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第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129§8.1 优先序一、二元关系1.无差异(Indifferent to)～2.(严格)优于(Strict preference to)3.不劣于(preference of indifference to) ●可以用 定义～， ：A ～B A B 且B A A B A B 且非B A因此，在任何决策问题中， 是偏好结构的基础，有必要假设 关系的存在。

至于 是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造 的途径。

●在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。

但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。

二、二元关系的种类(用R 表示二元关系)●传递性，若xRy, yRz 则xRz ●自反性reflectivity: xRx●非自反性：(Irreflexivity)非xRx ●对称性(Symmetry)若zRy,则yRx●非对称性(asymmetry)若xRy ，则非yRx●反对称性(anti-symmetry)若xRy 且yRx 则必有x = y ●连通性(connectivity) completeness, Comparability 对x, y ∈X xRy 或/和 yRx任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如， 20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100, 但是20≠100连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立. 连通性⊕传递性 完全序§8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3X ⊂R N, 是X 上的弱序，且① x y X ∙∙∈, 若 x ∙≥y ∙x ∙y ∙;② x y z X ∙∙∙∈,, 若 x ∙y ∙z ∙则 必存在唯一的0＜λ＜1使y ∙～λx ∙+(1-λ)z ∙;则存在定义在X 上的实值函数v ，满足 x ∙y ∙⇔ v(x ∙)＞ v(y ∙)x ∙~y ∙⇔ v(x ∙) = v(y ∙)Note : 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加.2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v(x ∙)=f(v x v x n n 11(),,() ) f 的形式通常十分复杂，即使v x i i ()为线性 v 的形式仍十分复杂.例：x 1 , x 2 的价值函数为线性, 即: v 1=k 1x 1 v 2=k 2x 2 且 k 2=1.5k 1, 但是 v(x ∙)≠v 1(x 1)+v 2(x 2)因此, 价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数 1.定义： 若 v(y ∙)=v y ii ni=∑1(), 则称价值函数V(y ∙)是加性的2.加性价值函数的存在条件 定理8.6(P133) (n ≥3)定义在Y R N上的价值函数 v(y ∙)=v(y y n 1,, )对任何 y ∙’,y ∙”∈Y ,y ∙’ y ∙” iff v(y ∙’)≥v(y ∙”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y i ,i=1,…,n 上的实值函数 v i 使y ∙’ y ∙”⇔v 1(y 1’)+ …+v n (y n ’) ≥v 1(y 1”)+ …+v n (y n ”)3.互相偏好独立的定义：属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集Θ-(Ω=ΘU Θ-) 4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集Θ-的定义(P130定义8.2)当且仅当：对特定的y Y ΘΘ--∈ 若 (y Θ’,y Θ-0) ( y Θ”,y Θ-0) 则对所有 y Y ΘΘ--∈必有(y Θ’,y Θ-) ( y Θ”,y Θ-) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集Θ-.5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4) 消去条件 对∀x 1,y 1,a 1∈Y 1, x 2,y 2,a 2∈Y 2有(x 1,a 1) (a 1,y 2),(a 1,x 2) (y 2,a 2)则必有(x 1,x 2) (y 1,y 2) 则称 满足消去条件.Thomson 条件 将消去条件中的 改为～. 三、其他简单形式 1.拟加性：v(y ∙)=k v y i ii n i=∑1()+j inij i i n i j j k v y v y >=∑∑1()()+k jnj i n ijk i i n i j j k k k v y v y v y >>=∑∑∑1()()()+ … + k n 12 v 1(y 1) …v n (y n )条件 Y i i=1,2,…,n 弱差独立于其补集Y i- (详见p135,定义8.7)2.乘性(pp136-137)若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集Θ-, 则 v(y ∙)=k v y i ii n i=∑1()+k k k v y vy i j inj i i n i jj >=∑∑1()()+k2k k kv y v y v y ijk jnj i n k ii n i j j k k >>=∑∑∑1()()()+ … + k k k k n n -112 v 1(y 1) …v n (y n )§8.3多属性效用函数 一、二个属性的效用函数〃后果空间X ×Y ，后果(x,y)，设决策人在X ×Y 上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=v X (x)+ v Y (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)〃设决策人关于X ×Y 空间及P 上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X ×Y 上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)). 其中φ(〃)是保序变换〃决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 <p 1,(x 1,y 1);…；p n ,(x n ,y n )>的抽奖 可以用期望效用E[u(x,y)]=p u x y ii nii=∑1(,) 来衡量其优劣.二、效用独立(Utility Independence)1.例：l 1 : <0.5,(100,150); 0.5, (400,150)> l 2 : <0.5,(175,150); 0.5, (225,150)> l 3 : <0.5,(100,250); 0.5, (400,250)> l 4 : <0.5,(175,250); 0.5, (225,250)> 若效用独立, 则l 1 l 2⇔l 3 l 42.定义：若二个抽奖有公共的固定的Y 的值而X 中的值不同，决策人对它们的偏好与Y 的取值无关，则称X 是效用独立于Y 。

效用独立又称风险独立(若X 效用独立于Y 则决策人对抽奖的X 上的风险态度与Y 无关). 更一般的定义见P147，定义8.10 3.效用独立蕴含偏好独立 (x,α) (x’,α) 对某个α⇔ <1, (x,α)> <1, (x’,α)>⇔ <1, (x,β)> <1, (x’, β)> 由UI ，对任何β成立 ⇔ (x,β) (x’, β) 4.引理：X 是效用独立于Y 的，当且仅当，对固定的y 0 u(x,y)= α(y) u(x, y 0) + β(y) ∀(x,y)∈X ⨯Y 其中α(y)>0, α(y),β(y)的确定与y 0有关。

同理，Y 是效用独立于X 的，当且仅当对固定的x 0 u(x,y)= γ (y) u(x 0, y) + δ(y) ∀(x,y)∈X ⨯Y 其中γ(x)>0, γ(x),δ(x)的确定与x 0有关。

5. X 、Y 相互效用独立定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(x,y0)使u(x0,y0)=0必有u(x,y)= u(x, y0)+ u(x0,y)+k u(x, y0)u(x0,y),y0)=0时，u(x,y)具拟加性.即X Y相互效用独立且u(x6.加性条件：在上述假设下，再附加：对某个x,x2∈X, y1,y2∈Y,1<0.5,(x1, y1); 0.5,( x2,y2)> ~<0.5,(x1, y2); 0.5,( x2,y1)>且(x1,y0)( x2,y0), (x0, y2)( x0,y1)则u(x,y)= u(x, y0)+ u(x0,y)7. 加性独立也可以用另一种方式来表示:属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x’∈X, y,y’∈Y<0.5,(x, y); 0.5,( x’,y’)> ~<0.5,(x, y’); 0.5,( x’,y)>8.定理,y0)使u(x0,y0)=0 设u(x,y)是X⨯Y上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(x有u(x,y)= u(x, y0)+ u(x0,y)加性独立也是效用函数为加性的必要条件。

加性独立条件很难满足。

三. 拟加性效用函数的例某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣x:每天的日照时数y:每天的费用在与决策分析人讨论后确定了:a. 他的偏好是相互效用独立的;b. x的边际效用是线性的，日照愈长愈好;c. y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12)(15,16)～(12,8)他面临的度假地有两种选择A：x=10, y=14B: y=15 有25%的可能性是x=13, 75%的可能性是x=4他应选择那一地点度假?,y0).由于需要(x1,y0)～( x0,y1)解: 先选(x在(10,16)～(8,12)中，x=8, y0=16 则x1=10, y1=12令u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由x边际效用的线性性u(x, 16)=(x-8)/2同样，由y边际效用的线性性以及u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1可得：u(8,y)=(16-y)/4因此：u(x,y)= u(x, y)+ u(x0,y)+k u(x, y0)u(x0,y)=(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8∵(15,16)～(12,8) ∴u(15, 16) = u(12, 8)即(15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k ⨯ 4/2 ⨯ 8/4 得k=1/8因此u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64。