§1.2 空间向量基本定理
第1课时 空间向量基本定理 学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解． 导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝OP→，p 能否用i，j，k表示呢？
提示 如图，设OQ→为OP→在i，j所确定的平面上的投影向量，则OP→＝OQ→＋QP→.
又向量QP→，k共线，因此存在唯一的实数z，使得QP→＝zk，从而OP→＝OQ→＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OQ→＝xi＋yj.
从而OP→＝OQ→＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题2 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝y－y′x′－xj＋z－z′x′－xk.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
1．空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
空间向量的基本定理
1. 引言
空间向量是线性代数中的重要概念，它在物理、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。空间向量的基本定理是线性代数中一个重要的定理，它描述了空间向量之间的关系和运算规律。本文将介绍空间向量的定义、性质以及基本定理的证明过程。
2. 空间向量的定义
在三维空间中，我们可以用一个由三个实数构成的有序三元组表示一个向量。设有两个向量a和b，它们分别表示为： a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) 这里a1, a2, a3, b1, b2, b3是实数。
3. 向量的加法和数乘
对于两个向量a和b，可以定义它们之间的加法和数乘运算： - 加法：两个向量相加得到一个新的向量，其每个分量等于对应分量相加。 - 数乘：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量，其每个分量等于原来向量对应分量与实数相乘。
4. 空间向量的性质
空间向量具有以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c =
a + (b + c) - 零向量：存在一个特殊的向量，称为零向量，记作0，满足任何向量与零向量相加等于自身。 - 加法逆元：对于任意向量a，存在一个特殊的向量，称为其加法逆元，记作-a，满足a + (-a) = 0 - 数乘结合律：(k1k2)a = k1(k2a)
- 数乘分配律1：(k1+k2)a = k1a + k2a - 数乘分配律2：k(a+b) = ka + kb
5. 空间向量的基本定理
空间向量的基本定理描述了两个关于空间向量的重要结果： ### 定理一 对于任意两个空间向量, a, b, 满足下列条件： - 向量, a, 和, b, 不共线； - 向量, a,
和, b, 不平行； 那么这两个非零空间向量之和不为零。
证明如下： 假设, a, 和, b, 不共线且不平行，即它们不在同一直线上，也不平行于同一直线。那么可以找到一个平面，这个平面同时包含向量, a, 和向量, b。在这个平面上，我们可以找到一个向量, c，它与向量, a和向量, b都垂直。由于向量的加法满足交换律和结合律，我们可以将这两个非零向量按照任意顺序相加：
1.2 空间向量的基本定理
1．空间向量基本定理
(1)如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．
(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．
【题型精讲】
考点一 基底的判断
【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCDABCD中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）
A．ABACAD，， B．11ABAAAB，，
C．11111 DADCDD，， D．111ACACCC，，
【答案】C
【解析】:ABACAD，，共面，排除A11ABAAAB，，共面，排除B111ACACCC，，共面，排除D11111 DADCDD，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C
【玩转跟踪】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底 B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{}abc，，中基向量与基底{}efg，，基向量对应相等
【答案】C
【解析】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A错.
B项，空间基底有无数个, 所以B错.D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C.
2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,abc不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．{,,}abbaa B．{,,}abbab
C．{,,}abbac D．{,,}abcabc
12本溪县高中高二（理） 数学学案 第12周 课题：3.1.2空间向量的基本定理 设计人：李芳兴 审核人：刘红梅 定稿时间：2012-11-16
第 1 页 共 2 页 格言：成功的先决条件，是不变的信心，坚强的意志 3.1.2 空间向量的基本定理
学习目标：
1．理解共线向量定理和共面向量定理及空间向量分解定理；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式
学习重点：共线、共面定理、分解定理
学习难点：共线、共面定理、分解定理及其应用。
学习方法：自主探究、小组合作、展示交流、质疑释疑
三.教学过程
学习任务一：复习回顾
复习：空间向量的概念及表示
学习任务二：课前检测（5～10分钟）
学习任务三：新知探究
（一）共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：//ab．
（二）共线向量定理：
对空间任意两个向量,(0),//abbab的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．
推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，
其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或(1)OPtOAtOB②
当12t时，点P是线段AB的中点，此时1()2OPOAOB③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式． （三）向量与平面平行：
已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．
