高中数学 课时跟踪训练(十二)实际问题中导数的意义 北师大版选修22

高中数学课时跟踪检测（六）导数的概念及其几何意义北师大版选修22课时跟踪检测（六）导数的概念及其几何意义一、基本能力达标1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：选A 因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y ＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)>0.2．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析：选A f′(2)＝limΔx→014(2＋Δx)2－14×4Δx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫14Δx＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A.3．已知y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(x A)<f′(x B)，选B.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为( ) A.13B.23C．－23D．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4， 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)．答案：(3,30)6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率；(2)曲线在点P 处的切线方程．解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x . ∴f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 11－(2＋Δx )－11－2Δx＝lim Δx →0 11＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1.(2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程．解：可知点P (3,9)不在曲线上，故设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，由题意得f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2－7－(2×x 20－7)Δx＝lim Δx →0 (4x 0＋2Δx )＝4x 0.故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)，将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为y －1＝8(x －2)或y －25＝16(x －4)．即y ＝8x －15或y ＝16x －39.二、综合能力提升1．曲线f (x )＝2x －1x在x ＝1处的切线的斜率为( ) A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－11＋Δx－()2×1－1 ＝2Δx ＋1－11＋Δx ＝2Δx ＋Δx 1＋Δx， 所以Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝2＋11＋Δx， 所以lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋11＋Δx ＝2＋1＝3. 2．已知f ′(1)＝－2，求lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)Δx的值．解：lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)Δx＝(－2)×lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.3．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，求曲线f (x )在交点处的切线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(1)＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)． 即x －2y ＋1＝0.4．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． 解：联立两曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1， 即交点坐标为(1,1)． 曲线y ＝1x在点(1,1)的切线斜率为 f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1， 所以曲线y ＝1x在点(1,1)处的一条切线方程为 y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线斜率为g ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－12Δx ＝lim Δx →0 2Δx ＋(Δx )2Δx＝li mΔx →0 (2＋Δx )＝2.所以曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.两条切线y ＝－x ＋2和y ＝2x －1与x 轴所围成的图形如图所示，所以所求三角形面积S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.5．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1，∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2).。

第七课时 导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。

2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =84时，利润L （三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题 （五）、课后作业：第69页A 组中1、3 B 组题。

课时跟踪训练(六) 导数的概念及其几何意义1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－5D ．－12．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知曲线C ：y ＝x 3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C 相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0f ＋Δx －fΔx＝________.7．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程．8．求与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线方程？答 案1．选A Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－3.2．选A f ′(2)＝li mΔx →014＋Δx2－14×4Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A. 3．选B 由y ＝x 3得Δy Δx＝x ＋Δx 3－x 3Δx＝x 3＋3x 2·Δx ＋3xΔx 2＋Δx3－x3Δx＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2，则y ′＝li mΔx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，由3x 2＝3，得x ＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C 相切的直线，故选B.4．选B 由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．5．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6．解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0f ＋Δx －fΔx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－27．解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x.∴f ′(2)＝li m Δx →0f ＋Δx －fΔx＝li m Δx →011－＋Δx －11－2Δx＝li m Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．解：设切点为P (x 0，y 0)，可得所求切线的斜率 k ＝li m Δx →0x 0＋Δx 2－x 2Δx2＝li m Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0， 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，由所求切线与该直线垂直得(2x 0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， 得x 0＝1，则y 0＝x 20＝1，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.。

2.1 实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案
一、教学目标
•理解导数的概念及其作用；
•掌握求导数的方法；
•理解导数的物理意义；
•能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容
本课时主要探讨导数的意义及其应用，包括以下几个方面：
1.导数定义的引入；
2.导数的物理意义；
3.导数的计算方法；
4.应用于实际问题，如最优化问题、极值问题等。

三、教学重点与难点
1.理解导数的概念及其作用；
2.掌握求导数的方法；
3.理解导数的物理意义。

四、教学方法
通过引入实例、图像等方式，引导学生探究导数的概念、物理意义及其应用，同时配合小组讨论等方式，提高学生互动性和课堂效率。

五、教学流程
5.1 热身（5分钟）
复习前几节课所学内容，如函数的极限、连续性等。

5.2 引入（10分钟）
引入导数定义，引导学生观察函数图像，并通过观察、思考，引入导数的概念。

5.3 实验探究（20分钟）
将学生分为小组，探究导数的物理意义，通过实例、图像等方式，引导学生理解导数在实际问题中的应用。

5.4 讲解（20分钟）
讲解导数的计算方法，包括基本公式、求导法则等。

5.5 练习（20分钟）
布置练习题，要求学生运用导数解决实际问题，如最优化问题、极值问题等。

5.6 总结（5分钟）
回顾本节课所学内容，引导学生总结导数的概念及其应用。

六、教学资源
1.教师课件；
2.学生练习册。

七、教学评估
1.课堂讨论及小组合作情况的观察；
2.练习题及作业的完成情况。

课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：本章知识网络:二、典例精析例1.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围变式：若函数(]21()2,0,1f x ax x x =-∈在(]0,1x ∈上单调递增，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-， 求实数a 的取值范围. 解析：()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<. 从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e -. 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.三、作业必做题：课本71页1题（2）（4）（6）（8）2题（2）3、4题选做题;B组1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

第三课时 3.2.1实际问题中导数的意义学习目的：1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 学习重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 学习难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 学习过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、范例：例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。

2.1 实际问题中导数的意义[A 组 基础巩固]1．空间中的某质点M 按规律s ＝2t 2＋3运动，则质点在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．8 C ．11D ．16解析：s ′＝4t ，则质点在t ＝2时的速度为：4×2＝8. 答案：B2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( ) A ．0 B ．3 C ．－2D ．3－2t解析：v (t )＝s ′(t )＝3－2t ，初速度即为v (0)＝3. 答案：B3．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)3，t ≥3，则此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度之和为( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．10解析：由题意得s ′(1)＝6，s ′(3)＝0，∴t ＝1时的瞬时速度为6，t ＝3时的瞬时速度为0， ∴t ＝1和t ＝3时的瞬时速度之和为6. 答案：A4．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9πD ．6π解析：∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π. 答案：D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案：C6．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝________，其实际意义是__________． 答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度．7．一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为f (t )＝5t 2－2t ，则求当t 由2变到3时，电荷量Q 关于t 的平均变化率为________． 解析：Δy Δt ＝f (3)－f (2)3－2＝5×9－2×3－(5×4－2×2)1＝23(C/s)．答案：23 C/s8．已知子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，子弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________． 解析：s ＝12at 2，v ＝s ′＝at .由t ＝1.6×10－3s ，可得v ＝5×105×1.6×10－3m/s ＝800 m/s. 故子弹射出枪口的瞬时速度为800 m/s. 答案：800 m/s9．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.8 s ，求转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度．解析：设时间为t 时，车轮旋转的角度为f (t )，f (t )＝kt 2，由题意知：2π＝k ·0.82，则k ＝25π8. 所以f (t )＝258πt 2，则f ′(t )＝254πt ，f ′(3.2)＝20π rad/s ，即转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π rad/s.10．当销售量为x ，总利润为L ＝L (x )时，称L ′(x )为销售量为x 时的边际利润，它近似等于销售量为x 时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和300 kg 时的边际利润． 解析：(1)总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x ) ＝5x －100－0.01x 2，边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别是200 kg 、250 kg 和300 kg 时的边际利润分别是L ′(200)＝1(元)，L ′(250)＝0(元)，L ′(300)＝－1(元)．[B 组 能力提升]1．水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底直径12 m ，当水深10 m 时，水面上升的速度为(单位：m/min)( ) A.π5 B.5π C.π10D.10π答案：B2．如图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则它的图像大致是( )解析：由于l 匀速旋转，S 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S 增速快，故只有D 项正确． 答案：D3．一个质量为m ＝3 kg 的物体做直线运动，设运动距离s (单位：cm)与时间t (单位：s)的关系可以用函数s (t )＝1＋t 2表示，并且物体的动能U ＝12mv 2，则物体开始运动后第5 s 时的动能为________． 解析：∵s ′(t )＝2t ，∴s ′(5)＝10，即5 s 时的瞬时速度为10 cm/s ，即0.1 m/s. 此时，U ＝12×3×0.12＝0.015 J.答案：0.015 J4．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________ m/s. 解析：v ＝s ′＝2t ，在t ＝5时小球的瞬时速度为2×5＝10 m/s. 答案：105．一企业的每日成本C (千元)是日产量q (台)的函数C (q )＝400＋2q ＋5q . 求：(1)日产量为400台时的成本； (2)日产量为400台时的平均成本；(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本； (4)日产量为400台时的边际成本．解析：(1)日产量为400台时的成本：C (400)＝400＋2×400＋5400＝1 300(千元)． (2)日产量为400台时的平均成本为C (400)400＝1 3004 00＝3.25(千元/台)．(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本：C (484)－C (400)484－400＝1 478－1 300484－400≈2.119(千元/台)．(4)在区间[400,400＋Δq ]内，产品的平均成本为\s\up6(－(－)C －＝400＋2×(400＋Δq )＋5×400＋Δq －1 300Δq＝2Δq ＋5400＋Δq －100Δq＝2＋5400＋Δq －20Δq＝2＋5(400＋Δq －20)(400＋Δq ＋20)Δq (400＋Δq ＋20)＝2＋5400＋Δq ＋20.当Δq →0时，\s\up6(－(－)C －→2.125，所以当日产量为400台时的边际成本为2.125千元． 6．水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(如图)，t 秒钟后容器甲中水的体积V (t )＝5e －0.1t(单位：cm 3)，计算第一个10秒内V 的平均变化率(其中V (10)≈1.839)．解析：在区间[0,10]上，体积V 的平均变化率为V (10)－V (0)10－0≈1.839－510≈－0.316(cm 3/s)，即第一个10秒内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 cm 3/s(负号表示容器甲中水在减少)．。

3.2.1 实际问题中导数的意义同步练习（答题时间：90分钟）一、选择题。

1．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π上的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πeC ．],1[2πeD ．),1(2πe2．函数133+-=x x y 在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别为（ ）A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－193．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm 。

要使其体积最大，则高为（ ）A ．cm 33B ．cm 3310 C ．cm 3316D ．cm 33204．函数xxy ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2eD ．310二、填空题5．函数y=4x 2（x －2），x ∈[－2，2]的最小值是_____。

6．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为__ _.7．函数543()551f x x x x =-++在[12]-，上的值域为 ．三、解答题：8．设a x ≤≤0，求函数x x x x x f 24683)(234+--=的最大值和最小值。

9．用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？10．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？参考答案：1．A解：x cos e )x sin x (cos e 21)x cos x (sin e 21)x ('f x x x =-++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上，0x cos e )x ('f x≥=所以函数在该区间上单调递增，所以函数最小值是21)0(f =，最大值是2e 212f π=⎪⎭⎫ ⎝⎛π2．C解：y ’=3x 2－3=3（x+1）（x －1），所以在[－3，－1]上函数单调递增，在[－1，0]上函数单调递减，函数在x=－1处有最大值f （－1）=3，因为f （－3）=－17，f （0）=1所以最小值是f （－3）=－17 3．D解：设高为h （20h 0<<），则圆锥的底面半径r ==223'2'2111()(400)(400)3331(4003)31(4003)03V V V h r h h h h h V h V h h πππππ===-=-∴=-=-==令得由题意一定有最大值，而函数只有一个极值点。

课时追踪训练 ( 十二 )实质问题中导数的意义1．一个物体的运动方程为s＝1－ t ＋ t 2，此中 s 的单位是m， t 的单位是s，那么物体在 3 s 末的刹时速度是 ()A． 7 m/s B． 6 m/sC． 5 m/s D． 8 m/s2．某旅行者登山的高度h(单位：m)对于时间t (单位：h)的函数关系式是h＝－100t 2＋800t，则他在t＝2 h 这一时辰的高度变化的速度是()A． 500 m/h B． 1 000 m/hC． 400 m/h D． 1 200 m/h3．圆的面积S对于半径r 的函数是 S＝π r 2，那么在 r ＝3时面积的变化率是 () A． 6B． 9C． 9πD． 6π4．某汽车的紧迫刹车装置在碰到特别状况时需在 2 s内达成刹车，其位移( 单位： m)对于时间 ( 单位： s) 的函数为(t ) ＝－13－ 4t2＋ 20t＋ 15，则s′(1) 的实质意义为 ()s3tA．汽车刹车后 1 s 内的位移B．汽车刹车后 1 s 内的均匀速度C．汽车刹车后 1 s 时的刹时速度D．汽车刹车后 1 s 时的位移5．正方形的周长y 对于边长x的函数是y＝ 4，则y′＝ ______，其实质意义是x______________________ ．31226．某汽车的行程函数是s＝2t －2gt( g＝ 10 m/s)，则当 t ＝2 s时，汽车的加快度是________m/s 2.7．某厂生产某种产品x 件的总成本 c( x)＝120＋x＋x2( 元)．10100(1)当 x 从200变到220时，总成本 c 对于产量 x 的均匀变化率是多少？它代表什么实质意义？(2)求 c′(200)，并解说它代表什么实质意义．8．江轮逆水上行 300 km，水速为 6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为 0.01 x2 L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1) 试写出江轮在此行程中耗油量y 对于船相对于水的速度x 的函数关系式：y＝f ( x)；(2) 求f′(36) ，并解说它的实质意义( 船的实质速度＝船相对水的速度－水速) ．答案1．选 C s′(t )＝2t －1，∴ s′(3)＝2×3－1＝5.2．选 C∵ h′＝－200t＋800，∴当 t ＝2 h时， h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3．选 D∵ S′＝2π r，∴ S′(3)＝2π ×3＝6π .4．选 C由导数的实质意义知，位移对于时间的刹时变化率为该时辰的刹时速度．5． 4边长每增添 1 个单位长度，周长增添 4 个单位长度6．分析：v( t ) ＝s′(t ) ＝ 6t2－gt，a( t ) ＝v′(t ) ＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案： 147．解： (1) 当x从 200变到 220时，总成本 c 从 c(200)＝540元变到 c(220)＝626元．此时总成本 c 对于产量x 的均匀变化率为c－ c86220－ 200＝20＝4.3(元/件)，它表示产量从 x＝200件变化到 x＝220件时，均匀每件的成本为 4.3 元．1x1(2) c ′(x ) ＝ 10＋ 50，于是 c ′(200) ＝ 10＋ 4＝4.1( 元 / 件) ．它指的是当产量为 200 件时，每多生产一件产品，需增添 4.1 元成本．8．解： (1) 船的实质速度为 ( x － 6)km/h ，300300×0.01 x23 2故全程用时 x － 6 h ，因此耗油量 y 对于 x 的函数关系式为y ＝f ( x ) ＝x － 6＝x － 6( x >6) ．2x x － － x 23x x －2，(2) f ′(x ) ＝3·－ 2＝x －xf ′(36) ＝－L ，2＝ 2.88－km/hf ′(36) 表示当船相对于水的速度为L36 km/h 时耗油量增添的速度为2.88 km/h ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增添1 km/h ，耗油量就要增添2.88L.。

第二节 导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义 ★ 学习目标1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路；2．能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。

★ 学法指导通过实际问题的应用举例，逐步掌握运用函数思想解决优化问题的建模过程：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的结果。

★ 知识点归纳1．生活中经常遇到求 等问题，这些问题通常成为优化问题； 2 ．利用导数解决优化问题的实质是 ； 3 ．解决优化问题的步骤是2） ；（3） 。

★ 重点：掌握优化问题的建模过程；难点：将实际问题转化为数学中的函数问题，并根据实际意义正确确定函数的定义域； 剖析：1．生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。

2． 在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；3．在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；4．在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足'()0f x =的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。

★ 典例分析例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。

(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。

分析：()W t 在0t t =处的导数'0()W t 为机车在0t t =时，每秒所做的功即功率。

变式练习1一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为2()210,v f t t t ==-+求'(1)f ，并解释它的实际意义。

例2 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析：考察函数的概念，运用导数求最值的方法。

2.1 实际问题中导数的意义[A 组 基础巩固]1．空间中的某质点M 按规律s ＝2t 2＋3运动，则质点在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．8 C ．11D ．16解析：s ′＝4t ，则质点在t ＝2时的速度为：4×2＝8. 答案：B2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( ) A ．0 B ．3 C ．－2D ．3－2t解析：v (t )＝s ′(t )＝3－2t ，初速度即为v (0)＝3. 答案：B3．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)3，t ≥3，则此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度之和为( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．10解析：由题意得s ′(1)＝6，s ′(3)＝0，∴t ＝1时的瞬时速度为6，t ＝3时的瞬时速度为0， ∴t ＝1和t ＝3时的瞬时速度之和为6. 答案：A4．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9πD ．6π解析：∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π. 答案：D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案：C6．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝________，其实际意义是__________． 答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度．7．一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为f (t )＝5t 2－2t ，则求当t 由2变到3时，电荷量Q 关于t 的平均变化率为________． 解析：Δy Δt ＝f (3)－f (2)3－2＝5×9－2×3－(5×4－2×2)1＝23(C/s)．答案：23 C/s8．已知子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，子弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________． 解析：s ＝12at 2，v ＝s ′＝at .由t ＝1.6×10－3s ，可得v ＝5×105×1.6×10－3m/s ＝800 m/s. 故子弹射出枪口的瞬时速度为800 m/s. 答案：800 m/s9．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.8 s ，求转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度．解析：设时间为t 时，车轮旋转的角度为f (t )，f (t )＝kt 2，由题意知：2π＝k ·0.82，则k ＝25π8. 所以f (t )＝258πt 2，则f ′(t )＝254πt ，f ′(3.2)＝20π rad/s ，即转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π rad/s.10．当销售量为x ，总利润为L ＝L (x )时，称L ′(x )为销售量为x 时的边际利润，它近似等于销售量为x 时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和300 kg 时的边际利润． 解析：(1)总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x ) ＝5x －100－0.01x 2，边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别是200 kg 、250 kg 和300 kg 时的边际利润分别是L ′(200)＝1(元)，L ′(250)＝0(元)，L ′(300)＝－1(元)．[B 组 能力提升]1．水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底直径12 m ，当水深10 m 时，水面上升的速度为(单位：m/min)( ) A.π5 B.5π C.π10D.10π答案：B2．如图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则它的图像大致是( )解析：由于l 匀速旋转，S 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S 增速快，故只有D 项正确． 答案：D3．一个质量为m ＝3 kg 的物体做直线运动，设运动距离s (单位：cm)与时间t (单位：s)的关系可以用函数s (t )＝1＋t 2表示，并且物体的动能U ＝12mv 2，则物体开始运动后第5 s 时的动能为________． 解析：∵s ′(t )＝2t ，∴s ′(5)＝10，即5 s 时的瞬时速度为10 cm/s ，即0.1 m/s. 此时，U ＝12×3×0.12＝0.015 J.答案：0.015 J4．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________ m/s. 解析：v ＝s ′＝2t ，在t ＝5时小球的瞬时速度为2×5＝10 m/s. 答案：105．一企业的每日成本C (千元)是日产量q (台)的函数C (q )＝400＋2q ＋5q . 求：(1)日产量为400台时的成本； (2)日产量为400台时的平均成本；(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本； (4)日产量为400台时的边际成本．解析：(1)日产量为400台时的成本：C (400)＝400＋2×400＋5400＝1 300(千元)． (2)日产量为400台时的平均成本为C (400)400＝1 3004 00＝3.25(千元/台)．(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本：C (484)－C (400)484－400＝1 478－1 300484－400≈2.119(千元/台)．(4)在区间[400,400＋Δq ]内，产品的平均成本为\s\up6(－(－)C －＝400＋2×(400＋Δq )＋5×400＋Δq －1 300Δq＝2Δq ＋5400＋Δq －100Δq＝2＋5400＋Δq －20Δq＝2＋5(400＋Δq －20)(400＋Δq ＋20)Δq (400＋Δq ＋20)＝2＋5400＋Δq ＋20.当Δq →0时，\s\up6(－(－)C －→2.125，所以当日产量为400台时的边际成本为2.125千元． 6．水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(如图)，t 秒钟后容器甲中水的体积V (t )＝5e －0.1t(单位：cm 3)，计算第一个10秒内V 的平均变化率(其中V (10)≈1.839)．解析：在区间[0,10]上，体积V 的平均变化率为V (10)－V (0)10－0≈1.839－510≈－0.316(cm 3/s)，即第一个10秒内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 cm 3/s(负号表示容器甲中水在减少)．。

第4课时导数在实际问题中的应用1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.饮料瓶大小对饮料公司利润有何影响?下图是某种品牌饮料的三种规格不同的产品,它们的价格如下表所示:规格(L) 2 1.25 0.6价格5.1 4.5 2.5(元)(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?(2)对制造商而言,哪一种的利润更大呢?问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为( ).A.2B.4C.6D.82.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是( ).A.cmB.100 cmC.20 cmD.cm3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.4.一边长为48 cm的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm的小正方形,做成一个无盖方盒.求x多大时,方盒容积最大?利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.成本最低问题如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=-x2+2,x∈[-2,2]的图像切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值.已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W关于年产量x的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为( ).A.l2B.C.D.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为( ).A.B.C.D.23.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?(2013年·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.考题变式(我来改编):答案第4课时导数在实际问题中的应用知识体系梳理问题1:极值问题2:优化问题3:(2)导数f'(x)(3)极值问题4:定义基础学习交流1.D设两段长分别为x,16-x,则两个正方形的边长分别为,,其面积和为S=()2+()2=,0<x<16.令S'===0得x=8,当0<x<8时,S'<0,当8<x<16时,S'>0,所以x=8时,面积和S取极小值,也是最小值,最小值为8.2.A设圆锥形漏斗的高为x cm,则底面半径为=,体积V=π(400-x2)x=x-x3,0<x<20.令V'=-πx2=0,得x=或x=-(舍).当0<x<时,V'>0,当<x<20时,V'<0,所以x=cm时,圆锥形漏斗的体积最大.3.设矩形一边长为x,且为圆柱的半径,则圆柱的高为10-x.圆柱体积V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,0<x<10.令V'=20πx-3πx2=0,得x=或x=0(舍).当0<x<时,V'>0,当<x<10时,V'<0,所以x=时,圆柱体积最大,最大值是.4.解:由已知得,方盒底面为正方形,且边长为(48-2x) cm,高为x cm,所以容积为V=(48-2x)2x,0<x<24.令V'=12x2-384x+2304=0,得x=8或x=24(舍).当0<x<8时,V'>0,函数递增;当8<x<24时,V'<0,函数递减.所以当x=8 cm时,方盒容积最大.最大值为V=(48-16)2×8=8192(cm3).重点难点探究探究一:【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6 .令f'(x)=10(x-6)(3x-12)=0,得x=4或x=6(舍去).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4) 4 (4,6)f'(x) +0 -f(x) 单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.所以,当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【小结】本解法中只有一个极值点,那么它就是最值点.解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,利用导数求单峰函数的最值.常见的基本等量关系有:(1)利润=收入-成本;(2)利润=每件产品的利润×销售件数.探究二:【解析】(1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.根据题意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0<x<30),所以x=15 cm时包装盒侧面积S最大.(2)根据题意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30),所以,V'=6x(20-x),当0<x<20时,V'>0,V递增;当20<x<30时,V'<0,V递减.所以,当x=20时,V取极大值也是最大值.此时,包装盒的高与底面边长的比值为=.即x=20时包装盒容积V(cm3)最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为.【小结】本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用.探究三:【解析】(1)设长为x米,则宽为米,由题意得解得<x≤16,y=(2x+2×)×400+2××248+200×80=800x++16000(<x≤16).(2)y=800x++16000≥2+16000=28800+16000=44800(元).当且仅当长为x=18米,宽为=米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为444800元.[问题]基本不等式等号成立吗?[结论]本题第(2)小题容易做错的原因是忽略了题目中的条件,故解决本题要明确x的取值范围,即<x≤16.于是,正确解答为:令y'=800-=0,解得x=18.当x∈(0,18)时,y'<0,函数为减函数.当x∈(18,+∞)时,y'>0,函数为增函数.又<x≤16,当x=16时,函数取最小值,最小值为45000元.所以当污水处理池长为16米,宽为12.5米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为45000元.【小结】函数模型为f(x)=ax+的形式,通常使用基本不等式,但遇到等号不成立时,只能应用导数考查其单调性,由单调性求解.思维拓展应用应用一:设梯形ABCD的面积为S,点P的坐标为(t,-t2+2)(0<t≤2).由题意得点Q的坐标为(0,2),直线BC的方程为y=2.∵y=-x2+2, ∴y'=-x,∴y'|x=t=-t.直线AB的方程为y-(-t2+2)=-t(x-t), 即y=-tx+t2+2 .令y=0,得x=,∴A(,0).令y=2,得x=t,∴B(t,2).S=×(t+)×2×2=2(t+)≥4.当且仅当t=,即t=时,取等号,且∈(0,2)], ∴t=时,S有最小值为4.所以梯形ABCD的面积的最小值为4.应用二:(1)设年产量为x千件,年利润为W万元,依题意有:W(x)=即W(x)=(2)W'(x)=-x2+8.1.令W'(x)=0得x1=9或x2=-9(舍去),当0<x<9时,W'(x)>0,当9<x<10时,W'(x)<0.∴x=9时,W(x)max=38.6.当x>10时,W(x)单调递减,此时W(x)<-19+=≈37.7.∴当年产量为9千件时,该公司所获年利润最大.应用三:(1)当x=40千米/时,汽车从甲地到乙地,行驶了=2.5小时,要消耗汽油(×403-×40+8)×2.5=17.5(升).(2)当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地,行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)= (×x3-×x+8)×=(x2+-)(0<x≤120),h'(x)=-=(0<x≤120),令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.当x=80时,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以这个极值就是最小值.所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.基础智能检测1.D设长方形一边长为x,则另一边长为-x,所以面积S=x(l-x)=-x2+x(0<x<).令S'=0,得x=,当0<x<时,S'>0,当<x<时,S'<0,所以当x=时,长方形面积最大,最大面积为.2.C设底面边长为x,高为h,则V=x2h,所以h=,表面积S=x2×2+3xh=x2+,S'=x-,令S'=0,得x=.当0<x<时,S'<0,当x>时,S'>0,所以x=时,表面积取极小值,也是最小值.3.3设底面半径为r,高为h,则用料面积S=2πrh+πr2,由V=πr2h,所以h==,则S=+πr2,令S'=-+2πr=0,得r=3.当0<r<3时,S'<0,当r>3时,S'>0,所以r=3时,用料面积取极小值,也是最小值,用料最省.4.解:设扇形的半径为r,中心角为α弧度时,扇形的面积为S.因为S=αr2,l-2r=αr,所以S=αr2=(-2)r2=(lr-2r2),S'=(l-4r).令S'=0,得r=,此时α=2弧度.所以扇形的半径为,中心角为2弧度时,扇形的面积最大.全新视角拓展解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5, r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.。