等维递补灰色预测法

灰色预测模型公式灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。

灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。

灰色预测模型的公式可以表示为：$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。

灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。

系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。

灰色预测模型的建模步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。

2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系统的发展规律。

3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。

4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。

5. 模型预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测。

灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用价值。

它可以用来预测各种经济指标、环境数据、自然灾害等，为决策提供科学依据。

同时，灰色预测模型还可以用于评估和分析系统的可持续发展能力，帮助企业和机构合理规划和管理资源。

灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它通过利用系统自身的信息和规律，建立灰色微分方程来进行预测。

灰色预测模型一、灰色预测的概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。

灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。

2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。

尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。

4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。

如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。

什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。

灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。

GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。

灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。

生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。

民航机场旅客吞吐量灰色预测的PGM(1,2)模型研究杜云郑顺文指导老师：杨丽安然（中国民用航空学院天津 300300）摘要：本文应用灰色GM(1,1)模型对民航机场旅客吞吐量进行了预测研究，得到了有价值的规律和结论。

同时，本文以灰色GM(1,2)模型为基础，提出了适用于灰色系统数列预测的PGM(1,2)模型，并将其应用于对民航机场旅客吞吐量进行预测研究，结果表明：PGM(1,2)预测模型曲线能反映民航机场旅客吞吐量的变化规律，预测精度很高。

为实现民航机场旅客吞吐量的短、中、长期的准确预测提供了科学的依据和方法。

关键词：灰色预测；PGM(1,2)模型；民航机场旅客吞吐量；1 引言随着我国经济的飞速发展，人民生活水平的显著提高，各行各业都显示出良好的发展势头，中国民航业也同样拥有着很大的发展机遇。

旅客运输是民航运输主要业务之一，对民航机场旅客吞吐量进行短、中、长期的准确预测的研究对民航建设有着重要的意义。

短期预测（指对未来1-2年的预测）可以指导民航机场近期运输业务的计划和运力安排，做好运输服务。

而中、长期预测（指对未来3-5年、5-15年的预测）则是机场规划、建设的依据，以决定机场分期建设的规模，控制机场的最终用地范围。

民航机场旅客吞吐量预测是一件复杂的工作，城市对航线格局下某机场业务量与该地区的社会、经济情况密切相关，地区经济发展的快慢、地区政策的变化都会直接影响航空业务量的变化。

目前航空运输预测的基本方法主要是定性预测法、平均预测法和回归分析法。

资料［１］显示这些方法对短期预测的结果能满足管理要求（即预测相对误差≤12%）。

而对中、长期的预测则是非常困难的，只能通过对历史资料的分析、研究，参考、借鉴国外机场发展的过程做出预测，因此，准确度较差，有时甚至是失败的。

这将导致机场规划建设的决策失误。

例如：珠海机场、绵阳机场就是由于预测不准确造成所建航站楼规模过大，长期不能有效利用，从而造成资金的浪费。

第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。

灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。

对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。

模型的选择不是一成不变的。

一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。

只有通过检验的模型才能用来进行预测。

本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。

7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。

是一个确定的数。

海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。

某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。

人的身高、体重等是连续灰数。

5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。

6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。

非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。

我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。

如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。

从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。

灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。

灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。

二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。

首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。

2、灰色模型在电力行业的应用。

灰色预测模型灰色预测是就灰色系统所做的预测. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统. 一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统.灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.一、GM(1,1)模型灰色系统理论是邓聚龙教授在1981年提出来的，是一种对含有不确定因素系统进行预测的方法. 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并通过对原始数据进行生成处理来寻找系统的变化规律，生成较强规律性数据序列，然后建立相应微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态. 目前使用最广泛的灰色预测模型是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型.GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的.1.1 GM(1,1)模型的建立灰色理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上建立数学模型.GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型.设时间序列()0X有n 个观察值，()()()()()()(){}00001,2,,Xx x x n =，为了使其成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令()()()()101tn xt x n ==∑从而得到新的生成数列()1X，()()()()()()(){}11111,2,,Xx x x n =，新的生成数列()1X 一般近似地服从指数规律. 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为dxax u dt+= 即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的. 求解上述微分方程，解为当t =1时，()(1)x t x =，即(1)c x a=-，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为 ()()()11a t u u x t x e a a --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭其中，ax 项中的x 为dxdt的背景值，也称初始值；a ，u 是待识别的灰色参数，a 为发展系数，反映x 的发展趋势；u 为灰色作用量，反映数据间的变化关系.按白化导数定义有0()()lim t dx x t t x t dt t→+-= 显然，当时间密化值定义为1时，当1t →时，则上式可记为1lim(()())t dxx t t x t dt→=+- 这表明dxdt是一次累减生成的，因此该式可以改写为 (1)(1)(1)()dxx t x t dt=+- 当t 足够小时，变量x 从()x t 到()x t t +是不会出现突变的，所以取()x t 与()x t t +的平均值作为当t 足够小时的背景值，即(1)(1)(1)1()(1)2xx t x t ⎡⎤=++⎣⎦将其值带入式子，整理得 (0)(1)(1)1(1)()(1)2x t a x t x t u ⎡⎤+=-+++⎣⎦ 由其离散形式可得到如下矩阵：(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)2(2)1(2)(3)(3)2()1(1)()2x x x x x x a u x n x n x n ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎣⎦⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤-+ ⎪⎣⎦ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭令 (0)(0)(0)(2),(3),,()TY x x x n ⎡⎤=⎣⎦(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(2)211(2)(3)21(1)()12x x x x B x n x n ⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎣⎦ ⎪⎪⎡⎤-+⎣⎦ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤--+ ⎪⎣⎦⎝⎭()Ta u α=称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型：Y B α=由最小二乘估计方法得()1T T a B B B Y uα-⎛⎫== ⎪⎝⎭上式即为GM(1,1)参数,a u 的矩阵辨识算式，式中()1TT B B B Y -事实上是数据矩阵B 的广义逆矩阵.将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则()1(1)()((1))a t u ux t x e a a--=-+其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得(1)(0)(1)ˆ()(1)a t u u xt x e a a --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 对序列()()1ˆxt 再作累减生成可进行预测. 即()(0)(1)(1)(0)(1)ˆˆˆ()()(1)(1)1a a t xt x t x t u x e ea --=--⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式. 或对()atux t cea-=+求导还原得 (0)(0)(1)ˆ()((1))a t uxt a x e a--=-- 1.2 GM(1,1)模型的检验GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式.每种检验对应不同功能：残差检验属于算术检验，对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验属于几何检验范围，通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验，关联度越大模型越好；后验差检验属于统计检验，对残差分布的统计特性进行检验，衡量灰色模型的精度. ➢ 残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验. 设模拟值的残差序列为(0)()e t ，则(0)(0)(0)ˆ()()()e t x t xt =- 令()t ε为残差相对值，即残差百分比为(0)(0)(0)ˆ()()()%()x t xt t x t ε⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦令∆为平均残差，11()nt t n ε=∆=∑.设残差的方差为22S ，则[]22211()n t S e t e n ==-∑. 故后验差比例C 为21/C S S =，误差频率P 为{}1()0.6745P P e t e S =-<.对于,C P 检验指标如下表：检验指标好合格勉强不合格P >0.95 >0.80 >0.70 <0.70 C <0.35 <0.50 <0.65 >0.65表 1 灰色预测精确度检验等级标准一般要求()20%t ε<，最好是()10%t ε<，符合要求.➢ 关联度检验关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别. 关联系数越大，说明预测值和实际值越接近.设 {}(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆ()(1),(2),,()Xt xx x n =⋯ {}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()X t x x x n =⋯序列关联系数定义为(){}{}{}(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆmin ()()max ()(),0ˆˆ()()max ()()1,0x t x t x t x t t t x t x t x t x t t σξσ⎧-+-⎪≠⎪=⎨-+-⎪=⎪⎩ 式中,(0)(0)ˆ()()xt x t -为第t 个点(0)x 和(0)ˆx 的绝对误差，()t ξ为第t 个数据的关联系数，ρ称为分辨率，即取定的最大差百分比，0ρ<<1,一般取0.5ρ=.(0)()x t 和(0)ˆ()xt 的关联度为()11nt r t n ξ==∑精度等级 关联度均方差比值小误差概率好（1级） 0.90≥ 0.35≤ 0.95≥ 合格（2级） 0.80≥ 0.50≤ 0.80≥ 勉强（3级） 0.70≥ 0.65≤ 0.70≥ 不合格（4级）0.70< 0.65>0.70<表 2 精度检验等级关联度大于60%便满意了，原始数据与预测数据关联度越大，模型越好.➢ 后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验. 检验步骤如下：1、计算原始时间数列(){}0(0)(0)(0)(1),(2),,()Xx x x n =的均值和方差()2(0)(0)2(0)11111(),()n n t t xx t S x t x n n ====-∑∑ 2、计算残差数列{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()ee e e n =的均值e 和方差22s()2(0)2(0)21111(),()n n t t e e t S e t e n n ====-∑∑其中(0)(0)(0)ˆ()()(),1,2,,e t x t xt t n =-=为残差数列.3、计算后验差比值21C S S =4、计算小误差频率{}(0)1()0.6745P P e t e S =-<令0S =0.67451S ，(0)()|()|t e t e ∆=-，即{}0()P P t S =∆<.若对给定的00C >，当0C C <时，称模型为方差比合格模型；若对给定的00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格模型.>0.95 <0.35 优 >0.80 <0.5 合格 >0.70 <0.65 勉强合格 <0.70>0.65不合格表 3 后验差检验判别参照表1.3 残差GM(1,1)模型当原始数据序列(0)X建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正. 如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度.若用原始序列(0)X建立的GM(1,1)模型(1)(0)ˆ(1)[(1)]at u uxt x e a a-+=-+ 可获得生成序列(1)X 的预测值，定义残差序列(0)(1)(1)ˆ()()()e k x k x k =-. 若取k=t , t+1, …, n ，则对应的残差序列为{}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()e k e e e n =计算其生成序列(1)()e k ，并据此建立相应的GM(1,1)模型(1)(0)ˆ(1)[(1)]e a k e ee eu u et e e a a -+=-+ 得修正模型(1)(0)(0)(1)(1)()()(1)e a k ak e e e u u u x t x e k t a e e a a a δ--⎡⎤⎡⎤+=-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1()0k tk t k t δ≥⎧-=⎨≤⎩为修正参数.应用此模型时要考虑：1、一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差.2、修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与()k t δ-中的t 的取值有关.1.4 GM(1,1)模型的适用范围定理：当GM(1,1)发展系数||2a ≥时，GM(1,1)模型没有意义.我们通过原始序列()0i X 与模拟序列()0ˆiX 进行误差分析，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加. 当发展系数0.3a -≤时，模拟精度可以达到98%以上；发展系数0.5a -≤时，模拟精度可以达到95%以上；发展系数1a ->时，模拟精度低于70%；发展系数 1.5a ->时，模拟精度低于50%. 进一步对预测误差进行考虑，当发展系数0.3a -<时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数0.8a ->时，1步预测精度已低于70%.通过以上分析，可得下述结论：1、当0.3a -<时，GM(1,1)可用于中长期预测；2、当0.30.5a <-≤时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；3、当0.50.8a <-≤时，GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；4、当0.81a <-≤时，应采用残差修正GM(1,1)模型；5、当1a ->时，不宜采用GM(1,1)模型.1.5 GM(1,1)模型实例分析例：则该学生成绩时间序列如下：()()(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4)79,74.825,74.29,76.98X x x x x ==对(0)X作一次累加后的数列为()()(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4)79,153.825,228.115,305.095X x x x x ==对(1)X做紧邻均值生成. 令(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)Z k x k x k =+-，得()()(1)(1)(1)(1)(2),(3),(4)116.4125,151.47,150.1925Z z z z ==则数据矩阵B 及数据向量Y 为(1)(1)(1)(2)1116.41251(3)1151.471(4)1150.19251z B z z ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，(0)(0)(0)(2)74.825(3)74.29(4)76.98x Y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 对参数列ˆ[,]Taa b =进行最小二乘估计，得 176.61ˆ()[,]0.0144T T T T a B B B Y B Y a u -⎡⎤====⎢⎥-⎣⎦即 0.0144a =-，76.61u = 则GM(1,1)模型为()()110.014476.61dx x dt-= 时间响应式为(1)0.0144ˆ(1)5399.13895320.1389xk e -+=- 当1k =时，我们取(1)(0)(0)ˆˆ(1)(1)(0)79xx x === 还原求出(0)X的模拟值. 由(0)(1)(1)ˆˆˆ()()(1)Xk x k x k =--，取2,3,4k =，得 ()()(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆˆ(1),(2),(3),(4)79,74.281,74.3584,76.4513xx x x x == 通过预测，得到实际值与预测值如下表：实际值 预测值 相对误差()k ε 第一学期79 79 0 第二学期 74.825 74.2810 0.73% 第三学期 74.29 74.3584 0.0921% 第四学期76.9876.45130.7051%表 4 四学期的实际值与预测值的误差表因为()10%k ε<，那就可得学生的预测值，与现实值进行比较得出该模型精度较高，可进行预测和预报.我们对学生未来两个学期（也就是第五、六个学期）的成绩进行预测，分别为77.5602分和78.6851分.例：某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模型，并预测2005年的产品销售额。

灰色预测模型步骤灰色预测模型是一种基于灰色理论的预测方法，其核心是建立一个数学模型来预测未来的发展趋势。

在实践中，灰色预测模型通常应用于经济、社会和环境等各个领域，以帮助决策者制定合理的规划和决策。

灰色预测模型的步骤主要包括以下5个方面：1、建立模型的数据预处理数据预处理是计算机处理向灰色预测模型输入数据的第一步。

在预处理过程中，需要对原始数据进行标准化处理，将非数值型数据转换为数值型数据，同时还需要对数据的质量进行评估，识别和剔除异常值。

2、建立灰色驱动模型在数据预处理后，需要建立一个灰色驱动模型。

该模型是一种简化的数学模型，用于描述因变量和自变量之间的离散关系。

此外，该模型还需要根据实际的情况调整参数，以提高模型的准确性。

3、对模型进行验证在灰色预测模型中，模型验证是非常重要的一步。

通过对模型进行验证，可以评估模型的预测精度，并确定预测误差的可接受范围。

如果模型的预测误差过大，则需要进一步调整模型，以获得更准确的预测结果。

4、进行预测在完成模型的验证后，需要对所建立的模型进行预测。

预测的结果通常是未来的某个时间点的数值预测。

预测结果需要基于实际情况进行解读和分析，并形成有效的决策参考。

5、模型的评价和修正最后，需要对模型进行评价和修正。

因为灰色预测模型是一种逐步调整的预测方法，因此需要在应用过程中进行持续的评价和修正。

通过评价，可以确定模型的适用性和准确性，从而更好地应对未来的预测任务。

总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，可以在很大程度上提高预测精度和决策效率。

通过逐步的建模和修正，该方法可以为各个领域提供更好的预测和决策参考。

灰色预测技术研究进展综述灰色预测是一种基于系统动力学的定量预测方法，它在预测问题中具有广泛的应用。

本文将对灰色预测技术的研究进展进行综述，以便读者对该方法有一个全面的了解。

我们将介绍灰色预测的基本原理和方法。

灰色预测是一种基于灰色系统理论的预测方法，它通过建立灰色微分方程来描述系统的发展趋势。

与传统的数学模型不同，灰色预测方法可以较好地处理样本数据量较小，且不完备的情况。

它通过对数据进行灰色化处理，将其转化为灰色微分方程，然后通过求解该方程来预测未来的发展趋势。

接下来，我们将介绍灰色预测技术在各个领域的应用。

灰色预测方法在经济、环境、医学、交通等领域都有广泛的应用。

例如，在经济领域，灰色预测可以用于预测经济增长趋势、物价走势等。

在环境领域，灰色预测可以用于预测污染物排放量、气候变化趋势等。

在医学领域，灰色预测可以用于疾病的预测和诊断。

在交通领域，灰色预测可以用于交通流量的预测和交通拥堵的预警等。

然后，我们将介绍灰色预测技术的改进和优化方法。

随着研究的深入，学者们对灰色预测方法进行了不断的改进和优化，以提高预测的准确性和可靠性。

例如，有学者提出了基于灰色关联度的灰色预测方法，通过引入关联度概念，可以更准确地描述系统的发展趋势。

还有学者提出了基于灰色神经网络的灰色预测方法，通过结合神经网络和灰色模型，可以更好地处理非线性和复杂的预测问题。

我们将展望灰色预测技术的发展方向。

虽然灰色预测方法在预测问题中具有一定的优势，但仍然存在一些问题和挑战。

未来的研究可以集中在以下几个方面：进一步改进和优化灰色预测方法，提高预测的准确性和可靠性；探索灰色预测方法与其他预测方法的结合，以提高预测的精度和稳定性；开发适用于特定领域的灰色预测模型，以满足不同领域的预测需求。

灰色预测技术是一种有效的预测方法，在各个领域都有广泛的应用。

随着研究的深入，灰色预测方法也在不断改进和优化。

未来的研究可以进一步提高预测的准确性和可靠性，以满足不同领域的预测需求。

灰色预测理论在数学建模中的应用作者：胡金杭摘要：灰色系统理论在自动控制领域中已取得了广泛的应用，本文针对灰色预测理论的特点，分析了它在数学建模中的具体应用。

首先，本文对如何将实际问题转化为灰色GM(1,1)预测模型给了具体的步骤，同时针对模型的特点，可以对其的预测精度进行后验差检验，随后，针对基本灰色GM(1,1)预测模型单调性的特点，我们可以采用改进的等维灰数递补模型，这样可以大大的提高模型对实际问题的预测精度。

关键字：GM(1,1)预测模型后验差检验等维灰数递补模型引言现实中的很多实际问题，都需要通过分析现有的数据，对该问题未来的发展趋势进行预测，随后决策者参考预测得到的结果，就可以制定合理的解决方案。

在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。

灰色预测理论是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列( 如累加生成、累减生成) ，然后对生成数列建立微分方程，得到模型的计算值后，再与实测值比较获得残差，用残差再对模型作修正，然后便可用建立的灰色模型对该问题进行预测。

一、具体的灰色GM(1,1)预测模型的建立：我们设已知数据变量组成序列，则我们可得到数据序列，用1-AGO生成一阶累加生成序列为：其中 (1-1) 由于序列具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因此我们可以认为序列满足下述一阶线性微分方程模型(1-2)我们利用离散差分方程的形式对上微分方程可以得到下矩阵形式：(1-3)简记为： (1-4)式中；；上述方程组中，和B 为已知量，A 为待定参数。

可用最小二乘法得到最小二乘近似值。

因此，式（1－4）可改写为式中，E —误差项。

利用矩阵求导公式，可得(1-5)解得结果代入（2－2）中，我们可以得到(1-6)写成离散形式（令），得到GM(1,1)模型的时间响应函数（K =1，2，…）(1-7) 我们对其做累减还原，即可得到原始数列的灰色预测模型为：（K =1，2，…） (1-8) 将相关数据代入公式中进行运算，我们得到系数的具体值，即得到了具体的预测公式。

灰色预测法原理及解题步骤一、类型数列预测——某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测灾变预测——对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测系统预测——对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测拓扑预测——将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。

注意：使用方法前一定要在段前作一个引子，连接问题分析和数据特点，以下便是：通过对已知数据的分析，随着时间的变化，排污量一直呈增长趋势，并且增长的很快。

在这里利用灰色预测模型对（）进行预测。

通过对数据的分析，传统的数理统计预测方法往往需要足够多的数据，而本问题的数据给出的数据偏小，如果采用传统的方法误差太大。

根据上述的特点可采用灰色预测模型。

二、灰色预测具体步骤1》检验处理数据，级比必须满足A、如果不全属于，则要做必要的变换处理（如取适当的常数C，作平移变换），使其落入区域中。

B、若A不成立，则建立GM（1，1）模型建立GM（1，1）模型（1）一次累加生成数列AGO，（目的是弱化原始时间序列的随机性，增加其稳定程度）（2）求均值数列（3）建立GM（1，1）模型相应的白化微分方程其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

（4）求的参数估计a、b（最小二乘法）（5）给出累加时间数列预测模型（6）做差得到原始预测值三、检验预测值（1）残差检验（2）级比偏差值检验1》参考数据计算出级比，再由发展系数a，求出相应级比偏差若ρ（k）<0.2,则达到一般要求;若ρ（k）<0.1,则效果好程序实现：采用EXCEl的方法实现灰色预测。

2013-2-2 于北华大学电子宋方雷。