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直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1. 斜率的定义斜率是平面直角坐标系中一条直线倾斜程度的度量。
斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度以及方向。
在数学中，斜率通常用m表示，它表示一条直线在水平方向的单位偏移所对应的垂直方向的单位偏移的比值。
也可以理解为直线上两点之间的垂直高度差与水平距离的比率。
假设一条直线上有两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，那么这条直线的斜率就可以表示为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 直线的倾斜角度直线的倾斜角度也叫直线的斜率角，可以帮助我们更直观地理解一条直线的倾斜程度和方向。
与斜率相比，倾斜角度更易于理解和使用，尤其是在实际测量和应用中。
直线的倾斜角通常用θ表示，计算公式如下：tan(θ) = m其中tan(θ)表示正切函数，它可以是斜率m的反函数。
因此，直线的倾斜角通常可以表示为：θ = atan(m)而atan表示反正切函数，它可以将斜率转化为对应的弧度角，从而帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜程度。
3. 应用举例下面通过一个具体的应用举例来理解斜率和倾斜角度的概念。
假设我们需要计算一条直线的倾斜角度和斜率，该直线穿过两个点P(3, 4)和Q(5, 8)。
首先，我们需要计算该直线的斜率：m = (8 - 4) / (5 - 3) = 2然后，我们可以将该斜率转化为对应的倾斜角度：θ = atan(2) = 1.107 rad也就是说，该直线的倾斜角度是1.107弧度，约等于63.43度。
这意味着，在平面坐标系上，该直线与水平方向的夹角为63.43度。
可以看出，倾斜角度可以帮助我们更直观地理解直线的倾斜程度和方向，从而更方便地进行测量和计算。
4. 总结斜率和倾斜角度是描述一条直线倾斜程度和方向的重要概念。
它们可以帮助我们更直观地理解一条直线的特性，并且在测量和计算中有广泛的应用。
需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择使用斜率或倾斜角度，以获得更准确的结果。
直线的斜率与倾斜角1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l 上，且x1≠x2，则l 的斜率k ＝y2－y1x2－x1.3．两条直线的位置关系①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 【题型精讲】考点一 倾斜角【例1】（1）（2020·四川高一期末）直线l x+y ﹣3＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．90° （2）（2020·全国高二课时练习）l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180° D ．0°<α<180° 【玩转跟踪】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）直线310x -=的倾斜角α为（ ）． A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．（2020·广东高一期末）直线y 2-的倾斜角是（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π 考点二 斜率【例2】（2020·全国高二课时练习）过点(A )与点(B )的直线的倾斜角为（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．60︒2 / 4【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（） A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 2．（2020·湖南天心.长郡中学高一月考）直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 3．（2020·浙江下城.杭州高级中学高二期中）若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（ ）A ．0k <<B ．k >C ．0k >或k <D ．0k >或k <考点三 倾斜角与斜率综合运用【例3】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知点(2,1),(3,)A B m -，若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围.tan θ.2．（2020·全国高二课时练习）已知直线l 过点()1,1M m m +-，()2,1N m .（1）当m 为何值时，直线l 的斜率是1？ （2）当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90︒？3．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______．考点四 直线平行【例4】（2020·四川达州.高三其他（文））直线12:0l ax y a ++=与直线20:2l x ay a +-=互相平行，则实数a =（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．2【玩转跟踪】 1．（2020·黑龙江高一期末）若直线2x+（a+2）y+4＝0与直线（a ﹣1）x+2y+2＝0平行，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．2C ．2或﹣3D ．23-2．（2020·江苏淮安。
《倾斜角与斜率》xx年xx月xx日contents •倾斜角概述•斜率及其计算方法•倾斜角与斜率的关系•倾斜角和斜率的应用•倾斜角和斜率的特殊情况•倾斜角和斜率的实际应用案例目录01倾斜角概述定义倾斜角是指直线与x轴之间的夹角，通常用α表示。
性质倾斜角是一个锐角或钝角，其取值范围在0°到180°之间。
定义与性质方向倾斜角的方向与直线的斜率密切相关。
变化当直线向上倾斜时，倾斜角为锐角，斜率为正；当直线向下倾斜时，倾斜角为钝角，斜率为负。
倾斜角与直线方向根据上述性质，倾斜角的取值范围在0°到180°之间。
范围当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，斜率不存在；当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，斜率为0。
特殊情况倾斜角的取值范围02斜率及其计算方法斜率是直线与x轴夹角的正切值，表示直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率通常用小写字母m表示，也可以用其他字母表示。
斜率的定义斜率的计算方法公式为：m = tan(α)，其中α为直线的倾斜角。
当α为锐角时，m为正数；当α为直角时，m为无穷大；当α为钝角时，m为负数。
利用直线的倾斜角和正切函数计算斜率。
1斜率的取值范围23斜率的取值范围是实数集，可以取任意实数。
斜率的取值与直线的倾斜角有关，而倾斜角可以取0到180度之间的任意值。
当斜率为0时，表示直线与x轴平行；当斜率无穷大时，表示直线与x轴垂直。
03倾斜角与斜率的关系直线斜率计算公式$k = \tan(\alpha)$，其中$\alpha$为直线的倾斜角，$k$为直线的斜率。
说明直线的斜率与倾斜角成正比，即倾斜角越大，斜率越大；倾斜角越小，斜率越小。
直线斜率的计算公式01直线斜率变化不同倾斜角下的直线斜率变化021. 当倾斜角$\alpha$从$0^{\circ}$增大到$90^{\circ}$时，斜率$k$从0逐渐增大到正无穷大。
032. 当倾斜角$\alpha$从$90^{\circ}$减小到$180^{\circ}$时，斜率$k$从正无穷大逐渐减小到0。
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率都是用来表示直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”这个侧面来刻 画直线倾斜程度的，是一个几何量；而斜率则是从“数”这个侧面来表示直线倾斜程度的， 是一个数量.它们之间既有联系又有区别.【倾斜角】当直线l 与x 轴相交时，x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角. 规定.当直线l 与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围：α∈[0，π).【斜率】当直线l 的倾斜角α≠π2时，α的正切值叫做直线l 的斜率.记作k=tanα.特别地，当α=π2时，直线的斜率不存在.注意：任何直线都有一个确定的倾斜角α，且α∈[0，π)；但是并非任何直线都有斜率，如当α=π2时，其斜率就不存在.【斜率与倾斜角间的函数关系】k=tan α，α∈[0，π)且α≠π2.其对应的函数图像如图3.1—1所示.在处理已知斜率求倾斜角或已知倾斜角的关系寻求斜率的相应关系 时，要充分地利用图3.1—1来“看图说话”.k >0⇔α为锐角；k <0⇔α为钝角.【斜率的两种求法】1.当已知倾斜角α且α≠π2时，利用k=tanα求之.2.当已知两点的坐标A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，利用 k =y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求之.例1.(1)已知直线的倾斜角为α，且sinα= 45，则此直线的斜率为( ).A.43. B.− 43. C.± 43. D ± 34.(2)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是_ . 解:(1) ∵ 直线的倾斜角α∈[0，π)且sinα=45，∴ cos α=±35，∴ k=tanα=± 43. 应选C.(2)由已知有k PQ =a−12+a ，∵ 直线PQ 的倾斜角为钝角，∴ k PQ <0，解得a ∈(－2，1).例2.(1)若直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R)，求直线l 的倾斜角α的取值范围. (2)若直线l 的倾斜角α∈[π6，2π3)，求直线l 斜率的取值范围.解:(1)∵ 直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R), ∴ 直线l 斜率k≤1，结合图3.1—1知， 直线l 的倾斜角α的取值范围为α∈[0,π4]∪(π2,π).O xy。
必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1． 直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是 ，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。
直线的倾斜角和斜率一、直线的倾斜角设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的倾斜角θ可由以下公式计算：θ = arctan((y2 - y1)/(x2 - x1))其中arctan为反正切函数，可以通过计算器或数学软件来求解。
二、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率k可由以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)直线的斜率可以表示为一个有理数或无理数。
当斜率为一个有理数时，可以表示为一个分数。
当斜率为无理数时，可以通过计算器或数学软件来求解其近似值。
在计算斜率时，需要注意以下几点：1.当直线为垂直于x轴的直线时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为90°。
2.当直线为水平于x轴的直线时，斜率为0。
此时直线的倾斜角为0°。
3.当直线为x轴时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为180°。
三、求直线方程知道直线的倾斜角和斜率后，我们可以求直线的方程。
1.已知倾斜角θ，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算斜率k：k = tan(θ)2.已知斜率k，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算倾斜角θ：θ = arctan(k)3.已知斜率k和直线上一点P(x1,y1)，直线的方程可以通过以下公式获得：y-y1=k(x-x1)或者y=k(x-x1)+y1其中y1和x1为直线上已知的一点的坐标。
需要注意的是，当直线为垂直于x轴的直线时，直线的方程可以表示为x=c的形式，其中c为一个常数。
四、例题分析1.已知直线过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线的倾斜角和斜率。
根据公式，直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan((4-2)/(3-1)) = arctan(2/2) = arctan(1) ≈ 45°直线的斜率可以通过以下公式计算：k=(4-2)/(3-1)=2/2=1所以，直线的倾斜角为45°，斜率为12.已知直线的倾斜角为60°，过点P(2,3)，求直线的斜率和方程。
