算法合集之《浅谈基于分层思想的网络流算法》

离散优化在网络流问题中的应用网络流问题是离散优化领域中的一个重要问题，它涉及到在网络中寻找最优的流量分配方案。

在实际应用中，网络流问题广泛存在于交通运输、通信网络、供应链管理等领域。

离散优化方法在解决网络流问题中发挥着重要的作用，并取得了显著的成果。

一、最大流问题最大流问题是网络流问题中的一类经典问题，其目标是在网络中找到从源点到汇点的最大流量。

离散优化方法中常用的解决最大流问题的算法有Edmonds-Karp 算法、Ford-Fulkerson算法等。

Edmonds-Karp算法基于广度优先搜索的思想，通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。

这一算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V 和E分别表示网络中的节点数和边数。

Ford-Fulkerson算法则是通过不断寻找增广路径，并对路径上的边进行反向操作来增加流量。

这一算法的时间复杂度与Edmonds-Karp算法相同，但其实际运行效率更高。

二、最小割问题最小割问题是网络流问题中的另一类重要问题，其目标是在网络中找到一个割集，使得割集上的边的容量之和最小。

离散优化方法中常用的解决最小割问题的算法有Ford-Fulkerson算法、Dinic算法等。

Ford-Fulkerson算法在解决最大流问题的同时，也可以得到最小割问题的解。

该算法通过不断寻找增广路径，并对路径上的边进行反向操作来增加流量，直到无法找到增广路径为止。

最终，割集中的边即为最小割问题的解。

Dinic算法则是一种基于分层图的改进算法，通过预处理网络，构建分层图，并在分层图上进行增广操作，从而提高了算法的效率。

三、多源汇最小费用流问题多源汇最小费用流问题是网络流问题中的一种扩展问题，其目标是在网络中找到从多个源点到多个汇点的最小费用流量分配方案。

离散优化方法中常用的解决多源汇最小费用流问题的算法有费用流算法、最短路算法等。

费用流算法通过引入费用函数，将流量和费用的关系进行建模，从而求解最小费用流问题。

网络流算法（NetworkFlow）网络流算法，是指寻找网络流问题的解的算法，它是一类重要的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学及工程领域。

网络流是个有向图，它模拟了许多实际问题，如输电方案、货物运输、油管输送和信息传输等。

网络流算法的目的是在给定的网络流中，尽可能地将流量从源点流向汇点，同时满足各个节点的容量约束和流量平衡约束。

本文将介绍网络流模型的构建和基本算法。

一、网络流模型的构建网络流模型是一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。

每条边都有一个容量c(e)表示其流量的最大值。

设源点为s，汇点为t，则网络流模型可以表示为一个三元组(N,s,t)，即：N=(V,E) s∈V t∈V s≠t在网络流模型中，源点始终是起点，汇点始终是终点。

我们在模型中引入一个源汇节点s'和汇源节点t'，并连接源点和汇点，得到源汇图G'=(V,E')，其中：E'=E∪{(s',s,c(s,t))}∪{(t,t',c(s,t))}即，在原图的基础上，加入两个新的虚拟节点s'和t'，并连接到源点和汇点。

这样构造的网络流模型中，所有的节点都满足容量和流量平衡约束。

在网络流问题中，我们需要求解最大流或最小割，以满足约束条件，并且尽可能地提高网络的利用率。

二、网络流的基本概念和算法1. 流量和容量网络流图中，首先需要确定每条边的容量和流量。

流量指的是通过该边的流量大小，容量指的是该边能够承受的最大流量。

在网络流模型中，每条边的容量是一个正实数，而流量可以是任意实数。

流量和容量通常表示为f(e)和c(e)。

2. 割在网络流模型中，割是一种对源汇图做出的划分，其中源点s和汇点t被分为两个集合S和T。

网络流通过割的概念来定义障碍物，即对流量的限制。

在网络流图中，割C(S,T)是指将源点s和汇点t割成两部分的划分，C(S,T)满足：s∈S t∈T S∩T=∅根据割的定义，可将所有割分为最小割和最大割。

⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义　 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。

通常在运筹学中，有向图称为⽹络。

顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。

⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。

⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。

————维基百科　最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。

设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。

源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。

从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。

这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。

我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。

每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。

流⽹络中的结点则是通道的连接点。

除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。

换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。

这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。

在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。

这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。

⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。

基于分层路网的路径规划算法作者：罗亚男付永庆来源：《计算机应用》2013年第06期摘要：为了提高路径规划的效率，提出了一种基于分层路网的二叉堆管理开启列表启发搜索算法。

首先根据路网分级特点的存在，建立分层地图数据库，然后以启发式A*算法为主搜索方式，结合优先队列二叉堆来管理开启列表，完成路径规划。

通过实验对比不同路径规划算法的平均耗时显示：启发式A*算法的效率是盲目式Dijkstra算法的4倍左右，同时在算法中引入二叉堆至少节省5%的规划时间。

分层策略使快速路段所占比例达到90%以上，且将路径规划耗时控制在3s以内。

实现结果表明，所提算法具有很高的运行效率，同时能满足驾驶者多走快速路段的行车心理。

关键词：分层路网；拓扑结构提取；路径规划；A算法；二叉堆0引言路径规划是车载导航系统最重要的功能之一[1]。

根据图论中最短路径理论，不管是最短路径规划、最短时间规划还是最低消费规划，都可以通过赋予图中的边以相应的权值来满足用户的不同需求。

通常情况下，路径搜索可以分为平面搜索和分层搜索两大类。

平面搜索算法中最经典的是20世纪60年代初期由Dijkstra提出的Dijkstra算法，非常适合在带权有向图中解决最短路径问题。

但是该算法的时间复杂度为O（n2），效率比较低，因此在实际应用时受到了很大的限制。

后来许多学者在存储结构和排序算法上对Dijkstra算法进行了改进[2-3]，通常改进算法的时间复杂度与节点数成正比，如O（mlbn）或O（m+nlbn）[4]。

也有学者通过引入启发函数的方式进行改进，启发式搜索以1968年Hart等提出的A*算法为代表，现在仍被广泛应用，但这些改进算法的效率会随节点数的增加而急剧下降。

此外，平面搜索算法计算出的“最短”路径并不一定是“最优”路径，最短路径中可能存在大量的窄小拥挤的小巷，而最优路径要尽可能多地包括主干道等快速路段[5]，这就有了分层思想。

文献[6]首先提出了层次空间的推理过程，文献[7]又将层次空间推理法则引入到行车最优路径搜索中，但这两篇文献均没有给出具体的路网层次拓扑结构的表达方法[8]。

浅谈最短径路问题中的分层思想福建省泉州市第七中学吕子鉷摘要分层思想与最短路径算法都在许多领域有着广泛的应用。

本文通过对一些信息学竞赛试题的分析，从建立模型和优化算法两个方面阐述了分层思想在最短路径问题中的应用，并分别对这两个方面作了总结。

关键字最短路径分层图论正文1．引言最短路径问题是图论中的一个经典问题。

由于问题中边的权值往往可以从距离引申为其他沿路径线性积累的度量，如：时间、花费等，所以最短路径问题在实际生活中有着广泛的应用，如：城市规划、交通导航、网络寻优等。

分层思想作为一个重要的思想，也有着许多应用，特别在是某些高效的方法中，如：动态规划中的阶段划分、图论中基于求阻塞流的最大流算法等。

将分层思想应用到最短路径问题中，正是分层思想和最短路径问题的强强联合。

2．利用分层思想建立模型这一部分中，作者将简要介绍利用分层思想建立模型的三个问题：拯救大兵瑞恩、fence和cow relay，希望能对利用分层思想解题起到抛砖引玉的作用。

2.1 例题一 拯救大兵瑞恩1题目：有一个长方形的迷宫，被分成了N 行M列，共N ×M 个单元。

南北或东西方向相邻的两个单元之间可以互通，或者存在一扇锁着的门，又或者存在一堵不可逾越的墙。

迷宫中有一些单元存放着钥匙，并且所有的门被分为P 类，打开同一类的门的钥匙相同，打开不同类的门的钥匙不同。

从一个单元移动到另一个相邻单元的时间为1，拿取所在单元的钥匙的时间以及用钥匙开门的时间忽略不计。

求从(1,1)到(N,M)的最短时间。

N,M 不大于15，P 不大于10。

分析：如果忽略了门和钥匙，我们可以把每个单元看成顶点，相互连通的单元之间连一条边权为1的边，那么本题就是一个标准的最短路问题，可以直接使用最短路算法求解。

由于有了门和钥匙的因素，所以必须考虑钥匙状态对门的影响。

我们把图分成2P 层，分别对应持有钥匙的2P 种状态，并根据钥匙的状态改造每层节点使相邻的连通节点间有长度为1的边。

可重构分层感知网络流量预测算法李莉;吴润泽;包正睿;庞思睿【摘要】Traffic prediction is helpful to optimize the allocation of network resources.With the development of computer technology,the characteristic of network traffic is very complex,so it is an inevitable trend to forecast by using intelligent algorithms based on artificial neural network.However,the research of artificial neural network mainly focuses on thealgorithm,traditional hardware implementation is not easy to expand and maintain.In order to change the situation that the artificial neural network can't meet the requirement of real-time processing and customized neural network prediction hardware isn't flexible enough,we design a method of traffic prediction based on hi-erarchical reconfigurable perceptron network,which is used for the traffic prediction by constructing parallel perceptron based on the on-chip network technology of the multi-core processors,modifying the hierarchical perceptual network structure and configuring different activation functions.Finally the simulation verification is carried out on the FPGA platform.Tests show that the method is flexible and has high prediction accuracy and good real-time performance.%流量预测有利于实现网络资源的优化配置,而计算机技术的发展使得网络流量的变化特性十分复杂,通过以人工神经网络为主的智能算法进行预测已成为必然趋势.但人工神经网络的研究主要集中在算法层面,传统的硬件实现不易扩展和维护.为了改变人工神经网络串行预测特点不能满足实时处理要求,定制神经网络预测硬件不够灵活的现状,设计了一种采用分层可重构感知网络进行流量预测的方法.基于多核处理器中的片上网络技术构建并行感知器,通过修改分层感知网络结构,配置不同的激活函数实现可重构感知网络来进行流量预测,并在FPGA平台进行了仿真验证.测试结果表明,该方法灵活,且基于该方法的流量预测精度较高,实时性好.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2018(028)005【总页数】4页(P197-200)【关键词】流量预测;分层可重构感知;神经网络;片上网络;并行处理【作者】李莉;吴润泽;包正睿;庞思睿【作者单位】国网冀北电力有限公司经济技术研究院,北京100055;华北电力大学电气与电子工程学院,北京102206;华北电力大学电气与电子工程学院,北京102206;国网冀北电力有限公司信息通信分公司,北京100053【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言随着互联网规模不断扩大，网络流量数据与业务种类越来越多，网络资源与网络需求供需矛盾日趋尖锐，网络流量预测不但有助于分析网络安全状况，而且可以科学管理和防范网络异常，因此，网络流量预测研究和实现具有重要意义[1]。

网络流构图总结网络流专题研究福州一中肖汉骏预备知识(参见Amber论文)网络和流残留网络和增广路径最大流和最小割主要算法最大流增广路方法Ford-Fulkerson method一般增广路算法Labeling algorithm连续增广路算法由陈启峰提出，竞赛中相当实用，近于O(m)容量缩放增广路算法Capacity scaling algorithm最短增广路算法Edmonds-Karp algorithm连续最短增广路算法Successive shortest augmenting path algorithm (Dinic augorithm)预流推进方法Preflow-push method一般预流推进算法Generic preflow-push algorithm先进先出预流推进算法FIFO preflow-push algorithm最高标号预流推进算法Highest-label preflow-push algorithm (Relabel-to-Front algorithm)最小费用流最小费用路方法一般最小费用路算法(SPFA找增广路，复杂度近于O(mf)，竞赛中实用)注意：初始流的费用必须保证是在所有同流量流中最小的。

原始-对偶算法消圈方法一般消圈算法网络单纯形法常见变形多源多汇问题可通过增添超级源和超级汇解决。

点有容量或费用可以尝试拆一个点为一入点一出点，将点的限制转移到入点到出点的边上。

重边、无向边和自环的处理对于使用边链表存储的图，重边一般不需要特殊处理。

但当重边的数量太多以至于显著影响算法效率时，可以考虑将相同起点终点的边的容量相加。

而无向边则可以看做是在两个方向上都只要求Flow小于Capa即可。

而最小费用流问题中的重边却反而成为一种处理复杂权函数的手段。

根据题目要求或者问题性质，可以为重边列出一个费用随流量变化的函数。

如果将这个函数的离散点顺次相连，得到的是若干斜率不断增大的折线段，则可为每段折线段建立一条边，根据最小费用流的性质，重边选择的必然是连续的一段。

[分层网络技术及应用分析]网络技术及应用分层网络技术及应用分析在社会的不断发展过程中，分层网络技术顺应社会的生产要求，这项先进的网络技术主要应用于制造大中型设备的大中型企业。

现在的重型机械厂、飞机制造厂等大型企业都在运用先进的分层网络技术，以此来提高自身的生产效率，提高企业的综合竞争力。

现在的大中型企业都会为了生产研究出一种有效并且科学的进度控制方法，进行进度计划编制，然而它们都是基于先进的分层网络技术所得到的。

1层次分解方法的分析研究通常根据网络模型的目标可以将网络模型分为三大类，分别为单目标网络模型、多目标网络模型以及群体网络模型。

1.2层次分解方法的研究研究网络计划的分层，是用来解决大型网络中多人和多单位分别完成不同规模的部分网络计划最后放在一起实现综合平衡出现的差异和便宜的主要手段。

进过人们的分析探讨层次分解方法包括一般的层次分解方法、组件分解方法以及网络简化方法。

这些分解方法取长补短，各有优点，具有很高的实用性。

1.3层次的分解模型大型网络都是要有分解层次的，每一个比较大的网络计划中，它都有成千上万的节点，划分层次的多少决定着这个网络计划是否复杂，例如，如果过少的进行分层对大型的网络计划，那么它每个网络分层的网络节点就会有很多，那么去实施和控制这个巨大的网络计划就会有很大的困难，同时它也会导致后续的系统分解的复杂，导致劳而无功，从而错过获得网络分层最优方案的机会。

相对应的就是过多的分层针对大型的网络计划，这样就会产生过多的网络关系，这些网络关系会逐渐的复杂化，同时也会增加计算量，为编制等工作人员增加更多的压力。

经过科学的研究分析，一个大型的网络计划分三层是最好的选择，适合所有的大中型网络。

网络层次的分解也是具有原则性的，研究分析网络分层的原则就必须要弄清楚网络工作分解和优化目标的复杂关系，最后实现寻找到最有方案例如保证工期最短，费用最省以及质量最好的目的，然后就是全程掌握进度统筹安排与控制。

分层聚类分析算法随着数据量的不断增加，人们需要更有效的方式来对数据进行分析和处理。

其中一种常用的方法就是聚类分析。

它可以将数据集分成若干个群组，每个群组内的数据点彼此相似。

这种方法已经被广泛应用于各种领域，例如生物学、天文学、社会学、广告以及金融等领域。

聚类分析算法有很多种，其中一种常见的方法就是分层聚类分析算法。

它可以自动地将数据集分成各个聚类，并将聚类结果以层次树的结构呈现出来。

这种方法有很多优点，例如在可视化数据方面非常有用，并且可以处理各种数据类型。

算法过程分层聚类分析算法的核心思想是基于距离度量来将数据集分成若干个聚类。

其具体实现过程通常包括以下几个步骤：1. 数据准备分层聚类分析算法的第一步是数据准备。

通常需要进行数据清洗和数据预处理，以保证数据的质量和准确性。

具体来说，需要判断数据是否存在缺失值、异常值和重复数据，并对这些数据进行相应的处理。

2. 距离计算一旦数据集被准备好，分层聚类分析算法将计算数据之间的距离。

距离可以是欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似度等多种方式。

这些距离方法适用不同的数据类型，例如数值、文本和图片等。

3. 聚类合并接下来，算法将聚类合并。

在最初的阶段，每个数据点都是一个独立的聚类。

然后算法将具有最小距离的聚类合并。

因此数据集中距离最近的两个聚类将被合并成一个新的聚类，这个新的聚类将成为另一个聚类，因此将有一个聚类少。

4. 层次树构建迭代合并聚类的过程将一直持续到只剩下一个聚类为止，所有聚类的层次都被记录在一棵层次树中。

层次树描绘了不同聚类之间的距离，使得通过分析树形图可以更容易地理解数据的结构和特征。

5. 聚类结果选择最后，需要确定分层聚类分析算法生成的层次树的聚类数。

这通常是根据特定的业务需求和应用场景来确定的，因此可以根据不同的需求来选择最终的聚类数量。

应用场景分层聚类分析算法有广泛的应用场景。

一些经典的应用包括时间序列聚类、推荐系统和基因表达式数据分析等领域。

网络流概念及相关算法介绍引言实现Ford-Fulkerson的时间复杂度主要取决于如何寻找增加路径p。

Edmonds-Karp实现正是通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。

由于这种算法的效率不很理想，我们在此不多着墨，而主要介绍下述push-relabel算法的思想。

五、一般性的push-relabel算法很多渐进意义下最优的算法都是采用了push-relabel算法的思想，而且很多其他的相关问题，比如最小费用流问题，也可以用这种方法很好的解决。

首先介绍的是一般性的push-relabel算法。

不同于Ford-Fulkerson方法在残留网络中寻找增加路径的方式，push-relabel算法在运行的过程中只关注某一个顶点以及它的相邻顶点，在这个过程中，它并不像Ford-Fulkerson方法保持着“流的保持”性质，而是以一个“先流”进行运作。

这个先流同样是一个V×V →R的函数，满足容量限制和斜对称性，同时，它对所有的u∈V-{s}满足f(V,u)>=0。

我们记e(u)=f(V,u)。

如果e(u)>0我们就说顶点u溢出。

为了步入正题，我们还需要介绍push-relabel算法引入的一个额外的高度函数。

设G=(V,E)是一个流网络，源点是s，汇点是t，f是G中的一个先流。

如果函数h:V→N满足h(s)=|V|，h(t)=0，而且对残留网络中所有的边(u,v)有h(u)<=h(v)+1，那么称h是一个高度函数。

正如其名称一样，push-relabel算法有两个基本操作:push和relabel。

一般性的push-relabel算法就是通过往复执行这两种操作完成的：GENERIC-PUSH-RELABEL(G)先流初始化while 存在可以执行的push或relabel操作选择一个可以执行的push或relabel操作执行。