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}C．方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1，1}D．0与{0}表示同一个集合10．满足M⊆，且M∩＝的集合M可能是( )A． B． C． D．11．下列说法正确的是( )A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C．命题“∃x∈R，x2＋1＝0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≠0”D．若“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1，3]12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是( )A．集合M＝为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合M＝为闭集合D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．命题“∃x>1，x2>1”的否定为________．14．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a，1}，则a＝________．15．高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，问这两种活动都没参加的有________人．16．已知满足“如果x∈S，则6－x∈S”的自然数x构成集合S.(1)若S是一个单元素集合，则S＝________．(2)满足条件的S共有________个．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，U＝R.(1)求A∩B，A∪B；(2)求(∁R A)∩B.18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＋1＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的值．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|k<x<2－k}．(1)当k＝－1时，求A∪B；(2)若A∩B＝B，求实数k的取值范围．20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a<x<10－a}，∁R B＝{x|x>6}，若A∩B ＝∅，求a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}．(1)当a＝2时，求A∪B；(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．22．(本小题满分12分)已知集合M＝，集合N＝ ，(1)当m＝2时，求M∩N；(2)若x∈M是x∈N的必要不充分条件，求实数m的取值范围．章末质量检测(一)　集合与逻辑1．解析：由题意A∪B＝{－1，0，2，3}．故选A.答案：A2．解析：命题：“∃x∈R，x2－1>0”的否定为“∀x∈R，x2－1≤0”，故选B.答案：B3．解析：因为A＝，B＝，所以A∩B＝，又全集U＝，所以∁U＝，故选C.答案：C4．解析：若“3<x<4”，则“2<x<5”是真命题，若“2<x<5”，则“3<x<4”是假命题，所以“2<x<5”是“3<x<4”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．解析：命题p：∀x<2，x3－8<0，则¬p为：∃x<2，x3－8≥0，故选D.答案：D6．解析：图中阴影部分表示A∩(∁U B)，∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁U B)＝{0，1}．故选B.答案：B7．解析：当a＝－1，b＝－2时，a>b，但＝<1；当a＝－2，b＝－1时，>1，但a<b；综上，“a>b”是“>1”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D8．解析：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，又A×B＝且，∴A×B＝{x|0≤x≤1或x>2}．故选B.答案：B9．解析：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}表示同一集合，故B正确；方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误．故选CD.答案：CD10．解析：∵M∩＝，∴集合M一定含有元素a1，a2，一定不含有a3，∴M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选AC.答案：AC11．解析：x＝是无理数，x2＝2是有理数，A错；x＝－1，y＝－2时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错；命题∃x∈R，x2＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2＋1≠0，C正确；“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则，两个等号不同时取得．解得1≤m≤3，D正确．故选CD.答案：CD12．解析：A.当集合M＝时，2，4∈M，而2＋4∉M，所以集合M不为闭集合．B.设a，b是任意的两个正整数，当a<b时，a－b<0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．C.当M＝时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3∈M，a－b＝3∈M，所以集合M是闭集合．D.设A1＝，A2＝由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，而2＋3∉A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD，故选ABD.答案：ABD13．解析：因为特称命题的否定为全称命题，则命题“∃x>1，x2>1”的否定为“∀x>1，x2≤1”．答案：∀x>1，x2≤114．解析：因为A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，A∪B＝{－1，a，1}，所以a＝a2，解得a＝0或a＝1(舍去，不满足集合元素的互异性)答案：015．解析：因为7人参加了数学建模且两种活动都参加了的有3人，故只参加了数学建模的人数为7－3＝4 人，又9人参加了计算机编程，故只参加了计算机编程的人数为9－3＝6 人．故参加了活动的人数有4＋3＋6＝13人．故两种活动都没参加的有15－13＝2人．答案：216．解析：(1)S是一个单元素集合，则6－x＝x，∴x＝3，∴S＝{3}(2)当集合S元素个数为1个时，S＝{3}，当集合S元素个数为2个时，S＝{1，5}，{2，4}，{0，6}，当集合S元素个数为3个时，S＝{1，3，5}，{2，3，4}，{0，3，6}，当集合S元素个数为4个时，S＝{1，2，4，5}，{0，1，5，6}，{0，2，4，6}，当集合S元素个数为5个时，S＝{1，2，3，4，5}，{0，1，3，5，6}，{0，2，3，4，6}，当集合S元素个数为6个时，S＝{0，1，2，4，5，6}，当集合S元素个数为7个时，S＝{0，1，2，3，4，5，6}，综上满足条件的S共有15个．答案：{3}　1517．解析：(1)由题意，集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|－1<x≤5}，所以A∩B＝{x|－1<x<4}，A∪B＝{x|－2<x≤5}．(2)由题意，可得∁R A＝{x|x≤－2或x≥4}，所以(∁R A)∩B＝{x|4≤x≤5}．18．解析：(1)因为A∩B＝{2}，所以2∈B，则2a＋1＝0，解得a＝－.(2)由x2－3x＋2＝0得，x＝1或x＝2，则A＝{1，2}，因为B⊆A，所以B＝∅或{1}或{2}，当B＝∅时，则a＝0，当B＝{1}时，则a＋1＝0，得a＝－1，当B＝{2}时，则2a＋1＝0，得a＝－，综上得，实数a的值是0或－1或－.19．解析：(1)当k＝－1时，B＝{x|－1<x<3}，则A∪B＝{x|－1<x<3}．(2)∵A∩B＝B，则B⊆A.①当B＝∅时，k≥2－k，解得k≥1;②当B≠∅时，由 B⊆A得，即，解得0≤k<1.综上，k≥0.20．解析：若A＝∅，则10－a≤a，解得a≥5；设A≠∅，因为∁R B＝{x|x>6}，所以B＝{x∣x≤6}，因为A∩B＝∅，所以，解得a∈∅，故a的取值范围是{a|a≥5}．21．解析：(1)当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，A∪B ＝{x|－1≤x≤3}，(2)A∪B＝B，则A⊆B，因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，又B＝{x|－1≤x≤3}，所以，解得：0≤a≤2，所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．22．解析：(1)当m＝2时，N＝所以M∩N＝∩＝.(2)因为x∈M是x∈N的必要不充分条件，所以N M.所以，且等号不能同时成立，解得m≤，又m＞0，所以实数m的取值范围是.。

章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是()A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．特殊推理答案 A2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为() A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BC答案 A解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝() A．10 B．11C．12 D．13答案 B解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29，∵n3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是() A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案 D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B．2x＋1C．1x＋1D．22x＋1答案 B解析当x＝1时，f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23＝22＋1，当x＝2时，f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝24＝23＋1；当x＝3时，f(4)＝2f(3)f(3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f(x)＝2x＋1，故选B.6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为() A．0个B．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A ．12 B ．－1 C ．2 D ．3答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负答案 A解析不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，f(x1)＋f(x2)<0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是()A．4n＋2 B．4n－2C．2n＋4 D．3n＋3答案 A解法一(归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2.法二(特殊值代入排除法)由图可知，当n＝1时，a1＝6，可排除B答案当n＝2时，a2＝10，可排除C、D答案．二、填空题11．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5按此规律，第n 个等式可为________．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 答案 f (2n )>2＋n2(n ≥2)解析 观测f (n )中n 的规律为2k (k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…， ∴f (2n)>2＋n2(n ≥2)．13．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角ACDB 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案 AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角ACDB .∴ACBC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD.14．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依次类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.答案1 4解析法一直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×(2 2)6＝1 4.法二求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，…，A n－1A n＝a n＋1＝sin π4·a n＝22a n＝2×(22)n，故a7＝2×(22)6＝14.三、解答题15．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．16．设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．(1)求证：数列{S n}不是等比数列；(2)数列{S n}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．17．请你把不等式“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论． 解 推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明如下：∵a 1，a 2，…a n 都是正实数， ∴a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；…a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2n a 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a n ＋a 2n －1a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .18．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0,1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1,2,3}．可得，A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)·q n －2－q n －1＝(q－1)(1－q n－1)－q n－1＝－1<0.1－q所以s<t.。

章末检测(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2－x <0B ．∃x ∈R ，x 2－x ≥0C ．∀x ∈R ，x 2－x ≤0D ．∃x ∈R ，x 2－x <0答案：D2．设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5}答案：B 3．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，则满足A ∪B ＝{0，1，2}的集合B 的个数是( )A ．1B ．3C ．4D ．6解析：C ∵A ＝{1，2}，A ∪B ＝{0，1，2}，∴0∈B ，∴B ＝{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，{0}共4个．4.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{1，3，6}，P ＝{3，4，5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( )A ．{3}B ．{1，4，5，6}C ．{2，3，7，8}D ．{2，7，8}解析：C 因为M ＝{1，3，6}，P ＝{3，4，5}，所以M ∩P ＝{3}，M ∪P ＝{1，3，4，5，6}．因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U(M∪P)＝{2，7，8}．由Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是[∁U(M∪P)]∪(M∩P)，故Venn图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}．5．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是()A．所有能被2整除的正数都是偶数B．存在三角形的一个内角，其余弦值为3 2C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．∀x∈N，x3>x2解析：D对于A，所有能被2整除的正数都是偶数，是全称量词命题，但为真命题，不合题意；对于B，不是全称量词命题，不合题意；对于C，“∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解”为存在量词命题，不合题意；对于D，∀x∈N，x3>x2，是全称量词命题，当x＝1或0时，x3＝x2，故为假命题，符合题意．故选D．6．已知x1，x2是方程x2＋mx＋n＝0的两个实根，则x1x2＝2是n＝2的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：C因为x1，x2是方程x2＋mx＋n＝0的两个实根，则Δ≥0.则x2＋mx＋n＝(x－x1)(x－x2)＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，则n＝x1x2，所以x1x2＝2⇔n＝2.所以x1x2＝2是n＝2的充要条件．7．若命题“存在x∈R，x2－2x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≤－1 B．m≥－1C．－1≤m≤1 D．m>－1解析：B由题意知方程x2－2x－m＝0有实数解，∴Δ＝(－2)2－4×(－m)≥0，解得m≥－1.8．a<0，b<0的一个必要不充分条件为()A．a＋b<0 B．a－b<0C．ab>1 D．ab<－1解析：A当a<0，b<0时，a＋b<0成立，即A满足条件．当a<0，b<0时，不能得到a－b<0成立，即B不满足条件．当a<0，b<0时，不能得到ab>1成立，即C不满足条件．当a<0，b<0时，ab>0，所以ab<－1不成立，即D不满足条件．故选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中是存在量词命题的是()A．有些自然数是偶数B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除D．存在x∈R，使得|x|≤0解析：AD选项A是存在量词命题；选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；选项D是存在量词命题．10．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a 的值可以是()A．0 B．1C．2 D．3解析：AB由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选AB．11．设全集为U，则下面四个命题中是“A⊆B”的充要条件的命题是() A．A∩B＝A B．∁U A⊇∁U BC．(∁U B)∩A＝∅D．(∁UA)∩B＝∅解析：ABC由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，故A满足条件；由∁U A⊇∁U B可得A⊆B，由A⊆B可得∁U A⊇∁U B，故“∁U A⊇∁U B”是“A⊆B”的充要条件，故B满足条件；由(∁U B)∩A ＝∅，可得A⊆B，由A⊆B可得(∁U B)∩A＝∅，故“(∁U B)∩A＝∅”是“A⊆B”的充要条件，故C 满足条件；由(∁U A )∩B ＝∅，可得B ⊆A ，但不能推出A ⊆B ，故“(∁U A )∩B ＝∅”不是“A ⊆B ”的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC ．12．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，假命题是( )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析：ACD a ＝b ⇒a －b ＝0⇒(a －b )c ＝0⇒ac ＝bc ，∴ac ＝bc 是a ＝b 的必要条件，B 为真命题，其他都是假命题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“同位角相等”的否定为______________．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．答案：有的同位角不相等14．设集合S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________．解析：由题意，借助数轴(图略)可知⎩⎨⎧a <－1，a ＋8>5，∴－3<a <－1.答案：{a |－3<a <－1}15．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是____________．解析：由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得AB ，即⎩⎨⎧m ＋1>－1，m ＋1>2，即m >1. 答案：{m |m >1}16．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．解析：若只有①正确，即a ＝1，则b ≠1不正确，所以b ＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意；若只有②正确，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)；若只有③正确，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有④正确，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2)．综上，共有6个．答案：6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈Z|1≤x≤5}，C＝{x∈Z|2<x<9}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(∁U B)∪(∁U C)．解：(1)依题意知A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，C＝{3，4，5，6，7，8}，∴B∩C＝{3，4，5}，故有A∪(B∩C)＝{1，2}∪{3，4，5}＝{1，2，3，4，5}．(2)由∁U B＝{6，7，8}，∁U C＝{1，2}，故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6，7，8}∪{1，2}＝{1，2，6，7，8}．18．(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)三角形的三个内角都为60°；(4)存在一个实数x，使1 x>2.解：(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，是假命题．(2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，是假命题．(3)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，是真命题．(4)是存在量词命题，否定为：每一个实数x，都满足1x≤2，是假命题．19．(12分)已知集合P＝{2，x，y}，Q＝{2x，2，y2}，且P＝Q，求x，y的值．解：∵P ＝Q ，∴⎩⎨⎧x ＝2x ，y ＝y 2或⎩⎨⎧x ＝y 2，y ＝2x .解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，由元素的互异性可知x ≠y ，故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.20．(12分)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，集合B ＝{x |－1<x <m ＋1}．(1)若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件，求实数m 的值．解：(1)由题意可知，AB ，所以m ＋1>3，即m >2.所以实数m 的取值范围为{m |m >2}．(2)因为x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件，所以A ＝B ．所以m ＋1＝3，即m ＝2.即实数m 的值为2.21．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性：因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0，所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可得，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.22．(12分)从给出的三个条件①a ＝1；②a ＝2；③a ＝3中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答．已知集合A ＝{0，a ＋2}，B ＝{0，1，a 2}．(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的值．(2)已知____________，若集合C 含有两个元素且满足C ⊆(A ∪B )，求集合C ．解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，当a＋2＝1，即a＝－1时，得B＝{0，1，1}，不符合题意；当a＋2＝a2，即a＝－1或a＝2时，得a＝2，此时A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，满足题意．所以a＝2.(2)根据题意，若选择条件①，则B＝{0，1，1}，不符合题意，故可选择条件②或③.若选择条件②，A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，所以A∪B＝{0，1，4}，所以C＝{0，1}或C＝{0，4}或C＝{1，4}．若选择条件③，A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}，所以C＝{0，1}或C＝{0，5}或C＝{0，9}或C＝{1，5}或C＝{1，9}或C＝{5，9}．。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只要－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。

章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列语句中，是命题的个数是()①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析②③④是命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p且q B．p或qC．非p D．非p且非q答案 B解析∵p真q假，∴p或q为真．3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是() A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p且綈q”为假答案 C解析对于命题p，α与γ还可能垂直，如教室墙角的三面墙，故p错误；对于命题q，当不共线的三点位于β同侧时，才有α∥β，若不位于β同侧，则α与β相交，故q错误．故“p 且q”为假，“p或綈q”为真，“綈p且綈q”为真．4．下列命题，其中说法错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题D．命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0答案 C解析C选项中，若p∧q为假，则p，q有可能一真一假，也有可能都为假．5．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真答案 A解析 显然p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，“綈q ”为假，故选A.6．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( )A ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数C ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数答案 D解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.7．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2 答案 A解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.8．下列命题中正确的是( )A ．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互平行”的充分不必要条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知a 、b 、c 为非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“b ＝c ”的充要条件D ．p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2 013≤0.则綈p ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2 013>0.答案 D解析 “m ＝12” ⇏ “直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相平行”，故A 不正确．“直线l 垂直平面α内无数条直线” ⇏ “直线l 垂直于平面α”，故B 不正确．“a·b ＝a·c ”⇏ “b ＝c ”，故C 不正确．存在性命题的否定是全称命题，D 正确．9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >1答案 C解析 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0Δ＝16－4·a ·3>03a <0，解得a <0，故a <－1是它的一个充分不必要条件．10．给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 q ⇒綈p ⇔p ⇒綈q .11．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈BB ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1，n <5B ．m <－1，n <5C ．m >－1，n >5D ．m <－1，n >5 答案 A解析 A ∩(∁U B )满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋m >0，x ＋y －n >0， ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m >0，2＋3－n >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >－1，n <5. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则綈p 为____________．答案 x ≠2或y ≠3解析 由于“且”的否定为“或”，所以綈p ：x ≠2或y ≠3.14．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________． 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －1解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定．15．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题；②命题“在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题；③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①②③解析 ①否命题：若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，真命题； ②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ，真命题；③因为命题“若a >b >0，则3a >3b >0”是真命题，故其逆否命题为真；④逆命题：若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1，假命题，因为⎩⎪⎨⎪⎧m >0，[2(m ＋1)]2－4m (m －3)<0，得m ∈∅. 所以应填①②③.16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.答案 4解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋114≥114>0， 故①是真命题．②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数， 故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时， sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．④中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④是真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1， 则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．18．(12分)写出下列命题的“綈p ”命题，并判断它们的真假．(1)p ：∀x ，x 2＋4x ＋4≥0.(2)p ：∃x 0，x 20－4＝0.解 (1)綈p ：∃x 0，x 20＋4x 0＋4<0是假命题． (2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题．19．(12分)求证：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直． 必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．”20．(12分)设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解 当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0， 即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个正确．当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 21．(12分)已知p ：－2<m <0,0<n <1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1， 有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<－m <2，0<n <1， 即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p ⇏q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．22．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0 (a <0)}＝{x |3a <x <a (a <0)}B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇏綈q .则{x |綈q }{x |綈p }，而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4a <0， 即－23≤a <0或a ≤－4.。

章末复习与测试主题1 命题关系及其真假判定(1)命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若﹁p，则﹁q”；逆否命题为“若﹁q，则﹁p”.书写四种命题应注意：①分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待.②要注意条件和结论的否定形式.(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真假相反.课堂探究例1写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.名师指导“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理，“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”.另外，命题中的“或”，在否命题中要改为“且”.跟踪训练1.有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中为真命题的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①④主题2 充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若p ⇒q ，且p ⇐/q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件；若p ⇔/q ，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时q 是p 的既不充分也不必要条件.例2 已知p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数m 的取值范围.名师指导应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用.跟踪训练2.已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分条件，求正实数a 的取值范围.主题3 分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论，解含参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.例3已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根.若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围.名师指导若命题“p∨q”“p∧q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p∨q”“p∧q”的真假情况分类讨论参数的取值范围.跟踪训练3.已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数.若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围.主题4 转化与化归思想转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.例4 对任意x∈[－1,2]，有4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围.名师指导在本题的解答过程中，用到了两次化归思想，在第一次通过换元，化归为一元二次不等式恒成立时，要特别注意新元的取值范围.跟踪训练4.已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围.课堂检测1.设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤04.命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A.∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B.∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C.∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D.∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－15.设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b ∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(﹁p)∧(﹁q)D.p∨(﹁q)6.下列叙述中正确的是()A.若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C.命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D.l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β参考答案例1解：(1)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数，为真.否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数，为真.逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数，为假.(2)逆命题：若(x －3)(x －7)＝0，则x ＝3或x ＝7，为真.否命题：若x ≠3且x ≠7，则(x －3)(x －7)≠0，为真.逆否命题：若(x －3)(x －7)≠0，则x ≠3且x ≠7，为真.跟踪训练1.【答案】D【解析】 ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”.∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是假命题； ④原命题为真，逆否命题也为真.例2 解：法一 由题意，得﹁p ：A ＝{x |x <－2或x >10}，﹁q ：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，∵﹁p 是﹁q 的必要条件，∴﹁q ⇒﹁p ，﹁p ⇒/﹁q .∴B A ，画数轴(略)分析知，B A 的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10， 解得m ≥9.∴m 的取值范围是{m |m ≥9}.法二 ∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，即﹁q ⇒﹁p ，∴p ⇒q ，即p 是q 的充分不必要条件.而p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，∴P Q ，即得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10.解得m ≥9.∴m 的取值范围是{m |m ≥9}.跟踪训练2.解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10，令A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ，令B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，由题意p ⇒q 且p ⇐/q ，知AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1＋a ＜10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1＋a ≤10，解得0＜a ≤3，1－a ＞－2，∴a 的取值范围为(0,3].例3 解：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0 ⇔m ＞2.4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔16(m －2)2－16＜0⇔m 2－4m ＋3＜0⇔1＜m ＜3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 和q 一真一假，∴当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， 解得m ≥3；当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， 解得1＜m ≤2.∴所求m 的取值范围为{m |1＜m ≤2，或m ≥3}.跟踪训练3.解：p 真：Δ＝a 2－4×4≥0，∴a ≤－4或a ≥4.q 真：－a 4≤3，∴a ≥－12. 由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，得p ，q 两命题一真一假.当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4.综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4).例4 解：原不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2.所以原命题等价于∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，a >t 2－2t ＋2恒成立.令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，因为当t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝10，所以只需a >10即可.故实数a 的取值范围是(10，＋∞).跟踪训练4. 解：﹁p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0，是假命题，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞).课堂检测1.【答案】 C【解析】 由x ＞y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要条件.2.【答案】 A【解析】 由已知，若直线a ，b 相交，则平面α，β一定存在公共点，故其一定相交；反之，若平面α与β相交，分别位于这两平面的直线ab 未必相交.故为充分条件.3.【答案】 D【解析】 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”.故选D.4.【答案】 A【解析】 改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.5.【答案】 A【解析】 法一 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝xb ，由b ∥c 知b ＝yc ，∴a ＝xyc ，∴a ∥c ，∴q 是真命题.综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题.又∵﹁p 为真命题，﹁q 为假命题，∴(﹁p )∧(﹁q )，p ∨(﹁q )都是假命题.法二 由于a ，b ，c 都是非零向量，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b .∵b ·c ＝0，∴b ⊥c .如图，则可能a ∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴﹁p是真命题.命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则﹁q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(﹁p)∧(﹁q)，p∨(﹁q)都是假命题.6.【答案】D【解析】由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；∵ab2＞cb2，且b2＞0，∴a＞c.而a＞c时，若b2＝0，则ab2＞cb2不成立，由此知“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确.。

章末过关检测卷(二)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2021·开封高二检测)按照偶函数概念可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理进程是(C)A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：按照演绎推理的概念知，推理进程是演绎推理，故选C.2．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．下面四个推理不是合情推理的是(C)A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同窗的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理．4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为(C )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n 2解析：观察所给不等式，不等式左侧是f (2n )，右边是n ＋22，故选C.5．下列推理是归纳推理的是(B )A ．A ，B 为定点，动点P 知足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积pr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝pabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.6．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同窗用数学归纳法的证明进程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋k ＋2＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时，不等式成立．则上述证法(D ) A ．进程全数正确 B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 解析：在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，不是数学归纳法．故选D.7．下列推理正确的是(D )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左侧应添加的式子是(B )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：n ＝k 时，左侧＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左侧＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左侧应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.9．(2021·江西省六校高三3月联考数学文11)某同窗在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，取得一系列的三角形，则在前2021个三角形中共有▲的个数是(C )A ．64B ．63C ．62D ．61解析：前n 个三角形中共有▲的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n （n ＋3）2，由n （n ＋3）2＝2021，解得n ＝62，选C.10．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 别离为a 、b 、c 边所对的角，若a 、b 、c 成等差数列，则∠B 的范围是(B )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac ＝3（a 2＋c 2）8ac －14≥6ac 8ac －14＝12. ∵余弦函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，故0＜∠B ≤π3.故选B. 11．观察数表：1 2 3 4……第一行2 3 4 5……第二行3 4 5 6……第三行4 5 6 7……第四行… … … …… … … …第一列 第二列 第三列 第四列按照数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为(A )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n 2－1D ．n 212．(2021·湖北武汉调研测试)如图是网络工作者经常常利用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出此刻第1行；数字2，3出此刻第2行；数字6，5，4(从左至右)出此刻第3行；数字7，8，9，10出此刻第4行；…；依此类推，则按网络运作顺序第n 行第1个数(如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4…)是(D )A.n 2－n ＋12B.n 2＋n ＋12C.n 2＋n ＋22D.n 2－n ＋22解析：由题意分析可知，第n 行总共有n 个数字，n ∈N *，∴第n 行中最小的数字为1＋(1＋2＋…＋n －1)＝1＋n （n －1）2＝n 2－n ＋22，最大的数字为n 2－n ＋22＋n －1＝n 2＋n 2，而第n 行中第一个出现的数字是行中最小的，即n 2－n ＋22.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中最多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“最多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14.2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b ＝6ab (a ，b 均为实数)，请推测a＝________，b ＝________．解析：由2＋23，3＋38，4＋415可以求出3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，所以在6＋ab中， a ＝6，b ＝a 2－1＝62－1＝35.答案：6 3515．如图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“割裂”：仿此，52的“割裂”中最大的数是________，53的“割裂”中最小的数是________．解析：依题意推知：因此52的“割裂”中最大的数为9，53的“割裂”中最小的数为21.答案：9 2116．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明进程及演算步骤)17．(本小题满分11分)如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．证明：假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC，因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圆O，这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．18．(本小题满分11分)已知：A，B都是锐角，且A＋B≠90°，(1＋tan A)(1＋tan B)＝2.求证：A＋B＝45°.证明：∵(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，展开化简为tan A＋tan B＝1－tan A tan B.∵A＋B≠90°，tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝1.又∵A，B都是锐角，∴0°<A＋B<180°.∴A＋B＝45°.19．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ，即证|a －c |＜c 2－ab ，只需证(a －c )2＜(c 2－ab )2，只需证a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ，即证2ac ＞a 2＋ab ，因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b .因为2c ＞a ＋b 成立．所以原不等式成立．20．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长都是有理数，求证：(1)cos A 是有理数；(2)对任意正整数n, cos nA 和sin A ·sin nA 是有理数． 证明：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 是有理数．(2)用数学归纳法证明 cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A ·sin nA ＝1－cos 2A 也是有理数．②假设当n ＝k (≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数．当n ＝k ＋1时，由cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA ) ＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，由①和归纳假设，知cos(k ＋1)A 和sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数．即当n ＝k ＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n ，cos nA ，sin A ·sin nA 是有理数．21．(本小题满分12分)已知a 、b ∈R，求证：|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |. 证明：设f (x )＝x 1＋x，x ∈[0，＋∞)．设x 1、x 2是[0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1（1＋x 1）（1＋x 2）. 因为x 2>x 1≥0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )＝x1＋x在[0，＋∞)上是增函数．(大前提) 由|a |＋|b |≥|a ＋b |≥0(小前提)知f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |)即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |成立． 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 知足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解析：(1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，即a 21＋2a 1－2＝0， ∵a n >0，∴a 1＝3－1. S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，即a 22＋23a 2－2＝0，∴a 2＝5－3. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1， 即2a 23＋25a 3－2＝0，∴a 3＝7－ 5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立． 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1. ∴a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0. ∴a k ＋1＝2（k ＋1）＋1－2（k ＋1）－1.即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。

常用逻辑用语章末检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中，是命题的个数为()①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A.1B.2C.3D.4答案 C解析②③④是命题.2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中为真命题的是()A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 B解析可采取直观演示或定理推证的方式不难找出答案.B选项，由条件n⊥β，m∥n推出m ⊥β，又m∥α，易知α⊥β.3.已知p和q是两个命题，若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析根据逆否命题的等价性知，若綈p是綈q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.4.A＝{x||x－1|>1，x∈R}，B＝{x|log2x>1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析由题意，得A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以x∈B⇒x∈A，但x∈A⇏x ∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.5.下列命题中为真命题的是()A.若x ≠0，则x ＋1x≥2 B.命题“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1”C.“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件D.若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0答案 B解析 选项A 中，当x 为负数时，不等式不成立，错误；选项B 中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C 中，由两直线垂直可得1－a 2＝0，即a ＝±1，则“a ＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D 中，含有一个量词的命题的否定时，特别注意不等号的方向，错误.6.设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A.∀n ∈N ，n 2>2nB.∃n ∈N ，n 2≤2nC.∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n 答案 C解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”.7.设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( )A.0<a <1或a >2B.0<a <1或a ≥2C.1<a ≤2D.1≤a ≤2 答案 C解析 若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.由题意得，若p 假则q 真，若p 真则q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2. 8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件.9.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B 解析 m ⊂α，m ∥β⇏α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.10.已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1，1)；命题q ：函数y ＝f (x ＋1)的图象关于原点对称，则y ＝f (x )的图象关于点(－1，0)对称，则( )A.“p 且q ”为真B.“p 或q ”为假C.p 假q 真D.p 真q 假答案 D解析 命题p 为真命题，命题q 中f (x )的图象关于点(1，0)对称，∴q 为假命题.11.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，若1<a <2，则0<a －1<1，1<3－a <2，即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离，则f (1)<f (3).若a ＝0，则函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，满足f (1)<f (3)，但1<a <2不成立.所以“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的充分不必要条件.12.已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论： ①命题p 是真命题；②命题q 是假命题；③命题“(綈p )∧q ”是真命题；④命题“p ∨(綈q )”是假命题.其中正确的是( )A.②④B.②③C.③④D.①②③答案 C解析 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1，1]，所以命题p 为假命题；对于q ，因为函数y ＝x 2＋x ＋1的图象开口向上，最小值在x ＝－12处取得，且f (－12)＝34>0，所以命题q 是真命题.由命题p 为假命题和命题q 是真命题可得：命题“(綈p )∧q ”是真命题；命题“p ∨(綈q )”是假命题.故③④正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 答案 3解析 由已知可得m ≥tan x (x ∈[0，π3])恒成立. 设f (x )＝tan x (x ∈[0，π3])，显然该函数为增函数， 故f (x )的最大值为f (π3)＝tan π3＝3， 由不等式恒成立可得m ≥ 3，即实数m 的最小值为 3.14.命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－3x 0＋2<0的否定是______.答案 ∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0解析 ∵特称命题的否定是全称命题.∴命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－3x 0＋2<0的否定是綈p ：∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0.15.已知命题p ：(x －3)(x ＋1)>0，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.答案 (0，2]解析 p ：(x －3)(x ＋1)>0⇔x <－1或x >3，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0⇒x <－m ＋1或x >m ＋1，它们的取值范围分别用集合A ，B 表示，由题意知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1m ＋1≤3，其中等号不能同时成立， ∴m ≤2，又m >0，∴0<m ≤2.16.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________________.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，即－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假命题时，m 的取值范围为m ≤－2或m >－1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定.(1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x ，y ∈Z ，3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解.解 (1)假命题，否定为∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为∀x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为在实数范围内，所有的一元二次方程都有解.18.(12分)已知两个命题：r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0，如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围.解 ∵对∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2， ∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )是真命题时，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∴当r (x )为真命题，s (x )为假命题时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假命题，s (x )为真命题时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≤－2或－2≤m <2}.19.(12分)在公比不为1的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S 2，S 4，S 3成等差数列，则a 2，a 4，a 3成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断这个命题的逆命题是否为真，并给出证明.解 (1)逆命题：在公比不为1的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若a 2，a 4，a 3成等差数列，则S 2，S 4，S 3成等差数列.(2)真命题，证明如下：∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3，∴2a 1q 3＝a 1q ＋a 1q 2.∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－12， ∴S 2＝a 1(1＋q )＝12a 1，S 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝58a 1， S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34a 1， ∴2S 4＝54a 1＝S 2＋S 3，即S 2，S 4，S 3成等差数列. 20.(12分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1，且给定条件p ：π4≤x ≤π2. (1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若给定条件q ：|f (x )－m |<2，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝2[1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ]－23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎫2x －π3＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3.∴3≤4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤5. ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5. 21.(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q ，且綈q ⇏綈p ，设A ＝{x |綈p }，B ＝{x |綈q }，则A B ，又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x >3}，则0<a ≤2，且3a >3，所以实数a 的取值范围是(1，2].22.(12分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1.∵f (x )＝－b (x －a 2b )2＋a 24b， ∴f (x )max ＝f (a 2b )＝a 24b≤1.∵a>0，b>0，∴a≤2b.(2)必要性：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1⇒f(x)≥－1，∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1⇒f(x)≤1.∵b>1，可以推出f(1b)≤1，即a·1b－1≤1，∴a≤2b，∴b－1≤a≤2b.充分性：∵b>1，a≥b－1，对任意x∈[0，1]，可以推出ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1.∵b>1，a≤2b，对任意x∈[0，1]，可以推出ax－bx2≤2bx－bx2≤1，即ax－bx2≤1，∵－1≤f(x)≤1，即|f(x)|≤1.综上可知，当b>1时，对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.。

章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1，3} B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N等于( )A．B．C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}3．(2022·山东省郓城一中月考)关于命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0的叙述正确的是( ) A．p的否定：∀x∈R，x2＋3x＋2<0B．p的否定：∃x∈R，x2＋3x＋2≥0C．p是真命题，p的否定是假命题D．p是假命题，p的否定是真命题4．(2022·辽宁沈阳月考)已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁U S)D．(M∩P)∪(∁U S)6．(2022·河南伊川县实验高中月考)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是( )A．∃x∈U，x∉A且x∈BB．∀x∈A，x∈BC．∀x∈U，x∈A或x∈BD．∃x∈U，x∈A且x∈B7．有限集合A中元素的个数，用card(A)表示．若集合M＝{x∈Z|－2<x<a}，N＝{－3，－2，2，3}，且card(M)＝5，则card(M∩N)＝( )A．4 B．3C．2 D．18．(2022·保定市第一中学月考)已知集合M＝，集合N＝，则( )A．M∩N＝∅B．M∪N＝MC．N M D．M N二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )A．∅⊆A B．－2∈AC．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3}10．下列存在量词命题中，是真命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数11．(2022·江苏南京师大附中月考)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A ＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B 的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是( )A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B关系如图中所示，则B－A＝A∩(∁U B)D．已知A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2或x≥4}12．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是( ) A．加法B．减法C．乘法D．除法三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为________．14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)16．(2022·江苏南京月考)某班50名学生中，有围棋爱好者27人，足球爱好者33人，同时爱好这两项的人最多________人，最少________人．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)在①∁R A⊆∁R B，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)(2022·河北沧州月考)已知集合A＝{x|a<x<3a}，集合B＝{x|2－x≤0}，C＝{x|x－3≤0}．(1)求B∪C，B∩C；(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知全集U＝{x∈N|1≤x≤6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}，集合B ＝{3，4，5，6}．(1)求A∩B，A∪B；(2)写出集合(∁U A)∩B的所有子集．21．(本小题满分12分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x ＝|a－b|，a，b∈A}．(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－；(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3.22．(本小题满分12分)(2022·湖北武汉市第六中学月考)设a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．综合测评卷详解答案章末综合测评(一)1．D2．B3．C4．B5．C6．A7．C8．D9．ACD[∵A＝{0，2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD．] 10．ABD[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．]11．BD[对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，故B－A＝{3，8}，错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝∅，故A⊆B，正确；对于C，由Venn图知：B－A如图阴影部分，所以B－A＝B∩(∁U A)，错误；对于D，∁R B＝{x|x<－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁R B)＝{x|x<－2或x≥4}，正确．故选BD．]12．AC[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；，当＝λ(λ>0)时，∉A，所以除法不满足条件，D错误．]13．－2 [∵2∈A，∴a＝2或|a|＝2或a－2＝2，∴a＝－2或a＝2或a＝4．又|a|≠a，∴a＝2或4舍去．故a＝－2．]14．{a|a≤1}[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]15．充分不必要[由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]16.27 10 [设围棋爱好者组成集合A，足球爱好者为集合B，全体学生为集合U，由Venn 图可知：图①图②当A∪B＝U时，同时爱好这两项的人数最少，如图①，最少为：27＋33－50＝10．当A⊆B时，A∩B＝A，同时爱好这两项的人数最多，如图②，最多为27人．]17．解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，p的否定：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p的否定：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．解：(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．(2)三个条件∁R A⊆∁R B，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B⊆A，所以1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．19．解：(1)由B＝{x|2－x≤0}得2－x≤0，所以x≥2；由C＝{x|x－3≤0}得x－3≤0，所以x≤3，所以B∪C＝R，B∩C＝{x|2≤x≤3}．(2)因为a>0，所以A＝{x|a<x<3a}，B∩C＝{x|2≤x≤3}，因为“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，所以B∩C A，所以1<a<2．即实数a的取值范围是{a|1<a<2}．20．解：(1)全集U＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}＝{2，4}，集合B＝{3，4，5，6}．A∩B＝{4}，A∪B＝{2，3，4，5，6}．(2)∵∁U A＝{1，3，5，6}，∴(∁U A)∩B＝{3，5，6}，它的所有子集是∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}，共8个．21．解：(1)根据题意，由A＝{－1，1}，则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}．(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，所以A－中也只包含四个元素，即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，所以x1＋x4＝x2＋x3．22．解：a2＋b2>c2．证明如下：充分性：∵a2＋b2>c2，∴△ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，∵a≤b≤c，∴∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D(如图1)，图1由勾股定理，得c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(CD＋a)2＝AD2＋CD2＋a2＋2·CD·a＝AC2＋a2＋2·CD·a ＝b2＋a2＋2·CD·a>a2＋b2，与已知a2＋b2>c2矛盾，∴△ABC为锐角三角形．必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°，过点A作BC的垂线，垂足为D(如图2)，图2由勾股定理知，c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝AD2＋CD2＋a2－2·CD·a＝b2＋a2－2·CD·a<a2＋b2．综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2＋b2>c2．。

章末复习与测试警示·易错提醒1．有关真假命题的判断方法(1)是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题．(2)对于较难判断的问题，可以转化为逆否命题来解决．2．正确理解逻辑联结词的含义(1)已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，¬ p 与p 真假相对．(2)注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．3．解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面(1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆．(2)要掌握判断全称量词命题与存在量词命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称量词命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在量词命题为真．总结归纳 专题突破题型1 命题真假的判断命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型.这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等.并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查.典例1 已知命题p ：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π6对称，命题q ：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向右平移π6个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是( )A. ¬ pB.p ∨qC.( ¬ p )∧qD.( ¬ p )∧(¬ q )变式训练 给出以下命题，其中为真命题的是________(填序号).①函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与函数y ＝log a a x （a >0，a ≠1)的定义域相同；②若函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ＝π2； ③函数y ＝(x －1)2与y ＝2x －1在区间[0，＋∞)上都是增函数；④若不等式|x －4|<a 的解集非空，则必有a >0.题型2 充分条件、必要条件的判断及应用1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起.因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等.2.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p ⇒q ，而qp . (2)必要不充分条件，即p q ，而q ⇒p .(3)充要条件，既有p ⇒q ，又有q ⇒p .(4)既不充分也不必要条件，既有pq ，又有q p .3.充分条件与必要条件的判断.(1)直接利用定义判断：即“若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件”.(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p ⇒q ”的等价命题是“¬q ⇒¬p ”即“若¬q ⇒¬p ”成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合，那么若p ⊆q ，则p 是q 的充分条件；若p ⊇q ，则p 是q 的必要条件；若p ＝q ，则p 是q 的充要条件.典例2 “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( )A.0<a <1B.0<a <13C.0≤a ≤1D.a <0或a >13 变式训练1 设a ∈R ，则“a ＝1”是“函数f (x )＝(a －1)·x 2＋(a 2－1)x ＋1为偶函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式训练2 已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝5D.x ＝0题型3 根据命题的真假性求参数的取值范围1.设命题p 为真，对应的参数取值范围的集合为A ，则命题p 为假的集合为∁R A .设命题q 为真，对应的参数取值范围的集合为B ，则命题q 为假的集合为∁R B .2.已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p ，q 的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围.3.由全称量词命题或存在量词命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解.典例3已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点.如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围.变式训练1设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围.变式训练2已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围.专题四反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p，则q”的否定是“若p，则¬ q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则¬ q”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法是高中数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中已用到，在高考题中也经常涉及，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．例4 设三个正实数a ，b ，c 满足条件1a ＋1b ＋1c＝2，求证：a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.归纳升华1．作出正确反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”．2．需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况．变式训练 判断命题“如果m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”的真假．专题五 转化与化归思想的应用将此问题转化为彼问题来解决是数学中常用的手段，一个数学问题难度较大或过于抽象时可等价转化为较直观或较易解决的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，将复杂的问题简单化，这样有助于问题的解决，此即为等价转化．例5 判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．归纳升华转化与化归思想主要体现在：1．原命题与其逆否命题之间的等价转化；2．命题的等价性与充要条件之间的等价转化；3．充要条件与集合包含关系之间的转化．变式训练 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．专题六 分类讨论思想分类讨论思想使复杂的问题化整为零，要注意讨论中的不重不漏．例6 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．归纳升华若命题“p ∨q ”“p ∧q ”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p ∨q ”“p ∧q ”的真假情况分类讨论参数的取值范围． 变式训练 已知命题p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；命题q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．参考答案典例1 【答案】D【解析】因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin 2π3＝3≠2， 所以f (x )的图象不关于x ＝π6对称.故p 为假命题.因为平移后所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎭⎫2⎝⎛⎦⎤x －π6＋π3＝2sin 2x ， 易知此函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以q 为真命题.所以(¬ p )∧(¬ q )为假命题.变式训练 【答案】①④【解析】因为y ＝log a a x ＝x ，其定义域为R ，与y ＝a x 的定义域相同，所以①为真命题；若函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则应有φ＝π2＋k π(k ∈Z )，不一定总有φ＝π2，故②为假命题；函数y ＝(x －1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；因为|x －4|的最小值等于0，所以当a ≤0时，不等式|x －4|<a 的解集为空集，因此当不等式|x －4|<a 的解集非空时必有a >0，故④为真命题.典例2 【答案】C【解析】要使不等式x 2－2ax ＋a >0的解集为R ，应有Δ＝(－2a )2－4a <0，即4a 2－4a <0，所以0<a <1，此即为“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0的解集为R ”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0≤a ≤1.变式训练1 【答案】A【解析】当a ＝1时，f (x )＝1是偶函数；但当f (x )＝ (a －1)·x 2＋(a 2－1)x ＋1为偶函数时，有a 2－1＝0，故a ＝±1.因此“a ＝1”是“函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1为偶函数”的充分不必要条件.变式训练2 【答案】D【解析】由a ⊥b 知a ·b ＝0，即2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0；而当x ＝0时，a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，必有a ⊥b .所以a ⊥b 的充要条件是x ＝0.典例3 解：对于命题p ：当 0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减；当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增.所以若p 为真命题，则0<a <1；若p 为假命题，则a >1.对于命题q ：若函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，则Δ＝(2a －3)2－4>0， 即4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52. 因为a >0， 所以若q 为真命题，则0<a <12或a >52. 若q 为假命题，则12≤a <1或1<a ≤52. 因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52， 解得12≤a <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52，解得a >52. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 变式训练1 解：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.依题意，得p 假q 真，或p 真q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，解得1<a ≤2， 所以a 的取值范围是(1，2]. 变式训练2 解：在区间[－1，1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在[－1，1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立.又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，4－2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.所以p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 例4 证明：假设a ，b ，c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况．(1)a ，b ，c 三数均小于1，即0＜a ＜1，0＜b ＜1，0＜c ＜1，则1a ＞1，1b ＞1，1c ＞1.所以1a＋1b ＋1c＞3，与已知条件矛盾； (2)a 、b 、c 中有两个数小于1，不妨设0＜a ＜1，0＜b ＜1，而c ≥1，则1a ＞1，1b ＞1.所以1a ＋1b＋1c ＞2＋1c＞2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立． 所以a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.变式训练 解：“如果m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2， 所以m 2＋n 2≠2.这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.例5 解：法一(直接法)．逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a ＜1，所以4a －7＜0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．法二(先判断原命题的真假)．因为a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，则4a －7≥0，解得a ≥74， 因为a ≥74＞1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．变式训练 解：令A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}， B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．因为¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，所以¬ q ⇒¬ p ，且¬ p¬ q ， 则{x |¬ q }{x |¬ p }．而{x |¬ q }＝R B ＝{x |－4≤x ＜－2}， {x |¬ p }＝R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a ＜0}．因为{x |－4≤x ＜－2}{x |x ≤3a 或x ≥a ，a ＜0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a ＜0. 所以－23≤a ＜0或a ≤－4， 故a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例6 解：p 真：Δ＝(－a )2－4×4≥0，所以a ≤－4或a ≥4.q 真：－a 4≤3，所以a ≥－12. 由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假． 当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4.综上，a 取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．变式训练 解：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0，⇔ m ＞2. 4x 2＋4(m －2)＋1＝0无根实⇔16(m －2)2－16＜0⇔m 2－4m ＋3＜0⇔1 ＜m ＜3. 因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假，所以当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3； 当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2. 所以所以m 取值范围为{m |1＜m ≤2或m ≥3}．。

第一章章末检测试卷(一))章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0考点全称命题的否定题点识别全称命题的否定答案 C解析全称命题的否定是存在性命题．全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0.考点充分、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判断答案 C解析当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．4．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案 D解析原命题和逆命题是真命题，故逆否命题和否命题也是真命题．5．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝52，命题q：∀x∈R，都有x2＋2x＋3>0.给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③考点逻辑联结词与量词的综合应用题点逻辑联结词与量词的综合应用答案 B解析因为p为假命题，q为真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，所以“p且q”为假命题，“p且綈q”为假命题，“綈p或q”为真命题，“綈p或綈q”为真命题．6．“p∨q”是真命题是“p∧q”是真命题的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点逻辑联结词与充要条件的综合应用题点逻辑联结词与充要条件的综合应用答案 B解析p∨q是真命题⇒p与q至少有一个是真命题⇏p∧q是真命题，p∧q是真命题⇒p∨q是真命题．所以“p∨q”是真命题是“p∧q”是真命题的必要不充条件．7．“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5考点四种条件题点识别四种条件答案 C解析任意x∈[1,2]，x2－a≤0⇔a≥4，又{a|a≥5}{a|a≥4}，∴“a≥5”是“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．8．给出以下四种命题：①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；②“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋x≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋x≤1”；④“x>0”是“x＋1x≥2”的充要条件．其中正确的命题是() A．①②B．②③C．①④D．②④考点四种命题及命题的否定题点四种命题及命题的否定答案 D解析选项①中，若p∨q为真命题，则p与q 只需有一个为真命题即可，故①不正确；选项③中，∀x∈R，x2＋x≥1的否定为∃x∈R，x2＋x<1，故③不正确．9．若命题“∃x∈R，使ax2＋x－1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．a<－14B．a>－1 4C．a≥－14D．a≤－14考点存在性命题题点由存在性命题的真假求参数的范围答案 D解析由题意知∀x∈R，ax2＋x－1≤0是真命题．当a ＝0时，x －1≤0，得x ≤1，所以不成立．当a ≠0时，由⎩⎨⎧a <0，Δ＝12＋4a ≤0， 得a ≤－14，故选D. 10．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉BB ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B考点 全称命题的否定题点 识别全称命题的否定答案 D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B.故选D.11．已知命题p：1x＋1>0；命题q：lg(x＋1＋1－x2)有意义，则綈p是綈q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点四种条件与等价命题题点四种条件与等价命题答案 A解析由p得x>－1，由q得－1＜x≤1，则q是p的充分不必要条件，故綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1，n <5B ．m <－1，n <5C ．m >－1，n >5D ．m <－1，n >5考点 充要条件的探求与证明题点 探求充要条件答案 A解析 A ∩(∁U B )满足⎩⎨⎧ 2x －y ＋m >0，x ＋y －n >0，∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎨⎧ 2×2－3＋m >0，2＋3－n >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >－1，n <5. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为____________，命题的否定为____________． 考点 否命题的概念题点 辨析命题的否定与否命题答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b14．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．考点 p ∧q 形式的命题题点 由p ∧q 的真假求参数的范围答案 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤12，23 解析 由y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数， ∴3a 2≤1，即a ≤23， ∴p ：a ≤23. ∵y ＝(2a －1)x 为减函数，∴0<2a －1<1，即12<a <1. ∴q ：12<a <1， ∵p 且q 为真命题，∴p 与q 均为真命题， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23，12<a <1，∴a 的取值范围是12<a ≤23. 15．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由充分条件求参数的范围答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，故a ≤－3.16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.考点 全称命题与存在性命题题点 全称命题与存在性命题的真假判断 答案 4解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0， 故①是真命题；②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数， 故②是真命题；③中当α＝π4，β＝－π4时， sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题； ④中当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，故④是真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知命题p ：x <－6或x >1，命题q ：5x －6>ax 2(a 为常数)．(1)写出原命题“若p ：x <－6或x >1，则q ：5x －6>ax 2”的逆否命题．(2)若p ⇔q ，则实数a 应满足什么条件？ 考点 四种条件题点 由四种条件求参数的范围解 (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若5x －6≤ax 2，则－6≤x ≤1”．(2)∵p ⇔q ，∴x <－6或x >1⇔5x －6>ax 2，即不等式ax 2－5x ＋6<0的解集为{x |x ＜－6或x >1}，故方程ax 2－5x ＋6＝0有两根－6,1，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－5)2－4a ×6>0，a (－6)2－5×(－6)＋6＝0，a －5×1＋6＝0，解得a ＝－1，故实数a 应满足a ＝－1.18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅.(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围．考点 全称命题与存在性命题题点 由命题的真假求参数范围解 (1)A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅.∵“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， ∴B ⊆A ，B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，∵B ≠∅，∴m ≥2，∴⎩⎨⎧ －2≤m ＋1≤5，m ≥2，∴2≤m ≤4. 19．(12分)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分条件、必要条件与充要条件的综合应用题点 由四种条件由参数的范围解 y ＝x 2－32x ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －342＋716的对称轴为x ＝34， ∴y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －342＋716在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2上为增函数， ∴716≤y ≤2，即A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716，2. 又B ＝{x |x ＋m 2≥1}＝{x |x ≥1－m 2}，∵x ∈A ⇒x ∈B ，∴716≥1－m 2，即m 2≥916，∴m ≥34或m ≤－34. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34，＋∞. 20．(12分)已知命题p ：若函数f (x )＝1－x 3，则实数m 满足不等式f (m )＜2，命题q ：关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R)有实根．若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围．考点 p ∨q 与p ∧q 形式命题的综合应用 题点 由p ∨q 、p ∧q 的真假求参数的范围解 p ：∵f (x )＝1－x 3且f (m )＜2， ∴1－m 3＜2，即m ＞－5. q ：∵关于x 的方程2x ＋m ＝0有根，则m ＝－2x ，∴m ＜0.若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则存在两种情况；①当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎨⎧m ＞－5，m ≥0，∴m ≥0；②当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎨⎧m ≤－5，m ＜0，∴m ≤－5. 综上，若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．21．(12分)设命题p ：实数x 满足|x －1|>a ，其中a >0；命题q ：实数x 满足3x 2－x －6<1.(1)若命题p 中a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．考点 逻辑联结词与四种条件题点 逻辑联结词与四种条件的综合应用解 (1)当a ＝1时，p ：x >2或x <0，q ：－2<x <3， 又p ∧q 为真，∴p ，q 都为真，∴由⎩⎨⎧ x >2或x <0，－2<x <3，得－2<x <0或2<x <3， ∴实数x 的取值范围为(－2,0)∪(2,3)．(2)p ：|x －1|>a ，∴x <1－a 或x >1＋a ，a >0， 綈p ：1－a ≤x ≤1＋a ，a >0.∵綈p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋1≥3，1－a ≤－2，∴a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．22．(12分)已知p ：x 2－8x －20≤0；q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．考点 四种条件题点 由四种条件求参数范围解 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， 即p ：－2≤x ≤10，q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件，则⎩⎨⎧ 1－m 2≥－2，1＋m 2≤10， 即⎩⎨⎧m 2≤3，m 2≤9，即m 2≤3， 解得－3≤m ≤3，即m 的取值范围是[－3，3]．(2)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．即⎩⎨⎧ 1－m 2≤－2，1＋m 2≥10，(两个等号不同时成立) 即m 2≥9，解得m ≥3或m ≤－3.即m 的取值范围是{m |m ≤－3或m ≥3}．。