最新北师大七年级下期末复习整式、变量关系、概率篇

北七下知识要点分章梳理第一章: 整式旳运算单项式整式多项式同底数幂旳乘法幂旳乘方积旳乘方幂运算同底数幂旳除法零指数幂负指数幂整式旳加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式旳乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式旳除法多项式除以单项式一、单项式1.都是数字与字母旳乘积旳代数式叫做单项式。

2.单项式旳数字因数叫做单项式旳系数。

3.单项式中所有字母旳指数和叫做单项式旳次数。

4.单独一种数或一种字母也是单项式。

5.只具有字母因式旳单项式旳系数是1或―1。

6、单独旳一种数字是单项式, 它旳系数是它自身。

7、单独旳一种非零常数旳次数是0。

8、单项式中只能具有乘法或乘方运算, 而不能具有加、减等其他运算。

9、单项式旳系数包括它前面旳符号。

10、单项式旳系数是带分数时, 应化成假分数。

11.单项式旳系数是1或―1时, 一般省略数字“1”。

12、单项式旳次数仅与字母有关, 与单项式旳系数无关。

整式旳运算二、多项式1.几种单项式旳和叫做多项式。

2.多项式中旳每一种单项式叫做多项式旳项。

3.多项式中不含字母旳项叫做常数项。

4.一种多项式有几项, 就叫做几项式。

5.多项式旳每一项都包括项前面旳符号。

6、多项式没有系数旳概念, 但有次数旳概念。

7、多项式中次数最高旳项旳次数, 叫做这个多项式旳次数。

三、整式1.单项式和多项式统称为整式。

2.单项式或多项式都是整式。

3.整式不一定是单项式。

4.整式不一定是多项式。

5.分母中具有字母旳代数式不是整式；而是此后将要学习旳分式。

四、整式旳加减1.整式加减旳理论根据是: 去括号法则, 合并同类项法则, 以及乘法分派律。

2.几种整式相加减, 关键是对旳地运用去括号法则, 然后精确合并同类项。

3.几种整式相加减旳一般环节:（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来, 再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4.代数式求值旳一般环节:（1）代数式化简。

北师大版数学七年级下册知识点总结一、整式的运算整式单项式与多项式统称整式。

由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（monomial）。

单独一个数或一个字母也是单项式。

例：0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1，分数和字母的积的形式也是单项式。

多项式（polynomial）是由有限个单项式的代数和组成的代数式。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

（注：单项式和多项式都属于整式。

若有减法，减一个数等于加上它的相反数。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并，简称合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分连同它的指数不变。

）整式加减同类项所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式。

整式乘法同底数幂的乘法：a m ⋅a n =a m+n ；幂的乘方：(a m ) n =a mn ；积的乘方：(ab) m =a m b m ；单项式乘以单项式：把系数和相同字母幂的指数作为积的因式，只把系数的相同字母幂的指数相乘，其余的字母连同指数不变，也作为积的因式。

这里主要说明：积的系数等于各因式系数的积（代数和的乘法分配律）；相同字母的指数作为积的因式的指数时，应以各因式中字母的指数为基础，通过加法求得，即“相加求值”；不要把以这个字母为底的数的系数与字母的指数相乘。

单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，在各项里，除了相同于那个单项式的项以外，其余各项（包括系数和字母及指数）都应该是积的形式。

多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

注意：（1）多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；（2）多项式相乘的结果应注意如有同类项就合并。

这里的关键是相乘的两组数的每组数都必须有相同的类型。

第一部分：整式的运算单项式式多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式 一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。

（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

北师大版七年级数学下册知识点汇总第一章：整式的乘除。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m· a^n=a^m + n（m，n 都是正整数）。

- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。

2. 幂的乘方与积的乘方。

- 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。

例如：(3^2)^3=3^2×3=3^6。

- 积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）。

例如：(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。

3. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m÷ a^n=a^m - n(a≠0,m,n 都是正整数，且m>n)。

例如：5^6÷5^3=5^6 - 3=5^3。

- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。

例如：3^0=1。

- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p是正整数)。

例如：2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。

4. 整式的乘法。

- 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：2x^2·3x^3=(2×3)(x^2·x^3) = 6x^5。

- 单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：a(b + c)=ab+ac。

- 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。

5. 平方差公式。

- 公式：(a + b)(a - b)=a^2-b^2。

- 例如：(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘　整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法： 整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a≠0）;2、负整数指数幂：1(0)ppa aa -=≠p 是正整数。

七、整式的乘除法： 1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

期末复习(三) 变量之间的关系01 知识结构本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预测．02 典例精讲【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是(C )d 50 80 100 150 b25405075A ．b ＝d 2B ．b ＝2dC ．b ＝d2D ．b ＝d ＋25【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系，可以看出d 是b 的2倍，即可得关系式．【方法归纳】 利用表格表示两个变量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以分析才能发现潜在的规律．从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因变量．【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系)；③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系)．A ．①②④③B ．③④②①C ．①④②③D ．③②④①【思路点拨】 观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键．【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．【例3】 如图所示，圆柱的高为10 cm ，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化．(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；(2)请你求出圆柱的体积V(cm 3)与圆柱的底面半径R(cm )之间的关系式； (3)R 的值能为负值吗？为什么？(4)当圆柱的底面半径从2 cm 变化到5 cm 时，圆柱的体积变化了多少？(最后结果保留π)【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积；在(2)中，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求出V 与R 之间的关系式；由于R 为圆柱的底面半径，所以(3)中R 不能为负值；在(4)中，分别求出R 1＝2 cm 和R 2＝5 cm 时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量． 【解答】 (2)因为圆柱的体积＝底面积×高，所以V ＝πR 2×10＝10πR 2.(3)因为R 为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R 不能为负值．(4)因为10πR 22－10πR 21＝10π·52－10π·22＝10π·(52－22)＝210π，所以圆柱体积增加了210π cm 3.【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系．然后根据等量关系列出关系式．值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变量的取值范围． 03 整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大，则下列说法正确的是(C )A ．8和s ，t 都是变量B ．8和t 都是变量C ．s 和t 都是变量D ．8和s 都是变量2．已知三角形ABC 的面积为2 cm 2，则它的底边a(cm )与底边上的高h(cm )之间的关系为(D ) A ．a ＝4h B ．h ＝4aC ．a ＝h 4D ．a ＝4h3．对关系式的描述，不正确的是(D )A ．x 看作自变量时，y 就是因变量B ．x ，y 之间的关系也可以用表格表示C ．x 在非负数范围内，y 的最大值为2D ．当y ＝0时，x 的值为－24．如图所示y ＝2－x 是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C )A ．这天15时气温最高B ．这天3时气温最低C ．这天最高气温与最低气温的差是13℃D ．这天有两个时刻气温是30℃5．2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是(C )6海拔高度/m … 0 100 200 300 400 … 平均气温/℃…2221.521a20…则表中a 的值为(B )A ．21.5B ．20.5C ．21D ．19.57．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x 表示注水时间，用y 表示浮子的高度，则用来表示变量y 与x 之间关系的选项是(B )8．(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是(A )A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟9．贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：输入 … 1 2 3 4 5 … 输出…1225310417526…那么，当输入数据8时，输出的数据是(C )A.861B.863C.865D.86710．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S 与t 的大致图象为(A )二、填空题(每小题4分，共20分)11．圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系式为C ＝2πr ，其中常量是2，π.12．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h ＝20－4t .13．如图是某个计算y 值的程序，若输入x 的值是32，则输出的y 值是12.14．(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米．15．下面由小木棒拼出的系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，请写出第n个图形中小木棒的根数S与n的关系式S＝3n＋1．三、解答题(共50分)16．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表：印刷数量x(张) …100 200 300 400 …收费y(元) …15 30 45 60 …(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大；(3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元？解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量．(3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元．所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y＝0.15x.当x＝1 000时，y＝0.15×1 000＝150(元)．故要印制1 000张宣传单，收费150元．17．(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．(1)上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？(2)A，B两点表示什么？(3)小蕊10岁时身高多少？17岁时呢？(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同．解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高．(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米．(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米．(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同；不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些．18．(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC＝8 cm，高AD＝6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A 运动时，△BEC的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式．解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量．(2)y与x的关系式为y＝4x.19．(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：(1)何时血液中含药量最高？是多少微克？ (2)A 点表示什么意义？(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？解：(1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克． (2)A 点表示血液中含药量为0. (3)有效期为5小时．20．(10分)如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD ，设与墙平行的篱笆AB 的长为x m ，菜园的面积为y m 2. (1)试写出y 与x 之间的关系式；(2)当AB 的长分别为10 m 和20 m 时，菜园的面积各是多少？解：(1)因为与墙平行的篱笆AB 的长为x m ， 所以长方形的另一边长为60－x2 m ，则长方形的面积为60－x 2·x m 2.所以y 与x 之间的关系式为： y ＝60－x 2·x＝－12x 2＋30x.(2)当x ＝10时，y ＝－12×102＋30×10＝250(m 2)；当x ＝20时，y ＝－12×202＋30×20＝400(m 2)．21．(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x(h )，两车之间的距离为y(km )，图中的折线表示y 与x 之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为900km ； (2)请解释图中点B 的实际意义； (3)求慢车和快车的速度．解：(2)图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇． (3)由图象可知，慢车12 h 行驶的路程为900 km ， 所以慢车的速度为90012＝75(km /h )．当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900 km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004＝225(km /h )，所以快车的速度为225－75＝150(km /h ).。

北师大版七年级数学下册知识点总结第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。

另外规定单独的一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是72- 单项式的次数是指所有字母的指数的和。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

（几次几项式）每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。

多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。

项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。

3、整式；单项式与多项式统称为整式。

（最明显的特征：分母中不含字母）4、排列多项式：①按某一个字母降幂排列：某一个字母的指数由大到小排列； ②按某一个字母升幂排列：某一个字母的指数由小到大排列。

二、整式的加减：①先去括号； （注意括号前有数字因数）②再合并同类项。

（系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

m n m n a a a +=•2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。

nm m n a a =)(3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。

n n n b a ab =)( 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。

10=a （0≠a ） 注意00没有意义。

5、负整数指数幂： p p a a 1=- （p 正整数，0≠a ）6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。

m n m n a a a -=÷注意：以上公式的正反两方面的应用。

常见的错误：632a a a =•，532)(a a =，33)(ab ab =，326a a a =÷，4222a a a =+四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。

五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。

七年级数学(下)重要知识点总结第一章:整式旳运算一、概念1、代数式：２、单项式:由数字与字母旳乘积旳代数式叫做单项式。

单项式不含加减运算,分母中不含字母。

3、多项式:几种单项式旳和叫做多项式。

多项式含加减运算。

4、整式：单项式和多项式统称为整式。

二、公式、法则:（1)同底数幂旳乘法：a m ﹒a n =a m+n（同底，幂乘,指加） 逆用： a ｍ+n =a ｍ﹒a n (指加，幂乘，同底）(２)同底数幂旳除法：a ｍ÷ａn ＝a ｍ－ｎ（a ≠0）。

（同底，幂除,指减）逆用：a m-n ＝ a m ÷a n （a ≠0）（指减,幂除,同底）(3）幂旳乘方:（ａm )n ＝a m ｎ(底数不变，指数相乘）逆用：ａmn =（a m )n(４)积旳乘方：(a ｂ）n =a ｎb n推广：逆用， a ｎｂn =(a ｂ)n （当ab ＝１或-1时常逆用） (5)零指数幂:a 0=1(注意考底数范围a ≠０)。

(６）负指数幂:11()(0)p p p a a a a -==≠(底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘:m(a+b+c ）=ma+mb ＋mc 。

(8)多项式与多项式相乘:(m+ｎ)(a+ｂ)=ma+mb+na+ｎb 。

（9)平方差公式:（a+b)（a-b ）=a 2－b ２ 公式特点:(有一项完全相似,另一项只有符号不一样,成果＝22()-相同）（不同 推广（项数变化）：连用变化:(10）完全平方公式： 222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形(知二求一）：222()2a b a b ab+=-+222()2a b a b ab +=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 完全平方和公式中间项=完全平方差公式中间项＝完全平方公式中间项=例如：229x +mxy+4y 是一种完全平方和公式,则m = ;是一种完全平方差公式,则m = ；是一种完全平方公式,则m = ; （1１)多项式除以单项式旳法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷(１２)常用变形:221((n n x y x y +--2n 2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)第二章 平行线与相交线一、余角与补角1、假如两个角旳和是直角,那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一种角是另一种角旳余角。

北师大版七年级下册数学各章知识点总结(完整详细版)本文介绍了数学中整式的运算，包括幂运算、单项式、多项式、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂、整式的加减、整式的乘法、整式的除法等知识点。

首先，单项式是只含有数字与字母的积的代数式，一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

多项式是几个单项式的和，其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称为整式。

整式的加减法的一般步骤是去括号，合并同类项。

幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法。

其中同底数幂的乘法是指相同底数的幂相乘，幂的乘方是指一个幂再乘以一个幂，积的乘方是指两个数的积的幂等于这两个数分别的幂的积，同底数幂的除法是指相同底数的幂相除。

整式的乘除法也是重要的知识点，单项式乘以单项式的法则是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

单项式乘以多项式的法则是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式的方法是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式除以单项式的方法是把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

多项式除以单项式的方法是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

最后，本文介绍了整式乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式是指一个二次多项式的两个相邻项之间的差可以表示为两个一次多项式的乘积，完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个一次多项式的平方差。

锐角三角形直角三角形钝角三角形7、全等三角形：若两个三角形的三个对应边分别相等，则这两个三角形全等，记作△ABC≌△DEF。

8、全等三角形的性质：1）对应角相等；2）对应边相等；3）对应角平分线相等；4）对应角的余角相等；5）对应边上的中线相等；6）对应边上的高线相等；7）对应边上的角平分线相等；8）对应边上的中线平行；9）对应边上的高线垂直；10）全等三角形的面积相等。

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳第一章：整式的运算 单项式： 。

整 式 多项式： 。

同底数幂的乘法：幂的乘方：积的乘方：幂的运算 同底数幂的除法： 零指数幂： 负指数幂： 整式的加减单项式与单项式相乘整式运算单项式与多项式相乘： 整式的乘法 多项式与多项式相乘：平方差公式： 完全平方公式：单项式除以单项式整式的除法 多项式除以单项式：完全平方公式的变形公式：（1）22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-（2）22()()4a b a b ab +=-+ （3）2214[()()]ab a b a b =+-- 第二章 平行线与相交线平行线： 。

对顶角的性质：垂线的性质：性质1：过一点有 。

性质2：连接直线外一点 。

平行线的性质：1、平行公里:过 性质2：平行于 平行。

整 式 的 运算余角：余角和补角 补角：邻补角：两线相交 对顶角：同位角三线八角 内错角同旁内角平行线的判定：平行线平行线的性质：尺规作图：第三章 变量之间的关系自变量变量的概念 因变量变量之间的关系 表格法关系式法变量的表达方法 图象法第四章 三角形三角形概念： 称为三角形。

三角形按内角的大小可分为三类：直角三角形的性质： ；直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h,则h= 。

任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

这个点叫三角形的 任意三角形都有三条中线，它们相交于三角形内一点。

这个点叫三角形的 任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

这个点叫三角形的平行线与相交线三角形都有三条高线：区 别相 同中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点 角平分线 平分内角三条角平分线交于三角形内部高 线 垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线交于直角三角形：三条高线交于钝角三角形：三条高线交于三角形三边关系：三角形 三角形内角和定理：角平分线三条重要线段 中线高线三角形 全等图形的概念： 全等三角形的性质：SSSSAS全等三角形 全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用 利用全等三角形测距离作三角形第五章 生活中的轴对称： 轴对称图形于轴对称： 轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

北师大版七年级下册数学期末复习知识点总结第一章 整式的乘除整式相关知识回顾一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

第一章 整式的乘除一、幂的运算性质：（1）同底数幂的乘法： a m ﹒a n =a m+n （同底，幂乘，指加）逆用： a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法： a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。

（同底，幂除，指减）逆用： a m-n = a m ÷a n （a ≠0） （指减，幂除，同底）（3）幂的乘方： （a m ）n =a mn （底数不变，指数相乘）逆用： a mn =（a m ）n（4）积的乘方： （ab ）n =a n b n 推广：逆用， a n b n =（ab ）n （当ab=1或-1时常逆用）（5）零指数幂： a 0=1 （注意考底数范围a ≠0）。

（6）负指数幂： 11()(0)p p p a a a a-==≠ (底倒，指反)二、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式： 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2024年北师大版七年级数学下册知识点总结第一章：方程与不等式1.方程的概念：包含未知数的等式称为方程。

方程的解是使得方程成立的数。

2.解方程：通过变量的运算和移项，求出方程的解。

3.解一元一次方程：如ax+b=0，解得x=-b/a。

4.方程的证明：通过逆向思维，将给定的解代入方程，验证等式是否成立。

5.不等式的概念：含有不等于号的等式称为不等式，如ax>b。

6.解不等式：通过移项，求出不等式的解的范围。

7.不等式的证明：将给定的解代入不等式，验证不等式是否成立。

第二章：数据的收集和整理1.数据的表示：通过表格、图表和线段、折线图等图示进行数据的表示，便于观察和分析。

2.数据的整理：对收集到的数据进行整理，包括分类、排序、求最大值、最小值、众数、中位数等。

3.统计的总体与样本：通过抽取一部分数据作为样本，对总体数据进行概括和判断。

第三章：图形的认识1.点、线、面的概念：几何图形由点、线、面组成。

2.平行线与垂直线：平行线的特点是永不相交，垂直线的特点是相交成直角。

3.多边形：具有多个边的几何图形称为多边形，如三角形、四边形、五边形等。

4.正多边形：具有相等边长和相等内角的多边形。

5.对称图形：具有对称性的图形，可以通过某一条线进行折叠重合。

6.图形的相似性：具有相等比例关系的图形称为相似图形。

7.平移、旋转和翻折：运用平移、旋转和翻折等操作，使得图形位置和形态发生变化。

第四章：四边形1.四边形的概念：具有四个边的图形称为四边形，包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等。

2.梯形：有两个底边，两个腰。

3.平行四边形：具有相对边平行的四边形。

4.矩形：具有四个直角的四边形，对角线相等。

5.菱形：具有四个相等边的四边形，对角线互相垂直。

6.正方形：具有四个相等边且具有对称性的四边形。

第五章：比例与相似1.比例的概念：比例是指两个或多个量之间的比值关系。

比值相等时称为成比例。

2.比例的性质：比例的性质包括交换律、放大和缩小、分配律等。

新北师大版七下数学期末复习知识要点汇总
一、有理数的四则运算
1.有理数的概念
2.有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
3.有理数的乘方
4.有理数的倒数和相反数
5.有理数的大小比较
二、整式的加减法
1.加减法的运算规则
2.加减同类项时的合并和提取公因式
3.加减异类项时的通分
三、整式的乘法
1.乘法的运算规则
2.乘法分配律的应用
3.乘方的计算
四、一元一次方程式
1.一元一次方程式的概念
2.一元一次方程式的解的概念
3.方程式的等价变形
4.方程式的解的判定
5.一元一次方程式的解法（列式法、移项法、等式法）
五、长方体和正方体
1.长方体和正方体的概念
2.长方体和正方体的表面积和体积的计算公式
六、测量单位换算
1.长度单位的换算
2.面积单位的换算
3.体积单位的换算
4.质量单位的换算
5.时间单位的换算
七、统计与概率
1.统计的概念
2.调查数据的整理和表示
3.统计中的问题解决
4.概率的概念
5.概率的计算方法（几何概率、相对频率概率）
八、平面图形的运动与变换
1.平面图形的对称与否
2.平面图形的平移、旋转和翻折
3.平面图形的缩放
4.平面图形的等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形等性质
九、几何推理
1.点、线、面的概念
2.共线、相交、平行和垂直的判定
3.利用线段关系和角度关系判定图形的性质
以上是新北师大版七下数学期末复习知识的主要要点，通过复习这些知识，可以帮助学生巩固数学基础，提高解题能力。

一、教学目标：1. 理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法。

2. 掌握随机事件的独立性，了解条件概率的概念。

3. 理解变量之间的关系，掌握相关系数的概念。

4. 复习整式的加减乘除运算，掌握整式的化简方法。

5. 能够运用概率知识解决实际问题。

二、教学内容：1. 概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

2. 概率的计算方法：古典概型、几何概型。

3. 随机事件的独立性：独立事件的概率乘法公式。

4. 条件概率：条件概率的定义、条件概率的计算方法。

5. 变量之间的关系：线性关系、非线性关系。

6. 相关系数：相关系数的定义、相关系数的计算方法。

7. 整式的加减乘除运算：同类项、合并同类项、整式的乘法、整式的除法。

8. 整式的化简方法：因式分解、提取公因式、完全平方公式。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：概率的基本概念、概率的计算方法、随机事件的独立性、条件概率、变量之间的关系、相关系数、整式的加减乘除运算、整式的化简方法。

2. 教学难点：概率的计算方法、随机事件的独立性、条件概率、相关系数的计算方法、整式的化简方法。

四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法、案例分析法、练习法。

2. 教学手段：黑板、多媒体课件、练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过一个简单的概率问题，引起学生对概率的兴趣。

2. 讲解概率的基本概念，举例说明必然事件、不可能事件、随机事件的区别。

3. 讲解概率的计算方法，通过实例引导学生掌握古典概型和几何概型的计算方法。

4. 讲解随机事件的独立性，通过实例引导学生理解独立事件的概率乘法公式。

5. 讲解条件概率的概念和计算方法，通过实例引导学生掌握条件概率的计算方法。

6. 课堂练习：布置一些有关概率计算、随机事件独立性、条件概率的练习题，让学生巩固所学知识。

7. 讲解变量之间的关系，举例说明线性关系和非线性关系的特点。

8. 讲解相关系数的定义和计算方法，通过实例引导学生理解相关系数的概念和计算方法。

七年级下册数学整式概率变量关系总复习知识点学案教案练习一、教学目标：1. 理解整式的概念，掌握整式的加减、乘除运算方法。

2. 掌握概率的基本概念，能够计算简单事件的概率。

3. 理解变量之间的关系，能够运用函数思想解决问题。

二、教学内容：1. 整式：整式的概念、整式的加减、整式的乘除。

2. 概率：概率的定义、概率的计算、条件概率。

3. 变量关系：变量之间的关系、函数的概念、函数的性质。

三、教学重点与难点：1. 整式的加减、乘除运算。

2. 概率的计算方法。

3. 函数的概念与性质。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索、解决问题。

2. 运用案例分析法，让学生通过具体案例理解概率、变量关系等概念。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解整式、函数等问题。

五、教学过程：1. 导入：回顾整式的概念，引导学生思考整式在实际生活中的应用。

2. 新课：讲解整式的加减、乘除运算方法，通过例题让学生熟练掌握。

3. 练习：布置练习题，让学生巩固整式的运算方法。

4. 导入：介绍概率的基本概念，引导学生思考概率在实际生活中的应用。

5. 新课：讲解概率的计算方法，通过例题让学生熟练掌握。

6. 练习：布置练习题，让学生巩固概率的计算方法。

7. 导入：讲解变量之间的关系，引导学生思考函数的概念。

8. 新课：讲解函数的性质，通过例题让学生熟练掌握。

9. 练习：布置练习题，让学生巩固函数的概念与性质。

10. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

六、课后作业：1. 复习整式的加减、乘除运算，完成课后练习题。

2. 复习概率的计算方法，完成课后练习题。

3. 复习函数的概念与性质，完成课后练习题。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，了解学生对知识点的掌握情况。

3. 单元测试：进行单元测试，评估学生对本章节知识的掌握程度。

七年级数学（下）重要知识点总结第一章：整式的运算一、单项式:都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

二、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

三、整式:单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减：整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

五、同底数幂的乘法：同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m ﹒a n =a m+n 。

六、幂的乘方：幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（a m ）n =a mn 。

七、积的乘方：1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab ）n =a n b n 。

3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。

八、同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。

九、零指数幂：零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。

十、负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：1(0)p p a a a -=≠（一）单项式与单项式相乘：单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

（二）单项式与多项式相乘：单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

（三）多项式与多项式相乘：多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

十一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。