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2013年 数理统计(研究生)试题一、(满分15分）设X 服从伽玛分布(,)αβΓ,其特征函数为()(1)X it t αϕβ-=-. (1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差；(2)设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量，其概率密度为-,0()0,0.x e x f x x λλ⎧>=⎨≤⎩，试用特征函数法证明：1n i i Y X ==∑服从(,)n λΓ分布 二、（满分16分）(1)设12,,,n X X X 是总体(0,1)X N 的一组样本，求统计量221111()()m n i i i i m Y X X m n m ==+=+-∑∑的分布. (2) 设12,,,n X X X 是总体X 的一组样本，试证下列估计量都是总体均值()E X μ=的无偏估计，并求每个估计的方差，判断哪个估计较优. 1123131ˆ5102X X X θ=++，2123115ˆ3412X X X θ=++，3123131ˆ3412X X X θ=+-. 三、（满分8分）从正态总体2~(3.4,6)X N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，样本容量应取多大？四、(满分10分）设男生的身高服从正态分布.某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm ，标准差为1σ =6.04cm ，而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm ，标准差为27.10σ=cm.试检验该系喜欢参加运动的男生的平均身高是否明显比其他男生高些.（0.05α=）五、（满分15分）设12,,,n X X X 是总体~()X πλ的一个样本， λ为未知参数. (1) 求λ的极大似然估计量ˆλ； (2) 验证ˆλ是否为未知参数λ的有效估计量. 六、（满分20分）在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下：温度i x0 4 10 15 21 19 36 51 68 重量i y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1应用线性模型122,,,,~(0,)n y a bx N εεεεεσ=++⎧⎨⎩为其子样(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0H b =；(3) 在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0.9H b =；(4) 在070x =时，求年销售额0y 的置信水平为95.01=-α的预测区间；(5) 要使溶解重量在70-90之间，问温度应如何控制？七、(满分16分) 有四个厂生产1.5伏的3号电池，现从每个工厂产品中各取一组样本，测量其寿命得到的数值如下：生产厂 干电池寿命（小时）1A24.7 24.3 21.6 19.3 20.3 2A30.8 19.0 18.8 29.7 3A17.9 30.4 34.9 34.1 15.9 4A23.1 33.0 23.0 26.4 18.1 25.1 问四个厂生产的干电池寿命有无显著差异？（0.05α=）.附注：计算中可能用到的数据如下：0.950.9750.9750.950.950.9750.05(1,7) 5.59,(5,8) 4.82,(8,5) 6.76(3,16) 3.24,(4,16)=3.01(7) 2.3646,(7)0.6664,(1.96)0.975(1.65)0.95F F F F F t r ======Φ=Φ=，，。
中国矿业大学2014 级硕士研究生课程考试试卷考试科目数理统计考试时间2014.11研究生姓名学号所在学院任课教师中国矿业大学研究生院培养管理处印制其中0θ>未知，今有样本，试求θ的矩估计和最大似然估计。
二、（10分）设总体2(,)X N μσ ，12,,n X X X 为X 的样本，判断样本均值是否为μ的有效估计量。
三、（10分）设总体2(,)X N μσ ，2,μσ均为未知参数，设12,,n X X X 为X 的样本，求μ的置信水平为1α-的置信区间的长度L 的平方的数学期望和方差。
四、（15分）已知某炼铁厂在生产正常情况下，铁水的含碳量的均值为7，方差为0.03。
现在测量10炉铁水，算得其平均含碳量为6.97，样本方差为0.0375，假设铁水含碳量服从正态分布，试问该厂生产是否正常？(0.05)α=。
已知220.0250.975(9)19.023,(9) 2.7,(1.96)0.975χχ==Φ=五、（15分）为了研究赌博与吸烟之间的关系，美国某地调查了1000个人，他们赌博与吸烟情况如下表试问：赌博与吸烟是否有关(0.01)α=已知20.01(1) 6.63χ=六、（15分）（12分）一批由同一种原料织成的布，用不同的印染工艺处理，然后进行缩水处理。
假设采用A 、B 、C 三种不同的工艺，每种工艺处理4块布样，测得缩水率（单位：%）的数据如表1所示。
根据这些数据，完成下列问题： 填写下列方差分析表（表2），给出具体的计算表达式，并根据方差分析表以显著水平05.0=α来判断不同的工艺对布的缩水率的影响是否有显著差异？已知26.4)9,2(=αF 。
表1表2解： 表1表2解:完成方差分析表如上由05.0=α知26.4)9,2(=αF , F= 5.366>26.4)9,2(=αF , 可认为有显著差异.(1)画出散点图,求经验线性回归方程。
(2)求ε的方差2σ的无偏估计，并进行线性回归的显著性检验。
硕⼠⽣《数理统计》例题及答案《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试⽤矩法和极⼤似然法估计其中的未知参数β。
解：（1）矩法由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(222222222=+-=-=-+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2=（2）极⼤似然法∑===-=-∏ni i i x nni x e21111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122?β2. 设总体X 的概率密度函数为：<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;(其中β>0，现从总体X 中抽取⼀组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别⽤矩法和极⼤似然法估计其未知参数βα和。
解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβαααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-??x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1 )()(222][)(1222222βαβαβαβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+??EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令==2S DX X EX 即==+22SXββα故063.0?,116.2?===-=S S X βα（2）极⼤似然法 )(111),;(αββ===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=??>=??X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，⼜12,,,n X X X α≥L所以05.2?)1(==X α令0ln =??βL 得126.0?)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）⽤矩法估计其未知参数θ；（2）⽤极⼤似然法估计其未知参数θ。
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。
4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。
5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。
中国矿业大学研究生数理统计复习中国矿业大学硕士05级统考试卷数理统计时间：120分钟        2021-12-17 学院专业学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（10分）设总体X服从正态分布N(12,4)，今抽取容量为16的一个样本X1,X2,L,X16，试问：（1）（4分）样本均值X的绝对值大于13的概率是多少？（2）（6分）样本的极大值X(16)=max(X1,X2,L,X16)（最大顺序统计量）大于16的概率是多少？二．（12分）设总体X的概率分布为X-10 12p其中θ(0θθ22θ(1 θ)θ2 1 2θ1)是未知参数,利用总体X的如下样本值 21 0 -1 02 2 -1 1（6分）求θ的最大似然估计值。
（1）（6分）求θ的矩估计值；（2）三．（15分）设X1,X2,Λ,Xn是从总体X抽取的一个样本，X的密度函数为x1θe,x0f(x)= θ0,x≤0,θ0证明样本均值X是未知参数θ的无偏、有效、一致估计量；四．（12分）设X1,X2,Λ,Xn是来自正态总体N(μ,σ)的样本, 方差σ2未知，总体均值μ的置信度为1 α的置信区间的长度记为L，求E(L)。
五．（15分）为研究矽肺患者肺功能的变化情况, 某医院对I,II期矽肺患者各25，16名测其肺活量, 得到I期患者的平均数为2700毫升, 标准离差为150毫升; II期患者的平均数为422830毫升, 标准离差为120毫升. 假定第I,II期患者的肺活量服从正态分布N(μ1,σ12)、2N(μ2,σ2), 试问在显著性水平α=0.05下, 第I,II期矽肺患者的肺活量有无显著差异？。
一、（满分14分）设总体)4,10(N ,921,,,X X X 是总体X 的一个样本。
记∑==nk k X n X 11(1) 求 }1|10{|>-X P ;(2) 求 }.12),,,{max(921>X X X P二、（满分14分）在甲、乙两台车床上加工直径为20.5mm 的轴，得数据如下：设甲车床上加工轴的直径21~(,)X N μσ，乙车床上加工轴的直径22~(,)Y N μσ，且X 与Y 相互独立. 在显著性水平0.05α=下，检验两台车床加工轴的直径是否有显著性的差异？三、（满分14分）设总体),(2σμN ,2σμ和均未知，现得到样本值如下：2.6 ，2.7 ，2.8 ，3.0 ，3.1 ，3.2求2σμ和的置信水平为0.95的置信区间.四、（满分10分）A 市某期对奖储蓄中奖号码如下：在显著性水平0.05α=下，检验器械或操作是否有问题？ 五、（满分16分）设12,,,n X X X 是正态总体),(θμN 的一个样本，且μ已知.(1) 求未知参数θ的极大似然估计量θˆ； (2) 验证θˆ是否为未知参数θ的有效估计量.六、（满分16分）某工厂在分析产量x 和成本y 时，选取10个生产小组作样本，得到数据如下：应用线性模型122,,,,~(0,)n y a bx N εεεεεσ=++⎧⎨⎩为其子样（1） 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；（2） 在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0=b H .七、(满分16分) 将抗生素注入人体会产生抗生素与人体蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下面列出5种常用的抗生素注入牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合百分率。
试在显著性水平0.05α=下,检验抗生素与血浆蛋白质结合百分率有无显著性的差异.附注：计算中可能用到的数据如下：0.950.950.9752220.950.0250.975(1,8) 5.32,(4,15) 3.06,(18) 2.101(9)16.9,(5)0.831,(5)12.833F F t χχχ======6319.0)8(,571.2)5(,306.2)8(05.0975.0975.0===r t t(1)0.8413,(1.5)0.9332Φ=Φ=。
中国矿业大学2010 级硕士研究生课程考试试卷（答案）考试科目数理统计考试时间2010.11研究生姓名学号所在学院任课教师中国矿业大学研究生院培养管理处印制一、（15分）设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，~()i i X πλ， 12++n Z X X X =求：（1）求出泊松分布的特征函数。
（2）利用特征函数，证明 12~()n Z πλλλ+++答案：1、根据特征函数的定义()()itXx f t E e==0()itk i e p X k ∞==∑=0!k itki e ek λλ-∞=∑=0!k itki e ek λλ∞-=∑=0()!it k i e e k λλ∞-=∑=it e e e λλ-=it e e λλ--------------------------------------------------8分2、12()()()n it X X X z f t E e+++==1it i ine i eλλ-=∏=12122()(it n e eλλλλλλ++-++）由唯一性定理（反演定理）得出12~()n Z πλλλ+++-------------------------------------7分二、（20分，每小题10分）1、张先生是一家外贸公司（乙方）的市场部经理，正在做一笔转手贸易，计划从甲方购买货物转卖给丙方，三方一致要求不合格率（p ）不得超过5%，且合格率的判定方法按照假设检验的原理进行，关于原假设的设置，同甲方的合同约定，0:5%H p ≤ ；而同丙方的合同约定，0:5%H p ≥ 。
经过三方共同抽样，在200件样品中，发现9件不合格。
根据以上资料，用假设检验的原理确定张先生这笔生意的前景，并对造成该结果的原因进行分析。
（显著性水平0.05α=）解答：对于非正态总体，在大样本情况下，(0,1X p t N -=−−−→近似）对于正态总体2222111()(1)nnniii i i i XX X nX X nX nX X ===-=-=-=-∑∑∑22199()200(1)(1)2002000.042739112001nii XX nX X s n n =---====---∑ 0.05 1.65z=0.3420X p t -===-------------------6分对于甲乙两方：0:5%H p ≤ 否定域 1.65z >,显然接受原假设，即合格。
中国矿业大学（北京）2010年研究生 《数理统计》课程考试试题（不全）（注：本试卷中每小题都必须有详细的推导过程。
）一、（满分18分，每小题9分）设X 1，X 2，…，X n 是正态总体N （m ，s 2）的简单随机样本，11n i i X X n ==∑，2*11()1n i i S X X n ==--∑分别是样本均值与样本方差修正值，随机变量1n X +~ N （m ，s 2）且与(X 1，X 2，…，X n )相互独立。
试求：（1）求1n X Y X μσ+-=+的特征函数并根据特征函数求Y 的期望，（2）求T =二、（满分16分，每小题8分）已知X 1，X 2，…，X n 是方差为λ的poisson 分布的一组样本，参数λ未知，（1）求参数λ的矩估计 λ，并判断其是否为参数λ的无偏估计。
（2）判断矩估计 λ是否是参数估计λ的有效估计？三、（满分10分）设有一批调味料，设袋净重服从N （m ，s 2），测得8袋的重量分别为12.1，11.9，12.4，12.3，11.9，12.1，12.4，12.1，试求参数m 的置信水平为0.99的置信区间。
四、（满分10分）今有两台机床加工统一零件，分别取6个及9个零件测定口径，数据记为（x 1，x 2，…，x 6）以及（y 1，y 2，…，y 9），算得61ii x=∑=204.6，621ii x=∑=6978.93；91ii y=∑=370.8，921ii y=∑=15239.17假定零件口径直径服从正态分布，给定显著性水平α=0.05，问这两台机床加工的零件口径的方差有无显著性差异？对每个（i x ，i y ），都有2~N i i ii y a bx εεσ=++（0，）,i=1,2,...,10,a,b 是未知的回归系数，s2是未知的方程。
（1）求a,b 的最小二乘估计以及回归方程。
（2）求b 的置信水平为0.95的区间估计。
（3）在显著性水平0.05下，检验原假设H 0：b=0. （4）求y 的置信水平为0.95的预测区间。
数理统计期中考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的度量？A. 方差B. 标准差C. 平均值D. 极差答案：C2. 在统计学中，正态分布曲线的对称轴是什么？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 标准差答案：A3. 以下哪个不是描述数据离散程度的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均值D. 极差答案：C4. 假设检验中，拒绝原假设意味着什么？A. 原假设是正确的B. 原假设是错误的C. 无法确定原假设的正确性D. 需要更多的数据答案：B5. 以下哪个统计量用于衡量两个变量之间的相关性？A. 均值B. 标准差C. 相关系数D. 方差答案：C6. 以下哪个选项是描述数据分布形状的度量？A. 平均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布中心位置的度量？A. 方差B. 标准差C. 中位数D. 众数答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布集中程度的度量？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：B9. 以下哪个选项是描述数据分布的峰值的度量？A. 方差B. 标准差C. 峰度D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布的偏斜程度的度量？A. 方差B. 标准差C. 偏度D. 峰度答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 一组数据的均值是50，标准差是10，则这组数据的方差是______。
答案：1002. 如果一组数据服从正态分布，那么它的均值和中位数是______。
答案：相等的3. 相关系数的取值范围是______。
答案：-1到14. 在进行假设检验时，如果p值小于显著性水平α，则我们______原假设。
答案：拒绝5. 一组数据的偏度为0，说明这组数据是______。
答案：对称的三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是置信区间，并给出其计算方法。
答案：置信区间是用于估计一个未知参数的区间，它表明了在给定的置信水平下，参数值落在这个区间内的概率。
数 理 统 计时间：120分钟 2006-12-24一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）1．12,,,n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，其中参数μ和2σ均未知，对于参数μ的置信度为1α-的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：α：第一类错误 β：第二类错误（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n 对它们的影响。
二、（12分）设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本， 1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度）？2．证明12X X +和12X X -相互独立；3．假定0μ=，求212212()()X X X X +-的分布。
三、（12分）设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最小顺序统计量(1)12min(,,,)n X X X X = ， 1．求随机变量(1)X 的概率密度；2．设12,,,n Y Y Y 是来自总体(1)X 的一个样本，求样本方差2211()1ni i S Y Y n ==--∑的期望。
四、（12分）设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f xθ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，1．求θ的矩估计量1θ∧；2．求θ的最大似然估计量2θ∧；3．1θ∧和2θ∧是不是θ的无偏估计量（说明原因）？五、（12分）假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s ==假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i iX i μσ=，2．求12μμ-的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。
数理统计期中考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪项是描述数据离散程度的统计量？A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D2. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 均匀分布D. 二项分布答案：D3. 以下哪个公式是计算样本方差的？A. \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \)B. \( s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)C. \( \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} \)D. \( \mu = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} \)答案：B4. 以下哪个统计量用于衡量两个变量之间的相关性？A. 标准差B. 相关系数C. 回归系数D. 均值答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一组数据的均值是50，中位数是45，众数是40，这组数据的分布是_____。
答案：右偏分布2. 如果一个随机变量服从标准正态分布，那么其均值μ和标准差σ分别是_____和_____。
答案：0，13. 在回归分析中，如果自变量X的增加导致因变量Y的增加，那么X和Y之间的相关系数是_____。
答案：正数4. 假设检验的目的是确定一个统计假设是否_____。
答案：成立三、计算题（每题10分，共30分）1. 已知样本数据：2, 4, 6, 8, 10，求样本均值和样本方差。
答案：均值 = 6，方差 = 82. 假设一个二项分布的随机变量X，其成功概率为0.5，试求X=2的概率。
答案：\( P(X=2) = C_4^2 \times 0.5^2 \times 0.5^2 = 0.25 \)3. 已知两个变量X和Y的相关系数为0.8，求X和Y的线性回归方程。
答案：需要更多信息，如X和Y的均值和方差，才能求解。
2（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。
（2）为y 最高阶导数为1，而y 2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。
（3）果y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线性方程。
3. 提示：所满足的方程为y ``－2 y `+y=0 4．直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。
5.5.方程变形为方程变形为dy=2xdx=d(x 2),),故故y= x 2+C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。
因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。
微分方程的解又称为（一个）积分。
7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
8．y `＝f(x,y)f(x,y)主要特征是主要特征是f(x,y)f(x,y)能分解为两个因式的乘积，能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,x,另一另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，一样，p,q p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
9（1）积分得x=-cosx+c（2）将方程变形为x 2y 2dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2xdx ，当xy ≠0,y ≠1时积分得22x ＋y+ln 1-y +x1=c(3)(3)方程变形为方程变形为y dy +1＝xxsin cos dx,dx,当当y ≠-1,sinx ≠0时积分得y=Csinx-1(4)(4)方程变形为方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx,exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得积分得exp(y)exp(y)＝＝21exp(2x)exp(2x)＋＋C (5)(5)当当y ≠±1时，求得通积分ln11+-y y =x+c (6)(6)方程化为方程化为x 2ydx=(1- y 2)(1+x 2)dx 或221x x +dx=y y 21-dy,dy,积分得积分得x －arctgx arctgx－－ln y +21y 2=C(7)(7)当当x(y 2--1)≠0时，方程变形得x x 12+dx+12-y ydy =0 两边积分并化简得 y 2＝1＋2xCexp(-x 2)10.10.二元函数二元函数f(x,y)f(x,y)满足满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,f(x,y),r.>0,则称则称f(x,y)f(x,y)为为m 次齐次函数。
成绩中国矿业大学2012级硕士研究生课程考试试卷考试科目：数理统计考试时间：2012年12月研究生姓名：学号：所在学院：任课教师：中国矿业大学研究生院培养管理处印制1题号一二三四五六七总分得分阅卷人可能用到的一些数值：χ2 0.05(5)=11.07;χ20.05(6)=12.59;χ20.025(24)=39.36;χ20.975(24)=12.40;t0.025(10)=2.228;t0.025(11)=2.201;t0.025(12)=2.179;t0.025(24)=2.064;t0.025(25)=2.060; F0.01(2,6)=10.92,F0.01(3,6)=9.78.一：名词解释(5×4′)(1):χ2分布(2):t分布(3):F分布(4):参数估计(5):假设检验二：(10分)在某班级中,随机抽取25名同学测量其身高,算得平均身高为170cm,标准差为12cm.假设所测身高近似服从正态分布,求该班学生平均身高µ和身高标准差σ的置信度为0.95置信区间.2三：(15分)设炮弹着落点(x,y)离目标(原点)的距离为z=√x2+y2,若设x和y为独立同分布的随机变量,其共同分布为N(0,σ2),可得z的分布密度为：p(z)=zσ2exp{−z22σ2},z>0,这个分布称为瑞利分布.(1):设z1,z2,···,z n为来自上述瑞利分布的一个样本,求σ2的极大似然估计,证明它是σ2的无偏估计；(2):求瑞利分布中σ2的费希尔信息量I(σ2).3四：(10分)将一颗骰子掷120次,得如下数据：出现点数123456观察次数161927172318试问这颗骰子是否是均匀,对称(取α=0.05)?五：(15分)下表给出了12个父亲和他们长子的身高分别为(x i,y i),(i=1,2, (12)单位:英寸,这样一组观察值：父亲的身高x656367646862706668676971儿子的身高y686668656966686571676870已知：¯x=200/3,∑12i=1x2i=53418,∑12i=1x i y i=54107.(1):求y对x的线性回归方程;(2):用t检验去检验线性回归方程是否显著？(显著性水平α=0.05);(3):求当儿子身高x=65.5时,父亲身高y的置信度为95%置信区间.4六：(15分)为提高某种合金钢的强度,需要同时考察碳(C)及钛(Ti)的含量对强度的影响,以便选取合理的成分组合使强度达到最大.在试验中分别取因素A(C含量%)3个水平,因素B(Ti含量%)4个水平,在组合水平(Ai,Bj),(i=1,2,3,j=1,2,3,4)条件下各炼一炉钢,测得其强度数据见下表:B水平与A水平B1(3.3)B2(3.4)B3(3.5)B4(3.6)A1(0.03)63.163.965.666.8A2(0.04)65.166.467.869.0A3(0.05)67.271.071.973.5试问:碳与钛的含量对合金钢的强度是否有显著影响(α=0.01)?已知总离差平方和为Q T=113.29,因素A的离差平方和为Q A=74.91.5七：(15分)证明下述结论：已知χ2(n )分布的概率密度函数为：f (y )=12n/2Γ(n/2)y n/2−1e −y/2,y >0;f (y )=0,y ≤0其中,Γ(α)=∫+∞x α−1e −x dx (α>0)是Γ(伽马)函数.(1):设F (x )为连续型随机变量X 的分布函数,则Y =F (x )∼U (0,1);(2):设X 1,···,X n 是连续型随机变量X 的n 次观察值,F (x )是X 的分布函数,则−2∑n i =1ln F (x i )∼χ2(2n ).6。
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0,1)，则下列随机变量中服从标准正态分布的是（）A X ＋ YB X YC X²＋ Y²D （X ＋ Y)²答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0,1)，所以 X Y 也服从正态分布，且期望为 0，方差为 2，即 X Y 服从 N(0, 2)，标准化后服从标准正态分布。
2、设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ 未知，σ² 已知，（X₁, X₂,， Xₙ) 为来自总体 X 的样本，则μ 的置信度为1 α 的置信区间为（）A （ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）B （ˉ X tα/2 （n 1) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n 1) S/√n ）C （ˉ X zα/2 S/√n, ˉ X ＋zα/2 S/√n ）D （ˉ X tα/2 （n) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n) S/√n ）答案：A解析：当总体方差σ² 已知时，使用正态分布来构造置信区间，μ 的置信度为1 α 的置信区间为（ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）。
3、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝｛ 2x, 0 ＜ x ＜ 1; 0, 其他｝，则 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝（）A 075B 05C 025D 1答案：C解析：P{05 ＜ X ＜ 15} ＝∫₀₅¹ 2x dx ＝ x²₀₅¹＝ 1 025 ＝ 075 ，但 15 不在定义域内，所以 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝ 075 05 ＝ 025 。
4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，且 E(X) ＝μ，D(X)＝σ²，则样本均值ˉ X 的方差为（）A σ²B σ² ／ nC nσ²D σ² ／√n答案：B解析：样本均值ˉ X 的方差为D(ˉ X) ＝ D( （1 ／n) ∑ Xi ）＝（1／n²) ∑ D(Xi) ＝σ² ／ n 。
第1页(共3页)中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》试卷(A 卷)得分：注意：可能用到的上分位点0.0250.051.96, 1.65u u ==一、填空题（每空3分，共30分）1.将3个小球随机地放入4个大杯子中，则3个球恰好在同一个杯子中的概率为.2.设()0.4,()0.3P B P A B =-=，则()P A B =.3.设随机变量(2,9)X N ，则{58}P X ≤≤=.4.随机变量X 服从参数为1泊松分布，Y 并服从（0,1）上的均匀分布，且X 、Y 相互独立，则(2)E X Y -=，(2)D X Y -=。
5.设总体(,0.09)X N μ ，129,,,X X X 是来自X 的样本，已知 4.2x =，则μ的置信度为95%的置信区间为直接使用相应的上分位点表示）.6.设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，μ为总体均值，令1ˆniii c Xμ==∑，其中12,,,n c c c 为非负常数.若ˆμ为μ的一个无偏估计量，则1ni i c ==∑.7.设X 和Y 是两个连续型随机变量，且3(0,0),7P X Y ≥≥=4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=，则(0|0)P X Y <≥=，(max(,)0)P X Y ≤=。
8.设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从分布。
二、（12分）某产品只由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的5%，80%，15%，其次品率分别为0.03，0.01，0.02，求（1）从这批产品中任取一件是次品的概率；（2）已知从这批产品中随机取出的一件为次品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？题号一二三四五六七八得分阅卷人…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第2页(共3页)三、（12分）已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)01()0cx x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，（1）确定常数c ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）求12P X ⎧⎫<⎨⎩⎭；（4）设21Y X =+，求Y 的概率密度函数.四、（12分）设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为求（1）(,)X Y 的边缘分布律{}i P X x =，{}j P Y y =（直接填入上表）；（2）求{11}P X Y =-=；（3）Z XY =的分布律.（请将后两问的解答写在右上方的空白处）五、（12分）设随机变量),(Y X 的概率密度为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,（1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立；（2）求(,)COV X Y .…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第3页(共3页)六、（8分）一个工厂生产一个系统由100个独立起作用的部件构成，在该产品运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为使整个产品起作用，至少要有85个部件正常工作，试用中心极限定理估算整个系统起作用的概率。
复习题：1设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本， 1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度）？)1,0(~N X i σμ-且独立，)(~)()(1212122n X X ni i ni i χσμμσ∑∑==-=-2．假定0μ=，求212212()()X X X X +-的分布。
)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -)1,0(~221N X X σ+,)1,0(~221N X X σ-)1(~)2(221χσX X +,)1(~)2(221χσX X -又221)2(σX X +和221)2(σX X -相互独立，故212212()()X X X X +-＝)1,1(~1/)2(1/)2(221221F X X X X σσ++ 2设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺序统计量),,,max(21)(n n X X X X =，求随机变量)(n X 的概率密度；解：⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F而),,,max(21)(n n X X X X =的分布函数为})),,,{max(}{)(21)()(z X X X P z X P z F n n X n ≤=≤=}),,,{21z X z X z X P n ≤≤≤= n z F )]([=()()z F z f n n XX )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<<z 3设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01)(θθx x fn X X X ,,,21 为样本，),,,max(21)(n n X X X X =，1）求随机变量)(n X 的概率密度；2）问{}nX X X ,,,max ˆ21 =θ是否为θ的无偏估计量？ 答 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01)(~θθx x f X ,其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)({}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤==≤=θθθθy y y y y F y X X X P y F n nn ,10,)(0,0)]([),,,(max )(21ˆ⎪⎩⎪⎨⎧<<==--其它,00,)()]([)(11ˆθθθy ny y f y F n y f n n nθθθθθθ≠+===⎰⎰-+∞∞-1)()ˆ(01ˆn ndy ny ydy y yf E nn ， 不是无偏估计4设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f x θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，1．求θ的矩估计量1θ∧；矩估计法:1)(-==⎰∞--θθθdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧；最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑===---=∏ni ii x n x ni eeL 1)(1)(θθθ，θθ≥=≥≤≤i ni i x n i x 1min ,,1,即按似然估计的思想，当 似然函数关于θ是增函数，故ix min ˆ2=θ。
θ的最大似然估计量为iX min ˆ2＝θ。
5设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=001)(_x x ex f xθθ 其中0>θ为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下： 1150，1190，1310，1380，1420求电池的平均寿命θ的最大似然估计值。
解 似然函数∑==ni ix neL 11_1)(θθθ， ∑=--=ni ixn L 11ln )(ln θθθ令01)(ln 12=+-=∑=ni ixn L dx d θθθ1290)14201380131011901150(51ˆ=++++==x θ6在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得样本均值566.x =分，样本标准差15=s 分。
问在水平050.=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 解 设考生的成绩为X ，则),(N ~X 2σμ010070μμμμ≠==:H ,:H检验统计量n/s x t 0μ-=，拒绝域)n (t t 12->α算得03012354136157********.)(t ./.t .=<=-=可以认为全体考试的成绩为70分 .7设n X X X ,,,21 是总体)(~λπX 的样本, 证明对于任意常数α, 统计量X ,2S , 2)1(S X αα-+都是参数λ的无偏估计量.证 由于)(~λπX , 因此由例1和例2可得λ==)()(X E X E , λ==)()(2X D S E ,())()1()()1(22S E X E S X E αααα-+=-+λλααλ=-+=)1(,所以22)1(,,S X S X αα-+都是λ的无偏估计量.8设总体X 的数学期望和方差都存在, 321,,X X X 是X 的样本, 证明统计量632ˆ3211X X X ++=μ, 442ˆ3212X X X ++=μ, 333ˆ3213X XX ++=μ. 都是总体均值μ=)(X E 的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效.解 设2)(σ=X D , 由于μμμμμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=613121632)ˆ(3211X X X E E , μμμμμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=414121442)ˆ(3212X X X E E , μμμμμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=313131333)ˆ(3213X X XE E . 故321ˆ,ˆ,ˆμμμ都是总体均值μ的无偏估计量. 又由于 222232111873619141632)ˆ(σσσσμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D , 222232128316116141442)ˆ(σσσσμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D , 2222321331919191333)ˆ(σσσσμ=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=X X X D D .因此)ˆ()ˆ()ˆ(123μμμD D D <<, 估计量3ˆμ更有效. 9设总体X 服从正态分布)9,(μN ，n X X X ,,,21 来自X 的样本1216,,,X X X ，则当n____＝90______时，1.0][2≤-μX E10设n X X X 221,,, 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则当c ＝n21时，∑=+-ni i i n X X c 12)(为2σ的无偏估计。
11设621,,,X X X 来自总体)1,0(N 的样本，设26543221)()(X X X X b X X a Y +++++=，则当a ＝ b ＝ ，Y 服从自由度为____的_______分布。
12),(2σμN ，未知已知2σμ，n X X X ,,,21 来自X 的样本。
（1）求2σ的矩估计和最大似然估计。
（2）估计量∑=-=n i i X n S 122)(1μ是不是2σ的优效估计？为什么？13]1,1[~θθ+-U X ,0>θ未知，设n X X X ,,,21 是从总体X 抽取的一个样本，n x x x ,,,21 是样本观察值，（1）求θ的最大似然估计量θˆ； （2）θˆ是不是θ的无偏估计量？为什么？14已知某炼铁厂的铁水含碳量（％）X 在正常情况下服从),(2σμN , 现测5炉铁水，其碳含量分别如下：4.28， 4.40 ，4.42， 4.35， 4.37 （％） 试求σ的置信度为0.95的置信区间。
15已知我国14岁女生的平均体重为43.38kg ，从该年龄的女生中随机抽取10名运动员测其体重，得39 36 43 43 40 46 45 45 42 41经算95.37,422==s x ，问这些运动员的平均体重与14岁女生的平均体重的差异是否显著？（)05.0=α(14岁女生的体重),(~2σμN X ). 16测量20位青年男子和20位老年男子的血压值，青年男子：总体),(~211σμN X 经算3684.193,12821==s x ， 老年男子：总体),(~222σμN Y 经算6842.937,113721==s y ， 问老年男子血压值个体间的波动是否显著地高于青年男子（)05.0=α）17我校硕士研究生《数理统计》课实行选课、考教分离制，由全校统一命题进行考试，试卷批改也是集体阅卷、流水进行，成绩出来以后要进行多项分析，现从参加该课程考生中经计算：1386x = ，2381x = ，3377x = ，4373x = ；1517x =，75.85x =，11585141512==∑∑==i j ij x SS 设各成绩值总体服从同方差的正态分布，（1）试仅从学生成绩角度用方差分析法检验各个教师的教学水平是否有明显差异？（2）求参数4μ的点估计；（3）求参数13μμ-的0.95的置信区间。
(0.05)α=y x αβε=++，()2~0,N εσ并算得9130.3i i x ==∑，9191.11i i y ==∑，91345.09i i i x y ==∑，921115.11ii x ==∑，9211036.65i i y ==∑。
1．证明β都是12,,,n Y Y Y 的线性组合； 2．线性回归方程 y x αβ=+； 3．对回归效果的显著性进行检验（显著性水平0.05α=）。
