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高等数学第一章习题一、填空1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为),1[e2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)11(+x f 的定义域 [-1/2,0] 。
3.设⎩⎨⎧≤<-≤≤=211101)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。
5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+∈,)4,(πππ6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。
7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()xf e 的定义域(,0]-∞8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9. xxsin limx ∞→＝ 010.()()()=+-+∞→1761125632lim x x x x 17653。
11.x x x)21(lim -∞→＝ 2e -12.当∞→x 时，x1是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 23-14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。
15.若A x f x x =→)(lim 0（A 为有限数），而)(lim 0x g x x →不存在，则)]()([lim 0x g x f x x +→ 不存在 。
16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。
（ 不一定 ） 17.函数23122++-=x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。
大一高数习题1答案解析大一高数习题1答案解析高等数学作为大一学生必修的一门课程，对于很多学生来说是一门相对较难的学科。
在学习过程中，习题的解答是非常重要的一环。
本文将对大一高数习题1的答案进行解析，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
1. 题目：计算函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值。
解析：将x=2代入函数f(x)，得到f(2)=3(2)^2-2(2)+1=12-4+1=9。
所以函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值为9。
2. 题目：已知函数f(x)=x^3-2x+1，求f'(x)。
解析：对函数f(x)进行求导，首先对x^3-2x+1分别求导，得到3x^2-2。
所以函数f'(x)=3x^2-2。
3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(-1)。
解析：将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=1-2+1=0。
所以函数f(x)=x^2+2x+1在x=-1处的函数值为0。
4. 题目：已知函数f(x)=2x^3+3x^2-4x+1，求f''(x)。
解析：对函数f'(x)=6x^2+6x-4进行求导，得到f''(x)=12x+6。
5. 题目：已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=0的解。
解析：将f'(x)=3x^2-3=0，化简得到x^2-1=0，进一步化简得到(x-1)(x+1)=0。
所以f'(x)=0的解为x=1和x=-1。
通过以上习题的解析，我们可以看出大一高数习题1主要涉及函数的计算和求导。
在解答这些习题时，我们需要掌握函数的基本运算规则和求导的方法。
同时，我们还需要注意一些常见的计算错误，比如在计算过程中漏写符号、计算错误等。
在学习高等数学的过程中，习题的解答是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，提高解题能力。
因此，我们要充分利用课后习题，多做练习，加深对知识点的理解和掌握。
《高等数学（一）》作业参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。
（3）),1()1,(+∞⋃-∞二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]33131(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31(8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→== (9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim1=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→nn n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→xx x x x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x ed dy x -=- =)3cos()3cos(x de de x x x -+--- =dx x e dx x ex x )3sin()3cos(-+---- =[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x xx x x221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+= =2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x xy ==-; (10)22212)'1(11'xx x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）xy +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xey 22222'+= x x x x e x xe xe e y 222224442''+++= =)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==+⎰⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23=x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x822(8 =28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21 (11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。
高等数学一上册教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示为：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数关系。
函数的性质（1）定义域和值域定义域是自变量可能的取值范围，值域是因变量对应的所有可能取值的范围。
（2）奇偶性如果对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
（3）单调性如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为增函数；如果对任意 x1、x2，当 x1 < x2 时有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为减函数。
1.2 一次函数与二次函数一次函数一次函数的标准式表示为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。
一次函数的图像是一条直线，它的性质包括：与 y 轴平行的直线的斜率为零，与 x 轴平行的直线的斜率为无穷大。
例题：已知函数 f(x) = 3x + 2，求 f(2) 的值。
解：将 x 替换为 2，得到 f(2) = 3(2) + 2 = 8。
二次函数二次函数的标准式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，它的性质包括：抛物线开口向上（a > 0）或向下（a < 0），顶点的横坐标为 -b/2a。
例题：已知函数 f(x) = x^2 + 2x - 1，求 f(-1) 的值。
解：将 x 替换为 -1，得到 f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2。
1.3 幂函数与指数函数幂函数幂函数的定义形式为 y = x^p，其中 p 是常数。
幂函数的图像随着 p 的取值不同，可能是增函数、减函数或常数函数。
例题：已知函数 f(x) = x^3，求 f(2) 的值。
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学1教材答案高等数学1是大学数学专业的必修课程之一，它为学生提供了进一步拓展和深入理解数学概念的机会。
本文将提供高等数学1教材的答案，帮助学生巩固所学知识，并提高解题能力。
一、导数与微分1. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x的导数。
解: f'(x)=6x^2-10x+32. 求函数f(x)=x^4-2x^3+4x的二阶导数。
解: f''(x)=12x^2-12x+4二、极值与最值1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x的极值点。
解: 首先求导数 f'(x)=3x^2-12x+9，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=4。
所以极小值点为(1,4)。
2. 求函数f(x)=3x^4-8x^3+12x的最大值。
解: 首先求导数 f'(x)=12x^3-24x^2+12，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=7。
所以最大值为7。
三、定积分与不定积分1. 求函数f(x)=2x的不定积分。
解: F(x)=x^2+C，其中C为常数。
2. 求函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分。
解: ∫[0,2] x^2 dx = [1/3*x^3]0~2 = 8/3。
四、曲线的参数方程1. 给定曲线的参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)，求曲线上的切线方程。
解: 首先求导数 dx/dt=-sin(t) 和 dy/dt=cos(t)。
然后利用导数求切线方程y-y0=(dy/dx)(x-x0)，代入导数值和曲线上一点的坐标(cos(t0),sin(t0))，得到切线方程 y-sin(t0)=cot(t0)(x-cos(t0))。
五、级数求和1. 求级数∑(n=1 to ∞) 2^n的和。
解: 由等比数列求和公式，级数的和为 S=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
所以∑(n=1 to ∞) 2^n的和为 2/(1-2) = -2。
大学高等数学第一册考试试题答案详解【大学高等数学第一册考试试题答案详解】一、选择题：1. 答：B解析：首先应用导数求解微分方程，得到特解y=e^x。
再将y=e^x 代入$x^2y''+xy'-y=0$式中，可以得到等式左边为0，故选项B正确。
2. 答：D解析：根据导数的定义得出，当x=1时，函数f(x)的导数为0，由此可推知f(x)在x=1处取极值。
又根据极值点的判定条件，当导数变号时，极值达到。
从而得出答案为选项D。
3. 答：C解析：由公式算得h(t)=1−0.2t，比较上下限得到兴趣区间为(0,5]，同时根据积分的定义算得兴趣总量为1.2。
4. 答：A解析：利用二重积分计算可以得出此立体体积为选项A中的数字。
5. 答：D解析：根据函数与其导函数的关系，对f(-3)进行积分，可以得到选项D的答案。
二、填空题：1. 答：$-1/4$解析：利用分部积分法计算，并带入上下限，得到此结果。
2. 答：2解析：根据积分的性质计算得到积分结果为2。
3. 答：27解析：由多重积分公式计算得积分结果为27。
4. 答：0.5解析：利用积分求解二次方程得出结果为0.5。
5. 答：$\arcsin(2/3)+C$解析：通过求导验证可得到该结果。
三、解答题：1. 答：解释二重积分与定积分的关系。
解析：二重积分是定积分的推广，用于计算平面区域上的面积，其中积分的上下限分别为该区域的y轴边界函数和x轴边界函数。
定积分则是对一个区间上的函数进行求和，其中积分的上下限为该区间的起点和终点。
2. 答：证明洛必达法则在极限存在的条件下成立。
解析：洛必达法则用于解决极限存在但无法直接求解的情况。
在证明洛必达法则成立时，可以通过应用导数定义以及泰勒级数展开等方法进行推导，最终得到洛必达法则的条件以及成立的证明过程。
四、应用题：1. 答：$\frac{1}{6}\pi^3$解析：根据旋转体体积的计算公式，可以得到此结果。
高等数学（一）（第一章和第二章练习题）参考答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ） A.x 2+2x B.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x解：设：1cos x t -= c o s1x t ∴=+ ()()()21c o s 1c o s 1c o s 1c o s f x x x x -=-=+- ()()2112ft t t t t ∴=++=+ ()22f x x x =+ 2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ） A.2x 2B.x2xC.x 2xD.22x解：()2f t t = ()()22[()]222xx xf x f ϕ===3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)解：110x -> 10x x-> 01x ∴<< ()0,1x ∴∈ 4．设f(x)=⎩⎨⎧>≤0x ,x 0x ,x ，则f(x)在点x=0处（ D ）A ．无定义B ．无极限C ．不连续D ．连续解：()00f = ()0lim lim 0x x f x x --→→== ()0lim lim 0x x f x ++→→==()0l i m 0x f x →∴= ()()0l i m 0x fx f →= 0x ∴=处连续5.函数2x x y -=的定义域是（ D ） A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]解：20x x -≥ ()10x x ∴-≥ []0,1x ∴∈ 6.∑∞==1n n)23ln (（ ） A.23ln 3ln - B. 3ln 23ln - C. 3ln 21-D. 3ln 2)3(ln n-解：此为等比级数，1ln 32a =ln 32q =11l n 3l n 3l n 32()212ln 312n n a q ∞====---∑ 7.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ，则（ A ）A.x211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 解：设1t x= 1x t ∴= ()11111t f t t t∴==-- ()1212f x x ∴=-8.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ） A.x+3 B.x-3 C.2xD.-2x解：()()12;12f a b f a b -=-+==+=- 2;0a b ∴=-= ()2f x x∴=- 9.lim()1xx x x →∞=+（ B ） A.eB.e -1C.∞D.1解：111lim()lim 111xxx x x e x e x -→∞→∞⎛⎫ ⎪=== ⎪+ ⎪+⎝⎭ 10.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是（ D ）A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,3解：()()30210x x x -≥⎧⎪⎨+-≠⎪⎩3x ∴≥ [)3,x ∴∈+∞11.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 ， ， 在x=-1连续,则a=（ D ）A.1B.-1C.2D.0解：1x =- 处连续， ()()11lim x f f x →-∴-=()()()()()211112122ln 11lim 1ln 1limlim2lim 101111x x x x x x a x x x x x →-→-→-→-⋅++∴=++===-+=-++12.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ） A.x 2-6x+5 B.x 2-5x+6 C.x 2-5x+2 D.x 2-x 解：设1x t += 1x t =- ()()()22131256f t t t t t =---+=-+ ()256f x x x =-+13．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ） A ．[a,3a] B ．[a,2a] C ．[-a,4a]D ．[0,2a]解：0303x a a x a a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 324a x aa x a-≤≤⎧∴⎨≤≤⎩ 2a x a ≤≤ [],2x a a ∴∈14．=→xsin x 1sinx lim20x （ D ）A ．1B ．∞C ．不存在D ．0解：0,sin x x x →∴ 原式= 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x→→==15．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ） A ．|x|≤1 B ．|x|<1 C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<1解：2010x >-≥⎪⎩ 011x x ≠⎧∴⎨-≤≤⎩ 01x ∴<≤16．0x lim →x 2sin2x1=（ A ）A ．0B ．1C ．-1D ．不存在解：0x lim →x 2sin 2x 1=017.函数y=1-cosx 的值域是（ C ） A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]D.(-∞,+∞)解：cos 1,110x y ==-=；()cos 1,112x y =-=--= 02y ≤≤ []0,2y ∴∈ 18.设2a 0π<<，则=→x x sin lim a x （ D ）A.0B.1C.不存在D.aasin 解：=→x x sin lima x sin aa19.下列各式中，正确的是（ D ）A.e )x 11(lim x 0x =++→B.e )x 1(lim x 10x =-→ C.e )x11(lim x x -=-∞→D.1x x e )x11(lim -∞→=-解：()1111lim(1)lim 1x x x x e x x -⋅--→∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ） A ．x(x-1) B ．x(x+1) C ．(x-1)2-(x-1) D ．(x+1)(x-2)解：设1x t -= 1x t =+ ()()()()22111f t t t tt t t ∴=+-+=+=+()()1fx x x =+21．设f(x)=ln4,则0x lim →∆=∆-∆+x)x (f )x x (f （ C ）A ．4B ．41C ．0D ．∞解：0x lim→∆=∆-∆+x )x (f )x x (f 0ln 4ln 4lim0x x∆→-=∆ 22.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ） A.[0，2] B.[0，16] C.[-16，16]D.[-2，2]解：204x ≤≤ 24x ≤ 22x -≤≤ []2,2x ∴∈-23.xx x 1lim→=（ C ）A.0B.1C.-1D.不存在解：11limlim 1x x x xx x→→== 24.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ） A.t 2+1 B.t 4+2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2解：()21f x x =+ ()()2224211122ft t t t ∴+=++=++25.数列0，31，42，53，64，…的极限是（ ） A.0 B.n2n - C.1 D.不存在解：11n n x n -=+ 111l i m l i m l i m1111n n n n n n x n n→∞→∞→∞--∴===++ 26．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x解；设1x t -= 1x t =+ ()()3321133f x t t t t ∴=+-=++()3233f x x x x ∴=++ 27．下列极限存在的是（ D ） A ．11lim-→xx eB ．xx e 1lim → C ．x x sin lim ∞→D ．221limx x x -∞→解：2221limlim 1111x x x x x →∞→∞==--- 28.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞)解：()0,ln1x f x ==；()1,ln 25x f x ==； ()ln1ln 2f x ≤≤ 29.设函数g (x)在x = a 连续而f (x) = (x-a)g(x),则'f (a) =（ D ） A.０ B.g '(a) C.f (a)D.g (a)解：()()()()()()()()f x x a g x x a g x g x x a g x ''''=-+-=+- ()()()()()f ag a a a g a g a''=+-= 30．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,11)(x x xx x f ,则x =0是f (x )的（ A ） A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．连续点解：()00f =()000111lim 2x x x x f x →→→→====()()0l i m 0x fx f →≠ 但极限存在，此为可去间断点31.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ） A.(-1,1) B.[-1,1] C.[-1,0] D.[0,1]解：1211x -≤-≤ 022x ∴≤≤ 01x ≤≤ []0,1x ∴∈ 32.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B )A.(a a 2,1)B.（a a 1,2) C.(a ，2a)D.(a a,2]解：12ax << 0a < 12x a a ∴>> 21,x a a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭33．函数f (x )=2211⎪⎭⎫⎝⎛--x 的定义域为（ B ）A ．[]1,1-B ．[]3,1-C ．(-1,1)D ．(-1,3)解：21102x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 2112x -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭1112x --≤≤ 212x -≤-≤ 13x -≤≤ []1,3x ∴∈-34．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：()0f k = ()00sin 2lim lim2x x xf x x→→== 0x = 处连续()()00lim x f f x →∴= 2k ∴=35.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数解：1sin 1x -≤≤ 12s i n 3x ∴≤+≤ 22212s i n 303111x x x x +∴≤≤≤≤+++ 36．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ） A ．(-1,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞) D ．(0,1)解：010x x >⎧⎨->⎩ 1x ∴> ()1,x ∈+∞37．极限=→xxx 62tan lim0（ B ）A ．0B ．31C ．21D ．3解：0,tan 22x x x → 00tan 221limlim 663x x x x x x →→==二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.解；设1x t += 1x t =- ()()21f t t ∴=- ()()21f x x ∴=-2．无穷级数 +++++n 31313112的和等于________.解：此为等比级数，111,3a q ==1211113113331213n a q +++++===-- 3.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________. 解：212212x x -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩ 1331x x -≤≤⎧∴⎨-≤≤⎩11x -≤≤ []1,1x ∴∈-4.=-++∞→]x ln )2x [ln(x lim x ___________.解：22lim [ln(2)ln ]lim ln lim ln 1x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222lim ln 1lim ln 1ln 2xxx x e x x ⋅→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．函数y=x ln ln 的定义域是 . 解：0ln 0x x >⎧⎨>⎩1x x >⎧⎨>⎩ 1x ∴> ()1,x ∴∈+∞ 6．nn 999.0lim ⋅⋅⋅∞→= . 解：1lim0.999lim 1110n n n n→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭7．=∞→x21sinx 3lim x . 解：1110,0,sin 222x x x x →∴→∴ 113l i m 3s i n l i m 3222x x xx x x →∞→∞=⋅= 8.设⎩⎨⎧<-≥+=0x ,1x 0x ,1x )x (f ，则f (-1)= ___________.解：()1112f -=--=-9.=-+∞→)n 1n (n lim n ___________.解：n n =1l i l2n n n→∞====10.2x2xlim2x--→= ___________.解：()()()2222lim2x x xx xx→→→--==-2l i22x→=11.设函数1x2y+=，其反函数的定义域是________________.解：反函数的定义域是原函数的值域；而原函数的值域为0y≥其反函数的定义域是()0,+∞12.=--+∞→)nnn3n(limn________________.解：nn→∞=4l i l211 n n nn n+-=====+13.在一个极限过程中，变量u的极限为A的充分必要条件是u=A+α，其中α是极限过程中的________________.解：无穷小14．若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________.解：设11x+=0x=()10c o s01f=+=15．.__________1n5n)n1(lim233x=++-∞→解：()()33333323233331111(1)lim lim lim151515111n n nnn nnn nn nn nn n n→∞→∞→∞⎛⎫--⎪--⎝⎭====-++++++16．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.解：()1ln 2y x -=+ 12y x e -+= 12y x e-∴=- 反函数是12x y e -=-17. =∞→xxarctan limn _______.解：arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞=⋅=18.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。
第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]写出函数的定义域及函数值（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。
.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]C、(1,5]D、[1,5)【正确答案】A【答案解析】由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。
