2017-2018年北京市通州区高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2018北京市通州区高三（三模）数 学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|02}S x x x =<>或，{|13}T x x =<<，则ST =（A ）(2,3)（B ）(1,2)（C ）(1,3)（D ）(0,1)(2,3)（2）若复数(2i)(1i)z =+-，则z 的模等于（A ）2（B ）5（C ）10（D ）32（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）4 （B ）9 （C ）16 （D ）21（4）若,x y 满足3,3230,20,x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩≤≥≥则y x 的最大值为（A ）12（B ）1 （C ）32（D ）2（5）设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则(2),(π),(3)f f f -- 的大小顺序是（A ）(π)(2)(3)f f f -<-< （B ）(2)(3)(π)f f f -<<- （C ）(π)(3)(2)f f f -<<-（D ）(3)(2)(π)f f f <-<-（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（7）已知非零向量a,b ， 则“0>⋅a b ”是“a,b 夹角为锐角”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是 （lg30.477≈）（A ）3710-（B ）3610-（C ）3510-（D ）3410-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2 D．a3﹣b3＜04．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B． C．D．5．若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF 1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A ．B．C．D．或7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知i为虚数单位，则复数i（1﹣i）=．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a3=．11．三个数中最大的数是．12．在△ABC中，，则∠A=．13．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的渐近线的方程为；该双曲线的离心率为．14．若函数①当a=2时，若f（x）=1，则x=；②若f（x）的值域为[0，2]，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．已知{a n}是等差数列，{b n}是正项的等比数列，且a1=b1=2，a5=14，b3=a3．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}中满足b4＜a n＜b6的各项的和．17．昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛．按年龄段将参赛学生分为A，B，C三个组，各组人数如下表所示．组委会用分层抽样的方法从三个组中选出6名代表．（I）求A，B，C三个组各选出代表的个数；（II）若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率P1；（III）若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为P2，试判断P1与P2的大小关系（不要求证明）．18．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，M，N分别为BC，AB中点．（I）求证：MN∥平面PAC（II）求证：平面PBC⊥平面PAM（III）在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m＞0）．（I）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）求函数f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m﹣2成立的m取值范围．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且经过点P（0，），离心率为，过点F1的直线l与直线x=4交于点A （I）求椭圆C的方程；（II）当线段F1A的垂直平分线经过点F2时，求直线l的方程；（III）点B在椭圆C上，当OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：==1﹣i，故选：D．3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2 D．a3﹣b3＜0【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质求解即可．【解答】解：对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选D．4．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得cosθ=的值，可得θ的值．【解答】解：∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），•（+）=（1，0）•（，）=，设与+的夹角为θ，则由cosθ===，可得θ=，故选：B．5．若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x 在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF 1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用正弦定理计算∠MF2F1=60°或120°，分类求出c的值，利用双曲线的定义计算a，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵M是双曲线上的一点，|MF 1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的某四棱锥的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进行求解即可．【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知i为虚数单位，则复数i（1﹣i）=1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数i（1﹣i）=i+1，故答案为：1+i．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a3=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】a3=S3﹣S2，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且，∴a3=S3﹣S2=（9+3）﹣（4+2）=6．故答案为：6．11．三个数中最大的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵e﹣2∈（0，1），＞1，ln2∈（0，1），因此三个数中最大的数是．故答案为：．12．在△ABC中，，则∠A=105°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角C，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到A．【解答】解：由题意：已知，由正弦定理=，则有sinC=∵0°＜C＜135°∴C=30°则A=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的渐近线的方程为y=±；该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线的斜率，得到双曲线的渐近线的方程，求出的值，e==，求出离心率．【解答】解：∵一条渐近线的倾斜角为，∴渐近线的斜率为k=tan=，∴双曲线的渐近线的方程为y=±x，∴=，∴e===，故答案为：，．14．若函数①当a=2时，若f（x）=1，则x=0；②若f（x）的值域为[0，2]，则a的取值范围是[，e2] ．【考点】分段函数的应用．【分析】函数y=2﹣x （﹣1≤x＜1）的值域为（，2]，函数y=lnx （1≤x ≤a）的值域为：[0，lna]，①即2﹣x =1，②≤lna≤2即可．【解答】解：函数y=2﹣x （﹣1≤x＜1）的值域为（，2]，函数y=lnx （1≤x≤a）的值域为：[0，lna]①当a=2时，若f（x）=1，即2﹣x =1，则x=0②若f（x）的值域为[0，2]，≤lna≤2，则a的取值范围是．故答案为：0，．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）根据二倍角的余弦公式结合辅助角公式，化简整理得f（x）=．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期的结论，不难得到函数f（x）的最小正周期；（II）由（I）得到的表达式，结合当x∈[﹣，]时，，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）===，∴ω=2，∴f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）∵，∴．于是，当时，；当，．16．已知{a n}是等差数列，{b n}是正项的等比数列，且a1=b1=2，a5=14，b3=a3．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}中满足b4＜a n＜b6的各项的和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意，可求得d与q，从而可求得{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）b4＜a n＜b6，即24＜3n﹣1＜26，可求得n=6，7，8，…，21，于是满足b4＜a n＜b6的各项的和为a6+a7+…+a21=S21﹣S5=，利用等差数列的求和公式可得答案．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2，a5=14，所以a1+4d=14．所以d=3．所以a n=3n﹣1．所以b3=a3=8．因为b1=2，因为，所以q2=4．因为b n＞0，所以q=2．所以．…（Ⅱ）因为b4＜a n＜b6，即24＜3n﹣1＜26，所以，n∈N*．即n=6，7，8， (21)所以满足b4＜a n＜b6的各项的和为a6+a7+…+a21=S21﹣S5===632．…17．昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛．按年龄段将参赛学生分为A，B，C三个组，各组人数如下表所示．组委会用分层抽样的方法从三个组中选出6名代表．（I）求A，B，C三个组各选出代表的个数；（II）若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率P1；（III）若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为P2，试判断P1与P2的大小关系（不要求证明）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）先求出样本容量与总体容量的比，由此能求出A，B，C三个组各选出的代表的个数．（II）设来自A，B，C三个组的代表分别为a1，a2，b1，b2，b3，c．利用列举法能求出这两名代表来自同一组的概率．（III）利用等可能事件概率计算公式能得到P2＞P1．【解答】（本小题满分14分）解：（I）因为样本容量与总体容量的比是，所以A，B，C三个组各选出的代表的数量分别为：．所以A，B，C三个组各选出的代表的个数分别为2，3，1．…（II）设来自A，B，C三个组的代表分别为a1，a2，b1，b2，b3，c．则从6名代表中任意取出两人的所有结果所构成的基本事件空间：Ω={（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）}，共15个基本事件．记事件D=“抽出的两个代表来自同一组”．则D={（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）}，共4个基本事件．所以这两名代表来自同一组的概率．…（III）P2＞P1．…18．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，M，N分别为BC，AB中点．（I）求证：MN∥平面PAC（II）求证：平面PBC⊥平面PAM（III）在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用M，N分别为BC，AB中点，得MN∥AC，即可证明：MN ∥平面PAC（II）证明BC⊥平面PAM，即可证明：平面PBC⊥平面PAM（III）过点M作ME⊥AC，交AC于点E，可得ME⊥平面PAC．【解答】（I）证明：因为M，N分别为BC，AB中点，所以MN∥AC．因为MN⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以MN∥平面PAC．…（II）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AB=AC=2，M为BC的中点，所以AM⊥BC．因为AM∩PA=A，所以BC⊥平面PAM．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM．…（III）解：存在．过点M作ME⊥AC，交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥ME．因为ME⊥AC，AC∩PA=A，所以ME⊥平面PAC．因为在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，M为BC的中点，所以ME=．…19．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m＞0）．（I）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）求函数f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m﹣2成立的m取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最大值g（m），设h（m）=g（m）﹣（m﹣2），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（I）若m=1，则f（x）=lnx﹣x．所以．所以f'（1）=0，f（1）=﹣1．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（II）因为，当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．所以f（x）在上单调递增；在上单调递减．所以f（x）的最大值．g（m）＞m﹣2，即g（m）﹣（m ﹣2）＞0．．设h（m）=g（m）﹣（m﹣2）=﹣lnm﹣m+1．因为，所以h（m）在（0，+∞）上单调递减．又因为h（1）=0所以当0＜m＜1时，h（m）＞h（1）=0．所以m取值范围为（0，1）．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且经过点P（0，），离心率为，过点F1的直线l与直线x=4交于点A （I）求椭圆C的方程；（II）当线段F1A的垂直平分线经过点F2时，求直线l的方程；（III）点B在椭圆C上，当OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得解得即可，（Ⅱ）法一：设A（4，y），F1（﹣2，0），根据线段F1A的垂直平分线经过点F2得到|F1F2|=|F2A|，代值计算即可y的值，即可求出直线方程，法二：设过点F1（﹣2，0）的直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），再设AF1的中点P（x0，y0）．根据PF2⊥F1A，即可求出k的值，（Ⅲ）点B在椭圆C上，设B（m，n），n∈[﹣，0）∪（0，]，A（4，y），根据两点之间的距离公式，化简整理，再根据函数的单调性求出最值．【解答】解：（I）由解得所以椭圆C的方程为+=1．（II）法一：设A（4，y），F1（﹣2，0），因为线段F1A的垂直平分线经过点F2，所以|F1F2|=|F2A|．由2c=4=，解得y=±2．所以直线l的方程为y=±（x+2）．（II）法二设过点F1（﹣2，0）的直线l的斜率为k，显然k存在．则直线l的方程为y=k（x+2）．所以A（4，6k）．设AF1的中点P（x0，y0）．则．所以P（1，3k）．因为PF2⊥F1A，所以．所以．所以直线l的方程为y=±（x+2）．（III）点B在椭圆C上，设B（m，n），n∈[﹣，0）∪（0，]，A（4，y）．因为OA⊥OB，所以，即4m+ny=0．因为点B在椭圆C上，所以+=1，所以|AB|2=（m﹣4）2+（n﹣y）2=m2﹣8m+16+n2﹣2ny+y2=m2﹣8m+16+n2+8m+y2，=m2+16+n2+y2=m2+16+n2+（）2，=9（1﹣）+16+n2+，=﹣﹣设t=n2，t∈（0，5]设．因为，所以g（t）在（0，5]上单调递减．所以当t=5，即时，|AB|min=．。

2017-2018学年（上）高三学业质量监测数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1．已知复数z 满足 1i 2i z ，则复数z 的模为 ．2．已知集合 1,2A ， 2,1B a a ，若 1A B ，则实数a 的值为 ． 3．双曲线22163y x 的焦距为 ．4．某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x ，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ． 6．将3个球随机放入编号为1,2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子里都有球的概率为 ．7．设,a b R ，关于x 的不等式组00x ax b x的解集为 14x x ，则a b 的值为 ． 8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的体积为 ． 9．设等差数列 n a 的公差不为0，且1102a a ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则实数k 的值为 ．10．设函数 2cos f x x x R ，其中0 ， ，若528f， 0f ，且 f x 的周期大于 ，则 的值为 ．I 1 While I 100I I 2 S 2I 3 End While Print S11．若正实数,a b 满足32a b ，则3131a ab 的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 222:3M x y a 0a ，点,02a A， 1,0B ，3,2C ，若圆M 上存在点P ，使得90BPC ，45PAB ，则a 的值为 ． 13．定义在R 上的函数 f x ，满足 44f x f x f x ，当 0,2x 时，2f x x x ，则函数 2log 1g x f x x 的零点个数为 ．14．已知向量,,a b c ，1 a ，2 b ，3 c ，对于任意的向量b ，都有 a b b c 则 a c 的最大值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，252sin cos 232A A．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的三个顶点都在单位圆上，且225b c ，求边,b c 的值．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABCD ，E 为线段AD 上一点，且AC BE ． （1）求证：PBE PAC 平面平面；（2）若90PCD ，求证：CD ∥平面PBE ．17．（本小题满分14分）如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数 y f x 的图象，前一段曲线OA是函数y 图象的一部分，后一段AB 是一条线段．测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米．（1）求函数 y f x 的解析式；（2） 现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边）．问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积．AD在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b 0a b 的左、右焦点，过左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点．（1）若2MF 与x 轴垂直，且14MN F N，求椭圆C 的离心率； （2）设椭圆C 的左项点为A ，过点A 与直线l 平行的直线交椭圆C 于点P ，交y 轴于点Q ．求证：AP AQMN为定值．19． （本小题满分16分）己知函数 e 1x f x m x ，其中m R ，e 是自然对数的底数． （1）若直线22y x 是曲线 y f x 的一条切线，求m 的值； （2）讨论 f x 的单调性；（3）若 f x 在R 上有两个零点，求m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列 n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且112n n n S a a*n N ． （1）求证：数列 2n S 为等差数列；（2）从数列 2n S 中抽出k 个不同的项按一定次序组成新数列 k b ．① 若13b ，且12b b ，23b b ，31b b 成等差数列，求123b b b 的值；② 是否存在偶数k ，使得12b b ，23b b ，34b b ， ，1k k b b ，1k b b 成等差数列？ 若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．。

通州区2017—2018学年度高三摸底考试数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，集合，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】选D2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】A. 在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B. 在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；C. 在其定义域上既是奇函数又是增函数D. 在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数故选C3. 一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是，那么输入的值是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵输出的结果为1，当时，；当时，，故选B．【点睛】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4. 在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，高为4，底面为底边长，为4，高为4的等腰三角形，该四面体的体积是故选A．5. 已知，那么“直线与垂直”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与垂直，则故“直线与垂直”是“”的必要不充分条件故选B6. 已知，，，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A. ,故不成立；对于B.，故不成立对于C，，故不成立故选D7.已知点，点满足线性约束条件为坐标原点，那么的最小值是A. B. C. D.【答案】C【解析】点满足线性约束条件∵令目标函数画出可行域如图所示，联立方程解得在点出取得最小值：故选D【点睛】此题主要考查简单的线性规划问题以及向量的内积的问题，解决此题的关键是能够找出目标函数.8. 如图，各棱长均为的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，且∥平面，则这样的有A. 条B. 条C. 条D. 无数条【答案】D【解析】过作交于过作连结使得，则平面平面，则∥平面，因为为线段上的动点，所以这样的有无数条选D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 已知复数的实部与虚部相等，那么实数_______.【答案】2【解析】复数，由题意复数的实部与虚部相等，则实数 2即答案为210. 已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是_______.【答案】3..................【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，解题的关键弄清抛物线的焦点坐标为，准线方程为11. 在△ABC中，已知，，，那么_______.【答案】【解析】因为．由余弦定理知，所以：即答案为12. 已知向量，，若，，，则，夹角的度数为_______.【答案】【解析】由题则!，夹角的余弦值即答案为13. 已知圆的圆心在轴上，半径长是，且与直线相切，那么圆的方程是_______.【答案】，【解析】设圆心∵圆心在轴上、半径为的圆与直线相切∴圆心到直线的距离为∴圆的方程为，或14. 已知函数（1）若，则的零点是_______.（2）若无零点，则实数的取值范围是_______.【答案】(1). (2).【解析】（1）若，则，令可得，即的零点是（2）若无零点,则如图所示当此时，应有，当如图所示，此时应有，综上可得三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）单调递增区间是（Ⅱ）最大值和最小值分别为和．【解析】试题分析：（I）由三角函数的恒等变换化简解析式可得，由周期公式可求，由可解得的单调递增区间．（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质也可求出在区间上的最大值和最小值．试题解析：（Ⅰ）因为．所以的最小正周期由，得所以的单调递增区间是（Ⅱ）因为，所以.所以当，即时，函数取得最大值是.当，即时，函数取得最小值．所以在区间上的最大值和最小值分别为和．16. 某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.注：方差【答案】（Ⅰ）88，48.4.（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解乙地对企业评估得分的平均值和方差即可．（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88，89，93，95共4个，乙区优秀企业得分为86，95，96共3个．列出从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件，求出得分的绝对值的差不超过5分的个数．即可求解概率．试题解析：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是，方差是.（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有，，，，，，，，，，，共组，设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件，则事件包含有，，，，，，，共组.所以所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是17. 已知数列的前项和为，，.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）因为，，分别令可求出，的值；（Ⅱ）因为，所以，所以，由此可得数列是首项，公比是的等比数列.所以因为，所以最后由分组求和法可求数列的前项和.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以所以所以所以（Ⅱ）因为，所以，所以所以因为所以数列是首项，公比是的等比数列.所以因为，所以所以所以数列的前项和18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在棱上求作一点，使得，并说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析。

通州区高三年级摸底考试数学（文）试卷1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,22．在复平面内，复数21ii-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为 （A ）()0,1 （B ）()0,1- （C ）()1,0（D ）()1,0-4．设函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）1- （B ）1 （C ）2-（D ）25．一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的体积是 （A ）1642+（B ）1242+（C ）8 （D ）46．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）5122- （B ）5022- （C ）5121- （D ）5021-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（A ）355（B ）2 （C ）115（D ）3第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）222正（主）视图 侧（左）视图俯视图开始 k =1，S =0 k ≥50S =S +2k 输出S k=k+1 结束是 否9. 在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = ．10．已知,x y 满足约束条件24,24,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥则z x y =+的最大值为 ．11．若10x +>，则11x x ++的最小值为 ． 12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是 ．13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是 ．14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ⎧=⎨<⎩≥若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为 ．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，22AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ．17．（本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：2 1 2 4 43 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲 乙N MB 1A 1C 1CBA克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 10F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．19.（本小题满分13分）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =． 记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线． （Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．通州区 — 第一学期期末试卷答案高三数学（文科） .1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C BCADBAB二、填空题9． 4025 10． 83 11． 112．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14． 1- 三、解答题15．解：（Ⅰ）由已知，得()11sin 2cos222f x x x =+ (2)分224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………………4分所以 22T ππ==，即 ()f x 的最小正周期为π； (6)分（Ⅱ）因为 82x ππ-≤≤，所以 50244x ππ≤+≤． ……………… 7分于是，当242x ππ+=时，即8x π=时，()f x 取得最大值2；…… 10分当5244x ππ+=时，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．……………13分16．证明：（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以 CC 1⊥BC ． …………………………………………1分 因为 AC =BC =2，22AB =，所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………4分 因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，所以 BC ⊥AM ． ……………………6分 （Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1． ………………8分因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点， 所以 112CM CC =，112NP BB =． …………9分因为 BB 1=CC 1，所以 NP =CM ． ……………………10分 所以 四边形MCNP 是平行四边形．…………11分所以 CN //MP ． ……………………12分 因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………13分PN MB 1A 1C 1CBA所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………14分17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2s 甲 、2s 乙， 则1221141131111111071136X +++++==甲， ……………………1分1241101121151081091136X +++++==乙， ……………………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， (4)分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， (6)分由于 22s s <甲乙，所以 甲车间的产品的重量相对稳定； (7)分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． (9)分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． ………………11分 所以 ()415P A =． ………………13分18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>， (1)分则 10a =2c =． …………………………………………2分 所以 221046b a c =-=- …………………………………3分所以 椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分21222035k x x k +=+， (9)分所以 1221235ky y k +=-+． (10)分因为 四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， (13)分解得21k =，所以1k =±． (14)分19．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩ (3)分 当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分 当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分 所以11b =-． ………………………………………………………… 6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立， (7)分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立， 即 ()2max38b x x ≥-+. (11)分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以 当43x =时，()2max 16383x x -+=， ……………………………12分 所以 163b ≥， 所以 b 的最小值为163． ………………………………13分法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max32b x ax ≥--． (8)分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， (9)分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分当40a -≤<时，()2max33a aF x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ． (11)分又2max 1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以163b ≥． ………………………………12分综上，b 的最小值为163． ………………………………13分20．（Ⅰ）解：()001234500a f a a a a a a ==+++++， (2)分()01234501234511a a a a a a f a a a a a a +++++==+++++； ………………………………4分（Ⅱ）解：115n n n n n n y y k a x x T---==-，1,2,3,4,5n =． (6)分因为 012345a a a a a a <<<<<，所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =． (9)分事实上，当()1,n n x x x -∈时，()()()()()1111n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=⋅-+-()()1111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+--1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<+--x =．下面证明()n n f x x <． 法一：对任何n ()1,2,3,4n =，()()()121255n n a a a n n a a a +++=+-+++⎡⎤⎣⎦ (10)分()()()12125n n n a a a n a a a =++++-+++()()125n nn a a a n na ≤++++- (11)分()125n n n a a a n a =++++-⎡⎤⎣⎦()1215n n n a a a a a nT +<++++++= (12)分所以 ()125nn n a a a nf x x T+++=<=．…………………………13分法二：对任何n ()1,2,3,4n =，当1n k <时，()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-++-()12155n n nk k k x =+++<=；………………………………………10分当1n k ≥时，()55n n y y y y =--()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-++-⎡⎤⎣⎦()125115n n k k k ++=-+++ ()115.55n nn x <--==综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。

开始输入x 0x ≥？ 21y x =- 1y x =-是否 输出y 结束 2018北京市通州区高三数 学（文）（上）期末2018年1月第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}2|20A x x x =∈-≤Z ，集合{}1,0,1B =-，那么A B 等于A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是A ．1y x =-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x = D ．2log y x=3．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2（第3题） （第4题）4．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是A ．323B ．16C ．643D ． 325．已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式一定成立的是 A.11a b > B. tan tan a b > C. 22log log a b >D. 22b a a b --⋅>⋅ 7．已知点()2,1A -，点),(y x P 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，那么OP OA ⋅的最小值是8．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ， 则这样的MN 有A ．1条B ． 2条C ．3条D ．无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数2i ia-的实部与虚部相等，那么实数a =_______. 10．已知点()222P ，为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是_______. 11．在△ABC 中，已知4AB =，6AC =，60A =︒， 那么BC = _______.12．已知向量a ，b ，若3=a ，13-=a b ，6⋅=a b ，则a ，b 夹角的度数为_______.13．已知圆C 的圆心在x 轴上，半径长是5，且与直线20x y -=相切，那么圆C 的方程是_______.14．已知函数()222.x a x f x a x x ⎧+<=⎨-≥⎩‚‚‚（1）若2a =-，则()f x 的零点是_______. （2）若()f x 无零点，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本题满分13分）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值． NMC 1B 1A 1CBA某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得 分的平均值和方差； （Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各 随机选取1个，求这两个企业得分的差的 绝对值不超过5分的概率. 注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦17．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n a S +=+. （Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）设221n n b a n =--，求数列{}n b 的前n 项和n T . 6 3 9 7 9 6 8 8 甲地企业 4 乙地企业7 9 8 3如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为正方形，平面ABE ⊥底面BCDE ， AB AE BE ==，点M ，N 分别是AE ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：//MN 平面ABC ； （Ⅱ）求证：BM ⊥平面ADE ；（Ⅲ）在棱DE 上求作一点P ，使得CP AD ⊥，并说明理由.19．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率22e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．NMDEC B A已知函数()ln f x x a x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值； （Ⅲ）若函数()()21F x f x x =，当2a =时，()F x 的最大值为M ，求证：32M <.数学试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBABDCD二、填空题9．210.311. 27 12.3π13. ()2255x y -+=，()2255x y ++=14.12，(][),40,2-∞-三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为()f x sin 2cos2x x =+2sin 2+4x π⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………………4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==……………………5分 由222242k x k πππππ-+<+<+，得3.88k x k ππππ-+<<+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，……………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数取得最大值是2.当5244x ππ+=，即2x π=时，函数取得最小值52sin1.4π=-． 所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为2和1-．……………………13分 16. 解：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是()19794888378885⨯++++=，方差是()()()()()2222219788948888888388788848.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.……………………4分（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有()96,97，()96,94，()96,88，()93,97，()93,94，()93,88，()89,97，()89,94，()89,88，()86,97，()86,94，()86,88共12组， ……………………8分则事件A 包含有()96,97，()96,94，()93,97，()93,94，()93,88，()89,94，()89,88，()86,88共8组. ……………………11分 所以()82.123P A == 所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是2.3……………………13分17. （Ⅰ）因为112a =，121n n a S +=+，所以2113211.2a S a =+=+=所以23.4a =……………………2分 所以32129211.4a S a a =+=++=所以39.8a =……………………4分 （Ⅱ）因为121n n a S +=+，所以121n n a S -=+，()2n ≥ 所以1122.n n n n n a a S S a +--=-=所以13.2n n a a +=……………………7分 因为213.2a a =……………………8分 所以数列{}n a 是首项112a =，公比是32的等比数列.所以113.22n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为221n n b a n =--，所以132 1.2n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭……………………9分所以12n n T b b b =+++113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()31242nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-2322 2.nn n ⎛⎫=---所以数列{}n b 的前n 项和2322 2.2n nn n T ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭……………………13分18.解：（Ⅰ）因为点M ，N 分别是AE ，AD 的中点，所以//.MN DE 因为四边形为正方形，所以//.BC DE所以//.MN BC因为MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以//MN 平面.ABC ……………………4分 （Ⅱ）因为平面ABE ⊥底面BCDE ，DE BE ⊥， 所以DE ⊥平面.ABE因为BM ⊂平面ABE ，所以.DE BM ⊥因为AB AE BE ==，点M 是AE 的中点，所以.BM AE ⊥ 因为DEAE E =，DE ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以BM ⊥平面.ADE ……………………9分（Ⅲ）取BE 中点F ，连接AF ，DF ，过C 点作CP DF ⊥，交DE 于点P . 则点P 即为所求作的点.……………………11分理由：因为AB AE BE ==，点F 是BE 的中点，所以.AF BE ⊥ 因为平面ABE ⊥底面BCDE ，所以AF ⊥平面.BCDE 所以AF ⊥.CP 因为CP DF ⊥，AFDF F =，所以CP ⊥平面.ADF因为AD ⊂平面ADF ，所以CP ⊥.AD ……………………14分19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率22e =， 所以1b =，2.2c a =……………………2分 所以由222a b c =+，得22.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分 （Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,P x y ，()22,Q x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k-⋅=+……………………7分 因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠. 所以0.MP NP k k +=……………………9分 所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k-⋅-++=++ 所以2420.12k kmk -+=+所以420.k km -+=……………………12分 因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分20. 解：（Ⅰ）因为函数()ln f x x a x =+，且1a =， 所以()ln f x x x =+，()0,.x ∈+∞ 所以().f x x'=+11 所以()11f =，().f '=12 所以曲线在1x =处的切线方程是()y x -=-121，即.x y --=210……………………3分（Ⅱ）因为函数()()ln 0f x x a x x =+>，所以().a x a f x x x+'=+=1 （1）当a ≥0时，()f x '>0，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 所以函数()f x 在[]1,e 上的最小值是()1 1.f =（2）当a <0时，令()f x '>0，即x a +>0，所以.x a >- 令()f x '<0，即x a +<0，所以.x a <-所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()1 1.f =（ii ）当a e <-<1，即e a -≤≤-1时，()f x 在[]1,a -上单调递减，在(],a e -上单调递增， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln .f a a a a -=-+- （iii ）当a e -≥，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是().f e e a =+综上所述，当a ≥-1时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()1 1.f = 当e a -≤≤-1时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln .f a a a a -=-+- 当a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上的最小值是().f e e a =+……………………7分 （Ⅲ）因为函数()()21F x f x x =，所以()21ln .a x F x x x =+ 所以当2a =时，()324ln .x xF x x--'=令()24ln g x x x =--，所以()g x 是单调递减函数. 因为()g =>110，()ln g =-<2420，所以在()1,2上存在0x ，使得()g x =00，即0024ln 0.x x --= 所以当(),x x ∈01时，()0g x >；当(),x x ∈02时，()0.g x < 即当(),x x ∈01时，()0F x '>；当(),x x ∈02时，()0.F x '< 所以()F x 在()01,x 上单调递增，在(),x 02上单调递减. 所以当x x =0时，()F x 取得最大值是()00022ln .x x M F x x +==因为24ln 0x x --=，所以20220000211111.22416x M x x x x ⎛⎫+==+=+- ⎪⎝⎭ 因为(),x ∈012，所以,.x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01112 所以3.2M <……………………14分11 / 11。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）题号 1 2 3 4 567 8 答案BDACB CCB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1 10．3 11．212．713．254 14．114k ≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共80分．） 15．解：（Ⅰ）()31sin 2cos 2cos 22f x x x x =-+ 31sin 2cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以的最小正周期为22T ππ==． ………………7分 （Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值1；2019. 1当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．………………………13分16．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前4项依次成等比数列，所以341a a q =⋅，即318q -=⋅．所以12q =-，从而2312a a q =⋅=．因为数列{}n a 从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d ， 所以433d a a =-=-，从而544a a d =+=-．所以12q =-，54a =-； …………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，214a a q ==-． 当1n =时，118S a ==， 当2n =时，2124S a a =+=， 当3n ≥时，2123(2)[(2)1)]319(2)9222n n n S a a n a d n n ---=++-+=-+-，此式对2n =也成立．综上所述，2813199,222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+-≥⎪⎩，，．…………………………………………13分17．（Ӏ）记两站间票价5元为事件A ．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为15个.所以两站间票价为5元的概率()526P A =. .............4分 （Ⅱ）由表格数据知10.20.8a b +=-=，所以15250.8n +=，即50n =．所以150.3a n ==，250.5b n==，50(1525)10c =-+=． .............8分 记n 名乘客乘车平均消费金额为x ，3104155254.350x ⨯+⨯+⨯== ............10分（Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可） . ........... 13分18．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ． ……………………………… ………………1分 又1AA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1AA AE ⊥． 因为11BB AA P ，所以． ……………………………………………2分因为1BC BB B =I ，BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， 所以． …………………………………………………3分所以平面ABC ⊥平面11BB C C ； …………………………………………………4分 （Ⅱ）解：………………5分取11B C 的中点D ，连结DE ，则1DE BB P ，1DE BB =，所以，3DE =． ………………6分又F 是11A B 的中点，所以111C F A B ⊥，13C F =．…………………………………7分 所以111111111111111133323222FB C A B C E FB C V S DE S DE A B C F DE -∆∆=⋅=⨯⋅=⨯⨯⋅⋅=，即三棱锥11C EFB -的体积为32．………………9分 （Ⅲ）解：在1A E 上存在一点M ，满足题意.取1A E 中点M ，连结MF ． ………………10分 因为F 是11A B 的中点， 所以MF 是11A B E ∆的中位线，所以1MF B E P ． ………………………………………………………………11分 因为MF ⊄平面11BB C C ，1B E ⊂平面11BB C C ，所以MF P 平面11BB C C ， ………………………………………………12分 即直线MF 与平面11BB C C 没有公共点． ………………………………………………13分所以11A MME=． ………………………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）由题意得2221,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点． 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分 20．解：（Ⅰ）当1a =时，21()2xf x e x x =--， 所以'()1xf x e x =--，'(0)0f =，()01f =．所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =． …………………………………3分 （Ⅱ）因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以'()0xf x e x a =--≥恒成立，即'()f x 的最小值()min 0f x '≥．令()'()xg x f x e x a ==--，则'()1xg x e =-．在(,0)-∞，'()0g x <，()f x '单调递减；在(0,)+∞，'()0g x >，()f x '单调递增．所以min ()(0)1f x f a '==-． 所以10a -≥，即1a ≤．所以若()f x 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是(]1-∞，．……………………7分 （Ⅲ）当0x <时，22()32(1)5t x x a a x '=--++，因为30>，2103a a -+>， 所以()t x '在(,0)-∞单调递减，且()5t x '>； 当0x >时，()()xt x f x e x a ''==--，由（Ⅱ）知()t x '在(0,)+∞递增，且()1t x a '>-．若对任意的实数1x ，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，则（ⅰ）当10x<时，20x>．所以15a-≤，即4a≥-；（ⅱ）当10x>时，20x<．所以15a-≥，即4a≤-．综合（ⅰ）（ⅱ）可得4a=-．……………………………………………………13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷2019年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤ 0}，则A B I 等于A.{}1B. {}12， C. {}0123，，， D. {}10123，，，，- 2. 已知向量(),2a =m ,()1,1a =+n ，若P m n ，则实数a 的值为A. 23-B. 2-C. 2或1-D. 2-或13. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()31xf x =-，则()2f -等于A. 8-B. 8C. 109-D. 89.4. 执行右面的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为A.5k <？B. 5?k ≥C. 6?k <D.6?k ≥5. 已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.B.C.D.6. “0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．4.考试结束后，请将答题卡交回．BCPD7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. 24B. 28C.2045+D. 2046+8.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 按逆时针方向旋转至OD ．在旋转的过程中，记AOP ∠ 为x ，OP 所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ．对于函数()f x 给出以下4个结论：①142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，为减函数； ③()()4f x f x π+-=； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i(1+i)的虚部为______．10.若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．11. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值等于______ ．12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于______．13．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．14. 已知函数()22,2,log , 2.x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分） 已知函数()2sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前4项依次成公比为q 的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且18a =，41a =-.（Ⅰ）求q 及5a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .17．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷2019年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤ 0}，则AB 等于A.{}1B. {}12， C. {}0123，，， D. {}10123，，，，- 2. 已知向量(),2a =m ,()1,1a =+n ，若mn ，则实数a 的值为A. 23-B. 2-C. 2或1-D. 2-或13. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()31xf x =-，则()2f -等于A. 8-B. 8C. 109-D. 89.4. 执行右面的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为A.5k <？B. 5?k ≥C. 6?k <D.6?k ≥5. 已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.B.C.D.6. “0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A. 24 B. 28C.20+D. 20+8.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 按逆时针方向旋转至OD ．在旋转的过程中，记AOP ∠ 为x ，OP 所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ．对于函数()f x 给出以下4个结论：①142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，为减函数； ③()()4f x f x π+-=； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i(1+i)的虚部为______．10.若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．11. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值等于______ ．12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于______．13．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．14. 已知函数()22,2,log , 2.x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 已知函数()2sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前4项依次成公比为q 的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且18a =，41a =-.（Ⅰ）求q 及5a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .17．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价为5元的概率；（Ⅱ）在土桥出站口随机调查了n 名下车的乘客，将在八通线各站上车情况统计如下表：求,,,a b c n 的值，并计算这n 名乘客乘车平均消费金额；（Ⅲ）某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站，中途任选一站出站一次，之后再从该站乘车．若想两次乘车花费总金额最少，可以选择中途哪站下车？（写出一个即可） 18．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱111ABC A B C - 中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =， E ，F 分别为BC ，11A B 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求三棱锥11C EFB -的体积；（Ⅲ）在线段1A E 上是否存在一点M ，使直线MF 与平面11BB C C 没有公共点？若存在，求1A MME的值；若不存在，请说明理由. 19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()0,1A ，且椭圆的离心率为3(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若在直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．20．（本小题13分）已知函数()21()R 2xf x e x ax a =--∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()()()322,0,152,0f x x t x x a a x x x ⎧>⎪=⎨--++-<⎪⎩对任意的实数()110x x ≠，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，求a 的值．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．1 1011．212．713．254 14．114k ≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共80分．） 15．解：（Ⅰ）()12cos 2cos 222f x x x x =-+ 2019. 11sin 2cos 222x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以的最小正周期为22T ππ==． ………………7分 （Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值1；当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．………………………13分16．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前4项依次成等比数列，所以341a a q =⋅，即318q -=⋅．所以12q =-，从而2312a a q =⋅=．因为数列{}n a 从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d ， 所以433d a a =-=-，从而544a a d =+=-．所以12q =-，54a =-； …………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，214a a q ==-． 当1n =时，118S a ==， 当2n =时，2124S a a =+=， 当3n ≥时，2123(2)[(2)1)]319(2)9222n n n S a a n a d n n ---=++-+=-+-，此式对2n =也成立．综上所述，2813199,222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+-≥⎪⎩，，．…………………………………………13分17．（Ӏ）记两站间票价5元为事件A ．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为15个.所以两站间票价为5元的概率()526P A =. .............4分 （Ⅱ）由表格数据知10.20.8a b +=-=，所以15250.8n +=，即50n =．所以150.3a n ==，250.5b n==，50(1525)10c =-+=． .............8分记n 名乘客乘车平均消费金额为x ，3104155254.350x ⨯+⨯+⨯== ............10分（Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可） . ........... 13分18．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ． ……………………………… ………………1分 又1AA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1AA AE ⊥． 因为11BB AA ，所以． ……………………………………………2分因为1BC BB B =，BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，所以． …………………………………………………3分所以平面ABC ⊥平面11BB C C ； …………………………………………………4分 （Ⅱ）解：………………5分取11B C 的中点D ，连结DE ，则1DEBB ，1DE BB =，所以，3DE =． ………………6分又F 是11A B 的中点，所以111C F A B ⊥，1C F =7分所以1111111111111111332322FB C A B C E FB C V S DE S DE A B C F DE -∆∆=⋅=⨯⋅=⨯⨯⋅⋅=， 即三棱锥11C EFB -的体积为2．………………9分 （Ⅲ）解：在1A E 上存在一点M ，满足题意.取1A E 中点M ，连结MF ． ………………10分 因为F 是11A B 的中点， 所以MF 是11A B E ∆的中位线， 所以1MFB E ． ………………………………………………………………11分因为MF ⊄平面11BB C C ，1B E ⊂平面11BB C C ， 所以MF平面11BB C C ， ………………………………………………12分即直线MF 与平面11BB C C 没有公共点． ………………………………………………13分所以11A MME=． ………………………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点． 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分 20．解：（Ⅰ）当1a =时，21()2xf x e x x =--， 所以'()1xf x e x =--，'(0)0f =，()01f =．所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =． …………………………………3分 （Ⅱ）因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以'()0xf x e x a =--≥恒成立，即'()f x 的最小值()min 0f x '≥．令()'()xg x f x e x a ==--，则'()1xg x e =-．在(,0)-∞，'()0g x <，()f x '单调递减；在(0,)+∞，'()0g x >，()f x '单调递增． 所以min ()(0)1f x f a '==-． 所以10a -≥，即1a ≤．所以若()f x 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是(]1-∞，．……………………7分 （Ⅲ）当0x <时，22()32(1)5t x x a a x '=--++，因为30>，2103a a -+>， 所以()t x '在(,0)-∞单调递减，且()5t x '>； 当0x >时，()()xt x f x e x a ''==--，由（Ⅱ）知()t x '在(0,)+∞递增，且()1t x a '>-．若对任意的实数1x ，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，则 （ⅰ）当10x <时，20x >．所以15a -≤，即4a ≥-； （ⅱ）当10x >时，20x <．所以15a -≥，即4a ≤-．综合（ⅰ）（ⅱ）可得4a =-．……………………………………………………13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分。

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤ 0}，则AB 等于A.{}1 B . {}12，C. {}0123，，，D. {}10123，，，，- 2. 已知向量(),2a =m ,()1,1a =+n ，若mn ，则实数a 的值为A. 23-B. 2-C. 2或1- D . 2-或13. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()31xf x =-，则()2f -等于A . 8- B. 8 C. 109-D. 89.4. 执行右面的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为A.5k <？B. 5?k ≥ C . 6?k < D.6?k ≥5. 已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为A. B.C.D.6. “0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A. 24 B. 28C.20+D. 20+8.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 按逆时针方向旋转至OD ．在旋转的过程中，记AOP ∠ 为x ，OP 所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ．对于函数()f x 给出以下4个结论：①142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，为减函数；③()()4f x f x π+-=； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的个数为A. 1 B . 2 C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i(1+i)的虚部为______．10.若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．11. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值等于______ ．12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于______．13．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．14. 已知函数()22,2,log , 2.x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 已知函数()2sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题13分）已知数列{}n a的前4项依次成公比为q的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且18a=，41a=-.（Ⅰ）求q及5a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的前n项和n S.17．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年a b c n的值，并计算这n名乘客乘车平均消费金额；求,,,（Ⅲ）某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站，中途任选一站出站一次，之后再从该站乘车．若想两次乘车花费总金额最少，可以选择中途哪站下车？（写出一个即可）18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A BC - 中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =， E ，F 分别为BC ，11A B 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11BBC C ； （Ⅱ）求三棱锥11C EFB -的体积；（Ⅲ）在线段1AE 上是否存在一点M ，使直线MF 与平面11BBC C 没有公共点？若存在，求1A M ME的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点()0,1A(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若在直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）2019. 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．110 11．212．713．254 14．114k ≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）15．解：（Ⅰ）()12cos 2cos 222f x x x x =-+12cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以的最小正周期为22T ππ==． ………………7分 （Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值1；当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．………………………13分16．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前4项依次成等比数列，所以341a a q =⋅，即318q -=⋅．所以12q =-，从而2312a a q =⋅=．因为数列{}n a 从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d ，所以433d a a =-=-，从而544a a d =+=-． 所以12q =-，54a =-； …………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，214a a q ==-． 当1n =时，118S a ==， 当2n =时，2124S a a =+=， 当3n ≥时，2123(2)[(2)1)]319(2)9222n n n S a a n a d n n ---=++-+=-+-，此式对2n =也成立．综上所述，2813199,222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+-≥⎪⎩，，．…………………………………………13分17．（Ӏ）记两站间票价5元为事件A ．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为15个.所以两站间票价为5元的概率()526P A =. .............4分 （Ⅱ）由表格数据知10.20.8a b +=-=，所以15250.8n +=，即50n =． 所以150.3a n ==，250.5b n==，50(1525)10c =-+=． .............8分 记n 名乘客乘车平均消费金额为x ，3104155254.350x ⨯+⨯+⨯== ............10分 （Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可） . ........... 13分18．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A BC -中， 因为△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ． ……………………………… ………………1分 又1AA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1AA AE ⊥． 因为11BB AA ，所以． ……………………………………………2分因为1BCBB B =，BC ⊂平面11BBC C ，1BB ⊂平面11BBC C ，所以． …………………………………………………3分所以平面ABC ⊥平面11BBC C ； …………………………………………………4分（Ⅱ）解：………………5分取11BC 的中点D ，连结DE ，则 1DEBB ，1DE BB =，所以，3DE =． ………………6分又F 是11A B 的中点，所以111C F AB ⊥，1C F =7分所以1111111111111111332322FB C A B C E FB C V S DE S DE A B C F DE -∆∆=⋅=⨯⋅=⨯⨯⋅⋅=即三棱锥11C EFB -9分（Ⅲ）解：在1AE 上存在一点M ，满足题意. 取1AE 中点M ，连结MF ． ………………10分 因为F 是11A B 的中点， 所以MF 是11AB E ∆的中位线， 所以1MFB E ． ………………………………………………………………11分因为MF ⊄平面11BBC C ，1B E ⊂平面11BBC C ， 所以MF平面11BBC C ， ………………………………………………12分 即直线MF 与平面11BBC C 没有公共点． ………………………………………………13分 所以11A MME=． ………………………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分 解得23a =． 所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分 由2213x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分 而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）当1a =时，21()2x f x e x x =--， 所以'()1x f x e x =--，'(0)0f =，()01f =．所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =． …………………………………3分 （Ⅱ）因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以'()0x f x e x a =--≥恒成立，即'()f x 的最小值()min 0f x '≥．令()'()xg x f x e x a ==--，则'()1x g x e =-． 在(,0)-∞，'()0g x <，()f x '单调递减；在(0,)+∞，'()0g x >，()f x '单调递增． 所以min ()(0)1f x f a '==-．所以10a -≥，即1a ≤．所以若()f x 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是(]1-∞，．……………………7分 （Ⅲ）当0x <时，22()32(1)5t x x a a x '=--++，因为30>，2103a a -+>， 所以()t x '在(,0)-∞单调递减，且()5t x '>；当0x >时，()()xt x f x e x a ''==--，由（Ⅱ）知()t x '在(0,)+∞递增，且()1t x a '>-．若对任意的实数1x ，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，则 （ⅰ）当10x <时，20x >．所以15a -≤，即4a ≥-；（ⅱ）当10x >时，20x <．所以15a -≥，即4a ≤-．综合（ⅰ）（ⅱ）可得4a =-．……………………………………………………13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分20．（本小题13分） 已知函数()21()R 2x f x e x ax a =--∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()()()322,0,152,0f x x t x x a a x x x ⎧>⎪=⎨--++-<⎪⎩对任意的实数()110x x ≠，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，求a 的值．。

通州区2017—2018学年度高三三模考试数学（文）试卷本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）210 ）2（11）12（12）101>>-（此题答案不唯一）（13）（14）2；29.5三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，满足12a =，414a =，数列{}n b 满足11b =，46b =，且{}n n a b -是等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若*n ∀∈N ，都有n k b b ≤成立，求正整数k 的值. （Ⅰ）解：设{}n a 的公差为d ，则4143a a d -== 所以2(1)442n a n n =+-⨯=-.故{}n a 的通项公式为42n a n =-（*n ∈N ）. 设n n n c a b =-，则{}n c 为等比数列.111211c a b =-=-=，4441468c a b =-=-=设{}n c 的公比为q ，则3418c q c ==，故2q =. 则12n n c -=，即12n n n a b --=所以1422n n b n -=--（*n ∈N ）故{}n b 的通项公式为1224---=n n n b （*n ∈N ）.（Ⅱ）解：由题意，k b 应为数列{}n b 的最大项. 由1114(1)2242242nn n n n b b n n --+-=+---++=-（*n ∈N ）当3n <时，10n n b b +->，1n n b b +<，即123b b b <<；当3n =时，10n n b b +-=，即34b b =；当3n >时，10n n b b +-<，1n n b b +>，即456b b b >>>综上所述, 数列{}n b 中的最大项为3b 和4b . 故存在3k =或4，使*n ∀∈N ，都有n k b b ≤成立. （16）（本小题13分）已知函数2()1cos()cos 2sin 2f x x x x π=+--. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当[0,]2x π∈时，1()2f x -≤≤.（I ）解：因为()cos cos2f x x x x =+2cos2x x +2sin(2)6x π=+，所以()f x 的最小正周期为π.（II ）证明：因为02x π≤≤， 所以72666x πππ+≤≤.所以1sin(2)126x π-+≤≤. 所以12sin(2)26x π-+≤≤. 所以1()2f x -≤≤.（17）（本小题13分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人 进行调查，获得了每人每天的平 均户外“活动时间”（单位：小时）， 活动时间按照[0，0.5），[0.5，1）， …，[4，4.5]从少到多分成9组，制 成样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数； （III ）在[1.5，2）、[2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．（I ）解：由频率分布直方图，可知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5，1），[1,1.5），[1.5，2）[2，2.5），[2.5，3）[3，3.5），[3.5，4）， [4，4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a ，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02 由102.004.007.015.025.05.015.008.004.0=++++++++a 解得a =0.40．（II ）解：设“活动时间”的中位数为m 小时．因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m ＜2.5． 由0.50×（m -2）=0.5-0.47，解得m =2.06．所以估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时． （III ）解：由题意得平均户外活动时间在[1.5，2），[2，2.5）中的人数分别有20人、 25人，按分层抽样的方法分别抽取4人、5人，记作A ，B ，C ，D 及a ，b ，c ，d ，e活动时间（小时）从9人中随机抽取2人，共有36种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（A ，e ）， （B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（B ，e ），（C ，D ）， （C ，a ），（C ，b ），（C ，c ），（C ，d ），（C ，e ），（D ，a ），（D ，b ），（D ，c ）， （D ，d ），（D ，e ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ）， （c ，d ），（c ，e ），（d ，e ） 在同一组的有：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），（a ，b ），（a ，c ）， （a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ）（c ，e ），（d ，e ）．共16种， 故抽取的两人恰好都在同一个组的概率164369==p ．（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F . （Ⅰ）求证：//AD EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值. （I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC . 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD 平面PBC EF =， 所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥. 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ， 所以AD ⊥平面PAB . 因为PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点， 所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=， 所以PB ⊥平面AEFD .AE BCDFP（III ）解：1238V V =.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点P ，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过(0,1)-的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：是否存在一个定点T ，使得以AB为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解：因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a =.所以椭圆C 的方程为222212x y b b+=.又椭圆C经过点P ，代入椭圆方程得3b =.所以a =. 故所求椭圆方程为221189x y +=. （Ⅱ）解：由已知动直线l 过(0,1)-点.当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为22(1)16x y ++=； 当l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点. 因此，所求点T 如果存在，只能是点(0,3). 以下证明以AB 为直径的圆恒过点(0,3)T ： 当l 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点(0,3)T ； 当l 与x 轴不垂直时，设:1l y kx =-. 由221,1189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(21)4160k x kx +--=.由(0,1)-在椭圆内部知0∆>成立. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,2121k x x x x k k -+==++. 又11(,3)TA x y =-u u r，22(,3)TB x y =-u u r，所以12121212(3)(3)(4)(4)TA TB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--u u r u u r21212(1)4()16k x x k x x =+-++222164(1)41602121kk k k k -=+-+=++. 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点(0,3)T . 所以存在一个定点(0,3)T 满足条件.（20）（本小题13分）已知函数()2e 2xf x x x b=++的定义域是R ，且有极值点．（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求证：方程()12f x =恰有一个实根． （Ⅰ）解：由()2e 2xf x x x b=++的定义域是R ，知440b -<得1b >．()()()()()222222e 222e 222x x x x b x x bf x xx b xx b ++--+-'==++++，由()0f x '=得220x b =-≥，故2b ≤．当2b = 时，()()222e 022xx f x xx '=≥++，函数()f x 在R 上单调递增，无极值点．所以实数b 的取值范围为 12b << ．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数()f x 的两个极值点为()1,0m =-，()0,1n =，极小值()()2e e e 22222n n nf n n n b b n b n ===++-+++．下面证明e 1222n n >+：记()()e 1x g x x =-+()01x ≤<，()e 10x g x '=-≥ 所以()g x 在[)0,1上是单调递增函数所以当()0,1x ∈时，()()00g x g >=，即e 1xx >+由()0,1n =知，e 1122222n n n n +>=++．这说明()12f x =在(),m +∞上无解． 又()22e 112e 2f b --=<<，()()12f m f n >>，且()f x 在(),m -∞上单调递增，所以()12f x =在(),m -∞上恰有一解. 综上所述，()12f x =在R 上恰有一解．。

2017通州区高三（上）期末数学（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知集合M={x|x＜﹣1或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则M∩N等于（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．0 B．1 C．3 D．43．（5分）若变量x，y满足条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．C．2 D．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）内单调递减的是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=cosx D．y=lnx5．（5分）如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积是（）A．B．C．4 D．6．（5分）“数列{a n}为等比数列”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）过点（2，2）的直线l与圆x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交于A，B两点，且，则直线l 的方程为（）A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0，或x=2C．3x﹣4y+2=0，或y=2 D．y=2，或x=28．（5分）已知函数若函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）复数z=，则复数z的模是．10．（5分）在△ABC中，已知b=3，A=45°，B=60°，则a=．11．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（2，2），则双曲线的离心率等于．12．（5分）已知，那么y的最小值是．13．（5分）将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（0）=．14．（5分）如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量，则λ+μ的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}的通项公式为，数列{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．17．（13分）2016年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60分，最高分100分）将这些连锁店分别评定为A，B，C，D 四个类型，其考核评估标准如表：考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下：（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店有多少家；（Ⅱ）现从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一评分类型的概率．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，E，F分别为PC，PB中点，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：EF⊥AE；（Ⅲ）若PA=AC=CB，AB=4，求几何体EFABC的体积．19．（14分）已知椭圆C1，C2均为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率均为，其中C1的焦点坐标分别为（﹣1，0），（1，0），C2的左右顶点坐标为（﹣2，0），（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2相交于A，B，C，D四点，如图所示，试判断|AC|和|BD|的大小，并说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x3﹣3x2，g（x）=ax2﹣4．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围；（Ⅲ）函数f（x）的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．【解答】∵M={x|x＜﹣1或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|2＜x＜3}，故选：B．2．【解答】模拟程序的运行，可得s=1，i=1s=3，i=2不满足条件i＞3，执行循环体，s=4，i=3不满足条件i＞3，执行循环体，s=1，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出s的值为1．故选：B．3．【解答】由约束条件作出可行域如图，由可知，A（，）．化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：D．4．【解答】A．y=x2是偶函数，在区间（0，1）内单调递增，不满足条件．B．y=2x是非奇非偶函数，在区间（0，1）内单调递增，不满足条件．C．y=cosx是偶函数，在区间（0，1）内单调递减，满足条件．D．y=lnx是非奇非偶函数，在区间（0，1）内单调递增，不满足条件．故选：C．5．【解答】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面的面积S=2×2=4，高h=2，故三棱锥的体积V==，故选：B6．【解答】若数列{a n}为等比数列，则成立，即充分性成立，反之不一定成立，比如数列0，0，0，…，满足成立，但数列{a n}不是等比数列，即必要性不成立，故“数列{a n}为等比数列”是“”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】∵圆x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，即（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆心（﹣1，1），半径为2，若，则圆心（﹣1，1）到直线l距离d=1，若直线l的斜率不存在，即x=2，此时圆心（﹣1，1）到直线l距离为3不满足条件，若直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0，则d==1，解得k=0或，此时直线l的方程为3x﹣4y+2=0，或y=2，故选C．8．【解答】函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，∴f（x）﹣k（x﹣1）=0，即：f（x）=k（x﹣1），分别画出y=f（x），与y=k（x﹣1）的图象，如图所示：而y=k（x﹣1）的图象恒过点（1，0），当过点B时此时k=﹣1，有两个交点，结合图象可得当k＜﹣1或x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只有一个零点，故选：D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．【解答】由z==，得|z|=．故答案为：．10．【解答】∵b=3，A=45°，B=60°，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．11．【解答】双曲线的一条渐近线过点（2，2），可得一条渐近线方程为：；则，即a=b，c=，双曲线的离心率为：=．故答案为：．12．【解答】∵x＞1，则y=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．13．【解答】将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，则g（0）=2cos0=2，故答案为：2．14．【解答】以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），∵，∴，∴，∴λ+μ=，令f（x）=，（0≤x≤2）∵f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=3．f（x）min=f（2）=1．故λ+μ的取值范围是[1，3]，故答案为：[1，3]．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．【解答】函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=；…（4分）（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为：；…（6分）（Ⅱ）∵，∴；…（7分）∴；…（9分）∴当，即时，f（x）取得最小值﹣1；…（11分）∴当，即时，f（x）取得最大值．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）∵∴∴数列{a n}是等公差为6的等差数列．又∵a1=11∴数列{a n}的前n项和：；（Ⅱ）∵a n=b n+b n+1∴a1=b1+b2，a2=b2+b3∴设数列{b n}的公差为d，则∴．∴数列{b n}的通项公式：b n=3n+1．17．【解答】（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店所占的频率为0.020×10=0.2，所以评分类型为A的商业连锁店共有0.2×20=4家；…．（4分）（Ⅱ）依题意评分类型为D的商业连锁店有3家，设评分类型为A的4商业连锁店为a1，a2，a3，a4，评分类型为D的3商业连锁店为b1，b2，b3，…．（6分）从评分类型为A，D的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共21种，…．（10分）其中满足条件的共有9种，…．（12分）所以这两家来自同一评分类型的概率为．…．（13分）18．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别为PC，PB的中点，∴EF∥BC，…．（2分）又∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC…．（4分）（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，…（5分）又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，…（7分）∴BC⊥AE，∵EF∥BC，∴EF⊥AE．…．（10分）（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴，∵BC⊥平面PAC，∴三棱锥P﹣ABC的体积：，∵EF⊥平面PAE，，，∴三棱锥P﹣AEF的体积：，∴几何体EFABC的体积：．…（14分）19．【解答】（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c1，长轴为2a1，短轴为2b1，设椭圆C2的焦距为2c2，长轴为2a2，短轴为2b2，依题意得，，解得：，，所以椭圆C1的标准方程为，所以椭圆C2的标准方程为．…．（4分）（Ⅱ）|AC|=|BD|．…．（5分）①当直线l的斜率不存在时，显然有|AC|=|BD|．…．（6分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），点C坐标为（x3，y3），点D坐标为（x4，y4），将直线l的方程与椭圆C1方程联立可得，．…．（8分）消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，所以有，．…．（9分）将直线l的方程与椭圆C2方程联立可得，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以有，．…．（11分）所以有弦AD的中点与弦BC的中点重合，．…．（13分）所以有|AC|=|BD|．…．（14分）20．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，可得x=0或x=2f′（x），f（x）随x变化情况如下表：所以，当x=0时，f（x）有极大值0，当x=2时，f（x）有极小值﹣4，（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），则F（x）=x3﹣（3+a）x2+4，法一：F′（x）=3x2﹣2（3+a）x，由F′（x）=0，可得①当，即a≤﹣3时，F′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以，此时F（0）=4为最小值，所以F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）②当，即a＞﹣3时，所以，当时，F（x）取得最小值，若要满足f（x）≥g（x），则由，得a≤0，所以﹣3＜a≤0，由①②可得a的取值范围是a≤0．法二：由f（x）≥g（x），得，令，由G′（x）=0，得x=2，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，当x＞2时，G′（x）＜0，所以，当x=2时，G（x）在[0，+∞）上取得最小值，即G（2）=0因为a≤G（x），以a≤0（Ⅲ）函数f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心是（1，﹣2）。

通州区高三年级摸底考试数学（文）试卷2013年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,22．在复平面内，复数21ii-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为 （A ）()0,1 （B ）()0,1- （C ）()1,0（D ）()1,0-4．设函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）1- （B ）1 （C ）2-（D ）25．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 （A ）16+ （B ）12+（C ）8 （D ）46．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）5122- （B ）5022- （C ）5121-（D ）5021-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （A（B ）2 （C ）115（D ）3第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）正（主）视图 侧（左）视图俯视图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = ．10．已知,x y 满足约束条件24,24,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥则z x y =+的最大值为 ．11．若10x +>，则11x x ++的最小值为 ．12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是 ． 13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是 ．14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ⎧=⎨<⎩≥若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为 ．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ．17．（本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装2 1 2 4 43 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲 乙N MB 1A 1C 1CBA传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．19.（本小题满分13分）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =． 记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线． （Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．通州区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷答案高三数学（文科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题9． 402510． 83 11． 112．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14． 1-三、解答题 15．解：（Ⅰ）由已知，得()11sin 2cos222f x x x =+ ……………………2分 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………………4分 所以 22T ππ==， 即 ()f x 的最小正周期为π； ……………………6分（Ⅱ）因为 82x ππ-≤≤，所以 50244x ππ≤+≤． ……………… 7分于是，当242x ππ+=时，即8x π=时，()f x取得最大值2；…… 10分 当5244x ππ+=时，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．……………13分16．证明：（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以 CC 1⊥BC ． …………………………………………1分 因为 AC =BC =2，AB =所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………4分 因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，所以 BC ⊥AM ． ……………………6分（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1． ………………8分因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点， 所以 112CM CC =，112NP BB =． …………9分因为 BB 1=CC 1，所以 NP =CM ． ……………………10分 所以 四边形MCNP 是平行四边形．…………11分所以 CN //MP ． ……………………12分 因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………13分 所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………14分17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2s 甲 、2s 乙，则1221141131111111071136X +++++==甲， ……………………1分1241101121151081091136X +++++==乙， ……………………2分PN MB 1A 1C 1CBA()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲 ()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， ……………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙 ()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， ……………………6分由于 22s s <甲乙，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分 （Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． ………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． (11)分所以 ()415P A =． ………………13分18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，…………………… 1分则 a =2c =． …………………………………………2分所以 b === …………………………………3分所以 椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 21222035k x x k +=+， ………………………………………… 9分所以 1221235ky y k +=-+． ……………………………………… 10分因为 四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分 所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分解得21k =，所以1k =±． ………………………………14分19．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩ ……………………3分当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分 当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分 因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分 所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立， 即 ()2max38b x x≥-+. ……………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以 当43x =时，()2max 16383x x -+=， ……………………………12分 所以 163b ≥， 所以 b 的最小值为163． ………………………………13分 法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max32b x ax ≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，…………………………… 9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分 当40a -≤<时，()2max33a aF x F ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．……11分 又2max 1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以163b ≥． ………………………………12分综上，b 的最小值为163． ………………………………13分 20．（Ⅰ）解：()001234500a f a a a a a a ==+++++， ……………………………… 2分()01234501234511a a a a a a f a a a a a a +++++==+++++；………………………………4分 （Ⅱ）解：115n n n n n n y y k a x x T---==-，1,2,3,4,5n =． ……………………………… 6分因为 012345a a a a a a <<<<<，所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =．…………9分事实上，当()1,n n x x x -∈时，()()()()()1111n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=⋅-+-()()1111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+-- 1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<+--x =．下面证明()n n f x x <． 法一：对任何n ()1,2,3,4n =，()()()121255n n a a a n n a a a +++=+-+++⎡⎤⎣⎦………………10分()()()12125n n n a a a n a a a =++++-+++()()125n nn a a a n na ≤++++-……………………………………11分()125n n n a a a n a =++++-⎡⎤⎣⎦ ()1215n n n a a a a a nT +<++++++= …………………………12分 所以 ()125nn n a a a n f x x T +++=<=．…………………………13分 法二：对任何n ()1,2,3,4n =，当1n k <时，()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-++- ()12155n n n k k k x =+++<=；………………………………………10分 当1n k ≥时，()55n n y y y y =--()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-++-⎡⎤⎣⎦()125115n n k k k ++=-+++ ()115.55n n n x <--== 综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。

通州区高三年级摸底考试数学（文）试卷2013年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =I（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1 （D ）{}0,1,22．在复平面内，复数21ii-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为 （A ）()0,1 （B ）()0,1- （C ）()1,0（D ）()1,0-4．设函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）1- （B ）1 （C ）2-（D ）25．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是 （A ）16+（B ）12+（C ）8 （D ）46．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）5122- （B ）5022- （C ）5121-（D ）5021-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （A（B ）2 （C ）115（D ）3第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）正（主）视图 侧（左）视图俯视图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = ．10．已知,x y 满足约束条件24,24,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥则z x y =+的最大值为 ．11．若10x +>，则11x x ++的最小值为 ． 12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ．13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是 ．14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ⎧=⎨<⎩≥若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为 ．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ．17．（本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装2 1 2 4 43 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲 乙N MB 1A 1C 1CBA传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．19.（本小题满分13分）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =． 记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++L ()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线． （Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．通州区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷答案高三数学（文科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题9． 4025 10．83 11． 1 12．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14． 1-三、解答题 15．解：（Ⅰ）由已知，得()11sin 2cos222f x x x =+ ……………………2分224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………………4分 所以 22T ππ==， 即 ()f x 的最小正周期为π； ……………………6分（Ⅱ）因为 82x ππ-≤≤，所以 50244x ππ≤+≤． ……………… 7分于是，当242x ππ+=时，即8x π=时，()f x；…… 10分 当5244x ππ+=时，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．……………13分16．证明：（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以 CC 1⊥BC ． …………………………………………1分 因为 AC =BC =2，AB =，所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………4分 因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，所以 BC ⊥AM ． ……………………6分（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1． ………………8分因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点， 所以 112CM CC =，112NP BB =． …………9分因为 BB 1=CC 1，所以 NP =CM ． ……………………10分 所以 四边形MCNP 是平行四边形．…………11分所以 CN //MP ． ……………………12分 因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………13分 所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………14分17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2s 甲 、2s 乙，则1221141131111111071136X +++++==甲， ……………………1分1241101121151081091136X +++++==乙， ……………………2分PN MB 1A 1C 1CBA()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， ……………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， ……………………6分由于 22s s <甲乙，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． ………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． (11)分所以 ()415P A =． ………………13分18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，…………………… 1分则 a =2c =． …………………………………………2分所以 b == …………………………………3分所以 椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 21222035k x x k +=+， ………………………………………… 9分所以 1221235ky y k +=-+． ……………………………………… 10分因为 四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ， ……………………………………… 11分所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分 所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分解得21k =，所以1k =±． ………………………………14分19．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩ ……………………3分当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分 当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分 因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分 所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立， 即 ()2max38b x x≥-+. ……………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以 当43x =时，()2max 16383x x -+=， ……………………………12分所以 163b ≥， 所以 b 的最小值为163． ………………………………13分 法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max32b x ax ≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，…………………………… 9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分 当40a -≤<时，()2max33a aF x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．……11分又2max1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以163b ≥． ………………………………12分综上，b 的最小值为163． ………………………………13分 20．（Ⅰ）解：()001234500a f a a a a a a ==+++++， ……………………………… 2分()01234501234511a a a a a a f a a a a a a +++++==+++++； ………………………………4分（Ⅱ）解：115n n n n n n y y k a x x T---==-，1,2,3,4,5n =． ……………………………… 6分因为 012345a a a a a a <<<<<，所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =．…………9分事实上，当()1,n n x x x -∈时，()()()()()1111n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=⋅-+-()()1111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+--1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<+--x =．下面证明()n n f x x <． 法一：对任何n ()1,2,3,4n =，()()()121255n n a a a n n a a a +++=+-+++⎡⎤⎣⎦L L ………………10分()()()12125n n n a a a n a a a =++++-+++L L()()125n nn a a a n na ≤++++-L ……………………………………11分11 ()125n n n a a a n a =++++-⎡⎤⎣⎦L ()1215n n n a a a a a nT +<++++++=L L …………………………12分 所以 ()125n n n a a a n f x x T +++=<=L ．…………………………13分 法二：对任何n ()1,2,3,4n =，当1n k <时，()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-++-L ()12155n n n k k k x =+++<=L ；………………………………………10分 当1n k ≥时，()55n n y y y y =--()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-++-⎡⎤⎣⎦L()125115n n k k k ++=-+++L ()115.55n n n x <--== 综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。

通州区2016—2017学年度高三摸底考试数学（文）试卷2017年1月本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题共40分)一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}12M x x x =<->或，{}13N x x =<<,则MN 等于A ．{}11x x x <->或B ．{}23x x <<C ．{}13x x -<<D ．{}1x x x <->或 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．0 B ．1 C ．3 D ．43．若变量x ，y 满足条件30,350,0,x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则y x z +=的最大值为 A ．0 B ．53C ．2D ．524．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是A ．2y x = B ．2xy =C ．cos y x =D ．ln y x =5．如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角开始 结束输出si > 3i = i +1 i = 1s =s ·(3-i )+1s = 1 是否三角形，俯视图是边长为2的正方形,那么它的体积是A ．43B ．83C ．4D ．1636．“数列na 为等比数列”是“212n n naa a "的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．过点()2,2的直线l 与圆022222=--++y x y x相交于A ，B两点，且AB =，则直线l 的方程为A ．0243=+-y xB ．0243=+-y x ,或2=xC ．0243=+-y x ，或2=yD ．2=y ，或2=x 8．已知函数()())20,0,x x f x x ⎧≤⎪=>若函数()()()1g x f x k x =--有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是A ．(1)-∞，－B ．(0)∞，＋C ．(10)－，D ．(1)0-∞∞，－（，＋）第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．复数21z i=-,则复数z 的模等于________. 10．在△ABC 中，已知b =3，A = 45°，B = 60°，则a =________。