灰色预测法GM总结

灰色理论在灰色理论中，通常用GM （n, m ）来表示灰色模型，其中，n 为差分次数，m 为变量的个数。

对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM （1, 1）来进行预测。

等时距GM （1, 1）模型等时距GM （1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM （1,1）模型的建模基础。

设观测到的原始等时距数据序列为：{}[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中，(0)()x k 为k t 时刻对应的初始数值，时间步长1i i t t c +-=为常数，1,2,3i n =⋅⋅⋅。

对[0]X 中的数据经过一次累加（1-AGO ）运算，得到光滑的生成数列：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中，(1)(0)1()()k k i i x t xt ==∑，1,2,3k n =⋅⋅⋅。

[1]X 的均值数据序列[1]Z 可以表示为：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Z z z z k z n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)z k x k x k ⎡⎤=++⎣⎦。

(1)()x k 的GM （1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为：（1） 其中，a ，b 为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]k k +离散后的方程为：(0)(1)(1)()x k az k b ++= （2）离散的过程：式（1）在区间[,1]k k +上积分，有：111(1)(1)()()k k k kk kdxt ax t dt bdt ++++=⎰⎰⎰ 1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1)k kdxt x k x k x k +=+-=+⎰所以，式（1）离散后的方程为式（2）。

利用最小二乘法可以从式（2）中求得参数a 和b ：(0)(1)(0)(1)(1)()(1)=-()x k az k b x k az k b Y Ba ++=⇒++⇒= 式中，(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1), 1(2)(2), 1(3), Y=, , 1 (1),1()z x a z x B a b z n x n ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢--⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把求得的参数代入式（1）中，可以得到白化方程的解为： (1)1()/at x t c e b a -=+当t=1时，(1)(1)(0)(1)(1)(1)()=(1)(1)()=((1)/)/a t x t x x x t x b a e b a --=⇒-+所以GM （1,1）模型的时间相应数据序列为：k =1,2,3….n 。

问题的分析本文关键在于预测长江江豚个体数量的变化，由于近20年来，江豚的数量急剧下降，如不进行保护，则在未来的10-15年将会发生功能性灭绝，因此江豚种群数量的预测关系到江豚的生存和保护的大问题。

由于江豚个体数量受出生率，死亡率，繁殖能力，长江水质的污染，自然灾害，人为的捕获，人类肆意采挖江砂与非法使用渔具等众多因素的影响，而前这些因数也可能时刻发生变化，难以确定，更难确定这些因素与江豚数量变化的定量关系。

且题中所给的数据数量较少，我们只能在一定的假设条件（往往是一些经验及常识）下按照某种逻辑推理演绎而得到模型，它是一个抽象的灰色系统。

因此，针对问题一，可以采用灰色预测法建立GM(1,1)模型。

因为，灰色预测法至少需要4个数据，我们通过查找资料，得到了1996年江豚在长江中下游的数量.由于数据限制，灰色预测模型在分析江豚出现功能性灭绝和彻底灭绝时是以五年为一个时间间隔的,要得到具体每一年的江豚个体数量，可以通过拟合所得预测数据,得出具体每一年的江豚数量，与出现功能性灭绝的数量进行对比，就可以确定功能性灭绝的时间。

五模型的建立与求解5.1 江豚数量变化的灰色预测模型我们首先以五年为一个时间先给出一个时间间隔，建立灰色预测模型，对江豚数量以五年为一个周期进行一个大致的预测。

5.1.1模型的分析本题已给的江豚种群在1991年，2006年，2011年的种群数量数据，如下表：法时，至少需要四组数据，因此，我们查阅资料得到的两组数据，我们最终得到五组江豚种群和时间的数据，如下表：灰色模型GM（1，1）建立X，它有5个观测值：设定时间序列(0){}{}(0)(0)(0)(0)(0)(0)==X X X X X X(1),(2),(3),(4),(5)2700,2400,2000,1750,1250其中的数值为1991年到2011每隔5年长江江豚的数量。

X：第一步，通过累加生成新数列(1){}{}(1)(1)(1)(1)(1)(1)==X X X X X X(1),(2),(3),(4),(5)2700,5100,7100,8850,10100其中(1)(1)(1)(0)==-+=()(1)(),2,35X X i X i X i i第二步，构造矩阵B 和数据向量Y 。

小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。

目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。

灰色模型的优点（一） 不需要大量的样本。

（二） 样本不需要有规律性分布。

（三） 计算工作量小。

（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。

（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。

（六） 灰色预测精准度高。

二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。

灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。

同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。

因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。

GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。

民航机场旅客吞吐量灰色预测的PGM(1,2)模型研究杜云郑顺文指导老师：杨丽安然（中国民用航空学院天津 300300）摘要：本文应用灰色GM(1,1)模型对民航机场旅客吞吐量进行了预测研究，得到了有价值的规律和结论。

同时，本文以灰色GM(1,2)模型为基础，提出了适用于灰色系统数列预测的PGM(1,2)模型，并将其应用于对民航机场旅客吞吐量进行预测研究，结果表明：PGM(1,2)预测模型曲线能反映民航机场旅客吞吐量的变化规律，预测精度很高。

为实现民航机场旅客吞吐量的短、中、长期的准确预测提供了科学的依据和方法。

关键词：灰色预测；PGM(1,2)模型；民航机场旅客吞吐量；1 引言随着我国经济的飞速发展，人民生活水平的显著提高，各行各业都显示出良好的发展势头，中国民航业也同样拥有着很大的发展机遇。

旅客运输是民航运输主要业务之一，对民航机场旅客吞吐量进行短、中、长期的准确预测的研究对民航建设有着重要的意义。

短期预测（指对未来1-2年的预测）可以指导民航机场近期运输业务的计划和运力安排，做好运输服务。

而中、长期预测（指对未来3-5年、5-15年的预测）则是机场规划、建设的依据，以决定机场分期建设的规模，控制机场的最终用地范围。

民航机场旅客吞吐量预测是一件复杂的工作，城市对航线格局下某机场业务量与该地区的社会、经济情况密切相关，地区经济发展的快慢、地区政策的变化都会直接影响航空业务量的变化。

目前航空运输预测的基本方法主要是定性预测法、平均预测法和回归分析法。

资料［１］显示这些方法对短期预测的结果能满足管理要求（即预测相对误差≤12%）。

而对中、长期的预测则是非常困难的，只能通过对历史资料的分析、研究，参考、借鉴国外机场发展的过程做出预测，因此，准确度较差，有时甚至是失败的。

这将导致机场规划建设的决策失误。

例如：珠海机场、绵阳机场就是由于预测不准确造成所建航站楼规模过大，长期不能有效利用，从而造成资金的浪费。

灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。

二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。

一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。

软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。

(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。

我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。

一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。

GM灰度模型预测方法GM(1,1)灰度模型是一种灰度系统建模和预测方法，它是由中国科学家灰色系统理论的创始人邓聚龙教授于1984年提出的。

GM(1,1)模型是一种线性灰度预测模型，主要用于描述和预测短期和中期非随机灰度序列的发展趋势。

它广泛应用于经济、环境、社会发展等领域，具有简单、高效、灵活的特点。

GM(1,1)模型的建立是基于灰色预测理论的，该理论将预测的问题转化为寻找构造相似数据序列的问题，以便对原始序列进行预测。

GM(1,1)模型的基本思想是通过灰色累加生成序列，将原始序列单纯累加变成灰色累加后的序列，再对其进行建模和预测。

首先，对原始序列进行数据标准化。

通过比例变化到0-1之间，使序列具有可比性和可比较性。

然后，对标准化后的序列进行累加生成序列。

通过一次累加操作来转化原始序列，使其变成一个累加生成序列。

接下来，建立GM(1,1)模型。

通过常微分方程(一阶线性微分方程)来描述灰色累加生成序列的发展趋势。

GM(1,1)模型可以表示为：$x^{(1)}(k)+ax^{(0)}(k)=b$，其中$x^{(1)}(k)$表示一次累加生成序列，$x^{(0)}(k)$表示原始序列，a和b为模型参数。

然后，通过解微分方程，得到GM(1,1)模型的解析表达式。

接着，对模型进行检验。

主要包括残差检验和后验差检验。

残差检验用于检验模型在建立时的合理性和适用性，后验差检验用于检验模型的精度和稳定性。

最后，通过GM(1,1)模型进行预测。

通过灰色预测模型的解析表达式，可以对未来的序列值进行预测。

通常可以使用累减法或累加法来还原预测值，使其恢复到原始序列的范围。

GM(1,1)模型也存在一些限制。

首先，它只能用于中小样本的预测，对于大样本的预测效果可能较差。

其次，模型对异常值和噪声的敏感性较高，需要对数据进行预处理和清洗。

最后，模型对序列的发展趋势做出的假设是线性的，对于非线性序列的预测效果不理想。

总之，GM(1,1)灰度模型是一种简单而有效的灰度预测方法，适用于中小样本的非随机灰度序列的预测。

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。

其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为重要和常用的预测模型之一。

该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，具有较高的预测精度和实用性。

然而，传统的灰色GM（1,1）模型在某些情况下仍存在模型参数不够准确、预测精度不高等问题。

因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化及其应用的研究具有重要意义。

本文将首先介绍灰色GM（1,1）模型的基本原理，然后探讨其优化方法，并最后分析其在不同领域的应用。

二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，主要用于处理小样本、不完全信息的数据。

该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。

其基本步骤包括：数据累加、建立微分方程、求解微分方程、模型检验等。

三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型的不足，学者们提出了多种优化方法。

其中，基于数据预处理、模型参数优化和预测结果修正的优化方法较为常见。

1. 数据预处理：通过对原始数据进行处理，如去趋势、归一化等，以提高模型的适应性和预测精度。

2. 模型参数优化：通过引入其他因素或变量，如时间序列的波动性、随机性等，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。

3. 预测结果修正：通过对预测结果进行修正，如引入专家知识、其他预测方法的结果等，进一步提高预测精度。

四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。

下面以几个典型领域为例，介绍其应用。

1. 经济学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测经济增长、股市走势等经济指标，为经济决策提供参考。

2. 农业领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、农业气候等指标，为农业生产提供指导。

3. 医学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测疾病发病率、死亡率等指标，为医学研究和卫生政策制定提供参考。