2019安徽九姑中学高考数学曲线和方程经典例题及解析语文

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.答案 D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为2＋y 2＝①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ |＝2.由|PQ |＝|OF |，得2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e＝ ，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .又tan ∠POF ＝＝，所以等腰△POF 的高h ＝ ×＝，所以S △PFO ＝× ×＝. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．【解析】：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对称性可得：曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝ ＝ .方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝ ＝ .4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 答案解析 依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M在圆x 2＋y 2＝4上，所以2＋2＝4，又点P (m ，n )在椭圆 ＋＝1上，所以＋＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－或m ＝(舍去)，当m ＝－时，n ＝，所以k PF ＝＝ .5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y ＝± x解析 因为双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b ＝ ，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 设P，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝≥＝4，当且仅当2x ＝，即x ＝ 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若 ＝ ， · ＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则＝，＝，，，得所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，则＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－x－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，故x G＝，由此得y G＝.从而直线PG的斜率为＝－，因为k PQ·k PG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D，A (x 1，y 1)，则＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋. 由可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0， 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|＝ ＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝ ，d 2＝，因此，四边形ADBE 的面积S ＝|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .设M 为线段AB 的中点，则M. 由于⊥ ，而 ＝(t ，t 2－2)，与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，代入y＝kx＋2得y P＝.所以直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.所以直线PB的斜率为或－.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作典型例题一例 1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y 得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k )5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点． 当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点． 说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==a x y x a y 得：a y a y -= ∵0≥y ，∴222)(a y a y -=，即02)1(4322=+--a y a y a ．要使上述方程有两个相异的非负实根． 则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+． 解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例 6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段．解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P 坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系 ∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知 AB PM 21= 即 ()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． OA x P yB 图２ M分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=． 据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(k y a x y a x =+--++得24k ax =． 由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=． 据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x y x =+--+， 得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线． 解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=． 据题意，222k PB PA =-，有 [][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-， 整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线． 典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222AB PB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ． 设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，a x y k PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax y a x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b A B C =∠ta n ，x y AOC =∠tan ，有ab x y =，即x a b y =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab 的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=． 如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222b a a x +=．由已知b a >，所以22222b a a b a ab+<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b x a 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。

第一章 集合与常用逻辑用语1.【2019高考新课标Ⅰ，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A IA. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2.【2019高考新课标Ⅱ，文1】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A. (–1，+∞) B. (–∞，2) C. (–1，2) D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知，(1,2)A B =-I ，故选C ．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3.【2019高考新课标Ⅲ，文1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =I （ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴Q 11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-I ， 故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4.【2019高考北京卷，文1】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A. （–1，1） B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B ⋃=+∞ ， 故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.5.【2019高考天津卷，文1】设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =I UA. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D 【解析】 【分析】先求A C I ，再求()A C B I U 。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）A ．2()[0)f x x x =∈+∞，，B ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，C ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，D ．1()(0)f x x x=∈+∞，， 2．设l m n ，，均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥4．若a=，则a 等于（ ）AB．C．D．-5．若22{228}{log 1}x A x B x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()A B R I ð的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ）A1B1- C．1 D18．半径为1的球面上的四点A B C D ，，，是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）A．arccos 3⎛- ⎝⎭B．arccos 3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1arccos 4⎛⎫-⎪⎝⎭9．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x ya b a b -=>>， 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） ABC．2D．110．以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2()N μσ，，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A ．()()μσμσ∅+-∅-B ．(1)(1)∅-∅-C ．1μσ-⎛⎫∅⎪⎝⎭D ．2()μσ∅+11．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．52019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．第9题图12．若32nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===u u u r u u u r u u u r，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r（用，，a b c 表示）．14．如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P -L ，，，， 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为121n Q Q Q -L ，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △， 212121n n n Q PP Q P P ---L △，，△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为 ．15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且g a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 17．（本小题满分14分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为 2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面 1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示）． 18．（本小题满分14分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．A BCD 1A1B1C 1Dyx1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P - O第14题图19．（本小题满分12分）如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +求证：直线CD 的斜率为定值． 20．（本小题满分13分） 在医学生物学试验中，两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6蝇子一只一只地往外飞，直到．．只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a L ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，L L ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．713．111244++a b c 14．1315．①③④⑤三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推2x理能力．本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：AC u u u r ∴与11AC u u u u r 平行，DB u u u r 与11DB u u u u r 平行， 于是11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=u u u u r u u u r ，，，，··， 1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-u u u r u u u r u u u u r ，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DA DC ，的中点，连结11EF A E C F ，，，有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面．过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面11ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ，ABCD1A1B1C 1DMOEF于是11B B MC B B MO⊥⊥，，所以，AMC∠是二面角1A B B C--的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C CB B==．1OM B B⊥∵，有11B O OBOMB B==·，BM=AM=，CM=．二面角1A BB C--的大小为1πarccos5-．18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10x af x xx x'=-+>，，故()()2ln20F x xf x x x a x'==-+>，，于是22()10xF x xx x-'=-=>，，列表如下：故知()F x在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x=处取得极小值(2)22ln22F a=-+．（Ⅱ）证明：由0a≥知，()F x的极小值(2)22ln220F a=-+>．于是由上表知，对一切(0)x∈+，∞，恒有()()0F x xf x'=>．从而当0x>时，恒有()0f x'>，故()f x在(0)+，∞内单调增加．所以当1x>时，()(1)0f x f>=，即21ln2ln0x x a x--+>．故当1x>时，恒有2ln2ln1x x a x>-+．19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(A a．2x=因为OA t =，所以222a a t +=．由于0t >，故有t （1） 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知， 直线BC 的方程为1x yc t+=．又因点A 在直线BC 上，故有1a c t+=，将（1）代入上式，得1a c =，解得2c a =+（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为所以直线CD 的斜率为定值．20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：（Ⅱ）数学期望为(162534)228E ξ=⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）所求的概率为5432115()(2)2828P E P ξξξ++++===≥≥． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得 在①式两端同乘1r +，得②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-L即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12na r d d B n r r+=--， 则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。

九姑中学2013-2014学年度第二学期 高二（理）期中数学试题及答案1.对于函数x e x f x ln )(-=，下列结论正确的一个是A. )(x f 有极小值，且极小值点)21,0(0∈xB. )(x f 有极大值，且极大值点)21,0(0∈xC. )(x f 有极小值，且极小值点)1,21(0∈xD. )(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x答案：1.C2.设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－41C ．2D ．－12答案： 3.A 3.已知函数()()0323223>++-=a x ax x x f 的导数()x f '的最大值为5，则在函数()x f 图像上的点()()1,1f 处的切线方程是( ). A ．31540x y -+=B. 15320x y --=C. 15320x y -+=D. 310x y -+=答案：B4.已知32()f x x px qx =--和图象与x 轴切于()1,0，则()f x 的极值情况是 （ ）A ．极大值为1()3f ，极小值为(1)fB ．极大值为(1)f ，极小值为1()3fC ．极大值为1()3f ，没有极小值 D ．极小值为(1)f ，没有极大值答案：A5.已知0a ≥，函数2()(2)xf x x ax e =-,若()f x 在[1,1]-上是单调减函数，则a 的取值范围是 A ．304a <<B ．1324a <<C ．34a ≥D ．102a <<答案：C6.函数1)(23+-=bx x x f 有且仅有两个不同的零点，则b 的值为（ ）A ．243B ．223C ．3223D ．不确定答案：C7.在复平面内，复数z 满足（3－4i ）z=|4+3i|（i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．-4B ．45-C ．4D ．45答案：D8.n 个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（ ）A ．↓→B ．→↓C ．↑→D ．→↑答案：B9.用数学归纳法证明不等式11113(2)12224n n n n +++>>++L 时的过程中，由n k=到1n k =+时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项12(1)k +B ．增加了两项11212(1)k k +++C ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + D ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：C10.对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫⎝⎛的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．23 C11.已知f(x)＝x 2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝_______. 答案：－412.设()()()()f x x a x b x c =--- (,,a b c 是两两不等的常数),则///()()()a b cf a f b f c ++的值是 ______________. 答案：13.设m R ∈,i m m m )1(222-+-+是纯虚数,其中i 是虚数单位,则=m .答案：-2;14.已知()1,11f =，()()**,,f m n N m n N ∈∈，且对任意*,m n N ∈都有：①()(),1,2f m n f m n +=+ ②()()1,12,1f m f m +=给出以下三个结论：（1）()1,59f =； （2）()5,116f =； （3）()5,626f = 其中正确结论为 ___答案：①②③15.在如右图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s 的结果是答案：286略16.已知函数()cx bx ax x f ++=23的极小值为-8，其导函数的图象过点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,32,0,2，如图所示（1）求()x f 的解析式(2)若对[]3,3-∈x 都有()m m x f 142-≥恒成立， 求实数的m 取值范围。

2019年高考数学真题及答案解析(全国卷Ⅰ) 2019年高考数学真题及答案解析一、选择题1. 单选题1) 题目：在直角三角形中，已知一条锐角边的长为4，另一条锐角边的长为3，则斜边的长为：（）A. 5B. 6C. 7D. 8解析：根据勾股定理可知，斜边的长为√（4²+3²）=5。

因此，选项A为正确答案。

2) 题目：已知函数y=x²的图象上有两点A(1,2)、B(a,b)，则a+b=（）。

A. 3B. 4C. 5D. 6解析：由题意得，点A位于函数y=x²上，代入可得2=1²=1，即2=1。

因此，点B(a,b)的坐标为(a,a²)。

代入可得b=a²。

所以a+b=a+a²。

选项D为正确答案。

2. 多选题1) 题目：已知函数f(x)=ax²+bx+c，若三次项系数a=1，函数有两个零点x₁、x₂，则下列说法正确的是（选择全部正确答案）：（）A. 当x₁+x₂为正数时，函数图象在直角坐标平面上的位置不能确定。

B. 当x₁+x₂为正数时，函数图象在直角坐标平面上的位置位于x轴之上。

C. 当a=b=-1时，函数图象在直角坐标平面上的位置位于x轴之下。

D. 当a=b=-1时，函数图象在直角坐标平面上的位置位于x轴之上。

解析：根据二次函数的零点性质可知，当函数有两个零点x₁、x₂时，x₁+x₂的值为二次项系数的相反数，即a的相反数。

所以可得a+b=-1。

结合选项C和选项D可知，当a=b=-1时，函数图象在直角坐标平面上的位置的y坐标小于0，即位于x轴之下。

因此，选项C为正确答案。

二、填空题1. 题目：一个方程y=2x的图象和另一个方程y=ax²的图象相切，那么a的值为（）。

解析：根据题目所给条件可知，两个方程的解相等。

所以可得2x=ax²。

由此可以推导出a=2。

因此，a的值为2。

2. 题目：已知点A(-2,1)和点B(4,-3)，则点A关于点B的对称点坐标为( , )。

2019高考文科试题解析分类汇编：函数与方程 一、选择题1.【2019高考安徽文3】（2log 9）·（3l og 4）=（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 【答案】D23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3⨯=⨯=⨯= 2.【2019高考新课标文11】当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】A【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.【解析】由指数函数与对数函数的图像知12011log 42a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得02a <<，故选A. 3.【2019高考山东文3】函数1()ln(1)f x x =+(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-【答案】B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。

解析：函数式若有意义需满足条件：210,1,l n (1)0,0,22,40,x x xx x x ⎧+>>-⎧⎪⎪+≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≤≤-≥⎩⎩取交集可得：()(]1,00,2x ∈-。

答案：B.4.【2019高考山东文10】函数cos622x xxy -=-的图象大致为【答案】D考点：函数图像解析：本题为已知函数解析式，求函数图象的问题。

对于判断函数图象，我们平时最常用的方法是看：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、正负性、极值点。

显然此函数为奇函数，排除A 选项；对于函数xx y --=22在区间)0,12(π-上为负值，而函数x y 6cos =为正值，排除B 选项；通过C 、D 两个选项可以看出，两个选项的主要区别是在+∞→x 时C 选项分别趋于正无穷，而我们知道在),0(+∞∈x 时，函数x y 6cos =正负交替的，而函数x x y --=22都为正值，因此选D 。

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考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2019·北京高考理科·T8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :x 2+y 2=1+|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 ( ) A.① B.② C.①② D.①②③【命题意图】考查曲线与方程,距离问题,面积问题,对称性等,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选C .对①,令x =0得y =±1,即曲线C 过整点(0,±1);令x =1得1+y 2=1+y ,y =0,1,即曲线C 过整点(1,0),(1,1),又由曲线关于y 轴对称知,曲线C 过整点(-1,0),(-1,1),结合图形知,曲线C 不过其他整点,所以①正确;对②,只需考虑第一象限内的点,即x >0,y >0,设C 上的点(x ,y )到原点的距离为d ,则x 2+y 2=1+|x |y =1+xy ≤1+x 2+y 22,x 2+y 2≤2,d ≤√2,所以②正确; 对③,由①知,S △OAB =12×1×1=12,S 正方形OBCD =1×1=1,所以S 阴影=2×(1+12)=3,所以心形区域面积大于3,③错误.二、解答题2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T21)已知曲线C :y =x 22,D 为直线y =-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B.(1)证明:直线AB 过定点.(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【命题意图】本题考查直线、圆及其位置关系的应用,考查考生数学运算、逻辑推理的求解综合问题的能力.【解析】(1)设D(t,-12),A(x1,y1),则x12=2y1.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+1 2x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.由{y=tx+12,y=x22,可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=√1+t2|x1-x2|=√1+t2×√(x1+x2)2-4x1x2=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=√t2+1,d2=2.因此,四边形ADBE的面积S=12|AB|(d1+d2)=(t2+3)√t2+1.设M为线段AB的中点,则M(t,t2+12).由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.因此,四边形ADBE的面积为3或4√2.3.(2019·全国卷Ⅲ文科·T21)已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.【解题指南】(1)表示出直线AB的方程,求出直线所过的定点.(2)利用根与系数的关系及已知条件,分别表示出,,利用二者的关系解出参数后求圆的方程.【解析】(1)设D(t,-12),A(x1,y1),则x12=2y1.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+1 2x1-t=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12.由{y =tx +12y =x 22,可得x 2-2tx -1=0.于是x 1+x 2=2t ,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t ,t 2+12). 由于⊥,而=(t ,t 2-2),与向量(1,t )平行,所以t +(t 2-2)t =0.解得t =0或t =±1.当t =0时,||=2,所求圆的方程为x 2+(y -52)2=4;当t =±1时,||=√2,所求圆的方程为x 2+(y -52)2=2.4.(2019·北京高考文科·T19)已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1).(1)求椭圆C 的方程.(2)设O 为原点,直线l :y =kx +t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点. 【命题意图】本小题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养. 【解析】(1)由已知,c =1,b =1,又a 2=b 2+c 2, 所以a 2=2,所以C 的方程为x 22+y 2=1. (2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由{y =kx +t ,x 2+2y 2=2,消去y 得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2-2=0,① 因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ>0,②x 1+x 2=-4kt2k 2+1,x 1x 2=2t 2-22k 2+1,③直线AP 方程为y =y 1-1x 1x +1,与y =0联立得x =-x 1y1-1,即M (-x 1y1-1,0), 同理,N (-x 2y 2-1,0), (y 1-1)(y 2-1)=(kx 1+t -1)(kx 2+t -1) =k 2x 1x 2+k (t -1)(x 1+x 2)+(t -1)2 =(t -1)22k 2+1,所以|OM |·|ON |=|-x 1y 1-1·-x 2y 2-1|=|x 1x 2(y 1-1)(y 2-1)|=|2(t 2-1)(t -1)2|=2, 所以|(t +1)(t -1)|=|t -1|2,t =1(舍去)或0,当t =0时,①式Δ>0,符合题意,所以直线l 方程为y =kx ,所以直线l 过定点(0,0).5.(2019·浙江高考·T21)(本小题满分15分)如图,已知点F (1,0)为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为S 1,S 2.(1)求p 的值及抛物线的标准方程. (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标.【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(1)由题意得p 2=1,即p =2.所以,抛物线的标准方程为y 2=4x.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),重心G (x G ,y G ). 令y A =2t ,t ≠0,则x A =t 2.由于直线AB 过F ,故直线AB 的方程为x =t 2-12ty +1,代入y 2=4x ,得y 2-2(t 2-1)ty -4=0, 故2ty B =-4,即y B =-2t,所以B (1t2,-2t).又由于x G =13(x A +x B +x C ),y G =13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t -2t+y C =0,得C ((1t -t)2,2(1t -t)),G (2t 4-2t 2+23t 2,0). 所以,直线AC 的方程为y -2t =2t (x -t 2),得Q (t 2-1,0). 由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2=12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |=|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t ||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t |=2t 4-t 2t 4-1=2-t 2-2t 4-1. 令m =t 2-2,则m >0,S 1S 2=2-m m 2+4m+3=2-1m+3m +4≥2-12√m ·3m +4=1+√32.当且仅当m =3m,即m =√3时等号成立,所以S 1S 2取得最小值1+√32,此时G (2,0).6.(2019·江苏高考·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:(x -1)2+y 2=4a 2交于点A ,与椭圆C 交于点D.连接AF 1并延长交圆F 2于点B ,连接BF 2交椭圆C 于点E ,连接DF 1,已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程. (2)求点E 的坐标.【命题意图】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.【解题指南】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程.(2)方法一:由题意首先确定直线AF 1的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B 的坐标,联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标;方法二:由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=√DF 12-F 1F 22=√(52)2-22=32,因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2. 由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)方法一:由(1)知,椭圆C :x 24+y 23=1,a =2, 因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1)2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2. 由{y =2x +2,(x -1)2+y 2=16,得5x 2+6x -11=0, 解得x =1或x =-115.将x =-115代入y =2x +2,得y =-125, 因此B (-115,-125).又F 2(1,0),所以直线BF 2:y =34(x -1).由{y =34(x -1),x 24+y 23=1,得7x 2-6x -13=0,解得x =-1或x =137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以x =-1. 将x =-1代入y =34(x -1),得y =-32.因此E (-1,-32).方法二:由(1)知,椭圆C :x 24+y 23=1.如图,连接EF 1. 因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B.因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B ,所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A. 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由{x =-1,x 24+y 23=1,得y =±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以y =-32. 因此E (-1,-32).。

【考纲解读】【知识清单】1.抛物线的标准方程及几何性质，，，2.抛物线的定义及应用平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．3.直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．（2）直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是( )A．2 B．1 C． D．【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为( )A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y【答案】B【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为可得，所以，答案选B.【1-3】【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【领悟技法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【触类旁通】【变式一】如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.考点2 抛物线的定义及应用【2-1】过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y1) ，B(x2, y2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．4【答案】A【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.【2-2】【四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（）A． B． 2C． 3 D． 4【答案】C【2-3】【2017课标II ，文12】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则.【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，点评：抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化． 【综合点评】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝a b 或m ＝b a讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．【领悟技法】1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【触类旁通】【变式1】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【变式2】【2018年文北京卷】已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.【综合点评】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．考点3 直线和抛物线的位置关系【3-1】【2018年全国卷Ⅲ文】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【3-2】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届考前押题卷（二）】已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，，设，，则的最小值为A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，直线方程为，当斜率存在时，设直线的方程为，联立抛物线方程，可得，【3-3】【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．【领悟技法】.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：①焦点弦长②③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p.根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p.【触类旁通】【变式一】【2018年新课标I卷文】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．【答案】(1) y=或．(2)见解析.【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为y=或．【变式二】【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2）．【解析】将代入得．当，即时，．从而．由题设知，即，解得．所以直线AB的方程为．【综合点评】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.【易错试题常警惕】易错典例：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及．温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【典例】【2017浙江，21】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．。

安徽九姑中学高考数学曲线和方程经典例题及解析
直线上的点的坐标都满足，所以直线上的点都在方程表示的曲线上.但是以这个方程的解为坐标的点不会都在直线上，因此方程不是直线的方程，直线只是方程所表示曲线的一部分.
说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性. 典型例题三
例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程所表示的直
线之间的关系.
分析：该题应该抓住纯粹性和完备性来进行分析.
解：方程所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是到坐标轴距离相等的点的轨迹上的点不都满足方程，例如点到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程.因此不能说方程就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程所表示的轨迹.
说明：本题中以方程的解为坐标点都在曲线上，即满足完备性，而轨迹上的点的坐标不都满足方程，即不满足纯粹性.只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线.
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安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题（含解析）2019届安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题（含解析）命题是指一个判断(陈述)的语义(实际表达的概念)，这个概念是可以被定义并观察的现象，以下是2019届安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题，请考生练习。

设原命题为：对顶角相等，把它写成若p则q形式为________.它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.分析只要确定了p和q，则四种命题形式都好写了.解若两个角是对顶角，则两个角相等;若两个角相等，则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶点，则这两个角不相等;若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.例3 若P={x|x|1}，则0P的等价命题是________.分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题.{x||x|1}例4 分别写出命题若x2+y2=0，则x、y全为0的逆命题、否命题和逆否命题.分析根据命题的四种形式的结构确定.解逆命题：若x、y全为0，则x2+y2=0;否命题：若x2+y20，则x，y不全为0;逆否命题：若x、y不全为0，则x2+y20.否命题：若四边形不内接于圆，则它的对角不互补逆否命题：若四边形的对角不互补，则它不内接于圆.对②：原命题：已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d，其中已知a、b、c、d是实数是大前提，a=b，c=d 是条件，a+c=b+d是结论.所以：逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a+c=b+d，则a=b，c=d 否命题：已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则a+cb+d(注意a=b，c=d的否定是b或c只需要至少有一个不等即可); 逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a+cb+d则ab或c. 逆否命题还可以写成：已知a、b、c、d是实数，若a+cb+d 则a=b，c=d两个等式至少有一个不成立说明：要注意大前题的处理.试一试：写出命题当c0时，若ab，则acbc的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假.例7 已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围. 分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单.说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性.例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.②当abc=0时，a=0或b=0或c=0.分析改造原命题成若p则q形式再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.命题;②原命题;若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题;逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0是真命题;否命题：若abc0，则a0且b0且c，是真命题;(注意：a=0或b=0或c=0的否定形式是0且b0且c逆否命题：若a0且b0且c0，则abc，是真命题.说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性.分析如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法.解设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，则有a+b+c0，而=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+ (y-1)2+(z-1)2+(-3)a+b+c0这与a+b+c0矛盾.因此a、b、c中至少有一个大于0.说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定.2019届安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题及答案的所有内容就是这些，查字典数学网预祝考生金榜题名。

安徽省安庆市九姑中学2018-2019学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线关于直线对称的直线的方程是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 抛物线 x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以： =，∴准线方程 y=﹣，即4y+1=0．故选：B3. 语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴语句甲是语句乙的必要不充分条件．故选：B．4. 已知可行域椭圆以先段为长轴，离心率（Ⅰ）求圆及椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，点P为圆的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。

参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形，因为，故，为直径的圆，故其方程为………………………………………………3分设椭圆的方程为，又.故椭圆………………………………………5分（Ⅱ）直线始终与圆相切。

安徽省安庆市九姑中学2019年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是等腰三角形，.则的周长为（）A．B． C. D．参考答案：C2. 关于方程的两个根以下说法正确的是（）A． B．C． D．参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】D 在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，如图：由图可知：0＜x1＜1，1＜x2＜2，所以1＜x1+x2＜2．故选D．【思路点拨】在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，观察图象可得．3. 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是（）A． B．C． D．参考答案：B4. 将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】先求出将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人的基本事件总数，再求出甲、乙被分到同一个班包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙被分到同一个班概率．【解答】解：将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，基本事件总数n=，甲、乙被分到同一个班包含的基本事件个数m=，∴甲、乙被分到同一个班概率p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5. 已知集合的元素个数是( )A. B. C. D. 无数个参考答案：B解析：6. 某学校组织的数学赛中，学生的竞赛成绩X服从正态分布X～N（100，σ2），P（X＞120）=a，P（80≤X≤100）=b，则+的最小值为（）A．8 B．9 C．16 D．18参考答案：D【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由正态分布的知识可得a+b=，代入利用基本不等式，即可求出+的最小值．【解答】解：∵P（X＞120）=a，P（80≤X≤100）=b，P（X＞120）=，∴a+b=．∴+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即a=，b=时取等号，∴+的最小值为18．故选：D．【点评】本题主要考查正态分布知识，考查基本不等式的运用，确定a+b=，正确利用基本不等式是关键，属于中档题．7. 已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A、B、Ｃ、D、。

安徽九姑中学高考数学逻辑联结词经典例题（含解析）安徽九姑中学2019届高考数学逻辑联结词经典例题（含解析）命题逻辑中，为了符号化复合命题，定义了五个表示联结词的符号，称为逻辑联结词，以下是逻辑联结词经典例题，请考生仔细练习。

例1 下列语句中不是命题的是A.台湾是中国的B.两军相遇勇者胜C.上海是中国最大的城市D.连接A、B两点分析 D是描述性语句.答 D.例2 命题方程x2-4=0的解是x=2中，使用的逻辑联结词的情况是A.没有使用联结词B.使用了逻辑联结词或C.使用了逻辑联结词且D.使用了逻辑联结词非分析注意到x=2是x=2或x=-2.答选B.例3 命题①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是说明：在记忆真值表的时候，要体会它的合理性.例7 如果命题p或q与命题非p都是真命题，那么A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真值相同分析 p为假，从而q为真.解选B.例8 若p、q是两个简单命题，且p或q的否定是真命题，则必有A. p真q真 Bp假q假C.p真q假 Dp假q真分析利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论.解∵p或q的否定是非p且非q，这是一个真命题，所以由真值表.非p、非q都是真命题，那么p假q假.选B.点击思维例9 有下列五个命题(1)40能被3或5整除;(2)不存在实数x，使x2+x+1(3)对任意实数x，均有x+1(4)方程x2-2x+3=0有两个不等的实根;其中假命题为________.(只填序号)分析使用不同的方法分别验证.答填写(4).例10 p：菱形的对角线互相垂直.q：菱形的对角线互相平分.求下列复合命题：(1)p或q (2)p且q (3)非p分析一般的问题都是拆复合命题，这儿是造复合命题，关键在于合.解 (1)菱形的对角线互相垂直或平分;(2)菱形的对角线互相垂直且平分;(3)菱形的对角线互相不垂直.例11 以1表示真，以0表示假，填写下面的真值表.分析将q的可能取值与p对应，然后依真值表逐格填写. 解说明：有时需要我们综合应用真值表.例12 分别指出下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假.(2) p：46.q：4+610.分析利用真值表.解 (1)p或q：真;p且q：真;非p：假.(2)p或q：假;p且q：假;非p：真.说明：本题是要求先造命题，然后判定其真假.例13 如果命题p或q是真命题，非p是假命题，那么A.命题p一定是假命题B.命题q一定是假命题C.命题q一定是真命题D.命题q是真命题或者假命题分析利用真值表回推.答选D.说明：解题过程中注意发挥逆向思维的作用.例14 命题非空集合AB中的元素既是A中的元素也是B中元素是________形式.命题非空集合AB中的元素是A的元素或是B的元素是________形式.分析 xB则xA且xB，填p且q.xB则xA或xB.填p或q.答填p且q;p或q.说明：本题是集合问题与命题概念的结合.例15 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.(1)8或6是30的约数;(2)矩形的对角线垂直平分;(3)方程x2-2x+3=0没有实数根.分析分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假.解 (1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).q 或q为真.(2)p且q， p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真).p且q为假.(3)非p、p：x2-2x+3=0有实根(假).非p为真.说明：将简易逻辑知识负载在其他知识之上逻辑联结词经典例题及答案的所有内容就是这些，查字典数学网预祝考生取得优异的成绩。

2019年安徽省马鞍山市姑孰中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的准线方程为A.x=2B.x= 2C.y=2D.y=2参考答案：C略2. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：第一个图有火柴2+6=8根，第二个图有火柴2+6+6=14根，第三个图有火柴2+6+6+6=20根，故第n个图有火柴2+6n根，选Ｃ。

点评：解决关于数列的题目，关键是寻找规律。

此类题目侧重考察学生的思考能力，是常考知识点。

3. 已知点是双曲线右支上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，是的内心，成立，则（）A． B． C． D．参考答案：B4. 曲线在x=-1处的切线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C5. 抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是A．B． C．10 D．20参考答案：B6. 设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2?bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．7. 已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（）A．B．C．8 D．2参考答案：D【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．【解答】解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴=≠，∴m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为=2，故选 D．8. 与直线垂直，且过点(2,0)的直线方程是A．B．C．D．参考答案：A9. 设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：?n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．10. 抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2， =1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选 C．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为（0，），属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将石子摆成如下图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成,判断数列的第项______________;参考答案：略12. 若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC= ．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B，进而利用正弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13. 不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是．参考答案：?【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为x2﹣2x+3＜0，计算△＜0，判断原不等式的解集是?．【解答】解：不等式﹣x2+2x﹣3＞0化为x2﹣2x+3＜0，△=4﹣4×1×3=﹣8＜0，不等式对应的方程无实数解，所以原不等式的解集是?．故答案为：?．14. 从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为，数据列表是：则其中的数据．参考答案：16315. 直线被圆截得的弦长=.参考答案：略16. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA= ．参考答案：﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由b，c，a成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将a=2b代入，开方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的a和c代入，整理后即可得到cosB的值．【解答】解：在△ABC中，∵b，c，a成等比数列，∴c2=ab，又a=2b，∴c2=2b2，即c=b，则cosA===﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．17. 函数y=lg（12+x﹣x2）的定义域是．参考答案：{x|﹣3＜x＜4}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】令12+x﹣x2＞0，解不等式即可．【解答】解：由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函数的定义域为{x|﹣3＜x＜4}．故答案为：{x|﹣3＜x＜4}．【点评】本题考查函数定义域的求解，属基础题，难度不大．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2015年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题三立体几何【命题特点】考小题，推陈出新。

有关立体几何的小题，其考查的重点在于基础知识。

其中，三视图、点直线平面之间的位置关系等知识的试题是重点考查内容，特别是三视图，是新课标增加的内容。

考大题，全面考查。

考查立体几何的大题中，一般是考查线、面之间的平行、垂直关系，线面角、面面角，面积、体积等问题，难度属中等偏难，主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解、掌握和应用情况。

【试题常见设计形式】高考题型：立体几何的试题一般以两小一大命题。

立体几何的热点是三视图，近两年课改地区的高考试题中，都出现三视图的试题，应引起重视。

另外证明线线、线面、面面垂直、平行，二面角、线面角等重点内容也会重点的考查。

三视图是新课标新增的内容，课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。

证明空间线面、线线、面面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路。

角和距离问题，可以用空间向量来解决，应加强训练。

与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用。

平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变。

【突破方法技巧】立体几何解题过程中，常有明显的规律性，所以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总结、归类，进而建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉和相互转化的过程，从内涵和外延上区分容易混淆的各个概念、从条件、结论和使用范围上去区分容易混淆的各个定理。

比如说，“中点”这个条件在题目中出现的频率相当高，这个现象背后肯定有规律！道理很简单，因为中点如果连到另一个中点，就会出现中位线，然后自然会出现平行关系了，如果出现在等腰（或等边）三角形的底边上，那就是出垂直了。

所以中点联系到了平行和垂直两大位置关系，能够利用这些规律去解决问题，会使我们思路更加明确而避免走弯路。

2015年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五解析几何【命题特点】近三年高考解析几何每年出一道满分为12分的解析几何大题.究其原因,一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致.细细品读这三年的解析几何大题,感觉如山间的涓涓清泉滋润心田,甘甜可口,不愿离去.为了找到清泉流向远方的目标,我从其志、探其源、求其真.经过探究,发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下:依纲靠本,查基考能;朴实取材,独具匠心;不断创新,关注交汇;交切中点,核是线圆;长度面积,最值定值;平行垂直,向量驾驭;求轨探迹,运动探究;数形结合,各领风骚;灵气十足,回味无穷;文理有别,意境深远.复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。

2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。

3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。

4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。

【试题常见设计形式】近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程(类型确定、类型未定)；②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)；③与曲线有关的最(极)值问题；④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如①求直线与圆锥曲线的方程；②求动点的轨迹或轨迹方程；③求特定对象的值；④求变量的取值范围或最值；⑤不等关系的判定与证明；⑥圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法.从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：①建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算；⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系；⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析，等等。

2019年数学高考安徽理卷参考解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔安徽卷〕数学〔理科〕参考答案一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〔1〕设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，假设z +2=2z zi ，那么z =〔 A 〕〔A 〕1+i 〔B 〕1i - 〔C 〕1+i - 〔D 〕1-i -〔2〕 如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔 D 〕〔A 〕16 〔B 〕2524 〔C 〕34 〔D 〕1112〔A 〕平行于同一个平面的两个平面相互平行〔B 〕过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面〔C 〕如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内〔D 〕如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 〔4〕"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的〔C 〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔5〕某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.以下说法一定正确的选项是〔C 〕〔A 〕这种抽样方法是一种分层抽样〔B 〕这种抽样方法是一种系统抽样 〔C 〕这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 〔D 〕该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 〔6〕一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，那么(10)>0x f 的解集为〔D 〕〔A 〕{}|<-1>lg2x x x 或〔B 〕{}|-1<<lg2x x 〔C 〕{}|>-lg2x x 〔D 〕{}|<-lg2x x〔7〕在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔B 〕 〔A 〕=0()cos =2R ∈θρρθ和〔B 〕=()cos =22R ∈πθρρθ和〔C 〕=()cos =12R ∈πθρρθ和〔D 〕=0()cos =1R ∈θρρθ和〔8〕函数=()y f x 的图像如下图，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 那么n 的取值范围是〔B 〕 Oab xy〔A 〕{}3,4〔B 〕{}2,3,4〔C 〕{}3,4,5〔D 〕{}2,3〔9〕在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满〔D 〕足2,OA OB OA OB ===那么点集{}|,1,,P OP OA OB R =++≤∈λμλμλμ所表示的区域的面积是〔〕〔A 〕22〔B 〕23〔C 〕42〔D 〕43〔10〕假设函数32()=+x +b +f x x a x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，那么关于x 的方程23()+2()+=0f x af x b 的不同实根个数是〔D 〕〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕6二.填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。