2019年吉林省高职高专院校单独招生统一考试数学试题

2019年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 集合M ={1，2，3，4，5}的子集个数是 ( )(A) 32(B) 31(C) 16(D) 15(2) 函数f (x ) = a x (a > 0且a ≠ 1)对于任意的实数x ，y 都有 ( )(A) f (xy ) = f (x ) f (y ) (B) f (xy ) = f (x ) + f (y ) (C) f (x + y ) = f (x ) f (y ) (D) f (x + y ) = f (x ) + f (y )(3) =++∞→1222limn n n n n C C( )(A) 0 (B) 2 (C)21(D)41 (4) 函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 ( )(A) y = x 2－1 (－1≤x ≤0) (B) y = x 2－1 (0≤x ≤1) (C) y = 1－x 2 (x ≤0)(D) y = 1－x 2 (0≤x ≤1)(5) 极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+=的圆心的坐标是 ( )(A) ），（53arcsin 25(B) ），（54arcsin5 (C) ），（53arcsin 5 (D) ），（54arcsin 25(6) 设动点P 在直线x = 1上，O 为坐标原点. 以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )(A) 圆(B) 两条平行直线(C) 抛物线(D) 双曲线(7) 已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于( )(A)34 (B) 8 (C) 18 (D)21 (8) 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在 ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(9) 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 90°(10) 若实数a ，b 满足a + b = 2，则3a + 3b 的最小值是 ( )(A) 18(B) 6(C) 32(D) 432(11) 右图是正方体的平面展开图.在这个正方体．．．中， ① BM 与ED 平行 ② CN 与BE 是异面直线 ③ CN 与BM 成60º角 ④ DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) (A) ①②③(B) ②④(C) ③④(D) ②③④(12) 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足)521(902--=n n nS n (n =1，2，……，12)． 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )(A) 5月、6月 (B) 6月、7月(C) 7月、8月(D) 8月、9月第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13) 已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于___________(14) 椭圆x 2 + 4y 2 = 4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________(15) 已知1sin sin sin 222=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么cos αcos βcos γ的最大值等于______________(16) 已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ① 若α⊥β，α∩β= m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ② 若α∥β，α∩γ= m ，β∩γ= n ，则m ∥n ；③ 若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④ 若α∩β= m ，n ∥m ；且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β.其中正确的命题的序号是______________ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分) 设函数)0()(>>++=b a bx ax x f ，求f ( x )的单调区间，并证明f ( x )在其单调区间上的单 调性.(18) (本小题满分12分) 已知z 7=1(z ∈C 且z ≠1).(Ⅰ)证明 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0；(Ⅱ)设z 的辐角为α，求cos α+cos2α+cos4α的值. (19) (本小题满分12分)已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在△ABC 的高CD 上.AB = a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈VC .(Ⅰ)证明∠MDC 是二面角M －AB －C 的平面角； (Ⅱ)当∠MDC = ∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ； (Ⅲ)若∠MDC =∠CVN =θ(20πθ<<)，求四面体MABC 的体积. (20)(本小题满分12分)在1与2之间插入n 个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，使这n +2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1，b 2，b 3，…，b n ，使这n +2个数成等差数列.记A n = a 1 a 2 a 3…a n ，B n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .(Ⅰ)求数列{A n}和{B n}的通项；(Ⅱ)当n≥7时，比较A n和B n的大小，并证明你的结论.(21)(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润= (出厂价－投入成本)×年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？(22)(本小题满分14分)已知抛物线y2=2px(p>0).过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，| AB | ≤2p.(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一．选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.(13) π242SS (`14)2516 (15)692 (16) ② ④三．解答题（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力.满分12分. 解：函数bx ax x f ++=)(的定义域为（－∞，－b ）∪（－b ，+∞）. f ( x )在（－∞，－b ）内是减函数，f ( x )在（－b ，+∞）内也是减函数. ……4分 证明f ( x )在（－b ，+∞）内是减函数. 取x 1，x 2∈（－b ，+∞），且x 1 < x 2，那么 bx ax b x a x x f x f ++-++=-221121)()( ))(())((2112b x b x x x b a ++--=， ……6分∵ a －b > 0，x 2－x 1>0，（x 1+b ）(x 2+b ) > 0， ∴ f (x 1)－f (x 2) > 0，即f (x )在（－b ，+∞）内是减函数. ……9分 同理可证f (x )在（－∞，－b ）内是减函数. ……12分 （18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）由 z （1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6）= z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6+ z 7 =1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6，得 （z －1）（1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6）= 0. …… 4分 因为 z ≠1，z －1≠0，所以 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6= 0. …… 6分 （Ⅱ）因为z 7= 1.可知 | z | = 1，所以 1=⋅z z ，而z 7= 1，所以z ·z 6 = 1，z z =6，同理52z z =，34z z =， 65342z z z z z z ++=++由（Ⅰ）知 z + z 2 + z 4 + z 3 + z 5 + z 6= －1， 即 14242-=+++++z z z z z z ， 所以42z z z ++的实部为21-， …… 8分 而z 的辐角为α时，复数42z z z ++的实部为ααα4cos 2cos cos ++，所以214cos 2cos cos -=++ααα. …… 12分 （19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力.满分12分. （Ⅰ）证明：由已知，CD ⊥AB ，VN ⊥平面ABC ，N ∈CD ，⊂AB 平面ABC ， ∴VN ⊥AB .∴AB ⊥平面VNC . ……2分 又 V 、M 、N 、D 都在VNC 所在的平面内， 所以，DM 与VN 必相交，且AB ⊥DM ，AB ⊥CD ， ∴∠MDC为二面角M －AB －C的平面角. ……4分 （Ⅱ）证明：由已知，∠MDC = ∠CVN ，在△VNC 与△DMC 中， ∠NCV = ∠MCD ， 又∵∠VNC = 90º，∴ ∠DMC =∠VNC = 90º， 故有DM ⊥VC ，又AB ⊥VC ， ……6分 ∴ VC ⊥平面AMB . ……8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），MD ⊥AB ，MD ⊥VC ，且D ∈AB ，M ∈VC ， ∴ MD = h . 又 ∵ ∠MDC =θ. 在Rt △MDC 中，CM = h ·tg θ. ……10分 V 四面体MABC = V 三棱锥C －ABMABM S CM ∆⋅=31ah tg h 2131⋅⋅=θ θtg 612ah =. ……12分 （20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法.满分12分.解：（Ⅰ）∵ 1，a 1，a 2，a 3，……，a n ，2成等比数列，∴ a 1a n = a 2 a n －1 = a 3 a n －2 = … = a k a n －k +1 = … = 1×2 = 2 ，∴ n n n n n n n na a a a a a a a a a A 2)21()()()()()(121231212=⨯==--- ， ∴ 22n n A =. ……4分∵ 1，b 1，b 2，b 3，……，b n ，2成等差数列，∴ b 1 + b 2 = 1 + 2 = 3， ∴ n n b b B n n 2321=⋅+=. 所以，数列{A n }的通项22nn A =，数列{B n }的通项n B n 23=. ……6分 （Ⅱ）∵ 22n n A =，n B n 23=， ∴ n n A 22=，2249n B n =， 要比较A n 和B n 的大小，只需比较2n A 与2n B 的大小，也即比较当n ≥ 7时，2n 与249n 的大小.当n = 7时，2n = 128，4949492⨯=n ，得知2492n n >， 经验证n = 8，n = 9时，均有命题2492n n >成立.猜想当n ≥ 7时有2492n n >. 用数学归纳法证明. ……9分 （ⅰ）当n = 7时，已验证2492n n >，命题成立.（ⅱ）假设n = k （k ≥ 7）时，命题成立，即2492k k >， 那么 214922k k ⨯>+， 又当k ≥ 7时，有k 2 > 2k + 1， ∴ )1249221++⨯>+k k k （ 2149）（+⨯=k . 这就是说，当n = k + 1时，命题2492n n >成立. 根据（ⅰ）、（ⅱ），可知命题对于n ≥ 7都成立.故当n ≥ 7时，A n > B n . ……12分。

个人资料整理，仅供个人学习使用2019 年吉林单招理科数学模拟试题（一）【含答案】一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 .1．复数 z 满足方程=﹣ i（ i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x ﹣ 2＜ 0}，集合 B={x| （ x+2）（ 3﹣ x）＞ 0}，则（ ?RA）∩B等于（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。

A． {x|1 ≤x＜3}B． {x|2 ≤x＜3}C． {x| ﹣ 2＜ x＜ 1}D．{x| ﹣ 2＜ x≤﹣ 1 或 2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A． f（ x） = B． f（ x） =C．f （ x）=2﹣ x﹣ 2xD． f （ x） =﹣ tanx4．已知“x＞2”是“ x2＞ a（ a∈ R）”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（）A．（﹣∞，4） B．（ 4， +∞） C．（ 0， 4]D．（﹣∞， 4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（ tan α） y+1=0 的斜率为，则cosα等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为 8，则输出s 的值为（）A．16B． 8C． 4D．27．（﹣）8的展开式中，x 的系数为（）A．﹣ 112B．112C． 56D．﹣ 568．在△ ABC 中，∠ A=60°， AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B． 3C． 2D．积均分为两等份，则 a 的值为（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。

A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。

2022年吉林省吉林市普通高校高职单招数学测试题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b2.若a>b.则下列各式正确的是A.-a>-bB.C.D.3.已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=()A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}4.若x2-ax+b＜0的解集为（1，2)，则a+b=( )A.5B.-5C.1D.-15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=2，S10=10,则a7的值为（）A.0B.1C.2D.36.椭圆离心率是()A.B.C.5/6D.6/57.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A.1/100B.1/20C.1/99D.1/508.5人站成一排，甲、乙两人必须站两端的排法种数是（）A.6B.12C.24D.1209.若函数f(x)=x2+mx+1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-∞，-l)∪(l，+∞)10.A.6B.7C.8D.911.实数4与16的等比中项为A.-8B.C.812.在△ABC中，“x2=1” 是“x =1” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.A.B.C.14.若不等式x2+x+c＜0的解集是{x|-4＜x＜3}，则c的值等于（）A.12B.-12C.11D.-1115.下列函数是奇函数且在区间(0, 1)内是单调递增的是( )A.y = xB.y = lgxC.y = e xD.y = cosx16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是( )A.30°B.60°C.45°D.90°17.已知sin2α＜0,且cosa＞0,则α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.已知a∈(π，3/2π)，cosα=-4/5，则tan(π/4-α)等于（）A.7B.1/7C.-1/7D.-719.A=，是AB=的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20.已知的值（）A.B.C.D.二、填空题(20题)21.22.1+3+5+…+（2n-b）=_____.23.己知三个数成等差数列，他们的和为18，平方和是116，则这三个数从小到大依次是_____.24.若集合，则x=_____.25.某机电班共有50名学生，任选一人是男生的概率为0.4,则这个班的男生共有名。

吉林省 2019 年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共 6 题，包含六道大题，共26 道小题。

全卷满分120 分，考试时间为120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，请您将自己的姓名、准考据号填写在答题卡上，并将条形码正确粘贴在条形码地区内。

2．答题时，请您依据考试要求在答题卡上的指定地区内作答，在底稿纸、试题上答题无效。

一、单项选择题（每题 2 分，共 12 分）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第 1题）A．3B．2C． 1D．－ 1答案：D考点：数轴。

分析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，因此，选项中，只有－ 1 有可能，选 D。

2．如图，由 6 个同样的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）正面（第 2题）A ．B．C．D．答案：D考点：三视图。

分析：从上边往下看，能看到一排四个正方形， D 切合。

3．若A ． a a 为实数，则以下各式的运算结果比1 B ． a 1a 小的是（C． a 1）D． a 1考点：实数的运算。

分析： a 1 表示比 a 小 1 的数，因此， B 切合。

4．把图中的交通标记图案绕着它的中心旋转必定角度后与自己重合，A．30° B．90° C． 120°则这个旋转角度起码为（D． 180 °）（第 4题）答案：C考点：旋转。

分析：一个圆周 360°，图中三个箭头，均分圆，每份为 120°，因此，旋转 120°后与自己重合。

选 C。

5．如图，在⊙ O 中， AB 所对的圆周角∠ACB=50 °，若 P 为 AB 上一点，∠ AOP=55 °，则∠ POB 的度数为（）A ．30°B．45°C． 55°D． 60°COBA P（第 5题）答案：B考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。

分析：圆周角∠ ACB、圆心角∠ AOB所对的弧都是弧AB ，因此，∠ AOB＝ 2∠ ACB＝ 100°，∠POB＝∠ AOB－∠ AOP＝ 100°－ 55°＝ 45°，6．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修筑增添了游人在桥上行走的行程，有益于游人更好地观赏风光。

2019年高职单招语文数学样卷及答案（80分钟完卷）亲爱的同学：祝贺你完成了本学期的数学学习，现在是展示你学习成果之时，请认真答卷，尽情的发挥，相信你是最棒的！单独招生考试语文测试卷样卷一.选择题( 共60分每题5分)1.下列加点字的注音全都正确的一项是( )A.酣(gān)睡袅娜(nà) 开天辟(bì)地B.怯(qiè)懦阡(qiān)陌杳(yǎo)无人烟C.兑(tuō)现耸峙(sì) 坚韧(rěn)不拔D.敷(fù)衍两栖(xī) 蓊蓊(wēng)郁郁2.下列词语中加点的字书写全都正确的一项是( )A.生机勃勃再接再励摇拽多姿B.循序渐近情不自尽没精打彩C.惊心动魄随心所欲无独有偶D.心悦诚伏五体投地刻骨明心3.依次选字填空，答案正确的一项是( )喜上眉( ) ①稍②烧③梢④捎名列前( ) ①茅②矛③卯④袤如火如( ) ①菟②茶③搽④荼惨遭杀( ) ①戳②戮③路④虏A.①②③④B.③①②④C.③②①④D.③①④②4.下列成语中加点的字解释错误的一项是( )A.怨天尤(怨恨)人B.含辛茹(吃)苦C.望穿秋水(比喻眼睛)D.永垂(垂下)不朽5.下列各句标点使用正确的一项是( )A.那个姑娘十八、九岁光景。

B.“行啊，”小王说：“叫我干什么?我就干什么。

”C.节日的北京，到处是人，到处是花，到处是欢声，到处是笑语……D.这本书是他的，还是你的?6.下列句子没有语病的一项是( )A.参加校庆活动的有教师、学生和家长，共计500余人。

B.为避免学生不再发生考试作弊，近期学校对学生加强了组织纪律教育。

C.同学们的欢快笑容与悠扬歌声，至今还在我的耳边回响。

D.那是一张两人的合影，左边是一位英姿飒爽的解放军战士，右边是一位文弱的莘莘学子。

7.下列各句与“皎洁的月亮从云缝后面向下窥探着”所使用的修辞手法相同的一项是( )A.朵朵浪花托起一个个美丽的传说。

B.休闲是人生一枚甘甜的果实。

第1页共3页2019年高职院校单独招生试卷数学（四）考试时间：60分钟一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、已知集合},,5,4,1{},,7,4,2{b B a A ==若}{=4,2,1B A ，则（）A 、1,2==b a B 、1,1==b a C 、2,1==b a D 、5,1==b a 2、不等式03>-x 的解集为（）A 、3≥x B 、3-≤x C 、33<<-x D 、33-<>x x 或3、口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率为0.27，那么摸出黑球的概率为（）A 、0.43B 、0.27C 、0.3D 、0.74、25lg lg +的值为（）A 、7lg B 、3C 、2D 、15、函数1lg 3)(-=x x f 的定义域为（）A 、），（∞+0B 、），（）（∞+∞-1010, C 、），（）（∞+1010,0 D 、R 6、下列函数中为减函数的是（）A 、x y =B 、x y sin =C 、x y -=D 、x y sin -=7、已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、58、已知平面向量),2(),3,1(k b a -==，若b a a 2+与垂直，则k 的值为（）A 、1B 、-1C 、21-D 、219、若135sin -=α，且α为第四象限的角，则αtan 的值等于（）A 、512B 、512-C 、125D 、125-10、若直线03=++ay x 与直线012=++y x 相互垂直，则a 的值为（）A 、2B 、21C 、23-D 、-2得分评卷人复查人第2页共3页三、解答题（本大题共3小题，第14小题12分，15题和16题各13分，共38分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。

全卷满分120分，考试时间为120分钟。

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一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－1答案：D 考点：数轴。

解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有－1有可能， 选D 。

2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D 考点：三视图。

解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D 符合。

3．若a 为实数，则下列各式的运算结果比a 小的是（ ） A ．B ．C ．D ．（第1题）（第2题）1a +1a -1a ⨯1a ÷考点：实数的运算。

解析：表示比a 小1的数，所以，B 符合。

4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°答案：C 考点：旋转。

解析：一个圆周360°，图中三个箭头，均分圆，每份为120°， 所以，旋转120°后与自身重合。

选C 。

5．如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°答案：B考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。

解析：圆周角∠ACB 、圆心角∠AOB 所对的弧都是弧AB ， 所以，∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∠POB ＝∠AOB －∠AOP ＝100°－55°＝45°，1a（第4题）»AB »AB OPC BA （第5题）6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。

2021年吉林省吉林市普通高校高职单招数学自考测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.在等差数列{a n}中，若a3+a17=10，则S19等于( )A.65B.75C.85D.952.设集合M={1，2,4,5,6}，集合N={2,4,6}，则M∩N=()A.{2,4,5,6}B.{4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6}D.{2,4,6}3.过点M（2，1）的直线与x轴交与P点，与y轴交与交与Q点，且|MP|=|MQ|，则此直线方程为（）A.x-2y+3=0B.2x-y-3=0C.2x+y-5=0D.x+2y-4=04.A.(1,2）B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)5.下列函数是奇函数的是A.y=x+3B.C.D.6.A.B.(2,-1)C.D.7.函数的定义域为（）A.(0,1]B.(0,+∞)C.[1，+∞)D.(—∞,1]8.A.-1B.-4C.4D.29.A.ac＜bcB.ac2＜bc2C.a-c＜b-cD.a2＜b210.若集合A={0，1，2,3,4}，A={1，2,4}，则A∪B=()A.|0，1，2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1，2}D.{0}11.已知a＜0,0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A.a＞abB.a＞ab2C.ab＜ab2D.ab＞ab212.函数f(x)=log2(3x-1)的定义域为（）A.(0，+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)13.已知a=（4，-4），点A(1,-1),B(2,-2),那么（）A.a=ABB.a⊥ABC.|a|=|AB|D.a//AB14.若事件A与事件ā互为对立事件，则P(A) +P(ā)等于( )A.1/4B.1/3C.1/2D.115.下列函数为偶函数的是A.B.C.16.若102x=25，则10-x等于（）A.B.C.D.17.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.l1丄l2，l2丄l3,l1//l3B.l1丄l2，l2//l3,l1丄l3C.l1//l2//l3,l1,l2，l3共面D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面18.若a=(1/2)1/3，b=㏒1/32,c=㏒1/33,则a，b,c的大小关系是（）A.b＜a＜cB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.c＜b＜a19.对于数列0,0,0,...,0,...,下列表述正确的是()A.是等比但不是等差数列B.既是等差又是等比数列C.既不是等差又不是等比数列D.是等差但不是等比数列20.已知互相垂直的平面α，β交于直线l若直线m，n满足m⊥a，n⊥β则（）A.m//LB.m//nC.n⊥LD.m⊥n二、填空题(20题)21.10lg2 = 。

数学试题 第 页（共4页）1绝密★启用前 2019年吉林省高职高专院校单独招生统一考试数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，把答案涂在答题卡相应的位置上。

1．已知全集U=｛-1，1,3，5,7｝，集合A =｛-1，1,3｝,B =｛5｝,则C U A ∪B是（ ）A ．｛1,3｝B ． ｛5，7｝C ．｛3,5,7｝D ．｛-1，1｝ 2．“x =1”是“x 2=1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 3．直线√3x −y +1=0的斜率是（ ）A. 1B. -1C.3D. -3 4.已知d c b a >>, ,那么下列不等式成立的是( )A ．bc ac >B ．bd ac >C ．d b c a ->-D ．d b c a +>+5.如果直线 a ‖平面α，直线b ⊂α,则直线 a 与b 的位置关系是( ) A ．平行 B ．异面 C ．平行或异面 D ．相交6.观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8，x ，21,34,55，……中，其中x 为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 7.已知圆的方程()()51222=++-y x ，它的圆心所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8. 设向量a=（x ，2），b=（-2，4），且a ⊥b ，则x=（ ） A ．4 B ．1 C ．-1 D ．-49.一个盒子中有20张奖券，其中一等奖2张，二等奖4张，三等奖8张，小明从盒子中任取一张奖券，小名中奖的概率是（ ）A ．12B ．35C ．710D ．4510. 双曲线1162522=-y x ，则它的渐近线方程为（ ）A ． 4x ±5y =0B ．3x ±5y =0C ． 5x ±3y =0D ．5x ±4y =011.已知a =0.32,b =log 20.3,c =20.3,则a,b,c 之间的大小关系是( ) A. a <c <b B. a <b <c C. b <c <a D. b <a <c12.如图所示的4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序（其中s 表示离开 家的距离，t 表示离开家的时间）为 ( )① 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；② 我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③ 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

2021年吉林省吉林市普通高校高职单招数学月考卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=它的前10项的和S n()A.138B.135C.95D.232.从1，2，3，4，5这5个数中，任取四个上数组成没有重复数字的四个数，其中5的倍数的概率是（）A.B.C.D.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是( )A.30°B.60°C.45°D.90°4.设集合A={x|x≤2或x≥6}，B={x||x-1|≤3}，则为A∩B( )A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-4,4]D.[2,4]5.圆（x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为A.1B.2C.D.26.A.B.C.7.已知的值（）A.B.C.D.8.垂直于同一个平面的两个平面()A.互相垂直B.互相平行C.相交D.前三种情况都有可能9.在等差数列{a n}中，如果a3+a4+a5+a6+a7+a8=30，则数列的前10项的和S10为（）A.30B.40C.50D.6010.A.{1,0}B.{1,2}C.{1}D.{-1,1,0}11.已知函数f(x)=㏒2x，在区间[1，4]上随机取一个数x，使得f(x)的值介于-1到1之间的概率为A.1/3B.3/4C.1/2D.2/312.函数和在同一直角坐标系内的图像可以是（）A.B.C.D.13.拋物线y= 2x2的准线方程为( )A.y= -1/8B.y= -1/4C.y= -1/2D.y= -114.函数y=lg(x+1)的定义域是（）A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1，+∞)D.(1,-∞)15.圆（x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.2C.D.16.“a,b,c都不等于0”的否定是A.a,b,c都等于0B.a,b,c不都等于0C.a,b,c中至少有一个不等于0D.a,b,c 中至少有一个等于017.已知平面向量a=(1,3），b(-1,1），则ab=A.(0,4)B.(-1,3)C.0D.218.设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(-1)=()A.-3B.-1C.1D.319.设函数f(x) = x2+1，则f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数20.下列函数为偶函数的是A.B.y=7xC.y=2x+1二、填空题(20题)21.方程扩4x-3×2x-4=0的根为______.22.5个人站在一其照相，甲、乙两人间恰好有一个人的排法有_____种.23.等比数列中，a2=3，a6=6，则a4=_____.24.等差数列的前n项和_____.25.在等比数列{a n}中,a5 =4，a7 =6，则a9 = 。

2022年吉林省吉林市普通高校高职单招数学自考真题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知向量a=（1，1），b=（2，x），若a+b与4b-2a平行，则实数x 的值是（）A.-2B.0C.2D.12.已知向量a=(l，-l)，6=(2，x).若A×b=1，则x=()A.-1B.-1/2C.1/2D.13.A.B.C.D.4.下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在(-∞,0)上单调递增的函数是（）A.f(x)=x2B.f(x)=2|x|C.f(x)=log21/|x|D.f(x)=sin2x5.已知a=（4，-4），点A(1,-1),B(2,-2),那么（）A.a=ABB.a⊥ABC.|a|=|AB|D.a//AB6.若log m n=-1，则m+3n的最小值是（）A.B.C.2D.5/27.已知集合A={1，2，3，4，5，6，7}，B={3，4，5}，那么=（）A.{6，7}B.{1，2，6，7}C.{3，4，5}D.{1，2}8.已知sin(5π/2+α)=1/5，那么cosα=()A.-2/5B.-1/5C.1/5D.2/59.{已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x＜1}则A∩B=()A.{0}B.{-1,0}C.{0，1}D.{-1，0，1}10.A.B.C.11.若集合A = {1，2}，集合B={1}，则集合A与集合B的关系是（）A.B.A=BC.B∈AD.12.如果直线3x+y=1与2mx+4y-5=0互相垂直，则m为（）A.1B.C.D.-213.A.1B.-1C.2D.-214.A.B.C.D.15.椭圆的中心在原点，焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为（）A.x2/16+y2/12=1B.x2/12+y2/8=1C.x2/8+y2/4=1D.x2/12+y2/4=116.设集合A={x|x≤2或x≥6}，B={x||x-1|≤3}，则为A∩B( )A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-4,4]D.[2,4]17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是( )A.30°B.60°C.45°D.90°18.“对任意X∈R，都有x2≥0”的否定为（）A.存在x0∈R，使得x02＜0B.对任意x∈R，都有x2＜0C.存在x0∈R，使得x02≥0D.不存在x∈R，使得x2＜019.设a＞b,c＞d则（）A.ac＞bdB.a+c＞b+cC.a+d＞b+cD.ad＞be20.直线2x-y＋7=0与圆（x-b2）+（y-b2）=20的位置关系是（）A.相离B.相交但不过圆心C.相交且过圆心D.相切二、填空题(20题)21.等差数列{a n}中，已知a4=-4，a8=4,则a12=______.22.若f(X) =，则f(2)= 。

数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}2,1{=A ,}5,3,2{=B ,则=B A C U )(A ．{}3,5B ．{}3,4,5C ．{}2,3,4,5D ．{}1,2,3,4 2. 若复数z 满足5)43(=-z i ，则z 的虚部为 A ．45 B ．－45C ．4D ．－43．设向量)1,(m a =，)3,2(-=b ，若满足//a b ，则m =A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 4．已知R x ∈，则“032>-x x ”是“04>-x ”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是D ．2±6. 在满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00301y y x y x 的平面点集中随机取一点),(00y x M ，设事件A =“002x y <”，那么事件A 发生的概率是A ．41 B ．43C ．31D ．32 7. 某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是A ．300B ．400C ．500D ．600 8. 已知双曲线)0( 13222>=-t x t y 的一个焦点与抛物线281x y =的焦点重合，则此双曲线的离心率为A ．2BC ．3D ．4 9. 有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的 算法的功能是A ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最小整数n .B ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最大整数n .C ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最大整数n +2.D ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最小整数n +2.10. 已知直线01=-++c by ax （0>bc ）经过圆05222=--+y y x 的圆心，则cb 14+的最小值是A ．9B ．8C ．4D ．211. 已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ,则球O 的表面积为A.π7B.π8C.π9D.π10 12. 已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'xx f x f ,则函数xx xf x F 1)()(+=的零点个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3分数0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上. 13. 某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.14. 已知ABC ∆的三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,， 且cb aB A 2cos cos +-=，则角A 的大小为 . 15. 定义运算：⎩⎨⎧<≥=∇)0( )0( xy y xy x y x ，例如：343=∇，44)2(=∇-，则函数)2()(22x x x x f -∇=的最大值为____________.16. 已知)(x f 为定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，有)()1(x f x f -=+，且当[)1,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，给出下列命题：①)2014()2013(-+f f 的值为0；②函数)(x f 在定义域上为周期是2的周期函数； ③直线x y =与函数)(x f 的图像有1个交点；④函数)(x f 的值域为)1,1(-. 其中正确的命题序号有 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17. （本小题满分12分）已知函数2cos 3sin )(+-=x x x f ，记函数()f x 的最小正周期为β，向量)cos ,2(α=a ，))2tan(,1(β+α=b (40π<α<)，且37=⋅b a .(Ⅰ)求)(x f 在区间]34,32[ππ上的最值； (Ⅱ)求α-αβ+α-αsin cos )(2sin cos 22的值.18. （本小题满分12分）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人.（Ⅰ）求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；（Ⅱ）设拳击社团有X 名女生被抽出，求X 的分布列及数学期望)(X E .19. （本小题满分12分）四棱锥ABCD S -，底面ABCD 为平行四边形， 侧面⊥SBC 底面ABCD .已知 135=∠DAB ，22=BC ，2===AB SC SB ，F 为线段SB 的中点.（Ⅰ）求证：//SD 平面CFA ；（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成二面角大小.20. （本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，b ax x g +=21)(. （Ⅰ）若)(x f 与)(x g 在1=x 处相切，试求)(x g 的表达式； （Ⅱ）若(1)()()1m x x f x x ϕ-=-+在),1[+∞上是减函数，求实数m 的取值范围； （Ⅲ)证明不等式：<+12n n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n nn 1312112+++++< .21. （本小题满分12分）已知两点)0,2(),0,2(B A -，直线AM 、BM 相交于点M ，且这两条直线的斜率之积为34-. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）记点M 的轨迹为曲线C ，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，直线PE 、PF 与BA圆()2221x y r -+=（302r <<）相切于点E 、F ，又PE 、PF 与曲线C 的另一交点分别为Q 、R .求△OQR 的面积的最大值（其中点O 为坐标原点）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆1O 与圆2O 外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A B 、两点，AC 是圆1O 的直径，过C 作圆2O 的切线，切点为D . （Ⅰ）求证：B P C ,,三点共线； （Ⅱ）求证：CA CD =.23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ，曲线2C 的极坐标方程为6π=θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. （p ∈R ） （Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；（Ⅱ）曲线1C 与直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231（t 为参数）分别相交于N M ,两点，求线段MN 的长度.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数|32||22|)(-++=x x x f .（Ⅰ）若R x ∈∃，使得不等式m x f <)(成立，求m 的取值范围； （Ⅱ）求使得等式|14|)(-≤x x f 成立的x 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 328π- 14.32π15.4 16.①③④三、解答题：本大题共70分.17. 解：(Ⅰ) 2cos 3sin )(+-=x x x f =2)3sin(2+π-x --------3分∈x ]34,32[ππ，],3[3ππ∈π-∴x ---------------4分 ∴)(x f 的最大值是4，最小值是2 ---------------6分(Ⅱ) π=β2 ---------7分 ∴37sin 2)tan(cos 2=α+=π+αα+=⋅b a31sin =∴α ---------------9分 α-αβ+α-α∴sin cos )(2sin cos 22=α-αα-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324 --------12分 (此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理)18. 解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人∴mm +++=+28402018286 ∴2=m -----------3分设=A “拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”14548)(63012528==∴C C C A P --------------------6分 （Ⅱ）由题意可知：0X =，1，2 ==)0(X P 14592630628=C C ， ==)1(X P 1454863012528=C C C ==)2(X P 291145563022428==C C C ---------------------9分------------11分145582912145481145920)(=⨯+⨯+⨯=∴X E ------------------12分 19. 解：(Ⅰ) 连结BD 交AC 于点E ，连结EF由于底面ABCD 为平行四边形 E ∴为BD 的中点. ------------------2分 在BSD ∆中，F 为SB 的中点 ∴SD EF // ------------------3分 又因为⊂EF 面CFA ，⊄SD 面CFA ，∴//SD 平面CFA . ------------------5分(Ⅱ)以BC 的中点O 为坐标原点，分别以OS OC OA ,,为z y x ,,轴，建立如图所示的坐标系.则有)0,0,2(A ，)0,2,0(-B ，)2,0,0(S ，)0,2,0(C)2,0,2(-=∴SA ，)2,2,0(--=SB ，)2,2,0(-=CS ，)0,2,2(==BA CD------------------7分设平面SAB 的一个法向量为),,(1z y x n = 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011SB n SA n得00-==⎪⎩， 令1=z 得：1,1-==y x ∴)1,1,1(1-=n --------9分 同理设平面SCD 的一个法向量为),,(2c b a n =B由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022CS n CD n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+022022c b b a ，令1=b 得：1,1=-=c a ∴)1,1,1(2-=n ------------------10分 设面SCD 与面SAB 所成二面角为θ|||||,cos |cos 212121n n n n =><=∴θ=3131arccos =θ∴ ---------------12分20. 解：（Ⅰ）由已知 且x x f 1)(=' a f 211)1(=='∴ 得：2=a ------------------2分 又b a g +==210)1( ∴1-=b ∴ 1)(-=x x g ----------------3分 （Ⅱ）(1)()()1m x x f x x ϕ-=-+=(1)ln 1m x x x --+在),1[+∞上是减函数， 0)1(1)22()(22≤+--+-=ϕ'∴x x x m x x 在),1[+∞上恒成立. ------------------5分即01)22(2≥+--x m x 在),1[+∞上恒成立，由xx m 122+≤-，),1[+∞∈x ),2[1+∞∈+xx 222≤-∴m 得2≤m ------------------6分 （Ⅲ)由（Ⅰ）可得：当2≥x 时：)1(21ln -≤-<x xx x )1(21ln -<∴x x x 得：x x x ln 1)1(2<- xx x ln 1)111(2<--∴ ------------------8分 当2=x 时：2ln 1)2111(2<- 当3=x 时：3ln 1)3121(2<- 当4=x 时：4ln 1)4131(2<- …… 当1+=n x 时：)1ln(1)111(2+<+-n n n ，2,≥∈+n N n 上述不等式相加得：<+-)111(2n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n 即：<+12n n)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n ① ------------------9分 由（Ⅱ）可得：当2=m 时：)(x ϕ=x x x ln 1)1(2-+-在),1[+∞上是减函数 ∴当1>x 时：0)1()(=ϕ<ϕx 即x x x ln 1)1(2-+-0< 所以1)1(2ln +->x x x 从而得到：1121ln 1-+⋅<x x x -----------------11分 当2=x 时：13212ln 1⋅< 当3=x 时：24213ln 1⋅< 当4=x 时：35214ln 1⋅<…… 当1+=n x 时：nn n 221)1ln(1+⋅<+，2,≥∈+n N n 上述不等式相加得：)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n )2352413(21nn +++++< )2322212(21n n +++++=n n 1312112+++++= 即)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n nn 1312112+++++< ② 综上：<+12n n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n n n 1312112+++++< （2,≥∈+n N n ）------------------12分21. 解：（Ⅰ）设点),(y x M ，43-=BM AM K K 3224y y x x ∴⋅=-+- ----------2分 整理得点M 所在的曲线C 的方程：22143x y +=（2x ≠±） -----------------3分 （Ⅱ）由题意可得点P （31,2） -----------------4因为圆()2221x y r -+=的圆心为（1，0），所以直线PE 与直线PF 的斜率互为相反数----------5分 设直线PE 的方程为3(1)2y k x =-+， 与椭圆方程联立消去y ，得：()2222(43)(128)41230k x k k x k k ++-+--=， -------------6分由于x =1是方程的一个解，所以方程的另一解为22412343Q k k x k --=+ ------------7分同理22412343R k k x k +-=+ ------------8分 故直线RQ 的斜率为33(1)(1)22R Q R Q RQR Q R Q k x k x y y k x x x x --+----==--=22286(2)14324243k k k k k ---+=+------------9分把直线RQ 的方程12y x b =+代入椭圆方程，消去y 整理得2230x bx b ++-=所以RQ==------------10分原点O到直线RQ的距离为d=------------11分12ORQS∆==≤=---------------------12分22. 解：（Ⅰ）连结PC，PA，PB，BO2，AC是圆O1的直径∴90=∠APC------------2分连结O1O2必过点PAB是两圆的外公切线，BA,为切点∴α=∠=∠ACPBAP∴α=∠21PAO由于ABBOABAO⊥⊥21,∴α-π=∠22PBO∴α=∠BPO2又因为902=∠+∠BPOABP∴90=∠+∠BAPABP∴BPC,,三点共线.------5分（温馨提示：本题还可以利用作出内公切线等方法证明出结论，请判卷老师酌情给分！）（Ⅱ）CD切圆O2于点D ∴CBCPCD⋅=2------------7分在ABC∆中，90=∠CAB，又BCAP⊥∴CBCPCA⋅=2故CACD=------------10分23. 解：（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧π=θ=θρ682cos2得：83cos2=πρ162=ρ∴，即4±=ρ------------3分所以A、B两点的极坐标为：)6,4(),6,4(π-πBA或)67,4(πB------------5分（Ⅱ）由曲线1C的极坐标方程得其普通方程为228x y-=------------6分将直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231代入228x y -=，整理得014322=-+t t ------------8分 所以1721)14(4)32(||2=-⨯-=MN -----------10分24. 解：（Ⅰ）由|32||22|)(-++=x x x f =|)23||1(|2-++x x 5≤ -----------3分 ∴使得不等式m x f <)(成立的m 的取值范围是 5>m -----------5分 （Ⅱ）由|32||22|)(-++=x x x f |3222|-++≥x x =|14|-x -----------7分 所以|22||23|x x ++-=|41|x -，当且仅当0)32)(22(≥-+x x 时取等--------9分所以x 的取值范围是)23[]1,(∞+--∞ -----------10分。

向量1、已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c ＝( )A ．(2,1)B ．(1,0)C ．(32，12)D ．(0，－1)[答案] A[解析] 设c ＝(x ，y )，由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b 可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y －2＝0y ＋1＝2(x －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，因此c ＝(2,1)． 2．已知OA →＝(cos75°，sin75°)，OB →＝(cos15°，sin15°)，则|AB →|＝ ( ) A.12 B.22 C.33 D ．1 解析：|AB |＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2 ＝(sin15°－cos15°)2＋(cos15°－sin15°)2 ＝2(cos15°－sin15°) ＝2sin30°＝1. 答案：D3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于 ( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)， 由(m a ＋n b )∥(a －2b ) －(2m －n )＝4(3m ＋2n ) 整理得14m ＝－7n ，则m n ＝－12.答案：C4. 在ABC ∆中，1AB =，3AC =，D 是BC 边的中点，则AD BC ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】A 【解析】AD BC ⋅=()()()()()41921212122=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅+AB AC AB AC AC AB . 5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，OA →·AB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝m OA →＋n OB → (m ，n ∈R )，则mn等于 ( )A ．1B ．2C ．±2 D. 2 解析：建立直角坐标系如图所示， 设C (r cos 45°，r sin 45°) 由OC →＝m OA →＋n OB →得 ⎩⎨⎧r cos 45°＝m r sin 45°＝2n ，mn ＝ 2. 答案：D6．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，BD →＝DC →，则AD →·BD →的值为 ( ) A ．－23 B.23 C ．－34 D.34解析：AD →＝12(AB →＋AC →)，BD →＝12BC →＝12(AC →－AB →)，AD →·BD →＝14(AC →2－AB →2)＝－34.答案：C7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝ ( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则 有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有m ＝－79，n ＝－73.答案：D8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为 ( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2 解析：解法一： 由a ·b ＝0如图建立直角坐标系xOy ，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 设c ＝(cos θ，sin θ), (a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－ sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ－sin θ＝1－sin θ－cos θ＝1－ 2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≥1 － 2.解法二：(a －c )·(b －c )＝c 2－c ·(a ＋b )≥1－|c ||a ＋b | ＝1－(a ＋b )2＝1－ 2.答案：D9、已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为 ( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at ) ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.10、设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于 ( ) A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3[答案] B[解析] 由条件知，a ·b |b |＝2，a ·b|a |＝1，a ·b ＝4，∴|a |＝4，|b |＝2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝44×2＝12， ∴〈a ，b 〉＝π3.11、已知OA →＝(3,1)，OB →＝(2,4)，|BC →|＝1，点C 在直线OA 上的射影为点D ，则|OD →|的最大值为 ( )A ．10＋10B ．10－10 C.10＋1 D.10－1[答案] C[解析] ∵|BC →|＝1，∴C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，设C (cos α＋2，sin α＋4)． 又∵|OD →|＝|OC →·OA →||OA →|＝|3(cos α＋2)＋sin α＋4|10＝|10sin(α＋φ)＋10|10≤10＋1010＝10＋1.12、已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A 、B 的大小分别为 ( ) A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[答案] C[解析] 解法1：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， 又∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.在△ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，又sin (A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1， ∴C ＝π2，故B ＝π6.解法2：接解法1中，A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C ，∴2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 13、设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3) 又c ＝(－4，－7)，且(λa ＋b )∥c ， 则(－4)(2λ＋3)＝－7(λ＋2)，λ＝2.答案：214、已知两个向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则x 的值为________． 解析：a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －2b ＝(2－2x,2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －2b )，∴(1＋2x )×2－(2－2x )×4＝0， ∴x ＝12.答案：1215、向量a ，b ，c ，满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________． 解析：解法一：由已知a·c －b·c ＝0，a·b ＝0，|a|＝1， 又a ＋b ＋c ＝0，∴a·(a ＋b ＋c )＝0, 即a 2＋a·c ＝0， 则a·c ＝－1，由a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，即a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2b·c ＋2c·a ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＝－4c·a ＝4. 解法二：由已知条件向量a 、b 、c 的关系如图所示．可观察出|a |＝ |b|＝1，|c |＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c |2＝4. 答案：416、已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值． 解：∵|m ＋n |＝825，即(m ＋n )2＝12825.整理得：m 2＋2m·n ＋n 2＝12825.又m ＝(cos θ，sin θ)，n ＝(2－sin θ，cos θ)．则4＋22cos θ－22sin θ＝12825，即22cos θ－22sin θ＝725，因 此cos(θ＋π4)＝725.又π<θ<2π，即5π8<θ2＋π8<9π8.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－1＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42＝－45.17、设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c |的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α ＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β ≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b . 18、设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小；(2)求ac的值．[解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. ∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3， a 2＝34c 2，∴a c ＝32.19. 已知函数()()212cos 2f x x x x R =--∈． （I ）当[]0,x π∈时，求()f x 的最大值和最小值；（II ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量()1,sin m A =与向量()2,sin n B =共线，求,a b 的值．【答案】（I ）()()max min 0,2f x f x ==-；（II ）1, 2.a b ==（I ）利用倍角公式等将函数()f x 化为一个复合角的三角函数关系式，再根据给定的函数的定义域求()f x 的最大值和最小值；（II ）()()sin 210,0.1sin 2sin ,63f C C C C B A πππ⎛⎫=--=∴=<<⋅=⋅ ⎪⎝⎭sin 2sin .0,36A A A πππ⎛⎫⎛⎫∴--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又0,,,62A A B πππ<<∴==∴在直角ABC∆中，1, 2.a b == 试题解析：（I ）()1cos 21122cos 21sin 2 1.222226x f x x x x x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭ [][]()()max min 110,,2,,sin 21,1,0,26666x x x f x f x πππππ⎡⎤⎛⎫∈∴-∈-∴-∈-∴==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． （II ）()sin 2106f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，()03C C ππ∴=<<1sin 2sin B A ⋅=⋅，sin 2sin 3A A ππ⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭06A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 又0,,,62A AB πππ<<∴==∴在直角ABC ∆中，1, 2.a b ==20. 已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且x ∈[0，2π]；(I ）求b a ·+ (II ）若f (x)＝xb a ·，求f (x)的最大值与最小值． 【答案】⑴b a ·＝)2sin (23sin 2cos 23cos x x xx -+＝2sin 23sin 2cos 23cos x x x x -＝)223cos(x x + ＝x 2cos＝b a b a ·222++＝1＋1＋2cos2x ＝2＋2cos2x ＝4cos 2x ∵x ∈[0，2π] ∴cosx ≥02cosx⑵ f (x)＝cos2x －3·2cosx ·sinx ＝cos2x －3sin2x＝2cos(2x ＋3π) ∵0≤x ≤2π ∴34323π≤π+≤πx ∴21)32cos(1≤π+≤-x ∴1)(2≤≤-x f ∴2)(min-=x f ，当x ＝3π时取得该最小值 1)(max=x f ，当x ＝0时取得该最大值 21、 已知向量m n x ),1,(sin -=)23,(cos x =，.)()(m n m x f ⋅+= （1）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的值域：（2）锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若1023)2(,27,245===B f b c a ，求边c a ,. 【答案】试题解析：（1）1(sin cos ,)2m n x x +=+，所以21111()(sin cos )sin sin sin cos sin 2cos 22222f x x x x x x x x x =+-=+-=-，即()f x )24x π=-，当[0,]2x π∈时，32[,]444x πππ-∈-，sin(2)[42x π-∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的值域是1[,22-；（2）由()25B f =，得3sin()45B π-=，又(,)444B πππ-∈-， 所以4cos()45B π-=，因此cos cos[()]cos()cos sin()sin 44444410B B B B ππππππ=-+=---=,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2223298225c c =+-所以：8c a ==。

2019年吉林单招文科数学模拟试题（一）【含答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U=Z，A={﹣3，1，2}，B={1，2，3}，则A∩∁UB为（）A．{﹣3，1} B．{1，2} C．{﹣3} D．{﹣3，2}2．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若•=﹣，则t等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx5．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4] D．（﹣∞，4]6．已知角α是第二象限角，直线2x+（tanα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．28．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．99．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）A．me=m0=B．me=m0＜C．me＜m0＜D．m0＜me＜11．过点O（0，0）作直线与圆（x﹣4）2+（y﹣8）2=169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为（）A．B．C．D．12．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20D．46二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．将函数f（x）=cos2x+sin2x的图象向左平移m（m＞0）单位后所得的图象关于y 轴对称，则m的最小值为．16．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}的通项公式是bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．18．某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组．（Ⅰ）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；（Ⅱ）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分别在线段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．（1）求证：BC⊥AC1；（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．（1）若函数f（x）在x=1处于直线y=﹣相切，求函数f（x）在[，e]上的最大值；（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，求实数m 的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．2019年吉林单招文科数学模拟试题（一）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U=Z，A={﹣3，1，2}，B={1，2，3}，则A∩∁UB为（）A．{﹣3，1} B．{1，2} C．{﹣3} D．{﹣3，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意利用补集的定义求得∁UB，再根据两个集合的交集的定义求得A∩∁UB．【解答】解：∵U=Z，A={﹣3，1，2}，B={1，2，3}，∴∁UB={…，﹣2，﹣1，0，4，5，6，…} 则A∩∁UB={﹣3}，故选：C．2．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．3．已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若•=﹣，则t等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可知，进行数量积的运算即可由得出关于t的方程，解出t即可．【解答】解：===；解得t=﹣2．故选D．4．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．5．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4] D．（﹣∞，4]【考点】充要条件．【分析】由x＞2得到x2＞4，根据充分不必要条件的概念得：a≤4．【解答】解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．6．已知角α是第二象限角，直线2x+（tanα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】直线的斜率．【分析】表示出k，求出tanα，根据角α是第二象限角，求出cosα即可．【解答】解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】程序框图．【分析】已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．【解答】解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：8．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选B9．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度．【解答】解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）A．me=m0=B．me=m0＜C．me＜m0＜D．m0＜me＜【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜me＜，故选：D．11．过点O（0，0）作直线与圆（x﹣4）2+（y﹣8）2=169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用圆的标准方程求出圆的圆心及半径，求出当直线与圆心和（0，0）连线垂直时的弦长即最短的弦长，求出直径即最大的弦长，求出最大弦长与最小弦长之间的所有的直线条数，选出长度不超过14的直线条数，利用古典概型概率公式求出概率．【解答】解：（x﹣4）2+（y﹣8）2=169的圆心为（4，8），半径为13，∵（0，0）在圆的内部且圆心与（0，0）的距离为12∴过点O（0，0）作的直线中，最短的弦是直线与圆心和（0，0）连线垂直最短的弦长为2=10，过点O（0，0）作的直线中，最长的弦是直径，其长为26弦长均为整数的所有直线的条数有2×（25﹣10）+2=32其中长度不超过14的有：10，11，11，12，12，13，13，14，14共9条所以长度不超过14的概率为．故选C．12．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20D．46【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为正方体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求．【解答】解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．将函数f（x）=cos2x+sin2x的图象向左平移m（m＞0）单位后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得图象对应的函数解析式，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得m的最小值．【解答】解：将函数f（x）=cos2x+sin2x=cos（2x﹣）的图象向左平移m（m＞0）单位后，得到y=cos（2x+2m﹣）的图象，由于所得图象关于y轴对称，∴2m﹣=kπ，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．16．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为为﹣x2=1．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}的通项公式是bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，利用S6=51，求出a1+a6=17，可得a2+a5=17，从而求出a2=4，可得公差，即可确定数列{an}的通项公式；（2）求出数列{bn}的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴an=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）bn==﹣2•8n﹣1，∴数列{bn}的前n项和Sn==（8n﹣1）．18．某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组．（Ⅰ）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；（Ⅱ）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由题意推导出演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．由此能求出选出的两名同学恰有一名女同学的概率．（Ⅱ）由已知条件分别求出两个演讲的同学的方差，由此能求出哪位同学的成绩更稳定．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：P==．设演讲比赛小组中有x名男同学，则6817=4x，∴x=1，∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种．其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P==．（Ⅱ）﹣x1=51×（69+71+72+73+75）=72，﹣x2=51×（70+71+71+73+75）=72，=51×[（69﹣72）2+（71﹣72）2+（72﹣72）2+（73﹣72）2+（75﹣72）2]=4，=51×[（70﹣72）2+（71﹣72）2+（71﹣72）2+（73﹣72）2+（75﹣72）2]=3.2．因此第二个演讲的同学成绩更稳定．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分别在线段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．（1）求证：BC⊥AC1；（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的性质．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理只要证明BC⊥面AA1C1C，即可．（2）根据线面平行的判定定理和性质定理，即可确定F的位置．【解答】解：（1）∵AA1⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥AA1．又∵BC⊥AC，AA1，AC⊂面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴BC⊥面AA1C1C，又AC1⊂面AA1C1C，∴BC⊥AC1．（2）（法一）当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG．∵B1E=3EC1，∴EG=43A1C1，又AF∥A1C1且AF=43A1C1，∴AF∥EG且AF=EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，又EF⊄面A1ABB1，AG⊂面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1．（法二）当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．理由如下：在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连结FG．∵EG∥BB1，EG⊄面A1ABB1，BB1⊂面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1．∵B1E=3EC1，∴BG=3GC，∴FG∥AB，又AB⊂面A1ABB1，FG⊄面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1．又EG⊂面EFG，FG⊂面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面A1ABB1．∵EF⊂面EFG，∴EF∥平面A1ABB1．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．（1）若函数f（x）在x=1处于直线y=﹣相切，求函数f（x）在[，e]上的最大值；（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，求实数m 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数f′（x），由条件可得f（1）=﹣且f′（1）=0，列出方程，解出a，b即可；（2）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h（a）min．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣2bx，又函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴，解得．f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=﹣x=﹣，当x∈[，1），f′（x）＜0，f（x）递增，当x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）的最大值为f（1）=﹣；（2）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）min．∵x∈[1，e2]，∴lnx≥0，∴h（a）在[1，]上单调递增，∴h（a）min=h（1）=lnx﹣x，∴m≤lnx﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．由y=lnx﹣x（1＜x≤e2）的导数为y′=﹣1＜0，则函数y=lnx﹣x（1＜x≤e2）递减，∵1＜x≤e2，∴lnx﹣x≥2﹣e2，则m≤2﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，2﹣e2]．21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆C的方程．（2）直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程为，从而得到l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定点．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB 以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集为R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．。