2.2平稳随机过程和各态历经过程.ppt精品文档

coefficient）。
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偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
.|. |
9
-0.159
-0.025
55.674
0.000
30
•
.**| . |
.|. |
10
- 0第. 23403页/共-40 3. 0页3 7
58.274
0.000
View/correlogram/选Level，OK
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
• 1988 1648.000
• 1989 1812.000
• 1990 1936.000
29
• 1991 2167.000
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800 600 400 200

从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)

(2.2 - 1) 则称ξ(t) 是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴 上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间 隔τ有关，即有
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第2章
随机过程 f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2)
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第2章
随机过程
根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功 率谱密度Pξ(ω)有如下性质： （1） Pξ(ω)≥0，非负性； （2.2 - 20） （2）Pξ (-ω)= Pξ(ω)，偶函数。 （2.2 - 21）
因此， 可定义单边谱密度Pξ(ω)为
2 P ( ) P 1 ( ) 0
(2.2-15)
(2.2-16)
虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度
Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便
地求功率谱Pξ(ω)呢？ 我们知道，确知的非周期功率信号的自 相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过
程，也有类似的关系，即
j P ( ) R ( )e d
当均值为0时，有R(0)=σ2。
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第2章
随机过程
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们
知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对 于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为
Pf ( ) lim
T
FT ( ) T
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有 用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的 数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是 平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关 函数分别为

P59图2.6
(d ) : E[ X (t )] E[ A cos(t )]
E[ A] E[cos(t )]
X (t ) A cos(t )
cos( ) cos cos sin sin
E[cos(t ) cos sin(t ) sin ]
f X ( x, t ) f X ( x, t ) 令 t , 则有 : f X ( x, t ) f X ( x,0) f X ( x)
a[sin(0T ) sin( 0T )] lim 0 T 2T0
E[ X值具有各态历经性 .
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1 T X (t ) X (t ) lim T X (t ) X (t )dt T 2T 1 T lim T a cos(0t ) a cos(0t 0 )dt T 2T a2 T lim T cos(0t ) cos(0t 0 )dt T 2T T a2 T lim [ cos(20t 0 2 )dt cos(0 )dt] T T T 4T a2 a2 lim 2T cos(0 ) cos(0 ) RX ( ) T 4T 2
平稳过程X (t )和Y (t )的互相关函数具有联合 各态 历经性的充要条件与上 式相似, 只是将相应的自 相关函数改为互相关函 数即可.
4、 对于均值为零的平稳高 斯过程X (t ), 若自相关函数 连续, 各态历经的充要条件是 :


0
RX ( ) d
21
严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的 , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 则称X (t )为严平稳过程 .

年份 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 年径流 404 279 336 351 570 280 528 374 329 515 356 432
年份 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 年径流 466 499 386 395 386 445 434 480 314 335 303 382
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 年径流 301 282 352 260 418 568 633 405 455 500 518 411
称为方差平稳，又称二阶平稳。
同理标准差函数σ(x)也是平稳的。
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3、偏态系数平稳
Cs (t)
[x
(t)]3 f1(x,t)dx 3 (t)
[x
]3 f1(x)dx 3 (t)
Cs
平稳随机过程 X(t) 的偏态系数与时间t无关，为常数(chángshù) ，
称为偏态系数平稳。
Xn+k 的概率(gàilǜ)，简称转移概率(gàilǜ)。
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在 tn 时刻所处的状态已知的条件下， 马尔柯夫过程在时刻 tn+k 所处的状态只与其在 tn 时刻所处的状态有关，而与其在tn 时刻以前所处的状态无关。这种特性称为马尔柯夫过程的无后 效性。
过程“现在”的状态已知，其“将来”的状态与“过去”的 状态无关。
水文水资源系统，假定平稳(píngwěn)随机过程具有各态历
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平稳序列 各态历经序列
12、随机过程的试验研究方法 随机过程的试验研究方法 讲了几个估计方法：均值估计、方差估计、自相关函数的 估计 ，不做重点讲解了。
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7遍历过程的两个判别定理a均值遍历判别定理平稳过程xt的均值具有遍历性的充要条件b自相关函数遍历判别定理平稳过程xt的自相关函数具有遍历性充要条件8联合平稳随机过程联合宽平稳两个随机过程xt和yt如果
我是来自通信专业的戴蓉 学号：11720790
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1
平稳随机过程与各态历经过程
本节重点 1、严平稳的定义： 如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 n 维概率密度满足：
∆
[
2
] = E[ X + jY −(m + jm ) ] = E[ X − m + j(Y − m ) ]
2 X Y
2
2 2 = E( X −mX ) +(Y −m ) = DX + DY Y
[
X
]
Y
注：ⅰ)复随机过程的方差等于它的实部与虚部的方差之和；ⅱ) 复随机过程的方差为非负的实数。 b：两个复随机变量的独立、不相关、正交 1）统计独立 2）不相关 3）正交
1
= 0
8、联合平稳随机过程 联合宽平稳 两个随机过程X(t)和Y(t)，如果：a）X(t)和Y(t)分别宽平稳；b） 互相关函数仅为时间差τ的函数，与时间t无关 即
RXY(t1,t2) =RXY(τ)
Page 5
τ = t 2 − t1
5
则称X(t)Y(t)联合宽平稳或宽平稳相依。 9、联合宽遍历 联合宽遍历
10、复随机过程 a：数字特征：
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求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0

讨论X(t)的各态历经性。
二、各态历经定理
定理1 X (t), t 为平稳过程，则
的充要条件是
X (t) mX , a.s.
1
lim T T
2T 1 0
2T
RX
(
)
m
2 X
d
0
推论：若平稳随机过程X(t)满足条件
即
lim
RX
(
)
m
2 X
则
lim
C
X
(
)
0
X (t) mX , a.s.
随机过程-2-平稳过程.pptx
§1 平稳过程概念
定义：{X (t),t T} 的有限维分布函数族
F ( x1, x2,, xn;t1, t2,, tn ), t1, t2,, tn T , n 1
有
n, t1, t2,, tn T ,
使t1 得 ,t2 ,,tn T
F (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) F (x1, x2 ,, xn;t1 , t2 ,, tn )
则称
为强（严、狭义）平稳（随机）
过程{。X (t),t T}
连续
f (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) f (x1, x2 ,, xn;t1 , t2 ,, tn )
一维 二维
f ( x1,;t1) f ( x1;t1 )
mX (t1) f (x1;t1)dx1 f (x1;t1 )dx1 mX (t1 )
CX (0) DX
连续平稳过程的相关函数
定理：
{X
(t),
t
T
}
是平稳过程，它在T上连续的充要条件是
在

2 A2 A E cos(2 t 2 ) cos cos 2 2
另一方面，对 的一个可能取值 [0,2 ] ，相 应便有过程的一个样本函数 x(t ) A cos( t ) ， 于是 1 1 lim 2T xt dt lim 2T A cost dt
T 1 2 T 0 1 1
B ( 1 ) E X t X t - X t - 1X t - - 1
第六章
平稳随机过程的 各态历经性
主讲人： 崔琳琳 WORD： 邱涵硕 信媛媛 PPT ： 李记梅
1120121099
1120120213 1120121136 1120121109
平稳随机过程





平稳过程的概念与例子 联合平稳过程及相关函数的性质 随机分析 平稳过程的各态历经性 习题
问题的提出
平稳过程的均值和自相关函数，当然在一般 情况下要做到这一点应当对平稳过程的每一 个样本函数按时间平均有相同结果才行。即 将x (t )换为 X (t ) 结果不变，当然此时的积分应当 为均方积分，即应有
1 x l.Tim 2T .

T
T
X t dt
1 RX ( ) l i m T 2T

各态历经过程
各态历经过程 非各态历经过程
两个图所示的都是平稳过程
随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种 可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到 随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能 充分地代表整个随机过程的特性。
生活中举例

统计2012年大爷平均卖给每人的煎饼数？
大数定理表明，随时间n的无限增长，

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例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
15
5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。