七年级上册数学笔记

七年级上册数学笔记七年级上册数学笔记第一单元：有理数1.正数是大于零的数，负数是小于零的数，而不是整数和负数。

同时，既不是正数也不是负数的数称为零。

2.当问题中出现相反意义的量时，我们可以用正数和负数分别表示它们。

3.零是正数和负数的分界线。

℃表示一个确定的温度，而海拔m表示海平面的平均高度。

因此，它们的含义已不仅是表示“没有”。

4.正整数、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

整数和分数统称为有理数。

有理数可以分为三类：正数、零、负数；或者分为两类：正数和非正数（包括零和负数）。

5.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：(1) 在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；(2) 通常规定直线上从原点向右（或上），从原点向左（或下）为负方向；(3) 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3……；从原点向左，用类似方法依次表示-1、-2、-3……6.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

7.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a。

我们说这两点关于原点对称。

8.一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

距离只能是正数，绝对不会是负数。

因此，绝对值是正数或零。

某数与零的距离就是它的绝对值。

由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

9.数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

10.一般地：正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

对于两个负数，绝对值大的反而小。

11.有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

七年级上册数学笔记第一单元一、有理数。

1. 有理数的定义。

- 有理数就像一群规规矩矩的数。

整数和分数统称为有理数。

整数呢，就像我们平常数的那些数，像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3等等，它们可正可负还可以是0。

分数呢，就是那种表示一个数是另一个数的几分之几的数，比如(1)/(2)、-(3)/(4)之类的。

2. 有理数的分类。

- 有理数可以分成两类，按定义分的话，就是整数和分数。

整数又能分成正整数、0和负整数；分数也能分成正分数和负分数。

- 要是按照正负性来分呢，有理数可以分成正有理数、0和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

这就像把一群小动物按照不同的特点分类一样，可好玩啦。

二、数轴。

1. 数轴的定义。

- 数轴就像一条有魔法的直线。

它有三个重要的元素：原点、正方向和单位长度。

原点就是0所在的位置，就像数轴这个小世界的中心。

正方向呢，一般规定向右是正方向，就像我们走路时的前进方向。

单位长度就是用来衡量数轴上的点之间距离的标准，就像我们用尺子量东西一样。

2. 数轴上的点与有理数的关系。

- 每一个有理数都能在数轴上找到一个对应的点。

比如说，3这个正整数就在原点右边3个单位长度的地方， -2这个负整数就在原点左边2个单位长度的地方。

分数也一样，(1)/(2)就在原点右边(1)/(2)个单位长度的地方。

反过来，数轴上的每一个点也都表示一个有理数，它们就像一对对好伙伴，谁也离不开谁。

三、相反数。

1. 相反数的定义。

- 相反数就像一对双胞胎，但是性格相反。

两个数只有符号不同，像3和 -3，(2)/(3)和-(2)/(3)，它们就是互为相反数。

0的相反数就是0自己，它比较特殊，就像一个独来独往的大侠。

2. 相反数的性质。

- 在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，并且到原点的距离相等。

比如说3和 -3，它们到原点的距离都是3个单位长度。

而且互为相反数的两个数相加等于0，就像3+( -3)=0一样，这是它们之间的小秘密哦。

人教版七年级上册数学必背知识点归纳总结
第一章有理数
1.有理数的分类：正有理数、0、负有理数
2.有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方
3.绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
4.有理数的大小比较：大于号、小于号、等于号
5.有理数的运算律：交换律、结合律、分配律
第二章代数式
1.代数式的定义：用字母表示数的式子
2.代数式的值：把字母代入式子中所得的结果
3.代数式的分类：整式、分式、根式
4.代数式的化简：同类项合并、加减法运算、幂的乘方、去括号、括号内运算
5.代数式的计算：加减法、乘除法、幂的运算
第三章图形与几何初步
1.角的概念：锐角、直角、钝角、平角、周角
2.角的度量：度量单位、度量工具、度量方法
3.角的分类：按角度大小分类、按方向分类
4.直线的性质：两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线
5.线段的性质：两点之间线段最短、线段长度不改变方向。

提分数学七年级上知识清单第一章 有理数一．正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数： 比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。

3.0表示的意义⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

二．有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2. (1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①按正、负分类: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②按有理数的意义来分:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.三．数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

初一数学（上）应知应会的知识点第一部分 有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, b ab a=.5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10．有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11．有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16．近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17．有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18．混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19．特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明第二部分 代数初步知识1.代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 .第三部分 整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

初一上册重点笔记数学1. 数的运算加法是数学中最基本也是最常用的运算之一。

在加法中，我们需要将两个或多个数相加，得到它们的和。

例如：2 + 3 = 5加法满足交换律和结合律。

减法是加法的逆运算，用于计算两个数的差值。

减法中，我们需要从第一个数中减去第二个数。

例如：5 - 3 = 2减法不满足交换律，但满足结合律。

乘法是指将两个或多个数相乘，得到它们的积。

在乘法中，被乘数与乘数的顺序不同，积也会不同。

例如：2 × 3 = 6乘法满足交换律和结合律。

除法是乘法的逆运算，用于计算两个数的商。

除法中，我们需要将被除数除以除数，得到商和余数（如果有）。

例如：6 ÷ 3 = 2（没有余数）除法不满足交换律，但满足结合律。

2. 分数与小数分数是具有分子和分母的数，表示整体被均分成了若干等分，其中分子表示被均分的部分，分母表示整体被分成的等分数。

例如：1/2、3/4、5/8分数可以进行加减乘除运算。

小数是用小数点表示的数，可以有有限小数和无限循环小数两种形式。

例如：0.5、0.75、1.333...小数可以转化为分数进行运算。

3. 平面几何3.1 点、线、面平面几何研究的基本对象包括点、线和面。

点没有长度、宽度和高度，线只有长度没有宽度和高度，面具有长度和宽度没有高度。

3.2 图形的性质平面几何中的图形具有不同的性质，如正方形的四边相等且内角为90°，三角形的内角和为180°等。

4. 代数方程4.1 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

例如：2x + 3 = 74.2 一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。

例如：x^2 + 3x + 2 = 0以上是《初一上册重点笔记数学》的相关内容，希望能对同学们的学习有所帮助。

数学是一门重要的学科，它在解决实际问题和培养逻辑思维能力方面都起着重要的作用。

通过学习数的运算、分数与小数、平面几何和代数方程等知识，我们可以更好地理解和应用数学。

第一章丰富的图形世界
1、常见的立体图形有：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱。

2、立体图形的分类：
（1）按形状分：柱体锥体球体
（2）按面分：平面曲面
3、棱柱的特点：面数= 顶点= 棱数=
4、（1）棱柱的展开图中，侧面是上下底是
（2）正方体的展开图有种，分三类：、、
（3）正方体的展开图中，相对的面是
5、从几何体推测截面：（考虑三种不同方向的截法）
6、从截面推测几何体：（每种图形都要考虑六种几何体）
7、认识三视图：（1）从前面看或正面看，是主视图（2）从左面看，
是左视图（3）从上面看，是俯视图
8、画三视图的方法：先画列数，再画每列的个数
考试：（1）根据实物画出三视图
（2）根据俯视图画出主视图和左视图。

七年级上册数学近似数笔记
以下是七年级上册数学近似数的笔记：
1. 近似数：在实际计算中，我们有时需要用一个接近于准确值的数来代替它，这个数就被称为近似数。

2. 近似数的表示：通常我们使用小数来表示近似数。

常见的近似数有两种表示方式：
- 截断法：保留小数点后的一位、两位或更多位数字，并舍去后面的数字。

例如，3.14159可以近似为3.14或3.141。

- 四舍五入法：根据小数点后的下一位数字来判断舍入的规则。

如果下一位数字小于5，则舍去；如果大于等于5，则进位并增加前一位数字。

例如，3.146可以近似为3.15。

3. 近似数的运算：
- 加减法：将近似数对齐小数点后的位数，然后按照准确数的规则进行计算，并保留相同的小数位数。

- 乘法：去掉近似数中多余的位数，然后按照准确数的规则进行计算，并保留适当的小数位数。

- 除法：将被除数和除数都换算成近似数，然后按照准确数的规则进行计算，并保留适当的小数位数。

4. 近似数的比较：当比较两个近似数大小时，可以按照它们的准确数来进行比较。

也可以将它们换算成相同的小数位数，然后进行比较。

5. 近似数的应用：近似数在日常生活和实际计算中有很多应用，比如商业交易、测量和估算等。

在使用近似数进行计算时，要注意选择合适的近似数精度，并进行适当的舍入处理。

这些是关于七年级上册数学近似数的基本笔记。

请注意，在学习和应用近似数时，要根据具体的计算要求和准确度需求选择适当的方法和精度。

七年级上册数学第一单元课堂笔记一、有理数。

1. 有理数的定义。

- 整数和分数统称为有理数。

- 整数包括正整数、0、负整数，例如：1，0， - 5等。

- 分数包括有限小数和无限循环小数，例如：0.5=(1)/(2)，0.3̇=(1)/(3)。

2. 有理数的分类。

- 按定义分类：- 有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质分类：- 有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数二、数轴。

1. 数轴的定义。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。

2. 数轴上的点与有理数的关系。

- 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

- 数轴上的点表示的数不一定都是有理数，比如√(2)就不是有理数，但可以在数轴上表示出来（通过构造直角三角形等方法）。

- 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

三、相反数。

1. 相反数的定义。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

- 特别地，0的相反数是0。

- 例如，2和 - 2互为相反数，(1)/(3)和-(1)/(3)互为相反数。

2. 相反数的性质。

- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。

- 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

四、绝对值。

1. 绝对值的定义。

- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

- 例如，|3| = 3，| - 3| = 3，|0| = 0。

2. 绝对值的性质。

- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

- 即当a>0时，| a| = a；当a = 0时，| a| = 0；当a<0时，| a|=-a。

- 绝对值具有非负性，即| a|≥slant0。

初一上册数学笔记一、数的认识与运算正数与负数：正数是大于0的数，负数是小于0的数。

0既不是正数也不是负数。

数的绝对值：一个数的绝对值是该数与0的距离。

例如，|5| = 5，|-5| = 5。

有理数：可以表示为两个整数之比的数。

如：1/2, -3/4等。

加减法规则：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘除法规则：正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数，正数乘以负数得负数。

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

二、代数式与方程代数式：由数、字母和运算符号组成的数学表达式。

如：2x + 3, x^2 - 4等。

合并同类项：把含有相同字母且相同字母的指数也相同的项合并在一起。

去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。

例如：2x + 3 = 7。

解方程：通过等式性质或移项法则，使方程变为x = a的形式，从而求出x的值。

三、图形与几何初步线段、射线与直线：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。

角的度量：角的大小用度数来表示，直角为90度。

平行与垂直：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

三角形的性质：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形。

三角形的内角和为180度。

四、数据的收集与整理数据的收集：通过调查、实验等方式获取数据。

数据的整理：将数据按照一定的顺序或类别进行排列或分组。

统计图表：用图形来表示数据，如条形图、折线图、扇形图等。

平均数、中位数与众数：描述数据集中趋势的三个主要指标。

平均数：所有数据的和除以数据的个数。

中位数：将数据从小到大排列后，位于中间位置的数。

七年级上册数学笔记归纳总结数学，被誉为“科学之母”，是我们学习生涯中不可或缺的一门学科。

对于七年级的学生来说，数学的内容逐渐从基础运算向更复杂的领域拓展。

以下是对七年级上册数学的笔记归纳总结：一、整数及其运算整数是我们生活中最为常见的数字。

在七年级上册，我们更深入地学习了整数的分类：正整数、零和负整数。

同时，掌握了整数的加减法，了解了整数乘除法的规则。

其中，需要注意的是，减去一个数等于加上这个数的相反数；两个整数相乘时，同号得正，异号得负。

二、代数初步代数是数学中的一个重要分支。

在七年级上册，我们开始接触代数，学习了如何用字母表示数，以及合并同类项的方法。

这为我们后续学习方程打下了坚实的基础。

三、一元一次方程一元一次方程是初中数学的核心内容之一。

我们学习了如何解一元一次方程，以及如何利用方程解决实际问题。

解一元一次方程的关键是掌握等式的性质，通过移项、合并同类项等操作，将方程转化为简单的形式。

四、几何初步几何是研究空间形状、大小、性质的数学分支。

在七年级上册，我们开始接触几何，学习了线段、射线、直线的概念和性质，以及角的概念和度量。

这些知识为我们后续学习复杂的几何知识打下了基础。

五、数据与图表在现代社会，数据处理变得越来越重要。

在七年级上册，我们学习了如何收集、整理、描述数据，以及如何读懂各种统计图表。

这不仅锻炼了我们的数学能力，还培养了我们的数据分析思维。

回顾这半年的学习历程，我们不难发现数学的知识点是环环相扣，层层递进的。

每一个知识点都为后续的学习打下坚实的基础。

为了更好地掌握这些知识，我们需要不断地练习，做到熟能生巧。

而且，数学并非仅仅是一门学科，更是一种思维方式。

通过学习数学，我们可以锻炼自己的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。

因此，我们应该珍惜每一次学习的机会，努力提高自己的数学水平。

在未来的学习生涯中，我们还会遇到更多的数学知识和挑战。

但只要我们保持对数学的热爱和探索精神，相信我们一定能够克服一切困难，掌握数学的奥秘。

3．1．1 立体图形与平面图形Ⅰ学法导引1．学习本节内容时，要以观察和动手操作为主，(1)观察身边物体，如衣柜、楼房、苹果等，想一想，它们可以抽象出什么样的立体图形．(2)将一个墨水瓶盒或牙膏的包装盒拆开，观察得到的平面图形，从中体会立体展开图的特征．2．学习过程中，通过同学之间的合作交流正确理解正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球体等几何体，以及三角形、长方形等多边形．Ⅱ思维整合解析重点本节重点是立体图形与平面图形的联系．长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形，此外，棱柱、棱锥也是常见的立体图形，而这些图形又是由长方形、正方形、三角形、圆等我们十分熟悉的平面图形组合而成；对于这些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理．【例1】如图3－1－3所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米．回答下列问题：(1)这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？(2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？(3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？解(1)这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同．(2)这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长5厘米．(3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8＝40(厘米)，宽是6厘米，因而面积是40×6＝240(平方厘米)．点拨棱柱的上、下底面是相同的图形，都是多边形，侧面都是长方形．【例2】如图3－1－4所示，沿图中虚线把圆柱的侧面展开，会得到什么图形？若圆柱的底面半径为4厘米，圆柱的高为5厘米．求侧面展开图的面积．解析圆柱的侧面展开图是一个长方形，其长为圆柱底面的圆周长，宽为圆柱的高．解圆柱的侧面展开图是一个长方形，其面积为：S＝2πr·h＝2π×4×5＝40π(平方厘米)．点击易错点以上重点、难点同时也是本节的易错点．【例3】下面图中的图形哪些是柱体？错解A、B、C、D都是柱体．错解分析错误地认为C、D也是柱体，C图形，因为上下底面不平行，所以不是柱体．D图形，上下底面面积不相等，所以也不是柱体．解A和B是柱体．3．1．2 点、线、面、体Ⅰ学法导引1．学习本节知识时，要注意同学间的合作、交流、讨论，通过实际操作，仔细观察，发挥想像，领会点、线、面、体之间的联系． 2．通过合作、交流、实际操作，正确理解：①点动成线，线动成面，面动成体；②组成体的面可以是平的，也可以是曲的；面面交成的线可以是直的，也可以是曲的，线线交成点．Ⅱ思维整合解析重点本节重点是点、线、面、体之间的关系．假如把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，即点动成线；当时钟的分针、秒针旋转时，形成一个圆面，可以说线动成面；将长方形铁皮绕它的一边旋转，形成一个圆柱体，这时可以说面动成体．【例1】(1)正方体是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平的吗？(2)圆柱的侧面和底面相交成几条线？它们是直的还是曲的？(3)正方体有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？解(1)正方体由6个面围成，它们都是平的；圆柱由三个面围成，其中有两个平的，一个曲的．(2)圆柱的侧面和两底面各交成一条线，它们都是曲的．(3)正方体有8个顶点，经过每个顶点有3条棱．剖析难点判断简单图形运动后形成的图形．判断简单图形运动后形成的图形时，要从运动方式和图形位置全面理解，不可以偏概全．【例2】将三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图3－1－29所示的几何体的是图3－1－30中( )解析A图得圆锥，C图得圆锥，D图得到的几何体是圆柱里挖掉一个圆锥．B图得如图3－1－29所示几何体．解 B点拨本题考查了面与体之间的关系：面动成体．3．2 直线、射线、线段Ⅰ学法导引1．学习直线的特征时，要注意结合身边的实例，先感知直线，再从理性上总结、归纳；学习射线、线段的特征时，要与直线进行类比，运用表格来理解记忆其本质，指导我们学习．学习射线、线段的概念时，应借助实际事物来理解、记忆．2．学习直线的两种表示方法时，要运用比较法，注意结合几何图形和几何语言，一定要建立起图形和语言的对应关系．射线、线段的表示方法可与直线进行类比．3．学习直线和线段的性质时，应结合身边的实例和生活常识．并灵活运用直线、线段的性质来处理．4．线段的比较与比身高相类比，总结其比较方法，来学习比较线段大小的两种方法．5．线段的等分点，特别是线段的中点是线段的重要概念，掌握其概念是解决问题的关键．6．学习这一节，要把知识与实例有机地结合在一起，数学来源于生活，也能服务于生活．Ⅱ思维整合解析重点本节重点是直线、射线、线段、线段中点的概念、性质及表示方法，两点间的距离．(1)直线、射线、线段、线段中点的概念直线有三个属性：①没有长度；②没有粗细；③它是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸，直线没有端点，就不能比较长短；可以向两个方向无限延伸．如一根拉紧的细线，只是直线的一部分．射线：直线上的一点和它一旁的部分叫射线．这点叫射线的端点．射线有两个属性：①没有长度；②只有一个端点，向一个方向无限延伸．线段：直线上的两点和两点间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的两个端点．线段有两个属性：①有长度；②有两个端点．线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．线段的中点在线段上，有且只有一个．(2)直线、射线、线段的性质过一点有无数条直线，经过两点有且只有一条直线．(也可说成两点确定一条直线)．两点之间，线段最短．(3)直线、射线、线段的表示方法射线的表示方法：①可以用端点和射线上的另一点来表示，且把表示端点的字母写在前面，另一个字母写在后面，字母的顺序与射线延伸的方向一致．②也可以用一个小写字母来表示．线段的表示方法也有两种：①用两个端点字母表示，这两个字母无顺序．②也可以用一个小写字母来表示．两点间的距离：是指连接两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离．距离是长度，是一个非负数，线段是几何图形，故两点之间的距离不是指连接两点之间的线段．【例1】已知平面内的四个点A、B、C、D，过其中两个点画直线可以画出几条？解析因为条件中没有说四个点是否在同一直线上，所以应分情况讨论．解(1)当A、B、C、D四个点在同一条直线上时，只可以画出一条直线．(如图3－2－1(1))(2)当A、B、C、D四个点中有三个点在同一直线上时，可以画出4条直线(如图3－2－1(2))(3)当A、B、C、D四个点中任意三个点都不在同一直线上时，可以画出6条直线(如图3－2－1(3))点拨如图可看出，对于任意三点都不共线的四个点A、B、C、D，过其中任何一个点都有三条直线经过，4×3＝12；但是，因为直线AB与BA，AC与CA，AD与DA……分别是同一条直线，说明每条直线都重复一次，所以，这种方法可以推算出一个公式，即：如果平面上有n个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么，过两点画一直线，【例2】如图3－2－2已知线段AD＝6 cm，线段AC＝BD＝4 cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求EF．所以BC＝AD－AB－CD＝6 cm－2 cm－2 cm＝2 cm．EF＝EB＋BC＋CF＝1 cm＋2 cm＋1 cm＝4 cm．线段EF的长度是4 cm．点拨本题关键是将EF看作是EB、BC、CF三条线段之和，然后根据中点定义，问题便解决了．【例3】三个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一队都与其他所有的队各赛一场)，总的比赛场数应是多少？如果4个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时，总的比赛场数n的公式，且计算当m＝8时，n的值．解析题目要求进行单循环比赛，可把上题转化为过不在同一条直线上的三点、四点、…m个点中的任意两点，可连多少条直线的问题，把球队看作点，求比赛的场数就是求直线的条数．有三个点时，可连3条直线．有四个点时，可连6条直线．有五个点时，可连10条直线．…………注意上面这些点，是没有任意三点在一条直线上的点．解有三个球队时，共进行3场比赛．有四个球队时，共进行6场比赛．点拨本节的知识是几何的基础知识，中考常考查直线公理的应用，出现在填空题、选择题中．3．3 角的度量Ⅰ学法导引1．角是继线(直线、射线、线段)之后的另一个重要的几何概念，借助生活实际中对角的认识，如钟表上的时针、分针所组成的图形，来掌握角的两种概念，理解平角、周角的概念．2．回忆线的表示方法，掌握角的四种不同的表示方法，灵活运用不同的方法表示角．3．在区别平角与直线、周角与射线时，要抓住各自的概念、特征，进行辨析．4．在学习角的度量时，要学会量角器的使用方法，也就是要会用量角器度量一个角的度数，动手操作．5．角的度量单位是度、分、秒，它们是六十进制的，在学习时可借助时间单位来类比．Ⅱ思维整合解析重点本节的重点是角的定义和角的四种表示方法以及角的度数单位的换算．(1)角的定义：①有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．它揭示了角的本质属性，角必须有一个顶点和两条边．②一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形叫做角，旋转时，开始的位置叫做角的始边，旋转终止时的位置叫做角的终边，它揭示了角与运动的联系．理解角的概念，要抓住角的两个要素a．有一个公共端点，即角的顶点；b．有两条射线，即角的两条边，二者缺一不可．(2)角的度量单位的换算：角的度量单位是度、分、秒，把角平均分成360份，每一份就是1°的角，【例1】如图3－3－1中，写出符合下列条件的角．(1)能用一个大写字母表示的角；(2)以A为顶点的角；(3)图中所有的角．解析此题主要考查对角的四种表示方法的理解．特别是要注意：只有以某个点为顶点的角只有一个时，才能够用一个大写字母来表示．解(1)∠B，∠C；(2)∠1，∠2，∠BAC；(3)∠1，∠2，∠BAC，∠B，∠3，∠4，∠C ．点拨(1)写出图中所有的角，或较复杂的图形数角的个数时，一般采用以角的顶点来分类的方法．(2)今后所指的角，都是指小于平角的角．(3)角的识图，关键是找角的顶点和角的两边．【例2】计算下列各题(1)32°45′38″＋10°25′40″；(2)15°32′14″×5；(3)90°－36°12′15″；(4)53°÷6．解析在角度的加减运算时，先同级相加减，然后再对分、秒化简(满60进1)，在减法运算时，若同级的不够减，则借1作60．在角度的乘除运算时，可运用乘法法则及乘法分配律进行计算，角的除法应先从度开始，余数由度化为分再除，依此类推．把小数部分的度数用分、秒表示，先把小数部分的度化为分，再把小数部分的分化为秒．解(1)32°45′38″＋10°25′40″＝42°70′78″＝43°11′18″；(2)15°32′14″×5＝(15°＋32′＋14″)×5＝75°＋160′＋70″＝77°41′10″；(3)90°－36°12′15″＝89°59′60″－36°12′15″＝53°47′45″；(4)53°÷6＝8°＋300′÷6＝8°50′．点拨在角度的运算与换算中，把握单位的进率(借1作60，满60进1)是关键．剖析难点本节的难点是平角与直线，周角与射线的区别以及角的度、分、秒的换算．(1)平角与直线：当一条射线OA绕它的端点O旋转到终止位置OB 与OA成一直线时，所成的角叫做平角．度数是180°，特征是平角的两边成一条直线．仍然有角的两个要素：角的顶点、角的两边，而且可以与其他的角比较大小，而直线没有端点，不能度量，故平角不是直线．(2)周角与射线：当角的终边旋转到与角的始边重合时，所成的角叫做周角，度数为360°，可以与其他的角比较大小，仍然具有角的两个要素，而射线虽然有端点，但它不能度量．故周角不是射线．周角的特征是角的两边重合成一条射线．【例3】(1)把3.62°化为度、分、秒； (2)把50°23′45″化成度．解析本例题考查了度、分、秒之间的转化．从大的单位转化为小的单位用乘法，反之用除法．解(1)1°＝60′，∴0.62°＝60′×0.62＝37.2′．∵1′＝60″，∴0.2′＝60″×0.2＝12″．∴ 3.62°＝3°37′12″．点击易错点(1)角的四种表示方法适用范围理解不全面，一律用一个大写字母表示．(2)平角、周角的概念未理解，误认为平角是直线、周角是射线．(3)角的单位的换算，角度的计算容易出错，误认为1°＝10′．【例4】如图3－3－4，是幼儿园跷跷板的图形，其横板AD通过点O，它可以绕着点O上下转动，若∠OCA＝90°，∠CAO＝20°，且∠CAO＋∠AOC＝90°．则小朋友玩该跷跷板时，上下最多可转动________度角．解析把上题转化为几何问题，如图3－3－4所示，当跷跷板向上转动时，得到的直角三角形BEO与直角三角形ACO完全重合，故∠BOE ＝∠AOC＝90°－∠CAO＝70°．又因为∠BOE＋∠BOA＋∠AOC＝180°．故∠AOB＝180°－70°－70°＝40°．解40点拨题目中隐含了∠EOC＝180°的条件．3．4．1 角的比较Ⅰ学法导引1．学习角的大小比较时，与线段的长短比较相类比，另一方面让学生动手操作，在实践中学会角的大小比较的方法．2．角平分线是几何中一个重要概念，在今后的计算中占据着重要地位，关键是把握角平分线的概念．3．角的和、差、倍、分是解题的依据，列方程(组)是重要的解题方法．Ⅱ思维整合解析重点角的大小比较和角平分线的概念．(1)角的大小比较的两种方法：①度量法：用量角器量出角的度数，根据度数的大小，可判定角的大小，度数大的角大，度数小的角小，度数相等时，角也相等，依据是角的大小和它们的度数的大小一致．②叠合法：把两个角的顶点和一边重合，两个角的第二边落在重合边的同侧，若这两个边也重合，则这两个角相等；若第二边不重合，则这两个角不等，若角的第二边落在另一边的内部，则这个角比另一个角小；若角的第二边落在另一边的外部，则这个角比另一个角大．(2)角的平分线：一条以一个角的顶点为端点的射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．【例1】如图3－4－2，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE＝130°，求∠BOD的度数．解析要能识别几何图形，熟练运用角平分线的性质．要求∠BOD，先转化为∠COD和∠BOC．剖析难点本节难点是角的和、差、倍、分及其意义．(1)几何意义：把两个角的一边重合，另两边在该重合边的两侧，即为两角之和；若另两边在该重合边的同侧，即为两角之差．(2)代数意义：角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分．【例2】如图3－4－4中，(1)∠AOC是哪两个角的和？又可以表示成哪两个角的差？(2)如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC与∠BOD相等吗？若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOB与∠COD相等吗？(3)试用多种方法表示∠BOC．解析要得到角的和差，必须要注意两点：(1)两个角的顶点重合；(2)两个角的一边重合．在解题中，还要运用等式的性质．解(1)由图形知：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOC＝∠AOD－∠COD．(2)∵∠AOB＝∠COD，且∠BOC＝∠BOC，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC(等式的性质)，即∠AOC＝∠BOD．反过来：∵∠AOC＝∠BOD，且∠BOC＝∠BOC，∴∠AOC－∠BOC＝∠BOD－∠BOC(等式的性质)，即∠AOB＝∠COD．(3)有四种表示方法：∠BOC＝∠AOC－∠BOA＝∠BOD－∠COD＝∠AOC＋∠BOD－∠AOD＝∠AOD－∠AOB－∠COD．点拨题中用到等式的性质：在等式两边同时加上(减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．这是几何中常用的推理的根据之一．3．4．2 余角和补角Ⅰ学法导引1．学习余角、补角时，要注意它们是指两个角大小之间的关系，只与它们的和有关，而与其位置无关，同时也要学会列方程(组)的方法来解决几何问题．2．在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度表示出来．注意表示时要先写出南、北，再写偏东或偏西，偏多少度．Ⅱ思维整合解析重点本节的重点是互为补角、互为余角的概念及性质．(1) 概念：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，也就是说其中一个角是另一个角的补角，如图3－4－20中，∠α与∠β互为补角．如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，也就是说其中一个角是另一个角的余角，如果3－4－21中，∠1与∠2互为余角．注意：两个角互为补角、互为余角是指它们大小之间的关系，只与这两个角的和有关，与它们的位置无关．用法：∵∠α＋∠β＝180°，∴∠α与∠β互为补角，或∵∠α与∠β互补，∴∠α＋∠β＝180°．∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°或∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1与∠2互为余角．2．性质：同角(或等角)的余角相等．同角(或等角)的补角相等．用法：∵∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3．或∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，∴∠2＝∠4．【例1】一个角的补角加上10°，等于这个角的余角的3倍，求这个角．解析可设这个角为x，则其余角为(90°－x)，其补角为(180°－x)，也可设这个角的余角为y，则这个角的补角为(90°＋y )，两种设未知数的方法，根据题意，均可列出方程求解．解方法一：设这个角为x，则其余角为(90°－x)，其补角为(180°－x)，根据题意，得180°－x＋10°＝(90°－x)×3，解得x＝40°．方法二：设这个角的余角为y，则其补角为(90°＋y)，根据题意得：90°＋y＋10°＝3y，解得y＝50°，则这个角为90°－50°＝40°．点拨有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程(组)去解，所设未知数不同，所得到的方程也不同．设一个未知数，要列一个方程；设两个未知数，要列方程组来解，总之设几个未知数，常列几个方程．剖析难点本节难点是方向的表示方法．在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度表示出来．注意表示时要先写是北还是南，再写偏东或偏西，偏多少度．如图3－4－22，OA是表示北偏东30°的一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线；特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北方向，OD表示东南方向．【例2】在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的．如图3－4－23用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角．从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°．试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．解析先由实际问题转化成图中具体角的大小，再进行角之间的计算．解由题意得，∠NAB＝35°，∠NAC＝60°，∠NAD＝145°．∴∠BAC＝∠NAC－∠NAB＝60°－35°＝25°．∠CAD＝∠NAD－∠NAC＝145°－60°＝85°．∴AB与AC之间的夹角是25°，AD与AC之间的夹角是85°．图中虚线AE即为从A飞出且方向角为105°的飞行线．点拨先确定正南、正北方向，再找飞机飞行的方向角．。