上海市奉贤中学2019学年第一学期高一期中考试数学

2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 已知集合A ={0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2. 已知x <0，函数y =4x +x 的最大值是( )A. 5B. −4C. −8D. 63. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43) D. [−12,43] 4. 若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. ［−1，+∞)C. ［−1，1］D. ［0，+∞)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}，则C U A =________．6. 解关于x 的不等式：2|x −3|+|x −4|<2．7. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________．8. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)= ______ ．9. 已知a ∈R ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a = ______ ，b = ______ ． 10. 已知x ，y 为正实数，则x2x+y +yx+2y 的最大值为________． 11. 已知集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =_____． 12. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________13. 函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，则a +b = ______ ． 14. 已知集合A ={−1,0,a }，B ={0,√a}.若B ⊆A ，则实数a 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾816. 解下列不等式：(Ⅰ)|2x +1|−2|x −1|>0； (Ⅱ)||x −2|−1|≤1．17. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(I)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？18. 已知命题是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x−a)[x−(2−a)]<0的解集为N，若N⊆M，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题型，直接求解即可． 【解答】解：∵集合A ={0,1}， ∴易得A ，C ，D 正确，B 选项，集合与集合的关系不能用∈， 故选B ．2.答案：B解析：解：∵x <0，∴函数y =4x +x =−(−x +4−x )≤−2√−x ⋅4−x =−4，当且仅当x =−2时取等号．∴x <0，函数y =4x +x 的最大值是−4． 故选B ．变形利用基本不等式即可得出．变形利用基本不等式和掌握使用基本不等式时注意“一正，二定，三相等”是解题的关键．3.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].4.答案：B解析： 【分析】本题考查恒成立问题，考查二次函数知识的综合运用，属于基础题．分两种情况讨论，当a ≥0时，二次函数在［0，+∞)单调递增且f(0)>0，当a <0时，要求Δ≤0，从而得到结果. 【解答】解：∵x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，1)当a ≥0时，函数f(x)=x 2+2ax +1在(−a,+∞)上为单调增函数，则函数f(x)=x 2+2ax +1在[0,+∞)上为单调增函数， 所以f(x)≥f(0)，∵f(0)=1>0，∴符合题意，2)当a <0时，因为f(0)=1>0，所以要使x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立， 则4a 2−4≤0，即−1≤a ≤1， 此时有−1≤a <0， 综上a ≥−1． 故选B ．5.答案：{0}解析： 【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题． 【解答】解：集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}， 则C U A ={0}． 故答案为{0}．6.答案：解：当x ≥4时，原不等式即为2(x −3)+(x −4)<2，即3x −10<2，解得x <4，则有x ∈⌀； 当3<x <4时，原不等式即为2(x −3)+(4−x)<2，即x −2<2，解得，x <4，则有3<x <4； 当x ≤3时，原不等式即为2(3−x)+(4−x)<2，即10−3x <2，解得，x >83，则有83<x ≤3． 则原不等式的解集为{x|83<x ≤3或3<x <4}={x|83<x <4}．解析：运用零点分区间方法，讨论当x ≥4时，当3<x <4时，当x ≤3时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：如果x ≠2或y ≠−1，则√x −2+(y +1)2≠0解析： 【分析】本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题． 【解答】解： 根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．8.答案：{7,9}解析：解：∵集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，∴∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)={7.9}，故答案为：{7,9}根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．9.答案：−1；0解析：解：由题意知,1}={a2,a+b,0}，∵{a,ba∴根据集合相等的定义可知：有以下几种情况①当a=0时，不符合题意，故a≠0=0时，b=0②当ba即这时集合化简为{a,0，1}={a2，a，0}∴当a=1时不满足集合元素的互异性，故a≠1∴当a2=1时，a=1或a=−1经验证a=−1成立．即此时集合为{−1,0，1}∴可知：a=−1，b=0故答案为：−1，0．根据集合相等的定义，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可得出结论．本题考查集合元素的互异性，考查集合相等的定义，比较基础．10.答案：23解析：【分析】本题主要考查基本不等式的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．对原式子进行换元变形，以及基本不等式应用时应该满足的条件：一正二定三等．解：令2x +y =m ，x +2y =n ， 则x =2m−n 3，y =−m+2n3，且m >0，n >0，因此：x 2x +y +y x +2y =2m −n 3m +−m +2n3n =2m −n 3m +−m +2n 3n =43−(n 3m +m3n) ≤43−2√19=23，当且仅当m =n 时取等号， 则x2x+y +yx+2y 的最大值为23， 故答案为23．11.答案：｛4，6｝解析： 【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 利用交集运算定义直接计算即可． 【解答】解：因为集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}， 所以A ∩B =｛4，6｝． 故答案为｛4，6｝．12.答案：解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2． 所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2). 故答案为．解析：解：由题意，a >1，则1a−1=1，1b−1=13，∴a =2，b =4，∴a +b =6； a <1则1a−1=13，不成立． 故答案为：6．分类讨论，利用函数的单调性，结合函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，求出a ，b ，即可求出a +b ．本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：1解析： 【分析】本题主要考查子集的概念，集合的表示，考查学生对基本概念的理解和应用能力，考查核心素养是计算能力，属于基础题.利用子集关系得√a =a ，求解即可，注意集合元素的互异性． 【解答】解：因为B ⊆A ，所以√a ∈A ，因为A ={−1,0,a}，所以√a ≠0,√a ≠−1， 所以√a =a ，解得a =1； 故答案为1．15.答案：(1)解：因为a 2+b 2−2(2a −b)+5=a 2−4a +4+b 2+2b +1=(a −2)2+(b −1)2⩾0，所以a 2+b 2⩾ 2(2a −b)−5；(2)证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a×a+c b×a+b c⩾2√bca×2√ac b×2√ab c=8，当且仅当a =b =c 时，取等号．解析： 【分析】(1)本题考查作差法比较大小，两式作差与零比较，即可比较出两式大小；(2)本题考查不等式的证明，将a +b +c =1分别代入分子并化简，进而利用基本不等式即可证明原不等式．16.答案：解：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开得4x 2+4x +1>4x 2−8x +4，即得原不等式的解集为(14,+∞). (Ⅱ)由||x −2|−1|≤1得−1≤|x −2|−1≤1，即0≤|x −2|≤2，此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，所以原不等式的解集为{x|0≤x ≤4}．解析：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开化简求得原不等式的解集．(Ⅱ)把此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，由此可得原不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.答案：解：(I)设x ∈[200,300]时，获利为S ，则S =200x −(12x 2−200x +80000)=−12(x −400)2， 所以在x ∈[200,300]时，S 为单调递增函数， S max =−5000，S min =−20000， 所以补偿范围是[5000,20000]．(Ⅱ)二氧化碳的平均每吨的处理成本为y x ={13x 2−80x +5040,x ∈[120,144),12x −200+80000x,x ∈[144,500], 当x ∈[120,144)时，当x =120时，yx 取得最小值240， 当x ∈[144,500)时，yx=12x +80000x−200⩾2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时，yx 取得最小值200，∵200<240，所以每月的处理量为400吨时，才能使每吨的处理成本最低．解析：本题考查分段函数模型的应用以及基本不等式实际应用，是中档题． (I)根据x ∈[200,300]，求出函数y 的值域即可判断求解．(Ⅱ)写出每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解．18.答案：解：(1)命题“∃x ∈[−1,0]，x 2+2x +m <0”是真命题，则m <(−x 2−2x)max ，∵x ∈[−1,0]，∴(−x 2−2x)max =1，则m <1，即M =(−∞,1)； (2)当a <2−a ，即a <1时，N =(a,2−a)， ∵N ⊆M ，∴2−a ≤1，即a ≥1，此时a 无解；当a=2−a，即a=1时，N为空集，满足题意；当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，∵N⊆M，∴a≤1，此时a无解．综上：a=1．解析：(1)把原命题转化为m<(−x2−2x)max，再由二次函数求最值得答案；(2)对a分类求解不等式(x−a)[x−(2−a)]<0，再由两集合端点值间的关系列式求解．19.答案：解：(1)设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0．不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．(2)因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以即．解得−1<t<3．解析：本题考查了函数与方程以及一元二次不等式的解法，是一般题．(1)根据韦达定理求出t，然后根据一元二次不等式的解法得出答案．(2)根据一元二次方程根的分布建立关于t的不等式组，解不等式组即可．。

2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：19.满分：01.（填空题.3分）已知集合U={-1.0.2.3}.A={0.3}.则∁U A=___ ．2.（填空题.3分）若关于x的不等式|x+a|＜b（a.b∈R）的解集为{x|2＜x＜4}.则ab=___ ．3.（填空题.3分）命题“若x=-2.则x2+3x＜0”的逆否命题是___ ．4.（填空题.3分）若全集U={1.2.3.4.5.6.7.8.9}.A、B为U的子集.且（∁U A）∩B={1.9}.A∩B={2}.（∁U A）∩∁U B={4.6.8}.则集合A=___ ．5.（填空题.3分）已知集合A={a.b.2}.B={2.b2.2a}（a.b∈R）.且A=B.则b=___ ．6.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+3y=1.则xy的最大值为___ ．7.（填空题.3分）已知集合A={x∈R|2x-3≥0}.B={x∈R|x＜a}.若A∩B=∅.则实数a的取值范围为___ ．8.（填空题.3分）已知x∈R.定义：A（x）表示不小于x的最小整数.如A（2）=2.A（0.4）=1.A（-1.1）=-1.A（2x•A（x））=5.则正实数x的取值范围为___ ．9.（填空题.3分）a.b∈R.|a|≤1.|a+b|≤1.则（a+1）（b+1）的最大值为___ .最小值为___ ．10.（填空题.3分）若使集合A（k）={x|（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z}中元素个数最少.则实数k的取值范围是___ .设B⊆Z.对B中的每一个元素x.至少存在一个A（k）.有x∈A（k）.则B=___ ．11.（单选题.3分）下列命题中正确的有（）① 很小的实数可以构成集合；② 集合{y|y=x2-1}与集合{（x.y）|y=x2-1}是同一个集合；③ 集合{（x.y）|xy≤0.x.y∈R}是指第二和第四象限内的点集；A.0个B.1个C.2个D.3个12.（单选题.3分）设x＞0.y＞0.下列不等式中等号能成立的有（）① (x+1x )(y+1y)≥4；② (x+y)(1x+1y)≥4；③ 2√x2+5≥4；④ x+y+√xy≥4；A.1个B.2个C.3个D.4个13.（单选题.3分）集合A={x| {x(x+2)＞0|x|＜1}.集合B={x|x+1|x−3|＞0} .则x∈A是x∈B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立的实数t（）A.不存在B.有且仅有一个C.有不止一个的有限个D.无穷多个15.（问答题.0分）设a＞0.b＞0.比较√a2b +√b2a与√a+√b的大小．16.（问答题.0分）解下列不等式：（1）|x+1|-|2x-1|＞1；（2）xx2−7x+12≤1．17.（问答题.0分）据市场分析.某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨）.月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数.当月产量为10吨时.月总成本为20万元.当月产量为15吨时.月总成本最低为17.5万元．（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数解析式；（2）若x∈[10.25].当月产量为多少时.每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？18.（问答题.0分）已知命题：“∃x∈{x|-1＜x ＜1}.使等式x 2-x-m=0成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x-a ）（x+a-2）＜0的解集为N.若x∈N 是x∈M 的必要条件.求a 的取值范围．19.（问答题.0分）已知二次函数 f 1(x )=x 2−ax +b . f 2(x )=x 2−bx +c . f 3(x )=x 2−cx +a ．（1）若a=3.b=2.c=1.解不等式组： {f 1(x )＞0f 2(x )＞0f 3(x )＞0；（2）若a.b.c∈{1.2.3.4}.对任意x∈R .证明：f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）中至少有一个非负； （3）设a 、b 、c 是正整数.求所有可能的有序三元组（a.b.c ）.使得f 1（x ）=0.f 2（x ）=0.f 3（x ）=0均有整数根．2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19.满分：01.（填空题.3分）已知集合U={-1.0.2.3}.A={0.3}.则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{-1.2}【解析】：根据补集的定义进行求解即可．【解答】：解：∵U={-1.0.2.3}.A={0.3}.∴∁U A={-1.2}.故答案为：{-1.2}【点评】：本题主要考查集合的基本运算.结合补集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.（填空题.3分）若关于x的不等式|x+a|＜b（a.b∈R）的解集为{x|2＜x＜4}.则ab=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由题意.解不等式|x+a|＜b得出-b-a≤x≤b-a.再由已知解集为{x|2＜x＜4}.从而得出-b-a=2且b-a=4.两者联立解出a.b的值.即可得出答案．【解答】：解：∵|x+a|＜b（a.b∈R）.解得-b-a≤x≤b-a.又关于x的不等式|x+a|＜b（a.b∈R）的解集为{x|2＜x＜4}.∴-b-a=2且b-a=4.解得a=-3.b=1.∴ab=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.属于基础题.解答的关键是用参数表示出不等式的解集.再由同一性得出参数的方程．3.（填空题.3分）命题“若x=-2.则x2+3x＜0”的逆否命题是___ ．【正确答案】：[1]若x2+3x≥0.则x≠-2【解析】：由已知可得.原命题的题设P：x=-2.结论Q：x2+3x＜0．逆否命题是若非Q.则非P．从而可求．【解答】：解：依题意得.原命题的题设为：x=-2.结论为：x 2+3x ＜0． 逆否命题：若x 2+3x≥0．.则x≠-2. 故答案为：若x 2+3x≥0．.则x≠-2．【点评】：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论.而命题的逆否命题的题设和结论分别进行否定.属于基础知识．4.（填空题.3分）若全集U={1.2.3.4.5.6.7.8.9}.A 、B 为U 的子集.且（∁U A ）∩B={1.9}.A∩B={2}.（∁U A ）∩∁U B={4.6.8}.则集合A=___ ． 【正确答案】：[1]{2.3.5.7}【解析】：作出文氏图.根据集合关系进行求解即可．【解答】：解：作出文氏图.由（∁U A ）∩B={1.9}.A∩B={2}.（∁U A ）∩∁U B={4.6.8} 得A={2.3.5.7}. 故答案为：{2.3.5.7}【点评】：本题主要考查集合的基本运算.结合文氏图是解决本题的关键．比较基础． 5.（填空题.3分）已知集合A={a.b.2}.B={2.b 2.2a}（a.b∈R ）.且A=B.则b=___ ． 【正确答案】：[1] 12 或1【解析】：由集合相等.则集合中元素相等.再由集合中的元素满足互异性.确定性.无序性.排除不符合要求的解.得出结论．【解答】：解：集合B 中的元素2a.有两种可能. {a =2a b =b 2 .或者 {a =b 2b =2a若 {a =2a b =b 2 .解之得. {a =0b =1 .或者 {a =0b =0（经检验不符合） 若 {a =b 2b =2a.解之得 a =0或者a =14 .经检验a=0时.b=0.不满足集合中元素互异性.所以舍去．综上所述 b =12或者1故答案为b=12或者1【点评】：本题考查集合相等.对解出的解.再由集合中的元素互异性.确定性.无序性去排除不符合条件的解．6.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+3y=1.则xy的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 112【解析】：运用基本不等式得出x+3y=1 ≥2√3xy .化简求解xy ≤112即可．【解答】：解；∵正实数x.y满足x+3y=1.∴x+3y=1 ≥2√3xy .化简得出xy ≤112（x=3y= 12等号成立）xy的最大值为112（= 12.y= 16等号成立）故答案为：112【点评】：本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题.关键是判断.变形得出不等式的条件.属于容易题．7.（填空题.3分）已知集合A={x∈R|2x-3≥0}.B={x∈R|x＜a}.若A∩B=∅.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] a≤32【解析】：化简集合A.根据A∩B=∅写出实数a的取值范围．【解答】：解：集合A={x∈R|2x-3≥0}={x|x≥ 32}.B={x∈R|x＜a}.当A∩B=∅时.实数a的取值范围为a≤ 32．故答案为：a≤ 32．【点评】：本题考查了交集的定义与运算问题.是基础题．8.（填空题.3分）已知x∈R.定义：A（x）表示不小于x的最小整数.如A（2）=2.A（0.4）=1.A（-1.1）=-1.A（2x•A（x））=5.则正实数x的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] 1＜x≤54【解析】：由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围.解不等式验证即可．【解答】：解：当A（x）=1时.0＜x≤1可得.4＜2x•A（x）≤5有2＜x≤52.矛盾.则A（x）≠1；当A（x）=2时.1＜x≤2可得.4＜2x•A（x）≤5有1＜x≤ 54.满足条件；当A（x）=3时.2＜x≤3可得.4＜2x•A（x）≤5有23＜x≤ 56.矛盾；则A（x）≠3；由此类.当当A（x）≥4时也不符合题意；故答案为：1＜x≤ 54【点评】：本题考查新定义的理解.涉及分类讨论的思想.正确理解A（x）取值意义是解决本题的关键.属于中档题．9.（填空题.3分）a.b∈R.|a|≤1.|a+b|≤1.则（a+1）（b+1）的最大值为___ .最小值为___ ．【正确答案】：[1] 94; [2]-2【解析】：令t=a+b∈[-1.1].b=t-a.变换主元法.t主元.令f（t）=（a+1）t+1-a2.求出最大值和最小值为即可【解答】：解：令t=a+b∈[-1.1].b=t-a.a∈[-1.1].则（a+1）（b+1）=（a+1）（t-a+1）=（a+1）t+1-a2.当a=-1.（a+1）（b+1）=0.当a≠-1.a+1∈（0.1].把t主元.令f（t）=（a+1）t+1-a2.f（t）max=f（1）=-（a- 12）2+ 94∈[0. 94].f（t）min=f（-1）=-（a+ 12)22+14∈[−2，14] .所以（a+1）（b+1）的最大值为94.最小值为-2.故答案为：94.-2．【点评】：本题考查了利用函数法解最值问题.还用了变换主元法.中档题．10.（填空题.3分）若使集合A（k）={x|（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z}中元素个数最少.则实数k的取值范围是___ .设B⊆Z.对B中的每一个元素x.至少存在一个A（k）.有x∈A（k）.则B=___ ．【正确答案】：[1]（-3.-2）; [2]Z【解析】：化简集合A.对k讨论即可．求解x的范围.可得答案．【解答】：解：集合A={x|（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z}.∵方程（kx-k2-6）（x-4）=0.k≠0解得：x1=k+ 6k.x2=4.∴（kx-k2-6）（x-4）≥0.x∈Z当k=0时.A=（-∞.4]；当k＞0时.4＜k+ 6k .A=（-∞.4]∪[k+ 6k.+∞）；当k＜0时.k+ 6k ＜4.A=[k+ 6k.4]；∴当k≥0时.集合A的元素的个数无限；当k＜0时.k+ 6k ＜4.A=[k+ 6k.4].集合A的元素的个数有限.令函数g（k）=k+ 6k.（k＜0）则有：g（k）≤-2 √6 .对于集合A.[0.4]满足条件的元素只有0.1.2.3.4.只需[k+ 6k.0]包含的整数最小.∵题意要求x∈Z.故只需k+ 6k ＞-5.且k+ 6k≤-4.解得：-3＜k＜-2.根据对A（k）的讨论.所以B=Z.故答案为：-3＜k＜-2.B=Z．【点评】：本题考查的是集合元素的分布以及运算问题.方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题.值得同学们认真反思和归纳11.（单选题.3分）下列命题中正确的有（）① 很小的实数可以构成集合；② 集合{y|y=x2-1}与集合{（x.y）|y=x2-1}是同一个集合；③ 集合{（x.y）|xy≤0.x.y∈R}是指第二和第四象限内的点集；A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：A【解析】：① 由集合元素的性质：确定性可知错误；② 中注意集合中的元素是什么；③ 中注意x=0或y=0的情况．【解答】：解：① 错误.很小的实数没有确定的标准.不满足集合元素的确定性；② 错误.中集合{y|y=x2-1}的元素为实数.而集合{（x.y）|y=x2-1}的元素是点；③ 错误.集合{（x.y）|xy≤0.x.y∈R}中还包括实数轴上的点；故正确的有0个．故选：A．【点评】：本题考查集合元素的性质和集合的表示.属基本概念的考查．12.（单选题.3分）设x＞0.y＞0.下列不等式中等号能成立的有（）① (x+1x )(y+1y)≥4；② (x+y)(1x+1y)≥4；③ 2√x2+5≥4；④ x+y+√xy≥4；A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：设x＞0.y＞0.x+ 1x ≥2，y+1y≥2 .所以① 成立.利用基本不等式可知② 成立.2√x2+5 = √x2+5√x2+5.不成立. x+y√xy≥2√xy√xy≥4 .当x=y时成立.得出结论．【解答】：解：设x＞0.y＞0.x+ 1x ≥2，y+1y≥2 .所以① 成立.因为x＞0.y＞0.所以(x+y)(1x +1y) = 2+yx+xy≥2+2√yx⋅xy=4 .当且仅当x=y=1时取等号.故② 成立.2√x2+5 = √x2+5+√x2+5.运用基本不等式不能取等号.此时x2+5=4.显然不成立.x+y√xy ≥2√xy+√xy≥4 .当x=y时成立.故正确的有三个.故选：C．【点评】：考查基本不等式的应用.注意一正二定三相等.条件是否成立.基础题．13.（单选题.3分）集合A={x| {x(x+2)＞0|x|＜1}.集合B={x|x+1|x−3|＞0} .则x∈A是x∈B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：求解不等式（组）化简A.B.再由充分必要条件的判定得答案．【解答】：解：A={x| {x(x+2)＞0|x|＜1}={x| {x＜−2或x＞0−1＜x＜1}={x|0＜x＜1}.B={x|x+1|x−3|＞0} ={x|x＞-1且x≠3}.则由x∈A⇒x∈B.反之不成立．∴x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查一元二次不等式、绝对值的不等式及分式不等式的解法.考查充分必要条件的判定方法.是基础题．14.（单选题.3分）使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立的实数t（）A.不存在B.有且仅有一个C.有不止一个的有限个D.无穷多个【正确答案】：B【解析】：使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立.开口向上.所以只需△=9（t-1）2-8t（t-3）=t2+6t+9=（t+3）2≤0.求出即可．【解答】：解：使关于x的不等式x2-3（t-1）x+2t（t-3）≥0恒成立.开口向上.所以只需△=9（t-1）2-8t（t-3）=t2+6t+9=（t+3）2≤0.即t=-3.所以t有且只有一个．故选：B．【点评】：考查了二次函数的性质.恒成立问题.基础题．15.（问答题.0分）设a＞0.b＞0.比较√a2b +√b2a与√a+√b的大小．【正确答案】：【解析】：a＞b＞0.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：设a＞0.b＞0.√a2b +√b2a=√b+√a.根据均值不等式可得.√b+ √b≥2 √a . ①√a+ √a≥2 √b . ②当且仅当a=b时取等号. 所以由① + ② 可得√b +√a+ √a + √b≥2（√a + √b）.即√a 2b +√b2a≥√a+√b则√a 2b +√b2a与√a+√b的大小为√a2b +√b2a≥√a+√b．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的计算.属于基础题．16.（问答题.0分）解下列不等式：（1）|x+1|-|2x-1|＞1；（2）xx2−7x+12≤1．【正确答案】：【解析】：（1）去绝对值号.分段解不等式即可得出不等式的解集；（2）不等式 x x 2−7x+12≤1 可转化为 x 2−8x+12x 2−7x+12≥0 .分解后可得 (x−2)(x−6)(x−3)(x−4)≥0 .由于四个因子的四个零点.把所有实数分成了五部分.分段讨论不等式是否成立即可得出不等式的解集．【解答】：解：（1）∵|x+1|-|2x-1|= {2−x ，x ≥123x ，−1≤x ≤12x −2，x ＜−1 .∴解|x+1|-|2x-1|＞1得. 13 ＜x ＜1.故不等式的解集是 (13，1) ；（2） x x 2−7x+12≤1 可转化为 x 2−8x+12x 2−7x+12≥0 .即 (x−2)(x−6)(x−3)(x−4)≥0 .当x≥6时.四个因子都非负.不等式成立；当3＜x ＜4时.四个因子两个为正两个为负.此时不等式成立；当x≤2时.四个因子都非正.不等式成立.综上知.不等式 x x 2−7x+12≤1 的解集是（-∞.2]∪（3.4）∪[6.+∞）．【点评】：本题考查分式不等式与绝对值不等式的解法.转化为整式不等式是常用的解答策略.本题也考查了简单高次不等式的解法.对于简单高次不等式可以分解为几个因子的乘积.分别判断每段上各个因子的符号.从而得出不等式的解集．本题解法比较典型.要理解总结．17.（问答题.0分）据市场分析.某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨）.月生产总成本y （万元）可以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时.月总成本为20万元.当月产量为15吨时.月总成本最低为17.5万元．（1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；（2）若x∈[10.25].当月产量为多少时.每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？【正确答案】：【解析】：（1）设出函数解析式.代入（10.20）.可得函数解析式；（2）求出每吨平均成本.利用基本不等式可求最值．【解答】：解：（1）由题意.设y=a （x-15）2+17.5（a∈R .a≠0）将x=10.y=20代入上式得：20=25a+17.5.解得a= 110 .∴y= 110 （x-15）2+17.5（10≤x≤25）（2）平均成本 y x = 110x 2−3x+40x = 110 x+ 40x -3≥2 √110x •40x -3=1 当且仅当 110 x= 40x .即x=20∈[10.25]时上式“=”成立．故当月产量为20吨时.每吨平均成本最低.最低成本为1万元．【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.确定函数解析式是关键．18.（问答题.0分）已知命题：“∃x∈{x|-1＜x ＜1}.使等式x 2-x-m=0成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x-a ）（x+a-2）＜0的解集为N.若x∈N 是x∈M 的必要条件.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用参数分离法将m 用x 表示.结合二次函数的性质求出m 的取值范围.从而可求集合M ；（2）若x∈N 是x∈M 的必要条件.则M⊆N 分类讨论 ① 当a ＞2-a 即a ＞1时.N={x|2-a ＜x ＜a}. ② 当a ＜2-a 即a ＜1时.N={x|a ＜x ＜2-a}. ③ 当a=2-a 即a=1时.N=∅三种情况进行求解【解答】：解：（1）由x 2-x-m=0可得m=x 2-x= (x −12)2−14∵-1＜x ＜1∴ −14≤m ＜2M={m| −14≤m ＜2 }（2）若x∈N 是x∈M 的必要条件.则M⊆N① 当a ＞2-a 即a ＞1时.N={x|2-a ＜x ＜a}.则 {2−a ＜−14a ≥2a ＞1 即 a ＞94② 当a ＜2-a 即a ＜1时.N={x|a ＜x ＜2-a}.则 {a ＜1a ＜−142−a ≥2即 a ＜−14 ③ 当a=2-a 即a=1时.N=∅.此时不满足条件综上可得 a ＞94或a ＜−14【点评】：本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解.集合之间包含关系的应用.体现了分类讨论思想的应用．19.（问答题.0分）已知二次函数 f 1(x )=x 2−ax +b . f 2(x )=x 2−bx +c . f 3(x )=x 2−cx +a ．（1）若a=3.b=2.c=1.解不等式组： {f 1(x )＞0f 2(x )＞0f 3(x )＞0；（2）若a.b.c∈{1.2.3.4}.对任意x∈R .证明：f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）中至少有一个非负；（3）设a 、b 、c 是正整数.求所有可能的有序三元组（a.b.c ）.使得f 1（x ）=0.f 2（x ）=0.f 3（x ）=0均有整数根．【正确答案】：【解析】：（1）代值直接计算即可；（2）只需证明△1、△2、△3至少有一个小于等于0即可；（3）先判断当a≥9时.没有满足条件的有序三元组（a.b.c ）.再讨论a≤8时.满足条件的有序三元组（a.b.c ）即可．【解答】：解：（1）当a=3.b=2.c=1时.解不等式x 2-3x+2＞0得x ＜1或x ＞2.解不等式x 2-2x+1＞0得x≠1.解不等式x 2-x+3＞0得x∈R .综上.所求不等式组的解集为（-∞.1）∪（2.+∞）；（2）证明：∵ △1=a 2−4b . △2=b 2−4c . △3=c 2−4a .∴相加得△1+△2+△3=（a-2）2+（b-2）2+（c-2）2-12.∵a.b.c∈{1.2.3.4}.∴△1+△2+△3≤0即△1、△2、△3至少有一个小于等于0.∴f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少有一个非负；（3）由判别式大于等于0.及f（1）≥0.可得a2≥4b.b2≥4c.c2≥4a.a≤b+1.b≤c+1.c≤a+1.a≥4.b≥4.c≥4.∴a-1≤b≤a+2.a-2≤c≤a+1.∴（a-2）2-12≤a2-4b≤（a-2）2.∵a2-4b为平方数.∴当a≥9时.a2-4b=（a-2）2⇒b=a-1.同理可得当b≥9时.c=b-1=a-2.此时f1(x)=x2−ax+a−1=0两根为1和a-1. f2(x)=x2−bx+b−1=0两根为1和b-1. f3(x)=x2−(a−2)x+a=0无整数解.不符．故a≥9不满足题意；当a≤8时.讨论可得（4.4.4）.（6.8.7）.（7.6.8）.（8.7.6）符合．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法及函数与方程的综合运用.考查逻辑推理能力.属于中档题．。

上海中学高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 函数2sin(3)y x =的最小正周期试是2. 已知点(1,1)P 在角α的终边上，则sin cos αα-=3. 已知扇形的周长是10cm ，半径是4cm ，则该扇形的圆心角是 弧度4. 在△ABC 中，若tan sin 0A B <，则△ABC 为（填“锐角”或“直角”或“钝角”）三角形5. 若3sin()45πα+=，则cos()4πα-=6. 若02πα<<=7. 已知tan 2α=，则2sin sin cos 1ααα-+=8. 方程lg ||sin x x =的实数根的个数是 9. 若222sin 2sin 2sin αβα+=，则22sin cos αβ+的取值范围是10. 若33sin cos sin cos αααα->-，(0,2)απ∈，则α的取值范围是11. 已知函数()sin()4f x x πω=+（0ω>），()()63f f ππ=，且在区间(,)63ππ内有最小 值无最大值，则ω=12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()f x 单调递增，已知(1)0f -=，设 2()sin cos 2g x x m x m =+-，集合{|M m =对任意[0,]2x π∈，有()0}g x <，集合{|N m = 对任意[0,]2x π∈，有[()]0}f g x <，则M N =二. 选择题13. 若cos 0α>，tan 0α<，则α在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 函数sin()y x ωϕ=+的部分图像如图，则ω、ϕ可以取的一组值是（ ） A. 2πω=，6πϕ= B. 2πω=，4πϕ= C. 4πω=，4πϕ= D. 4πω=，54πϕ=15. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 的对边，若22tan tan a A b B=，则 △ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形16. 如图所示，平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点(1,0)A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，则P 、Q 两点在第2019次相遇时，点P 的坐标是（ ）A. (0,0)B. (0,1)C. (1,0)-D. (0,1)-三. 解答题17. 已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，求tan α的值.18. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 的对边，且222sin b A c a +=. （1）求角A ；（2）若4sin sin 3B C =，且2a =，求△ABC 的面积.19. 已知函数22()3cos 2sin f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若()4f α=，求cos2α的值.20. 某植物园准备建一个五边形区域的盆栽馆，三角形ABE 为盆栽展示区，沿AB 、AE 修建观赏长廊，四边形BCDE 是盆栽养护区，若120BCD CDE ∠=∠=︒，60BAE ∠=︒，33DE BC CD ===米.（1）求两区域边界BE 的长度；（2）若区域ABE 为锐角三角形，求观赏长廊总长度AB AE +的取值范围.21. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（0ϕπ<<），其图像的一个对称中心是(,0)12π-，将()f x 图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()g x 的解析式； （2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有1212()()()()f x f x g x g x -<-，求实数t 的 最大值；（3）若对任意实数α，()y g x ω=（0ω>）在[,]4παα+上与直线12y =-的交点个数不 少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 23π 2. 0 3. 124. 钝角5.35 6. 0 7. 75 8. 6 9. 913[,]10910. 53(,)(,)(,2)4242ππππππ 11. 5 12. (4)-+∞二. 选择题13. D 14. C 15. D 16. B三. 解答题17. 1tan 3α=.18.（1）3A π=；（219.（1）最小正周期为π，单调递增区间为7[,]1212k k ππππ--（k ∈Z ）；（2）cos2α=20.（1）6米；（2）（米）. 21.（1）5()sin(2)6g x x π=+；（2）4π；（3）[12,20)ω∈.。

2019学年度第一学期期中测试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}4,2,1=A ，{}4,3,1=B ，则集合=⋂)(B A U C ▲ ． 2．函数)1lg()(x x x f -+=的定义域为 ▲ ．3．已知⎩⎨⎧->--≤+=)1(,1)1(,2)(2x x x x x f ，求[]=-)2(f f ▲ ．4. 如果幂函数αx x f =)(的图象过点)2,2(，则=)4(f ▲ ．5. 若指数函数xa x f )12()(-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ▲ ． 6. 不等式1log )1(21≥+x 的解集为 ▲ ．7．设2.033.03log ,2,2.0===c b a ，则c b a ,,按照由大到小的关系是 ▲ ．（用“>”号连接）8. 若方程2log 3=+x x在区间),(b a 上有一个零点（b a ,为连续整数），则=a b ▲ ．9. 已知函数2)12(log )(-+=x x f a 的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是 ▲ .10. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，,22)(a x x f x--=则=)1(f ▲ ． 11. 已知}{,32+<≤=a x a x A }{51<<-=x x B ，若B B A = ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．函数x x y +-=12的值域为 ▲ ．13. 已知定义域为),0()0,(+∞-∞ 的奇函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，且0)2(=f ，则不等式0)()(>--xx f x f 的解集为 ▲ ．14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=4,351240,log )(22x x x x x x f ，若存在dc b a <<<且满足)()()()(d f c f b f a f ===，则abcd 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019届上海市奉贤区高三上学期期中（14校联考）数学试题一、单选题1．设x ，R y ∈，则222x y +≤是x y +≤ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别作出222x y +≤与x y +≤.【详解】分别作出222x y +=与x y +=222x y +≤表示圆及内部，x y +≤222x y +≤⇒x y +≤，222x y x y +≤⇒+≤，则222x y +≤是x y +≤.故选：B ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断，利用“小范围⇒大范围，大范围⇒小范围”，考查逻辑推理与数形结合思想，属于基础题.2．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心(上海)举办，很多外国车企都积极参与会展.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是（ ） A.B.C.D.【答案】D【解析】根据函数的定义即可判断.【详解】对于A ，B ，C 车标，当旋转90后，一个x 的值有多个y 值与之对应,A ∴，B ，C 车标不可以看成函数图象. 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义和图象关系，是基础题 3．已知S n 是等差数列{}()*N n a n ∈的前n 项和，且675SS S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ） A.公差0d <B.在所有S 0n <中，13S 最大C.满足S 0n >的n 的个数有11个D.67a a >【答案】C【解析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A 是否正确；根据6S 最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D 的正确性：利用等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，可判断12S 、13S 的符号，这样就可判断B 、C 是否正确． 【详解】等差数列{}n a 中，6S 最大，且6751S S S 0a >>∴>，0d <，∴A 正确；675S S S >>，60a ∴>，70a <，∴D 正确；1137713S 1313022a a a a ++=⨯=⨯<, 7567S S 0a a -=+>，67a a >-，67112121212022a a a aS ++=⨯=⨯>；S n ∴的值当6n ≤递增，当7n ≥递减，前12项和为正，当13n =时为负．故B 正确；满足0n S >的n 的个数有12个，故C 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值.在等差数列中,S n 存在最大值的条件是：10a >，0d <;S n 存在最小值的条件是：10a <，0d >．4．已知ABC ()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都不对【答案】A【解析】由三角函数的有界性得：2()b c +>2222cos a b c bc θ=+->2()b c -,由三角形的性质可得a b c +><<cosC =>0,即可得解.【详解】解：因为存在角()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则2()b c +>2222cos a b c bc θ=+->2()b c -,即三边长,,a b c 也可构成一个三角形，<<由两边之和大于第三边可得：a b c +>，即222+>， 在ABC △中，C 最大， 由余弦定理cosC =>0,即C 为锐角，即ABC △为锐角三角形， 故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的有界性及余弦定理，重点考查了三角形的性质，属中档题.二、填空题5．若复数()()2563z m m m i =-++-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m =______．【答案】2【解析】根据纯虚数的概念即可求解． 【详解】复数()()2563z m m m i =-++-是纯虚数，256030m m m -+=⎧∴-≠⎨⎩，2m ∴=.故答案为:2． 【点睛】本题考查纯虚数的概念，注意虚部不为0这一条件，属于基础题． 6．若0a >，则224a log a log ⋅=______.(写出最简结果)【答案】1【解析】先利用换底公式将底数变为一样，再利用对数的运算性质即可求解． 【详解】0a >，22242241222alga lg lga lg log a loglg lga lg lga∴⋅=⨯=⨯=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，123422a a a a ++的值为______．【答案】14【解析】由1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且公比为2，把2a ，3a ，4a 都用1a 表示，即可求解． 【详解】1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且公比为2，212a a ∴=，314a a =，418a a =， 1211341122212884a a a a a a a a ++∴==++．故答案为：14． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题． 8．函数11y x =-，1x >的反函数是______．【答案】11(0)y x x=+> 【解析】先求出原函数的值域即为反函数的定义域，将原函数的x 用y 表示出来，再互换x ，y ，即可求解． 【详解】 当1x >时，11y x =-的取值范围是()0,∞+， 11x y -=， 11x y∴=+， 互换x ，y ，得函数11y x =-，1x >的反函数是11(0)y x x=+>． 故答案为：11(0)y x x=+>． 【点睛】本题考查反函数的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．已知2()(3)3f x ax b x =+-+，2[2,]x a a ∈-是偶函数，则a b +=__________． 【答案】4【解析】先由“定义域应关于原点对称”则有a 2﹣2＝﹣a ，求得a ，又f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，用待定系数法可求得b ． 【详解】∵定义域应关于原点对称， 故有a 2﹣2＝﹣a ， 得a ＝1或a ＝﹣2． ∵x ∈[a 2﹣2，a ] ∴a 2﹣2＜a ， ∴a ＝﹣2应舍去．又∵f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，即：ax 2﹣（b ﹣3）x +3＝ax 2+（b ﹣3）x +3，∴b ＝3． a +b ＝4． 故答案为4．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性定义，首先定义域要关于原点对称，注意f （x ）与f （﹣x ）的关系的应用，属于中档题．10．在幂函数y x α=的图象上任取两个不同的点()11,x y ，()22,x y ，若2121y y x x --是定值，则α=______． 【答案】1或0【解析】根据2121y y x x --的几何意义，转化为函数图象上任意两点的斜率为定值，即可求解． 【详解】2121y y x x --表示两点()11,x y ，()22,x y 之间的斜率是定值，故幂函数y x α=的图象是直线，故1α=或0， 故答案为：1或0． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查2121y y x x --表示两点之间的斜率，是一道基础题．11．已知114sin cos 3αα+=，则sin2α= . 【答案】34-【解析】把已知条件通分后，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系得到关于sinαcosα的一元二次方程，即可求出sinαcosα的值，再利用二倍角的正弦函数公式化简，代入求出值即可． 【详解】由11sin cos αα+＝sin cos sin cos αααα+＝43，两边平方得212sin cos (sin cos )αααα+＝169，化简得16（sinαcosα）2﹣18sinαcosα﹣9＝0 即（2sinαcosα﹣3）（8sinαcosα+3）＝0， 解得sinαcosα＝32，sinαcosα＝﹣38，当sinαcosα＝32时，sin2α＝2sinαcosα＝3（舍去）； 当sinαcosα＝﹣38时，s in2α＝2sinαcosα＝﹣34．故答案为：﹣34【点睛】本题主要考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系，及二倍角的正弦函数公式化简求值，做题时注意正弦函数的值域范围，属于基础题． 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：14a =，1132n n S S +=+，则数列{}n a 的各项和为______． 【答案】2162n n S -=-【解析】直接利用构造等比数列法求数列{}n S 的通项公式，即可求出结果． 【详解】 令()112n n S S λλ++=+，整理得：11122n n S S λ+=-， 所以132λ-=，解得：6λ=-． 所以数列{}6n S -是以16462S -=-=-为首项，12为公比的等比数列． 故()11622n n S --=-⋅，即2162n n S -=-. 故答案为：2162n n S -=-．【点睛】本题考查利用构造等比数列法求数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13．已知钝角α的终边经过点()23,23P sin cos --，则角α的弧度数为______． 【答案】332π- 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义表示tan α，结合诱导公式，求得角α的弧度数． 【详解】由钝角α的终边经过点()23,23P sin cos --，则2333332322cos tan cot tan tan sin ππα-⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，又332π-为钝角，∴角α的弧度数为332π-， 故答案为：332π-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题． 14．若任意[],2018x t ∈时，关于x 的不等式4332x x x -≤-恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】[)4,2018 【解析】设()4f x x x =-，()332g x x =-，通过讨论x 的范围，根据函数的单调性判断即可． 【详解】 设()4f x x x =-，()332g x x =-，则对任意的[],2018x t ∈时，()()f x g x ≤恒成立，当0x <时，由()4(2)(2)x x f x x x x-+=-=知， 当2x -≤时，()44f x x x x x=-=-，显然单调递减，故()(2)0f x f ≥-= ； 当2x >-时，()44f x x x x x=-=-单调递增，故()(2)0f x f >-=， 所以当0x <时，()f x 的值域是[)0,+∞，()g x 的值域是(),3∞--，不可能成立； 当0x >时，由()4(2)(2)x x f x x x x-+=-=知， 当2x ≥时，()44f x x x x x=-=-，显然单调递增； 当02x <<时，()44f x x x x x=-=-单调递减， ()g x 递增，当()()f x g x =时，432,32x x x x ≥-=-令，解得：2x =或4x =， 由函数的单调性得：[)4,2018t ∈时，4332x x x -≤-恒成立， 故答案为：[)4,2018． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．15．已知关于x 的方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x ⎡∈⎣有两个不相等的实数解，则实数m 的取值构成的集合是______． 【答案】{}1,1-【解析】由函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为定义域内的偶函数，结合已知可得在(x ∈上，方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭只有一个实数解，再由正弦型函数的值域可得m 值．【详解】 函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为定义域内的偶函数，则要使方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x ⎡∈⎣有两个不相等的实数解，则在(x ∈上，方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭只有一个实数解． 又22,333x ππππ<+≤+所以由三角函数的图象与性质得1m =±．∴实数m 的取值构成的集合是{}1,1-．故答案为：{}1,1-． 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查三角函数的最值，考查函数奇偶性性质的运用，是中档题．16．若函数()()()2221222220f x a x a ax a a =+--+≠，()()()2222224430f x b x b b x b b =-+-+-≠，记函数()()12y f x f x =-的最小值为(),(g a b 注：(),g a b 表示含有字母a ，b 的代数式)，则(),g a b 的最大值为______． 【答案】5【解析】表示出()()12y f x f x =-的解析式，由解析式可知()()12f x f x -为二次函数且开口向上，当0≥时，可分析出(),0g a b =，当0<，(),g a b 在对称轴处取值，化简变形(),g a b 结合二次函数的性质，求出函数的最大值即可． 【详解】()()()()()222221222422524y f x f x a b x a b a b x a b =-=+++--+--，若()()()22222242285240a b a b a b a b =+-----+≥，则(),0g a b =，故只需讨论0<的情况，即当2222242244a b a b x a b+--=-+时，y 取得最小值， 此时()()()222224(2),5248mina b a b y g a b a b a b +--==---+，设22m a b =+，2n a b =+，则()222(),5252522222m n m n m n g a b n n n n m m m ⎛⎫⎛⎫-=--=-+-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2225125(1)522m n n m n m m m⎛⎫-+⋅+=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当m n =-时“=”成立，验证：若(),m n 存在，则原点到直线20a b n +-=的距离≤25n m ≤⇒≤，而25n m ≤与0m n +=有交点， 故0m n +=有解，“=”可取， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查求函数最值问题，考查转化思想，是一道中档题．三、解答题17．已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期； ()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期；()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-．()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1221sin()cos()1,23342a a ππ---=-+=- a ∴=则()22226f x x cos x sin x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-． 则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．18．已知函数()22f x m x n =-．()1若非空集合(){|0}A x f x ==为有限集，求实数m 、n 满足的条件；()2若221m n =+，(){|0}B x f x =<，1{|1}2C x x =-≤，B C B ⋂=，求实数n 的取值范围．【答案】（1）0m ≠；0n ≥（2）[(),22∞∞-⋃++【解析】()1问题可转化为()220f x m x n =-=有解，讨论实数m 、n 与0的大小即可求解．()2首先化简集合C ，由 B C B ⋂=，可知B C ⊆，根据题意可转化为不等式()()2210f x n x n =+-<求解，对n 分情况讨论，求不等式解集即可求解实数n 的取值范围． 【详解】解：()1非空集合(){|0}A x f x ==为有限集，即()220f x m x n =-=有解，当0,n 0m =≠时，无解，当0,n 0m ==时，无数解，0m ∴≠；22m x n =有解，0n ∴≥；实数m 、n 满足的条件是：0m ≠，0n ≥； （2）113{|1}{|}222C x x x x =-≤=-≤≤， B C B =Q I ，可知B C ⊆，又(){|0}B x f x =<，221m n =+，()()2210f x n x n ∴=+-<.当0n ≤时，显然()2210n x n +-<无解，集合B 为空集，满足题意； 当0n >时，集合B φ≠，()2210n x n +-<有解．可得：x << B C ⊆，1232⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩解得：2n ≤2n +≤；故得实数n 的取值范围是[(),22-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查集合间的基本关系及运算，方程解的情况判断，本题转化成对应的含参方程组、不等式的求解情况是关键．19．大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如(),i i i A a b ，i 1=，2，⋯，n 是平面直角坐标系上的一系列点，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列(),i i i A a b 比较接近．其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：()()()()()2221122()()()n n f x f a b f a b f a b =-+-+⋯+-．已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表：()1若用一次函数()150f x x m =-+来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差()()f x 的最小值，并求出此时的函数解析式()1y f x =；()2①若用二次函数()221(5)42f x x =-+来拟合题干表格中的数据，求()()2f x ；②请比较第()1问中的()1f x 和第()2问中的()2f x ，用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好？(请至少写出三条理由) 【答案】（1）函数()()f x 的拟合误差取最小值为56.064，此时()18.150f x x =-+（2）()()20.08f x =①，()2y f x =②更好，详见解析【解析】(1)把图表中的数据代入拟合误差()()()()()2221122()()()n n f x f a b f a b f a b =-+-+⋯+-，得到关于m 的二次函数，利用二次函数求最值，进一步得到函数解析式()1y f x =；()2①在拟合误差中以()2f x 替换()f x ，求得()()2f x ；②通过数据分析可知，()2y f x =更好，由表中数据结合()2y f x =图象写出理由．【详解】解：()1根据题意得：()()2222213579(12)( 6.2)(4)( 5.8)(12)5050505050f x m m m m m =--+--+--+--+--2581384.114m m =-+，则当8.1m =时，()()f x 取最小值为56.064，此时()18.150f x x =-+； ()2①若用二次函数()221(5)42f x x =-+来拟合题干表格中的数据， 则()()22200.200.200.08f x =++++=；()2y f x =②更好．理由如下：()()()()211)f x f x <；()22)y f x =图象上有更多的点与原点列重合(三个)； ()23)y f x =的图象更能反映原来点列的对称性．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是中档题．20．将数列{}n a 的前n 项和分成两部分，且两部分的项数分别是i ，()j i j ≥，若两部分的和相等，则称数列{}n a 的前n 项和能够进行i j -等和分割．()1若22253370n n a n n -=-+，*n N ∈，试写出数列{}n a 的前4项和的所有等和分割； ()2求证：等差数列{}n a 的前()4*k k N ∈项和能够进行22k k -等和分割； ()3若数列{}n a 的通项公式为：n a n =，且数列{}n a 的前n 项和能进行等和分割，求所有满足条件的n ．【答案】（1）2314a a a a +=+，或1234a a a a ++=（2）证明见解析（3）4n k =或41n k =-，()k Z ∈【解析】(1)利用通项公式求出前4项的值，利用定义进行分割即可．()2由等差数列的性质知，14241221k k k k a a a a a a -++=+=⋯=+，即可证明. ()3由前n 项和能分出两部分，两部分的和相等可知，数列{}n a 的前n 项和为偶数，可得4n k =或41n k =-进一步利用分类讨论思想，结合（2）的结论即可求解． 【详解】解：()1由数列22253370n n a n n -=-+，*n N ∈，得10a =，2112a =，314a =，413a =，则数列{}n a 的前4项和的所有等和分割为2314a a a a +=+，或1234a a a a ++=．()2因为数列{}n a 为等差数列，所以14241221k k k k a a a a a a -++=+=⋯=+． 将上述2k 个两式子分成两部分，则和相等． 所以等差数列{}n a 的前4k 项和能进行等和分割；()3因为数列{}n a 的通项公式为：n a n =，且数列{}n a 的前n 项和能进行等和分割，所以数列{}n a 的前n 项和()12n n +为偶数，所以4n k =或41n k =-．①当4n k =时，由()2得知，数列可以进行等和分割． ②当41n k =-时，首先考虑31236S =++=，则分割成两部分{}1,2，{}3．故1k =，即3n =时，前3项能进行等和分割．当2k ≥时，前41k -项为：1，2，3，4a ，5a ，44k a -⋯，43k a -，42k a -，41k a -， 由()2得知：4a ，5a ，44k a -⋯，43k a -，42k a -，41k a -，能分成等和的两部分， 分别把两部分{}1,2，{}3进行加入，则两部分和相等． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．21．若存在实数(0,1)λ∈使得(1),x a b λλ=+-则称x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点．（1）求证：(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点； （2）若实数a b 、满足：0,a b <<求证：存在(0,1)λ∈，使得2a b+是区间2(ab a b +的λ一内点； （3）给定实数(0,1)ω∈，若对于任意区间(,)()a b a b <，1x 是区间的1λ一内点，2x 是区间的2λ一内点，且不等式2221(1)x a b ωω≤+-和不等式2222(1)x a b ωω≤-+对于任意a b R ∈、都恒成立，求证：121λλ+=【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 (3)证明过程见解析【解析】（1）先理解定义，再由已知证明(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点；（2）用作差法判断2,2a b ab a b ++得2(2a b ab a b +∈+，结合（1）即可得证；（3）由已知可得2222211111()2()(2)0a ab b ωλλλλλω---+-+-≥恒成立，由二次不等式恒成立问题可得210ωλ->，且2222111114()4()(2)0λλωλλλω∆=----+-≤，解得1λω=，同理21λω=-，即可得解. 【详解】解：（1）①若x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点， 则存在实数(0,1)λ∈使得(1),x a b λλ=+-，则(1)()(,)x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈，②若(,)x a b ∈，取b x b a λ-=-，则(1)x a b λλ=+-，且01b x b ab a b a--<<=--， 则x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点，故(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点；（2）由22()022()a b ab a b a b a b +--=>++，222()()024a b a b +--=>，则2(2a b ab a b +∈+，由（1）知，存在(0,1)λ∈，使得2a b +是区间2(ab a b +的λ一内点； （3）因为1x 是区间的1λ一内点，则111(1),x a b λλ=+-则22211[(1)](1)a b a b λλωω+-≤+-恒成立，则2222211111()2()(2)0a ab b ωλλλλλω---+-+-≥恒成立， 当210ωλ-≤时，上式不可能恒成立， 因此210ωλ->，所以2222111114()4()(2)0λλωλλλω∆=----+-≤，即21()0λω-≤，即 1λω=，同理21λω=-， 故121λλ+=. 【点睛】本题考查了充分必要条件、2,2a b ab a b ++成立问题，重点考查了不等式的应用，属难度较大的题型.。

上海市高一上学期期中考试试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,5,62．已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x = B ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+C ．()f x x =，()g x =D ．()||f x x =，2()g x =4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．2()log f x x =-C ．3()f x x =-D ．1(0)()1(0)x x f x x x -+<⎧=⎨--≥⎩5．已知函数()y f x =的定义域是[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．(,2)(2,3]-∞--B ．[8,2)(2,1]---C ．9[,2)(2,0]2--- D ．9[,2]2--6．已知函数log (1)4(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的 图象上，则()()lg 2lg 5f f +=（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．17．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数，则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．20198．函数2ln ||()x f x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知2log 3.23a =，4log 23b =，log 25c =，则（ ） A ．b a c >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>10．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞11．若函数()f x 的零点与2()log 21g x x x =++的零点之差的绝对值不超过0．25，则()f x 可以是（ ） A ．5()42x f x x =+- B ．()1xf x e =- C ．2()(1)f x x =-D ．1()ln()2f x x =-12．设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的个数是（ ） ①当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； ②当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； ③若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； ④方程()0f x =可能有三个实数根． A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数21(01)x y aa a +=+>≠且的图象恒过的定点是 ．14．函数1()|lg |x f x x e=-的零点个数为 ． 15．函数22()log (2)f x x ax a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．16．函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2,(02)16()51,(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算：（11421()0.252-+⨯； （2）7log 2334log lg25lg47log 8log +-+⋅18．（12分）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠，其中a ，b 均为实数． （1）若函数()f x 的图象经过点(0,2)A ，(1,3)B ，求函数1()y f x =的值域； （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-，求a b +的值．19．（12分）已知函数22()log ()log (2)4xf x x =⋅的定义域为[2,8]． （1）设2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()f x 的最大值与最小值及相应的x 的值．20．（12分）已知集合22{|log (22)}A x y mx x ==-+，{24}xB x =≤≤．（1）若A =R ，求实数m 的取值范围； （2）若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若a ，[1,1]b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+．（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若2()55f x m mt ≤--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）对于函数1()f x ，2()f x ，()h x ，如果存在实数a ，b ，使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数．（1）当1a b ==，()xh x e =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（2）设函数21()ln(65)f x x x =++，2()ln(23)f x x a =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围．数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，{}3,4A B ∴=，{}()1,2,5,6U A B ∴=，故选D ．2．【答案】A 【解析】集合{|1}A x x =<，{|31}{|0}xB x x x =<=<，{|0}AB x x ∴=<，故A 正确，D 错误；{|1}A B x x =<，故B 和C 错误，故选A ． 3．【答案】C【解析】A 中，()1f x =定义域为R ，0()g x x =，定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，不是同一函数；B 中()1f x x =-，定义域为R ，21()1(1)1x g x x x x -==-≠-+，定义域不同不是同一函数，C 中，()f x x =，定义域为R ，()g x x ==，定义域为R ，定义域相同，对应法则相同，是同一函数；D 中，()||f x x =，定义域为R ，2()g x x ==，定义域为{|0}x x >，两者定义域不同，不是同一函数， 故选C ． 4．【答案】C【解析】A 错，在(,0)-∞，(0,)+∞递减，不是整个定义域递减； B 错，不是奇函数；C 对，3()()f x x f x -=-=-，且为R 上的减函数； D 错，(0)1f =-不等于0，不是奇函数， 故选C ．【解析】由题意得8211x -≤+≤，解得902x -≤≤； 由20x +≠，解得2x ≠-， 故函数的定义域是9[,2)(2,0]2---，故选C ．6．【答案】B【解析】函数log (1)4a y x =-+中，令11x -=，解得2x =， 此时log 144a y =+=，所以函数y 的图象恒过定点(2,4)P ，又点P 在幂函数()y f x x α==的图象上，所以24α=，解得2α=，所以2()f x x =，所以()()()()()22lg 2lg 5lg 25lg 252lg102f f f f +==⨯==⎡⎤⎣⎦，故选B ．7．【答案】A 【解析】函数是偶函数，∴定义域关于原点对称，则320a a -+=，得33a =，得1a =， 则22()22f x ax bx a b x bx b =++-=++-， 则函数关于y 轴对称，则02b-=，则0b =，即2()2f x x =+， 则()()()()1012025f a f b f f +=+=+++=，故选A ． 8．【答案】D【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，22ln ||ln ||()()()x x f x f x x x--===-，()f x ∴为偶函数， ()f x ∴的图象关于y 轴对称，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ∴<； 当1x >时，ln 0x >，()0f x ∴>； 当1x =时，()0f x =， 故选D ．【解析】因为24log 3.21log 2>>，所以24log 3.2log 233a b =>=；因为log 5c ==41log 2233b ===，所以b c >，所以a b c >>，故选C ． 10．【答案】A 【解析】函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减，则24y x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递增，且满足0y >，故有224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，求得24a -<≤，故选A ．11．【答案】A【解析】2()log 21g x x x =++，因为221111117()()(log 21)(log 21)1()02422444g g ⋅=+⋅+⋅+⋅+=⋅-<， 所以()g x 的零点区间是11(,)42．A 中，5()42x f x x =+-的零点12，两者的零点之差的绝对值不超过0．25，符合条件，所以A 正确；B 中，()1xf x e =-的零点是0，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以B 不正确； C 中，2()(1)f x x =-的零点为1，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以，C 不正确； D 中，1()ln()2f x x =-的零点是32，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以D 不正确， 故选A ． 12．【答案】C【解析】①当0b >时，22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧-+≥=-+=⎨--+<⎩，值域是R ，故函数()f x 在R 上没有最小值；②当0b <时，22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧-+≥=-+=⎨--+<⎩，由解析式可知函数()f x 在R 上是单调增函数；③22(2019)(2019)20192019(20192019)22020f f b c b c c +-=-++-++==， 解得1010c =，故③对；④令2b =-，0c =，则()||20f x x x x =-=，解得0x =，2，2-，故④正确， 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】(2,2)-【解析】令20x +=，求得2x =-，2y =， 可得函数21(01)x y aa a +=+>≠且的图象恒过定点(2,2)-，故答案为(2,2)-． 14．【答案】2【解析】令()0f x =，则1|lg |x x e =，1()xxh x e e-==，()|lg |g x x =，如下图所示， 所以两函数有两个交点，即函数()f x 有两个零点， 故答案为2．15．【答案】(][),08,-∞+∞【解析】设22t x ax a =-+，要使()f x 的值域为R ， 则22t x ax a =-+值域(0,)A ⊇+∞， 即判别式280Δa a =-≥，得8a ≥或0a ≤， 即实数a 的取值范围是(][),08,-∞+∞，故答案为(][),08,-∞+∞．16．【答案】111(,1)(,)424--- 【解析】由题意，作函数()f x 的图象如下，由图象可得()10()24f x f ≤≤=， 关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，∴方程20x ax b ++=有两个根，不妨设为1x ，2x ，且114x =，2104x <<或者110x -<<，2104x <<； 1211(,)42x x ∴+∈或者121(1,)4x x +∈-， 又12a x x -=+，111(,1)(,)424a ∴∈---， 故答案为111(,1)(,)424---． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）7-；（2）2．【解析】（1）原式4181(2)72=--+⨯-=-． （2）原式32332131log 3lg1002(3log 2)(log 3)222622=+-+⋅=+-+=． 18．【答案】（1）(0,1)；（2）32-． 【解析】（1）函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠，其中a ，b 均为实数，函数()f x 的图象经过点(0,2)A ，(1,3)B ，123b a b +=⎧∴⎨+=⎩，21a b =⎧∴⎨=⎩，∴函数()211x f x =+>，函数111()21x y f x ==<+． 又110()21x f x =>+，故函数1()y f x =的值域为(0,1)． （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-，若1a >，函数()x f x a b =+为增函数， 1110b a b ⎧+=-⎪∴⎨⎪+=⎩，求得a ，b 无解；若01a <<，函数()xf x a b =+为减函数，1011b a b ⎧+=⎪∴⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，32a b ∴+=-． 19．【答案】（1）1[,3]2；（2）x =()f x 有最小值254-，8x =时，()f x 有最大值4-． 【解析】（1）由题意可得x ∈，21log 32x ∴≤≤， 即t 的取值范围为1[,3]2． （2）22222()log )2(log 2)(1log )(log 4)(1log )f x x x x x =⋅=+=-+， 令2log t x =，则22325(4)(1)34()24y t t t t t =-+=--=--，其中1[,3]2t ∈， 所以，当32t =，即x =()f x 有最小值254-， 当3t =，即8x =时，()f x 有最大值4-．20．【答案】（1）1(,)2+∞；（2）(4,)-+∞．【解析】（1）因为函数22log (22)y mx x =-+的定义域为R ，所以2220mx x -+>在R 上恒成立，当0m =时，1x <，不在R 上恒成立，故舍去；当0m ≠时，则有0480m Δm >⎧⎨=-<⎩，解得12m >，综上所述，实数m 的取值范围为1(,)2+∞． （2）易得1[,2]2B =，若A B ≠∅，所以2220mx x -+>在1[,2]2上有解， 22221112()22m x x x ∴>-+=--+在1[,2]2上有解， 当12x =，即12x =时，min 222()4x x -+=-，所以4m >-， ∴实数m 的取值范围为(4,)-+∞．21．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）(][),66,-∞-+∞．【解析】（1）函数()f x 在[1,1]-上是增函数，设1211x x -≤<≤， ()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，2121()()()()f x f x f x f x ∴-=+-．又1211x x -≤<≤，21()0x x ∴+->， 由题设2121()()0()f x f x x x +->+-，有21()()0f x f x +->，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数．（2）由（1）知()max ()11f x f ==，2()55f x m mt ∴≤--对任意[1,1]x ∈-恒成立，只需2155m mt ≤--对[1,1]t ∈-恒成立，即2560m mt --≥对[1,1]t ∈-恒成立， 设2()56g t m mt =--，则22(1)061560(1)016560g m m m m g m m m m -≥⎧≤-≥⎧+-≥⎧⇔⇔⎨⎨⎨≥≤-≥--≥⎩⎩⎩或或， 解得6m ≤-或6m ≥，m ∴的取值范围是(][),66,-∞-+∞．22．【答案】（1）存在，1()2x x e e f x --=，2()2x x e e f x -+=；（2）102[,)33--． 【解析】（1）依题意可知，12()()x f x f x e +=---------------① 将x -代替x ，得12()()x f x f x e--+-=，因为1()f x 是奇函数，2()f x 是偶函数，所以有12()()x f x f x e --+=----------② 由①、②可得1()2x x e e f x --=，2()2x xe ef x -+=． （2）依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--， 令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453(5x x a x ++=-<-或1)x >-， 令2()45(5g x x x x =++<-或1)x >-，结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点， 所以，实数a 的取值范围为102[,)33--．。

上海市奉贤区2018-2019学年上学期高三数学期中（14校联考）考试一、选择题（本大题共4小题）1.设x，，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，即不是充分条件，，是必要条件，故选：B．结合“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，即可得到结论．判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2.2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心上海举办，很多外国车企都积极参与会展下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于A，B，C车标，当旋转后，一个x的值有多个y值与之对应；，B，C车标不可以看成函数图象；故选：D．根据函数的定义即可判断；本题考查了函数定义和图象关系，是基础题3.已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是A. 公差B. 在所有中，最大C. 满足的n的个数有11个D.【答案】C【解析】解：等差数列中，最大，且，，A正确；，，，D正确；，，；的值当递增，当递减，前12项和为正，当时为负．故B正确；满足的n的个数有12个，故C错误；故选：C．根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A是否正确；根据最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D的正确性：利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，可判断、的符号，这样就可判断B、C是否正确．本题考查等差数列的前n项和的最值在等差数列中存在最大值的条件是：，．一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法．4.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：，则的形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都不对【答案】A【解析】解：由，得，即三边a，b，c也可以构成一个三角形，不失一般性假设，由三角形两边之和大于第三边可得：，即，最大角为C，由，得，的形状为锐角三角形．故选：A．由，得，即三边a，b，c也可以构成一个三角形，假设，得：，再由余弦定理求得得答案．本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理的应用，是中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若复数是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数______．【答案】2【解析】解：复数是纯虚数，，，故答案为2．由纯虚数的概念可得，求出实数m的值．本题考查纯虚数的概念，一元二次方程的解法，得到，是解题的关键．6.若，则______写出最简结果【答案】1【解析】解：，．故答案为：1．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.设，，，成等比数列，其公比为2，的值为______．【答案】【解析】解：，，，成等比数列，且公比为2，，，，．故答案为：．由，，，成等比数列，且公比为2，把，，都用表示，则答案可求．本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．8.函数，的反函数是______．【答案】【解析】解：当时，的取值范围是，，，互换x，y，得函数，的反函数是．故答案为：．利用反函数的定义、性质直接求解．本题考查反函数的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.已知函数，是偶函数，则______．【答案】4【解析】解：函数，是偶函数或1偶函数的图象关于y轴对称，故答案为：4．利用偶函数的定义及图象关于y轴对称的特点，可以建立及，解得a，b，即可得到本题主要考查偶函数的定义和性质，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于a，b的方程注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点是个基础题．10.在幂函数的图象上任取两个不同的点，，若是定值，则______．【答案】1或0【解析】解：表示两点之间的斜率是定值，故函数的图象是直线，故或0，故答案为：1或0．根据表示两点之间的斜率，求出的值即可．本题考查了幂函数的定义，考查表示两点之间的斜率，是一道基础题．11.已知，则______．【答案】【解析】解：由，两边平方得，化简得即，解得，，当时，舍去；当时，．故答案为：把已知条件通分后，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系得到关于的一元二次方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正弦函数公式化简所求的式子，把的值代入即可求出值．考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，做题时注意正弦函数的值域范围．12.已知数列的前n项和为，且满足：，，则数列的各项和为______．【答案】【解析】解：数列的前n项和为，且满足：，，则：，整理得：，所以：，解得：．所以：数列是以为首项，为公比的等比数列．故：，解得：，当时，首项符合，所以：．故答案为：．直接利用构造新数列法求数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：利用构造新数列法求数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.已知钝角的终边经过点，则角的弧度数为______．【答案】【解析】解：钝角的终边经过点，则，且为钝角，角的弧度数为，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得角的弧度数．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．14.若任意时，关于x的不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，，则对任意的时，恒成立，当时，的值域是，的值域是，不可能成立，当时，先减后增，递增，当时，，解得：或，由函数的单调性得：时，恒成立，故答案为：．设，，通过讨论x的范围，根据函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．15.已知关于x的方程，有两个不相等的实数解，则实数m的取值构成的集合是______．【答案】【解析】解：函数为定义域内的偶函数，则要使方程，有两个不相等的实数解，则在上，方程只有一个实数解．则．实数m的取值构成的集合是．故答案为：．由函数为定义域内的偶函数，结合已知可得在上，方程只有一个实数解，再由正弦型函数的值域可得m值．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查三角函数的最值，考查函数奇偶性性质的运用，是中档题．16.若函数，，记函数的最小值为注：表示含有字母a，b的代数式，则的最大值为______．【答案】5【解析】解：，若，则，故只需讨论的情况，即当时，取得最小值，此时，设，，则，故，当且仅当时“”成立，验证：若存在，则原点到直线的距离，即，而与有交点，故有解，“”可取，故答案为：5．求出的解析式，结合二次函数的性质求出函数的最大值即可．本题考查了二次函数的性质，考查求函数最值问题，考查转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数，且．求函数的最小正周期；求在上的最大值和最小值．【答案】解：．，．则．则；，，则，．则当时，，当时，．【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期；由x的范围，得到相位的范围，进一步求得在上的最大值和最小值．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题．18.已知函数．若非空集合为有限集，求实数m、n满足的条件；若，，，，求实数n 的取值范围．【答案】解：非空集合为有限集，即有解，当时，无解，；有解，；实数m、n满足的条件是：；；，可知，，，当时，显然无解，集合B为空集，满足题意；集合时，有解．可得：；，，解得：或；故得实数n的取值范围是．【解析】根据有解，可得实数m、n满足的条件．根据，，可知，即可求解实数n的取值范围．本题考查集合间的基本关系及运算方程解的情况判断本题转化成对应的方程组无解的条件是关键．19.大数据时代对于现代入的数据分析能力要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如，，2，，n是平面直角坐标系上的一系列点，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列比较接近．其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：．已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表：若用一次函数来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；若用二次函数来拟合题干表格中的数据，求；请比较第问中的和第问中的，用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好？请至少写出三条理由【答案】解：根据题意得：，则当时，取最小值为，此时；若用二次函数来拟合题干表格中的数据，则；更好．理由如下：；图象上有更多的点与原点列重合三个；的图象更能反映原来点列的对称性．【解析】把图表中的数据代入拟合误差，得到关于m的二次函数，利用二次函数求最值，进一步得到函数解析式；在拟合误差中以替换，求得；通过数据分析可知，更好，由表中数据结合图象写出理由．本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是中档题．20.将数列的前n项和分成两部分，且两部分的项数分别是i，，若两部分的和相等，则称数列的前n项和能够进行等和分割．若，，试写出数列的前4项和的所有等和分割；求证：等差数列的前项和能够进行等和分割；若数列的通项公式为：，且数列的前n项和能进行等和分割，求所有满足条件的n．【答案】解：数列：，，则：，，，，则：，或．数列为等差数列，所以：．将上述2k个两式子分成两部分，则和相等．则：等差数列的前4k项和能进行等和分割；数列的通项公式为：，且数列的前n项和能进行等和分割，则：为偶数，所以：或．当时，由得知，数列可以进行等和分割．当时，首先考虑，则：分割成两部分，．故：，即：时，前3项能进行等和分割．当时，前项为：1，2，3，，，，，，，由得知：，，，，，，能分成等和的两部分，分别把两部分，进行加入，则两部分和相等．【解析】直接利用通项公式进行分割．利用分类讨论的思想进行等和分割．利用自然数的求和，进一步利用分类讨论思想进项求和分割．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．21.若存在实数使得，则称x是区间的一内点．求证：的充要条件是存在，使得x是区间的一内点；若实数a，b满足：，求证：存在，使得是区间的一内点；给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意a，都恒成立，求证：．【答案】证明：一方面，若x是区间的一内点，则存在实数使得，则；另一方面，若，取，则，且，则x是区间的一内点；可得的充要条件是存在，使得x是区间的一内点由，即；即．则，由可得存在，使得是区间的一内点；是区间的一内点，可得，则，则恒成立，可得时，上式不恒成立；可得，且，即，化为，即有；另外，是区间的一内点，可得，则，则恒成立，可得时，上式不恒成立；可得，且，即，化为，即有，可得．【解析】从两个方面证明，先考虑x是区间的一内点，运用新定义可得；再证，，运用不等式的性质可得x是区间的一内点；运用作差法，结合完全平方数和新定义和的结论，即可得证；分别讨论是区间的一内点，是区间的一内点，结合新定义和二次函数、二次不等式恒成立思想，由判别式法，即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法和转化思想，二次不等式恒成立问题解法，以及化简整理的运算能力，属于难题．第 11 页共 11 页。

上海市2019版高一上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）函数的定义域为（）A .B .C .D .2. （2分）下列各组角中，终边相同的角是（）A . 与kπ+ （k∈Z）B . kπ± 与（k∈Z）C . （2k+1）π 与（4k±1）π（k∈Z）D . kπ+ 与2kπ± （k∈Z）3. （2分） (2016高一上·浦城期中) 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A . y=xB . y=C . y=﹣x3D . y=（）x4. （2分）(2020·榆林模拟) 若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·杭州期中) 已知幂函数的图象过点，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知α终边上的一点P坐标是（sin2，﹣cos2），则α的一个弧度数为（）A . π+2B .C .D . 2-7. （2分）(2018·广东模拟) 已知函数，设，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·南沙期末) 若tanα=2，则 =（）A .B .C .D .9. （2分）设a=， b= （） 2 ， c=，则（）A . a<c<bB . b<c<aC . a<b<cD . b<a<c10. （2分）(2020·漳州模拟) 若，则，，，的大小关系为（）A .B .C .D .11. （2分）若f(x)=是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A . [,3)B . [,1)C . [,3)D . [,1)12. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知，则下列结论错误的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019高三上·上海月考) 已知集合，，则集合的子集个数为________.14. （1分） (2016高一上·汕头期中) 函数f（x）=4+loga（x﹣1）的图象恒过定点P，则P的坐标是________15. （1分） (2016高一上·宝安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（﹣2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围________．16. （1分） (2019高一上·普宁期中) 如下图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出函数的四个性质，其中说法正确的是________．①② 在上单调递增③当时，取得最大值④对于任意的，都有三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2016高一上·南昌期中) 计算：（1） [（5 ）0.5+（0.008）﹣÷（0.2）﹣1]÷0.06250.25；（2） [（1﹣log63）2+log62•log618]÷log64．18. （10分）(2018·绵阳模拟) 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .（1）求和的值；（2）若，求的值.19. （10分） (2019高一上·林芝期中) 已知集合，全集，求：（1）；（2） .20. （10分） (2017高一上·南通开学考) 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要加大投入2500元．对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为，其中x是产品售出的数量0≤x≤500．（1）若为x年产量，y表示利润，求y=f（x）的解析式（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？21. （10分） (2017高一上·乌鲁木齐期中) 已知且满足不等式．（1）求不等式；（2）若函数在区间有最小值为，求实数值．22. （10分） (2017高一下·芮城期末) 设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。