图形的相似知识点总结及练习

相似三角形基本知识点总结及练习

知识点一：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD＝m：n

例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。

2.比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即dcba（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）

例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。

（2）比例性质

1.基本性质: bcaddcba （两外项的积等于两内项积）

2.反比性质： cdabdcba (把比的前项、后项交换)

3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项．同时交换内外项

4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）

如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca．

注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

例：已知的值求fdbecafdbfedcba),0(54

5.合比性质：ddcbbadcba（分子加（减）分母,分母不变）

．

知识点二：平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示：

∵AD//BE//CF,

∴

2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

几何语言：由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,

，则

=_______。

（1）是“A”字型

（2）是“8”字型

经常考，关键在于找 知识点三：相似形多边形

1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）

4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。

例1：下列判断正确的是（ ）

A.两个矩形一定相似 。 B.两个平行四边形一定相似。

C.两个正方形一定相似。 D.两个菱形一定相似。

例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？

知识点四：黄金分割

(1) 定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACBCABAC，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。618.0215ABAC

所以：ABAC215≈0.618AB。ABBC253

例：已知线段AB=10cm,点C是AB的 黄金分割点，且AC＞BC ，求AC和BC的长。

(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.

作法：①过点B作BD⊥AB，使

；

②连结AD，在DA上截取DE=DB；

③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.

（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。

（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于

例：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．

(1)求证：AD2=CD·AC；

(2)若AC=a，求AD．

知识点五：相似三角形

1、 相似三角形

（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：

判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)

几何语言：在△ABC和△DEF中

如果

判定定理2：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言：（如上图）在△ABC和△DEF F中

如果

，那么△ABC∽△DEF

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

几何语言：（如上图）在△ABC和△DEF中

如果

，那么△ABC∽△DEF

例1：如图，（1）若ABAE________,则△ABC∽△AEF；（2）若∠E＝________，则△ABC∽△AEF。

直角三角形相似判定定理: ○1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

○2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

3.补充：直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD²=AD·BD，

AC²=AD·AB，

BC²=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

(1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；

(2)求证：CD2=AD·AD；

(3)求证：AC·BC=AB·CD．

4.相似图形中常见的基本图形：

5.相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).

③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根

⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。

例1：已知△ABC∽△DEF，BD和EG是它们的对应中线，

， ，求BD的长。

例2：如果两个相似三角形的面积比为16:25，那么这两个相似三角形对应边的比是_______。

例3：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48

求S⊿ADE

相似的应用：位似

（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。 ②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

（2）性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。

②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。

③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。

④位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形 上）

（2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点）

（3）确定位似比

（4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。

坐标变换与图形的关系：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为∣k∣。

例1：下列说法中正确的有（ ）

（1）位似多边形一定是相似多边形。

（2）相似多边形一定是位似多边形

（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3，则两个多边形的面积之比为4︰9。

（4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。

例2：若△ABC与△DEF关于点O位似，其位似比是1:2，AO=5，则对应点A、Ｄ之间的距离是 。

例3：在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为

，把线段AB缩短后得到线段A1B1，则A1B1，的长度等于 。