四川省雅安市高二数学上学期期中试题 理
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雅安中学2015-2016学年高二上期11月半期考试
数学试题（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题：60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．直线323yx的倾斜角是（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2、若不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a+c的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7
3、二次不等式20axbxc的解集是全体实数的条件是 （ ）
00000000aaaaABCD
4、已知点(,)Pxy在不等式组2010220xyxy表示的平面区域内运动，
则zxy的最大值是( )
A．1 B．2 C．2 D．3
5、设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A6 B．43 C．83 D．323
6. 已知mn、是不重合的直线，、是不重合的平面，正确的是（ ）
A．若,mm，则// B．若,//nmnI，则//,//mm
C．若//,mmn，则n D．若⊥，m⊥，则m∥
7、如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（ ）
A． B． C．2 D．
8.已知点2,33,2,AB、若直线l过点1,1P与线段AB相交，则直线l的斜率k的
14题图图 取值范围是（
）
A. 324kk或 B324k. C.423kk或 D. 423k
9、若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则13mn
的最小值为（ ）
A．4
B．12 C．16 D．6
10、将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
11过点Q（2，4）引直线与圆x2+y2=1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（ ）
A．圆（x+1）2+（y+2）2=5 B．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5
C．圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的一段弧 D．圆x2+y2+2x+4y=0的一段弧
12已知点P（t，t），t∈R，点m是圆221(1)4xy上的动点，点N是圆221(2)4xy上的动点，则PNPM的最大值是（ ）
A． B．2 C.3 D．
第Ⅱ卷（非选择题：90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13 .不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为 ．
14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是 .
15．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则 PBPB 的最大值是 。
16、如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).
①当0
②当CQ=12时，S为等腰梯形；
③当CQ=34时，S与C1D1的交点R满足C1R=14
④当CQ=1时，S的面积为62。
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17（本小题满分10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R． 16题图
A
B C
O
1A
1B 1C （1）若m=3，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分12分)右图是一个正三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知111BA，14AA，12BB，13CC．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面111ABC；
（2）求AB与平面11AACC所成的角的正弦值；
19、(本小题满分12分)如图，棱锥ABCDP的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，22,2BDADPA.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离.
20、(本小题满分12分)三角形ABC的三个顶点A（1,3）B（1，﹣3）C（3，3），求
（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程； PDBCA19题图 18题图
（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程；
（Ⅲ）已知圆O2：22460xyy,求圆心在x-y-4=0,且过圆O1与圆O2交点的圆的方程。
21．(本小题满分12分)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
（Ⅰ）若AB＝423，求MQ及直线MQ的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．
22. (本小题满分12分)若圆C经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y相切， 从圆C外一点(,)Pab向该圆引切线PT，T为切点，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点(2,2)Q，且PTPQ， 试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点,MN是直线6x上两动点，且以,MN为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．
雅安中学高2015—2016学年高二年级上期期中考试
数 学 试 题 答 案 （理科）
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
C D D C B A B A D B C B
二、填空题13 (,3)(1,) 14 30 15 25 16 ②④
三．解答题（共9小题）
17解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，
B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3}
（1）由于B={x|m﹣3≤x≤m+3}
故当m=3时，B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0，3]
（2）由于集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}
∵
18．（1）证明：作1ODAA∥交11AB于D，连1CD．
则11ODBBCC∥∥，因为O是AB的中点，所以1111()32ODAABBCC．则1ODCC是平行四边形，因此有1OCCD∥，1CD平面111CBA，且OC平面111CBA；则OC∥面111ABC．
（2）解：如图，过B作截面22BAC∥面111ABC，分别交1AA，1CC于2A，2C，作22BHAC⊥于H，因为平面22ABC⊥平面11AACC，则BH⊥面11AACC．连结AH，则BAH∠就是AB与面11AACC所成的角．
因为23BH，5AB，所以1015sinABBHBAH．
19（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=22， ∴AB=2，
ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.
又∵PA=AD，∴∠PDA=450 .
（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=22 ，设C到面PBD的距离为d，
由PBDCBCDPVV，有dSPASPBDBCD••••3131，
即d••••0260sin)22(21312222131，得332d
20解：（1）设BC的中点为D，由中点坐标公式得：D（2,0），
所以AD所在直线的斜率为 k= —3
所以AD所在直线的方程为y-3=-3(x-1)，即3x+y-6=0
(2）由题知直线AB的斜率不存在，直线BC的斜率为0，
故三角形ABC是角A为直角BC为斜边的直角三角形；
由（1）知，线段BC上的中点D（2,0），
所以圆O1的圆心坐标（2,0）半径21310rDA；
三角形ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-6=0或22(2)10xy．
（3）方法一：设经过两圆交点的圆系方程为222246(46)0(1)xyxxyy
即224422601111+xyxy所以圆心的坐标为（,）
又圆心在直线x-y-4=0上，所以24--4=01+1+则22162603xyxy所以所求圆的方程为
方法二：2222460460xyxyxxyy由得两圆公共弦所在直线为
1222121313+460yxxxyyxyy由解得或
所以两圆的交点分别为A（-1，-1），B（3,3），
线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y-1=-(x-1)
1(1)3401yxxxyy由得
所以所求圆的圆心为（3，-1），半径为4
所以所求圆的方程为22(3)(1)16xy
21．解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝223，
又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
得|MP|＝12－89＝13.(2分)
