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多元函数隐函数求导
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是指在多元函数中，存在一些变量是由其他变量隐式定义的，而求这些变量的导数就是隐函数求导。
在一元函数中，我们可以通过对函数直接求导来得到导数，但在多元函数中，由于存在多个自变量，直接求导不是那么容易。
因此，我们需要使用隐函数求导的方法来解决这个问题。
在多元函数中，如果存在一个变量是由其他变量隐式定义的，那么我们可以通过对这个多元函数进行求导，来得到这个变量的导数。
这个方法就是隐函数求导。
具体来说，我们可以通过偏导数的方法来求解隐函数的导数。
偏导数是指在多元函数中，将其他变量视为常数，对某一个变量进行求导。
因此，我们可以通过对多元函数进行偏导数求解，来得到隐函数的导数。
在实际应用中，隐函数求导可以用于求解各种物理问题，例如求解曲线的切线方程、求解曲面的法线方程等。
此外，在经济、工程、生物等领域中，隐函数求导也有着广泛的应用。
隐函数求导的方法并不难，但需要注意的是，我们需要对多元函数进行适当的变形，以便于使用偏导数的方法来求解隐函数的导数。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择适当的方法，以便于求解出我们所需要的隐函数导数。
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它可以用于求解各种实际问题。
在学习隐函数求导时，我们需要掌握基本的方法和技巧，并灵活运用这些方法来解决具体的问题。
多元函数隐函数求导一、前言多元函数隐函数求导是微积分中的重要内容，也是高等数学的难点之一。
本文将详细介绍多元函数隐函数求导的相关知识。
二、基本概念1. 多元函数多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，例如：$f(x,y)$。
2. 隐函数隐函数是指由方程确定的关系式中，其中一个变量可以表示为其他变量的表达式，例如：$x^2+y^2=1$ 中的 $y$ 可以表示为$y=\sqrt{1-x^2}$。
3. 隐函数定理隐函数定理是指在一定条件下，可以通过对方程进行求导来求解出隐含在方程中的某个变量关于另一个变量的导数。
三、求解方法1. 基本步骤对于一个由 $n$ 个自变量和 $m$ 个因变量组成的方程组：$$\begin{cases}F_1(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\F_2(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\\cdots \\F_m(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0\end{cases}$$如果其中某个因变量 $y_i$ 可以表示为自变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的函数，即：$$y_i=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$则称 $y_i$ 为隐函数。
求解隐函数的一般步骤如下：（1）对方程组中的每个方程都求偏导数；（2）将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中；（3）计算雅可比矩阵的行列式，如果不等于零，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。
2. 具体例子例如，对于方程组：$$\begin{cases}x^3+y^3+z^3=6xyz \\x+y+z=4\end{cases}$$我们可以将其中一个因变量 $z$ 表示为自变量 $x,y$ 的函数。
首先对方程组中的每个方程都求偏导数：$$\begin{cases}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x}=6yz+6xy\frac{\partial y}{\partial x} \\3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partialz}{\partial y}=6xz+6xy\frac{\partial x}{\partial y} \\1+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}$$将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中：$$J=\begin{pmatrix}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x} & 6xy & 6xz \\6xy & 3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial y} & 6yz \\1+\frac{\partial z}{\partial x} & 1+\frac{\partial z}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}$$计算雅可比矩阵的行列式：$$|J|=18xyz-27x^2y^2z-27xy^2z^2+4x^3z^3+4y^3z^3$$如果 $|J|\neq0$，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。
6.3 多元复合函数和隐函数求导法则6．3．1 复合函数的求导法则思考：设),(v u f z =， 而)(t u ϕ=，)(t v ψ=，如何求dtdz ？ 设),(v u f z =，而),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=，如何求x z ∂∂和y z ∂∂？ 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导, 函数),(v u f z =在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简证1：因为),(v u f z =具有连续的偏导数, 则它是可微的, 即有dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为)(t u ϕ=，)(t v ψ=都可导, 因而可微, 即有dt dt du du =, dt dt dv dv =, 代入上式得：dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简证2：当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z ，由),(v u f z =、)(t u ϕ=及)(t v ψ=的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, to t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注：0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dtdv dt du t v u o t o t t ρρρ.推广：设),,(w v u f z =，)(t u ϕ=，)(t v ψ=，)(t w w =，则)](),(),([t w t t f z ψϕ=对t 的导数为：dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2：如果函数),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。
方程组多元函数隐函数求导
看求导的函数是一元函数还是多元函数，一元用dy/dx，多元用ay/ax，例如
z=f(u(t),v(t))，这是复合函数，t通过u,v复合得到z=f(u,v)，本质上只有一个变量t，因此z对t求导用dz/dt，即dz/dt=az/au*du/dt+az/av*dv/dt
全导数的概念就是对只有一个自变量而言的.一个多元函数无论与其他函数多少次复合,只要最终只有一个自变量,我们对这个唯一的自变量求导,求得的就是全导数.
而多元函数,无论它是否是与多元函数还是一元函数无机,只要最终函数的自变量远不
止一个,那么就不存有全系列导数了,对各个自变量分别求出的就是略偏导数.
例如z=f(u),u=g(x,y),复合函数z=f(g(x,y))就不存在对自变量x或y的全导数,只
有对x或y的偏导数.
以一例表明
设：u(x,y) = ax^m + bxy + cy^n
若谋u(x,y)的微分：
= [amx^(m-1) + by]dx + [bx + cny^(n-1)]dy
其它高阶偏导相似方法展开.
或者：已知y=f(x，t)；其中t由方程f(x，y，t)=0确定；求dy/dx；
将②代入①式即为得：。
多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。
1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。
求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。
根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。
2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。
求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。
同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。
根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。
同理，可以得到 dz/dy 的表达式。
3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。
求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。
求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。
6.3 多元复合函数和隐函数求导法则6．3．1 复合函数的求导法则 思考：设 z f (u, v) ， 而 u (t) ， v (t) ，如何求 dz ？dt 设 z f (u, v) ，而 u (x, y) ， v (x, y) ，如何求 z 和 z ？x y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t) 及 v (t) 都在点 t 可导 函数 z f (u, v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [(t), (t)]在点 t 可导 且有 dz z du z dv dt u dt v dt简证 1：因为 z f (u, v) 具有连续的偏导数 则它是可微的 即有 dz z du z dv u v又因为 u (t) ， v (t) 都可导 因而可微 即有 du du dt dv dv dt dtdt代入上式得： dz z du dt z dv dt (z du z dv)dt u dt v dt u dt v dt从而 dz z du z dv dt u dt v dt简证 2：当 t 取得增量t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量u、v 及z ，由 z f (u, v) 、u (t) 及 v (t) 的可微性 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv ( z z ) o(t) o() t u dt v dt u v t t令t0 上式两边取极限 即得dz z du z dv dt u dt v dt注： lim o() lim o() (u)2 (v)2 0( du )2 ( dv)2 0 t0 t t 0tdt dt1/9推广：设 z f (u, v, w)， u (t) ， v (t) ， w w(t) ，则 z f [(t), (t),w(t)]对 t2/9的导数为： dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt上述 dz 称为全导数 dt2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2：如果函数 u (x, y) ，v (x, y) 都在点(xy)具有对 x 及 y 的偏导数 函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点(x y)的两个偏导数存在 且有z z u z v ， z z u z v 。
