13矢量微分算子

矢量微分运算公式汇总1.矢量的求导：设矢量f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))，则它的导数为：df/dt = (df1/dt, df2/dt, df3/dt)2.矢量的积分：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，则矢量场F(x,y,z)沿曲线C的积分为：∫F·dr = ∫(F·r'(t)) dt，其中r'(t)为r(t)的导数。

3.散度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的散度为：div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z4.散度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇·(UF+VG)=U∇·F+V∇·G∇·(F×G)=G·(∇×F)-F·(∇×G)（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇·(ΦF)=(∇Φ)·F+Φ∇·F5.旋度：设矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则它的旋度为：rot F = ∇×F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) 6.旋度的运算公式：（1）若U和V是标量场，F和G是矢量场，则有：∇×(UF+VG)=U∇×F+V∇×G（2）若F是矢量场，Φ是标量场，则有：∇×(ΦF)=(∇Φ)×F+Φ∇×F7.保守场：若矢量场F是一个保守场，则存在标量场Φ，使得F=∇Φ。

在保守场下，散度和旋度之间满足如下关系：∇·(∇×F)=08.梯度：设标量场Φ(x,y,z)grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)9.梯度的运算公式：若U和V是标量场，F是矢量场，则有：∇·(U∇V)=∇U·∇V+UΔV∇×(U∇V)=U∇×∇V=0∇·(F×G)=G·∇×F-F·∇×G∇×(F×G)=(∇·G)F-(∇·F)G+(G·∇)F-(F·∇)G以上是一些常见的矢量微分运算公式汇总，这些公式在向量分析的求解中起到了重要的作用。

常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯∙叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b 及()123,,c c c c 则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i cj c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b ⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯⨯叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-∙+∙ （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c∙=⨯⨯+∙ （1-210）3.算子（a ∇）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。

（a ∇）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。

如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a，则()dr φ∇是φ在位移方向d r的变化率的d r倍，即d φ。

()()d dr dr φφφ=∇=∇若将()dr ∇作用于矢量v，则()dr v∇就是v 再位移方向d r变化率的d r倍，既为速度矢量的全微分()dv d r v=∇ 应用三重矢量积公式（1-209）()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙应用三重矢量积公式（1-210）又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙将以上两式结合（相减）后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例，令a b v==，因()0v v ∇⨯⨯=则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用 令φ是标量，a 是矢量，;a b为并矢量，则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇在直角坐标中，令2222222()x y z y x zx y zx y za ia ja ka ij k x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y za a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε，其单位矢量123(,,)e e e ，将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。

《电磁场与电磁波理论》思考题第1章思考题1.1 什么是标量？什么是矢量？什么是矢量的分量？1.2 什么是单位矢量？什么是矢量的单位矢量？1.3 什么是位置矢量或矢径？直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的？1.4 什么是右手法则或右手螺旋法则？1.5 若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么？矢量积又如何？1.6 若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么？标量积又如何？1.7 若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？1.8 若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？1.9 直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算？1.10 什么是场？什么是标量场？什么是矢量场？1.11 什么是静态场或恒定场？什么是时变场？1.12 什么是等值面？它的特点有那些？1.13 什么是矢量线？它的特点有那些？1.14 哈密顿算子为什么称为矢量微分算子？1.15 标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？1.16 什么是通量？什么是环量？1.17 矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？1.18 矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？1.19 什么是拉普拉斯算子？标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的？1.20 直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？1.21 三个重要的矢量恒等式是怎样的？1.22 什么是无源场？什么是无旋场？1.23 为什么任何一个梯度场必为无旋场？为什么任何一个无旋场必为有位场？1.24 为什么任何一个旋度场必为无源场？为什么任何一个无源场必为旋度场？1.25 高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么？1.26 什么是矢量的唯一性定理？1.27 在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？1.28 直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？1.29 圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？1.30 球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。

矢量微分算子和拉普拉斯算子一、矢量微分算子（一）形式定义：x y z∂∂∂∇=++∂∂∂i j k 我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。

（二）用法定义1.铺垫定义:)()()(,,,,,,u x y z x u x y z x u x y z x ∂∂∂∂∂∂)()()(,,,,,,u x y x u x y z y u x y z z∂∂∂∂∂∂是标量函数，轴、y 轴、z 轴方向的单位矢量。

2.跟标量函数(),,u x y z 相乘u x ∂⎛⎫+ ⎪∂⎝⎭i 我们看到这跟普通矢量与标量的乘法形式上一样。

3.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 点乘)4.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 叉乘x y PQ∂∂∂∂我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的叉乘的定义形式上一样。

（三）按照以上定义，我们容易得出：1.根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数(),,u x y z 的梯度，即()grad u u =∇2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 的散度，即()div =∇⋅A A^3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 的旋度，即()rot =∇⨯A A二、拉普拉斯算子（一）形式定义：222x y ∂∂+∂∂我们发现拉普拉斯算子在形式上是个标量。

（二）用法定义：1.铺垫定义:)()()(222222,,,,,,u x y x u x y y u x y z ∂∂∂∂∂∂2.跟标量函数(),,u x y z 相乘 &22uu x ∂⋅+∂∂3.跟矢量函数()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 数乘222222x y x y ⎛∂∂+ ∂∂⎝⎛∂∂+ ∂∂⎝（三）注意1.()2u u ∇=∇⋅∇2.()2∇≠∇∇⋅A A 且()()2=∇∇⋅-∇∇⨯∇⨯A A A3.()()2∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇A A Ak ()()()()()()()()()()222222222222222222222222222222222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z x y z P x y z Q x y z R x y z x y z x y z x y z P x y z P x y z P x y z x y z Q x y x ⎛⎫∂∂∂∇++++=⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂⋅+⋅+⋅+⎪∂∂∂⎝⎭∂⋅∂A =i j k i j +k =i ()()()()()()2222222222222222222222222222,,,,,,,,,,,z Q x y z Q x y z y z R x y z R x y z R x y z x y z P P P Q Q Q R R R x y z x y z xy z ⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂⋅+⋅+⋅=⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭j +k i +j +k。

矢量微分公式推导一、矢量微分的概念在矢量微积分中，微分是变化率的近似表示。

矢量微分则是对矢量函数进行微分的过程。

对于一个多元函数，其微分可以看作是函数在某一点附近的线性逼近。

二、矢量微分公式的推导假设有一个矢量函数f(x)，其中x是自变量，f(x)是一个矢量。

我们希望推导出矢量微分的公式。

我们将f(x)在x0处进行泰勒展开，展开到一阶项，可以得到以下表达式：f(x) ≈ f(x0) + (x - x0)·∇f(x0)其中，∇f(x0)是函数f(x)在点x0处的梯度，它是一个向量。

假设∇f(x0)的分量为(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)，则∇f(x0)·(x - x0)就是向量的点积。

接下来，我们将(x - x0)·∇f(x0)进行展开，得到：(x - x0)·∇f(x0) = (x1 - x01)∂f/∂x1 + (x2 - x02)∂f/∂x2 + ... + (xn - x0n)∂f/∂xn这个展开的结果就是矢量微分的公式，可以表示为：df = ∇f(x0)·dx其中，dx是自变量x的微小增量，它也是一个向量。

df是函数f(x)的微分，也是一个向量。

三、矢量微分公式的应用矢量微分公式在物理学中有广泛的应用。

例如，在力学中，我们可以用矢量微分来描述物体受力的变化情况。

在电磁学中，矢量微分可以用来描述电磁场的变化和传播。

在工程学中，矢量微分也有重要的应用。

例如，在流体力学中，我们可以用矢量微分来描述流体的速度场和压力场的变化。

在控制系统中，矢量微分可以用来描述系统的动态特性和稳定性。

四、总结矢量微分公式是微积分中的重要内容，它可以用来描述矢量函数的微分。

本文通过推导矢量微分公式，并对其进行详细的解释和阐述，希望能够让读者对矢量微分有更深入的理解。

矢量微分公式在物理、工程学和数学等领域中有广泛的应用，它为我们研究和解决实际问题提供了重要的数学工具。