7.6锐角三角函数的简单应用(3)

学习目标：1. 经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程屮的应用。

2. 能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明。

3. 正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。

重点： 灵活应川“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形 难点： 发现、构造可解的直角三角形和盂解的直介三用形 重要概念：畀垂线视线 —水平线I视线解题要领:构造肓角三角形，解决实际问题。

问题引入：长为90 CM 的单摆AB 旋转30°后，最低点B 升高了多少?典型例题 例1・ 国庆长假，小明和同学一•起到游乐场游玩，游乐场人型摩犬轮的半径为20米，旋转-周需要12分钟。

小明乘坐最底部的车厢（离地而约0.5米）开始一周的观光。

（1） 2分钟后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1米）？（2） 摩天轮启动多长时间后,小明和地面的高度将首次达到9m ?（提示cos55° =0.575）（3） 小明将有多长时间连续保持在离地面9 m 以上的高度？Z1是俯角，Z2仰角把实际问题抽象为儿何问题，画岀儿何图形, 明确己知量和未知量, 通过添加适为辅助线, 旋转角：ZAOB北例2・升国旗时，某同学站在离旗杆底部20m 处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学 视线的仰角恰为40。

,若双眼离地IS 1.5m,则旗杆高度为多少m? （sin40° =0.64, tan40° =0.84）例3・某商场为缓解我市“停车难"问题,拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口 的设计示意图，其中，丄BD, ZBAD = 18°, C 在BD 上,BC=0.5m.根据规定，地下停 车库坡道入口上方耍张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD 的长就是所限制的高度，而小壳认为丿应该以CE 的长作为限制的高度•小明和小亮谁说的对？ 请你判断并计算出正确的结果・（结果精确至U 0.1m ）参考数据：sinl8° =0.31, cos 18° =0.95,3. 水平地面上的甲、乙两楼的距离为30米，从「卩楼顶部测得乙楼顶部的仰角为30。

主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。

从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。

如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。

和坝底宽AD。

(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。

问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。

坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。

初三数学知识点：锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学知识点：锐角三角函数的简单应用知识
点
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接下来小编为大家精心准备了锐角三角函数的简单应用知识点，希望大家喜欢!
学习重点难点：
重点：进一步用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
难点：灵活运用三角函数解决实际问题.
【温故知新】
1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC为_____________米(结果保留根号).
2.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
变式如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：。

初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。

这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。

在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。

其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。

这些函数有许多重要的性质。

首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。

其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。

此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。

也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。

在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。

首先，它们被广泛应用于三角计算。

例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。

这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。

其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。

例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。

它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。

另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。

它们的图像可以通过函数的周期性来得到。

例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。

此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。

三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。

利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。

总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。

它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。

7.6 锐角三角函数的简单应用的值是________1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=22，BC=1，那么sin ABD2、一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）3、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）4、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）5．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）6．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为m（结果保留根号）7．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）8．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）参考答案221.2.解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．4.解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．5. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．6. 解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．7. 解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．8 解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．。

初三数学家庭作业第七章 锐角三角函数7.6 锐角三角函数的简单应用（3）一、知识要点1、如图，我们通常把坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做＿＿＿＿＿＿＿，用字母i 表示，即lh i，坡度一般写成1：m 的形式（比的前项为1，后项可以是小数）.2、坡角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、坡度与坡角（α）的关系：i ＝＿＿＿＿＿＿，说明坡角越大，坡度也越小，坡面越陡.二、基础训练1、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6m ，背水坡AB 的坡度i ＝1：2，则斜坡AB 的长为＿＿＿＿＿m （精确到0.1m ）2、如图，河堤横断面为梯形，上底为4m ，堤高为6m ，斜坡AD 的坡比为1：3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为（ ）A 、96m 2B 、48m 2C 、192m 2D 、84m 2第1题 第2题3、如图，某水坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3m ，坝高15m ，斜坡AB 的坡度i ＝3：1，斜坡CD ＝25m ，坝长为5m ，求：（1）坝底AD 的宽；（2）建这一水坝需土多少方？4、水坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡AD 坡角为30°，背水坡BC 的坡度为1：1，坝顶AB 的宽为4m ，坝高为6m ，求：（1）坝底CD 的长；（精确到0.01m ）（2）迎水坡AD 的坡度；（3）若将此1000m长的堤坝加高0.5m，需要多少方土？（精确到1m3）5、一段路基的横断面是直角梯形，如图（1）所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如图（2）所示的技术要求，试求出改造后坡面的坡度是多少？6、如图，小河的横断面是梯形，河床底宽6米，上口宽20米，斜坡BH的坡度i＝1：1.5，斜坡AD的坡度i’＝1：2.（1）求河深；（2）现将2000米长的小河加深0.5米，求土方量.三、能力提升1、如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1：3，坝外斜坡的坡度i＝1：1，则两个坡角的和为（）A、90°B、60°C、75°D、105°3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡.（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）.（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，把坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米（精确到0.1m）？★4、沪杭高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，斜坡DC的坡度为i1，在其一侧加宽DF＝7.75m，点E、F分别在BC、AD的延长线上，斜坡FE的坡度为i2（i2<i1），设路基的高DM＝hm，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF的面积为Sm2.（1）已知i2＝1：1.7，h＝3m，求ME的长；（2）不同路段的i2、i1、h是不同的，请设计一个求面积S的公式（用含i1、i2、h的代数式表示）（通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，坡度常用字母i表示，即四、预习感知1、如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间航行的平均速度是＿＿＿＿＿＿海里/小时.第1题第2题2、如图，身高1.6m的小亮用一个锐角为30°的直角三角形测量树高，当他手托三角尺从点E后退10m到达点B时，他的视线刚好沿三角尺的斜边穿过树顶点C，这颗树高大约是＿＿＿＿＿m（精确到0.01米，可能用到的数据：2≈1.414，3≈1.732）。

苏科版九年级上 盐中网校第9课时 锐角三角函数的简单应用（3）班级 学号 姓名[学习目标]1、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题．2、坡度＝斜坡的水平距离斜坡的垂直高度，一般地，我们将坡度i 写成1:m 的形式．坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝tan α． [学习过程]问题1、 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m ，测得斜坡的倾斜角是30°，求斜坡上相邻两树的坡面距离．问题2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．问题3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动， 坡顶B 沿BC 削进到F 点处，问BF 至少是多少米？问题4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， 那么种植花草至少需要多少元？问题5、 如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。

应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。

本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。

首先，锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。

设有一个三角形ABC，其中AB=2，BC=3，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。

首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数，即α=60°，可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。

然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。

其次，锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。

设有一个三角形ABC，其中A=60°，B=30°，C=90°，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。

首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长，即AB=2，BC=2，可以由两个内角求出外角的长度AC=3。

然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。

此外，锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。

假设有一个抛物线y=-1/4x^2，其中x为横坐标，y为纵坐标，则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。

首先，我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2)，然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离，即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。

最后，锐角三角函数还可以应用于光学中，用来求解折射率等问题。

假设有一个简单的透镜系统，镜片一边入射面和出射面之间有n条光线，可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。

这里，我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2，再用反射率的定义，即n1sinα1=n2sinα2，求出折射率n2。

九年级下册）
7.6 锐角三角函数的简单应用（3）
：学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC 坡AB 长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山BD 的坡比是1∶3（即为CD 与BC 的长度之比）． 于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD ． 互相讨论，踊跃回答． 抓住关键坡比是1∶3．
师生互
生的口头表
养学生勇于
法的能力．
水坝的横截面是梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角α水坡AD 的坡度β为1∶1.2， 坝顶宽DC ＝2.55米．
）背水坡AD 的坡角β（精确到0.1°）；
坝底宽AB 的长（精确到0.1米）．
学生独立思考后，回答问题． 巩固熟练掌握坡度与坡角．
通过练
提升学生把
象为几何问
在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD 的坡.4，已知堤坝的总长度为5km ，求完成该项工程所精确到0.1米3） ．
学生独立画出新的图形，抓住不变量，找出变
量．小组成员互相讨论，得出结论，派代表上来展示． 通过学
论，培养学
的良好习惯
图，某人在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P ，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1∶
，点C 、A 在同一个平面上的点H 、B 、C 在同一条直线
引导学生思考：
（1） 给出的坡度这个条件有什么作用？ （2） 三角形PBA 是特殊三角形吗？有何
作用？
通过练
提升学生把
象为几何问
α
F E
D C
B
⊥HC．则A、B两点间的距离是（）
B．203 C．202 D．10。