新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)

(数学选修2-2) 第一章 导数及其应用一、选择题1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+D ．2sin α2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是( )3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(-4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有( )A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为( )A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( )x ?abxy)(f y =OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．若函数2f xx x c 在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。

3．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 4．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。

数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6 6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1 s 末 B ．0 s C ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎜⎛2f(x)d x 等于( )A .34B .45C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sin xx，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎜⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x 31⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx2， 令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S 2＝⎠⎜⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3，∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值．当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析(1)f′(x)＝aax＋1－2(1＋x)2＝ax2＋a－2(ax＋1)(1＋x)2，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝ax2＋a－2 (ax＋1)(1＋x)2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。

数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)C ．[34π，π)D ．[π2，34π]4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜325．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π66．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx→0 错误!＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．0C ．3D.137．经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的切线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 s 末D ．0,1,4 s 末11．设f (x )＝错误!则错误!f(x)d x 等于( ) A .34 B .45 C .56D ．不存在12．若函数f(x)＝sinx x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sinx1x1，b ＝sinx2x2，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a>b B ．a<bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且⎠⎛01f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________．16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a 的值；(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数a ，b ；(2)试判断x ＝－2，x ＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x ，x ≥0，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛12(2－x)d x ＝⎪⎪⎪13x310错误!错误! ＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝xcosx －sinxx2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1. ∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x22－x3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x2－x331－k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b.(1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：f(x)在[0,2]上是减函数．则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3， ∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)． 从而f(2)＝－16a ＋3＝－29， 得a ＝2.(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值．当x ＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2.综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f ′(x )＝a ax ＋1－错误!＝错误!， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝错误!，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。

【高二】选修2 2第一章导数及其应用测试题及答案【高二】选修2-2第一章导数及其应用测试题及答案（数学选修2-2）第一章导数及其应用一、1.如果是，则等于（）a．b．c．d．2.如果函数图像的顶点位于第四象限，则函数图像为（）3．已知函数在上是单调函数,则实数的值范围为（）a．b．c、 d。

4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）a、 b。

c.d.5.如果曲线的一条切线与直线垂直，则方程为（）a．b．c．d．6.函数的定义域是一个开区间，包含导数函数的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）a、一个b．个c、一个d．个2、头衔1．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；2.函数的单调递增区间为。

3．设函数，若为奇函数，则=__________4.假设此时常数成立，则实数为取值范围为。

5.对于正整数，将切线与曲线处轴的交点的纵坐标设置为数列的前项和的公式是三、回答问题1．求函数的导数。

2.找到函数的值范围。

3．已知函数在与时都取得极值（1）函数的值与单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。

4.已知是否有实数满足以下两个条件：（1）它是上的减函数和上的增函数；（2）的最小值是，如果存在，找到它，如果不存在，解释原因（数学选修2-2）第一章导数及其应用参考答案一、ww1.a2．a对称轴，直线过第一、三、四象限3.B成立于横城，4．c当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有不得不5．a与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为，而，所以在处导数为，此点的切线为6.A最小值点应先减小后增大，即二、题1.在以下情况下取最小值：2．对于任何实数都成立3．要使为奇函数，需且仅需，即：。

再一次，所以只能如此。

4．时，5．，令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和三、回答问题1．解：。

2．解：函数的定义域为，在那个时候，也就是函数的增加间隔，在那个时候，所以值域为。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

x 2 +1 11a新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题（时间 120 分钟，分值 150 分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．曲线 y = x 3 在点(2,8) 处的切线方程为（）．A ． y = 6x - 12 C ． y = 8x + 101 - x 24.设 y = sin x ，则 y ' = （ ）．- 2x sin x - (1- x 2 ) cos xA ．sin 2 x - 2x sin x + (1 - x 2 )B ． y = 12x - 16 D ． y = 2x - 32-2x sin x + (1- x 2 ) cos xB ．sin 2 x- 2x sin x - (1 - x 2 )C.D ．sin x sin x 5．设 f (x ) = ln ，则 f '(2) = （ ）．4 2 1 3 A.B ．C ．D ．55557. 函数 f (x ) =1 e x (sin x + cos x ) 在区间[0,]的值域为（ ）． 2 1 1 21 1A ．[ , 2 e 2]2B. ( , 2 2e 2 )C ．[1, e 2 ]D ．(1, e 2 )8. 积分⎰a 2 - x 2 dx = （ ）．-aA. a 24B. a 22C. a 2D. 2a 210. 由抛物线 y 2 = 2x 与直线 y = x - 4 所围成的图形的面积是（ ）．38 16 A ．18B ．C ．D ．1633第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每小题4 分，共16 分。

请将答案填在答题卷相应空格上。

）三、解答题：（本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分10 分）已知向量a = (x 2 , x +1), b = (1-x, t) ，若函数f (x) =a ⋅b 在区间(-1,1) 上是增函数，求t 的取值范围。

新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。

第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=. 4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..。

数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f (x )的定义域为开区间（a ，b )，导函数f ′（x )在（a ，b )内的图像如图所示，则函数f （x )在开区间（a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间［12,2］上，函数f （x )＝x 2＋px ＋q 与g （x ）＝2x ＋错误!在同一点处取得相同的最小值，那么f （x )在[错误!，2］上的最大值是（ ）A 。

错误!B 。

错误!C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋错误!上移动,设点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )A ．[0，π2］ B ．［0，错误!]∪［错误!π，π) C ．[错误!π,π)D ．[错误!，错误!π］4．已知函数f （x )＝错误!x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x ）＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ )A ．m ≥错误!B ．m ＞错误!C ．m ≤32D ．m ＜错误!5．函数f （x ）＝cos 2x －2cos 2错误!的一个单调增区间是( ） A 。

错误! B.错误! C.错误!D 。

错误!6．设f （x )在x ＝x 0处可导,且错误! 错误!＝1，则f ′(x 0）等于( ） A ．1 B ．0 C ．3D 。

错误!7．经过原点且与曲线y ＝错误!相切的切线方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋25y ＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0D ．以上皆非8．函数f （x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ,b ，c 为实数,当a 2－3b ＜0时,f （x ）是( ）A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数9．若a >2，则方程错误!x 3－ax 2＋1＝0在（0，2)上恰好有( ) A ．0个根 B ．1个根 C ．2个根D ．3个根10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝错误!t 4－错误!t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是（ )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 s 末D ．0，1,4 s 末11．设f （x ）＝错误!则错误!f （x)d x 等于（ ） A .34 B .错误! C .错误!D ．不存在12．若函数f （x ）＝错误!，且0〈x 1<x 2<1，设a ＝错误!，b ＝错误!,则a ，b 的大小关系是（ )A ．a>bB ．a 〈bC ．a ＝bD ．a 、b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x ）＝错误!x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5,则f ′(1）＝________. 14．已知函数f （x)满足f （x ）＝f （π－x ），且当x ∈错误!时，f(x ）＝x ＋sin x ，设a ＝f(1）,b ＝f(2）,c ＝f （3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2，4),且错误!f(x)d x ＝3，则函数f(x ）的解析式为________．16．(2010·江苏卷）函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点（a k ，a 错误!)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1,其中k ∈N *。

《选修2-2 第一章 导数及其应用》复习题一、选择题1、设)(x f 是可导函数：且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f xx f x x f x 则 （ ） A ．21 B ．－1 C ．0 D ．－22、()f x '是()f x 的导函数：()f x '的图象如右图所示：则()f x 的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3、下列函数中：在),0(+∞上为增函数的是（ ）A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln( 4、函数)(x f 的定义域为（a ：b ）：其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示：则函数)(x f 在区间（a ：b ）内极小值点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =：且)(0x f y =极小值：则下列说法正确的是（ ）A ．函数)(x f 有最小值)(0x fB ． 函数)(x f 有最小值：但不一定是)(0x fC ．函数)(x f 的最大值也可能是)(0x fD ． 函数)(x f 不一定有最小值6、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数：则b 的取值范围是（ ）A ． 21>-<b b ，或B ． 21≥-≤b b ，或C ． 21<<-bD ． 21≤≤-b7、一物体在力2()325F x x x =-+（力单位：N ：位移单位：m ）作用下：沿与力()F x 相同的方向由x=5m 直线运动x=10m 处做的功是（ ）A ．925JB ．850JC ．825JD ．800J8、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10： 则点),(b a 为（ ）8、以初速40m/s 竖直向上抛一物体：t s 时刻的速度24010v t =-：则此物体达到最高时的高度为（ ）A ．1603mB ．803mC ．403mD ．203m 9、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数：则实数a 的取值范围是（ ）A．(,)-∞⋃+∞ B ．]3,3[- C ．(,)-∞⋃+∞ D ． )3,3(-10、若函数()23k k h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数：则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞ 二、填空题11、如右图所示：函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ：则()5f = ：()5f '= ．12、计算：（1）1-⎰= ：（2）20(2)x x e dx -⎰= 。

第一章 导数及其应用(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－1)及(0,1) B ．(－1,0)及(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠05．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向 作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A. 3 JB.233JC.433J D ．2 3 J 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋ log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为( ) A ．－log 2 0102 009 B ．－1 C ．(log 2 0102 009)－1 D ．17．已知函数f (a )＝ʃa 0sin x d x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A ．1B ．1－cos 1C ．0D ．cos 1－18．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 10．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ． 20π⎰(sin x －cos x )d x B ．240π⎰ (sin x －cos x )d x C ．20π⎰(cos x －sin x )d x D ．240π⎰(cos x －sin x )d x11．用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm ，此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为( ) A ．5 J B ．10 J C ．20 J D ．40 J 12.已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．14．若a ＝22π⎰sin x d x ，b ＝ʃ10cos x d x ，则a 与b 的关系是________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内， 已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为______________． 16．由曲线y ＝x 2，y ＝x ，y ＝3x 所围成的图形面积为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极 值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．18．(12分)设铁路AB 长为50，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.(1)将总运费y 表示为x 的函数； (2)如何选点M 才使总运费最小？19.(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(]0，1上的最大值为12，求a 的值．20．(12分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造 价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何 值时造价最省？21.(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．答案1．B [∵f ′(x)＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M(－1，－3)．]2．A [y ′＝4x 3－4x ＝4x(x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)， 故选A .]3．D [f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3.由f(x)在x ＝－3时取得极值， 即f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.] 4．C [f ′(x)＝3ax 2－2x ＋1，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值， 等价于f ′(x)＝0有两个不等实根，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ≠0，Δ＝4－12a>0.解得a<13且a ≠0.]5．C [由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F·cos 30°，W ＝ʃ21(5－x 2)·cos 30°d x ＝32ʃ21(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3|21＝32×83＝433(J)．] 6．B [∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2 010(12·23·…·2 0092 010)＝log 2 01012 010＝－1.]7．B [∵f(a)＝(－cos x)|a 0＝1－cos a ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－cos π2＝1，∴f(1)＝1－cos 1.] 8．A9．A [设圆柱横截面圆的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2. ∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R)＝2πR 2－2πR 3， ∴V ′＝2πR(2－3R)＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49·23＝827π.]10．D[如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<π4阴影部分面积的2倍．故选D .]11．B [设F(x)＝kx ，则200＝k·0.1，∴k ＝2 000，∴W ＝ʃ0.102 000x d x ＝1 000x 2|0.1＝10 (J )．]12．A [∵(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数， (0，＋∞)上为减函数．] 13．a ≥3解析 由题意应有f ′(x)＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈ (－1,1)恒成立，故a ≥3. 14．a<b解析 ∵a ＝－cos x|22＝－cos 2，b ＝sin x|10＝sin 1. 又∵－cos 2＝cos(π－2)＝sin(2－π2)．在单位圆中利用三角函数线估算可知a<b. 15．(－2,15)解析 设P(x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4. 又∵P 点在第二象限内，∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)． 16.13317．解 (1)f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a. ∵f(x)在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3.∴f(x)＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f(x)上，由(1)可知f ′(x)＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16. 18．解 (1)依题意，铁路AM 上的运费为2(50－x)， 公路MC 上的运费为4100＋x 2，则由A 到C 的总运费为y ＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x ≤50)． (2)y ′＝－2＋4x100＋x2(0≤x ≤50)．令y ′＝0，解得x 1＝103，x 2＝－103(舍)．当0≤x<103时，y ′<0，当50≥x>103时，y ′>0.故当x ＝103时，y 取得最小值，即当在距离点B 为1033时的点M 处修筑公路至C 时总运费最小．19．解 函数f(x)的定义域为(0,2)，f ′(x)＝1x －12－x＋a.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝－x 2＋2x (2－x )，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x)＝2－2xx (2－x )＋a ＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a ，因此a ＝12.20．解 由V ＝πr 2h ，得h ＝Vπr 2.设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价M ＝a πr 2＋2a·2πrh ＋4a·πr 2＝5a πr 2＋4aVr ，M ′＝10a πr －4aVr 2，令M ′＝0，解得r ＝32V 5π，∴经验证，当r ＝32V 5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h ＝V πr 2＝325V4π.∴当rh ＝32V 5π325V 4π＝25时，储油罐的造价最省． 21．解 f ′(x)＝3ax 2－b.(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f(x)＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x)＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x)＝0，得x ＝2或x ＝－2.因此，当x ＝－2时，f(x)有极大值283，当x ＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数f(x)＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f(x)＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43<k<283.22．解 (1)当a ＝1时，f(x)＝x 3－32x 2＋1，f(2)＝3.f ′(x)＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9. (2)f ′(x)＝3ax 2－3x ＝3x(ax －1)．令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论：①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x x (－12，0)0 (0，12)f ′(x) ＋0 －f(x)极大值当x ∈[－12，12]时，f(x)>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (12)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a<5.因此0<a ≤2.②若a>2，则0<1a <12.x (－12，0) 0 (0，1a )1a (1a ，12) f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值当x ∈[－12，12]时，f(x)>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (1a )>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a8>0，1－12a 2>0.解不等式组得22<a<5或a<－22.因此2<a<5.综合①②，可知a的取值范围为0<a<5.。