- 1 - 第31讲 相似三角形（2）
[基础篇]
模型01：斜A型相似
ADEACB∽ ADCACB∽2ACADAB
模型02：射影型相似
ABCACDCBD∽∽
222ACADABBCBDBACDADBD
模型03：斜X型相似
ACPDBP∽
APCPACPDBPDB
- 2 - 模型04：斜A斜X混合型相似
ADEABCAAAECADBSASEOBDOCAAEODBOCSAS∽（）∽（）∽（）∽（）
模型05：一线三等角型相似
锐角型：
直角型：
钝角型：
ABCCDE∽
ABBCACCDDECE
- 3 - 特殊情况：当C为BD中点时，ABCCDCEAE∽∽
模型06：旋转型相似
ABCEAD∽ ABDEAC∽
模型07：三垂型相似模型
- 4 -
[技能篇]
类型一：斜A型相似
例1-1 写出能判断ADEABC∽的条件（至少写出三个）:________________________________________.
例1-2 如图，在ABC中，BCED3,5,4,2=15ADDBAEECS四边形，.求ABCS.
例1-3 如图，已知BACD ，4,3ACAD，求BD的值.
例1-4 如图，在ABC中，若8ABAC，D是边AC上一点，且6BDBC ，则线段________AD.
例1-5 如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.已知10,12FDFB，则=______FC. ABCDE
- 5 -
例1-6 如图，在tRFGH中，=90GFH∠， FIGH .则
222____________________________GFFHFI
例1-7 已知：如图，在RtABC中，90ACBACBC，，点DE、在AB上,45DCE．求证：ACEBDC∽．
第22讲：相似三角形及其应用
一、夯实基础
1．下列判断正确的是( )
A. 不全等的三角形一定不是相似三角形
B. 不相似的三角形一定不是全等三角形
C. 相似三角形一定不是全等三角形
D. 全等三角形不一定是相似三角形
2．△ABC中，∠ABC为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是( )
A. ABBD＝BCAC B. ADBD＝ABBC
C. CDBC＝ADAB D. ACBC＝BDAD
3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30 cm，则原三角形最大边长为 （ ）
A. 44 cm B. 40 cm
C. 36 cm D. 24 cm
4．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A. 3∶4 B. 9∶16
C. 9∶1 D. 3∶1
(第4题图)
(第5题图)
5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
二、能力提升
6．如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__ __m.
(第6题图)
(第7题图)
7．如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 (结果保留根号)．
8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD： (只填一个即可)．
三、课外拓展
9．如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为( )
专题22相似三角形
【专题目录】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个
多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
即ac
bd
(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简
称比例线段．
【考点总结】二、相似三角形
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
角三
角形
的应
用比例线段的性质(1)基本性质：a
b＝c
dad＝bc；
(2)合比性质：a
b＝c
da＋b
b＝c＋d
d；
(3)等比性质：
若a
b＝c
d＝…＝m
n(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋m
b＋d＋…＋n＝a
b.
黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC
AB＝BC
AC，则线段AB被点C黄
金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
相似
三角
形定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相
似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
模型介绍在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．
例题精讲
【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象
限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．
解：∵抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴OB＝4，
当x＝0时，y＝2，
∴OC＝2，
∵点M是第一象限内抛物线上一点，
∴设M（m，﹣m2+m+2），
∵MN⊥x轴，
∴ON＝m，MN＝﹣m2+m+2，∠ONM＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝∠ONM，
∵△MON与△BOC相似，∴或，∴
＝或
＝，
∴m＝或m＝﹣1+（负值舍去），∴点M的横坐标为或﹣1+．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和
