北京理工大学848理论力学2015年考研冲刺班辅导讲义讲解

三、向量【考试内容】向量的概念,向量的线性组合和线性表示,向量组的线性相关与线性无关,向量组的极大线性无关组,等价向量组,向量组的秩,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,向量空间及其相关概念,n维向量空间的基变换和坐标变换,过渡矩阵,向量的内积,线性无关向量组的正交规范化方法,规范正交基,正交矩阵及其性质. 【考试要求】1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩．4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．(数学一)6.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵．（数学一）7.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8.了解规范正交基（数学一）、正交矩阵的概念以及它们的性质．【试题分类】题型3.1 向量的线性组合与线性表示题型3.2 向量组的线性相关性题型3.3 求向量组的秩与矩阵的秩题型3.4 有关向量空间的命题【分数分布】从表中可以看出,本部分平均每年直接命题约占总分的3.38%,约占线性代数部分的15.35%,重点是向量组线性相关、线性无关的概念及其判定问题，其所占分值近半．【例题分析】题型3.1 向量的线性组合与线性表示例3.1 (89, 3分) 设A 是n 阶矩阵, 且A 的行列式0=A ，则A 中(A) 必有一列元素全为0. (B) 必有两列元素对应成比例. (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3.2 (91, 8分) 已知),5,3,1,1(),3,2,0,1(21==αα)8,4,2,1(),1,2,1,1(43+=+-=a a αα, )5,3,1,1(+=b β.(1) b a ,为何值时,β不能表示成4321,,,αααα的线性组合?(2) b a ,为何值时,β有4321,,,αααα的唯一的线性表示式?并写出该表示式.例3.3 (92, 7分) 设向量组321,,ααα线性相关, 向量组432,,ααα线性无关, 问:(1) 1α能否由32,αα线性表出?证明你的结论.(2) 4α能否由321,,ααα线性表出?证明你的结论.例3.4已知向量,),,,(,),,,(T T 2143121121--=--=ααTT),,,(,),,,(031335443λαα-=--=, Tk ),,,(150-=β.(1)k ,λ为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表出?(2) k ,λ为何值时,β可由4321,,,αααα线性表出?并写出该表示式.(4) (2011) (11分) 设向量组TTT)5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由向量组TT T a ),4,3(,)3,2,1(,)1,1,1(321===βββ线性表示。

本资料由理硕教育整理，理硕教育是全国唯一专注于北理工考研辅导的学校，相对于其它机构理硕教育有得天独厚的优势。

丰富的理工内部资料资源与人力资源确保每个学员都受益匪浅，确保理硕教育的学员初试通过率89%以上，复试通过率接近100%，理硕教育现开设初试专业课VIP一对一，初试专业课网络小班，假期集训营，复试VIP一对一辅导，复试网络小班，考前专业课网络小班，满足学员不同的需求。

因为专一所以专业，理硕教育助您圆北理之梦。

详情请查阅理硕教育官网848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、圆盘、圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。

②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，平面运动刚体的速度瞬心，平面运动刚体的加速度瞬心，平面运动刚体上点的曲率中心，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是动点的相对速度和相对加速度，动点的牵连速度和牵连加速度，动点的科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘的运动描述和所受摩擦力特性，物体平衡与力系平衡的差别，刚体转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、对某点的动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移概念和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。

③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及加速度合成公式的投影法对平面运动刚体系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦物系平衡问题的求解，物系动力学基本特征量(动能、动量、对某点的动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解物系的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解物系动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度。

2015年北京理工大学机械与车辆学院考研
本人为北京理工大学机械与车辆学院的2012级硕士研究生，考研理论力学分数为140+，曾多次辅导过考研的学生，在启航、海文、海天都辅导过学生,利用课余时间自己编写了2001-2013年的理论力学真题答案，完全按照考研教材的答题模式,另外还有8套模拟题，买资料考研全程提供解惑答疑。

请大家不要相信某些商家吹嘘的什么独家资料独家真题，现在能弄到真题真的不是事了，848理论力学考研真题都在制定教材的后面，其中01-03年真题在《工程力学学习指导》上，04-09年在兵器出版社出版的《工程力学教程-理论力学》（这本书现在已经不再出版），10-13年的真题在电子工业出版社的《理论力学教程上》（水小平老师亲自编写的新版考研教材，2013年就已经出版了）所以对于那些吹嘘自己才有独家真题的那些商家，我深深的鄙视你们，我想对你说你out 了。

第二，根本就不需要什么本科生课件，笔记，期末考题，而且也没有时间看那么多东西！首先，因为这些东西和真题的出入以及出题形式真的差别比较大，出题思想在课本以及真题里就已经很明了了，其次本科生的笔记和课件东西是很多的，要想从里面找到考研的中心内容，难度可想而知。

大家都学习过理论力学，还需要课件吗？再次，课本上包含大量的和真题接近的例题以及解答，这些东西就够了。

所以有些商家卖了一堆没用的资料，什么课件，笔记，期末考题，还卖那么贵，我只能说是在忽悠大家第一次考研，相信你们过后肯定会后悔！并没有只要大家把课本和真题吃透，然后在做几套模拟题，就没
问题。

最后，我的淘宝小店大家有需要的可以联系我，里面有历年真题解析，以及模拟题，买资料全程提供辅导，价格可以优惠。

球球号:二九九四一六零四一九。

内部资料翻版必究1.2，1.3，1.4，1.5，1.62.4，2.9，2.10，2.12，2.16，2.18，2.23，2.24，2.29，2.30，2.32，2.333.6，3.7，3.8，3.16，3.17，3.18，3.19，3.20，3.21，3.305.2，5.3，5.4，5.6，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，7.7，7.8，7.9，7.10，7.12，7.14，7.15，7.20，7.26，7.2719.5，19.10，19.12，19.13，19.15，19.16，19.18，19.19；20.5，20.10，20.12，20.13，20.14，20.1521.1，21.2，21.4，21.9，21.11，21.12，21.13，21.14理论力学静力学 刚体在力系作用下平衡规律 运动学 运动特性之间的几何关系动力学 物体变化规律与其所受力之间的关系理论力学上半部分重点 运动学点的运动学：直角坐标法 弧坐标法刚体运动学：平动 定轴转动 一般平面运动运动学——刚体一般平面运动平面图形上任意两点的速度关系B A BA v v v =+平面图形上任意两点的加速度关系nB A BA BAτ=++a a a a平面图形上点的速度分析方法 1. 基点法B A BA v v v =+2. 速度投影定理[][]A B AB AB v v = 不能求出刚体的角速度！3. 速度瞬心法BA AB ω=⋅v BA AB ω=⋅vM MP v v =确定速度瞬心 P 点位置的方法1.已知平面图形上A,B 两点的速度方向 a.两点速度不相平行b.两点速度平行，AB 连线不垂直于速度2.已知平面图形上A,B 两点的速度方向，且AB 连线垂直于两点上的速度方向 a.两点速度大小不相同 b.两点速度大小相同3.平面图形沿某固定曲线作纯滚动运动学——点的合成运动基本概念绝对运动、牵连运动；动点、动系 点的速度合成定理 牵连运动为平动时的加速度合成定理(1) 动点的选择----两部件之间的接触点（明确指明是哪个部件上的哪个点） ----圆轮的圆心 ----相交点(2) 动系的选择a.动点对动系一定要有相对运动(故动系不能固结于动点所在的刚体上)b.相对运动的轨迹要清楚2. 分析动点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹及动系相对于定系的牵连运动状态3. 对动点写出速度合成关系 分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程 选取合适的动点，动系v(a) (b) (c)MP MPω=⋅v v v v a e r=+a e r =+a a a re a v v v +=(d) (e)FDEC A BO 1O 2θω(f)OOv O 1CBA60︒(g)BωOCϕDEF O1A(h)静力学基本概念力偶、约束和约束反力、受力分析；力系平衡与等效的基本性质，二力体（杆）力系的简化主矢、主矩，平面平行力系的简化分布载荷力系的平衡平衡的充分必要条件平面任意力系平衡方程的形式（3 个独立方程）()0ixiyA iFFM⎧=⎪=⎨⎪=⎩∑∑∑F(x , y 互不平行) （x 不垂直于AB）（A、B、C 三点不共线）物系平衡()0iA A iM M⎧'==⎪⎨==⎪⎩∑∑F FF()0()0ixA iB iFMM⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑FF()0()0()0A iB iC iMMM⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑FFF（a ）aF（b ）q 2q（c ）特殊的空间力系及独立平衡方程个数（1） 空间汇交力系 3个独立方程 （3） 空间力偶系 3个独立方程 （3） 空间平行力系 3个独立方程 平面任意力系的独立平衡方程为3个 一矩式 二矩式 三矩式对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未知量；当未知量超过3个时，问题无法求解。

848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力、滚动摩阻力偶应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、圆盘、圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。

②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，速度瞬心，加速度瞬心，曲率中心，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是相对速度和相对加速度，牵连速度和牵连加速度，科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘的运动描述和所受摩擦力特性，物体平衡与力系平衡的差别，转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移概念和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。

③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及加速度合成公式的投影法对平面运动刚体系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦单刚体或物系平衡问题的求解，物系动力学基本特征量(动能、动量、动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解物系的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解物系动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度或调速器匀速转动时角速度与对应稳定位置的关系。