人教版九年级数学 图形的旋转导学案

23.1图形的旋转学习目标、重点、难点【学习目标】1、旋转的概念；2、旋转的基本性质；3、旋转作图；【重点难点】1、旋转的概念；2、旋转的基本性质；3、旋转作图；新课导引在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以观察到下列一些现象：时钟上的秒针在不停地转动；大风车的转动给人们带来欢乐；飞速旋转的电风扇叶片给人们带来丝丝凉意．【问题探究】无论是时钟上秒针的转动，还是大风车、电风扇的叶片的转动，它们的形状、大小、位置是否发生了变化?【点拨】观察可知它们的形状、大小均不变，但位置改变了.教材精华知识点1 旋转的概念旋转：在平面内，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，这个点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角．如图23—1所示，△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A’B’C’，这就是旋转，其中点O是旋转中心，∠AOA’，∠BOB’，∠COC’都是旋转角，且∠AOA’=∠BOB’=∠COC’．拓展(1)旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转成为立体图形，因此，“在平面内”这一条件不可忽略．(2)图形旋转的主要因素是旋转中心、旋转角度和旋转方向．(3)旋转角是180°的旋转变换是中心对称变换，这种变换将在下一节中学习，但要注意，一般情况下，旋转角小于360°．对应元素：一个图形绕定点旋转一定角度后得到它的旋转图形，如图23—1所示，△A’B’C’就是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的，其中点A，B，C分别与点A’，B’，C’是对应点，∠ABC，∠ACB，∠BAC分别与∠A’B’C’，∠A’C’B’，∠B'A’C’是对应角，线段AB，BC，CA分别与线段A’B’，B’C’，C'A’是对应边．知识点2旋转的基本性质(1)旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后的图形全等．(2)对应点到旋转中心的距离相等．(3)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．图形的旋转示意图性质△ABC绕定点O按逆时针方向转运一定角度后得到△A＇B＇C＇不改变图形的形状和大小每一点都绕旋转中心沿相同方向转运了相同的角度任意一对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角对应点到旋转中心的距离相等△ABC≌△A＇B＇C＇∠A OA=∠BOB＇=∠COC＇∠POP＇为旋转角OA=OA＇OB=OB＇OC=OC＇拓展(1)旋转的条件：图形的旋转除了要有原图形外，还要有旋转中心旋转方向和旋转角度，这几项缺一不可．(2)利用性质(1)我们可以判定两个图形全等．(3)旋转与平移的关系．区别：平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离，它需要的因素有：①原图形；②平移的方向；③平移的距离．旋转是在同一平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定角度，它需要的因素有：①原图形；②旋转中心；③旋转方向；④旋转角度．(4)利用性质(2)我们可以寻找旋转中心，旋转中心与两个对应点组成了等腰三角形，旋转中心是等腰三角形的顶点，它在两对应点连线的垂直平分线上，所以找旋转中心只需分别作出两对对应点连线的垂直平分线，两平分线的交点即是旋转中心．(5)利用性质(3)可以证明角相等，当旋转角是特殊角时，一对对应点和旋转中心可以组成特殊的三角形．比如，当旋转角为60°时，组成的是等边三角形，当旋转角为90°时，组成的是等腰直角三角形．利用这些特殊图形的性质可以帮助我们解题．知识点3旋转作图简单的旋转作图的步骤．(1)确定旋转角的大小和旋转方向．根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形的一对对应点，并将它们与旋转中心相连，以此确定旋转角的大小和旋转方向．(2)确定每对对应点．①准确找出能代表旋转前图形特点的特殊点(通常指图中所有线段的两个端点)，并将它们与旋转中心依次连接．②以旋转中心为角的顶点，以①中线段作为旋转角的一边，运用尺规作图作出图中所有的旋转角，且旋转角的方向一致．③确定旋转后图形的对应点，根据旋转的基本性质：旋转前后图形的对应点到旋转中心的距离相等，在上述旋转角的另一边上分别截取与原图形对应相等的线段，这样就确定了旋转后图形的对应点．(3)确定旋转后的图形．简单的旋转作图技巧．当确定旋转后的图形的两个对应点后，可根据旋转变换前后图形的对应线段相等，运用尺规作图和全等三角形的判定，依次作出其余的各个对应点，这样就不用作出图中所有的旋转角了.课堂检测基本概念题1、如图23—4所示，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置．(1)旋转中心是点；(2)旋转角度是；(3)△ADP是三角形．基础知识应用题2、大多数同学曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图23—5所示的是万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的3、如图23—6所示，将左边的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°后得到右边的△COD，如果∠AOB=75°，BO=3 cm，则∠DOC=，∠AOD=，OD= ．综合应用题4、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图23—14所示，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP，求证BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图23—14的分析，证明了△ABQ≌△ACP，进而证得BQ=CP，之后，他将点P移到等腰三角ABC之外，原题中其他条件不变，发现BQ=CP 仍然成立，请你就图23-15给出证明.探索创新题5、如图23—17所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为(4，2)，画△OAB向下平移3个单位长度后的△01A1B及1△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到点A2所经过的路线长．(结果保留π)体验中考1、从3时到6时，钟表的时针旋转的角度是( )A.30°B.60°C.90°D.120°2、如图23-28所示，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB＇C＇的位置，使得CC＇∥AB，则∠BAB＇等于( )A.30°B.35°C.40°D.50°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查的是旋转的有关概念．由于△ACP是由△ABD旋转得来的，所以这两个三角形的形状、大小都没有变化，只是位置发生了变化，在图形中，A点在旋转过程中始终保持不动，AB转到了AC处，AD转到了AP处，即AB的对应线段是AC，AD 的对应线段是AP，而旋转角是对应线段的夹角，所以∠BAC与∠DAP都是旋转角，而△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠DAP=60°，又AD=AP，所以△ADP是等边三角形．答案：(1)A (2)60°(3)等边【解题策略】旋转过程中的不动点是旋转中心，旋转的角度是指对应线段所夹的角，且旋转过程中所有旋转角均相等，对应线段相等，在解题过程中，应将旋转定义及旋转特征结合在一起综合解题．2、【分析】本题主要考查的是旋转的性质，以点A为旋转中心，线段AB旋转到AE 的位置，因为小三角形是等边三角形，所以∠BAE=120°，又因为AB到AE是逆时针旋转，故选D．3、【分析】本题主要考查旋转的基本性质，由于旋转前后的图形全等，对应角相等，所以∠DOC=∠AOB=75°，对应点B，D与旋转中心O的连线所夹的角是旋转角，则∠BOD= 90°，所以∠DOA=∠BOD-∠BOA=90°-75°=15°，又由于旋转前后的对应线段相等，故OD=OB=3 cm.答案：75°15° 3 cm4、分析本题主要考查利用旋转性质证明全等三角形．难度不大.证明：∵∠QAP=∠BAC.∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC，即∠QAB=∠PAC，在△ABQ和△ACP中，∴△ABQ≌△ACP，∴BQ=CP.5、分析本题综合考查图形的平移变换及旋转变换，平移时由平移的方向和距离不难画出平移后的图形，对于图形的旋转，要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度的要求．A点旋转到A2所经过的路线长即为半径为4的圆的周长的14，利用圆的周长公式即可求解．解：如图23—17所示，△01A1B l，△OA2B2即为所求，A到A2所经过的路线长为14×2π×4=2π．AQ=AP,∠QAB=∠PAC,AB=AC,【解题策略】旋转过程中，点所经过的路线长为弧长，而不是线段长，另外，要注意旋转方向对旋转图形位置的限定．体验中考1、分析本题考查旋转角的概念，一对对应眯与旋转中心连线所夹的角为旋转角.由表盘可以看出，从3时到6时钟表的时针旋转的角度是90°.故选C.2、分析由CC＇∥AB，知∠C＇CA=∠CAB=70°，而AC＇与AC是旋转后产生的对应边，所以AC=AC＇，所以∠AC＇C=∠C＇CA=70°，进而可求出∠C＇AC=180°-70°×2=40°，又知∠CAB=70°，所以∠BAC＇=70°+40°=110°.由题意知∠B＇AC＇=∠BAC=70°，所以∠BAB＇=∠C＇AB-∠B＇AC＇=110°-70°=40°.故选C.。

人教版初中数学九年级上册《旋转》全章节导学案1图形的旋转(1)1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念．2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．难点：从生活中抽象出数学概念．(2分钟)请同学们完成下面各题．(1)将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．,第(1)小题图),第(2)小题图)(2)如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.(3)①圆是轴对称图形吗？②等腰三角形呢？③你还能指出其他的吗？答：(1)①是；(2)②是；(3)③等腰梯形、长方形、正多边形等．点拨精讲：(1)平移的有关概念及性质；(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形．一、自学指导．(10分钟)观察：让学生看转动的钟表和风车等．(1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转)(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化)问题：(1)从3时到5时，时针转动了多少度？(60°)(2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60°)(3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转)思考：在数学中如何定义旋转？归纳：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．下列物体的运动不是旋转的是(C)A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片2．下列现象中属于旋转的有__4__个．①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC，它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点__O__，旋转角是__∠AOD(或∠BOE)，经过旋转，点A转到__D__点，点C转到__F__点，点B转到__E__点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分别与∠D，∠E，∠F__是对应角．点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？(2)请画出旋转中心和旋转角；(3)经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？解：(1)可以看做是由基本图案正方形ABCD通过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．2．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为14，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．点拨精讲：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S △OEE ′＝S △ODD ′，即说明△OEE′≌△ODD′.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．2．旋转的对应点及其它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)1图形的旋转(2)1．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质．2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．难点：利用旋转的性质解决相关问题．一、自学指导．(10分钟)动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．(分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明)1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？点拨精讲：(1)OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等．(2)∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．(3)△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等．归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE ＝14，△ABF 是△ADE 的旋转图形．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF 的长度是多少？(4)如果连接EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以△AEF 是等腰直角三角形．解：(1)旋转中心是A 点；(2)∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的，∴B 是D 的对应点，∴∠DAB ＝90°就是旋转角；(3)∵AD ＝1，DE ＝14，∴AE ＝12＋（14）2＝174.∵对应点到旋转中心的距离相等且F 是E 的对应点，∴AF ＝174；(4)∵∠EAF ＝90°(与旋转角相等)且AF ＝AE ，∴△EAF是等腰直角三角形．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．点拨精讲：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置．2．已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形．作法：1.连接OA；2．在逆时针方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA；3．连接OB；4．在逆时针方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB；5．连接A′B′.∴线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段．点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.(1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？(2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由．(3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点．解：(1)能；(2)由△BCQ绕B点旋转得到．理由：连接AB，易证四边形ABCD为正方形．再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.(3)90°.点C对应点A，点Q对应点P.2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．解：(1)连接CD；(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM为旋转角且为90°，∴△ADM是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABK旋转而成的．∴BK＝DM.点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？2．本节课要掌握：(1)旋转的基本性质．(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)1图形的旋转(3)1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．重点：用旋转的有关知识画图．难点：根据需要设计美丽图案．一、自学指导．(15分钟)1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．点拨精讲：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．1．旋转中心不变，改变旋转角．2．旋转角不变，改变旋转中心．我们可以设计成如下图美丽的图案．归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．所以PP′＝PA2＋P′A2＝32＋32＝3 2.解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合．旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向．(也可看作△DCB 绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2. 1中心对称1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念．2. 掌握中心对称的基本性质．重点：中心对称的性质及初步应用．难点：中心对称与旋转之间的关系．一、自学指导．(10分钟)自学1：中心对称，对称中心，对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．自学2：中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．(2)如果是中心对称，那么A，B，C，D关于中心对称的对称点是哪些点．解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D 点．(2)A，B，C，D关于中心D的对称点是A′，B′，C′，D′，这里的D′与D重合．2．如图，已知AD是△ABC的中线，作出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C，B为一对对应点，因此，只要再作出A关于D的对应点即可．解：(1)延长AD，且使AD＝DA′，因为C点关于D的中心对称点是B(C′)，A点关于中心D的对称点为A′.(2)连接A′B′，A′C′.则△A′B′D为所求作的三角形，如图所示．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称．(只保留作图痕迹，不要求写出作法)点拨精讲：(1)画法总结；(2)性质归纳．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，等边△ABC内有一点O，试说明：OA＋OB＞OC.解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B 的位置，则△AOC≌△AO′B.∴AO＝AO′，OC＝O′B.又∵∠OAO′＝60°，∴△AO′O为等边三角形．∴AO＝OO′.在△BOO′中，OO′＋OB＞BO′，即OA＋OB＞OC.点拨精讲：要证明OA＋OB＞OC，必然把OA，OB，OC转化在一个三角形内，应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA，OB，OC转化在一个三角形内．2．教材第66页练习．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心对称的两个图形的性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2.2中心对称图形1. 掌握中心对称图形的定义．2. 准确判断某图形是否为中心对称图形．重点：中心对称图形的判断．难点：两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P66～67的内容．探究：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．解：J.点拨精讲：这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什么？(出示课件图片)(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)正三角形(6)线段(7)角(8)等腰梯形解：常见的中心对称图形：线段(线段中点)、平行四边形(对角线交点)、矩形、菱形、正方形、圆(圆心)等．2．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．解：区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．英文大写字母中有哪些中心对称图形？答：(H，I，N，O，S，X，Z)．2．说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．3．想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？点拨精讲：边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．4．课本第67页小练习2.点拨精讲：怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．5．如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？点拨精讲：由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．中心对称图形的定义．2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)2.3关于原点对称的点的坐标掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题．重点：关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用．难点：关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P68的内容．思考：关于原点作中心对称时，(1)它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间符号又有什么特点？点拨精讲：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－2)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？解：A，B，C，D，E，F点关于原点O对称点分别为A′(3，－1)，B′(4，0)，C′(0，－3)，D′(－2，－2)，E′(－3，2)，F′(2，2)．这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数．2．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形．解：△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(－4，－1)，C(1，1)关于原点的对称点分别为A′(2，－2)，B′(4，1)，C′(－1，－1)，依次连接A′B′，B′C′，A′C′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′，如右图所示．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.(1)在图中画出直线A1B1.(2)求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式．(3)是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y＝kx＋b(我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等)，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．点拨精讲：(1)只需画出A，B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1，B1，连接A1B1.(2)先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y＝kx代入求k.(3)要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以说明．这一条直线是存在的，因为A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的坐标作A1，B1关于原点的对称点A2，B2，连接A2B2的直线就是我们所求的直线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．点拨精讲：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.2．教材P69的第1，2，3题．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)，及利用这些特点解决一些实际问题．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)3课题学习图案设计1．认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用．2. 利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案．重点：设计图案．难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P72内容，思考下列问题．(1)我们学过哪些图形变换？它们分别有何特征？(2)下列图形之间的变换分别属于什么变换？探究：(1)观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？(2)观察三种图形变换的过程，回答问题：①平移、旋转和轴对称变换的基本特征；②归纳三种图形变换的共性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．分析图案的形成过程要注意些什么？分析图案的形成过程，应注意运用__平移、__轴对称__、__旋转__进行描述，只要合理就行．2．图案设计的关键是什么？选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)用平移、旋转或轴对称变换分析下图中各个图案，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？点拨精讲：将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，你能帮忙设计吗？点拨精讲：将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、美观的组合图案．2．下面花边中的图案，由圆弧、圆构成．仿照例图，请你为班级的板报设计一条花边，要求：(1)只要画出组成花边的一个图案；(2)以所给的图形为基础，用圆弧、圆或线段画出；(3)图案应有美感．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

九年级数学“23.1图形的旋转”导学案一、学习目标：掌握旋转的有关概念，经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质二、教学重点：旋转的有关概念和旋转的基本性质教学难点：探索旋转的基本性质学习方法：观察、操作、交流、归纳1．请同学们认真观察我县大厦楼顶的钟表或家里的钟表，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从1点到2点时针转了_____ __度，分针转了___ ____度，秒针转了____ __度．2.一般的，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫，点O叫做，叫旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的．3.如右图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中，旋转中心是。

旋转角是。

经过旋转，点A、B分别移动到位置。

4.如图可以看到，点A旋转到点，OA旋转到，∠AOB旋转到，此时点B的对应点是点，线段OB的对应线段是。

线段AB的对应线段是。

∠A的对应角是，∠B的对应角是，∠AOB的对应角是，旋转中心是点，旋转的角度是。

5. 图形的旋转由和决定。

6. 结合教材总结旋转的特征：（1）（2）(3)四、走进新课例1：如图，四边形ABCD是正方形，ΔADE旋转后能与ΔABF重合。

（1）旋转中心是哪点？（2）旋转了多少度？（3）如果连结EF，则ΔAEF是什么三角形？为什么？尝试练习一：1.如图，ΔABC是等边三角形，D是BC上一点，ΔABD经旋转后到达ΔACE的位置（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？2．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？（注意：图形的旋转由什么决定）例2如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C 为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．（提示：抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质）尝试练习二：1.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．2.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=1AB．2（1）可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•使△ABE 移到△ADF的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．五．成果检测1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为_____ ___，转动的角为___ _____．2．如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，•点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图2，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点，•△ABD•经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是___ _；（2）旋转角度是__ ___；（•3）△ADP是_____三角形．(1) (2) (3)4、图形：线段、角、圆、梯形、正方形、菱形中绕一定点转动一定角度（小于360°）能与原图形重合的图形有（）A、2个B、3个C、4个D、5个5．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）．A．6个 B．7个 C．8个 D．9个6．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）．A．20° B．26° C．30° D．36°7．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C 为旋转中心，•将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）．A．70° B．80° C．60° D．50°8. 画出图中ΔADC以D为旋转中心，顺时针旋转90°后的三角形。

一、基础知识（一）旋转的概念：把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫作图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度（二）旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角3.旋转前、后的图形全等二、重难点分析本课教学重点：旋转的性质①对应点到旋转中心的距离相等②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角③旋转前、后的图形全等旋转角的确定--------每一对对应点与旋转中心的连线之间的夹角都是这个旋转的旋转角，一个旋转中有多个旋转角。

本课教学难点：对图形进行旋转变换。

和实际相联系的图形变换。

通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力。

三、典例精析：例1：如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°Ｂ．70°Ｃ．125°Ｄ．145°【答案】C【考点】旋转的性质。

例2．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．四、感悟中考1、（2013年衡阳）如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °。

第二十三章 旋 转23.1 图形的旋转23.1.1 第1课时 旋转的概念与性质学习目标：1.掌握旋转的有关概念及基本性质.2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.重点：掌握旋转的有关概念及基本性质.难点：探索旋转的性质并能运用旋转的性质解决实际问题.一、知识链接1.将图①平移,使点A 的对应点为点C ,画出平移后的图形.2.如图②,已知△ABC 和直线l ,请画出△ABC 关于直线l 的对称图形.图① 图①二、要点探究探究点1：旋转的概念观察与思考 观察荡秋千、转动的钟表和风车,它们有什么共同的特征？思考 怎样来定义上面这些图形的变换？知识要点在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',这两个点叫做这个旋转的对应点.转动的方向分为顺时针与逆时针.典例精析例1 下列物体的运动是旋转的有.①电梯的升降运动；①行驶中的汽车车轮；①方向盘的转动；①骑自行车的人；①坐在摩天轮里的小朋友.方法总结：判断一种运动是否属于旋转,先看图形是否在同一平面内运动,其次要看是否有旋转中心,旋转角,旋转方向,还要注意判断变化前后图形大小是否发生了变化.例2 若叶片A绕O顺时针旋转到叶片B,则旋转中心是______,旋转角是_________,旋转角等于____度,其中的对应点有_______、_______、_______、_______、_______、_______ .练习如图,三角形ABD经过旋转后到三角形ACE的位置,其中①BAC=60°.(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？(3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置?要点归纳：确定一次图形的旋转时,必须明确旋转中心、旋转角、旋转方向.旋转的范围是“平面内”,其中“旋转中心,旋转方向,旋转角度”称之为旋转的三要素.典例精析例3 如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上,若①AOB绕点O按逆时针方向旋转到①COD 的位置,则旋转的角度为()A．30°B．45°C．90°D．135°方法总结：一个图形由一个位置旋转到另一个位置,如果有固定不动的点,那么这个点就是旋转中心,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.探究点2：旋转的性质合作探究1 根据图形填空旋转中心是点__________；图中对应点有；图中对应线段有_____________________________________.每对对应线段的长度有怎样的关系？________.图中旋转角等于________.合作探究2 观察下图,你能得到什么结论？知识要点：旋转的性质1.对应点到旋转中心的距离相等；2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等；3.旋转中心是唯一不动的点；4.旋转不改变图形的形状和大小.想一想如图,将①ABC逆时针旋转①ADE,如何确定它们的旋转中心位置？练一练如图,在平面直角坐标系xOy中,①ABC的顶点A（1,2）、B（-2,2）、C（-1,0）．若将①ABC以某点为旋转中心,顺时针旋转90°得到①DEF,则旋转中心的坐标是（）A．（0,0）B．（1,0）C．（1,-1）D．（2.5,0.5）方法总结：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上,要找到旋转中心,找到两组对应点连线的垂直平分线的交点即可.例4如图,将①ABC绕点A逆时针旋转150°,得到①ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,求①B的度数.变式如图,①ABC为钝角三角形,将①ABC绕点A逆时针旋转120°,得到①AB' C' ,连接BB' .若AC' ①BB' ,则①CAB'的度数为多少？例5如图,四边形ABCD是正方形,①ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到①ABE,已知AF ＝5,AB＝8,求DE的长度.方法总结：利用旋转的性质解决问题时应抓住以下几点：(1)明确旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的“对应关系”；(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.当堂检测1.下列现象中属于旋转的有( )①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③水龙头开关的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动.A.2个B.3个C.4个D.5个2. 下列説法正确的是( )A.旋转改变图形的形状和大小B.平移改变图形的位置C.图形可以沿某直线方向旋转一定距离D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到3.①ABC绕点A旋转一定角度后得到①ADE,若BC=4,AC=3,则下列説法正确的是( )A.DE=3B.AE=4C.①CAB是旋转角D.①CAE是旋转角第3题图第4题图第5 题图4.如图,在平面直角坐标系中,有一个Rt①ABC,且A(－1,3),B(－3,－1),C(－3,3),已知①A1AC1是由①ABC旋转得到的．则旋转中心的坐标是（）A．（0,0）B．（-1,0）C．（1,0）D．（0,-1）5.如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE、BE、CE,将①ABE绕点B顺时针旋转90°到①CBE′的位置,若AE＝1,BE＝2,CE＝3则①BE′C＝________度．拓展提高：6.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且①EDF=45°,将①DAE 绕点D按逆时针方向旋转90°得到①DCM．（1）求证：EF=MF；（2）当AE=1时,求EF的长．参考答案自主学习一、知识链接1.图略2.图略课堂探究二、要点探究探究点1：观察与思考思考答：把时针当成一个图形,那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.钟表的指针在不停地转动,从3时到5时,时针转动了60度；把叶片当成一个平面图形,那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.例1 ③⑤例2 O ∠AOB 60A与B B与C C与D D与E E与F F与A 练习解：(1)旋转中心是点A. (2)旋转了60 °,逆时针. (3)点M转到了AC的中点上.例3 C探究点2：合作探究1 C点A与点A′,点B与点B′,点M与点M′,点N与点N′线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′相等45°合作探究2 解：角：①AOA'=①BOB' =①COC'；线：AO=A'O ,BO=B'O ,CO=C'O想一想解：如图,两条对应点连线段的垂直平分线的交点O即为旋转中心.练一练C例4 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,∴∠BAD=150°,AB=AD.∴∠B=12(180°－150°)=15°.变式解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°,得到△AB' C',∴∠BAB'=∠CAC'=120°,AB=AB' .∴∠AB'B= 12(180°－120°)=30°.又∵AC'∥BB' ,∴∠B'AC' =∠AB'B=30°.∴∠CAB'=∠CAC'－∠B'AC' =120°－30°=90°.例5 解：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE,∴AE＝AF＝5,AD＝AB=8. ∴DE＝AD－AE＝8－5＝3.当堂检测1. B2. B3. D4. A5. 135拓展提高：（1）证明：①①DAE绕点D逆时针旋转90°得到①DCM,①DE=DM,①EDM=90°,①①EDF=45°,①①FDM=45°,①①EDF=①FDM．又①DF=DF,DE=DM,①①DEF①①DMF,①EF=MF.（2）解：设EF=MF=x,①AE=CM=1,AB=BC=3,∴EB=AB－AE=3－1=2,BM=BC+CM=3+1=4, ∴BF=BM－MF=4－x．在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ,即22+(4－x)2=x2,解得x=5 2.则EF的长为52．。

23.1图形的旋转(1)学习目标：1、知识与技能了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．2、过程与方法感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题．重难点、关键1、重点：旋转及对应点的有关概念及其应用。

2、难点与关键：从活生生的数学中抽出概念•一．学1.自主学习：完成教材59页“思考” , 以上现象有什么共同特点？2.合作学习：像以上，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的，点O叫做，转动的角叫做。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点P和P′叫做这个旋转的。

二：展P59练习1.举出一些生活中的实例，并指出旋转中心和旋转角.2：时钟的时针在不停旋转，从上午6时到上午9时，（1）时针旋转的旋转角是多少度？（2）从上午9时到上午10时呢？3.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？三．点：旋转的决定因素：___________________________________________________四．练如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么?（2）经过旋转，点A 、B 分别移动到什么位置？（3）旋转角是什么？（4）AO 与DO 的长有什么关系？BO 与EO 呢？（5）∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？合作学习：完成教材60页－－－－－－－探究展：旋转的基本性质:1 _____________________________________________2_____________________________________________________________________3____________________________________________________________________如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

人教版九年级上册数学导学案：图形的旋转23.1 图形的旋转教学目的：1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其运用它们处置一些实践效果．2．经过温习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学末尾，阅历观察，发生概念，运用概念处置一些实践效果．3．旋转的基本性质．重点旋转及对应点的有关概念及其运用．难点旋转的基本性质．学习进程一、创设效果情境1．将如下图的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？〔1〕平移的有关概念及性质．〔2〕如何画一个图形关于一条直线〔对称轴〕•的对称图形并口述它既有的一些性质．〔3〕什么叫轴对称图形？二、自主学习自学教材内容并思索：1、你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？2、它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概略出旋转的定义吗？自学检测：1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为_____ ___，这个定点称为________，转动的角为________．2、△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后抵达△ACE的位置．〔1〕旋转中心是哪一点?旋转了多少度?〔2〕假设M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置?三、协作展现1．如图，假设把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转失掉△OEF，在这个旋转进程中：〔1〕旋转中心是什么？旋转角是什么？〔2〕经过旋转，点A、B区分移动到什么位置？2．〔先生活动〕如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．〔1〕这个图案可以看做是哪个〝基本图案〞经过旋转失掉的？〔2〕请画出旋转中心和旋转角．〔3〕指出，经过旋转，点A、B、C、D区分移到什么位置？四、课堂小结1.旋转的概念:在平面内将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.2.平移与旋转的异同.五、达标测试一、选择题1.以下图片中，哪些是由图片〔1〕区分经过平移和旋转失掉的〔〕2.以下各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是〔〕A． B．C． D．3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．假设将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰恰落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于〔〕A．55°B．60°C．65°D．80°3题图 4题图4.如图，E、F区分是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，衔接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，那么旋转角是〔〕A．45° B．60° C．90° D．120°二、填空题5.如下图，△ABC绕点A逆时针旋转某一角度失掉△ADE，假定∠1=∠2=∠3=20°，那么旋转角为_______度．5题图 6题图 7题图6.如图是电脑CPU风扇的表示图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．∠AOB=120°，在风扇的转动进程中，叶片落在扇形AOB外部的面积为_______cm2．7.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，假定将△PAC绕点A逆时针旋转后，失掉△P′AB，那么点P与P′之间的距离为PP′=_____，∠APB=______度．8. 如图，△ABC为等边三角形，△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：〔1〕指出旋转中心；〔2〕求旋转角的度数；〔3〕求∠PAP′的度数．9.如图，正方形ABCD中，E在BC上，△DEC按顺时针方向转动一个角度后成△DGA．〔1〕图中哪一个点是旋转中心？〔2〕旋转了多少度？〔3〕CD=4，CE=3，求GE长．。

23.1.1 图形的旋转学习目标:1、理解旋转图形的特征并能初步应用．2、掌握图形旋转的基本作图。

重点: 图形的旋转的基本性质及其应用． 难点: 性质运用及基本作图。

学习过程: 一.温故知新:1.如图1，△ABC 是等边三角形,△ABP 旋转后能与△CBP ’重合,那么旋转中心是点 ；对应边是： ； 对应角是: ；旋转角是: ；旋转角等于 度；如果M 点是AP 的中点，那么旋转后M 点转到了什么位置？ .2.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离____________;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_________；旋转前、后的图形_________。

3.如图1，AB= ，BP= ，∠ABC=∠ = 度。

4.如图2，△ABC 绕着点O 旋转到△ADE 的位置，则AO= ，BO= ，CO= ，∠AOD=∠ =∠ . 二. 新知导航：（阅读课本第60 页至62页的部分，完成以下问题.）1. 如图，△AOB 绕O 点旋转后，G 点是B 点的对应点， 作出△AOB 旋转后的三角形． 点拨：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．2.旋转作图的依据是 ，旋转作图一般步骤是：①明确题目要求，找出已知图形的各关键点。

②确定旋转的三要素:旋转中心、旋转角和旋转方向。

③作出各关键点的对应点：将各关键点分别与旋转中心连接，已旋转中心为顶点，以各关键点与旋转中心之间的线段为，向旋转方向作一个角等于旋转角，根据各对应点与旋转中心的连线相等得到各关键点的对应点。

④按原图形字母顺序顺次连接即可。

例1、 如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把AB C E DFO图2GABO图1△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

2.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长 为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的111A B C △三．课堂小结：谈谈本节课你有哪些收获？四．当堂检测1.如图1，△ABC 和△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形， BC 、DE 分别是底边，图中的△ABD 绕A 旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，•其中2.如图△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，如果AP ＝3， 那么△APQ 的面积是______________3.如图，∆ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，请画出∆ABD 绕点A 逆时 针旋转︒60后的三角形。

2020年九年级数学上册 23.1 图形的旋转导学案(含解析) 新人教版一、新课导入1.钟表的指针和风车在做什么样的运动，这些运动有什么共同特点？2.图形的旋转有什么性质，图形的旋转改变了图形的什么？没有改变图形的什么？二、学习目标1.通过探究，体验并概括图形旋转的性质；利用旋转的性质解决相关问题。

2.培养用规范的数学语言进行描述的意识和能力；通过欣赏旋转图案，体会数学的美感。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本要求：知道旋转的定义，掌握旋转的三要素是旋转中心、旋转角、旋转方向，了解旋转的性质。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、1、在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向转过一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

2、图形旋转时绕着的定点叫旋转中心。

转过的角叫做旋转角。

旋转的方向有顺时针旋转、逆时针旋转。

3、图形的旋转只是改变了图形的位置，图形的旋转没有改变图形的形状和大小。

4、线段AB绕点O顺时针旋转后成为线段CD，点A和点C叫做对应点，点B和点D叫做对应点，线段AB和CD叫做对应线段，∠AOB和∠COD叫做对应角，∠BOD和∠AOC是旋转角。

研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，掌握图形旋转的性质；问题探究：5.如下图所示，已知A、B是射线OM上的两点，且OA=1cm，OB＝2.5cm，(1)当ON旋转到OM位置时，点A、B分别旋转到点A′、B′，请画出点A′、B′；(2)分别测量出OA和OA′，OB和OB′的长度，找到它们之间的数量关系；解：(1)画图如下(2)经测量可得：OA=OA′，OB=OB′6.如下图所示，△AOB绕点O按顺时针旋转后得到△COD，E是线段BA上一点.(1)对应线段OB与OD、OA与OC、AB与CD分别相等吗？(2)∠BOD与∠AOC相等吗？(3)画出点E的对应点F， OE与OF相等吗？∠EOF的度数与∠BOD、∠AOC的度数相等吗？解：(1)经测量可得：OB=OD，OA=OC，AB=CD；(2)经测理可得：∠BOD＝∠AOC；(3)画图如下，经测量可得：OE=OF，∠EOF=∠BOD=∠AOC结论：在平面内，一个图形旋转后得到的图形与原来的图形之间对应线段相等；对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的角，它们都等于旋转角。

图形的旋转课题：23.1图形的旋转序号20学习目标：1、知识和技能：了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，理解旋转的性质及其应用它们解决一些实际问题．2、过程和方法：通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，理解性质，应用它们解决一些实际问题．3、情感、态度、价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．学习重点：旋转相关概念以及性质学习难点：旋转的性质及应用。

导学方法：课时：导学过程课前预习：自学课本P56-59页,完成《导学案》“教材导读”及“自主测评”。

课堂导学：1.导入：在以前的学习中，我们学习了图形的平移、图形的轴对称这两种全等变换，今天，我们学习另一种全等变换-----旋转。

2.出示任务，自主学习：(1)、了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，理解旋转的性质及其应用它们解决一些实际问题．(2)、通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，理解性质，应用它们解决一些实际问题．3.合作探究：(1)、阅读课本P56页，回答下列问题：（a）什么叫旋转？旋转有哪些要素？（b）什么叫平移？什么叫轴对称？(2)、阅读课本P57页，回答下列问题：（a）旋转有哪些性质？（b）平移和轴对称有哪些性质？三、展示与反馈：《导学案》P56页“自主测评”学习小结：1、旋转的定义和要素。

2、旋转的性质。

3、《导学案》P57页“评价归纳”4、什么是旋转对称图形？五、达标检测：1、《导学案》P57页“基础反思”。

2、在Rt△ABO中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△ABO绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1, （1）则线段OA1的长是__________，∠AOB1=_______°（2）连接AA1，求证四边形OAA1B1是平行四边形；(3)求四边形OAA1B1的面积？课后作业： 1.必做题：习题23.1第1,4,5，7,10题。

杭六中九年级上册数学导学案23.1 图形的旋转教学目标：1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．3．旋转的基本性质．重点旋转及对应点的有关概念及其应用．难点旋转的基本性质．学习过程一、创设问题情境1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？（1）平移的有关概念及性质．（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴） 的对称图形并口述它既有的一些性质．（3）什么叫轴对称图形？二、自主学习自学教材内容并思考：1、你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？2、它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？自学检测：1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2、 ABC是等边三角形，D是BC边上一点， ABD经过旋转后到达 ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点?旋转了多少度?（2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置?三、合作展示1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？四、课堂小结1.旋转的概念:在平面内将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.2.平移与旋转的异同.五、达标测试一、选择题1.下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（）2.下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（）A．B．C．D．3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

新人教版九年级数学上册23.1 图形的旋转（第3课时）导学案1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．重点：用旋转的有关知识画图．难点：根据需要设计美丽图案．一、自学指导．(15分钟)1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．点拨精讲：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．1．旋转中心不变，改变旋转角．2．旋转角不变，改变旋转中心．我们可以设计成如下图美丽的图案．归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP ＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．所以PP′＝PA2＋P′A2＝32＋32＝3 2.解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合．旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针方向．(也可看作△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。