高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。

在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。

1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。

1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。

1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。

1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。

二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。

2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。

2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。

2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

高一复数知识点归纳总结一、复数的基本规则复数形式通常是在名词后面加上"s"，例如：books、cats。

但是，也有一些特殊情况需要注意。

1. 以s、x、ch、sh或o结尾的名词，在复数形式中需要加上"es"。

例如：boxes、watches、buses、potatoes。

2. 以辅音字母加"y"结尾的名词，在复数形式中将"y"变为"i"，再加上"es"。

例如：babies、flies、parties。

3. 以"o"结尾的名词，复数形式通常加上"s"，但也有例外。

例如：autos、pianos，但是也有例外如: tomatoes、potatoes。

4. 以"f"或"fe"结尾的名词，复数形式通常将"f"或"fe"改为"ves"。

例如：leaves、knives、wolves。

二、不规则复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别记住。

以下是一些常见的例子：1. 单复数同形：例如：sheep、fish、deer、means等。

2. 以"man"或"woman"结尾的名词，复数形式通常将"man"或"woman"改为"men"或"women"。

例如：men、women。

3. 以"tooth"结尾的名词，复数形式为"teeth"。

4. 以"child"结尾的名词，复数形式为"children"。

三、复数形式的用法除了表示多个或复数数量的用法之外，复数形式还有其他几种情况的用法。

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。

实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。

二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。

1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。

2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。

3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。

三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。

2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。

3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。

4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。

5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。

b. 它们的虚部相等，但符号相反。

c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。

d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。

四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。

|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。

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【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）;复数的单位为i,它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数(2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；(4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ;（象限的复习）(5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+,222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++;（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

数学总结复数知识点归纳一、复数的定义复数是数学中一种特殊的数。

它由实部和虚部组成，通常写成a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

例如，3+4i就是一个复数，其中实部是3，虚部是4。

复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。

二、基本运算1. 复数加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad+bc)i4. 复数除法：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)= (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)三、幂指数形式1. 复数的幂指数形式表达：z = r(cosθ + isinθ) = r(e^(iθ))2. 复数的乘幂：z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ)) = r^n(e^(inθ))3. 复数的根：z^(1/n) = (r^(1/n))(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))四、三角形式1. 三角形式的定义：z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ2. 三角形式的加法：z₁ + z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂)= (r₁cosθ₁ + r₂cosθ₂) + i(r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)= r(cosθ+ isinθ)3. 三角形式的乘法：z₁ * z₂ = r₁∠θ₁ * r₂∠θ₂= r₁r₂∠(θ₁+θ₂)五、欧拉公式欧拉公式是数学中非常重要的公式，也被称为数学中最美丽的公式之一，它将三角函数、指数函数和虚数单位联系在了一起。

高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。

三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。

复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。

复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。

此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。

复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。

通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。

专题一复数一．基本知识㈠复数的基本概念⑴ i 叫虚数单位，规定：① i 2=﹣ 1, ②实数的一切运算法则对 i 都成立。

⑵ i 的正整数指数幂的化简i 4n =i4n+1=i4n+2=i4n+3=⑶形如 ab，它的平方等于－，+ i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为 i1其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部 . ①实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数 ②虚数：当时的复数 a + bi 为虚数；③纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i 为纯虚数 .⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di ?a=c 且 b=d ;a+bi=0 ?a=0 且 b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。

⑸共轭复数： z a bi 的共轭记作 za bi ；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z a bi ，对应点坐标为 p a,b；（象限的复习）⑺复数的模：对于复数 z a bi ，把 z a 2b 2 叫做复数 z 的模；㈡复数的基本运算设 z 1 a 1 b 1i ， z 2 a 2 b 2i（ 1） 加法： z 1 z 2a 1a 2b 1 b 2 i ；（ 2） 减法： z 1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ；（ 3） 乘法： z 1 z 2 a 1a 2b 1b 2a 2b 1 a 1 b 2i 特别 z za 2b 2 。

（4） 除法：c di c di a biac bdadbc iza bi a bia 2b 2=a bi二． 例题分析【例 1】已知 za 1b 4 i ，求（ 1） 当 a, b 为何值时 z 为实数 （ 2） 当 a, b 为何值时 z 为纯虚数 （ 3） 当 a, b 为何值时 z 为虚数（ 4） 当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式 1】若复数为纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．CD ．或（2）（ 2012 北京文 2）在复平面内，复数10i 对应的点的坐标为（ ）3 i（A ） (1,3)（ B ） (3,1) （ C ） ( 1,3) （ D ） (3, 1)【例 2】已知 z 1 3 4i ； z 2 a 3 b 4 i ，求当 a, b 为何值时 z 1=z 2【例 】已知 z1 i ，求z ， z z ；3【变式 1】 复数 z 满足 z2 i，则求 z 的共轭 z1 i－ 3+i (2 ）（ 2012 年新课标全国文2）复数 z ＝2+i 的共轭复数是（ ）（ A ） 2+i（ B ） 2－ i（C ）－ 1+i（ D ）－ 1－i3 i ，则 z ? z =（）【变式 2】（ 2010 年全国卷新课标） 已知复数 z3i) 2(1A.1B.1 42【例4】已知z 12 i ， z 23 2i（ 1） 求 z 1z 2 的值；（ 2） 求 z 1 z 2 的值；（ 3） 求 z 1 z 2 .【变式 1】已知复数 z 满足 z 2 i1 i ，求 z 的模 .【变式 2】若复数 1 ai 2是纯虚数，求复数 1 ai 的模 .【例 5】若复数 za3ia R （i 为虚数单位），1 2i（ 1） 若 z 为实数，求 a 的值（ 2） 当 z 为纯虚，求 a的值 .1. (2012年山东 1) 若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为 （）(A)3+5i (B)3－ 5i(C) － 3+5i(D) － 3－ 5i2. （ 2013 全国理 2）若复数z 满足3 4i z 43i则 z 的虚部为（）（ A ）4（ B ）4（ C ） 4 45（ D ）53． (2013 北京，文 4) 在复平面内，复数 i(2 － i) 对应的点位于 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限1 2i 4.(2013 课标全国Ⅰ，文 2)1 i2 ＝ () ．1 1 i1+ 1i1+ 1i1 1iA ．2B ．2C ．2D ．25． (2013 山东，文 1) 复数 z ＝2i 2(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝ () ．iA ． 25B ．41 C ． 5 D ． 56.(2014 北京 9) 若 x i i1 2i x R ，则 x.7. （ 2014 年全国文 3）设 z1 i ，则 | z |i1A.1B.2 C.3 D. 22228. （ 2014 山东文 1）已知 a,b R ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则(a bi )2（A ） 54i （ B ） 5 4i （ C ） 3 4i （ D ） 3 4i【例 6】（20122的四个命题：其中年全国卷新课标）下面是关于复数 z1i的真命题为（）p1 : z 2 p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为 1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2, p3 (B) p1, p2 (C ) p , p(D ) p , p【变式 1】设a是实数，且a 1 i是实数，求 a 的值..1i2【变式 2】若z y3ix, y R 是实数，则实数xy的值是. 1xi【例 7】复数 z cos3 i sin3 对应的点位于第象限【变式 1】是虚数单位 , 等于 ()A．i B．-iC． 1D．-1【变式 2】已知 =2+i, 则复数 z=（）（ A） -1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式 3】 i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ A）－ 15（B）－3（C）3（D）15【例 8】（2012 年天津）复数z7i =（）3i（ A） 2 i（Ｂ） 2 i（Ｃ） 2i（Ｄ） 2 i【变式 4】（ 2007 年天津）已知i是虚数单位，2i3（）1 i Ａ 1 iＢ 1 iＣ 1 iＤ． 1 i【变式 5】 . （ 2011 年天津）已知i是虚数单位，复数13i =（）1i2 i2iC 1 2iD1 2iA B【变式 6】（ 2011 年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i（）12i(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1－ i【变式 7】 . （ 2008 年天津）已知i是虚数单位，则i3i1（）i1(A) 1 (B)1(C)i(D)i。

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点汇总单选题1、复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1，其中i 为虚数单位，θ∈[0,2π]，则这样的θ一共有（ ）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数答案：C分析：先根据复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1及复数模的运算公式，求得cos 22θ+sin 23θ=1即cos 22θ=cos 23θ，接下来分cos 2θ=cos3θ与cos 2θ=−cos3θ两种情况进行求解，结合θ∈[0,2π]，求出θ的个数.|(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)|=|cos 2θ+isin 3θ|⋅|cos θ+isin θ|=1，其中|cos θ+isin θ|=1，所以|cos 2θ+isin 3θ|=1，即cos 22θ+sin 23θ=1，cos 22θ=1−sin 23θ=cos 23θ，当cos 2θ=cos3θ时，①2θ=3θ+2k 1π，k 1∈Z ，所以θ=−2k 1π，k 1∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0或2π；②2θ=−3θ+2k 2π，k 2∈Z ，所以θ=2k 2π5，k 2∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos 2θ=−cos3θ时，①2θ=3θ+(2k 3+1)π，k 3∈Z ，即θ=−(2k 3+1)π，k 3∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π，②2θ=−3θ+(2k 4+1)π，k 4∈Z ，即θ=(2k 4+1)5π，k 4∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π5，3π5，π，7π5，9π5，综上：θ=m 5π，m =0,1,⋯10，一共有11个.故选：C2、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解.z =2−i 20202+i 2021=12+i =2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限， 故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.3、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1 答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b )， 解得a =1，b =−23，故选：D.4、复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数的充要条件是（ ）.A ．a =0且b ≠0B ．a ≠0且b =0C ．a =b =0D ．ab =0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a +b i )2=a 2+2ab i +(b i )2=a 2−b 2+2ab i 为实数，所以ab =0，反之，当ab =0时，复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数，所以复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数的充要条件是ab =0，故选：D5、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .6、1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x (10−x )=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+√−15和5−√−15，数系扩充后这两个根分别记为5+√15i 和5−√15i ．若z(5+√15i )=5−√15i ，则复数z =（ ）A ．1−√15iB ．1+√15iC ．1−√15i 4D ．1+√15i 4答案：C 分析：利用复数除法运算求得z .由z(5+√15i )=5−√15i ，得z =√15i 5+√15i =√15i 2(5+√15i )(5−√15i )=25−15−10√15i 25−15i 2=1−√15i4．故选：C ．7、若a,b ∈R ，i 是虚数单位，a +2021i =2−bi ，则a 2+bi 等于（ ）A ．2021+2iB ．2021+4iC ．2+2021iD ．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a =2，−b =2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．8、若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：C分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故选：C．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．9、设z1=−1+√3i，z2=(12z1)2，则argz2=（）A．56πB．43πC．116πD．53π答案：B分析：首先求z2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.z2=14z12=14(−1+√3i)2=−12−√32i，复数对应的点是(−12,−√32)，位于第三象限，且tanθ=ba=√3，所以argz2=4π3.故选：B10、已知复数z1=21+i与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（）A．−4i B．−2i C．2i D．4i答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．因为z 1=21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ，所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ，故选：C ．11、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，根据题意，可得|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.12、设i 是虚数单位，则复数z =2i (−2+3i )对应的点在复平面内位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：利用复数的乘法法则化简复数z ，由此可得出结论.∵z =2i (−2+3i )=−6−4i ，因此，复数z 在复平面内的点位于第三象限.故选：C.双空题13、欧拉公式e i θ=cosθ+i sinθ把自然对数的底数e ､虚数单位i ､三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数z 满足(e 2023iπ+i )⋅z =i ，则z 的虚部是___________，|z |=___________.答案： −12 √22分析：结合欧拉公式、复数除法运算求得z ，从而求得z 的虚部以及|z |.由e i θ=cosθ+i sinθ，得e 2023iπ=cos2023π+i sin2023π=−1，则由(e 2023iπ+i )⋅z =i ，得z =i −1+i =i (−1−i )(−1+i )(−1−i )=12−12i ，故z 的虚部是−12，|z |=√14+14=√22. 所以答案是：−12；√22 14、已知a ，b ∈R ，1+ai =b +(2a +3)i ，则a =______，|a +3bi |=______.答案： −3 3√2分析：根据a ，b ∈R ，1+ai =b +(2a +3)i ，利用复数相等，建立方程求出a ，b 即可得到结论. ∵1+ai =b +(2a +3)i∴{1=b a =2a +3， 解得{a =−3b =1， 则|a +3bi |=|−3+3i |=√(−3)2+32=√18=3√2，所以答案是：（1）−3；（2）3√2小提示：本题主要考查复数相等的应用以及复数的模的求法，属于基础题.15、复数z =11+i对应的点在第_____象限，复数z 的实部是_______________． 答案： 四 12解析：根据复数的运算法则化简复数z ，再求对应点的坐标，以及实部即可.因为z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ，故其对应的点为(12,−12)位于第四象限，其实部为12.所以答案是：四；12.小提示：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.16、已知复数z 满足(1−i )z =3+i ，则z =__________，|z|=__________．答案： 1+2i ##2i+1 √5分析：利用复数的除法化简得到z = 1+2i ，利用复数的模长公式即得.∵(1−i )z =3+i ，∴z =3+i 1−i =(3+i)(1+i)(1−i )(1+i )=2+4i 2=1+2i ，|z |=√12+22=√5.所以答案是：1+2i ；√5.17、复数z 满足(1+i )z =4−2i ，则z 的虚部为__________，|z |=__________．答案：−3√10分析：先根据复数的除法运算求出复数z，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.因为(1+i)z=4−2i，所以z=4−2i1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i，则z的虚部为−3，|z|=√12+(−3)2=√10，所以答案是：−3；√10.解答题18、设虚数z1、z2满足z12=z2，且z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2．答案：{z1=−12+√32iz2=−12−√32i或{z1=−12−√32iz2=−12+√32i分析：先探讨实系数一元二次方程的两个虚根的关系，由此设z1=a+b i，结合已知条件列出方程即可得解. 一元二次方程mx2+nx+p=0中，m,n,p∈R,m≠0,Δ=n2−4mp<0，则有(x+n2m )2=n2−4mp4m2，(x+n2m)2=(√−Δ2mi)2，得原方程的二根为x1=−n2m+√−Δ2mi和x2=−n2m−√−Δ2mi，显然x1与x2互为共轭复数，即实系数一元二次方程有虚根时，这两个虚根互为共轭复数，因z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，则有z2=z1，设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0)，而z12=z2，于是得a2−b2+2ab i=a−b i⇒{a 2−b2=a2ab=−b ⇒{a=−12b=±√32，所以{z1=−12+√32iz2=−12−√32i或{z1=−12−√32iz2=−12+√32i19、复数z满足|z|=1，且z2+2z+1z<0．求z．答案：z=−1或z=−12±√32i解析：由题意可知设复数z =cosα+isinα,计算出z 2,2z ,1z ,代入z 2+2z +1z <0中可得{cos2α+3cosα<02sinαcosα+sinα=0可求得复数z .由题意可知：z =cosα+isinα,则z 2=cos 2α−sin 2α+2isinαcosα,2z =2cosα+2isinα,1z =cosα−isinα, ∴z 2+2z +1z =(cos2α+3cosα)+(2sinαcosα+sinα)i <0, ∴{cos2α+3cosα<02sinαcosα+sinα=0,即{cos2α+3cosα<0sinα(2cosα+1)=0， 若sinα=0，则cos2α=1，由cos2α+3cosα<0得cosα=−1，所以z =−1，若cosα=−12，则cos2α=−12，cos2α+3cosα<0，得z =−12±√32i ， ∴z =−1或z =−12±√32i . 小提示：本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.20、复数z =(1+i )m 2+(5−2i )m +(6−15i )．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线x +y +7=0上．答案：（1）m =5或−3；（2）m =−2；（3）m =12或−2分析：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m 即可得出．（2）由{m 2+5m +6=0m 2−2m −15≠0 ，解得m 即可得出． （3）由(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)+7=0．解出即可得出．解：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m =5或−3．∴m =5或−3时，复数z 为实数．（2）由{m2+5m+6=0m2−2m−15≠0，解得m=−2．∴m=−2时，复数z为纯虚数．（3）由(m2+5m+6)+(m2−2m−15)+7=0．化为：2m2+3m−2=0，解得m=12或−2．∴m=12或−2，z对应点在直线x+y+7=0上．小提示：本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

专题一复数一．根本知识㈠复数的根本概念i叫虚数单位，规定：①i2=﹣1,②实数的一切运算法那么对i都成立。

⑵i的正整数指数幂的化简i4n=i4n+1=i4n+2= i4n+3=⑶形如a+bi的数叫做复数〔其中a，b R〕；复数的单位为i，它的平方等于－1，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部.①实数：当b=0时复数a+bi为实数②虚数：当 b 0时的复数a+bi为虚数；③纯虚数：当a=0且b 0时的复数a+bi为纯虚数.⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di?a=c且b=d;a+bi=0?a=0且b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。

⑸共轭复数：zabi的共轭记作z a bi；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z abi，对应点坐标为pa,b；〔象限的复习〕⑺复数的模：对于复数z a bi，把za2b2叫做复数z的模；㈡复数的根本运算设z1a1b1i，z2a2b 2i〔1〕加法：z1z2a121b2i；〔2〕减法：z1z2a1a21b2i；〔3〕乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特别zza2b2。

〔4〕除法：cdi c diabiacbdadbciza 2b2= abi abiabi二．例题分析【例1】z a 1 b 4i，求1〕当a,b为何值时z为实数2〕当a,b为何值时z为纯虚数3〕当a,b为何值时z为虚数4〕当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】假设复数z (x21) (x 1)i为纯虚数，那么实数x的值为〔〕A．1 B．0 C1 D．1或1〔2〕〔2021北京文2〕在复平面内，复数10i对应的点的坐标为〔3i〔A〕(1,3)〔B〕(3,1)〔C〕(1,3)〔D〕(3,)【例2】z1 3 4i；z2 a 3 b 4i，求当a,b为何值时z1=z2【例3】z 1 i，求z，zz；【变式1】复数z满足z2i，那么求z的共轭z1i－3+i(2〕〔2021年新课标全国文2〕复数z＝的共轭复数是〔2+i〔A 〕2+i〔B〕2－i〔C〕－1+i〔D〕－1－i【变式2】〔2021年全国卷新课标〕3i，那么z?z=〔复数z3i)2(11.1A.42【例4】z12i，z232i〔1〕求z12的值；〔2〕求z1z2的值；3〕求z1z2.【变式1】复数z满足z 2i 1 i，求z的模.【变式2】假设复数1 ai2是纯虚数，求复数1 ai的模.【例5】假设复数z a3i a R〔i为虚数单位〕，12i1〕假设z为实数，求a的值2〕当z为纯虚，求a的值.1.(2021年山东1)假设复数z满足z(2)117i(i为虚数单位)，那么z为〔〕(A )3+5i (B)3－5i(C)－3+5i(D)－3－5i2.〔2021全国理2〕假设复数z满足4iz43i那么z的虚部为〔〕〔A〕4〔B〕〔C〕4〔D〕453．(2021北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.(2021课标全国Ⅰ，文2)1i＝()．111i1+1i1+1i11iA．2B．2C．D．25．(2021山东，文1)复数z＝2i(i为虚数单位)，那么|z|＝()．A ．25B．41C．5D．56.(2021北京9)假设x ii12iR，那么x.7.〔2021年全国文3〕设zi，那么|z|i1A.1B..3 D.2 2228.〔2021山东文1〕a,bR，i是虚数单位，假设ai与2bi互为共轭复数，那么(abi)2〔A〕5 4i 〔B〕5 4i 〔C〕3 4i 〔D〕3 4i【例6】〔20212的四个命题：其中 年全国卷新课标〕下面是关于复数z1i的真命题为〔〕1 2p2:z 2 2ip3:z 的共轭复数为1ip4:z 的虚部为1p :z(A)p 2,p 3(B)p 1,p 2(C)p,p (D)p,p【变式1】设a 是实数，且a1i是实数，求a 的值..1 23i.【变式2】假设zx,yR 是实数，那么实数xy 的值是xi【例7】复数z cos3 isin3对应的点位于第 象限【变式1】i 是虚数单位,(1i )4等于( )-iA ．iB ．-iC ．1D ．-1【变式2】Z=2+i,那么复数z=〔〕i1〔A〕-1+3i(B)1-3i(C)3+i( D)3-i【变式3】i是虚数单位，假设17iabi(a,bR)，那么乘积ab的值是2i〔A〕－15〔B〕－3〔C〕3〔D〕15【例8】〔2021年天津〕复数z7i=〔〕3i〔A〕2i〔Ｂ〕2i〔Ｃ〕2i〔Ｄ〕2i【变式4】〔2007年天津〕i是虚数单位，2i3〔〕1iＡ1iＢ1iＣ1iＤ．1i【变式5】.〔2021年天津〕i是虚数单位，复数13i=〔1iA2iB2iC12iD12i【变式6】〔2021年天津〕i是虚数单位，复数13i〔〕12i(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【变式7】.〔2021年天津〕i是虚数单位，那么i3i1〔〕1(A) 1 (B)1 (C) i (D)i。

高一数学必修一知识点总结人教1.知识网络图复数知识点网络图2.复数中的难点（1）复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.（2）复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.（3）复数的辐角主值的求法.（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.数学教学心得如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。

比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。

美国统计学家戴维穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。

数学地思考，是数学学习的更高目标。

数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。

看到一幅图画时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。

这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若z(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i答案：D分析：先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.因为z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.2、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.3、已知为i虚数单位，复数z=1+i1+2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. z =1+i 1+2i=(1+i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i 2−i 1−4i2=3−i 5=35−15i ，z =35+15i ，所以z 在复平面内对应的点坐标为(35,15)， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A.4、若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2 答案：D分析：由题意首先求得z 2−2z 的值，然后计算其模即可.由题意可得：z 2=(1+i )2=2i ，则z 2−2z =2i −2(1+i )=−2. 故|z 2−2z |=|−2|=2. 故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 5、已知a,b ∈R ，a1+i +b1−i =1，则a +2b =（ ） A ．3B ．√3C ．√2D ．1 答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值 因为a1+i +b1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2 即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A6、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解. z =2−i 20202+i 2021=12+i=2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限， 故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.7、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（ ） A ．−2−i B ．2+i C ．1+2i D ．−1+2i 答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果. 由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)， 故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i . 故选：D.8、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．9、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ） A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.10、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（ ） A ．1B ．√2C ．√5D ．√10 答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解. 解析因为z =−1+i i=(−1+i )⋅i i ⋅i=−i −1−1=1+i ，所以z =1−i ，|z |=√2. 故选：B11、复数2i1−i （i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1B ．−i C ．2D ．−2i 答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解. 由题意可知，2i1−i =2i ×(1+i )(1−i )(1+i )=−2+2i 2=−1+i ，所以复数2i1−i 的虚部为1. 故选：A.12、复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是（）.A．a=0且b≠0B．a≠0且b=0C．a=b=0D．ab=0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a+b i)2=a2+2ab i+(b i)2=a2−b2+2ab i为实数，所以ab=0，反之，当ab=0时，复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数，所以复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是ab=0，故选：D双空题13、著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：[r(cosθ+i sinθ)]n=r n(cosnθ+i sinnθ)，其中r>0，n∈N∗.根据这个公式，则(cosπ12+i sinπ12)6=______；若[r(cosπ4+i sinπ4)]4=−16，则r= ______.答案：i 2分析：（1）直接代公式得原式为cosπ2+i sinπ2，化简即得解；（2）直接代公式化简得r4=16，解方程即得解.（1）(cosπ12+i sinπ12)6=cos(6×π12)+i sin(6×π12)=cosπ2+i sinπ2=i；（2）[r(cosπ4+i sinπ4)]4=r4(cosπ+i sinπ)=r4(−1)=−16，∴r=2.所以答案是：i；2.14、已知复数(2−3i)z=1−i，则z的虚部为_________；若13z+a为纯虚数，则实数a=_______.答案：113−5分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其虚部，再化简复数13z +a ，根据实部为零，虚部不为零，求出参数a ；解：由题意得z =1−i2−3i =(1−i )(2+3i )(2−3i )(2+3i )=513+113i ，所以z 的虚部为113．因为13z +a =13(513+113i )+a =5+a +i 为纯虚数，所以5+a =0，即a =−5． 所以答案是：113；−515、将复数z=3[cos (-π2)+i sin (-π2)]化成代数形式为_____;|z|=_____. 答案： −3i 3分析：利用特殊角的三角函数值，即可得到答案； ∵ z =3(0−i )=−3i ,|z|=3， 所以答案是：−3i ,316、已知复数z 满足z (1+i )=−2+i （i 为虚数单位），则z 的虚部是_____，|z |= ______． 答案： 32√102分析：根据复数z 满足z (1+i )=−2+i ，利用复数的除法化简得到z =−12+32i ，再根据复数的概念和模的求法求解.因为复数z 满足z (1+i )=−2+i ，所以z =−2+i 1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−12+32i所以z 的虚部是32，|z |=√(−12)2+(32)2=√102， 所以答案是：32；√102. 小提示：本题主要考查复数的运算以及复数的概念和模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 17、已知复数z =1+sinθcosθ+(cosθ−sinθ)i ，则|z |的最大值为__________，最小值为__________． 答案： 32√2分析：直接计算复数的模，再利用三角函数的有界性，即可得答案；∵|z|=√(1+sinθ⋅cosθ)2+(cosθ−sinθ)2=√2+2sinθ⋅cosθ+sin2cos2θ−2sinθ⋅cosθ=√2+14sin22θ，当sin22θ=1时，|z|的最大值为32；当sin22θ=0时，|z|的最小值为√2；所以答案是：32；√2.解答题18、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i.（2）根据复数的四则运算规则得，z 1z 2=3−4i 3−2i =(3−4i )(3+2i)(3−2i )(3+2i)=17−6i 13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )2n +(1−i )2n=(2i )n +(−2i )n ={2n+1,n =4k,k ∈N ∗,0,n =4k +1,k ∈N,−2n+1,n =4k +2,k ∈N,0,n =4k +3,k ∈N（4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )15+(1−i )15(1+i )14−(1−i )14=(1+i)14·(1+i)+(1−i )14·(1−i )(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i )−28i=−27i +27+27i +27−28i=i19、计算：（1）(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2；（2）i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i(1−√3i )8． 答案：（1）513；（2）247+8√3i ． 分析：（1）借助(12−√32i )3=−1，(1−i )2=−2i 以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1以及复数的四则运算，即得解.（1）由于(12−√32i )3=(12−√32i )2×(12−√32i )=(−12−√32i )×(12−√32i )=−1(1−i )2=−2i故(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2=26×(−1)2−215×(−1)52i ×(−2i )6×12i=26+21526=1+29=513（2）由于(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1故i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i +(1−√3i )8=i500×4+2+24(1+i)8−225(1−i)50+(−2√3+i)(1−2√3i)(1+2√3i)(1−2√3i)28(1+i)828(12−√32i)8=−1+24(2i)4−225(−2i)25+i28(2i)428×(−1)2×(12−√32i)2=−1+24×2−4i+i+24(−12+√32i)=247+8√3i20、已知复数z=6−4m i1+i（m∈R,i是虚数单位）．(1)若z是实数，求实数m的值；(2)设z̅是z的共轭复数，复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=−32(2)m>32分析：（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)z=(6−4m i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−2m−(3+2m)i，因为z为实数，所以3+2m=0，解得m=−32.(2)因为z是z的共轭复数，所以z̅=3−2m+(3+2m)i，所以z̅−4z=6m−9+(10m+15)i因为复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，所以6m−9>0，同时10m+15>0解得m>32.。

复数知识复习总结1.虚数单位i 的性质(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；（3）i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, 4n =1。

2．复数的定义与表示：（1）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数， a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*（2）复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式。

3 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0 4．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C[题目3]如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则实数m =____________[题目4]如果复数ibi212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于________ [题目1] 23212123n n n n ii i i --+++++（n Z ∈）的值等于_______________[题目2] 计算2341234()n n i i i i n i --+-++-（*n N ∈）的值。

5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。

这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小， 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。