2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}1,4B =，则()UA B =（ ）A ．{}2,3B ．{}1C ．{}3,5D ．{}2,3,5【答案】A【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,4B =， 所以{}2,3,5UB =，又{}1,2,3A =， 所以(){}2,3U A B ⋂=. 故选：A2．函数()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4π3C ．3πD ．π【答案】C【分析】根据周期公式直接求解即可.【详解】()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3π23=， 故选：C3．命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是（ ） A ．(,1]x ∀∈-∞，213x x +> B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +≤ C ．(,1]x ∃∈-∞，213x x + D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>【答案】D【解析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词：命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是(1,)x ∀∈+∞，213x x +> 故选：D【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力. 4．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（ ）． A ．lg lg x y > B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意； 对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y>，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． 5．已知()1,3P 为角α终边上一点，则2sin cos sin 2cos αααα-=+（ ）A ．-7B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】先根据三角函数的定义求出tan 3α=，再利用齐次化将弦化切进行求解. 【详解】()1,3P 为角α终边上一点，故tan 3α=，故2sin cos 2tan 151sin 2cos tan 25αααααα--===++.故选：B6．设函数()2+5x f x x =-，则函数()f x 的零点所在区间是（ ） A ．(-1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【解析】根据零点存在性定理分析可得结果. 【详解】因为函数()2+5x f x x =-的图象连续不断，且111(1)21502f --=--=-<，(0)10540f =+-=-<, (1)21520f =+-=-<,2(2)22510f =+-=>，3(3)23560f =+-=>，所以函数()f x 的零点所在区间是(1,2). 故选：C7．已知函数()221()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值是（ ）．A ．1-或2B ．2C ．1-D ．1【答案】C【解析】由函数是幂函数可得211m m --=，解得1m =-或2，再讨论单调性即可得出. 【详解】()f x 是幂函数，211m m ∴--=，解得1m =-或2，当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上是减函数，符合题意， 当2m =时，5()f x x =在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，1m ∴=-. 故选：C.8．已知2log 7a =，0.3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【答案】A【分析】分别将,,a b c 与0,1,2比较确定它们的大小关系． 【详解】0.2000.30.31c <=<=； 22log 7log 42a =>=； 0.30.3log 8log 10b =<=．故b<c<a ． 故选：A ．9．若π02α<<，π02β-<<，1cos 3α=，cos β=，则()cos αβ+=（ ）A B ．C ．D 【答案】D【分析】根据题意求得sin α和sin β的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由π02α<<，π02β-<<，可得sin α=sin β=， 则()cos cos cos sin sin a αβαββ+=-13==. 故选：D.10．已知命题p ：函数()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题q ：23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立.若命题p 和命题q 中有且只有一个真命题，则实数a 的取值范围（ ） A ．（2，3） B ．[)3,4C ．（2，4）D ．（3，4）【答案】B【分析】分别求出命题,p q 成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可. 【详解】函数()(2)x f x a =-是R 上的减函数021a ∴<-<，解得：23a <<23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立0∴∆<,则234(2)02a a --<，解得：24a <<，当命题p 成立命题q 不成立时：(2,3)(,2][4,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：a 不存在当命题q 成立命题p 不成立时，(2,4)(,2][3,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：34a ≤<∴实数a 取值范围为： 34a ≤<故选：B11．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【答案】A【分析】()g x 存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，数形结合求解. 【详解】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.12．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-， 所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ， 故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.13．已知函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，且在区间[0,2]a 上单调递增，则不等式(1)()f x f a -<的解集为（ ） A ．[1,3]- B ．(0,2)C ．(0,1)(2,3]⋃D ．[1,0)(1,2)-⋃【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得1a =，根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性可解得结果.【详解】因为函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数， 所以120a a --+=，解得1a =，(1)()f x f a -<可化为(1)(1)f x f -<，因为()f x 在区间[0,2]a 上单调递增，所以11x -<，解得02x <<. 故选：B【点睛】关键点点睛：根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性解不等式是解题关键.14．已知函数()32,032,0x x x f x x -⎧-+<=⎨+≥⎩，()()620g x kx k k =+->，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(]0,2B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．(]1,2【答案】C【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知max max ()()f x g x ≤，再解关于k 的不等式可求得结果.【详解】当10x -≤<时，3()2x f x =-+单调递减，则2()3f x <≤， 当01x ≤≤时，()32x f x -=+单调递减，则7()33f x ≤≤，所以当[1,1]x ∈-时，()[2,3]f x ∈，所以()max 3f x =， 因为()()620g x kx k k =+->在[1,1]x ∈-上单调递增， 所以()max 626g x k k k =+-=-，因为对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立， 所以max max ()()f x g x ≤， 所以36k ≤-，解得03k <≤， 故选：C二、填空题15．已知函数()()log 160,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则点A 的坐标为______.【答案】()2,6【分析】由log 10a =，令真数为1，即2x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当2x =时，log 166a y =+=，∴函数的图象恒过定点()2,6 故答案为：()2,616．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π，则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.17．已知0x >，0y >且191x y+=，求x y +的最小值为______.【答案】16【分析】根据()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值.【详解】0x，0y >且191x y+=， ()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当9x y y x =，即3y x =时取等号）， ()min 16x y ∴+=. 故答案为：16.【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.18．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩在区间(),-∞+∞单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[4,8)【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是(),-∞+∞上的单调递增函数， 则满足114024122a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8). 故答案为：[4,8)19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是______.①函数()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称；③函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； ④()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；⑤()y f x =可改写为π2cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】①②⑤【分析】根据函数的图象，可求出()f x 的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】解：由函数图象可得2A =，最小正周期ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，故④错误； 当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π3k ϕ=+()k ∈Z ，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于①，当π6x =-时，πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，故①正确；对于②，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故②正确； 对于③，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+()k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ， 则函数()f x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，故③错误； 对于⑤，()ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故⑤正确.故答案为：①②⑤.三、双空题 20．（1）1ln 223e 27tanlg104π--+-+=______；（2______.【答案】 23- 1【分析】（1）根据指数幂以及对数运算性质，以及特殊角对应三角函数值，直接化简求解即可； （2）根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，直接化简求解即可. 【详解】（1）1ln 2213π2e 27tanlg10231243---+-+=+--=-；（2cos 20sin 201cos 20sin 20︒+︒==︒+︒.故答案为：23-；1.21．已知3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=______；（2）tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】 2425-17【分析】根据同角三角函数基本关系，求出cos α，tan α，再由二倍角公式以及两角和的正切公式求解即可.【详解】因为3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，则3tan 4α=-，所以3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；3tan tan1144tan 3471tan tan 144παπαπα+-+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+.故答案为：2425-；17.四、解答题22．已知函数()ππsin 2sin 2233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和函数()f x 的单调递减区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.【答案】(1)=πT ，函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为【分析】（1）利用两角和差正弦公式公式和辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数的周期公式和正弦函数单调性结论求解即可；（2）根据函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性确定其最大值、最小值及相应的自变量x 的值..【详解】（1）由已知πππ()=sin 2+sin 22=sin 22=2sin 2+333f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π==π2T ，所以()f x 的最小正周期为π.由ππ3π2π2+2π,Z 232k x k k +≤≤+∈化简可得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由(1) 可得函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，同理可得函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在π[0,]12上单调递增，在ππ[,]122上单调递减，且π(0)=2sin 3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π()=2sin 23f = 所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为23．已知函数()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数. (1)求()g x 的解析式；(2)判断并证明()g x 在[]1,1-上的单调性；(3)解不等式()()10g t g t --<.【答案】(1)()221x g x x =+ (2)()g x 在[]1,1-上单调递增 (3)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，求出,a b ，得到函数解析式，再验证即可；（2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，作差比较()1g x 与()2g x ，进而可根据单调性定义判断出结果；（3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】（1）因为()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数， 所以()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，即22220a ab b a -+⎧=-⎪-+⎨⎪=⎩，解得00b a =⎧⎨=⎩，所以()221x g x x =+， 又()()221x g x g x x --==-+，所以()221x g x x =+是奇函数，符合题意； （2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()221212121212121222222212121221222222111111x x x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x --+---=-==++++++， 因为1211x x ，所以121x x <，12x x <，因此()()()()()()121212221221011x x x x g x g x x x ---=<++，即()()12g x g x <， 所以()g x 在[]1,1-上单调递增；（3）由()()10g t g t --<得()()1<-g t g t ，因为()g x 在[]1,1-上单调递增；所以111111t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<. 故原不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 24．已知函数2()(3)3f x kx k x =+++，其中k 为常数.（1）若不等式()0f x >的解集是{}13x x -<<,求此时()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，设函数()()g x f x mx =-，若()g x 在区间[]22-,上是单调递增函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k 使得函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2()23f x x x =-++（2）2m ≤-（3）存在，1k =-或9k =-【解析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理，即可求解；（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在[1,4]-上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.【详解】解：(1)由题意得：1,3-是2(3)30kx k x +++=的根 ∵313313k k k ⎧-⨯=⎪⎪⎨+⎪-+=-⎪⎩， 解得1k =- ∴2()23f x x x =-++(2)由（1）可得 2()23g x x x mx =-++-2(2)3x m x =-+-+，其对称轴方程为 22m x -= 若()g x 在[2,2]-上为增函数，则222m -≥，解得2m ≤- 综上可知，m 的取值范围为2m ≤-(3)当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件当0k ≠时，假设存在满足条件的k ，则()f x 的最大值只可能在1,4,-对称轴处取得， 其中对称轴032k x k+=- ① 若max ()(1)4f x f =-=，则有334k k --+= ，k 的值不存在，② 若max ()(4)4f x f ==，则1612434k k +++=， 解得1120k =-，此时，对称轴049[1,4]22x =∈-， 则最大值应在0x 处取得，与条件矛盾，舍去③ 若max 0()()4f x f x ==，则：0k <，且243(3)44k k k⨯-+=， 化简得21090k k ++=，解得1k =-或9k =- ，满足0k <综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4.(3)另解：当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件所以0k ≠，此时2()(3)3f x kx k x =+++的对称轴为32k x k+=-若0k >，302k x k +=-<，此时2()(3)3f x kx k x =+++ 在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=， 解得1120k =-，与假设矛盾，舍去； 若0k <①当342k k +-≥，即103k -≤<，函数()f x 在[1,4]-为增， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=，解得1120k =-，矛盾舍去 ②当312k k+-≤-，即3k ≥，矛盾舍… ③当3142k k +-≤-<.即13k <-， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为3()42k f k +-=，则 243(3)44k k k⨯-+=，化简得21090k k ++=， 解得1k =-或9k =- ，满足 0k <…综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4【点睛】本题考查求二次函数的解析式，以及单调性和最值，要熟练掌握二次函数的图像和性质，考查分类讨论数学思想，属于中档题.。
