专题：对数函数知识点总结及类型题归纳

对数的知识点归纳总结一、对数的基本概念1. 对数的定义对数是指数函数的逆运算。

给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。

其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。

对数的值可以是实数，也可以是复数。

2. 基本性质（1）对数的底为正实数且不等于1。

（2）对数的真数为正实数。

（3）对数的值可以是实数，也可以是复数。

（4）对数函数为单调增函数。

二、对数的性质1. 对数的运算性质（1）对数的乘法性质：log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)（2）对数的除法性质：log_a(m) - log_a(n) = log_a(m/n)（3）对数的幂运算性质：log_a(m^n) = n*log_a(m)（4）对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)2. 对数的性质（1）log_a(a) = 1（2）log_a(1) = 0（3）log_a(m) = -log_a(1/m)（4）log_a(a^x)=x（5）a^log_a(x) = x3. 对数的常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(x)，常用于科学计算。

自然对数是以自然数e为底的对数，记作ln(x)，在微积分和概率论中有着广泛的应用。

三、对数的应用1. 对数在科学计算中的应用对数在科学计算中有着广泛的应用，特别是在大数据处理和模型拟合中。

通过对数据取对数，可以将呈指数增长或减小的数据转化为线性增长或减小的数据，方便进行线性回归分析或模型拟合。

2. 对数在工程学中的应用对数在工程学中有着重要的应用，特别是在电路设计、信号处理和控制系统中。

对数可用于描述电压、信号和控制变量的倍增和倍减关系，方便工程师进行设计和分析。

3. 对数在经济学中的应用对数在经济学中有着广泛的应用，特别是在复利计算和经济增长模型中。

对数可用于描述资金的复利增长和经济指标的增长趋势，方便经济学家进行分析和预测。

对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。

专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。

|一般的,函数y=a x与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =？(5) y=lg11-x (6) y=x 3log=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数的定义域是5.函数y ＝log 2(32－4x)的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________{7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。

8.求下列函数的定义域、值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．9.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）定义域10.设f(x)=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为11.函数f(x)=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为12.函数f(x)=229)2(1x x x g --的定义域为 ；`13.函数f （x ）=x1ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),(1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围、（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围（3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是'20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

１对数函数知识点总结及练习题1. 定义：设0a >且1a ≠﹐0x >,则函数()log a y f x x ==称为以a 为底数的对数函数。

2. 函数图形：对数函数y ＝log a x 的图形为一曲线﹒(1)通过定点(1,0)﹒(2)函数图形在y 轴右方(定义域：0x >)﹐值域y 为实数﹒(3)渐近线为y 轴﹒(4)1a >时﹐曲线凹向上，严格递增﹒01a <<时﹐曲线凹向上，严格递减﹒3. 函数图形的特性：(1) y ＝log a x 与1log a y x =的图形对称于x 轴﹒(2)指数函数 y ＝a x 与对数函数 y ＝log a x 的图形对称于直线 y ＝x 。

【练习】 1. 将下列函数 f （x ）＝2x ，g （x ）＝（21）x ，h （x ）＝log 2x ，k （x ）＝log 21x 的图形画在同一个直角坐标平面上，则这些函数图形共有几个交点？ 【5】2. 下图(左)是 y ＝log a x 的图形，下列选项哪些是不可能的？ 【ACDE 】(A) a ＝－2 (B) a ＝2 (C) a ＝21 (D) y ＝log a x 与 x 轴的交点为（2，0） (E) y ＝log a x 与 x 轴会有两个交点。

3. 上图(中)的曲线表 y ＝log a （x －k ）的函数部分图形，其中 a ，k 为常数，虚线为其渐近线，点 A 为曲线与 x 轴之交点，点 B 为渐近线与 x 轴之交点，请选出正确选项？(A)渐近线平行 y 轴 (B) 0＜a ＜1 (C) B （k ，0） (D)AB = 1 (E)函数曲线与直线 y ＝－200 无交点。

【ABCD 】4. 如上图(右)，各对数函数的底数，分别为 a ，b ，c ，d ，下列哪些正确？(A) a ＞b ＞1(B) b ＞a ＞1 (C) b ＞c ＞1 (D) 1＞c ＞d ＞0 € 1＞d ＞c ＞0。

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。

对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。

（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。

对数与对数函数知识点及题型归纳总结对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲⼀、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .⼆、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常⽤这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a题型归纳及思路提⽰题型 1 对数运算及对数⽅程、对数不等式思路提⽰对数的有关运算问题要注意公式的顺⽤、逆⽤、变形⽤等 .对数⽅程或对数不等式问题是要将其化为同底，利⽤对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这⾥必须注意对数的真数为正 . ⼀、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 32lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析先将对数不等式化为同底的形式，再利⽤单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，⼜ 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x ⼆、对数⽅程例 2.59 解下列⽅151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析利⽤对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，⾸先⽅程中的 x 应满⾜x 10，原⽅程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从⽽ x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原⽅程的解 .1(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是⽅程的解 . 评注解对数⽅程⼀定要注意对数⽅程成⽴条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利⽤对数函数的单调性来⽐较对数的⼤⼩，通常借助 0和 1作为分界点解析因为y log 5 x 在（0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )C.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 ⼤纲全国理 9）已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提⽰研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和⽅法问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维⽅向、对数函数的图像例 2.62如图 2-15所⽰，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像，对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x变式 1 已知函数 f （x ）为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所⽰，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标⼤⼩为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能⼀次为 2,3, , .故选 B .32评注对数函数在同⼀直⾓坐标系中的图像的相对位置与底数⼤⼩的关系如图 2-16 所⽰，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第⼀象限的图像， a 越⼤，图像越靠近 x 轴； a 越⼩，图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像⼤致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点⼆、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a 上的最⼤值与最⼩值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最⼤值与最⼩值⼜ f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2. (log 2 x)2解析因为对数函数的底 a 1 ，所以函数f (x) log a x 在区间a,2a 上单调递增，故 f (x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最⼤值是最⼩值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最⼤值和最⼩值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x22解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最⼤值与最⼩值的差为题型 3 对数函数中的恒成⽴问题思路提⽰ (1)利⽤数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离⾃变量与参变量，利⽤等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成⽴ .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所⽰，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x340 在 ,1 上恒成⽴ .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 a。

4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。

对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。

对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学中有着广泛的应用。

本文将从基础定义、性质、常见变形以及实际应用等方面，进行对数函数常用知识点的汇总介绍。

一、基础定义1.对数的定义：对于任意正数a和正数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作log_a(b) = x。

2.常用对数和自然对数：当底数a为10时，称为常用对数，记作log(b)；当底数a为自然常数e时，称为自然对数，记作ln(b)。

3.对数函数的定义：对于任意正数a（a≠1），对数函数y = log_a(x)表示一个数x的以a为底的对数。

二、性质总结1.对数函数的定义域：对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)。

2.对数函数的值域：对数函数的值域为实数集R。

3.对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数的图像上升；当0<a<1时，对数函数的图像下降；对数函数的图像经过点(1,0)。

4.对数函数与指数函数的关系：对数函数y = log_a(x)与指数函数y =a^x是互为反函数的关系。

三、常见变形1.对数函数的平移：对数函数y = log_a(x)的图像向左平移h个单位，可表示为y = log_a(x-h)；向右平移h个单位，可表示为y = log_a(x+h)。

2.对数函数的伸缩：对数函数y = log_a(x)的图像纵向伸缩k倍，可表示为y = log_a(kx)；横向伸缩k倍，可表示为y = log_a(x/k)。

3.对数函数的反转：对数函数y = log_a(x)的图像关于y = x对称。

四、实际应用对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的实际应用场景：1.音乐和声音的测量：声音的强度通常使用分贝（dB）来表示，而分贝就是以对数函数为基础进行计算的。

2.化学中的pH值：pH值是衡量溶液酸碱性的指标，它是以对数函数为基础计算的。

3.经济学中的财富分配：洛伦兹曲线和基尼系数中，对数函数被用来度量收入和财富的不平等程度。

对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数， 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知： 当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。

对数及对数函数一．知识梳理 （一）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是ba ＝ N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N ＝ b 其中a 称对数的底，N 称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，log e N ，记作N ln ；3）指数式与对数式的互化 ba ＝ N ⇔log a N ＝b ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log 10a =；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=；3）∈=n M n M a na (log log R ）。

④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。

（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2三．【例1】比较下列各组数的大小：（1）3log 2与()23log 3x x -+（2） 1.1log 0.7与 1.2log 0.7（3）32log 3与56log 5【变式训练1】比较大小：4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0【变式训练2】已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）.A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是 （ ） A 、0lg11100==与 B 、3131log 31272731-==-与 C 、39921log 213==与 D 、5515log 15==与【变式训练1】.若()125log -=-x，则x 的值为 （ ）A 、25-B 、25+C 、2525+-或D 、52- 【变式训练2】.若()log lg ,x ______x ==20则【变式训练3】=-+7log 3log 49log 212121 。

对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总一、定义与性质1. 对数函数的定义对数函数是指定义域在正数集合上的函数，它的函数值是指数函数的反函数。

通常用符号 $\log$ 表示对数函数。

2. 对数函数的性质- 对数函数的图像是一条倾斜的曲线，与指数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。

- 对数函数具有单调递增性质，即随着自变量的增加，函数值也会增加。

- 对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合。

二、常见题型1. 对数运算题型例题：计算 $\log_3 27$。

解析：由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。

2. 对数方程题型例题：求解方程 $2^x = 8$。

解析：将 $8$ 表示成 $2$ 的幂次形式得到 $8 = 2^3$，所以$2^x = 2^3$，即 $x = 3$。

3. 对数不等式题型例题：求解不等式 $\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq 2$。

解析：根据对数定义，$\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq2$ 可转化为 $\frac{x}{3} \geq 2^2$，即 $\frac{x}{3} \geq 4$。

解得$x \geq 12$。

三、注意事项1. 在计算对数函数的值时，要注意指数与对数的关系，充分运用指数函数和对数函数的定义和性质。

2. 在解对数方程和不等式时，要注意将题目中的式子转化为指数形式，再进行相应的运算。

以上是对数函数专题中含参对数函数完整版题型汇总的简要内容。

对数函数作为数学中常见的函数之一，在应用中具有广泛的用途。

掌握对数函数的基本定义、性质和解题方法，有助于提高数学问题的解决能力。

根据对数函数知识点及题型归纳总结一、对数函数的基本概念- 对数函数是指以某个正数为底数的幂运算与常用对数的函数关系。

- 常用对数是以10为底的对数，通常用符号log表示。

- 自然对数是以常数e（约等于2.718）为底的对数，通常用符号ln表示。

二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：- 对数函数的定义域为正实数集合。

- 对数函数的值域为实数集合。

2. 对数函数的图像特点：- 对数函数的图像是一条平滑的曲线，且过点(1, 0)。

- 对数函数的图像在(0, +∞)上是递增的。

- 自然对数函数ln(x)的图像在(0, +∞)上是上凸的。

3. 对数函数的性质和运算法则：- 对数函数中，底数为1的对数函数恒等于0。

- 对数函数的乘法法则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。

- 对数函数的除法法则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。

- 对数函数的幂运算法则：loga(m^k) = k·loga(m)。

三、对数函数的常见题型1. 简单计算题型：- 计算给定底数和真数的对数值。

- 根据对数值计算给定底数和真数。

2. 方程求解题型：- 将对数方程转化为指数方程求解。

- 求解含对数的复合方程。

3. 不等式求解题型：- 将对数不等式转化为指数不等式求解。

- 求解含对数的复合不等式。

4. 图像应用题型：- 根据对数函数的图像特点作图。

- 根据图像解决实际问题。

总结：对数函数是数学中常用的函数之一，掌握对数函数的基本概念、性质和运算法则，能够灵活运用对数函数解决各种题型和实际问题。

希望通过这份文档，能够帮助大家系统地研究和掌握对数函数相关知识。

对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .二、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a(a,b0且a 1,b 1)；题型归纳及思路提示题型 1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等 .对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正 . 一、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注 熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提 变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 3lg522lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()A.( ,0)B.(0, )C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析 先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，又 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x 二、对数方程 例 2.59 解下列方151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析 利用对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，首先方程中的 x 应满足x 10，原方程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从而 x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原方程的解 .2( 2)log x 21(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是方程的解 . 评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助 0和 1作为分界点解析 因为y log 5 x 在 （0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )A.a b cB.a c bC.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（ ）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 大纲全国理 9） 已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法 问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维方向、对数函数的图像 例 2.62如图 2-15所示，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像， 对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x3 ，又 0 a 1，变式 1 已知函数 f （x ） 为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析 给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所示，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标大小为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能一次为 2,3, , .故选 B .32评注对 数函数 在同一 直角坐标系中 的图像的相对位置与底数大小的关系如图 2-16 所示，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第一象限的图像， a 越大，图像越靠近 x 轴； a 越小， 图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像大 致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点 二、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则A.a b C.c a cB.c b a b Db. ac 例 2.63 函数 y log a (x 1) 2的图像必过定点 分析 对数函数 y log a x(a 0且a 1)的图像过定点 (1,0) ，即 log a 1 0.解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒 过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时 ， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最大值与最小值又 f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2.(log 2 x)2解析因 为 对 数 函 数 的 底 a 1 ， 所以函数f (x) log a x 在 区 间a,2a 上 单 调 递 增 ， 故 f (x)maxlog a 2a, f(x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最大值和最小值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x212解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最大值与最小值的差为 题型 3 对数函数中的恒成立问题思路提示 (1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成立 .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所示，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析 因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x3,1 上有意义，即1 2x40 在 ,1 上恒成立 .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 axx若 g(x) 存在最大值， 则 g(x) a 恒成立等价于 g(x)max a ；A.(0,1)B.(1,2)C. 1,2D. 0,121在2 ,1 上 为减函数 ，故 g(x) 在 ,1 上为增 函数， 所以对 任意的,1 时， g(x) g(1)因为 a ,1 上恒成立，所以 a所以 a 的取值范围是3,4若 g(x) 不存在最大值，设其值域为 g(x)m,n ，则 g(x) a 恒成立等价于 a n .变式 1 当 x (1,2) 时，不等式2x1log a x 恒成立，则 a 的取值范围是()1.设 a log 1 2,b log 1 3,c，则( )222A.a b cB.a c bC.b c aDb. a clog 2 ( x 1)(x 2)2.设函数 f(x)x1 12 1(x 2)，若 f (x 0) 1 ，则 x 0 的取值范围是()A.( ,0) U(2,) B.(0,2)C.( , 1)U (3, )D.( 1,3)3.设定义在区间 (1 axb,b)上的函数 f (x) lg 是奇函数 (a,b R 且a1 2x2)，则 A. 1, 2B. 0, 2C.(1, 2)D.(0, 2)4.已知 y log a (2ax) 在 0,1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是()最有效训练题0.2a b的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2, )评注 为了求 a 的取值范围， 把a 进行了分离， 变式 2 函数 f (x) log a (x 3a)(a0且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f(x)图像上的点时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x) 图像上的点 .1) 写出函数 y g(x) 的解析式； 2) 当 a a 2,a 3 时，恒有f(x) g(x) 1，试确定 a 的取值范围2y f (x) log 5 x 的零点个数是()A.3B.4C.5D.67.设函数 f(x) ln(x 1) ，若 1 a b 且f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 ___________________ .8.已知 lg x lg y 2lg(2 x 3y) ，则 log 2 y ________________ .3x29.若函数 y log a (x 1 2 ax 1)在 1,2 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ ..1 ax11.设 f(x) log 1 为奇函数， a 为常数 .2 x 1(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在区间 (1, )内单调递增；3)若对于区间 3,4 上的每一个 x 值，不等式 f (x)1212.已知集合 P,2 ，函数 y log 2( ax 22x 2) 的定义域为 Q .1)若 PI Q，求实数 a 的取值范围；2)若方程 log 2 ( ax 2 2x 2) 2在 P 内有解，求实数 a 的取值范围则函数2x ，10.已知函数f (x) log2x ，正实数m,n满足m n，且f(m) f(n)，若f(x) 在区间m2,n 上的最大值为2 ，则m n __________________ .m 恒成立，求实数m 的取值范围2。

专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地,函数 x y a log = 叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为思考：函数log a y x =与函数xy a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系 ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称;一般的,函数y=a x 与y=log a x a>0且a ≠1互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=fx 存在反函数,一般将反函数记作y=f -1x如:fx=2x ,则f -1x=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域10.2log (4);y x =-； 2log 1ay x =- (0,1).a a >≠；32(21)log (23)x y x x -=-++ 42log (43)y x =- 5 y=lg11-x 6 y=x 3log =log5x-17x-2的定义域是________________ =)8lg(2x - 的定义域是_______________3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________4.函数y=13log (21)x -的定义域是5.函数y ＝log 232－4x 的定义域是 ,值域是 .6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________7.求函数2log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域;8.求下列函数的定义域、值域：12log (3)y x =+； 222log (3)y x =-； 32log (47)a y x x =-+0a >且1a ≠．9.函数fx=x1ln 432322+--++-x x x x 定义域10.设fx=lgx x -+22,则f )2()2(xf x +的定义域为 11.函数fx=)1(log 1|2|2---x x 的定义域为12.函数fx=229)2(1x x x g --的定义域为 ；13.函数fx=x1ln 432322+--++-x x x x 的定义域为14222loglog log y x =的定义域是1. 设f x ＝lg ax 2－2x ＋a ,1 如果f x 的定义域是－∞, ＋∞,求a 的取值范围；2 如果f x 的值域是－∞, ＋∞,求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(221+-=ax x x f1若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围 2若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围 3若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ,求实数a 的值；4若函数的值域为]1,(--∞,求实数a 的值.16.若函数()2x y f =的定义域为[]1,0-,则函数()2log y f x =的定义域为 17.已知函数f2x 的定义域是-1,1,求flog 2x 的定义域.18若函数y=lg4-a ·2x 的定义域为R,则实数a 的取值范围为19已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ,函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是 20求函数1log )(log 21221+-=x x y (14)x ≤≤的值域;21已知函数fx=log 211-+x x +log 2x-1+log 2p-x.1求fx 的定义域；2求fx 的值域.解：fx 有意义时,有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集,故p ＞1,fx 的定义域是1,p. 2fx=log 2x+1p-x=log 2-x-21-p 2+4)1(2+p 1＜x ＜p,①当1＜21-p ＜p,即p ＞3时,0＜-x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2p+1-2. ②当21-p ≤1,即1＜p ≤3时,∵0＜-x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2p-1. 综合①②可知：当p ＞3时,fx 的值域是-∞,2log 2p+1-2;当1＜p ≤3时,函数fx 的值域是-∞,1+log 2p-1.二、利用对数函数的性质,比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：12log 3.4,2log 3.8； 20.5log 1.8,0.5log 2.1； 37log 5,6log 7； 42log 3,4log 5,321.0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8的大小关系是____________2.已知a 2>b>a>1,则m=log a b,n=log b a,p= log bab的大小关系是____________ 3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1,则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是5.已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.6.设323log ,log 3,log 2a b c π===,则7.()()()221,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。