2017-2018学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

第 1 页 共 15 页 2017-2018学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

集合

所以.

故选C.

2．已知复数，若，则复数的共轭复数（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

复数，

若，则，解得.

所以.

故选B.

3．对于命题，使得，则是

A． ， B． ，

C． ， D． ,

【答案】C

【解析】

由特称命题的否定为全称命题，得

命题，使得，则，

故选C. 第 2 页 共 15 页 4．直线经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设椭圆方程为：，直线经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，

由对称性，不妨设直线，

椭圆中心到的距离为其短轴长的，所以,解得，即离心率为.

故选A.

5．若1a，则双曲线2221xya的离心率的取值范围是（ ）

A． 2, B． 2,2 C． 1,2 D． 1,2

【答案】C

【解析】221ca， 222222111caeaaa ，

1a， 2101a ， 212e ，则02e，选C.

6．已知x和y之间的一组数据

则y与x的线性回归方程必过点( )

A． (2,2) B． C． (1,2) D．

【答案】B

【解析】 第 3 页 共 15 页 由题意,

∴x与y组成的线性回归方程必过点(,4)

故选：B.

7．函数的单调递增区间是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，

令t=，则y=lnt，

∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；

x∈(4,+∞)时,t=为增函数；

y=lnt为增函数，

故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，

故选：D.

点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.

当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；

当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；

当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；

当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.

简称为“同增异减”.

8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )

A． 乙可以知道两人的成绩 B． 丁可能知道两人的成绩 第 4 页 共 15 页 C． 乙、丁可以知道自己的成绩 D． 乙、丁可以知道对方的成绩

【答案】C

【解析】

四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩

乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）

乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩

丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩

故选

9．已知正项数列中，，记数列的前项和为，则的值是（ ）

A． B． 11 C． D． 10

【答案】A

【解析】

【详解】

∵ (n⩾2)，

∴数列{}为等差数列,首项为1,公差为22−1=3.

∴.

∴，

∴，

∴数列的前n项和为.

则.

故选：A.

10．过抛物线C:的焦点,且斜率为的直线交C于点M（M在轴上方)，为C第 5 页 共 15 页 的准线，点N在上，且MN⊥,则M到直线NF的距离为( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，

由抛物线C:,得F(1,0)，

则,与抛物线 联立得,解得.

∴，

∵，

∵F(1,0),∴即

∴M到NF的距离为.

故选A.

11．已知点,Mab与点0,1N在直线3450xy的两侧，给出以下结论：①3450ab；②当0a时， ab有最小值，无最大值；③221ab；④当0a且1a时， 11ba的取值范围是93,,44，

正确的个数是（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

【答案】B

【解析】∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧, 第 6 页 共 15 页

∴34530450ab，即3450ab，故①错误；

当0a时, 54ab，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；

设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则221023(4)d,则22ab>4，故③正确；

当0a且a≠1时, 11ba表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率。

∵当0a,b=54时, 51194114ba,又直线3x−4y+5=0的斜率为34，

故11ba的取值范围为93,,44，故④正确.

∴正确命题的个数是2个.

故选：B.

点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大， z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.

12．在函数f(x)=alnx-(x-1)2的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是( )

A． [1,+∞) B． (1,+∞) C． [6,+∞) D． (6,+∞)

【答案】C

【解析】

函数f(x)=alnx-(x-1)2，求导得：，

由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1，

可得>1对x∈(1,2)恒成立.

即有a>x(2x−1)对x∈(1,2)恒成立. 第 7 页 共 15 页 令g(x)=2x2−x,对称轴，

区间(1,2)为增区间，, 只需即可.

故选：C.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

二、填空题

13．函数有极值的充要条件是_____

【答案】

【解析】

函数，求导得：.

令，当且仅当时，导数有两个互异实根，即函数有极值.

故答案为：.

点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③解方程，求出函数定义域内的所有根；④检验在的根左右两侧值的符号,如果左正右负,那么在处取极大值,如果左负右正,那么在处取极小值．

14．已知双曲线的渐近线方程是，且过点，求双曲线的方程_______.

【答案】

【解析】

双曲线的渐近线方程是，所以， 第 8 页 共 15 页 由过点得：.

由，得

双曲线的方程为.

故答案为：.

15．若,xy满足约束条件1030330xyxyxy，则3zxy的最小值为

【答案】1

【解析】试题分析：画出可行域及直线3x－y=0（如图），平移直线3x－y=0，发现，当直线经过点（0,1）时，3zxy的最小值为－1。

【考点】本题主要考查简单线性规划的应用。

点评：简单题，第一步是准确做出可行域，第二步是明确目标函数过何点是取到最值。

16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)xyabab，则椭圆在其上一点00,Axy处的切线方程为00221xxyyab，试运用该性质解决以下问题：椭圆221:12xCy，点B为1C在第一象限中的任意一点，过B作1C的切线l， l 分别第 9 页 共 15 页 与x轴和y轴的正半轴交于,CD两点，则OCD面积的最小值为__________.

【答案】2

【解析】设B（x2，y2），

则椭圆C1在点B处的切线方程为222xx+y2y=1

令x=0，yD=21y，令y=0，可得xC=22x，

所以S△OCD=222211212yxxy，

又点B在椭圆的第一象限上，

所以x2，y2＞0， 222212xy，

即有2222222222222222122222xyxyxyxyxyyxyx，

S△OCD≥2，当且仅当222x=22y=12，

所以当B（1， 22）时，三角形OCD的面积的最小值为2．

故答案为： 2．

三、解答题

17．设复数.

(1)当为何值时,是实数;

(2)当为何值时, 是纯虚数.

【答案】（1）当m＝－2或－1；（2）m＝3.

【解析】试题分析：（1）若使是实数，只需，即可；

（2）若使是纯虚数，只需

试题解析：