山西省太原市2013届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题
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山西省太原市2013年高三年级模拟（一）
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符
合题目要求的． 1．复数212a i
i
-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为
A ．4
B ．－4
C ．1
D ．－1
2．设集合{|1,1},{|12,}x A y y nx x B y y x R ==≥==-∈则A B =
A ．[0．1）
B ．[0，1]
C ．(],1-∞
D ．[)0,+∞
3．下列说法正确的是： A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1 B ．“x =－1”是2
560x x --=”的不要不充分条件
C ．命题“00,210x o x R x ∃∈++<”的否定是“2
,10x R x x ∀∈++<”
D ．命题“若x=y 则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
4．下列函数中，在[－1，0]上单调递减的是
A ．cos y x =
B ．|1|y x =--
C ．212x
y n
x
-=+ D ．x x
y e e -=+
5．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S= A ．98 B ．258 C ．642 D ．780
7．已知数列{a n }的通项公式为*1
()(1)
n a n N n n =
∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线
22
11x y n n
-=+的渐近线方程为
A
．y x = B
．y x = C
．y x = D
．y x = 8
．已知函数()sin f x x x =的图象向左平移(0)m m >个单位，若所得的曲线关于
y 轴对称，则实数m 的最小值是
A ．
8
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 9．已知实数x ．y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，若函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
7，则34
a b
+的最小值为 A ．7 B ．
247
C ．
377
D ．18
10．将5名同学分配到A ，B ，C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不
能分配到A 宿舍，则不同的分配方案种数是 A ．76 B ．100 C ．132 D ．150 11．已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且5
()(5),()'()02
f x f x x f x =--<
若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是
A ．12()()f x f x <
B ．12()()f x f x >
C
．
12()()0
f x f x +<
D ．12()()0f x f x +>
12．已知函数21,0,
()(1)1,0,
x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩若数列()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序
排列成一个数列，则该数列的通项公式为
A ．(1)
2
n n n a -=
B ．(1)n a n n =-
C ．1n a n =-
D ．22n n a =-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a ，b 满足|||2,()a b a b ==-⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 。
14．函数2()3'(1),f x x xf =+在点(2,(2))f 处的切线方程为 。
15．设抛物线M ：2
2(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22
22:1(0.0)x y N a b a b
-=>>的右
焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过点F ，则双曲线N 的离心率e= 。
16．在平行四边形ABCD 中，AB ·22
0,2||||6BC AB BD =+= ，若将△ABD 沿BD 折
成直二面A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 外接球的表面积为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=。
（I ）若b=2，求△ABC 的面积；
sin()6
A C π
+-
的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校
抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12． （I ）求该校报考体育专业学生的总人数n; （Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任
选3人，设ξ表示体重超过60千克的学生人数，求ξ的分布列和数学期望。
19．（本题满分12分）
已知斜三棱柱AB C —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D 为AC 的中点，A 1D ⊥
平面ABC ，A 1B ⊥AC l
（I ）求证：AC 1⊥ A l C; （Ⅱ）求二面角A —A 1B —C 的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，点F 1，F 2分别是椭圆C 的左，右
焦点，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线 0x y -=相切． （I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于点M ，N 两点，求△F l MN 内切圆面积最大
的值和此时直线l 的方程．
21．（本小题满分12分） 已知函数 1()(2)(1)21,()(,x
f x a x nx
g x xe
a R e -=---=∈为自然对数的底数）。
（I ）若不等式 ()0f x >对于一切1
(0,)2
x ∈恒成立，求a 的最小值；
（Ⅱ）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,
]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0
()()i f x g x =成立，求a 的取值范围。
请考生在第22、23、24量题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作
答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ．E 为⊙O 上一点，
AC AE =，
DE 交AB 于点F ． （I ）证明：DF ·EF=OF ·FP ； （II ）当AB=2BP 时，证明：OF=BF ． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
2
:sin 2cos (0)C p a a θθ=>过点P （－2，－4
）的直线2,
2:(4x l t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
为参数）与曲线 C 相交于点M ，N 两点．
（I ）求曲线C 和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若|PM|l ，| MN|，|PN |成等比数列，求实数a 的值 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||23|.f x x x =++- （I ）求不等式()6f x ≤的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围。
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