四川省考2016年普通高考适应性测试 数学(文)

2016届高考适应性测试（A 卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|A x y ==，B =()0+∞，，则A B =(A) ()0+∞， (B) ()3+∞， (C) [)0+∞， (D) [)3+∞， 2．i 为虚数单位，求32ii-= (A) 23i - (B) 23i -- (C) 32i - (D) 23i -+3． 命题01p x ∃>：，使得200210x x -+-≥，则p ⌝为 (A) 1x ∀>，使得2210x x -+-≤ (B) 01x ∃>，使得200210x x -+-< (C) 1x ∀>，使得2210x x -+-< (D) 1x ∀≤，使得2210x x -+-<4． 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 5． 已知1cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 2α-的值为 (A)19 (B) 29 (C) 49(D) 89 6．已知函数()2 01 0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 37．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的交点为,A B ，且直线AB 过两曲线的公共焦点F ，则双曲线的离心率为128．已知函数()2ln x f x x x=-，则函数)(x f y =的大致图像为(A) (B) (C) (D)9．设不等式组24000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，点(2,0)A ，点(1,0)B ，在区域D内随机取一点M ，则点M满足||||MA MB ≥的概率是(A)516π (B) 316π (C) 38π (D)4π 10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 为直线2x =-上的一动点，过点M 向抛物线24y x =的作切线，切点为B C ，，以点F 为圆心的圆与直线BC 相切，则该圆面积的取值范围为(A) (0)π， (B) (0]π， (C) (04)π， (D) (04]π，第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：3log 21lg 20lg 2(3)--= ▲ ．12．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的 体积是 ▲ ．13．某家庭用分期付款的方式购买一辆汽车，价格为15万元，购买当天 先付5万元，以后每月这一天都交付1万元，并加付欠款的利息，月利率 为1%．若交付5万元以后的第一个月开始算分期付款的第一期，共10期 付完，则全部货款付清后，买这辆汽车实际用的钱为 ▲ 万元．14．如图：在矩形ABCD 错误！未找到引用源。

2016年四川省宜宾市高考数学适应性试卷（文科）（一）一.选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．若集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞1}，则M∩N=（）A．（1，3]B．（1，3）C．[1，3）D．[1，3]2．若复数z=，则|z|=（）A．1 B． C． D．33．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题4．执行如图的程序框图，则输出的A=（）A．B．C．D．5．已知=（﹣1，3），=（1，t），若（﹣2）⊥，则||=（）A．5 B．C． D．6．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数7．已知函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x）=﹣f（x+），f（﹣2）=f（﹣1）=﹣1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+…+fA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4 B．3+12 C．21+D．+129．已知A，B，P是双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率积为，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．10．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．为了了解某中学男生身高，从该校的总共800名男生中抽取40名进行调查，并制成如下频率分布直方图，已知x：y：z=1：2：4．则y的值为．12．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．13．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．14．已知函数f（x）=ax+bsinx（0＜x＜），若a≠b且a，b∈{﹣2，0，1，2}，则f（x）的图象上任一点处的切线斜率都非负的概率为．15．已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三.解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）．16．春节期间，小明得到了10个红包，每个红包内的金额互不相同，且都不超过150元．已知红包内金额在（0，50]的有3个，在（50，100]的有5个，在小明为了感谢父母，特地从金额在（0，50]和试估计这个春节小明所得10个红包金额的平均数，并估计小明所得红包总金额．17．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，已知f（A）=2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，求△ABC的面积的最大值．18．已知函数f（x）是一次函数，它的图象过点（3，5），又f（2），f（5），15成等差数列．若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N，n＞0）．（I）设数列{a n}的前n项的和为S n，求S2016．（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=a n•，求数列{b n}的前n项的和T n．19．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C 翻折到点C1的位置，点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（I）求证：AC1⊥BD；（Ⅱ）当EM=2时，求三棱锥B﹣EFM的体积．20．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．21．函数f（x）=2lnx+有两个不同的极值点x1，x2，其中a为实常数．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈（0，+∞），≥﹣2，试判断命题p的真假，并说明你的理由．2016年四川省宜宾市高考数学适应性试卷（文科）（一）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．若集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞1}，则M∩N=（）A．（1，3]B．（1，3）C．[1，3）D．[1，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M=（﹣1，3），∵N=（1，+∞），∴M∩N=（1，3），故选：B．2．若复数z=，则|z|=（）A．1 B． C． D．3【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算性质结合复数求模的个数计算即可．【解答】解：∵z===﹣i，∴|z|==，故选：C．3．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，e x＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∨￢q是真命题．故选：D．4．执行如图的程序框图，则输出的A=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中是i=4就终止循环，即可计算得到结果．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0，A=2执行循环体，A=，i=1不满足条件i≥4，执行循环体，A=，i=2不满足条件i≥4，执行循环体，A=，i=3不满足条件i≥4，执行循环体，A=，i=4满足条件i≥4，退出循环，输出A的值为．故选：A．5．已知=（﹣1，3），=（1，t），若（﹣2）⊥，则||=（）A．5 B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣2的坐标，再由向量垂直的坐标运算求得t，最后代入向量模的公式得答案．【解答】解：∵=（﹣1，3），=（1，t），∴=（﹣3，3﹣2t），又（﹣2）⊥，∴﹣1×（﹣3）+3（3﹣2t）=0，解得t=2．∴，则．故选：D．6．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．7．已知函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x）=﹣f（x+），f（﹣2）=f（﹣1）=﹣1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+…+fA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据条件可得出f（x）=f（x+3），f（x）是以3为周期的函数；结合条件判断f（1）+f（2）+f（3）=0，只需判断f（1）+f（2）+…+f+f（2）+f（3）即可．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x+），∴f（x+）=﹣f（x+3），f（x）=f（x+3），∴f（x）是以3为周期的函数；又f（1）=f（﹣2+3）=f（﹣2）=﹣1，f（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=﹣1，f（3）=f（0+3）=f（0）=2，∴f（1）+f（2）+f（3）=0，同理，f（4）+f（5）+f（6）=0，…∴f（1）+f（2）+…+f=0故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4 B．3+12 C．21+D．+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，根据几何体的特征计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为用平面EFGHMN截边长为2的正方体所得到的几何体．如图：，其中六边形EFGHMN是正六边形，边长为，几何体的上下面积之和，前后面积之和，左右面积之和均为正方体的一个面的面积．∴该几何体的表面积S=22×3+×2×6=12+3．故答案为：12+3．9．已知A，B，P是双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率积为，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合，即可求得结论．【解答】解：由mx2﹣ny2=1得﹣=1，则a2=，b2=，则=由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA•k PB=，A，B代入两式相减可得=，∵，∴=，∴e2=1+=1+=，∴e=．故选：B．10．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】对x分类讨论：当0＜x≤1时，显然可知有一实根；当x＞1时，方程可化为|x2﹣4|=1﹣lnx或|x2﹣4|=3﹣lnx，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题，利用数形结合思想判断即可．【解答】解：当0＜x≤1时，f（x）=﹣lnx，g（x）=0，∴|f（x）+g（x）|=|﹣lnx|=1有一实根；当x＞1时，f（x）=lnx，g（x）=|x2﹣4|﹣2，∴|f（x）+g（x）|=|lnx+g（x）|=1，∴|x2﹣4|=1﹣lnx或|x2﹣4|=3﹣lnx，分别画出函数的图象如图：，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C．二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．为了了解某中学男生身高，从该校的总共800名男生中抽取40名进行调查，并制成如下频率分布直方图，已知x：y：z=1：2：4．则y的值为0.02．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1先求出x的值，即可求出y的值．【解答】解：∵x：y：z=1：2：4，∴（x+2x+4x+0.05+0.06+2x）×5=1，解得x=0.01，∴y=2x=0.02．故答案为：0.02．12．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．【考点】点到直线的距离公式；抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为213．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，移动目标函数，寻找目标函数截距最小时经过可行域的特殊点，代入目标函数可求出z的最小值．【解答】解：作出约束条件送表示的可行域如图；∵z=2x+y，∴y=﹣2x+z，∴当直线y=﹣2x+z经过B点时截距最小，解方程组得x=1，y=﹣1．∴z=2x+y的最小值为2×1﹣1=1．故答案为：1．14．已知函数f（x）=ax+bsinx（0＜x＜），若a≠b且a，b∈{﹣2，0，1，2}，则f（x）的图象上任一点处的切线斜率都非负的概率为．【考点】几何概型．【分析】首先求出函数的导数，根据题意找出所有事件以满足图象上任一点处的切线斜率都非负的事件个数，利用公式解答．【解答】解：f'（x）=a+bcosx，（0＜x＜），a≠b且a，b∈{﹣2，0，1，2}，从其中任意选两个组成不同的值共有=12个；使斜率为负值的有7个，则f（x）的图象上任一点处的切线斜率都非负的；故答案为：．15．已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点．其中正确命题的序号是②④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的单调性与导数的关系；命题的真假判断与应用．【分析】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．【解答】解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e x+①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e x+≥0，是增函数．所以①不正确，②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=e x+=0，可以判断函数有最小值，②正确．③画出函数y=e x，y=alnx的图象，如图：显然不正确．④令函数y=e x是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=e x+alnx=0有两个根，正确．故答案为：②④三.解答题：（本大题共6个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）．16．春节期间，小明得到了10个红包，每个红包内的金额互不相同，且都不超过150元．已知红包内金额在（0，50]的有3个，在（50，100]的有5个，在小明为了感谢父母，特地从金额在（0，50]和试估计这个春节小明所得10个红包金额的平均数，并估计小明所得红包总金额．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）设金额在（0，50]的3个红包分别为a，b，c，金额在3种红包金额的中间数依次为25，75，125，频率分别为，由此能估计这个春节小明所得10个红包金额的平均数和小明所得红包总金额．【解答】解：（I）设金额在（0，50]的3个红包分别为a，b，c，金额在3种红包金额的中间数依次为25，75，125，频率分别为，所以，于是小明今年春节所得10个红包金额的平均数约为70元，总金额约为700元．17．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，已知f（A）=2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用单项式乘多项式展开，再由降幂公式和辅助角公式化积，则对称轴方程可求，由相位在正弦函数的增区间内求解x的范围得f（x）的单调增区间；（Ⅱ）由f（A）=2求得A值，由余弦定理及基本不等式求得bc的最大值，代入三角形面积公式求得△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ），令，有，，∴f（x）的对称轴是．令，得：，∴f（x）的递增区间是[]，k∈Z；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即，∵A为锐角，∴，即，又a2=b2+c2﹣2bccosA，∴，即，∴，当且仅当b=c取等号，故该三角形面积的最大值为．18．已知函数f（x）是一次函数，它的图象过点（3，5），又f（2），f（5），15成等差数列．若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N，n＞0）．（I）设数列{a n}的前n项的和为S n，求S2016．（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=a n•，求数列{b n}的前n项的和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）通过联立方程组可求出k=2、b=﹣1，进而利用等差数列的通项公式及求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b n=（2n﹣1）2n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（I）由题可设f（x）=kx+b，则，解得：k=2，b=﹣1，所以a n=2n﹣1，a1=1，a2016=4031，故；（Ⅱ）由（I）得：，则T n=1×21+3×22+…+（2n﹣1）2n，，两式相减，得：=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=4（2n﹣1）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，所以．19．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置，点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（I）求证：AC1⊥BD；（Ⅱ）当EM=2时，求三棱锥B﹣EFM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）根据菱形的对角线相互垂直，得到C1O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC1，从而得到平面AC1O内的直线AC1BD．（Ⅱ）求出E到平面BFM的距离，利用V B﹣EFM =V E﹣BMF，结合体积公式，即可求三棱锥B﹣EFM的体积．【解答】（I）证明：在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．连接AO ，C 1O∴在三棱锥C 1﹣ABD 中，C 1O ⊥BD ，AO ⊥BD ． 又 C 1O ∩AO=O ，∴BD ⊥平面AOC 1． 又∵AC 1⊂平面AOC 1， ∴BD ⊥AC 1．（Ⅱ）解：取OB 的中点N ，连接MN ，EN ，则EN=MN=，∵EM=2，∴cos ∠MNE==﹣，∴∠MNE=60°，∴E 到平面BFM 的距离为ENsin60°==∴V B ﹣EFM =V E ﹣BMF =×=．20．如图，已知圆G ：x 2+y 2﹣2x ﹣y=0，经过椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点M （m ，0）（m ＞a ）倾斜角为的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）依据题意可求得F ，B 的坐标，求得c 和b ，进而求得a ，则椭圆的方程可得；（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去，利用判别式大于0求得m的范围，设出C，D的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用直线方程求得y1y2，表示出和，进而求得•的表达式，利用F在圆E的内部判断出•＜0求得m的范围，最后综合可求得md 范围．【解答】解：（1）过点F、B，∴F（2，0），，故椭圆的方程为（2）直线l：消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）=0由△＞0⇒，又⇒设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2=m，，，，∴∵F在圆E的内部，∴，又⇒．21．函数f（x）=2lnx+有两个不同的极值点x1，x2，其中a为实常数．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈（0，+∞），≥﹣2，试判断命题p的真假，并说明你的理由．【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）因为f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则x1，x2是方程2x2+（a+4）x+2=0的两个不相等的正实数根，所以，解不等式可得a的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈（0，+∞），≥﹣2，可转化为lnx﹣x+1≤0，构造函数g（x）=lnx﹣x+1，利用导数示求出最值，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=+=…因为f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则x1，x2是方程2x2+（a+4）x+2=0的两个不相等的正实数根所以，即…解得：a＜﹣8，故a的取值范围是：（﹣∞，﹣8）…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x1•x2=1故f（x1）+f（x2）=2lnx1++2lnx2+=2ln（x1•x2）+a（+）=a•=a•=a，…所以不等式≥﹣2化为：≥﹣2，即ax≥（x+1）f（x）+2（x+1）﹣2x（x+1），即ax≥（x+1）2lnx+ax+2（x+1）﹣2x（x+1），因为x＞0，则不等式可化为：lnx﹣x+1≤0 …令g（x）=lnx﹣x+1，则g′（x）=﹣1（x＞0）．x＞1时，g′（x）＜0；0＜x＜1时，g′（x）＞0所以当x∈（0，+∞）时，g（x）max=g（1）=0所以当x∈（0，+∞）时，lnx﹣x+1≤0恒成立．故命题p为真命题…2016年6月20日。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年四川省高考数学适应性试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M，N满足M∪N={1，2，3}，M∩N=｛a｝，则（）A．a=1 B．a=2 C．a=3 D．a∈M∪N2．若不等式x2+ax+b＜0的解集为(﹣1,2）,则ab的值为( ）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．复数z=,则｜z｜=( ）A．1 B．C．2 D．4．若“∃x∈[﹣1，m](m＞﹣1),|x｜﹣1＞0”是假命题,则实数m的取值范围是( )A．（﹣1，1) B．（﹣1，1］C．［1，+∞) D．［0,1]5．已知=（2，1），=（3，λ）．若（2）∥，则λ的值为( ) A．B． C．3 D．﹣1或36．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（)A．﹣2 B．C．D．37．已知α、β为锐角，若sinα=，sin（α+β）=，则cos2β的值为( )A．B． C．或D．8．已知P，Q,R是圆x2+y2﹣2x﹣8=0上不同三点，它们到直线l：x+y+7=0的距离分别为x1，x2，x3,若x1，x2，x3成等差数列，则公差的最大值为( ）A．1 B．2 C．3 D．49．设P是左、右顶点分别为A，B的双曲线x2﹣y2=1上的点，若直线PA的倾斜角为,则直线PB的倾斜角是（）A．B．C．D．10．设0＜a＜1,已知函数f（x）=，若存在实数b使函数g(x)=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．（0,1）D．二、填空题（每题5分，满分25分,将答案填在答题纸上）11．若抛物线y=ax2的焦点F的坐标为（0，﹣1）,则实数a的值为_______．12．某几何体的三视图如图所示,其中左视图为半圆，则主视图中α角的正切值为_______．13．若函数f（x）=x+在［1，3］上的最小值为2,则正数k的最大值与最小值之和为_______．14．当实数a在区间[1,6］随机取值时，函数f（x）=﹣x2+ax+1在区间（2，+∞）上是单调减函数的概率是_______．15．已知实数a，b满足:5﹣a≤3b≤12﹣3a，e b≤a ，则的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

树德中学高2016届高考适应性测试数学（文科）命题：梁昌健一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合},,|),{(},2,1{A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==，则B 的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个 2．ABC ∆中，1tan >A 是4π>A 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量)3,1(=a，(,3)b x =-，且b a //，则=+（A ）10 （B ）5 （C ）5 （D ）104．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为（A ）2.2米 （B ）4.4米 （C ）2.4米 （D ）4米 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=（A ）7 （B ）11 （C ）26 （D ）30 6. 已知⎩⎨⎧≤<+-≤<=)31(,1)1()10(,ln )(x x f x x x f ,则=+)12(e f（A ）0 （B ）1 （C ）1)11ln(++e（D ）)12ln(e+ 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：其中正确命题的序号是 ①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③ （D ）②④8. 点),(b a 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0004y x y x 内的任意一点，则使函数32)(2+-=bx ax x f 在区间),21[+∞上是增函数的概率为 （A ）41 （B ）21 （C ）31 （D ）329. 在平面直角坐标系xoy 中，以x 的非负半轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆交于点A,B ，已知A 的横坐标为55，B 的纵坐标为102，则=+βα2 （A ）π（B ）π32（C ）π65 （D ）π4310. 若函数)0(ln )(>-=a axex f ax存在零点，则a 的取值范围是 （A ）]1,0(e（B ）]1,0(2e （C ）]1,1[2ee （D ）),1[+∞e 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 复数)(1R a iaiz ∈+=的虚部为______。

2016年四川省高考数学适应性试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M，N满足M∪N={1，2，3}，M∩N={a}，则（）A．a=1 B．a=2 C．a=3 D．a∈M∪N2．若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），则ab的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．2 D．4．若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1] C．[1，+∞）D．[0，1]5．已知=（2，1），=（3，λ）．若（2）∥，则λ的值为（）A．B．C．3 D．﹣1或36．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．﹣2 B．C．D．37．已知α、β为锐角，若sinα=，sin（α+β）=，则cos2β的值为（）A．B．C．或D．8．已知P，Q，R是圆x2+y2﹣2x﹣8=0上不同三点，它们到直线l：x+y+7=0的距离分别为x1，x2，x3，若x1，x2，x3成等差数列，则公差的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．设P是左、右顶点分别为A，B的双曲线x2﹣y2=1上的点，若直线PA的倾斜角为，则直线PB的倾斜角是（）A．B． C． D．10．设0＜a＜1，已知函数f（x）=，若存在实数b使函数g（x）=f （x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是（）A． B． C．（0，1）D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若抛物线y=ax2的焦点F的坐标为（0，﹣1），则实数a的值为_______．12．某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中α角的正切值为_______．13．若函数f（x）=x+在[1，3]上的最小值为2，则正数k的最大值与最小值之和为_______．14．当实数a在区间[1，6]随机取值时，函数f（x）=﹣x2+ax+1在区间（2，+∞）上是单调减函数的概率是_______．15．已知实数a，b满足：5﹣a≤3b≤12﹣3a，e b≤a，则的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表：本数0 1 2 3 4 5人数性别男生0 1 4 3 2 2女生0 0 1 3 3 1（I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值x1，x2和方差，；（II）从阅读4本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出的两名学生恰好是一男一女的概率．17．已知数列{a n}的前n项和S n=k•3n﹣m，且a1=3，a3=27．（I）求证：数列{a n}是等比数列；（II）若a n b n=log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A1E⊥平面ABC．（I）证明：BC1∥平面A1EC；（II）若A1A⊥A1B，且AB=2，求三棱锥B1﹣ACA1的体积．19．如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．20．已知圆锥曲线E：．（I）求曲线E的离心率及标准方程；（II）设M（x0，y0）是曲线E上的任意一点，过原点作⊙M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8的两条切线，分别交曲线E于点P、Q．①若直线OP，OQ的斜率存在分别为k1，k2，求证：k1k2=﹣；②试问OP2+OQ2是否为定值．若是求出这个定值，若不是请说明理由．21．设函数f（x）=e x，g（x）=kx+1．（I）求函数y=f（x）﹣（x+1）的最小值；（II）证明：当k＞1时，存在x0＞0，使对于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）；（III）若对于任意x∈（0，+∞），|f（x）﹣g（x）|＞x恒成立，求实数k的取值范围．2016年四川省高考数学适应性试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M，N满足M∪N={1，2，3}，M∩N={a}，则（）A．a=1 B．a=2 C．a=3 D．a∈M∪N【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】根据集合关系进行判断即可．【解答】解：∵M∪N={1，2，3}，M∩N={a}，∴a=1，或a=2或a=3，即a∈M∪N，故选：D．2．若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），则ab的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再计算ab的值．【解答】解：不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），所以方程x2+ax+b=0的实数根为﹣1和2，所以，解得a=﹣1，b=﹣2，所以ab=﹣1×（﹣2）=2．故选：D．3．复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算性质化简z，从而求出z的模即可．【解答】解：z===i，则|z|=1，故选：A．4．若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1] C．[1，+∞）D．[0，1]【考点】特称命题．【分析】由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．由“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，可得m＞1．利用“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，即可得出．【解答】解：由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．∵“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，∴m＞1．∵“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，∴﹣1＜m≤1．故选：B．5．已知=（2，1），=（3，λ）．若（2）∥，则λ的值为（）A．B．C．3 D．﹣1或3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】求出向量2，利用向量共线列出方程，求解即可．【解答】解：=（2，1），=（3，λ）．2=（1，2﹣λ）．（2）∥，可得：3（2﹣λ）=λ，∴λ=．故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．﹣2 B． C．D．3【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，观察规律可得当a=，k=4时，满足条件k≥4，退出循环，输出a的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得a=，k=0执行循环体，a=3，k=1不满足条件k≥100，执行循环体，a=﹣2，k=2不满足条件k≥100，执行循环体，a=﹣，k=3不满足条件k ≥100，执行循环体，a=，k=4此时，满足条件k ≥4，退出循环，输出a 的值为． 故选：C ．7．已知α、β为锐角，若sin α=，sin （α+β）=，则cos2β的值为（ ）A ．B ．C ．或 D ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos α的值，由题意求得范围π＞α+β＞，从而可求cos （α+β）的值，进而可求cos β的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β 的值．【解答】解：α、β都是锐角，且sin α=，sin （α+β）=，∴cos α==，cos （α+β）==±，∴sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=（2cos β+sin β）=，∴2cos β+sin β=，①∵cos α=，α＞，∵＞sin （α+β）=＞，∴π＞α+β＞，∴cos （α+β）=﹣，∴cos αcos β﹣sin αsin β=﹣，（cos β﹣2sin β）=﹣，∴cos β﹣2sin β=﹣，②解①②，得cos β=，∴cos2β=2cos 2β﹣1=﹣．故选：A ．8．已知P ，Q ，R 是圆x 2+y 2﹣2x ﹣8=0上不同三点，它们到直线l ：x +y +7=0的距离分别为x 1，x 2，x 3，若x 1，x 2，x 3成等差数列，则公差的最大值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，继而得出圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，则距离最值的差的一半为最大公差．【解答】解：圆的圆心为（1，0），半径r=3，圆心到直线l的距离d===4，所以直线l与圆相离．∴圆上的点到直线l的距离的最小值为d﹣r=1，最大值为d+r=7．∴当x1=1，x3=7时，等差数列的公差取得最大值=3．故选C．9．设P是左、右顶点分别为A，B的双曲线x2﹣y2=1上的点，若直线PA的倾斜角为，则直线PB的倾斜角是（）A．B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则m2﹣n2=1，求得A，B的坐标，运用两点的直线的斜率公式，计算可得k PA•k PB=1，再由倾斜角与斜率的关系，即可得到所求．【解答】解：设P（m，n），则m2﹣n2=1，由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），即有k PA•k PB=•===1，由直线PA的倾斜角为，可得k PA=tan=﹣，即有k PB=﹣，可得直线PB的倾斜角是．故选：C．10．设0＜a＜1，已知函数f（x）=，若存在实数b使函数g（x）=f （x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是（）A． B． C．（0，1）D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则利用a=时，8a3=1，可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=cosπx在（0，a]递减，y=8x3在（a，1]递增，a=时，8a3=1．∵存在实数b使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴0＜a＜故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若抛物线y=ax2的焦点F的坐标为（0，﹣1），则实数a的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，﹣1），∴=﹣1，∴a=故答案为：．12．某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中α角的正切值为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥的一半．可得母线长l=3，底面半径r=1，圆锥的高h=，利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥的一半．∵母线长l=3，底面半径r=1．∴圆锥的高h==2．∴tanα==．故答案为：．13．若函数f（x）=x+在[1，3]上的最小值为2，则正数k的最大值与最小值之和为10．【考点】基本不等式．【分析】运用基本不等式可得f（x）≥2，由等号成立的条件可得∈[1，3]，继而求出k的最大值与最小值．【解答】解：由题意得：x＞0，∴f（x）=x+≥2，∵函数f（x）=x+在[1，3]上的最小值为2，当x=时，函数f（x）取得最小值2，∴∈[1，3]，∴k的最小值为1，最大值为9．∴正数k的最大值与最小值之和为10．故答案为：10．14．当实数a在区间[1，6]随机取值时，函数f（x）=﹣x2+ax+1在区间（2，+∞）上是单调减函数的概率是．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的a的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+ax+1在区间（2，+∞）上是单调减函数，∴≤2，∴a≤4，∵1≤a≤6，∴1≤a≤4，长度为3，∵1≤a≤6，长度为5∴函数f（x）=﹣x2+ax+1在区间（2，+∞）上是单调减函数的概率是．故答案为：．15．已知实数a，b满足：5﹣a≤3b≤12﹣3a，e b≤a，则的取值范围为[，]．【考点】不等式的基本性质．【分析】作出不等式组表示的平面区域，则表示与原点的连线的斜率额取值范围．【解答】解：∵e b≤a，∴b≤lna∵5﹣a≤3b≤12﹣3a，画出如图所示的可行域，由，解得a=，b=，即A（，），∴=设b=lna，∴b′=，当b=1时，此时斜线的斜率最大，即为=k=，综上所述，的取值范围为，故答案为：[，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表：本数0 1 2 3 4 5人数性别男生0 1 4 3 2 2女生0 0 1 3 3 1（I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值x1，x2和方差，；（II）从阅读4本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出的两名学生恰好是一男一女的概率．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用公式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可；（Ⅱ）利用列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值．【解答】解：（Ⅰ）全班有12个男生8个女生，∴男生阅读名著本数的平均值x1==3，女生阅读名著本数的平均值x2==3.5，∴，；（II）阅读4本名著的学生共有5人，其中两名男生，三名女生，设两名男生分别为A1，A2，三名女生分别为B1，B2，B3，从这5人中任选两人的选法有：A1 A2，A1 B1，A1 B2，A1 B3，A2 B1，A2 B2，A2 B3，B1 B2，B1 B3，B2 B3共10种，其中一男一女的选法有：A1 B1，A1 B2，A1 B3，A2 B1，A2 B2，A2 B3共6种，所以从这5人中选出的两人是一男一女的概率为．17．已知数列{a n}的前n项和S n=k•3n﹣m，且a1=3，a3=27．（I）求证：数列{a n}是等比数列；（II）若a n b n=log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明．（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】（I）证明：∵，∴S1=a1=3k﹣m=3，a3=S3﹣S2=18k=27，解得．则当n≥2时，，又a1=3，∴∀n∈N*，．则为常数，故由等比数列的定义可知，数列{a n}是等比数列．（II）解：∵a n b n=log3a n+1，∴．则，∴，则，即（n∈N*）．18．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A1E⊥平面ABC．（I）证明：BC1∥平面A1EC；（II）若A1A⊥A1B，且AB=2，求三棱锥B1﹣ACA1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理进行证明即可．（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式求出相应的底面积和高即可．【解答】解：（I）证明：设AC1与A1C交于F点，连接EF，∵E，F分别是线段A B，AC1的中点，∴EF∥BC1，又EF⊂平面A1EC，BC1⊄平面A1EC故BC1∥平面A1EC（II）由已知易得BB1∥平面ACA1∴点B到平面ACA1的距离等于点B1到平面ACA1的距离．则三棱锥B1﹣ACA1的体积等于三棱锥B﹣ACA1的体积．而三棱锥B﹣ACA1的体积又等于三棱锥A1﹣ABC的体积，由已知易得正三角形ABC的面积为，∵A1E⊥平面ABC，且易得A1E=1，∴三棱锥A1﹣A BC的体积．故三棱锥B1﹣ACA1的体积为．19．如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）设∠ABD=α，∠CBD=β．在Rt△ABD中，cosα=，可得α．在Rt△CBD中，cosβ=，可得β．在△ABC中，利用余弦定理即可得出．（II）设∠BDC=θ，在△ACD中，由正弦定理可得：=，化为AC=cosθ．同理在△ABC中，利用正弦定理可得：AC=cos（60°﹣θ），化简解出即可得出．【解答】解：（I）设∠ABD=α，∠CBD=β．在Rt△ABD中，cosα===，∴α=．在Rt△CBD中，cosβ==，∴β=．∴α+β=．在△ABC中，AC2==21．∴AC=．（II）设∠BDC=θ，在△ACD中，=，化为AC=cosθ．在△ABC中，=，化为：AC=cos（60°﹣θ），∴cosθ═cos（60°﹣θ），化为：3cosθ=2cos（60°﹣θ），∴3cosθ=cosθ+sinθ，∴tanθ=．20．已知圆锥曲线E：．（I）求曲线E的离心率及标准方程；（II）设M（x0，y0）是曲线E上的任意一点，过原点作⊙M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8的两条切线，分别交曲线E于点P、Q．①若直线OP，OQ的斜率存在分别为k1，k2，求证：k1k2=﹣；②试问OP2+OQ2是否为定值．若是求出这个定值，若不是请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由椭圆定义可知，曲线E是以和为焦点，长轴长为的椭圆，即可得出．（II））①若过原点与⊙M相切的直线斜率存在设为k，则切线方程为y=kx，可得，整理得．由题设可知k1，k2是以上关于k的一元二次方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得出．②设P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线O P，OQ的斜率存在时，由①易得，，利用两点之间的距离、根与系数的关系即可得出．当直线O P，OQ的斜率不存在时直接验证即可得出．【解答】解：（I）由椭圆定义可知，曲线E是以和为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a、b、c．∴，，则，∴椭圆的离心率，E的标准方程为．（II）①证明：若过原点与⊙M相切的直线斜率存在设为k，则切线方程为y=kx，∴，整理得．由题设可知k1，k2是以上关于k的一元二次方程的两个实根，∴，即．②设P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线O P，OQ的斜率存在时，由①易得，，而====当直线O P或OQ的斜率不存在时，圆M与y轴相切，且圆M也与x轴相切P，Q是椭圆E的两个顶点，∴O P2+OQ2=a2+b2=36．综上所述：O P2+OQ2为定值36．21．设函数f（x）=e x，g（x）=kx+1．（I）求函数y=f（x）﹣（x+1）的最小值；（II）证明：当k＞1时，存在x0＞0，使对于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）；（III）若对于任意x∈（0，+∞），|f（x）﹣g（x）|＞x恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（Ⅲ）①当k＞1时，求出h（x）的单调区间，得到函数的最小值，证出结论成立；②当k≤1时，问题等价于f（x）﹣g（x）＞x，设φ（x）=e x﹣（k+1）x﹣1（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）由已知y=e x﹣x﹣1，∴y'=e x﹣1，设y'＞0得x＞0，设y'＜0得x＜0，∴函数y=e x﹣x﹣1在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，则当x=0时，y有最小值为0…证明：（II）设h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）=e x﹣kx﹣1，∴h'（x）=e x﹣k，设h'（x）=0，得x=lnk（k＞1），∵k＞1，∴当x∈（0，lnk）时，h'（x）＜0，即h（x）在（0，lnk）上单调递减，而h（0）=0，且h（x）是R上的连续函数，∴h（x）＜0在（0，lnk）上恒成立，即f（x）＜g（x）在（0，lnk）上恒成立，∴取0＜x0≤lnk，则对任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）…解：（III）由（I）知e x≥x+1即有e x﹣1≥x，∴当x＞0时有lnx≤x﹣1（仅当x=1时取“=”）…（*）①当k＞1时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣（kx+1）（x＞0），∴h'（x）=e x﹣k令h'（x）＞0得x＞lnk，令h'（x）＜0得0＜x＜lnk，∴h（x）在（0，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴h（x）min=h（lnk）=k﹣klnk﹣1，由（*）式知得k﹣klnk﹣1＜0，又=k3﹣3klnk﹣1＞k3﹣3k（k﹣1）﹣1=k3﹣3k2+3k﹣1=（k﹣1）3＞0，∴函数y=h（x）在（lnk，3lnk）上有唯一零点设为x k，此时h（x k）=0，显然h（x k）＜x k，即|f（x）﹣g（x）|＞x对任意x∈（0，+∞）不能恒成立，②当k≤1时，对任意数x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）=e x﹣（kx+1）=e x﹣（x+1）﹣（k﹣1）x≥﹣（k﹣1）x≥0，∴|f（x）﹣g（x）|＞x等价于f（x）﹣g（x）＞x，即e x﹣（k+1）x﹣1＞0，设φ（x）=e x﹣（k+1）x﹣1（x＞0），则φ'（x）=e x﹣（k+1），若k≤0，则k+1≤1，∴e x﹣（k+1）＞0，则φ（x）在（0，+∞）上递增，注意到φ（0）=0，∴φ（x）＞φ（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x对任意x∈（0，+∞）恒成立，若0＜k≤1，令φ'（x）＞0得x＞ln（k+1），令φ'（x）＜0，得0＜x＜ln（k+1），∴φ（x）在（0，ln（k+1））上递减，在（ln（k+1），+∞）上递增，∴当x∈（0，ln（k+1））时，φ（x）＜φ（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x对于任意x∈（0，ln（k+1））不成立，则|f（x）﹣g（x）|＞x对任意x∈（0，+∞）不能恒成立，综合①②可得，满足条件的k的取值范围为（﹣∞，0]…2016年9月8日。

一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合},,|),{(},2,1{A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==，则B 的子集共有( ）（A ）2个 （B)4个（C ）6个 (D ）8个 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得(){}1,2=B ，所以(){}1,2=B 的子集的个数为221=个，故选A.考点：集合的子集.2．ABC ∆中，1tan >A 是4π>A 的( ）（A ）充分不必要条件 （B)必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分条件、必要条件。

3．已知平面向量)3,1(=a ,(,3)b x =-，且b a //,则=+b a 2（）（A)10 （B ）5（C ）5 （D ）10【答案】D 【解析】试题分析:由//a b得1(3)30x ⨯--⨯=，1x ∴=-，()2222244a b a ba ab b ∴+=+=+⋅+104(10)4010=+⨯-+=，故选D 。

考点：向量的线性运算；向量的数量积。

4．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为（ ） （A ）2。

2米 （B ）4.4米(C)2。

4米 （D ）4米【答案】B考点:函数的性质.5。

执行如图所示的程序框图,则输出的S=（ ）（A ）7 （B)11 （C ）26 （D ）30 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环:3112,110=+⨯==+=k S ;第二次循环:7132,4=+⨯==k S ；第三次循环：15172,11=+⨯==k S ，结束循环，输出11，故选B. 考点：算法初步。

6.已知⎩⎨⎧≤<+-≤<=)31(,1)1()10(,ln )(x x f x x x f ,则=+)12(ef ( ）（A ）0 （B ）1 （C ）1)11ln(++e（D ）)12ln(e+【答案】B 【解析】 试题分析：121ln 2)1(2)111(1)11(1)112()12(=+=+=+-+=++=+-+=+ee f e f e f e f e f ，故选B.考点：分段函数。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，文1，5分】设i 为虚数单位，则复数()21i +=（ ）（A ）{}13x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】C【解析】试题分析：由题意，22(1i)12i i 2i +=++=，故选C ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （2）【2016年四川，文2，5分】设集合{}15A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】B【解析】由题意，{}1,2,3,4,5A Z =，故其中的元素个数为5，故选B ．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年四川，文3，5分】抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）（A ）()0,2 （B ）()0,1 （C ）()2,0（D ）()1,0【答案】D【解析】由题意，24y x =的焦点坐标为()1,0，故选D ．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键． （5）【2016年四川，文5，5分】设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，:q 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >．故p 是q 的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （6）【2016年四川卷，文6，5分】已知a 函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）（A ）4-（B ）2- （C ）4 （D ）2【答案】D 【解析】()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D ．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． （7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

2016年高考模拟试题（四川卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ｛x ∈N ｜0≤x ≤6},集合A ｛1,3，5｝,B ｛2，4,6｝，则 ( ）A ．0∈AB B ．0∈（UA）B C ．0∈(A ）（U B ） D ．0∈（U A )(UB )2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A．103B ． 4C ．143D ．63．要得到函数y sin （2x4π）的图象，只需将函数y cos2x 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度4．设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OAOBOCOD（ )121212俯视图21D A OBCA ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM5．函数y cos 2x 3sin x cos x （x ∈［0，］）为增函数的区间是( )A ．［0，3π]B ．[12π，3π］C ．[3π,65π］D ．［65π,］6．如图,有一块半径为1的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状,它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，则梯形面积y 和腰长x 间的函数的大致图象是 （ )A ．B ．C ．D ．7．曲线x 2y 2｜x ｜｜y ｜围成的图形的面积是 （ )A ． 2B ． 1C ．2π 2D ．2π18．函数f (x )（12)xlog 12x ,g （x ）（12）xlog 2x ,h （x ) 2x log 2x的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b9．运行如下程序框图,如果输入的x ∈［7,11］，则输出y 属于 （ ）A ．（20，12］B ．（20,16］C ．［20，12]D ．[20，16］ 10。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)1.设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i 答案C 由题意，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，故选C ．2.设集合A ＝{x|1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案B 由题意，A ∩Z ＝{1，2，3，4，5} ，故其中的元素个数为5，选B ． 3.抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0) D ．(1，0)答案D 由题意，y 2＝4x 的焦点坐标 为(1，0)，故选D ．4.为了得到函数y ＝sin (x ＋π3)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度答案A 由题意，为得到函数y ＝sin (x ＋π3)，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动 π3个单位长度，故选A ．5.设p ：实数x ，y 满足x>1且y>1，q ：实数x ，y 满足x ＋y>2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 由题意，x>1且y>1，则x ＋y>2，而当x ＋y>2 时不能得出x>1且y>1 .故p 是q 的充分不必要条件，选A ． 6.已知a 为函数f (x )＝x 3﹣12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．﹣4 B ．﹣2 C ．4 D ．2答案D f'(x )＝3x 2﹣12＝3(x ＋2)(x ﹣2)，令f'(x )＝0，得x ＝﹣2或x ＝2，易得f (x )在(﹣2，2)上单调递减，在(﹣∞，﹣2)，(2，＋∞) 上单调递增 ，故f (x )极小值为f (2)，由已知得a ＝2，故选D ．7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>200130.两边取常用对数得n lg1.12>lg200130，∴n>lg2﹣lg1.3lg1.12≈0.30﹣0.110.05＝3.8，∴n≥4，故选B．8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A．35B．20C．18D．9答案C程序运行如下n＝3，x＝2→v＝1，i＝2≥0→v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0→v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0→v＝9×2＋0＝18，i＝﹣1<0，结束循环，输出v＝18，故选C．9.已知正三角形ABC的边长为2√3，平面ABC内的动点P，M满足|xx⃗⃗⃗⃗ |＝1，xx⃗⃗⃗⃗ ＝xx⃗⃗⃗⃗ ，则|xx⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是()A．434B．494C．37＋6√34D．37＋2√334答案B设△ABC的外心为D，则|xx⃗⃗⃗⃗ |＝|xx⃗⃗⃗⃗ |＝|xx⃗⃗⃗⃗ |＝2.以D为原点，直线DA为x轴，过D点的DA的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(﹣1，﹣√3)，C(﹣1，√3).设P(x，y)，由已知|xx⃗⃗⃗⃗ |＝1，得(x﹣2)2＋y2＝1，∵xx⃗⃗⃗⃗ ＝xx⃗⃗⃗⃗ ，∴M(x﹣12，x＋√32).∴xx⃗⃗⃗⃗ ＝(x ＋12，x ＋3√32). ∴xx ⃗⃗⃗⃗ 2＝(x ＋1)2＋(x ＋3√3)24，它表示圆(x ﹣2)2＋y 2＝1上点(x ，y )与点(﹣1，﹣3√3)距离平方的14， ∴(|xx ⃗⃗⃗⃗ |2)max ＝14(√32＋(0＋3√3)2＋1)2＝494，故选B ． 10.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝{﹣ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞)答案A 由题意得P 1，P 2分别位于两段函数的图象上.设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，﹣ln x 2)(不妨设x 1>1，0<x 2<1)，则由导数的几何意义 易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝﹣1x 2.由已知得k 1k 2＝﹣1，所以x 1x 2＝1.所以x 2＝1x 1.所以切线l 1的方程为y ﹣ln x 1＝1x 1(x ﹣x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝﹣1x 2(x ﹣x 2)，即y ﹣ln x 1＝﹣x 1(x ﹣1x1).分别令x ＝0得A (0，﹣1＋ln x 1)，B (0，1＋ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x 11＋x 12，ln x 1＋1﹣x 121＋x 12).∵x 1>1，∴S △P AB ＝12|y A ﹣y B |·|x P |＝2x 11＋x 12<1＋x 121＋x 12＝1.∴0<S △P AB <1，故选A ．11.sin750°＝__________.答案12解析由三角函数诱导公式 sin750°＝sin(720°＋30°)＝sin30°＝12. 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________.答案√33解析由三视图 可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S ＝12×2√3×1＝√3，高为1，所以该几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×√3×1＝√33.13.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是__________. 答案16解析从2，3，8，9中任取两个数记为a ，b ，作为对数的底数与真数，共有3×4＝12 个不同的基本事件，其中为整数的只有log 28，log 39两个 基本事件，所以其概率P ＝212＝16.14.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f (x )＝4x ，则f (﹣52)＋f (2)＝__________. 答案﹣2解析因为函数f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数 ，所以f (0)＝0，f (2)＝f (0＋2)＝f (0)＝0，f (﹣1)＋f (1)＝0，f (﹣1)＝f (﹣1＋2)＝f (1).所以f (1)＝0，f (﹣52)＝f (﹣12﹣2)＝f (﹣12)＝﹣f (12)＝﹣412＝﹣2，所以f (﹣52)＋f (2)＝﹣2.15.在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P'(xx 2＋x2，﹣x x 2＋x 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号) 答案②③解析对于①，若令P (1，1)，则其伴随点 为P'(12，﹣12)，而P'(12，﹣12)的伴随点为(﹣1，﹣1)，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P (cos x ，sin x )，其伴随点为P'(sin x ，﹣cos x )仍在单位圆 上，所以②正确；③设A (x ，y )与B (x ，﹣y )为关于x 轴对称的两点，则A 的“伴随点”为A'(xx 2＋x2，﹣x x 2＋x 2)，B点的伴随点为B'(﹣xx 2＋x2，﹣x x 2＋x 2)，A'与B'关于y 轴对称，故③正确；对于④，取直线l ：y ＝1.设其“伴随曲线”为C ，其上任一点M (x ，y )，与其对应的直线l 上的点为N (t ，1). 则由定义可知{x ＝1x 2＋1，x ＝﹣xx 2＋1，①②①2＋②2得x 2＋y 2＝1＋(﹣x )2(x 2＋1)2＝11＋x 2＝x ，整理得x 2＋y 2﹣x ＝0，显然不是一条直线.故④错误.所以正确的序号为②③. 16.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.解(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1﹣(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.50×(x﹣2)＝0.5﹣0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝1AD．2(1)在平面P AD内找一点M，使得直线CM∥平面P AB，并说明理由；(2)证明：平面P AB⊥平面PBD．解(1)取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点.理由如下：AD，因为AD∥BC，BC＝12所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB．又AB⊂平面P AB，CM⊄平面P AB，所以CM∥平面P AB．(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知，P A⊥AB，P A⊥CD，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交.所以P A ⊥平面ABCD ．从而P A ⊥BD ． 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ． 所以四边形BCDM 是平行四边形. 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ， 所以BD ⊥平面P AB ．又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD ． 18.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos x x ＋cos x x ＝sin xx. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2﹣a 2＝65bc ，求tan B ．解(1)根据正弦定理，可设xsin x ＝xsin x ＝xsin x ＝k (k>0).则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ． 代入cos x x ＋cos x x ＝sin x x 中，有cos x x sin x ＋cos x x sin x ＝sin xx sin x， 变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π﹣C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C ． (2)由已知，b 2＋c 2﹣a 2＝65bc ， 根据余弦定理，有cos A ＝x 2＋x 2﹣x 22xx ＝35.所以sin A ＝√1﹣cos 2x ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ， 故tan B ＝sin x cos x ＝4.19.已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q>0，n ∈N *. (1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2﹣x 2x x2＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求x 12＋x 22＋…＋x x 2.解(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立.所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列.从而a n ＝q n ﹣1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3.所以a 3＝2a 2，故q ＝2.所以a n ＝2n ﹣1(n ∈N *).(2)由(1)可知，a n ＝q n ﹣1.所以双曲线x 2﹣x 2x x2＝1的离心率e n ＝√1＋x x 2＝√1＋x2(x ﹣1). 由e 2＝√1＋x 2＝2，解得q ＝√3.所以x 12＋x 22＋…＋x x 2＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n ﹣1)] ＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n ﹣1)]＝n ＋x 2x ﹣1x 2﹣1＝n ＋12(3n ﹣1).20.已知椭圆E ：x 2x 2＋x 2x2＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P (√3，12)在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|. 解(1)由已知，a ＝2B ．又椭圆x 2x 2＋x 2x 2＝1(a>b>0)过点P (√3，12)，故34x 2＋14x2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E的方程是x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组{x 24＋x 2＝1，x ＝12x ＋x ，得x 2＋2mx ＋2m 2﹣2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2﹣m 2).由Δ>0，即2﹣m 2>0，解得﹣√2<m<√2. 由①得x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣2.所以M 点坐标为(﹣x ，x 2)，直线OM 方程为y ＝﹣12x.由方程组{x 24＋x 2＝1，x ＝﹣12x ，得C (﹣√2，√22)，D (√2，﹣√22).所以|MC|·|MD|＝√52(﹣m ＋√2)·√52(√2＋m )＝54(2﹣m 2).又|MA|·|MB|＝14|AB|2＝14[(x 1﹣x 2)2＋(y 1﹣y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2﹣4x 1x 2]＝516[4m 2﹣4(2m 2﹣2)]＝ 54(2﹣m 2). 所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.21.设函数f (x )＝ax 2﹣a ﹣ln x ，g (x )＝1x −ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立.解(1)f'(x)＝2ax﹣1x ＝2xx2﹣1x(x>0).当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f'(x)＝0有x＝1√2x.当x∈(01√2x )时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1√2x∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.(2)令s(x)＝e x﹣1﹣x，则s'(x)＝e x﹣1﹣1.当x>1时，s'(x)>0，所以e x﹣1>x，从而g(x)＝1x −1e x﹣1>0.(3)由(2)，当x>1时，g(x)>0.当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2﹣1)﹣ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.当0<a<12时，√2x>1.由(1)有f(1√2x )<f(1)＝0，而g(1√2x)>0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.当a≥12时，令h(x)＝f(x)﹣g(x)(x≥1).当x>1时，h'(x)＝2ax﹣1x ＋1x2﹣e1﹣x>x﹣1x＋1x2−1x＝x3﹣2x＋1x2>x2﹣2x＋1x2>0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)﹣g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a∈[12，＋∞).。

数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页） 数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，则复数21i =+（） ( )A ．0B ．2C ．2iD ．2+2i2. 设集合{|15}A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )A ．0,2（）B ．0,1（）C ．2,0（）D ．1,0（）4. 为了得到函数3y sin x π=+（）的图像，只需把函数y sinx =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度5. 设p ：实数x y ，满足1x ＞且1y ＞，q ：实数x y ，满足2x y +＞，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知a 为函数312f x x x =-（）的极小值点，则a =( )A ．4-B ．2-C ．4D ．27. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： 1.120.05lg ≈， 1.30.11lg ≈，20.30lg ≈）( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提到的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )A ．35B ．20C ．18D ．99. 已知正三角形ABC的边长为平面ABC 内的动点P ,M 满足||1AP =，PM =MC ,则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．49C D10.设直线1l ，2l 分别是函数l n 01l n 1x x f x x x -⎧=⎨⎩，＜＜，（），＞，图像上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是( )A ．0,1（）B ．0,2（）C ．0+∞（，）D ．1+∞（，）姓名________________ 准考证号_____________----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题--------------------无--------------------效-----------数学试卷 第4页（共33页）数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 750sin ︒= .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13. 从2389,,,中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则 log a b 为整数的概率是 .14. 若函数f x （）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜1x ＜时，4xf x =（），则522f f -+（）（）= . 15. 在平面直角坐标系中，当Px y （，）不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222'(,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是A '，则点A '的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市 为了制定合理的节水方案，对居民用 水情况进行了调查.通过抽样，获得了 某年100位居民每人的月均用水量 （单位：吨）.将数据按照[0，0.5）， [0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，ADBC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，BC =12CD AD =.（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM 平面PAB ，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB ⊥平面PBD .18. （本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin +=A B Ca b c. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q ＞,*n ∈N .（Ⅰ）若2a ，3a ，23a a +成等差数列，且数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋯+.20. （本小题满分13）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=＞＞的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ，)在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|| |||| ||MA MB MC MD =.21. （本小题满分14分）设函数2ln f x ax a x =--（），1=x eg x x e-（），其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）证明：当1x ＞时，0gx （）＞； （Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f x g x （）＞（）在区间1+∞（，）内恒成立.{1,2,3,4,5}Z A Z中元素的个数为A=A=的元素一一列举出来即可【提示】把集合{【考点】集合中交集的运算3 / 11数学试卷 第10页（共33页）数学试卷 第11页（共33页）数学试卷 第12页（共33页）|||DB|||2DA DC ===，，以3).设(,)P x y ，由已知||1AP =，得131,x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++== ⎪ ，∴，∴22(1)(||x y BM ++=∴()2max||44BM=2DA DB DC===，因此的轨迹是圆，则2(xBM=【考点】平面向量的计算121B Pxxx=+【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点5 / 11数学试卷第16页（共33页）数学试卷第17页（共33页）数学试卷第18页（共33页）7 / 11数学试卷 第23页（共33页） 数学试卷 第24页（共33页）ABAP A =，PBD ⊂平面【提示】（Ⅰ）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；9 / 11222(1)(11)(1)[1]n n e q q -++=++++++222(1)1]n n q q--++数学试卷 第28页（共33页）数学试卷 第29页（共33页）数学试卷第30页（共33页）555(2)(2)(2224MC MD m m =-++=222121211[()()]44MA MB AB x x y y ==-+-=24(2m m -=MA MB MC MD .【提示】（Ⅰ）利用点在椭圆上，列出方程，解出(,),(,x y x y MA MB 用1x ，【考点】直线与圆锥曲线的交线11 / 11。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=（ ）(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．2. 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ ）(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.3. 抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．4. 为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（ ）(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度 【答案】A考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位得()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得()y f x a =+的图象．左右平移涉及的是x 的变化，上下平移涉及的是函数值()f x 加减平移的单位．5. 设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A. 考点：充分必要条件.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．6. 已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9 【答案】C考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．9. 已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r的最大值是（ ） (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+【答案】B 【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DBDC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．10. 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．0750sin = .【答案】12考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.侧视图俯视图【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为112S =⨯=1，所以该几何体的体积为11133V Sh ===考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．13.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则log a b 为整数的概率= . 【答案】16考点：古典概型.【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为44A ，而满足题意的只有2个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性()()f x f x T =+，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可．15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 【解析】 试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.500.42（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．【答案】（Ⅰ）0.30试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．17、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，12BC CD AD==.D CBAP（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 试题解析：M D CBAP（I）取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD‖BC,BC=12AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.又AB⊂平面P AB,CM ⊄平面P AB,所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，P A⊥AB, P A⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD. 从而P A⊥BD.因为AD∥BC,BC=12 AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD,所以平面P AB⊥平面PBD.考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．18、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin c C =k (k >0)． 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ． 代入cos A a +cos B b =sin C c中，有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C k C，变形可得 sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ，所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =45． 由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ， 故sin tan 4cos B B B ==． 考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．19、（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ . （Ⅰ）若2323,,a a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且22e = ，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+. 【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）1(31)2n n +-.（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由22e =解出q 的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.试题解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q .所以1*2()n n a n -=?N.考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是n S 的递推式，在与n S 的关系式中，经常用1n -代换n （2n ≥），然后两式相减，可得n a 的递推式，利用这种方法解题时要注意1a ；在第（Ⅱ）问中，按题意步步为营，认真计算．不需要多少解题技巧，符合文科生的特点．20、（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得2a b =，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用1)2P 在椭圆上，可解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线l 方程为12y x m =+，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，由M A M B ⋅214AB =求得MA MB ⋅（用m 表示），由OM 方程12y x =-具体地得出,C D 坐标，也可计算出MC MD ⋅，从而证得相等． 试题解析：（I ）由已知，a =2b . 又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ，故2213414b b +=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-=-. 又222212*********[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入刚才的1212,x x x x +，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．21、（本小题满分14分）设函数2()ln f x ax a x =--，1()xe g x x e =-，其中q R ∈，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增；（2）证明详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，.（Ⅰ）的结论，缩小a 的范围，设()g x =111ex x --11x x e x xe ---，并设()s x =1e x x --，通过研究()s x 的单调性得1x >时，()0g x >，从而()0f x >，这样得出0a ≤不合题意，又102a <<时，()f x 的极小值点1x =>，且(1)0f f <=，也不合题意，从而12a ≥，此时考虑1211()2e x h x ax x x -¢=-+-得'()h x 2111x x x x>-+-0>，得此时()h x 单调递增，从而有()(1)0h x h >=，得出结论． 试题解析：（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0，有x =当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增.又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立.综上，a ∈1+)2∞[，.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．。

四川省2016届高三普通高考适应性测试文数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1。

已知集合{}2 1 0 1 2A =--，，，，,集合{}21B x x =≤，AB =( ）A ．{}2 1 0 1--，，，B ．{}1 1-，C ．{}1 0-，D ．{}1 0 1-，，【答案】D考点：集合运算 【方法点睛】1。

用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件，明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时,一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知i是虚数单位,复数()22i +的共轭复数为（ )A ．34i -B ．34i +C ．54i -D ．54i + 【答案】A【解析】试题分析：因为()2i i+=+，所以共轭复数为34i-，选A。

234考点:复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i abcd R. 其次要熟悉复数相关基本++=-++∈概念，如复数(,)a bi ab R的实部为a、虚部为b、模为22+a b、对应点+∈为(,)a b、共轭为.-a bi3。

设向量()1 1n，，若⊥m n,则实数x的值为（)=-=-2 1 3xm，，向量()A．1-B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】试题分析：021302m n m n，选C。

⊥⇒⋅=⇒--=⇒=x x考点：向量垂直坐标表示【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a｜｜b｜cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.4.执行如图所示的程序框图,输出S的值为（)A ．45B ．55 C.66 D ．110 【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5。

数学试题(文史类）第Ⅰ卷（选择题 共50分)一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

已知集合{12}A xx =-≤，{02}B x x =<<，则A B =（)A ．AB ．BC ．φD ．R2.若向量(2,4)a =与向量(,6)b x =垂直，则实数x =（ ） A ．12 B ．—12 C ．3 D ．—33。

某工厂生产,,A B C 三种不同型的产品，产品数量之比依次为3:4:7，现采用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，如果样本中A 型产品有15件，那么n 的值为（ )A ．45B ．60C ．70D ．2104。

双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线为2y x =，且一个焦点为(5,0)，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=5。

阅读如图所示程序框图,运行相应的程序，若输入x 的值为—5,则输出的y 值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．—16. 下面四个函数中,以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是（ ）A ．2cos y x = B ．2sin y x = C ．cos 1()3xy = D ．tan y x =7。

某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过203m ,则每立方米水费按2元收取;若超过203m ，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元,则这户居民这月共用水( ）A ．463m B ．443m C ．263m D ．253m8。

设,a b R ∈，则“a b >"是“a b b b >"的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9。

自贡一中、二中2016高考适应性考试文科数学试题一、选择题（共50分，每小题5分)1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x x ==∈<<Z ，则（ )A ．N M ⊆B ．N M =C ．{}2,3MN =D ．(1,4)MN =2．为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数sin y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3．命题 “(),x f x ∀∈>0R ”的否定为( ） A ．()00,0xf x ∃∈>R B ．()0,0x f x ∃∈≤RC ．()0,0x f x ∀∈≤R D ．()00,0x f x ∀∈>R4．若0a b <<，则（ ）A ．22ab <B ．2ab b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2b a a b +>5．执行右面的程序框图,如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（ ）A 、[]43，-B 、[]25，-C 、[]34，-D 、[]52，- 6．实数m 是[0,6]上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ )A ．14B ．13C ．12D ．237．下列命题中真命题是（ ) A ．若，则； B ．若,则；C ．若是异面直线,那么与相交；D ．若，则且8．过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若BC AB =2,则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．5D ．109。

如图：已知，在OAB ∆中,点A 是BC 的中点,点D 是将向量OB 分为2：1的一个分点,DC 和OA 交于点E ,则AO 与OE 的比值是（ ）A ． 2B ．54C ．32D ．6510.设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-,其中0,x a R >∈，存在0x 使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．1OABCDE第II 卷（非选择题）二、填空题（共25分，每小题5分）11.若向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b ααα=-=，且//a b ，则tan α= .12．已知x 、y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ．13．已知正ABC ∆的边长为１，那么ABC ∆的直观图A B C '''∆的面积为 ． 14．在平面直角坐标系xOy中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=,圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C依次交于点A ，B ,满足2PA AB =,则半径r 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中,已知(,0),(,0)M a N a -,其中a R ∈，若直线l 上有且仅有一点P ,使得10PM PN +=，则称直线l 为“黄金直线",点P 为“黄金点”。